Fisica Termica III

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1 Fluidos Viscosos
Aqui estudamos algumas propiedades dos ‡uidos viscosos newtonianos.
1.1 Tensão de cisalhamento e viscosidade
A tensão de cisalhamento é de…nida pela razão entre a componente tangencial
de uma força aplicada e a área da superfície:
� =
Ft
A
Observe que a unidade de � é a mesma de pressão (N=m2). Por não ter forma
própria, um ‡uido em repouso oferece menor resistência que os sólidos à ação
das tensões de cisalhamento. A viscosidade é a propriedade que determina o
grau de resistência de um ‡uido à força de cisalhamento, ou seja, de resistir à
deformação.
Consideremos duas placas largas e paralelas de área A separadas por um
‡uido com espessura y. A placa superior, devido à ação de uma força tangente
F , desloca-se com velocidade constante v, enquanto a inferior se mantém em
repouso. Próximo à placa superior o ‡uido desloca-se com velocidade v, devido
a aderência das partículas do ‡uido à superfície, e a velocidade é zero próximo
à placa inferior.
Entre as partículas de cima e as de baixo existirá atrito, que por ser uma
força tangencial formará tensões de cisalhamento, com sentido contrário ao do
movimento. As tensões de cisalhamento agirão em todas as camadas ‡uidas e
evidentemente naquela junto à placa superior dando origem a uma força oposta
ao movimento da placa superior. Quando Ft = F , a placa passa a realizar um
movimento uniforme de velocidade v.
A força F é proporcional ao produto entre a área da placa e a velocidade da
placa, e inversamente proporcional a distância entre as plas:
F = �A
v
y
onde � é o coe…ciente de viscosidade ou simplesmente viscosidade dinâmica
ou absoluta. No istema SI a unidade de viscosidade é o Pa:s. Em geral a vis-
cosidade de um líquido aumenta quando a temperatura diminui (ver …gura).
1
É por isso que nos climas frios usa-se um óleo mais …no no inverno do que
no verão. Os gases em geral apresentam um comportamento oposto, com a
viscosidade aumentando quando a temperatura aumenta.
A partir da expressão acima chegamos à lei de Newton:
� = �
dv
dy
Fluidos que obedecem a equação acima são denominados de ‡uidos new-
tonianos. Da mesma forma que a lei de Hooke, ou a lei de Ohm, a lei da
viscosidade de Newton não é uma lei fundamental da natureza, mas uma aprox-
imação válida para alguns tipos de materiais, mas que falha em outros. Os gases,
a água e vários tipos de líquidos podem ser considerados como newtonianos em
certos contextos e condições.
A viscosidade cinemática (�) é a razão entre a viscosidade dinâmica � e a
densidade do ‡uido �:
� =
�
�
cuja unidade no SI é m2s�1.
2
gás (T = 270 C) � (�Pa:s)
ar 18; 6
hidrogênio 9; 0
hélio 20; 0
argônio 22; 9
xenônio 23; 2
dióxido de carbono 15; 0
metano 11; 2
líquido (T = 250 C) � (Pa:s)
acetona 3; 06� 10�4
benzeno 6; 04� 10�4
óleo de ricino 0:985
etanol 1; 074� 10�3
mercúrio 1; 526� 10�3
metanol 5; 44� 10�4
óleo de motor SAE 10 (200 C) 0; 065
óleo de motor SAE 40 (200 C) 0; 319
água 8; 94� 10�4
ácido sulfúrico 2; 42� 10�2
piche 2; 3� 108
1.2 Lei de Poisseuille
O elemento cilíndrico do ‡uido mostrado na …gura se desloca por efeito de uma
diferença de pressão entre as duas bases opostas
�p = p2 � p1
de modo que a força que o impulsiona no sentido do seu movimento tem módulo
(área vêzes variação da pressão):
3
F = �y2�p
Esta força deve estar em equilíbrio com a força de viscosidade, que atua
em sentido contrário, na superfície cilíndrica do elemento de ‡uido considerado.
Sendo a área dessa superfície igual a A = 2�yL, podemos escrever:
�y2�p = �� (2�yL) dv
dy
ou
� (4L) dv = �2ydy�p
Como d(y2) = 2ydy, obtemos
dv = �
�
�p
4�L
�
d
�
y2
�
Integrando ambos os lados, vem
v(y2)� v(y1) = � �p
4�L
�
y22 � y21
�
Considerando-se a expressão acima para uma camada cilíndrica qualquer
de raio y1 = y que se desloca com velocidade v(y), e a camada limite que se
encontra em contato com a parede do tubo, de raio y2 = R, que se encontra em
repouso (v(R) = 0), obtemos:
v(y) =
�p
4�L
�
R2 � y2�
Podemos ver pela expressão anterior que a velocidade do escoamento é máx-
ima para a camada cilíndrica central, ao longo do eixo, e é zero na camada limite
junto às paredes internas do tubo. Entre essas camadas a velocidade apresenta
um comportamento parabólico.
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Consideremos agora uma seção circular in…nitesimal de área dA = 2�ydy.
O ‡uxo através da seção é
dQ = vdA = 2�vydy
ou
dQ = �
�p
2�L
�
R2y � y3� dy
Integrando a equação anterior
Q = �
�p
2�L
Z R
0
�
R2y � y3� dy
obtemos
Q =
�R4
8�L
�p
Essa equação expressa a lei de Poisseuille, que descreve o escoamento in-
compressível de um ‡uido newtoniano de viscosidade �, através de um tubo
cilíndrico de comprimento L e raio interno R.
Existe uma analogia entre a lei de Poisseuille e a lei de Ohm. A queda da
tensão elétrica V através de um resistor R percorrido por uma corrente I é dada
pela lei de Ohm
V = RI
De acordo com a lei de Poisseuille, a queda de pressão entre dois pontos no
escoamento do ‡uido é dada por
�p =
8�L
�R4
Q
Considerando o ‡uxo Q o análogo da corrente elétrica, vemos que a resistên-
cia efetiva do tubo é dada por
R =
8�L
�R4
1.3 Equação de Euler
Consideremos uma porção do ‡uido de volume �V e massa constante �m. A
aceleração do elemento de ‡uido é dada por
~a =
d~v
dt
Como o campo de velocidade ~v depende de x; y; z e t, isto é ~v = ~v(x; y; z; t),
a diferencial total de ~v deve ser escrita como (coordenadas cartesianas):
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d~v = dx
@vx
@x
{^+ dy
@vy
@y
|^+ dz
@vz
@z
k^ +
@~v
@t
dt
e, portanto,
d~v
dt
=
dx
dt
@vx
@x
{^+
dy
dt
@vy
@y
|^+
dz
dt
@vz
@z
k^ +
@~v
@t
=
@~v
@t
+ vx
@vx
@x
{^+ vy
@vy
@y
|^+ vz
@vz
@z
k^
Usando notação mais compacta, podemos escrever
d~v
dt
=
@~v
@t
+ (~v:r)~v
A expressão anterior de…ne a derivada total em relação ao tempo:
d
dt
=
@
@t
+ ~v:r
Em mecânica dos ‡uidos esse tipo de derivada que acompanha a variação
da grandeza ao longo de um trajeto num instante …xo é chamada de derivada
material ou lagrangiana.
A força líquida que age sobre o elemento devida apenas à pressão do ‡uido
é dada por
~f = �
I
�S
pd~S
onde �S é a a superfície que delimita o elemento do ‡uido. Pelo teorema de
Gauss podemos escrever I
�S
p n^dS =
Z
�V
rpdV
onde n^ é o vetor unitário normal à superfície, e rp é o gradiente da pressão.
Fisicamente, o gradiente da pressão é equivalente à força de pressão exercida
sobre o ‡uido por unidade de volume. Em coordenadas cartesianas:
rp = @p
@x
{^+
@p
@y
|^+
@p
@z
k^
Por outro lado, pela segunda lei de Newton
~f =
Z
dm~a =
Z
�V
~a�dV
Segue-se então que
6
Z
�V
�~adV = �
Z
�V
rpdV
e, portanto, Z
�V
�
�
d~v
dt
+rp
�
dV = 0
de onde obtemos
�
d~v
dt
= �rp
que é conhecida como equação de Euler. A equação de Euler representa a
segunda lei de Newton aplicada à descrição do movimento de um ‡uido perfeito
(não viscoso) sujeito à ação de forças. O lado esquerdo da equação representa o
produto da aceleração da partícula do ‡uido pela massa por unidade de volume,
e o lado direito representa a força de pressão por unidade de volume.
Usando a expressão da derivada material deduzida anteriormente, a equação
de Euler pode ser escrita na forma
@~v
@t
+ (~v:r)~v = �1
�
rp
Se o ‡uido estiver sob a ação de um campo gravitacional de aceleração ~g, a
equação de Euler torna-se
@~v
@t
+ (~v:r)~v = �1
�
rp+ ~g
1.4 Número de Reynolds
A dinâmica de um ‡uido viscoso newtoniano é descrita pela equação de Navier-
Stokes, que para um escoamento incompressível pode ser escrita como
�
d~v
dt
= �rp+ �r2~v + �~f
em que ~f representaoutras forças como a força gravitacional, etc. O segundo
termo do lado direito representa a força viscosa atuando no ‡uido (viscosidade
� constante). Observe ainda que a equação de Navier-Stokes reduz-se à equação
de Euler quando � = 0 (‡uido perfeito).
Os dois lados da equação anterior têm dimensão de força por unidade de
volume (N=m3). Vamos tentar escrever a mesma equação numa forma adimen-
sional. Para isso, basta dividir toda a equação por um fator que tenha o inverso
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das suas dimensões. Seja l (m) o comprimento característico do ‡uido, u a ve-
locidade característica (m=s), e � (kg=m3) a densidade do ‡uido. Fazendo as
substituições:
~v0 =
~v
u
; p0 =
p
�u2
; ~f 0 =
l
u2
~f;
@
@t0
=
l
u
@
@t
; r0 = lr
obtemos
�u2
l
d~v0
dt0
= ��u
2
l
r0p0 + �u
l2
r02~v0 + �u
2
l
~f 0
que leva à equação de Navier-Stokes na forma adimensional:
d~v0
dt0
= �r0p0 + �
�lu
r02~v0 + ~f 0
O número de Reynolds Re (adimensional) é de…nido por
Re =
�lu
�
de maneira que a equação anterior pode ser escrita
d~v0
dt0
= �r0p0 + 1
Re
r02~v0 + ~f 0
Assim, matematicamente todos os ‡uidos newtonianos e incompressiveis com
o mesmo número de Reynolds apresentam comportamentos comparáveis. Vemos
também que para Re� 1 o termo de viscosidade torna-se desprezível. Portanto,
‡uidos com número de Reynolds elevados comportam-se como ‡uidos inviscíveis.
Interessante notar que o número de Reynolds representa uma relação entre
as forças de inércia e as forças viscosas. De fato, partindo dessa idéia, temos
Re =
forças de inércia
forças viscosas
Re =
ma
�A
=
�V vt
� vlA
=
�l3 vt
� vl l
2
Portanto
Re =
�l lt
�
! Re = �lu
�
1.5 Escoamento laminar e turbulento
No regime laminar as partículas do ‡uido movem-se ao longo de trajetórias bem
de…nida. Nesse tipo de escoamento a viscosidade atua no sentido de amortecer
a tendência de mistura das camadas adjacentes do ‡uido, que deslizam umas
sobre as outras. O escoamento laminar ocorre geralmente a baixas velocidades
e em ‡uídos com grande viscosidade.
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No ‡uxo turbulento as trajetórias das partículas do ‡uido são altamente
irregulares e aleatórias, levando à transferência de momento linear entre as
camadas do ‡uido. O escoamento turbulento é comum em ‡uidos de baixa
viscosidade ou alta velocidade, comum na água, por exemplo.
Como ilustra a …gura, o escoamento da fumaça saindo de um incenso é
inicialmente laminar, mas torna-se turbulento depois de certo ponto. Da mesma
forma, o ‡uxo da água de uma torneira é laminar em baixas velocidades, mas é
turbulento com velocidades su…cientemente altas.
O número de Reynolds indica se o regime de escoamento de determinado
‡uido é laminar, turbulento ou de transição entre ambos. Para o escoamento
de água em um tubo cilíndrico de diâmetro d, por exemplo, tem-se a seguinte
classi…cação:
Re < 2:000 regime laminar
2:000 < Re < 4000 regime de transição
Re > 4000 regime turbulento
1.6 Lei de Stokes
Consideremos uma pequena esfera de raio a movendo-se em um ‡uido de viscosi-
dade � com velocidade ~v relativamente ao ‡uido. Na situação em que o escoa-
mento do ‡uido através da esfera tem um número de Reynolds Re desprezível
(Re� 1), e que o ‡uido seja homogêneo, a lei de Stokes estabelece que a força
de arrasto exercida pelo ‡uido sobre a esfera, em virtude da viscosidade, é dada
por
Fd = 6��av
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Além da força de arrasto, atuam no corpo o seu peso (mg) e o empuxo (E).
Pela segunda lei de Newton, temos
ma = mg � E � Fd
onde m = �eV e E = �fV g, sendo V o volume da esfera e �e e �f as densidades
da esfera e do ‡uido, respectivamente. A velocidade terminal (vT ) da esfera é
atingida quando a resultante das forças se anula e a aceleração da esfera torna-se
igual a zero (a = 0):
�eV g � �fV g � 6��avT = 0
ou
4�
3
�ea
3g � 4�
3
�fa
3g � 6��avT = 0
que fornece a expressão da velocidade terminal:
vT =
2
�
�e � �f
�
a2g
9�
Entretanto, a expressão da velocidade terminal não é exatamente dada pela
equação anterior, pois as paredes do tubo afetam o movimento da esfera. Para
levar em conta este efeito, considera-se o fator de correção de Ladenburg (K)
que depende do raio da esfera (a), do raio do tubo (R) e da sua altura (H).
Assim, a força viscosa no tubo, em realidade, deve ser substituída por
F 0d = K(6��av)
onde fator de Ladenburg é dado por
K =
�
1 + 2; 4
a
R
��
1 + 3; 3
a
H
�
Portanto, a velocidade terminal …ca dada por
v0T =
vT
K
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1.7 Exemplos
1. São dadas duas placas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-
se com velocidade de 4 m=s, enquanto que a inferior está …xa. Se o espaço entre
as duas placas for preenchido com óleo (viscosidade cinemática � = 10�5 m2=s;
� = 0; 93 g=m3), qual será a tensão de cisalhamento no óleo?
Solução. A vazão do escoamento é constante:
� = � � �
� = 10�5 � 0:93� 103 = 0:009 3 kg
m:s
Pela lei de Newton dos ‡uidos:
� = �
v
y
� = 0:0093� 4:0
2:0� 10�3 = 18; 6 N=m
2
2. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um
plano inclinado de 30o sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é
de 2 m=s, constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da
película é 2 mm?
Solução. A força que age sobre a placa, Gt, é
Gt = W sin�
Como a placa está em equilíbrio (velocidade constante) ela deve ser igual à
força de cisalhamento:
Gt = �A
v
"
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Obtemos então a viscosidade:
� =
"W sin�
Av
ou
� =
2:0� 10�3 � 20:0� sin 300
1:0� 2:0
� = 0:01
N:s
m2
3. Calcular o número de Reynolds e identi…car se o escoamento é laminar ou
turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4 cm escoa água
com uma velocidade de 0,05 m/s. A viscosidade da água é 1; 0030�10�3Ns=m2,
e a densidade é � = 103 kg=m3.
Solução.
Re =
�ud
�
=
103 � 0:05� 0:04
1:0030� 10�3 = 1994
O escoamento é laminar.
4. Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida
sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16 m=s para um vôo real-
izado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar (� = 1; 225 kg=m3).
Considere l = 0; 35 m e � = 1; 7894� 10�5 Ns=m2.
Re =
1:225� 16� 0:35
1:7894� 10�5 = 3:833� 10
5
5. Calcular o número de Reynolds no interior de uma tubulação de 50 mm
de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura de 2000C (� = 1; 003�
10�6 m2=s) com velocidade média de 0; 9 m=s.
Solução.
Re =
�ud
�
=
0:9� 0:050
1:003� 10�6 = 44:865
O tipo de ‡uxo não se prende exclusivamente ao valor da velocidade, mas
ao valor do número de Reynolds.
6. Calcular o número de Reynolds do scoamento do sangue num trecho da
aorta com 1; 0 cm de raio, à velocidade de 30 cm=s. Admitir que a viscosidade
do sangue seja de 4 mPa:s, e a densiade de 1:060 kg=m3.
Solução.
Re =
�(2r)u
�
Re =
1060� 2� 0:01� 0:3
4:0� 10�3 = 1590
Como Re é menor que 2000 o escoamento é laminar.
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