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Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 1 - EDO Separ�vel.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 10 - Equa��es de Segunda Ordem, parte 2.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 11 - M�todo dos Coeficientes a Determinar.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 12 - M�todo da Varia��o dos Par�metros.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 13 - Transformada de Laplace.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 14 - Fun��o Degrau.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 15 - Fun��es de Impulso.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 16 - Convolu��o.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 17 - S�ries de Fourier, parte 1.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 18 - S�ries de Fourier, parte 2.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 19 - Condu��o do Calor, parte 1.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 2 - EDO Linear de Primeira Ordem.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 20 - Condu��o do Calor, parte 2.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 21 - Equa��o da Onda e Identidade de Parseval.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 3 - EDO Exata.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 4 - Equa��es Homog�neas.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 5 - EDO de Bernoulli.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 6 - Exist�ncia e Unicidade.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 7 - Trajet�rias Ortogonais.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 8 - EDOs de Bernoulli e Riccati.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Aula 9 - Equa��es de Segunda Ordem, parte 1.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/C�lculo 4 (2013.2)- Aulas 1 a 5.pdf
Cálculo Diferencial e Integral 4
1. Introdução:
Nesse curso vamos estudar equações diferenciais, que são equações que contém
uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Um exemplo simples de
equação diferencial é dado por
Aqui, queremos encontrar uma função que seja igual à sua própria
derivada. Sabemos que essa função é , onde é uma constante qualquer.
A função encontrada é uma solução da equação diferencial acima.
Equações diferenciais costumam aparecer quando obtemos um modelo matemático
para uma situação física, e nem sempre obter as soluções da equação é tão simples
como foi há pouco. Consideremos o seguinte exemplo:
Exemplo 1: Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, próximo ao nível do
mar. Podemos formular um modelo matemático para a força resultante que atua no
objeto:
Na equação acima, é a força de resistência do ar, que será suposta proporcional
à velocidade. Sabemos da segunda lei de Newton que . Logo,
A equação acima é uma equação diferencial. Observe que a “incógnita” é uma função
(o que desejamos encontrar é uma expressão para ). Vamos supor que
, e . Então,
Para obter as soluções dessa equação diferencial, faremos o seguinte:
Supondo , integramos ambos os lados para obter
|
|
Aplicando a exponencial de ambos os lados, obtemos
|
|
Logo,
E então
Se , então essa solução satisfaz a equação diferencial que obtivemos
acima. Essa solução constante é chamada de solução de equilíbrio, e pode ser
incorporada à solução geral acima se considerarmos c = 0. Então, a solução geral da
equação diferencial do nosso exemplo é
Quando representamos graficamente as soluções obtemos uma família de curvas que
denominamos curvas integrais. Cada curva integral está associada a um valor da
constante . Quando queremos determinar o valor da constante, precisamos de um
valor para , por exemplo, . Daí, obtemos
E portanto, . Quando unimos à equação diferencial um valor para a função
desconhecida (chamado valor inicial), obtemos o chamado problema de valor inicial
(PVI), ou problema de Cauchy. Assim, é a solução do PVI acima.
Classificação: Uma equação diferencial é ordinária quando a função desconhecida (a
“incógnita” da equação) for uma função de uma variável. Nesse caso, só aparecerão
numa equação diferencial ordinária (EDO) derivadas usuais da função, como vistas
em Cálculo 1. Uma equação diferencial é parcial quando a função desconhecida é
uma função de mais de uma variável e aparecem na equação diferencial parcial (EDP)
as derivadas parciais da função. Inicialmente vamos estudar EDO’s, mas no final do
curso voltaremos nossa atenção para alguns casos interessantes de EDP’s.
A ordem de uma equação diferencial é igual à maior ordem que aparece na equação.
Por exemplo, é de primeira ordem, mas é de segunda
ordem.
No início de nosso curso, vamos estudar como encontrar soluções de alguns tipos de
equações diferenciais ordinárias.
2. Equações Lineares de Primeira Ordem
Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma
Para encontrarmos a solução de uma equação desse tipo, lembramos a regra da
derivada do produto: . Vamos tentar transformar o lado esquerdo
da expressão acima na derivada de algum produto, já que já aparecem e . Para
isso, vamos multiplicar a equação inteira por um fator , o qual chamaremos de
fator integrante. Assim, obtemos
Pela regra do produto, o lado esquerdo dessa igualdade é a derivada de um produto
se tivermos
Podemos escrever essa igualdade como
Como fizemos acima, escrevemos
Integrando, obtemos
∫
E então,
∫
Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .
Utilizando o método desenvolvido acima, temos que
∫
Logo, multiplicando a equação pelo fator integrante, encontramos
Ou seja,
Integrando,
E portanto, a solução geral é dada por:
Exemplo 3: Resolva o PVI .
Primeiro encontramos a solução geral, multiplicando a equação pelo fator integrante
∫
Obtemos
Ou seja,
Integrando (no lado direito usamos integração por partes), obtemos:
Logo,
Agora, resolvemos o PVI. A condição inicial é . Logo,
Assim,
A solução geral do PVI é
Exemplo 4: (
)
Multiplicamos pelo fator integrante ∫
. Assim, obtemos
Ou seja,
Integrando,
∫
Para resolver a integral, usamos integração por partes:
∫
∫
Logo,
Finalmente, a solução geral da EDO é
Exercícios: Resolva as equações diferenciais e problemas de valor inicial abaixo:
1)
2)
3)
4)
5)
Respostas:
1) (
) (
)
2)
3)
4)
5)
3. Equações de Variáveis Separáveis
Uma EDO é de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma
Podemos reescrever essa equação na forma
Ou ainda,
Agora integramos ambos os lados da equação, como já fizemos anteriormente.
Exemplo 5: Resolva a EDO .
Escrevemos
Logo,
E daí, por integração, a solução geral da EDO é dada implicitamente por
Exemplo 6: Resolva o PVI
, , e determine o intervalo de
definição da solução.
Escrevemos
Daí,
Integrando,
∫
Fazendo a mudança de variável , temos que , logo
∫
∫
| |
Então,
Aplicando a condição inicial ,
Logo, , e
. Como , o sinal é o negativo, e a
solução geral é
. O intervalo de definição é o maior intervalo
para o qual a solução está definida e que contém o valor de x da condição inicial.
Logo, é , pois não há restrição aos valores de que podemos calcular.
Exemplo 7: Resolva o PVI abaixo, e determine o intervalo de definição da solução.
Fazemos
Integrando,
| |
Usando a condição inicial, temos que
Logo, temos
| |
| |
Ou seja,
| |
Os valores que não são permitidos para são zero e os valores tais que | | ,
ou seja, √ . Logo, a solução está definida em
( √ ) ( √ ) ( √ ) √
Como a condição inicial é dada para , então o intervalo de definição é
√ , e como nesse caso é positivo, podemos esquecer o módulo na
solução geral, que fica
Exemplo 8: Determine as trajetórias ortogonais da família .
Primeiramente devemos determinar a equação diferencial que tem como solução a
família dada. Derivando a equação acima, obtemos . Vamos multiplicar
essa equação por para que apareça o termo , que é igual a . Assim, temos
, ou seja, e . Agora, lembre-se que duas retas
perpendiculares possuem coeficientes angulares que, quando multiplicados, dão
como resultado . Logo, quando multiplicarmos o da família dada pelo da família
de trajetórias ortogonais, vamos obter -1. Assim, para a família orogonal,
(
)
Agora, temos
. Essa é uma equação separável. Resolvemos fazendo
. Integrando, temos
Ou
Exemplo 9: Encontre a família de curvas ortogonais às curvas dadas por ,
onde é uma constante real.
Novamente devemos encontrar a EDO que é satisfeita pela família de curvas.
Derivamos implicitamente, obtendo , ou seja, . Logo, para a
família de curvas ortogonais, teremos:
(
)
Portanto,
Esta equação é separável. Temos então que
E por integração obtemos
Ou
onde .
Exemplo 10: Resolva a EDO
A equação é de variáveis separáveis. Logo, temos, para ,
Observe que
Logo, . Fazendo obtemos . Fazendo obtemos
, logo . Daí, integrando, obtemos
| | ∫((
) (
)) | | | |
Daí,
| | | | | |
Ou seja,
|
|
Ou ainda,
Finalmente,
No entanto, também é solução (a solução de equilíbro que mencionamos no
começo das notas). Mas essa solução também é obtida para . Logo, a equação
acima representa a solução geral da EDO.
Exercícios: Resolva as EDO’s e PVI’s abaixo. Quando exibir soluções gerais, lembre-se
de considerar soluções de equilíbrio, quando existirem. Determine os intervalos de
definição das soluções encontradas.
1)
2)
(não precisa determinar o intervalo!)
3)
4)
5) A população de uma certa espécie de animais está decrescendo a uma taxa
proporcional à raiz quadrada do número de animais. Se em um dado momento
havia 25 milhões de animais e após 100 anos a população é de 9 milhões de
animais, depois de quantos anos (após aquele momento inicial) a espécie será
extinta?
6) Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas , onde é
uma constante.
Respostas:
1)
√ ,
√
2)
√
3) , se .
4) | | se e | | . Também .
5) 250
6)
4. EDO exata
Uma EDO é dita exata se:
Lembre-se que um campo vetorial ( ) é conservativo
quando existe uma função tal que . Sabemos que um campo
vetorial é conservativo então vale
Assim, campos conservativos estão relacionados com EDO’s exatas. Daí, podemos
imaginar que vale o seguinte Teorema.
Teorema:
Suponha que as funções e possuem derivadas de
primeira ordem contínuas. Então a EDO é exata se, e
somente se, existe uma função tal que
Por analogia com o caso acima, chamaremos tal função de função potencial.
Demonstração: A demonstração é feita em duas partes. Primeiro, se existe tal função
, como as derivadas parciais de primeira ordem de e são contínuas, então
tem derivadas parciais e contínuas. Daí, pelo Teorema de Clairaut
Ou seja, a EDO é exata.
Por outro lado, se a EDO é exata, então precisamos encontrar uma função tal que
e . Integrando a primeira dessas igualdades com respeito a x, ou seja,
tratando y como constante, obtemos
∫
Nesse caso, é uma função que depende apenas de y, e é um ponto qualquer no
qual a função esteja definida. Precisamos mostrar que sempre é possível escolher
a função de modo que a outra igualdade acima seja satisfeita, ou seja, .
Derivando a equação acima com relação a y, obtemos
∫
Ou seja,
∫
O que falta mostrar é que o lado direito dessa expressão é uma função apenas de y,
pois sabemos que a função é desse tipo. Para isso, vamos derivar com relação a x o
lado direito:
∫
Trocando a ordem de derivação na segunda parcela e usando o Teorema
Fundamental do Cálculo e o fato de que a EDO é exata, temos
∫
Assim, apesar de sua forma aparente, o lado direito de
∫
não depende de x. Logo, podemos obter integrando a equação acima e
substituindo na expressão inicial que obtivemos para . De fato, esse será o
procedimento padrão que usaremos para determinar tal função, que como veremos
abaixo, é de fundamental importância no estudo das soluções de uma EDO exata.
Observação: Considere a EDO exata e seja uma função potencial,
então as soluções da EDO são dadas por
onde é uma constante real. De fato, diferenciando, obtemos
Assim, é uma solução (implícita) da EDO.
Exemplo 11: Resolva a EDO
Podemos escrever a equação na forma . Logo,
e .
Observe que
e
, logo a EDO é exata. Vamos procurar uma função
potencial usando o procedimento ilustrado na demonstração do Teorema acima.
Queremos uma função tal que e . Integrando a primeira
equação com respeito a x, obtemos
Agora derivamos com respeito a y, obtendo
Logo, e podemos tomar . Daí, , e a solução
geral da EDO é dada por
Exemplo 12: Resolva a EDO
Escrevendo na forma , temos
e .
Como
e
, a EDO é exata. Queremos uma
função tal que
e
. Também podemos
encontrar primeiro integrando com relação a y e depois derivando com relação a x.
Integrando, obtemos
Agora derivamos com relação a x:
Logo, e podemos tomar . Logo, e a
solução geral da EDO é dada por
Exemplo 13: Resolva a EDO .
Temos e . Logo, e
. Logo, e a EDO não é exata. E agora? Responderemos isso com a
observação seguinte.
Observação: Às vezes uma EDO não é exata, mas se a multiplicarmos por um fator
integrante adequado, a EDO passa a ser exata. Isto é, suponha que a EDO
não é exata, mas
é exata.
Assim, . Pela regra do produto,
Isto é,
( )
Essa equação é uma EDP, cuja resolução é muito complicada. No entanto, podemos
simplificar o problema supondo que é uma função apenas de x ou apenas de y. No
primeiro caso, temos que , logo
( )
Assim,
(
)
Logo, vale a pena usar esse fator integrante se o quociente
é uma função apenas de x. Nesse caso, podemos encontrar resolvendo a EDO
acima, que é de variáveis separáveis.
No segundo caso (em que é função apenas de y), temos , logo
Portanto
(
)
e vale a pena usar o método se
é função apenas de y.
Agora, voltamos ao exemplo 13. Observe que , e
Logo, podemos usar o método procurando um fator integrante função apenas de x,
resolvendo a EDO
(
)
que é de variáveis separáveis. Logo
Integrando,
E portanto é o fator integrante que torna a EDO do exemplo 13, exata.
Assim, obtemos
ou seja,
Agora temos e . Daí, e
e a EDO realmente se tornou exata. Para resolvermos, buscamos
uma função potencial tal que e . Integrando a
primeira dessas equações com respeito a x, obtemos
Agora, derivamos com relação a y:
Portanto, e podemos tomar . Daí,
e a
solução geral da EDO do exemplo 13 é
5. EDO homogênea
Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea se
pode ser escrito como uma
função que depende unicamente da razão
, isto é, se tem a forma
(
)
Para resolver a equação, faremos a mudança de variáveis
. Assim, , e
temos
Assim, a equação que define a EDO homogênea se torna
que rearrumada se torna
que é uma equação de variáveis separáveis.
Exemplo 14: Resolva a EDO
Observe que essa EDO pode ser escrita como
(
) (
)
Fazendo a mudança de variável e usando o que vimos acima, a EDO se torna
Daí,
Essa equação é de variáveis separáveis. Para resolvê-la, integramos ambos os lados.
Para o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Logo, . Fazendo , obtemos . Fazendo ,
obtemos , logo . Então,
∫
∫ ∫
| | | |
Assim,
| | | | | |
Fazendo , obtemos
| | | | | |
Ou seja,
(|
|) | | | |
Então
|
| | |
Logo,
pois a constante pode assumir valores positivos ou negativos, e a solução de
equilíbrio está incluída no caso . Agora, substituímos para obter
Assim
Então
Finalmente,
E
é a solução geral da EDO.
Exemplo 15:
Temos que
(
) (
)
Mudando a variável, temos
Daí,
Integrando, e observando que , temos que:
∫
∫
Ou seja,
| | | |
Substituindo , temos
| |
Logo,
| |
Então
| |
Finalmente
| |
é a solução geral da EDO.
Exemplo 16: Resolva a EDO
Dividindo numerador e denominador do lado direito por x, obtemos
(
)
(
)
Portanto a EDO é homogênea. Fazendo a mudança de variáveis , temos
Daí,
Logo
Ou seja,
Novamente teremos que usar frações parciais do lado esquerdo:
Logo,
Fazendo , obtemos , donde
. Fazendo obtemos ,
logo
.
Assim,
∫
∫
∫
| |
| |
Daí, a equação fica
| |
| | | |
Ou ainda
| |
| |
| |
Portanto
| |
| |
| |
Elevando ao quadrado
| |
| |
Daí, como ,
|
|
|
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Logo,
| |
| |
E a solução geral é | | | |
Exemplo 17: Resolva a EDO
Bem, como
(
) (
)
(
) (
)
a equação NÃO é homogênea. No entanto, vamos transformá-la numa EDO
homogênea através de uma mudança de variáveis
{
{
Logo
Para esta EDO ser homogênea é suficiente que tenhamos
{
{
Assim, a mudança de variáveis
{
Nos leva à EDO
Pelo exemplo anterior, a solução desta EDO é | | | | . Mas como
e , temos que | | | | .
Portanto, a solução geral da EDO é
| | | |
6. Existência e Unicidade
Até aqui, estivemos interessados apenas em desenvolver técnicas que nos permitam
resolver certos problemas de valor inicial. Seria interessante, no entanto, termos a
priori alguma garantia de que uma solução existe, e caso exista, se é única. É claro
que não vamos querer, por exemplo, dedicar esforços a resolver um problema que
não tenha solução. O Teorema seguinte nos dá condições suficientes para que
tenhamos existência e unicidade de soluções:
Teorema de Existência e Unicidade
Suponha que as funções e sejam contínuas em um retângulo R ,
contendo o ponto . Então, em algum intervalo
contido em , existe uma solução única do problema de valor
inicial
Além disso, basta supor a continuidade de para garantir a existência de soluções do
PVI, mas não a unicidade.
Vamos entender o Teorema melhor aplicando-o em alguns exemplos:
Exemplo 18: Vamos estudar existência e unicidade de soluções do PVI
√
Aqui temos que a função √ , que é contínua sempre que . Logo, o
Teorema de Existência e Unicidade garante que existem soluções para todo
com . Além disso, temos que √ , que é contínua sempre que
. Logo, qualquer que seja , sempre haverá solução única no ponto ,
pelo Teorema de Existência e Unicidade.
Vejamos o que ocorre no ponto . Nesse caso, sabemos que existe uma solução,
mas o Teorema não garante a unicidade! Vamos resolver a equação, que é de
variáveis separáveis. Primeiramente, observe que a função constante é uma
solução de equilíbrio. Em particular, é uma solução que satisfaz , logo já
temos uma solução para o PVI. Separando as variáveis e integrando, obtemos
∫
√
∫
Logo
√
Como , obtemos , logo uma outra solução que satisfaz o PVI é √
. Note que isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade, já que a função
NÃO é contínua em .
Exemplo 19: Analise existência e unicidade de soluções para o PVI
Aqui escrevemos . Essa função é contínua sempre que ,
logo temos garantida existência de soluções em todo ponto , com . Além
disso, , que também é contínua sempre que . Logo, o
Teorema de Existência e Unicidade nos garante existência de solução única para o
PVI em todo ponto com . Vejamos agora o que ocorre para . Para
isso, vamos resolver o PVI, cuja equação é de variáveis separáveis. Observe de
antemão que a função constante é uma solução da EDO. Separando e
integrando, temos
Portanto a solução da EDO é
Vamos primeiro analisar o que ocorre em pontos da forma , com . Como
, temos que pela solução obtida acima, qualquer que seja a solução.
Logo, não existem soluções passando por , com .
E no ponto ? Nesse caso, observe que a solução acima é satisfeita qualquer que
seja o valor da constante , pois ambos os lados da igualdade dão iguais a zero. Logo,
qualquer função da forma é solução do PVI. Além dessas, a
função identicamente nula também é solução do PVI. Assim, temos infinitas soluções
que passam pelo ponto . O que observamos aqui também não contraria o
Teorema de Existência e Unicidade, pois como vimos, NÃO
é contínua em
.
Vamos agora dar uma ideia geral da demonstração do Teorema de Existência e
Unicidade. Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas, de Picard. Vamos
construir uma sequência de funções tal que e tal que se
aproxima de uma solução do PVI quando . A primeira parte é mostrar que
podemos escrever a expressão de um modo equivalente, da
seguinte forma
∫ ( )
É claro que podemos fazer isso pela 2ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Além disso, a função satisfaz o PVI, pois
∫ ( )
Novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, agora pela primeira parte,
podemos recuperar a equação original derivando a fórmula para . Assim, o
método consiste em construir a seguinte sequência de funções:
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
Pode-se demonstrar que essa sequência converge para uma solução do PVI, e que
essa solução é única. Vejamos como o método de Picard funciona em um exemplo:
Exemplo 20: Usar o método de Picard para obter uma solução de
Então
∫
∫
∫
∫ (
)
∫ (
)
∫
∫ (
)
Em geral,
(
)
(
)
(
)
(
)
Lembre-se que
Logo,
Dissemos acima que o limite da sequência de funções que criamos é uma solução do
PVI. Vejamos que isso ocorre de fato. Seja
. Então,
(
)
Além disso, . Logo, a solução obtida pelo método de Picard é
.
Calculo Diferencial e Integral IV/Exame Final C�lculo 4 2014.1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Exame Final de Cálculo Diferencial e Integral 4
Turmas Q1 e Q5
- Justifique cada passo de suas resoluções. Respostas não justificadas não serão
aceitas!
Questão 1: (4,0 – cada item vale 1,0) Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(b)
(c)
( ) ( )
(d)
( )
Questão 2: (a) (1,5) Resolva a equação diferencial
(b) (1,5) Calcule a transformada de Laplace da função
( ) {
Questão 3: Considere a função periódica de período 2L e definida por
( ) para .
(a) (1,0) Quais são os valores de em que a soma da série de Fourier de não
coincide com ( )? Justifique sua resposta.
(b) (1,0) Calcule a série de Fourier de .
(c) (1,0) Calcule a soma da série
∑
Boa prova!
Calculo Diferencial e Integral IV/Exame Final C�lculo 4 2014.2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II
EXAME FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 – 11/02/2015
TURMAS Q2 E Q7
Questão 1: (cada item vale 1,0) Resolva as seguintes equações diferenciais. Justifique suas
respostas.
(a) 1
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2𝑦
𝑥2
= 𝑥 cos 𝑥 (𝑥 > 0)
(c) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = −
5
2
𝑥𝑦3
(b) (1 + 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥 + 2)𝑑𝑦 = 0
(d) (𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0
Questão 2: Considere a equação diferencial 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑒3𝑡.
(a) (0,5) Obtenha a solução geral da EDO homogênea associada 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0.
(b) (1,0) Qual o formato da solução particular prevista pelo método dos coeficientes a determinar?
(c) (1,0) Use os itens anteriores para obter a solução geral da EDO não-homogênea acima.
Questão 3: Considere o problema de valor inicial 𝑦′′ + 𝑦 = 4𝛿(𝑡 − 2𝜋), 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0.
(a) (1,0) Encontre a transformada de Laplace da solução desse PVI.
(b) (1,0) Use o item (a) para encontrar a solução do problema acima.
Questão 4: (1,5) Uma barra homogênea de comprimento 𝐿 = 𝜋 metros e difusividade térmica
igual a 4 cm²/s tem suas extremidades mantidas à temperatura fixa de 0ºC. Sabendo que a
distribuição inicial de temperaturas na barra é dada pela função 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 + 4 sen 8𝑥, calcule
a distribuição de temperaturas na barra 𝑢(𝑥, 𝑡).
Boa prova!!!
Calculo Diferencial e Integral IV/Final C�lculo 4.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Segunda Chamada de Cálculo Diferencial e Integral 4
Turmas Q4 e Q6
- Justifique cada passo de suas resoluções. Respostas não justificadas não serão
aceitas!
Questão 1: Resolva os itens a seguir:
(a) (0,8)
(b) (0,8)
( )
( )
(c) (0,9)
Questão 2: (0,5) Mostre que ( )
é solução de .
(1,5) Obtenha uma segunda solução ( ) dessa equação utilizando o método da
redução de ordem. (0,5) Mostre que e são linearmente independentes.
Questão 3: Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) (1,25)
(b) (1,25) ( ) ( ) ( )
Questão 4: Considere a função dada por ( ) | |. (0,6) Calcule
os coeficientes e da sua série de Fourier, de acordo com a notação vista em
sala. (0,4) Em quais pontos a soma da série converge para ( )? (1,5) Calcule as
somas da séries ∑
e ∑
.
Boa prova!!!
Calculo Diferencial e Integral IV/G Prova 1 Marcio.pdf
UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4 - 2015.1
1o EXERCI´CIO ESCOLAR - TURMAS: Q3 e Q7
15 de abril de 2015
Atenc¸a˜o: Leia a prova com atenc¸a˜o, raciocine e justifique suas respostas.
1a Questa˜o (1,0) Obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′
+ y = 1− t, y(0) = 0.
2a Questa˜o (2,5) Encontre o fator integrante e resolva a seguinte equac¸a˜o
(3xy + y2) + (x2 + xy)y
′
= 0.
3a Questa˜o (2,5) Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea
y
′
=
2x− 5y
2x+ 4y
.
4a Questa˜o (2,0) Resolva a seguinte equac¸a˜o de Bernoulli:
dy
dx
+
y
x
= 2 x3 y4.
5a Questa˜o (2,0) Determine a soluc¸a˜o geral para o problema de valor inicial
y
′′
+ y
′ − 2y = 0 ; y(0) = y0 ; y′(0) = v0.
Qual deve ser a relac¸a˜o entre y0 e v0 para que limt→+∞ y(t) = 0 ?
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Calculo Diferencial e Integral IV/Gabarito 3EE C4 2014.2.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Gabarito 3EE C�lculo 4 2014.1.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Gabarito da Mini Prova 1 C�lculo 4.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Gabarito Exame Final C�lculo 4 2014.1.pdf
Calculo Diferencial e Integral IV/Gabarito Final C4 2014.2.pdf
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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4 - 2015.1
GABARITO DO 1o EXERCI´CIO ESCOLAR - TURMAS: Q3 e Q7
15 de abril de 2015
Atenc¸a˜o: Leia a prova com atenc¸a˜o, raciocine e justifique suas respostas.
1aQuesta˜o (1,0) Obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′
+ y = 1− t, y(0) = 0.
RESPOSTA: Calculamos o fator integrante dado por µ(t) = exp(
∫
dt) = et. A
soluc¸a˜o geral do problema sera´:
y(t) = [µ(t)]−1
[∫
(1− t)µ(t) dt+ C
]
= 2− t+ C e−t,
onde C e´ uma constante a ser determinada. Usando a condic¸a˜o inicial, obtemos que
C = −2, e a soluc¸a˜o do problema e´ dada por y(t) = 2− t− 2 e−t.
2aQuesta˜o (2,5) Encontre o fator integrante e resolva a seguinte equac¸a˜o
(3xy + y2) + (x2 + xy)y
′
= 0.
RESPOSTA: Aqui temos que M(x, y) = 3xy + y2 e N(x, y) = x2 + xy, e o fator
integrante sera´ µ(x) dado por
µ(x) = exp
[∫
My −Nx
N
dx
]
= exp
[∫
1
x
dx
]
= x.
Temos agora a seguinte equac¸a˜o exata para resolver: (3x2y + xy2) + (x3 + x2y)y
′
= 0.
Fazendo φx(x, y) = 3x
2y + xy2, temos que
φ = x3y + x2y2/2 + g(y).
Diferenciando φ com respeito a y e igualando a x3 + x2y, obtemos que g(y) e´ constante.
Como φ(x, y) = C, onde C e´ uma constante, obtemos a soluc¸a˜o impl´ıcita do problema:
x3y + x2y2/2 = C
3aQuesta˜o (2,5) Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea
y
′
=
2x− 5y
2x+ 4y
.
RESPOSTA: Substituindo y = x v(x) na equac¸a˜o homogeˆnea, obtemos a seguinte
equac¸a˜o separa´vel para v(x):
dv
dx
=
2− 7v − 4v2
x(2 + 4v)
,
a qual, apo´s integrar, da´
lnx+ (1/3) ln(4v − 1) + (2/3) ln(v + 2) = C,
onde C e´ uma constante arbitra´ria. A soluc¸a˜o para v(x) pode ser escrita ainda como
x3(4v − 1)(v + 2)2 = K,
onde K = e3C . A soluc¸a˜o do problema original sera´ dada implicitamente por
(4y − x)(y + 2x)2 = K.
4aQuesta˜o (2,0) Resolva a seguinte equac¸a˜o de Bernoulli:
dy
dx
+
y
x
= 2 x3 y4.
RESPOSTA: Fazendo v = y1−4 = y−3, obtemos a seguinte equac¸a˜o linear para v:
v
′ − 3v
x
= −6x3,
a qual pode ser resolvida pelo me´todo do fator integrante. O fator integrante sera´ dado
por
µ(x) = exp
[
−3
x
dx
]
= x−3,
e a soluc¸a˜o para v(x) sera´
v(x) = x3
[∫
(−6x3)x−3 dx+ C
]
= −6x4 + Cx3.
A soluc¸a˜o do problema original sera´ dada por
y−3 = −6x4 + Cx3.
5aQuesta˜o (2,0) Determine a soluc¸a˜o geral para o problema de valor inicial
y
′′
+ y
′ − 2y = 0 ; y(0) = y0 ; y′(0) = v0.
Qual deve ser a relac¸a˜o entre y0 e v0 para que limt→+∞ y(t) = 0 ?
RESPOSTA: A equac¸a˜o caracter´ıtica associada ao problema e´ p2 + p− 2 = 0, cujas
soluc¸o˜es sa˜o p = −2 e p = 1. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial sera´ dada por
y(t) = Ae−2t +Bet,
onde A e B sa˜o constante a serem determinadas. Aplicando a primeira condic¸a˜o inicial,
obtemos que A + B = y0. A segunda condic¸a˜o da´ A − 2B = v0. Obtemos enta˜o que
A = (2y0 − v0)/3 e B = (y0 − v0)/3. A soluc¸a˜o do problema de valor inicial sera´
y(t) = (2y0 − v0)e−2t/3 + (y0 − v0)et/3.
Para que limt→+∞ y(t) = 0, devemos fazer A = 0, de modo que 2y0 = v0.
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Calculo Diferencial e Integral IV/Informa��es de C�lculo 4 - 2014.2.pdf
Informaço es – Ca lculo 4 – 2014.2
Professor: João Antônio Miranda Gondim
Aula 1 Equações Separáveis 17/09
Aula 2 Equações Lineares 22/09
Aula 3 Equações Exatas 24/09
Aula 4 Equações Homogêneas 29/09
Aula 5 Equações de Bernoulli 01/10
Aula 6 Existência e Unicidade 06/10
Aula 7 Aplicações 08/10
Aula 8 Exercícios 13/10
--Primeira Prova-- 15/10
Aula 9 EDOs Lineares de Segunda Ordem Homogêneas com coeficientes constantes 22/10
Aula 10 EDOs Lineares de Segunda Ordem: Teoria Geral 27/10
Aula 11 Redução de Ordem. Equações de Euler 29/10
Aula 12 EDOs Lineares de Segunda Ordem Não-Homogêneas: Método dos Coeficientes a
Determinar 03/11
Aula 13 EDOs Lineares de Segunda Ordem Não-Homogêneas: Método da Variação dos
Parâmetros 05/11
Aula 14 Transformada de Laplace: Propriedades e Fórmulas Básicas 10/11
Aula 15 Transformada de Laplace: Problemas de Valor Inicial e Função Degrau 12/11
Aula 16 Transformada de Laplace: EDO com parte não homogênea descontínua. Funções de
Impulso 17/11
Aula 17 Exercícios 19/11
--Segunda Prova-- 26/11
Aula 18 Séries de Fourier: Definição e Fórmulas Básicas 01/12
Aula 19 Séries de Fourier: Teorema de Fourier. Identidade de Parseval 03/12
Aula 20 Equação do Calor: Método de Separação de Variáveis 08/12
Aula 21 Método de Separação de Variáveis: Mais Exemplos 10/12
Aula 22 Outros Problemas de Condução do Calor 15/12
Aula 23 Equação da Onda 17/12
Aula 24 Equação de Laplace 19/01
Aula 25 Exercícios 21/01
--Terceira Prova-- 28/01
As notas de aula e listas de exercícios serão o principal material para preparação para as
provas. Para outras opções, e uma quantidade extra de exercício, podem ser usados os livros
abaixo:
BOYCE, W; DIPRIMA, R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno (qualquer edição serve). Contém todo o assunto, e outras coisas que não
serão vistas (livro adotado pela equipe).
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo, Volume 4. Contém boa parte das duas
primeiras unidades.
NAGLE, R.K.; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações Diferenciais. Também contém todo
o assunto do curso.
ZILL, D.Z.; CULLEN, M.R. Equações Diferenciais, Volumes 1 e 2.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
A´REA2
1o Semestre de 2014
Prof. Francisco Brito(Turmas – Q2 e Q6 )
Departamento de Matema´tica, sala A248
Telefone: 2126 -7663
Enderec¸o eletroˆnico: brito@dmat.ufpe.br
LISTA DE EXERC´ICIOS CORRESPONDENDO A` PRIMEIRA UNIDADE
Os problemas que seguem foram propostos em exerc´ıcios escolares em per´ıodos anteriores.
Para localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles tera´ uma sigla
do tipo (n-pq,uv), onde n e´ 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, e´ o ano e uv pode assumir os
valores, pe (primeiro exerc´ıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como a`s vezes acontece
de um professor fazer modificac¸o˜es em uma questa˜o de um exerc´ıcio escolar no momento de aplica´-
lo, e eu na˜o tive acesso a nenhuma dessas mudanc¸as, pode ser que alguns desses problemas na˜o
correspondam exatamente ao que foi proposto nas avaliac¸o˜es.
1- ( 1-95,pe) Encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais,
resolvendo o problema
de valor inicial correspondente se necessa´rio.
a) (1 pt) y
′
+ (cotx)y = 4 sen x, y(−pi/2) = 0.
b) (1 pt) (x2 − 2y2)dx+ xydy = 0.
c) (1 pt) (x+ 2y−1)dy + ydx = 0.
d) (1 pt) xdy = (y + x2)dx.
2- ( 2-90,pe) (i) Encontre uma soluc¸a˜o na˜o nula, y1(x), de y
′ − 2y = 0.
(ii) Encontre todas as func¸o˜es A(x) de maneira que y(x) = A(x)y1(x) e´ soluc¸a˜o de
y′ − 2y = x2e2x.
3- ( 2-91,pe) Encontre a famı´lia ortogonal da famı´lia de curvas y2 − x = cx.
4- ( 1-90,pe) Encontre a famı´lia ortogonal da famı´lia de curvas y = cex.
5- ( 1-90,pe) Considere o problema de valor inicial
y′ =
x2 + y2
xy
, y(1) = 2.
i) Encontre uma soluc¸a˜o para este problema.
ii) Mostre que ele possui soluc¸a˜o u´nica.
iii) Determine o intervalo em que a soluc¸a˜o encontrada em (i) e´ va´lida.
6- ( 1-90,pe) Mostre que todas as soluc¸o˜es da EDO y′ = −xy e
y2
1 + ex2
que cortam o eixo dos y
sa˜o limitadas.
1
7- ( 2-91,pe) Mostre que a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y′ = (y2 − 1)(y2 − 4), y(0) = 0 satisfaz a desigualdade |y(x)| ≤ 1, para todo x.
8- ( 1-90,pe) Resolva o problema de valor inicial: y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
9- ( 2-94,pe) Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
a) x cos(y/x)y′ = y cos(y/x) + x.
b) (3xy + x2)y′ + y2 + xy = 0.
c) y′ =
x5 − 3y
x
.
10- ( 1-94,pe) Escolha e resolva, no ma´ximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
1. y′ = 1 + x+ y2 + xy2.
2. 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0.
3. (x3y2 + x)y′ + (x2y3 + y) = 0.
4. y′ =
2xy + y2
x2
, x > 0.
5. yy′′ + (y′)2 = 0.
6. xy′′ + y′ = 1.
11- ( 1-94,pe) Dada a equac¸a˜o y′ = 3y
2
3 :
1. Onde o teorema de existeˆncia e unicidade e´ va´lido?
2. Verifique que as func¸o˜es u(x) = x3 e v(x) = 0 sa˜o soluc¸o˜es da EDO.
3. O problema de valor inicial y′ = 3y
2
3 , y(0) = 0, tem soluc¸a˜o u´nica? Compare com o
resultado do item 1.
12- ( 1-94,sc) Escolha e resolva duas das questo˜es abaixo: (Obs. As soluc¸o˜es podem ser dadas
implicitamente.)
(a) Encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO y′ = y2 secx tan x.
(b) Encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) Mostre que 3xy+ y2+(xy+ x2)y′ = 0 na˜o e´ uma equac¸a˜o exata e admite x como fator
integrante. Ale´m disso, encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO.
13- ( 1-92,pf) Resolva a equac¸a˜o f(x) = 1 +
∫ x
0
tf(t)dt.
14- (2-98,pe) Resolva :
a) senx cos y dx− cosx sen y dy = 0.
b) (
1
x2
+
3y2
x4
)dx =
2y
x3
dy, y(1) = 1.
c) y′ + xy = x3y3.
d) y′′ =
1
2y′
.
e) y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −3.
15- (2-98,pe) Considere a EDO y′ = (y2 − x2) sen(xy) + 1.
a) Quantas soluc¸o˜es y = f(x) desta equac¸a˜o sa˜o tais que f(0) = 0? Justifique.
2
b) Determine se e´ ou na˜o poss´ıvel existir uma soluc¸a˜o y = f(x) desta EDO tal que
f(−1) = f(1) = 0. Justifique.
16- (2-98,pf) Resolva cada uma das seguintes equac¸o˜es diferenciais ou problemas de valor inicial
abaixo:
(a) (1, 0 pts) y′ + 2xy = 2xex
2
.
(b) (1, 0 pts) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2.
(c) (1, 0 pts) y
′
=
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
17- (2-98,sc) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais e problemas de valor inicial conforme
seja o caso:
(a) (1, 0 pts) y′ = y2 secx tanx.
(b) (1, 0 pts) y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) (1, 0 pts) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
(d) (1, 0 pts) y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
18- (1-02,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais, e problemas de valor inicial:
a) xy′ = y(1 + ln(y)− ln(x)).
b)
y′√
y2 + x2y2
= xy2, y(0) = 1.
c) y′ − 2y = 3ex.
d) (ex+y+y)dx−(1−xex+y)dy = 0.(Sugesta˜o: Encontre um fator integrante que depende
apenas de x).
e) y′ = ex
2+y−1 − 2x, y(0) = 1. (Sugesta˜o: Primeiro fac¸a a substituic¸a˜o v = x2 + y − 1.)
f) y′′ − 3y′ = −3. (Sugesta˜o: Fac¸a a substituic¸a˜o v = y′.)
19- (1-02,pe) Determine os poss´ıveis valores de λ de modo que eλx seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial y′′+2y′−3y = 0. Verifique que as soluc¸o˜es obtidas sa˜o linearmente independentes,
e escreva a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
20- (1-02,pe) Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial y′ = yex + e−y − 1.
a) (0,5 pts) Esta equac¸a˜o satisfaz as hipo´teses do Teorema da Existeˆncia e Unicidade de
Soluc¸o˜es? Justifique sua resposta.
b) (0,5 pts) Afirmamos que a equac¸a˜o dada tem uma soluc¸a˜o constante. Determine-a.
c) (1,0 pts) Se φ(x) e´ uma soluc¸a˜o na˜o nula desta equac¸a˜o, quantas ra´ızes a equac¸a˜o
φ(x) = 0 pode ter? Justifique sua resposta.
21- (1-03,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais, e problemas de valor inicial, conforme
seja o caso:
a) (xy2 − x)dx+ (2x2y + 8y)dy = 0, y(1) = 0.
b) (x3 − y3)dx+ xy2dy = 0.
c) (1 + x2)y′ = 1 + xy, y(2) = 0.
d) y2dx+ (2xy − y2ey)dy = 0.
e) y′ = y − y3.
f) 2y′ =
e−(2x+y)
2
2x+ y
− 4. (Sugesta˜o: Fac¸a a mudanc¸a v = 2x+ y.)
3
22- (1-03,pe) Mostre que se a e λ sa˜o constantes positivas e b ∈ R e´ arbitra´rio, enta˜o toda
soluc¸a˜o y da equac¸a˜o
y′ + ay = be−λt
tem a propriedade: lim
t→0
(y(t)) = 0. (Sugesta˜o: Considere os casos a = λ e a 6= λ separada-
mente.)
23- (1-03,pe) Sejam a, b, c e d constantes reais tais que ad − bc 6= 0. Mostre que a equac¸a˜o
y′ =
ax+ by
cx+ dy
e´ exata se, e somente se b+ c = 0. Ache a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o quando a
mesma for exata.
24- (2-03,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais, e problemas de valor inicial, conforme
seja o caso:
a) x2y′ + y(1− y) = 0, y(1) = 5.
b) xy′ − (x+ 1)y + ex(x2 + 1) = 0, x > 0.
c) (ln(x2 + y2 + 1) +
2x2
x2 + y2 + 1
)dx+
2xy
x2 + y2 + 1
dy = 0.
d) 3y′ + y = (1− 2x)y4.
e) xyy′ − 3x2 − y2 = 0, y(1) = √2.
25- (2-03,pe) Considere o problema de valor inicial
y′ =
−x+ (x2 + 4y)1/2
2
, y(2) = −1.
a) Verifique que y1(x) = 1− x e y2(x) = −x2/4 sa˜o soluc¸o˜es deste problema.
b) Explique porque a existeˆncia de duas soluc¸o˜es para este problema na˜o contradiz 0
teorema da existeˆncia e unicidade.
26- (2-03,pe) Considere o problema de valor inicial y′ = 2xy + 1, y(x0) = y0.
a) Mostre que a soluc¸a˜o deste problema e´ dada por
y(x) = ex
2−x20y0 +
∫ x
x0
ex
2−t2dt.
b) Seja y(t) a soluc¸a˜o com y(0) = 0. Determine o comportamento de e−x
2
y(x) no infinito,
isto e´, calcule lim
x→∞
y(x)
ex2
.
(Sugesta˜o: Lembre-se que
∫ ∞
0
e−t
2
dt =
√
pi
2
.)
27- (2-04,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais, e problemas de valor inicial, conforme
seja o caso:
a) (1 + x2)y′ = 1 + xy, y(0) = 2.
b) xy′ − y = x sec( y
x
).
c) dy = y
x2−xdx.
d) (y − x3)dx+ (y3 + x)dy = 0.
28- (1-09,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais, e problemas de valor inicial, conforme
seja o caso:
a) (1 + x2)y′ = x+ xy, y(0) = 3
2
.
4
b) xy′ − y = x cot( y
x
).
c) dy = y
x2+x
dx.
d) (x3 + y)dx+ (x− y3)dy = 0.
29- (1-09,pe) Considere a famı´lia de curvas
xy = c.
a) Encontre a equac¸a˜o diferencial de primeira ordem cuja soluc¸a˜o geral e´ dada pela famı´lia
acima.
b) Determine a famı´lia de curvas ortogonal a` famı´lia dada.
30- (1-09,pe) Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem, y′ =
2 cos x
(y2 + cos2x)4 + 1
.
a) Verifique que y = sen x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada. (1,0 pon-
tos)b) Determine os pontos (x, y) onde vale o teorema da existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es
de problema de valor inicial para esta equac¸a˜o.
c) Existe alguma soluc¸a˜o y = y(x) da equac¸a˜o tal que y(0) = 0 e y(pi/2) = 0? Justifique
sua resposta.
31- (1-10,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a) (5x−
y)dx+ 3xdy = 0. (2,0 pt.)
(b)
(
2xy2
(1− 2x2)2 − 1
)
dx+
(
y
1− 2x2 − e
y
)
dy = 0. (2,0 pt.)
32- (1-10,pe) Dada a equac¸a˜o diferencial ydx+ (2x− yey)dy = 0, ache um fator integrante para
a mesma, e verifique, apo´s multiplicac¸a˜o pelo fator encontrado, que a equac¸a˜o resultante e´
de fato exata. (Na˜o e´ necessa´rio resolver a equac¸a˜o!!!)
33- (1-10,pe) Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia y = Cx3.
34- (1-10,pe) Dado o problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = a, a ∈ R,
(a) Encontre a soluc¸a˜o y(x) deste problema;
(b) Determine o valor de a para que lim
x→∞
y(x) = 0.
35- (2-11,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0.
(b)
dy
dx
= e3x+2y.
36- (2-11,pe) Dada a equac¸a˜o diferencial 6xydx+(4y+9x2)dy = 0, determine um fator integrante
µ para a mesma e resolva a equac¸a˜o. Determine alguma soluc¸a˜o que satisfaz y(0) = 0.
37- (2-11,pe) Resolva o problema de valor inicial y′′ − 4y′ + 13y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2.
38- (1-12,pe) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem:
1. y′ − (tanx)y = x.
2. x2y′ − xy = y2 ex/y.
3. y′ +
1
x
y = xy2.
5
39- (1-12,pe) Considere a equac¸a˜o diferencial (2x cos y + 4x3) dx− x2sen y dy = 0.
1. (1,5 pontos) Obtenha um fator integrante para a equac¸a˜o.
2. (0,5 pontos) Verifique que o fator integrante encontrado no item (a) de fato transforma
a equac¸a˜o dada em uma edo exata.
3. (1,0 ponto) Resolva o PVI
{
(2x cos y + 4x3) dx− x2sen y dy = 0
y(1) = 0
.
40- (1-12,pe) Considere a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y′′ + 2ry′ + s2y = 0.
1. Escreva as poss´ıveis soluc¸o˜es para a equac¸a˜o dada.
2. Determine que relac¸a˜o deve existir entre r e s para que todas as soluc¸o˜es y = y(x) da
equac¸a˜o satisfac¸am
lim
x→∞
y(x) = 0.
3. (2,0 pontos) Determine a famı´lia ortogonal da famı´lia de curvas y2 = Ce−2x.
6
Calculo Diferencial e Integral IV/Lista 2 Brito.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
A´REA 2
1o Semestre de 2014
Prof. Francisco Brito(Turmas – Q2 e Q6 )
Departamento de Matema´tica, sala A248
Telefone: 2126 -7663
Enderec¸o eletroˆnico: brito@dmat.ufpe.br
LISTA DE EXERC´ICIOS CORRESPONDENDO A` SEGUNDA UNIDADE
Os problemas que seguem foram propostos em exerc´ıcios escolares em per´ıodos anteriores. Para
localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles tera´ uma sigla do tipo (n-
pq,uv), onde n e´ 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, e´ o ano e uv pode assumir os valores, pe (primeiro
exerc´ıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como a`s vezes acontece de um professor fazer
modificac¸o˜es em uma questa˜o de um exerc´ıcio escolar no momento de aplica´-lo, e eu na˜o tive acesso a
nenhuma dessas mudanc¸as, pode ser que alguns desses problemas na˜o correspondam exatamente ao que
foi proposto nas avaliac¸o˜es.
1- (1995-1)Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais na˜o homogeˆneas usando o me´todo dos coeficientes
a determinar ou o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros:
a) (1,5 pts) y
′′
+ 2y
′
= 3 + 4sen(2x).
b) (1,5 pts) y
′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2).
2- (1995-1)Determine L {f(t)} das func¸o˜es abaixo:
a) (1,0 pt) f(t) = te2tsen(4t), t > 0.
b) (1,0 pt) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t)
c) (1,0 pt)
f(t) =
{
0 , se 0 ≤ t < 1,
t2 − 2t+ 2 , se t ≥ 1.
d) (1,0 pt) f e´ perio´dica de per´ıodo 2, e,
f(t) =
{
1 , se 0 ≤ t < 1,
−1 , se 1 ≤ t < 2.
3- (1995-1) Use transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) (1,5 pts) y
′′
+ y = t− u1(t), y(0) = y′(0) = 0.
b) (1,5 pts) y
′′ − y = δ(t− 1), y(0) = y′(0) = 0.
4- (1995-2)(2,5 pt): Usando o me´todo dos coeficientes indeterminados, ache a soluc¸a˜o geral da EDO
y′′ + 4y = 3sen2x.
6- (1995-2)
a) (1,5 pt) Resolva o PVI y′′ + y = δpi(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.
b) (1,0 pt) Use que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi/2, para calcular L {t−1/2}.
1
7- (1995-2)
a) (0,5 pt) Encontre um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a EDO y′′ − 2y′ + y = 0,
b) (1,5 pt) Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para determinar uma soluc¸a˜o particular da
EDO
y′′ + 2y′ + y = e−xlnx, x > 0 ,
c) (0,5 pt) Encontre a soluc¸a˜o geral da EDO do ı´tem (b).
8- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f uma func¸a˜o que satisfaz a f(t + T ) = f(t) para todo t ≥ 0 e para um certo
nu´mero positivo fixo T ; f e´ perio´dica com per´ıodo T em 0 ≤ t ≤ ∞. Mostre que
L {f}(s) =
∫ T
o
e−stf(t)dt
1− e−sT ,
b) (1,0 pt) Calcule L {f}(s), onde f(t) e´ a func¸a˜o definida em [0,∞) por f(0) = 1 e f(t) = sent
t
para t > 0.
9- (1984-1) Determine uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o y′′ + 2y′ + y = 3ex.
10- (1994-1) Encontre uma soluc¸a˜o particular do problema y′′ + y = g(x), para cada uma das escolhas
abaixo para g(x) :
a) g(x) = sen(x).
b) g(x) = sec3(x), |x| < pi/2.
11- (1994-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y′′ + 2y′ + 2y = u2(t); y(0) = 0, y′(0) = 1
.
12- (1984-1) Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o y′′ + y = cscx, 0 < x < pi.
13- (1984-1 Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o y′′ + 2y′ + y = ex lnx.
14- (1984-1 Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0.
15- ( 1991-2) Utilize o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3, x > 0.
16- ( 1982-1) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ac¸a˜o de uma forc¸a
externa obtemos a equac¸a˜o
y′′ + cy′ + y = sen t.
a) Determine a func¸a˜o y = y(t), que fornece a posic¸a˜o do corpo para t ≥ 0, em regime estaciona´rio.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude
de y(t) na˜o exceda 4 unidades de comprimento.
17- ( 1994-2) Mostre que 1 +x e ex formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da EDO homogeˆnea
correspondente a xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0, e, encontre a soluc¸a˜o geral da EDO dada.
18- ( 1994-2) Mostre que a substituic¸a˜o x = et transforma a equac¸a˜o x2
d2y
dx2
+ ax
dy
dx
+ by = 0, a e b
constantes e x > 0, em uma equac¸a˜o com coeficientes constantes. Utilize este processo para resolver
a equac¸a˜o x2
d2y
dx2
+ 2x
dy
dx
− 6y = (lnx)2, x > 0.
21- ( 1994-2) Considere as EDO’s : y′′+ 2x−1y′+ y = 2x2 + 12 e y′′+ x−1y′− 4x−2y = 3x−1. Obtenha
as soluc¸o˜es das EDO’s, a partir das func¸o˜es : x−1 senx, x2, x, x−1 cosx.
2
22- (1998-2) Calcule L {f(t)}, ou L −1{F (s)}, conforme seja o caso:
(a) (1, 0 pts) f(t) = t− (t− 1)u1(t).
(b) (1, 0 pts) F (s) =
2s− 3
s2 − 1
(c) (1, 0 pts) f(t) =
{
1, 0 ≤ t < 1,
0, t ≥ 1.
(d) (1, 0 pts) F (s) =
2
s2 − 4s+ 5.
23- (1998-2)
(a) (1, 0 pts) Calcule L (f), se f(t) = t2 − e3t.
(b) (1, 0 pts) Calcule L (f), se g(t) = sen2t+ u2(t)cos3(t− 2).
(c) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2 .
(d) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
1− 2s
s2 + 4s+ 5
.
24- (1998-2) Use o me´todo dos coeficientes a determinar para indicar uma soluc¸a˜o particular para cada
uma das equac¸o˜es na˜o homogeˆneas abaixo.
(Na˜o e´ necessa´rio calcular as constantes!!!)
a) y′′ + 2y′ + 5y = x3 senx.
b) y′′ + 2y′ + 5y = xe−x cos(2x).
c) y′′ + 2y′ + 5y = e−2x.
25- (1998-2) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 2y′ + y = e
x
1 + x2
.
26- (1998-2) Calcule
a) L {t− 3e−t}(s).
b) L {te3t sen(t)}(s).
c) L −1{ 2e
−2s
s2 − 4}(t).
d) L −1{ 2s−
3
s2 + 2s+ 10
}(t).
27- (1998-2) Resolva o problema de valor inicial
y′′ + 4y = 2δ(t− pi/4), y(0) = 0, y′(0) = 0
.
28- (2013-1) Considere a equac¸a˜o diferencial na˜o homogeˆnea
y′′ − 4y′ + 5y = x3 + xe2x senx+ cos 2x.
a) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea associada.
(b) Use o me´todo dos coeficientes a determinar para indicar qual deve ser a forma de uma
soluc¸a˜o particular desta equac¸a˜o, sem contudo calcular os coeficientes.
29- ( 1-95,pe) Sabendo que y1(x) = x
2 e´ soluc¸a˜o de x2y
′′
+ xy
′ − 4y = 0, determine:
3
a) Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada da forma y2(x) = v(x)y1(x), de modo que {y1, y2} seja um
sistema fundamental de soluc¸o˜es.
b) Todas as soluc¸o˜es y da equac¸a˜o que satisfazem y(1) = 0.
30- ( 1-95,pe) Sabendo que y1 = x
4 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0,
(a) Calcule uma outra soluc¸a˜o y2 desta equac¸a˜o, de modo que {y1, y2} seja um sistema fundamental
de soluc¸o˜es.
(b) Encontre uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea x2y′′ − 7xy′ + 16y = x2.
31- ( 2-11,se) Dado que y1 = cos(ln t) e y2 = sen(ln t) sa˜o soluc¸o˜es de t
2y′′ + ty′ + y = 0 no intervalo
(0,∞), resolva a equac¸a˜o t2y′′ + ty′ + y = sec(ln t), t ∈ (0,∞).
32- ( 2-91,pe) Ache a soluc¸a˜o geral de y′′ + 2xy
′ + y = 0, x > 0. Sugesta˜o: Fac¸a y(x) = v(x)/x e
substitua na equac¸a˜o.
33- ( 2-11,se) Use a definic¸a˜o de transformada de Laplace para calcular L {f(t)}(s), se
f(t) =
{
t, 0 ≤ t < 1
1, t ≥ 1 .
34- ( 2-11,se) Calcule L −1
{
ln
(
s− 3
s+ 1
)}
, isto e´, determine a func¸a˜o f(t) tal que
L {f(t)}(s) = ln
(
s− 3
s+ 1
)
.
35- ( 2-11,se) Use transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y′′ − 2y′ = 1 + δ(t− 2), y(0) = 0, y′(0) = 1.
36- ( 1-10,pe) Resolva a equac¸a˜o diferencial
y′′ + 2y′ + 2y =
e−t
sen t
.
37- (2-98,pe) Resolva a equac¸a˜o diferencial (1− x2)y′′ − xy′ + y = 0, |x| < 1.
Sugesta˜o: Fac¸a a mudanc¸a de varia´vel x = cos t.
38- (1-10,se) Verifique que y = et e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ty′′ − (1 + t)y′ + y = 0, e resolva o
problema de valor inicial,
ty′′ − (1 + t)y′ + y = 0, y(−1) = 1 , y′(−1) = 0.
39- (1-10,se) Calcule L {f(t)}, se
f(t) =
{
4− t, 0 ≤ t < 1
3t, t ≥ 1 .
40- (1-10,se) Resolva o problema de valor inicial,
y′′ + 2y′ + y = δ(t− 1),
y(0) = y′(0) = 1.
Observac¸o˜es finais: Esta lista apenas complementa os exerc´ıcios propostos no livro texto, e, de
modo algum tem o objetivo de substituir os problemas do livro do Boyce & diPrima nem tampouco
sugerir o estilo dos problemas que compora˜o os nossos exerc´ıcios escolares.
4
Calculo Diferencial e Integral IV/Lista 3 Brito.pdf
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LISTA DE EXERC´ICIOS CORRESPONDENDO A` TERCEIRA UNIDADE
Os problemas que seguem foram propostos em exerc´ıcios escolares em per´ıodos anteriores. Para
localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles tera´ uma sigla do tipo (n-
pq,uv), onde n e´ 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, e´ o ano e uv pode assumir os valores, pe (primeiro
exerc´ıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como a`s vezes acontece de um professor fazer
modificac¸o˜es em uma questa˜o de um exerc´ıcio escolar no momento de aplica´-lo, e eu na˜o tive acesso a
nenhuma dessas mudanc¸as, pode ser que alguns desses problemas na˜o correspondam exatamente ao que
foi proposto nas avaliac¸o˜es.
1- (1991-2) Considere o problema
ut = α
2uxx , 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = 0
ux(l, t) + γu(l, t) = 0
onde α, γ e l sa˜o constantes. Se u(x, t) = X(x)T (t) e´ soluc¸a˜o desse problema, encontre as equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias e condic¸o˜es de contorno que as func¸o˜es X e T satisfazem.
2- (1991-2) Usando o fato de que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial parcial utt = a
2uxx e´ da forma
u(x, t) = φ(x+ at) + φ(x− at), resolva o problema de valor inicial
utt = a
2uxx
u(x, 0) = e−x2 ,−∞ < x < +∞
ut(x, 0) = 0
3- (1989-2) Dada a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, f(x) = cosαx, x ∈ [−pi, pi], α ∈ (0, 1) constante,
use a se´rie de Fourier da mesma para mostrar que
cot(αpi) =
1
pi
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
.
4- (1989-2) Determine a soluc¸a˜o do problema
uxx = ut
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ 1/2
1− x, 1/2 ≤ x ≤ 1
1
5- (1989-2) Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para calcular u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, se
utt = uxx
u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, ut(x, 0) = 0
u(x, 0) = sen(pix2l )
6- (1995-2) Resolva o problema de contorno
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 1, 0 < x < 1
u(0, t) = 1, u(1, t) = 2, t > 0
7- (1995-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
uxx = utt, 0 < x < pi, t > 0,
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t ≥ 0,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi,
u(x, 0) = |x− pi2 | − pi2 , 0 ≤ x ≤ pi.
8- (1991-1) Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2 que no intervalo [0, 1] e´ definida por
f(x) =
{ −x, se − 1 ≤ x ≤ 0
x, se 0 ≤ x ≤ 1.
a) Calcule a se´rie de Fourier de f .
b) Calcule os valores da se´rie acima nos pontos x = 0, e x = 2.
c) Use o item (b) para mostrar que
pi2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+ · · ·
9- (1995-1) Considere uma barra de comprimento ` com uma distribuic¸a˜o inicial de temperaturas
dada por f(x) = − cos
(
pi(2x+`)
2`
)
, 0 ≤ x ≤ `, e com as extremidades te´rmicamente isoladas.
a) Determine a distribuic¸a˜o de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
10- (1995-1) Use separac¸a˜o de varia´veis para resolver o seguinte problema de calor para t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ pi:
ut = 7uxx
ux(0, t)− 2u(0, t) = 0
ux(pi, t)− u(pi, t) = 0
u(x, 0) = sen(x),
encontrando as EDO’s associadas bem como suas condic¸o˜es de fronteira.
11- (1995-1) Considere o problema de valor inicial e de contorno
utt = 4uxx
u(0, t) = 0 = u(2, t) = 0
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 1, 0 < x < 2.
a) Mostre que un(x, t) = sen
npix
2 sen(npit), n = 1, 2, . . . , e´ soluc¸a˜o da EDP e satisfaz a todas as
condic¸o˜es do problema com excec¸a˜o da u´ltima.
b) Use un(x, t), n ≥ 1 para encontrar uma soluc¸a˜o para o problema dado.
12- (1995-1) Dados a func¸a˜o f(x) = 1− x, 0 ≤ x ≤ 1, ı´mpar, e perio´dica de per´ıodo 2, e que a sua se´rie
de Fourier e´
∞∑
n=1
2
npi
sen(npix),
determine:
2
a) Os pontos x onde a se´rie acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de
∞∑
n=1
1
n2
a partir da se´rie dada.
13- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f : R→ R a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que f(x) = |x| para −1 ≤ x ≤ 1. Determine
a se´rie de Fourier de f .
b) (1,0 pt) Seja g : R→ R a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que g(x) = −1 para −1 < x ≤ 0, e g(x) = 1
para 0 < x ≤ 1. Determine a se´rie de Fourier de g. Esta se´rie converge para g(x), para todo
x ∈ R ?
Sugesta˜o para o item(b): que relac¸a˜o existe entre f e g ?
14- ( 1995-2)
a) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = ux(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, 0 < x < 1
b) Calcule lim
x→∞u(x, t), onde u(x, t) e´ a soluc¸a˜o do item (a).
15- ( 1995-2) (a) Verifique que u(x, t) = 12 [f(x− at) + f(x+ at)] + 12a
∫ x+at
x−at
g(s)ds e´ soluc¸a˜o de:
a2uxx = utt, −∞ < x, t < +∞
u(x, 0) = f(x), −∞ < x < +∞
ut(x, 0) =
g(x), −∞ < x < +∞
b) Resolva o problema:
uxx = utt, 0 < x < 1, 0 < t
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) = sen(2pix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
16- ( 1995-2) Seja u(x, t) a soluc¸a˜o de:
uxx = utt, 0 < x < 1, −∞ < t < +∞
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) =
∞∑
1
knsen(npix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
a) Mostre que E(t) =
∫ 1
0
(u2t (x, t) + u
2
x(x, t))dx e´ constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) ≡ pi22
∞∑
1
n2k2n
17- (1995-2) Considere uma barra meta´lica de comprimento 1 que esta´ te´rmicamente isolada tanto
nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, α2 = 1, e, que a
distribuic¸a˜o inicial de temperaturas na barra e´ dada por u(x, 0) = x, 0 < x < 1, determine:
a) A distribuic¸a˜o de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
18- (1998-2) Considere a func¸a˜o perio´dica f , de per´ıodo 2pi definida por
f(x) = |x|, −pi ≤ x ≤ pi.
3
(a) (1, 0 pts) Verifique(com detalhes) que a expansa˜o em se´rie de Fourier de f e´
pi
2
− 4
pi
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 cos(2k − 1)x.
(b) (1, 0 pts) Use o item (a) para mostrar que
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 =
pi2
8
.
(c) (1, 0 pts) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da se´rie
∞∑
k=1
1
(2k − 1)4 .
19- (1998-2) Seja f a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi definida por:
f(x) =
{
0, −pi ≤ x < 0,
senx, 0 ≤ x < pi.
(a) (1, 0 pts) Calcule a expansa˜o em se´rie de Fourier de f .
(b) (1, 0 pts) Se a expansa˜o se escreve como
a0
2
+
∞∑
n=1
ancosnx+ bnsennx, calcule o valor de
∞∑
n=1
an.
(c) (1, 0 pts) Como em (b), calcule
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n).
20- (2012-2,f)Considere a func¸a˜o f : [0, 4] −→ R, definida por,
f(x) =
{
x, 0 < x < 2
4− x, 2 < x < 4.
(a) Encontre a expansa˜o em se´rie de Fourier de senos da func¸a˜o f . (2,0 pt)
(b) Resolva o problema : (1,0 pt)
uxx = utt, 0 < x < 4, t > 0
u(0, t) = 0, u(4, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 4
ut(x, 0) = 0, x > 0
21- (2012-2,sc) Considere a func¸a˜o f(x) = x2, 0 ≤ x < pi.
(a) Encontre a expansa˜o em se´rie de Fourier de senos da func¸a˜o f . (2,0 pt)
(b) Identifique os pontos em que a extensa˜o perio´dica ı´mpar de f coincide com o valor da se´rie
obtida em (a). (1,0 pt)
(b) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor: (2,0 pt)
4uxx = ut, 0 ≤ x ≤ pi,
u(0, t) = 0, u(pi, t) = 100, t > 0,
u(x, 0) = x2 + 100xpi , 0 ≤ x ≤ pi.
22- (2010-1,3) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, que no intervalo [−pi, pi] e´ dada
por f(x) = x2/4.
(a) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o f ; (2,0 pt.)
(b) Esboce o gra´fico da se´rie de Fourier da func¸a˜o f , no intervalo [−pi, 3pi]; (1,0 pt.)
(c) Use (a), e o teorema de Fourier para calcular
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
. (1,0 pt.)
23- (2010-1,3) Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para resolver o problema: (3,0 pts)
tuxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = sen(3pix), 0 ≤ x ≤ 1.
4
24- (2010-1,3) Encontre as soluc¸o˜es fundamentais(auto-func¸o˜es) para o seguinte problema: (3,0 pts)
uxx = utt, 0 ≤ x ≤ pi/2, t > 0
ux(0, t) = u(
pi
2 , t) = 0, t > 0
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi/2.
25- (2010-1,f) Dada a func¸a˜o f : (0, pi) −→ R, definida por, f(x) = 10,
(a) Encontre a se´rie de Fourier da expansa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2pi de f . (2,0 pt.)
(b) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor:
100uxx = ut, 0 < x < pi, t > 0
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = 10, 0 < x < pi.
(2,0 pt.)
26- (2009-1,3) Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 4, que no intervalo (−2, 2] e´ dada por
f(x) =
x+ 1 , se −2 < x ≤ −1,
1− x2 , se −1 ≤ x ≤ 1,
x− 1 , se 1 < x ≤ 2.
a) Esboce o gra´fico de f no intervalo [−3, 5).
(1,0 pt)
b) Se S(x) denota o valor da se´rie de Fourier de f em x, esboce o gra´fico de S no intervalo [−3, 5).
(1,0 pt)
c) Calcule o coeficiente a0 da expansa˜o em se´rie de Fourier da func¸a˜o f .
(1,0 pt)
d) Usando a notac¸a˜o habitual para os coeficientes de Fourier de uma func¸a˜o, calcule a soma da
se´rie
∞∑
n=1
an.
(1,0 pt)
Observe que na˜o e´ necessa´rio calcular os an para poder calcular a soma acima.
27- (2009-1,3) Seja v(x, t) soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
a vxx − b vt + c v = 0 , (1)
com a, b, c, constantes positivas. Considere a nova func¸a˜o u(x, t) tal que
v(x, t) = eδ t u(x, t) ,
onde δ e´ uma constante na˜o-nula.
a) Encontre a equac¸a˜o diferencial satisfeita por u. (1,0 pt)
b) Mostre que e´ poss´ıvel escolher δ tal que a equac¸a˜o para u e´ a equac¸a˜o do calor. Dessa forma,
resolver a equac¸a˜o (1) reduz-se a resolver a equac¸a˜o do calor. (1,0 pt)
c) Use o me´todo descrito acima para resolver o problema
vxx − vt + v = 0, 0 < x < 1, t > 0
v(0, t) = 0,
v(1, t) = 0,
v(x, 0) = 1.
(1,0 pt)
28- (2009-1,3) Encontre func¸o˜es φ e ψ tais que
u(x, t) = φ(x+ t) + ψ(x− t)
seja soluc¸a˜o do problema
utt = uxx, −∞ < x <∞,
u(x, 0) = x,
ut(x, 0) = 1.
Escreva explicitamente a soluc¸a˜o encontrada. (3,0 pt)
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Calculo Diferencial e Integral IV/Lista de Exerc�cios 1 - Segunda Unidade.pdf
Lista de Exercícios 1 – 2ª Unidade
Cálculo Diferencial e Integral 4 – Professor João Gondim
01. Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
02. Considere a EDO , onde é uma constante. Escreva a solução geral
e obtenha os valores de para os quais todas as soluções satisfaçam
.
03. Dado o PVI , , , com , encontre a solução geral
desse problema. Determine o valor de para que
.
04. Considere a EDO . Determine os valores de para que a
solução geral :
(a) seja limitada, isto é, exista tal que .
(b)
.
(c) seja não limitada.
05. Encontre a solução geral da EDO , , sabendo que
é
solução.
06. Verifique que é solução da EDO e resolva o PVI dado pela
equação com as condições iniciais , .
07. (Equações de Cauchy-Euler) Uma equação diferencial da forma ,
, com e é chamada de equação de Cauchy-Euler homogênea. Mostre
que é solução da equação de Cauchy-Euler se, e somente se, for raiz da equação
, chamada de equação característica. Mostre também que se a
equação característica tiver duas raízes reais distintas e , então
é um conjunto
fundamental de soluções.
08. Suponha que a equação característica de uma equação de Cauchy-Euler tem apenas uma
raiz . Use o método de redução de ordem para mostrar que é solução da EDO, e
que é um conjunto fundamental de soluções.
09. Suponha que a equação característica de uma equação de Cauchy-Euler tem duas raízes
complexas conjugadas . Use a identidade , a fórmula de Euler
para mostrar que
e
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