formulario eletromagnetismo

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Formulário de Eletromagnetismo I
v. 0.1.0
março de 2011
i
Sumário
Apresentação 1
1 Eletrostática 2
1.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Densidade de Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Pontencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.8 Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.10 Resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.11 Lei de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.12 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.13 Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.14 Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.15 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.16 Energia Potencial Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Magnetostática 5
2.1 Analogia entre campo eletrostático e magnetostático . . . . . . 5
2.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Campo Magnético Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Lei Circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Densidade de Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Lei de Gauss para Campos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . 7
2.9 Equações de Maxwell para Campos Estáticos . . . . . . . . . . 7
2.10 Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.11 Momento de Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.12 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.13 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.14 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.15 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.16 Energia Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.17 Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ii
3 Campos Dinâmicos 9
3.1 Equação da Continuidade da Corrente . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Variação da Densidade de Carga com o Tempo . . . . . . . . . 9
3.3 Tempo de Relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Deslocamento) . . . . . 10
3.6 Equações de Maxwell (gerais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.7 Representações de Campo Harmônico . . . . . . . . . . . . . . 11
3.8 Equações de Maxwell na Forma Fasorial (diferencial) . . . . . 11
3.9 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.10 Equações Fundamentais do Eletromagnetismo . . . . . . . . . 12
4 Ondas Planas 12
4.1 Equações de Onda de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Relação entre Ondas Propagantes (em fasores) . . . . . . . . . 13
4.3 Constantes e Impedância Intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σ
ω�
� 1) . . . . . . . . . 13
4.3.3 Bons condutores ( σ
ω�
� 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Velocidade de Propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Comprimento de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6 Permissividade Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.7 Condutividade Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.8 Tangente de Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.9 Efeito Pelicular (em bons condutores) . . . . . . . . . . . . . . 14
4.10 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.11 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.12 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.13 Incidência de Um Meio para Outro . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.13.1 Características da Incidência Normal . . . . . . . . . . 15
4.13.2 Características da Incidência Oblíqua . . . . . . . . . . 16
5 Linhas de Transmissão 16
5.1 Parâmetros Distribuídos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão . . . . . . . . . . . 17
5.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo . . . . . . . . . . . 17
5.4 Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase . . . . . . . . 18
5.5 Impedância Característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.7 Coeficiente de Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
5.9 Impedância de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A Definições Gerais 20
B Constantes 22
C Conversões 23
D Propriedades de Alguns Materiais 23
E Elementos Diferenciais 24
F Transformação entre Sistemas de Coordenadas 27
G Derivadas Mais Comuns 28
H Integrais Indefinidas Mais Comuns 31
I Produção 33
J Licença 33
K Onde Adquirir Este Material 35
Referências 35
1
Apresentação
Formulário de Eletromagnetismo I com notações conforme Wentworth [2007].
Se encontrar algum erro ou tiver alguma sugestão, acesse:
http://code.google.com/p/lalfrecom/issues/list
e clique em New issue (é necessário ter conta no Google).
2
1 Eletrostática
1.1 Lei de Coulomb
~F12 =
Q1Q2
4pi�R212
~a12 (1)
1.2 Campo Elétrico
• Caso geral:
~E1 =
~F12
Q2
(2)
~E =
Q
4pi�R2
~aR (3)
• de distribuição contínua de cargas:
~E =
ˆ
dQ
4pi�R2
~aR (4)
• de uma carga pontual na origem:
~E =
Q
4pi�r2
~ar (5)
• de uma linha infinita em z carregada com ρL:
~E =
ρL
2pi�ρ
~aρ (6)
• de uma lâmina infinita carregada com ρS:
~E =
ρS
2�
~aN (7)
1.3 Densidade de Fluxo Elétrico
~D = � ~E (8)
3
1.4 Fluxo Elétrico
• Que atravessa uma superfície:
Ψ =
ˆ
~D · d~S (9)
• que atravessa uma superfície fechada:
Ψ =
˛
~D · d~S (10)
1.5 Teorema da Divergência˛
~D · d~S =
ˆ
∇ · ~Ddv (11)
1.6 Lei de Gauss
• Forma integral:
˛
~D · d~S = Qenv = Ψresultante (12)˛
~D · d~S =
ˆ
ρvdv (13)
• forma diferencial:
∇ · ~D = ρv (14)
1.7 Pontencial Elétrico
• Diferença de potencial elétrico:
Vba = −
ˆ b
a
~E · d~L = Vb − Va (15)
• potencial com referência no infinito:
V =
ˆ
dQ
4pi�r
(16)
• campo elétrico a partir de função potencial:
~E = −∇V (17)
4
1.8 Densidade de Corrente
~J = σ ~E (18)
1.9 Corrente
I =
ˆ
~J · d~S (19)
1.10 Resistência
R =
− ´ ~E · d~L´
σ ~E · d~S (20)
1.11 Lei de Joule
P =
ˆ
~E · ~Jdv (21)
1.12 Condições de Fronteira
• Entre par de dielétricos:
~ET1 = ~ET2 (22)
~a21 · ( ~D1 − ~D2) = ρs (23)
• entre par de dielétricos, se ρs = 0:
~ET1 = ~ET2 (24)
~DN1 = ~DN2 (25)
• entre condutor e dielétrico:
~ET = 0 (26)
~DN = ρs (27)
1.13 Equação de Poisson
∇2V = −ρv
�
(28)
5
Tabela 1: Analogia entre campo eletrostático e magnetostático.
Campos elétricos Campos magnéticos
~E (V/m) ~H (A/m)
~D (C/m2) ~B (Wb/m2)
Ψ (C) Φ (Wb)
� (F/m) µ (H/m)
~D = � ~E ~B = µ ~H
∇ · ~D = ρv ∇ · ~B = 0
∇× ~E = 0 ∇× ~H = ~J
Ψ =
´
~D · d~S Φ = ´ ~B · d~S
~F = Q~E (N) ~F = Q~u× ~B (N)
WE =
1
2
´
~D · ~Edv (J) WM = 12
´
~B · ~Hdv (J)
1.14Equação de Laplace
∇2V = 0 (29)
1.15 Capacitância
• Definição geral:
C =
dQ
dV
(30)
• para capacitor de placas paralelas, desprezando-se efeitos de borda:
C =
�S
d
(31)
1.16 Energia Potencial Eletrostática
WE =
1
2
ˆ
~D · ~Edv = 1
2
ˆ
�E2dv =
1
2
CV 2 (32)
2 Magnetostática
2.1 Analogia entre campo eletrostático e magnetostá-
tico
Vide Tabela 1.
6
2.2 Lei de Biot-Savart
d ~H2 =
Id~L1 ×~a12
4piR212
(33)
2.3 Campo Magnético Resultante
• Em termos de elementos diferenciais:
~H =
ˆ
Id~L×~aR
4piR2
(34)
• em termos de densidade de corrente superficial:
~H =
ˆ ~KdS ×~aR
4piR2
(35)
• em termos de densidade de corrente volumétrica:
~H =
ˆ ~Jdv ×~aR
4piR2
(36)
• devido a linha infinita de corrente:
~H =
I~aφ
2piρ
(37)
• devido a um solenóide:
~H =
NI
h
~az (38)
• devido a uma lâmina infinita de corrente:
~H =
1
2
~K ×~aN (39)
2.4 Lei Circuital de Ampère
• Forma integral:
˛
~H · d~L = Ienv (40)
• forma diferencial:
∇× ~H = ~J (41)
7
2.5 Teorema de Stokes˛
~H · d~L =
ˆ
(∇× ~H) · d~S (42)
2.6 Densidade de Fluxo Magnético
~B = µ ~H (43)
2.7 Fluxo Magnético
• Que atravessa uma superfície:
Φ =
ˆ
~B · d~S (44)
• que atravessa uma superfície fechada:˛
~B · d~S = 0 (45)
2.8 Lei de Gauss para Campos Magnéticos
Vide (45).
2.9 Equações de Maxwell para Campos Estáticos
• Forma integral:
˛
~D · d~S = Qenv˛
~B · d~S = 0
˛
~E · d~L = 0
˛
~H · d~L = Ienv
• forma diferencial:
∇ · ~D = ρv
∇ · ~B = 0
∇× ~E = 0
∇× ~H = ~J
8
2.10 Força
• Força de Lorentz:
~F = q( ~E + ~u× ~B) (46)
• força de campo magnético sobre linha de corrente:
~F12 =
ˆ
I2d~L2 × ~B1 (47)
2.11 Momento de Dipolo
~m = NIS~aN (48)
2.12 Torque
~τ = ~m× ~B (49)
2.13 Condições de Fronteira
~BN1 = ~BN2 (50)
~a21 × ( ~H1 − ~H2) = ~K (51)
2.14 Indutância
• Definição geral:
L =
λ
I
= N
Φtot
I
(52)
• para uma bobina com núcleo:
L =
µN2pia2
h
(53)
• para um cabo coaxial:
L
h
=
µ
2pi
ln
b
a
(54)
2.15 Indutância Mútua
M12 =
λ12
I1
=
N2
I1
ˆ
~B1 · d~S2 (55)
9
2.16 Energia Magnetostática
WM =
1
2
ˆ
~B · ~Hdv = 1
2
LI2
2.17 Circuitos Magnéticos
• Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos: vide Tabela 2
Tabela 2: Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos.
Circuitos elétricos Circuitos magnéticos
Força eletromotriz (V) V Vm Força magnetomotriz (Aesp)
Corrente (A) I Φ Fluxo magnético (Wb)
Resistência (Ω) R < Relutância (Aesp/Wb)
Condutividade (S/m) σ µ Permeabilidade (Hm)
Lei de Ohm V = RI Vm = <Φ Lei de Ohm para circ. mag.
3 Campos Dinâmicos
3.1 Equação da Continuidade da Corrente
∇ · J = −∂ρv
∂t
(56)
3.2 Variação da Densidade de Carga com o Tempo
ρv = ρ0e
−t/τ (57)
3.3 Tempo de Relaxação
τ =
�
σ
(58)
3.4 Lei de Faraday
• Forma geral:
Vfem = −∂λ
∂t
(59)
10
• para circuito de uma única espira:
Vfem =
˛
~E · d~L = −∂Φ
∂t
= − ∂
∂t
ˆ
~B · d~S (60)
• forma diferencial:
∇× ~E = −∂
~B
∂t
(61)
• para circuito com movimento e campo magnético constante:
Vfem =
˛
(~u× ~B) · d~L (62)
3.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Deslocamento)
~Jd =
∂ ~D
∂t
(63)
3.6 Equações de Maxwell (gerais)
• Forma integral:
˛
~D · d~S = Qenv (64)˛
~B · d~S = 0 (65)
˛
~E · d~L = − ∂
∂t
ˆ
~B · d~S (66)
˛
~H · d~L =
ˆ
~J · d~S + ∂
∂t
ˆ
~D · d~S (67)
• forma diferencial:
∇ · ~D = ρv (68)
∇ · ~B = 0 (69)
∇× ~E = −∂
~B
∂t
(70)
∇× ~H = ~Jc + ∂
~D
∂t
(71)
11
3.7 Representações de Campo Harmônico
• No domínio do tempo:
~E(x, y, z, t) = ~E(x, y, z) cos(ωt+ φ) (72)
~H(x, y, z, t) = ~H(x, y, z) cos(ωt+ φ) (73)
• no domínio da freqüência:
~Es = ~E(x, y, z)e
jφ (74)
~Hs = ~H(x, y, z)e
jφ (75)
• conversão do domínio da freqüência para o domínio do tempo:
~E(x, y, z, t) = Re[ ~Ese
jωt] (76)
~H(x, y, z, t) = Re[ ~Hse
jωt] (77)
3.8 Equações de Maxwell na Forma Fasorial (diferen-
cial)
∇ · ~Ds = ρvs (78)
∇ · ~Bs = 0 (79)
∇× ~Es = −jω ~Bs (80)
∇× ~Hs = ~Js + jω ~Ds (81)
3.9 Relações Constitutivas
~D = � ~E
~B = µ ~H
~J = σ ~E
12
3.10 Equações Fundamentais do Eletromagnetismo
São dadas por:
• Equações de Maxwell
– Lei de Gauss ( na página 3)
– Lei de Gauss para Campos Magnéticos ( na página 7)
– Lei de Faraday ( na página 9)
– Lei Circuital de Ampère ( na página 6)
• Equação da Força de Lorentz
• Equação da Continuidade da Corrente
• Relações Constitutivas
4 Ondas Planas
4.1 Equações de Onda de Helmholtz
• No domínio do tempo:
∇2 ~E = µσ∂
~E
∂t
+ µ�
∂2 ~E
∂t2
(82)
∇2 ~H = µσ∂
~H
∂t
+ µ�
∂2 ~H
∂t2
(83)
• no domínio da freqüência (campos harmônicos):
∇2 ~Es − γ2 ~Es = 0 (84)
∇2 ~Hs − γ2 ~Hs = 0 (85)
• solução das equações de onda de Helmholtz, para caso geral:
~E(z, t) = E+0 e
−αz cos(ωt− βz)~ax (86)
+E−0 e
αz cos(ωt+ βz)~ax (87)
~H(z, t) = H+0 e
−αz cos(ωt− βz)~ay (88)
+H−0 e
αz cos(ωt+ βz)~ay (89)
13
4.2 Relação entre Ondas Propagantes (em fasores)
~Hs =
1
η
~aρ × ~Es (90)
~Es = −η~aρ × ~Hs (91)
4.3 Constantes e Impedância Intrínseca
4.3.1 Caso geral
• Constante de propagação:
γ =
√
jωµ(σ + jω�) = α + jβ (92)
• constante de atenuação:
α = ω
√
µ�
2
(√
1 +
( σ
ω�
)
2 − 1
)
(93)
• constante de fase:
β = ω
√√√√µ�
2
(√
1 +
( σ
ω�
)2
+ 1
)
(94)
• impedância intrínseca:
η =
√
jωµ
σ + jω�
(95)
4.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σ
ω�
� 1)
α ≈ σ
2
√
µ
�
(96)
β ≈ ω√µ� (97)
η ≈
√
µ
�
(98)
14
4.3.3 Bons condutores ( σ
ω�
� 1)
α ≈
√
pifµσ (99)
β ≈
√
pifµσ (100)
η ≈
√
ωµ
σ
ej45° ≈
√
2
α
σ
ej45° (101)
4.4 Velocidade de Propagação
up =
ω
β
(102)
4.5 Comprimento de Onda
λ =
up
f
(103)
Nota: não confundir o símbolo λ do comprimento de onda com o do fluxo
concatenado na subseção 2.14, pois referem-se a grandezas distintas.
4.6 Permissividade Complexa
�c = �
′ − j�′′ (104)
4.7 Condutividade Efetiva
σef = σ + ω�
′′ (105)
4.8 Tangente de Perdas
tg δ =
σ + ω�′′
ω�′
=
σef
ω�′
(106)
Nota: não confundir o símbolo δ da tangente de perdas com o da profun-
didade pelicular na subseção 4.9, pois referem-se a grandezas distintas.
4.9 Efeito Pelicular (em bons condutores)
• Profundidade pelicular:
δ =
1
α
(107)
15
• resistência pelicular:
Rpelicular =
1
σδ (1− e−t/δ) (108)
4.10 Teorema de Poynting˛
~E × ~H · d~S = −
ˆ
~J · ~Edv − ∂
∂t
ˆ
1
2
�E2dv − ∂
∂t
ˆ
1
2
µH2dv (109)
4.11 Vetor de Poynting
~P = ~E × ~H (110)
4.12 Potência
• Potência média temporal:
~Pave =
1
2
Re[ ~Es × ~Hs∗] (111)
• quantidade de potência que atravessa uma superfície:
P =
ˆ
~Pave · d~S (112)
4.13 Incidência de Um Meio para Outro
4.13.1 Características da Incidência Normal
• Coeficiente de reflexão:
Γ =
Er0
Ei0
=
η2 − η1
η2 + η1
(113)
• coeficiente de transmissão:
τ =
Et0
Ei0
=
2η2
η2 + η1
(114)
• relação entre os coeficientes de reflexão e transmissão:
τ = 1 + Γ (115)
• taxa de onda estacionária (ROE, COE, TOE, VSWR):
ROE =
Emax
Emin
=
Vmax
Vmin
=
1 + |Γ|
1− |Γ| (116)
16
4.13.2 Características da Incidência Oblíqua
• Coeficiente de reflexão:
ΓTE =
Er0
Ei0
=
η2 cos θi − η1 cos θt
η2 cos θi + η1 cos θt
(117)
ΓTM =
Er0
Ei0
=
η2 cos θt − η1 cos θi
η2 cos θt + η1 cos θi
(118)
• coefiente de transmissão:
τTE =
Et0
Ei0
=
2η2 cos θi
η2 cos θi + η1 cos θt
(119)
τTM =
Et0
Ei0
=
2η2 cos θt
η2 cos θt + η1 cos θi
(120)
• Leis de Snell dareflexão e da refração:
θi = θr (121)
β1
β2
=
sen θt
sen θi
(122)
• ângulo de Brewster para polarização TM:
sen θBA =
√
β22(η
2
2 − η21)
η22β
2
1 − η21β22
(123)
5 Linhas de Transmissão
5.1 Parâmetros Distribuídos
• Para cabos coaxiais:
R′ =
1
2pi
(
1
a
+
1
b
)√
pifµ
σc
(124)
L′ =
µ
2pi
ln
(
b
a
)
(125)
G′ =
2piσd
ln(b/a)
(126)
C ′ =
2pi�
ln(b/a)
(127)
17
• para cabos de condutores gêmeos:
R′ =
1
a
√
fµ
σc
(128)
L′ =
µ
pi
cosh−1
(
d
2a
)
(129)
G′ =
piσd
cosh−1(d/2a)
(130)
C ′ =
pi�
cosh−1(d/2a)
(131)
5.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão
• No domínio do tempo:
− ∂v(z, t)
∂z
= i(z, t)R′ + L′
∂i(z, t)
∂t
(132)
−∂i(z, t)
∂z
= v(z, t)G′ + C ′
∂v(z, t)
∂t
(133)
• no domínio da freqüência (para ondas harmônicas):
dVs(z)
dz
= −(R′ + jωL′)Is(z) (134)
dIs(z)
dz
= −(G′ + jωC ′)Vs(z) (135)
5.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo
• No domínio do tempo:
v(z, t) = V +0 e
−αz cos(ωt− βz) + V −0 e+αz cos(ωt+ βz) (136)
i(z, t) = I+0 e
−αz cos(ωt− βz) + I−0 e+αz cos(ωt+ βz) (137)
• no domínio da freqüência:
Vs(z) = V
+
0 e
−γz + V −0 e
+γz (138)
Is(z) = I
+
0 e
−γz + I−0 e
+γz (139)
ou
Vs(z) = V
+
0 e
−αze−jβz + V −0 e
+αze+jβz (140)
Is(z) = I
+
0 e
−αze−jβz + I−0 e
+αze+jβz (141)
18
5.4 Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase
γ =
√
(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′) = α + jβ (142)
5.5 Impedância Característica
Z0 =
V +0
I+0
= −V
−
0
I−0
=
√
R′ + jωL′
G′ + jωC ′
(143)
5.6 Potência
• Potência média em linha sem perdas:
P+ave(z) =
(V +0 )
2
2Z0
(144)
• ganho de potência:
G(dB) = 10 log
(
Pout
Pin
)
(145)
• relação entre decibéis e neper:
1Np = 8, 686dB (146)
5.7 Coeficiente de Reflexão
• Na carga:
ΓL =
V −0
V +0
=
ZL − Z0
ZL + Z0
(147)
• em qualquer ponto:
Γ =
V −0 e
+γz
V +0 e
−γz = ΓLe
+2γz (148)
• exemplo → Γ em z = −`:
Γ = ΓLe
−2γ` (149)
19
5.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão
ROTE =
1 + |ΓL|
1− |ΓL| (150)
5.9 Impedância de Entrada
• Para o caso geral:
Zin = Z0
ZL + Z0tgh (γ`)
Z0 + ZLtgh (γ`)
(151)
• para linha sem perdas:
Zin = Z0
ZL + jZ0tg (β`)
Z0 + jZLtg (β`)
(152)
20
A Definições Gerais
• Vetores em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas:
~Acart = Ax~ax + Ay~ay + Az~az
~Acil = Aρ~aρ + Aθ~aθ + Az~az
~Aesf = Ar~ar + Aθ~aθ + Aφ~aφ
• produto Escalar (em coordenadas cartesianas):
~A � ~B =
∣∣∣ ~A∣∣∣ ∣∣∣ ~B∣∣∣ cos θAB = AxBx + AyBy + AzBz
• operador Nabla:
∇ = ∂
∂x
~ax +
∂
∂y
~ay +
∂
∂z
~az
• divergência:
– coordenadas cartesianas
∇ · ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
– coordenadas cilíndricas
∇ · ~A = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aφ
∂φ
+
∂Az
∂z
21
– coordenadas esféricas
∇ · ~A = 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
rsen θ
∂
∂θ
(Aθsen θ) +
1
rsen θ
∂Aφ
∂φ
• gradiente:
– coordenadas cartesianas
∇V = ∂V
∂x
~ax +
∂V
∂y
~ay +
∂V
∂z
~az
– coordenadas cilíndricas
∇V = ∂V
∂ρ
~aρ +
1
ρ
∂V
∂φ
~aφ +
∂V
∂z
~az
– coordenadas esféricas
∇V = ∂V
∂r
~ar +
1
r
∂V
∂θ
~aθ +
1
rsen θ
∂V
∂φ
~aφ
• rotacional:
– coordenadas cartesianas
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣
~ax ~ay ~az
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣ =(
∂Az
∂y
− ∂Ay
∂z
)
~ax +
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
~ay +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
~az
– coordenadas cilíndricas
∇× ~A =[
1
ρ
∂Az
∂φ
− ∂Aφ
∂z
]
~aρ +
[
∂ρ
∂z
− ∂Az
∂ρ
]
~aφ +
1
ρ
[
∂(ρAφ)
∂ρ
− ∂Aρ
∂φ
]
~az
22
– coordenadas esféricas
∇× ~A =
1
rsen θ
[
∂(sen θAφ)
∂θ
− ∂Aθ
∂φ
]
~ar+
1
r
[
1
sen θ
∂Ar
∂φ
− ∂(rAφ)
∂r
]
~aθ+
1
r
[
∂(rAθ)
∂r
− ∂(Ar)
∂θ
]
~aφ
• laplaciano:
– coordenadas cartesianas
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
– coordenadas cilíndricas
∇2V = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂V
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
– coordenadas esféricas
∇2V =
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂V
∂r
)
+
1
r2sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂V
∂θ
)
+
1
r2sen 2θ
∂2V
∂φ2
B Constantes
A Tabela 3 contém constantes físicas de interesse em Eletromagnetismo.
23
Tabela 3: Constantes físicas.
Constante Valor Unidade
�0 8.854× 10−12 ≈ 10−936pi F/m
µ0 4pi × 10−7 H/m
η0 120pi ≈ 377 Ω
q −1.602× 10−19 C
c 2.998× 108 m/s
g 9.78 m/s2
h 6.63× 10−34 J·s
k 1.38× 10−23 J/K
NA 6.02× 1023 átomos/mol
C Conversões
1 Np = 8.686 dB
D Propriedades de Alguns Materiais
Nas tabelas 4, 5, 6 e 7, listam-se propriedades de alguns materiais.
Tabela 4: Condutividade aproximada de alguns materiais (note-se que esta
condutividade depende de impurezas, umidade e temperatura).
Material σ(Sm)
Alumínio 3.8× 107
Carbono 3× 104
Cobre 5.8× 107
Ouro 4.1× 107
Grafite 7× 107
Ferro 1× 107
Chumbo 5× 106
Nicrômio 1× 106
Níquel 1.5× 107
Prata 6.2× 107
Solda 7× 106
Aço inoxidável 1.1× 106
Estanho 8.8× 106
Tungstênio 1.8× 107
24
Tabela 5: Propriedades para alguns dielétricos (note-se que para condutores,
normalmente, �r = 1).
Dielétrico �r Ebr(Vm) tg δ em 1MHz σ(Sm)
Ar 1.0005 3× 106 ≈ 0 ≈ 0
Vidro 10 30× 106 0.004 ≈ 10−12
Gelo 4.2 0.12 10−15
Mica 5.4 200× 106 0.0003
Silício (puro) 11.8 —- 4.4× 10−4
Solo (seco) 3–4 0.017 2× 10−3
Teflon 2.1 60× 106 < 0.0002 10−15
Água (destilada) 81 0.04 10−4
Água do mar 72 0.9 5
Tabela 6: Permeabilidade relativa para alguns materiais ferromagnéticos
(note-se que a permeabilidade dependerá fortemente da pureza dos mate-
riais; ainda, lembra-se que a curva B×H não é linear na grande maioria dos
materiais ferromagnéticos).
Material µr
Cobalto 250
Níquel 600
Ferro silício 3500
Ferro 5000
Mumetal 105
“Supermalloy” 106
Tabela 7: Condutividade e permissividade complexa de alguns materiais.
Material σ(Sm) �′r �′′r
Cobre 5.8× 107 1 0
Água do mar 5 72 12
Vidro 10−12 10 0.010
E Elementos Diferenciais
Nota: deve-se tomar muito cuidado e cautela ao se usar as relações seguin-
tes; um esboço do elemento diferencial, conforme os eixos adotados para o
problema, é altamente recomendado.
25
• Linha
– coordenadas cartesianas
d~L1 = dx~ax
d~L2 = dy~ay
d~L3 = dz~az
d~L4 = −d~L1 = −dx~ax
d~L5 = −d~L2 = −dy~ay
d~L6 = −d~L3 = −dz~az
– coordenadas cilíndricas
d~L1 = dρ~aρ
d~L2 = ρ dφ~aφ
d~L3 = dz~az
d~L4 = −d~L1 = −dρ~aρ
d~L5 = −d~L2 = −ρ dφ~aφ
d~L6 = −d~L3 = −dz~az
– coordenadas esféricas
d~L1 = dr~ar
d~L2 = r dθ~aθ
d~L3 = r sen θ dφ~aφ
d~L4 = −d~L1 = −dr~ar
d~L5 = −d~L2 = −r dθ~aθ
d~L6 = −d~L3 = −r sen θ dφ~aφ
26
• área
– coordenadas cartesianas
d~S1 = dy dz~ax
d~S2 = dx dz~ay
d~S3 = dx dy~az
d~S4 = −d~S1 = −dy dz~ax
d~S5 = −d~S2 = −dx dz~ay
d~S6 = −d~S3 = −dx dy~az
– coordenadas cilíndricas
d~S1 = ρ dφ dz~aρ
d~S2 = dρ dz~aφ
d~S3 = ρ dρ dφ~az
d~S4 = −d~S1 = −ρ dφdz~aρ
d~S5 = −d~S2 = −dρ dz~aφ
d~S6 = −d~S3 = −ρ dρ dφ~az
– coordenadas esféricas
d~S1 = r
2 sen θ dφ dθ~ar
d~S2 = r sen θ dr dφ~aθ
d~S3 = r dr dφ~aφ
d~S4 = −d~S1 = −r2 sen θ dφ dθ~ar
d~S5 = −d~S2 = −r sen θ dr dφ~aθ
d~S6 = −d~S3 = −r dr dφ~aφ
27
• volume
– coordenadas cartesianas
dv = dx dy dz
– coordenadas cilíndricas
dv = ρ dρ dφ dz
– coordenadas esféricas
dv = r2sen θ dr dθ dφ
F Transformação entre Sistemas de Coordena-
das
• Cartesianas para cilíndricas
P (x, y, z) → P (ρ, φ, z)
ρ =
√
x²+ y²
φ = arctg
(y
x
)
z = z
• cilíndricas para cartesianas
P (ρ, φ, z) ⇒ P (x, y, z)
x = ρ cosφ
y = ρ senφ
z = z
28
• cartesianas para esféricasP (x, y, z) → P (r, θ, φ)
r =
√
x²+ y²+ z²
θ = arccos
(z
r
)
φ = arctg
(y
x
)
• esféricas para cartesianas
P (r, θ, φ) → P (x, y, z)
x = r sen θ cosφ
y = r sen θ senφ
z = r cos θ
G Derivadas Mais Comuns
Dadas as funções u = f(x) e v = g(x) e as constantes a, c, m e n, a derivada
de y, y′, é apresentada na Tabela 8. Na Tabela 9 têm-se as derivadas quando
y for uma função hiperbólica.
Nota: para obter as derivadas das funções elementares, basta fazer u = x
e u′ = 1. Por exemplo:
y = n
√
u ⇒ y = √x ⇒ y′ = 1
2
√
x
29
Tabela 8: Tabela de derivadas de funções comuns.
Função Derivada Condição
y = c y′ = 0 c ∈ R
y = x y′ = 1
y = u± v y′ = u′ ± v′
y = uv y′ = u′v + uv′
y = cu y′ = cu′ c ∈ R
y = u
v
y′ = u
′v−uv′
v²
y = c
v
y′ = − cv′
v² c ∈ R
y = uv y′ = v · uv−1 · u′ + uv · lnu · v′ u > 0
y = um y′ = m · um−1 · u′ m ∈ R
y = n
√
u y′ = u
′
n
n√
un−1
n ∈ N∗ − {1}
y = au y′ = au · u′ · ln a a ∈ R, 0 < a 6= 1
y = eu y′ = u′ · eu
y = loga u y
′ = u
′
u·ln a =
u′
u
loga e a ∈ R, 0 < a 6= 1
y = lnu y′ = u
′
u
y = senu y′ = u′ · cosu
y = cosu y′ = −u′ · senu
y = tg u y′ = u′ · sec ²u
y = cotu y′ = −u′ · cossec ²u
y = secu y′ = u′ · secu · tg u
y = cossecu y′ = −u′ · cossecu · cotu
y = arcsenu y′ = u
′√
1−u²
y = arccosu y′ = − u′√
1−u²
y = arctg u y′ = u
′
1+u²
y = arccotg u y′ = − u′
1+u²
y = arcsecu y′ = u
′
u·√u²−1
y = arccossecu y′ = − u′
u·√u²−1
30
Tabela 9: Tabela de derivadas de funções hiperbólicas.
Função Derivada Condição
y = sinhu y′ = u′ · coshu
y = coshu y′ = u′ · sinhu
y = tghu y′ = u′ · sech ²u
y = sechu y′ = −u′ · sechu · tghu
y = cossechu y′ = −u′ · cossechu · cotg u
y = cotg u y′ = −u′ · cossech 2u
y = arg sinhu y′ = u
′√
1+u²
y = arg coshu y′ = u
′√
u²−1 u > 1
y = arg tghu y′ = u
′
1−u² |u| < 1
y = arg sechu y′ = − u′
u
√
1−u² 0 < v < 1
y = arg cossechu y′ = − u′|u|√1+u² v 6= 0
y = arg cotg u y′ = u
′
1−u² |u| > 1
31
H Integrais Indefinidas Mais Comuns
Dadas as funções u = f(x) e v = g(x), as constantes a, c, m, n e a constante
de integração C, apresentam-se as integrais de diversas funções na Tabela 10.
Nota: para obter as integrais das funções elementares, basta fazer u = x
e du = dx, como, por exemplo:
ˆ
du
u
⇒
ˆ
dx
x
= ln |x|+ C
ou, então, definir u e encontrar du, fazendo os devidos ajustes para não
alterar a expressão original, como no exemplo:
ˆ
sen (2x) dx
u = 2x
du
dx
= 2 ⇒ du = 2 · dx
∴
ˆ
senu du =
ˆ
2 sen (2x) dx
∴
ˆ
sen (2x) dx =
1
2
ˆ
senu du = −1
2
cos(u) = −1
2
cos(2x)
32
Tabela 10: Tabela de integrais indefinidas (notar que as duas últimas equa-
ções não foram generalizadas, para simplificar).
ˆ
udv = uv −
ˆ
vdu
ˆ
undu =
1
n+ 1
un+1 + C
ˆ
du
u
= ln |u|+ C
ˆ
eudu = eu + C
ˆ
audu =
1
ln a
au + C
ˆ
senu du = − cosu+ C
ˆ
cosu du = senu+ C
ˆ
du√
u²+ a²
= ln
(
u+
√
u2 + a2
)
+ C
ˆ
du
(u2 + a2)3/2
=
u
a2
√
u2 + a2
+ C
ˆ
du
u2 + a2
=
1
a
arctg
u
a
+ C
ˆ
eax cos bx dx =
eax
a2 + b2
(a cos bx+ b sen bx) + C
ˆ
eax cos(c + bx)dx =
eax
a2 + b2
[a sen (c + bx)− b cos(c + bx)] + C
33
I Produção
Autor: Prof. Marcelo Porto Trevizan1
Editor: Prof. Marcelo Porto Trevizan
Revisores: Prof. Arnaldo Megrich2, Prof. Marcelo Porto Trevizan
Livro de Referência: Wentworth [2007]
J Licença
Este documento é disponibilizado sob a licença abaixo descrita.
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mesma Licença 3.0 Unported
Esta licença é aceita para trabalhos culturais livres. Com ela, pode-se:
Compartilhar: copiar, distribuir, exibir e executar a obra
Reeditar: criar obras derivadas
1Professor da Escola de Engenharia Mauá.
2Professor da Escola de Engenharia Mauá e da Universidade São Judas Tadeu.
34
Sob as seguintes condições:
Atribuição: Deve-se dar crédito ao autor original, da forma especificada
pelo autor ou licenciante.
Compartilhamento pela mesma Licença: se alterar, transformar, ou con-
truir um novo trabalho a partir deste, pode-se distribuir o trabalho final
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Inglês: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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35
K Onde Adquirir Este Material
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gerar este material, pode ser obtido da aba Source, item Browse, pasta
svn/trunk/referencias/ de:
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Notas
Para compilar o material a partir do código-fonte, deve-se instalar o LYX
http://www.lyx.org/Download,
o estilo LATEX misc.sty do projeto ‘efmt’
http://code.google.com/p/efmt/source/browse/#svn/trunk/latex
e o estilo LATEX siunitx.sty
http://mirror.ctan.org/macros/latex/contrib/siunitx.zip.
Referências
Stuart M. Wentworth. Eletromagnetismo Aplicado. Bookman, 2007. ISBN
978-85-7780-290-6. 1, 33
	Apresentação
	Eletrostática
	Lei de Coulomb
	Campo Elétrico
	Densidade de Fluxo Elétrico
	Fluxo Elétrico
	Teorema da Divergência
	Lei de Gauss
	Pontencial Elétrico
	Densidade de Corrente
	Corrente
	Resistência
	Lei de Joule
	Condições de Fronteira
	Equação de Poisson
	Equação de Laplace
	Capacitância
	Energia Potencial Eletrostática
	Magnetostática
	Analogia entre campo eletrostático e magnetostático
	Lei de Biot-Savart
	Campo Magnético Resultante
	Lei Circuital de Ampère
	Teorema de Stokes
	Densidade de Fluxo Magnético
	Fluxo Magnético
	Lei de Gauss para Campos Magnéticos
	Equações de Maxwell para Campos Estáticos
	Força
	Momento de Dipolo
	Torque
	Condições de Fronteira
	Indutância
	Indutância Mútua
	Energia Magnetostática
	Circuitos Magnéticos
	Campos Dinâmicos
	Equação da Continuidade da Corrente
	Variação da Densidade de Carga com o Tempo
	Tempo de Relaxação
	Lei de Faraday
	Densidade de Corrente de Dispersão (Deslocamento)
	Equações de Maxwell (gerais)
	Representações de Campo Harmônico
	Equações de Maxwell na Forma Fasorial (diferencial)
	Relações Constitutivas
	Equações Fundamentais do Eletromagnetismo
	Ondas Planas
	Equações de Onda de Helmholtz
	Relação entre Ondas Propagantes (em fasores)
	Constantes e Impedância Intrínseca
	Caso geral
	Dielétricos com baixas perdas (1)
	Bons condutores (1)
	Velocidade de Propagação
	Comprimento de Onda
	Permissividade Complexa
	Condutividade Efetiva
	Tangente de Perdas
	Efeito Pelicular (em bons condutores)
	Teorema de Poynting
	Vetor de Poynting
	Potência
	Incidência de Um Meio para Outro
	Características da Incidência Normal
	Características da Incidência Oblíqua
	Linhas de Transmissão
	Parâmetros Distribuídos
	Equações Gerais de Linha de Transmissão
	Equações de Onda Harmônicas no Tempo
	Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase
	Impedância Característica
	Potência
	Coeficiente de Reflexão
	Taxa de Onda Estacionária de Tensão
	Impedância de Entrada
	Definições Gerais
	Constantes
	Conversões
	Propriedades de Alguns Materiais
	Elementos Diferenciais
	Transformação entre Sistemas de Coordenadas
	Derivadas Mais Comuns
	Integrais Indefinidas Mais Comuns
	Produção
	Licença
	Onde Adquirir Este Material
	Referências