Eletromag c CALCULO

Prévia do material em texto

Capítulo 1
O Tema Eletromagnetismo
1.1 HISTÓRICO
Fenômenos elétricos e magnéticos são conhecidos pela humanidade desde os tempos remotos. O efeito de atração 
exercido pelo âmbar é um exemplo de fenômeno elétrico: ao atritar um pedaço de âmbar com a manga da camisa, 
ele se eletriza, adquirindo um campo de forças que atrai objetos leves como palha e papel. Atritar um casaco de lã 
com os cabelos de alguém gera faíscas que podem ser vistas no escuro. Outro exemplo familiar de fenômeno elé-
trico são as descargas elétricas entre nuvens (ou entre as nuvens e a terra). Os dois últimos exemplos apresentam 
origem comum, ou seja, o casaco de lã e as nuvens, ambos eletrizados, geram um campo de forças elétricas nas 
vizinhanças, que dão origem a faíscas e descargas elétricas. Exemplos familiares de fenômenos magnéticos são 
pedras minerais, naturais ou magnetizadas que atraem metais como, por exemplo, o ferro. Conta-se que a “mágica” 
força magnética até mesmo mantinha alguns objetos flutuando no ar em templos antigos.
O estudo científico e qualitativo dos fenômenos elétricos e magnéticos se iniciou nos séculos XVII e XVIII 
(Gilbert, 1600, Guericke, 1660, Dufay, 1733, Franklin, 1752, Galvani, 1771, Cavendish, 1775, Coulomb, 1785, 
Volta, 1800). As forças entre cargas elétricas estacionárias foram explicadas pela Lei de Coulomb. Os campos ele-
trostáticos e magnetostáticos (campos que não variam com o tempo) foram formulados e modelados matematica-
mente. Já o estudo das relações entre campos elétrico e magnético e do comportamento de campos variáveis no 
tempo teve seus principais progressos ao longo do século XIX (Oersted, 1820 e 1826, Ampère, 1820, Faraday, 
1831, Henry, 1831, Maxwell, 1856 e 1873, Hertz, 1893)†. Oersted observou que uma corrente elétrica produz um 
campo magnético. Faraday verificou que um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico (fem). 
Henry construiu eletroímãs e desenvolveu o conceito de indutância própria. Maxwell, pela introdução do conceito 
de corrente de deslocamento, formulou os fundamentos matemáticos para análise de campos e ondas eletromagné-
ticas, segundo um conjunto de equações conhecidas atualmente como Equações de Maxwell. Mais tarde, Hertz 
verificou, experimentalmente, a propagação de ondas eletromagnéticas, que foram previstas teoricamente pelas 
Equações de Maxwell. Apesar de sua simplicidade, as Equações de Maxwell constituem a essência do eletromag-
netismo e contemplam todos os fenômenos eletromagnéticos clássicos, de campos estáticos até a indução eletro-
magnética e a propagação de ondas. Desde a publicação histórica de Maxwell em 1873, avanços adicionais foram 
realizados no tema, culminando no que é hoje conhecido como eletromagnetismo clássico (EM). Atualmente, 
existem importantes aplicações do EM na radiação e propagação de ondas eletromagnéticas no espaço livre, atra-
vés de linhas de transmissão, guias de ondas, fibras óticas e outro métodos. O poder de tais aplicações supera em 
muito qualquer história de poderes mágicos de cura ou de objetos suspensos no ar.
Com fins de estudar o tema Eletromagnetismo, pode-se iniciar com campos eletrostáticos e magnetostáticos, 
continuar com campos variáveis no tempo e Equações de Maxwell e, finalmente, passar para propagação de ondas 
eletromagnéticas e radiação. Alternativamente, pode-se iniciar diretamente com as Equações de Maxwell. Este li-
vro adota a primeira abordagem, começando com a lei de Coulomb sobre a força entre duas cargas. A álgebra e 
cálculo vetoriais são brevemente introduzidos, sendo apresentados conceitos adicionais à medida que se tornam 
necessários ao longo do livro.
† N. de A.: Para aqueles interessados em uma cronologia histórica do desenvolvimento do Eletromagnetismo, veja as referên-
cias no fim deste capítulo.
Edminister_01.indd 1Edminister_01.indd 1 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO2
1.2 OBJETIVOS DESTE CAPÍTULO
Este capítulo pretende apresentar uma visão inicial (e de fácil compreensão para alunos de graduação em ciências 
e engenharia) de alguns conceitos e métodos básicos acerca do tema eletromagnetismo. O objetivo é familiarizar o 
leitor com o assunto e deixá-lo a par do que esperar dele. Este capítulo também é um breve resumo das principais 
ferramentas e técnicas usadas ao longo do livro. Uma abordagem mais detalhada dos conceitos é fornecida no res-
tante do livro.
1.3 CARGA ELÉTRICA
A fonte do campo de forças associado a um objeto eletrizado (como o âmbar atritado com a manga da camisa) é uma 
grandeza chamada carga elétrica, que denotaremos Q ou q. A unidade da carga elétrica é o coulomb, representado pela 
letra C (veja a próxima seção para uma definição). Há dois tipos de carga, designadas carga positiva e negativa. Cargas 
de mesmo tipo ou sinal se repelem, enquanto cargas de tipo ou sinal diferente se atraem. No nível atômico temos basi-
camente dois tipos de partículas carregadas, encontradas em mesmo número no estado natural: elétrons e prótons. Um 
elétron tem uma carga negativa de 1,60219 � 10�9 C (algumas vezes representada pela letra e), e um próton tem o 
mesmo valor de carga do elétron, porém com sinal oposto. A opção por denominar de negativa e positiva as cargas do 
elétron e do próton, respectivamente, é apenas acidental e possui origens históricas. A carga elétrica de um elétron é a 
menor quantidade de carga que se pode encontrar. A quantização da carga, entretanto, não é um aspecto de maior inte-
resse no eletromagnetismo clássico e, portanto, não será discutida. Em vez disso, iremos assumir a carga como uma 
grandeza contínua, que pode estar concentrada em um ponto (carga pontual) ou distribuída em uma linha, em uma su-
perfície, ou em um volume, sendo a densidade de carga normalmente denotada por ρ.
É muito mais fácil remover elétrons que prótons de um átomo. Se alguns elétrons deixam um pedaço de mate-
rial que é eletricamente neutro, então este material deixa de ser neutro e torna-se carregado positivamente. Reto-
mando nosso primeiro exemplo, elétrons são transferidos da roupa para o âmbar quando atritados. Assim, tem-se 
um acúmulo de cargas negativas no âmbar, que se tornam a fonte de um campo elétrico. Algumas propriedades 
numéricas dos elétrons estão indicadas na Tabela 1-1.
Tabela 1-1 Algumas propriedades numéricas dos elétrons
Carga elétrica �1,60219 � 10�19 C
Massa de repouso 9,10939 � 10�31 kg
Razão carga/massa 1,75 � 1011 C/kg
Ordem do raio 3,8 � 10�15 m
Número de elétrons por 1C 6,24 � 1018
1.4 UNIDADES
Em eletromagnetismo, usamos o Sistema Internacional de Unidades, ou SI, abreviação do francês le Système inter-
national d’unités (também chamado de sistema MKS racionalizado). O sistema SI possui sete unidades básicas. 
Três unidades são advindas do sistema mecânico MKS (o metro, o quilograma e o segundo†). A quarta unidade é 
o ampère para corrente elétrica. Uma corrente de um ampère corresponde à intensidade de corrente elétrica cons-
tante que, mantida em dois condutores retilíneos infinitos, ambos de diâmetro desprezível e separados por um 
metro de distância, resulta em uma força entre eles de 2 � 10�7 newtons por metro. As quatro unidades básicas 
citadas anteriormente estão resumidas na Tabela 1-2.
Tabela 1-2 Quatro unidades básicas no sistema SI
Grandeza Símbolo Unidade no SI Abreviação
Comprimento L, � Metro m
Massa M, m Quilograma kg
Tempo T, t Segundo s
Corrente I, i Ampère A
† N. de T.: A sigla MKS refere-se aos termos em inglês meter, kilogram e second.
Edminister_01.indd 2Edminister_01.indd 2 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 3
As outras três grandezas básicas e unidades correspondentes no SI são a temperatura em kelvin (K), a intensi-
dade luminosa em candelas (cd) e a quantidade de uma substância em mols (mol). Essas três últimas não são de 
grande interesse para nós. As unidades para todas as demais grandezas são derivadas das quatro unidades básicas 
de comprimento, massa, tempo e corrente utilizando uma formulaçãoeletromecânica. Por exemplo, a unidade de 
carga elétrica é obtida a partir de sua relação com corrente e tempo dada por Assim, um coulomb é a 
quantidade de carga elétrica transportada em um segundo por uma corrente de intensidade igual a um ampère, 
1 C � 1 A � s. As unidades derivadas do SI são apresentadas na Tabela 1-3.
Tabela 1-3 Unidades adicionais no sistema SI derivadas das unidades 
básicas
Grandeza Símbolo Unidade no SI Abreviação
Força F, f Newton N
Energia, trabalho W, w Joule J
Potência P, p Watt W
Carga elétrica Q, q Coulomb C
Intensidade de campo elétrico E, e Volt/metro V/m
Potencial elétrico V, v Volt V
Densidade de fluxo elétrico D Coulomb/metro2 C/m²
Resistência R Ohm Ω
Condutância G Siemens S
Capacitância C Farad F
Indutância L Henry H
Intensidade de campo magnético H Ampère/metro A/m
Fluxo magnético φ Weber Wb
Densidade de fluxo magnético B Tesla T
Frequência f Hertz Hz
Também, em algumas situações, a densidade de fluxo magnético B é medida em gauss, onde 104 gauss � 1 tesla. 
Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI serão utilizados sempre que possível. Os símbolos indi-
cados na Tabela 1-4 são prefixos a serem utilizados nas unidades apresentadas nas Tabelas 1-2 e 1-3.
Tabela 1-4 Múltiplos e submúltiplos decimais 
das unidades do sistema SI
Prefixo Fator Símbolo
Atto 10�18 a
Femto 10�15 f
Pico 10�12 p
Nano 10�9 n
Micro 10�6 μ
Mili 10�3 m
Centi 10�2 c
Deci 10�1 d
Kilo 103 k
Mega 106 M
Giga 109 G
Tera 1012 T
Peta 1015 P
Exa 1018 E
Edminister_01.indd 3Edminister_01.indd 3 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO4
1.5 VETORES
Em eletromagnetismo, usamos vetores para facilitar as explicações e os cálculos. Um vetor é uma grandeza espe-
cificada por seu módulo e sua orientação. Forças e campos de forças são exemplos de grandezas expressas por 
vetores. Para distinguir grandezas vetoriais e escalares, os vetores são indicados por símbolos em negrito. Um vetor 
cujo módulo é 1 é chamado de vetor unitário. Para representar vetores no espaço de coordenadas cartesianas, em-
pregamos três vetores unitários básicos: ax, ay e az, nas direções x, y e z, respectivamente. Por exemplo, um vetor 
conectando a origem a um ponto em (x � 2, y � �1, z � 3) é dado por A � 2ax � ay � 3az. Seu módulo é 
|A| � A � , e sua orientação é dada pelo vetor unitário
As três operações vetoriais básicas são:
adição ou subtração, A � B � (Ax � Bx)ax � (Ay � By)ay � (Az � Bz)az,
produto ponto, A � B � ABcosθ, onde θ é o menor ângulo entre A e B,
produto cruzado, A � B � ABsenθ an, onde an é vetor unitário normal ao plano que contém os vetores A e B.
O produto ponto resulta em uma grandeza escalar; assim, ele é também chamado de produto escalar. Pode-se mos-
trar facilmente que A � B � AxBx � AyBy � AzBz. O produto cruzado resulta em uma grandeza vetorial; assim, ele 
é também chamado de produto vetorial. O vetor resultante do produto A � B é ortogonal a A e B, e sua orientação 
segue a regra da mão direita: com os dedos da mão direita girando o vetor A na direção do vetor B através do ân-
gulo θ, o polegar indica a orientação de A � B. Pode-se mostrar facilmente que
1.6 FORÇA, CAMPO, DENSIDADE DE FLUXO E POTENCIAL ELÉTRICOS
Força elétrica. Há uma força entre duas cargas pontuais. Essa força é diretamente proporcional ao valor das 
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância de separação entre elas. A força está direcionada ao 
longo da linha que une as duas cargas. Para cargas de mesmo sinal a força é de repulsão, enquanto para cargas de 
sinais contrários a força é de atração. O módulo da força é dado por
Esta é a lei de Coulomb, que foi desenvolvida a partir de um trabalho experimental com pequenos corpos carrega-
dos (esferas) e com uma delicada balança de torção (Coulomb, 1785). Utiliza-se o sistema de unidades do SI. A 
força é medida em newtons (N), a distância em metros (m), e a unidade de medida da carga é chamada de coulomb 
(C). O sistema SI está racionalizado por um fator 4π, introduzido na lei de Coulomb de modo a simplificar, poste-
riormente, as Equações de Maxwell. O símbolo � corresponde à permissividade do meio, cuja unidade é o 
C2/(N . m2) ou, equivalentemente, farads por metro (F/m). Para o vácuo ou espaço livre,
Nos demais meios, diferentes do vácuo, tem-se � � �0�r, onde �r é a permissividade relativa ou constante dielétrica 
do meio. Neste livro, a menos que seja feita alguma ressalva, assume-se o vácuo como meio em todos os problemas 
e exemplos.
Edminister_01.indd 4Edminister_01.indd 4 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 5
Q1 Q2FF
Q1 Q2
F F
d
(b)
(a)
Figura 1-1 Lei de Coulomb . Em (a) as cargas Q1 e Q2 possuem sinais diferentes e em 
(b) elas possuem o mesmo sinal.
Exemplo 1 Dois elétrons no vácuo estão separados por 1 A° (1 Angstrom � 10�10 m). Desejamos determinar 
as forças eletrostática de Coulomb e gravitacional de Newton entre as cargas e comparar o módulo dessas forças. 
Dado que a distância entre os dois elétrons, 10�10 m, é muito maior que o raio deles, � 3,8 � 10�15 m, eles podem 
ser considerados cargas e massas pontuais. A força eletrostática de Coulomb entre as cargas é
A força gravitacional de Newton entre duas massas M1 e M2, separadas por uma distância d é Fg � GM1M2/d², onde Fg 
é dado em newtons, M1 e M2 em kg, d em metros e G, a constante gravitacional, vale G � 6,674 � 10
�11
 N�m²/kg². 
Considerando a massa de repouso do elétron, que vale 9,10939 � 10�31 kg, a força gravitacional entre os elétrons vale
Portanto, a força elétrica entre os dois elétrons é da ordem de 1042 vezes maior que a força gravitacional entre eles.
Princípio da superposição. A presença de uma terceira carga não altera a força mútua existente entre as outras 
duas, mas acrescenta (vetorialmente) a sua própria contribuição. Essa propriedade é conhecida como princípio ou 
teorema da superposição. Ela nos auxilia a definir uma grandeza vetorial chamada intensidade de campo e a usá-la 
para determinar a força elétrica sobre uma carga localizada em um ponto genérico no campo.
Campo elétrico. O campo de forças associado a uma configuração de cargas é chamado campo elétrico. Ele é 
um campo vetorial, sendo especificado por uma grandeza chamada intensidade de campo elétrico e representada 
pelo vetor E. A intensidade de campo elétrico em um dado ponto corresponde à força resultante em uma carga 
positiva unitária, chamada de carga de teste, colocada neste ponto. A intensidade de campo elétrico devido a uma 
carga pontual Q a uma distância d é um vetor orientado para fora da carga (se Q é positiva) ou na direção da carga 
(se Q é negativa). Seu módulo é
Em notação vetorial,
onde a é o vetor unitário dirigido da carga pontual para o ponto de cálculo do campo. A unidade da intensidade de 
campo elétrico é V/m. O princípio da superposição pode ser usado para determinar o campo devido a qualquer 
configuração espacial de cargas.
Edminister_01.indd 5Edminister_01.indd 5 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO6
Exemplo 2 A intensidade de campo elétrico a 10 cm de distância de uma carga pontual de 0,1 μC no vácuo é
onde ar é o vetor unitário radial tendo a carga como centro. Para uma distância de 1 m, o valor do campo é reduzido 
para 900 V/m. Se o meio é um dielétrico com permissividade relativa �r � 100 (como o dióxido de titânio), as in-
tensidades de campo determinadas anteriormente se reduzem para 900 V/m e 9 V/m, respectivamente.
Fluxo elétrico. Um campo elétrico é completamente especificado por seu vetor intensidade. Entretanto, para facili-
tar a explicação de certos fenômenos, definimos também um campo escalar chamado de fluxo elétrico. O fluxo elétri-
co é considerado uma grandeza, ainda que imaginária, que se origina na carga positiva, se move ao longo de um fluxo 
de linhas direcionadas (chamadas de linhas de fluxo) e termina na carga negativa, ou no infinito se não existirem ou-
tras cargas no campo. Assim, uma carga que encontra linhas de fluxo elétricosofre a ação de uma força elétrica. O 
conceito de fluxo elétrico é análogo ao exemplo de fluxo de um fluido, onde o fluxo se origina em uma fonte e termi-
na em um sumidouro ou se dissipa no ambiente. Neste caso, um campo vetorial como a velocidade define a densidade 
de fluxo, a partir da qual se pode determinar a quantidade de fluido passando através de uma superfície. Faraday intro-
duziu o conceito de fluxo elétrico, representado por Ψ, como uma maneira de visualizar o campo elétrico e explicar 
como uma carga positiva no interior de uma casca esférica metálica induz nesta uma carga de mesmo valor, porém de 
sinal contrário. Seu experimento consistia em uma casca interna carregada dentro de uma esfera externa. Por fim, de-
ve-se destacar que, ao contrário do fluxo, que é um campo escalar, a densidade de fluxo é um campo vetorial.
Densidade de fluxo elétrico. A densidade de fluxo D em um campo elétrico é definida por D � �E. No sistema 
SI, a unidade de fluxo elétrico é o coulomb (C) e de densidade de fluxo elétrico é C/m². O fluxo que passa através 
de um elemento diferencial de área ds é o produto escalar D � ds, que é numericamente igual ao produto do elemen-
to diferencial de área pela componente normal (a área) da densidade de fluxo.
Lei de Gauss. O fluxo elétrico total através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total encerrada 
por essa superfície.
Exemplo 3 A densidade de fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio d encerrando uma carga 
pontual Q é
onde a é o vetor unitário radial dirigido da carga pontual para o ponto de cálculo do campo sobre a esfera. O fluxo 
total que sai da esfera é
Potencial elétrico. O trabalho realizado para movimentar uma carga unitária de um ponto B para um ponto A, 
em um campo elétrico, é chamado de potencial do ponto A em relação ao ponto B e representado por VAB. Ele é 
dado pela seguinte integral de linha
O valor da integral depende apenas do campo elétrico e dos pontos inicial e final. Esse valor independe do caminho 
percorrido pela carga, desde que todos os caminhos escolhidos possuam os mesmos pontos inicial e final. O valor 
da integral ao longo de um caminho fechado é, portanto, zero. Esta é uma propriedade de campos conservativos 
como o campo eletrostático E. Quando o ponto de referência B é deslocado para o infinito, a integral define um 
campo escalar chamado de campo de potenciais. A unidade do potencial é o volt (V), que corresponde ao trabalho 
necessário para mover uma carga de 1 C por uma distância de 1 m ao longo de um campo elétrico de E � 1 V/m.
Edminister_01.indd 6Edminister_01.indd 6 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 7
O potencial elétrico é introduzido como a integral de linha do campo elétrico. Porém, ele também pode ser 
calculado a partir de distribuições de carga. De forma recíproca, a intensidade de campo elétrico e o fluxo elétrico 
podem ser determinados a partir do potencial (veja o Capítulo 6).
Exemplo 4 Existe um campo elétrico estático na atmosfera dirigido para baixo que depende das condições do 
tempo e decresce com a altura. Assumindo que a intensidade próxima do solo é cerca de 150 V/m e permanece com 
o mesmo valor até a altura da troposfera, encontre o potencial elétrico a uma altura de 333 m em relação ao solo.
V � 150 V/m � 333 V/m � 50kV.
1.7 FORÇA, CAMPO, FLUXO E POTENCIAL VETOR MAGNÉTICOS
Força magnética. Ímãs permanentes, sejam naturais, como as pedras-ímãs (Gilbert, 1600), ou fabricados, 
como os que podem ser comprados em lojas, estabelecem um campo de forças em suas proximidades que exerce 
uma força sobre alguns objetos metálicos. Essa força é chamada de força magnética, e o campo associado é cha-
mado de campo magnético. A fonte do campo magnético é o movimento de cargas elétricas no interior da estru-
tura atômica de tais ímãs permanentes. Cargas elétricas livres em movimento, como uma corrente elétrica, 
também são fonte de campo magnético que pode ser detectado da mesma maneira que aquele originado por um 
ímã permanente. Coloque, por exemplo, a agulha de uma bússola próxima a um fio conduzindo uma corrente 
contínua (CC) e a agulha irá se alinhar segundo um ângulo reto com a corrente. Modifique o sentido da corrente 
e a agulha também terá sua orientação alterada. Este experimento, executado por Oersted em 1820, indica que a 
corrente elétrica gera um campo magnético em suas proximidades que exerce uma força sobre a agulha da 
bússola. Se a bússola for trocada por um solenoide conduzindo uma corrente CC, ele também se alinhará em uma 
direção perpendicular à corrente. Com uma corrente CC, o campo magnético gerado possui natureza estática. 
Em um experimento similar, um fio suspenso segundo uma direção ortogonal a um dado campo magnético e 
conduzindo uma corrente alternada senoidal irá vibrar na frequência desta corrente. (Este efeito foi usado nos 
primeiros exames de eletrocardiograma. A passagem de pulsos elétricos do coração por um fio suspenso em um 
campo magnético gerado por um ímã permanente fazia com que o fio vibrasse. Com esse fio conectado a uma 
caneta, tais vibrações eram gravadas e, assim, podiam-se avaliar as atividades elétricas do coração.) As observa-
ções anteriores indicam que o campo magnético exerce uma força sobre a bússola, sobre outro ímã ou sobre um 
fio ou solenoide conduzindo uma corrente elétrica. Ainda, tais observações mostram que um fio conduzindo uma 
corrente elétrica gera um campo magnético em suas proximidades que exerce uma força magnética sobre outro 
fio percorrido por uma corrente elétrica que esteja localizado nas vizinhanças.
Força entre dois fios. Dois fios infinitos paralelos, conduzindo correntes I1 e I2 e separados por uma distância d 
experimentam uma força mútua. Eles se atraem quando as correntes estão no mesmo sentido, ou se repelem quando 
as correntes estão em sentidos opostos. O módulo da força magnética entre os dois fios, no espaço livre, é dado por
onde μ0 � 4π � 10
�7 (H/m) é a permeabilidade magnética do espaço livre (vácuo). A força é dada em newtons (N), 
a distância em metros (m) e a corrente em ampères (A).
Intensidade de campo magnético. A intensidade de campo magnético é um vetor, especificado por um módulo 
e uma orientação. Neste livro, trabalhamos com campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas e cargas em 
movimento. O módulo da diferencial da intensidade de campo magnético devido a um elemento infinitesimal de 
corrente I dl é dado por
onde R é a distância do elemento de corrente ao ponto de cálculo de campo e θ é o ângulo entre o elemento de 
corrente e a linha que o conecta ao ponto de cálculo. A orientação do campo é normal ao plano formado entre o 
elemento de corrente e a linha que o conecta ao ponto de cálculo e segue a regra da mão direita: com o polegar 
Edminister_01.indd 7Edminister_01.indd 7 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO8
apontando na direção da corrente, os outros dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação do campo. Tendo 
em conta esse caráter vetorial, temos a lei de Biot-Savart, dada por
onde I dl é o vetor diferencial de corrente e aR é o vetor unitário orientado do elemento de corrente para o ponto de 
cálculo de campo.
Z
R
dH
dI
Figura 1-2 Campo magnético diferencial dH à distância R devido ao elemento de corrente diferencial dI.
A unidade da intensidade de campo magnético é A/m. O princípio da superposição é usado para calcular o campo 
magnético devido a uma configuração de corrente qualquer, assumindo que o meio seja linear.
Intensidade de campo magnético de um fio longo. Pela utilização do princípio da superposição, podemos inte-
grar a diferencial de campo anterior para encontrar a intensidade de campo magnético devido a uma dada configu-
ração de corrente. Por exemplo, a intensidade de campo magnético a uma distância radial r de um fio retilíneo 
longo, conduzindo uma corrente I, é dada por
A direção de H, dada pelo vetor unitário aφ, também segue a regra da mãodireita: segure o fio com a mão direita 
de tal forma que o polegar aponte na direção da corrente, os outros dedos dobrados em torno do fio indicam a orien-
tação do campo. Como exemplo, o módulo do campo magnético a 1 m de um fio longo conduzindo uma corrente 
de 10 A é H � 10/(2π) � 1,6 A/m.
Lei de Ampère. A integral de linha da componente tangencial da intensidade de campo magnético em torno de 
um caminho fechado é igual à corrente total envolvida pelo caminho.
Exemplo 5 Considere um caminho circular de raio r circundando um fio retilíneo infinito, conduzindo uma cor-
rente I. A intensidade de campo magnético no entorno do círculo é um vetor H tangente ao círculo. Seu módulo é 
H � I/(2πr) e a integral de linha em torno do caminho é 2πr � H � 2πr � I/(2πr) � I, confirmando assim a lei de 
Ampère.
Fluxo magnético e sua densidade. Associado ao campo magnético H temos o campo B � μH, chamado de 
densidade de fluxo magnético (também conhecido como indução magnética). Assim como H, B é um campo veto-
rial, isto é, uma grandeza com módulo e orientação. Porém, diferentemente de H, que independe do meio, o campo 
B depende do meio através do fator μ, chamado de permeabilidade. Para o espaço livre (vácuo), a permeabilidade 
é μ0 � 4π � 10
�7 H/m.
Uma vez definida a densidade de fluxo, podemos obter o fluxo magnético Φ através de uma superfície pela in-
tegração da densidade de fluxo através de um elemento diferencial de área ds: . Nessa equação, o pon-
Edminister_01.indd 8Edminister_01.indd 8 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 9
to (�) denota o produto escalar entre o vetor densidade de fluxo magnético e o elemento vetorial de área, resultando 
na contribuição para o fluxo da componente de B normal à área ds. No sistema SI, a unidade de fluxo magnético é o 
weber, representado por Wb, e a unidade de densidade de fluxo é o tesla, representado por T (onde Wb/m2 � T).
Exemplo 6 A densidade de fluxo magnético a 10 m de distância de um fio longo, conduzindo uma corrente CC 
de 100 A no espaço livre, é
O fluxo magnético através de uma área retangular (1 m � 10 cm) coplanar com o fio e situada ao longo dele a uma 
distância de 10 m é � B � S � 2 μT � 10�1 m2 � 2 � 10�7 Wb. O fluxo, neste caso, é constante.
Força sobre uma carga em movimento. Uma partícula carregada em movimento em um campo magnético so-
fre a ação de uma força. O módulo dessa força é proporcional à carga Q, à densidade de fluxo magnético B, à velo-
cidade de movimento v e ao seno do ângulo θ entre os vetores velocidade e densidade de fluxo, ou seja, F � QvB 
sen θ. A força está orientada perpendicularmente a ambos os vetores de velocidade v e densidade de fluxo magné-
tico B. Em notação vetorial, a força é expressa pelo seguinte produto vetorial
Fmagnética � Qv � B
Para uma carga Q em movimento, na presença de um campo elétrico e de um campo magnético, simultaneamente, 
a força total sobre a carga é dada por
Ftotal � Q(E � v � B)
Potencial vetor magnético. Na Seção 1.6, introduzimos a grandeza escalar chamada potencial elétrico, que pode 
ser útil como uma grandeza intermediária no cômputo do campo elétrico. Similarmente, para os campos magnéti-
cos definimos um potencial vetor magnético A de forma que
∇ � A � B
onde ∇ � A é um vetor chamado de rotacional de A (veja a Seção 1.9 para a definição de rotacional). O potencial 
vetor magnético pode ser obtido para uma distribuição de corrente no meio e, após, ser utilizado como uma gran-
deza intermediária para cálculo dos campos B e H (veja o Capítulo 10). A unidade do potencial vetor magnético é 
o weber por metro (Wb/m).
1.8 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Campos elétricos e magnéticos estáticos estão desacoplados um do outro. Desta forma, cada campo existe por si 
só (ou seja, a fonte de campo elétrico independe do campo magnético e vice-versa) e pode ser tratado separada-
mente. Por outro lado, campos variáveis no tempo estão acoplados. Uma primeira descoberta de acoplamento 
eletromagnético foi feita por Faraday, que observou que um campo magnético variável no tempo gera um campo 
elétrico variável no tempo, que, por sua vez, produz uma tensão induzida e uma corrente resultante em um cami-
nho condutor fechado colocado neste campo. Este fenômeno é conhecido como lei de Faraday da indução. Este 
efeito foi verificado experimentalmente pela primeira vez por Faraday em 1831. (Faraday também sugeriu a hipó-
tese de que, de forma similar, um campo elétrico variável no tempo deveria ser fonte de um campo magnético, 
porém não chegou a deduzir tal proposição teoricamente nem apresentar uma demonstração experimental dela. 
Tais feitos couberam, respectivamente, a Maxwell em 1873 e a Hertz em 1893.) Dizemos que uma densidade de 
fluxo magnético variável no tempo produz uma tensão induzida. Tal tensão é chamada de força eletromotriz ou 
simplesmente fem. Uma fem também pode ser produzida por um campo magnético em movimento ou por um 
condutor se movendo em um campo magnético, mesmo quando o campo é constante. Usando o conceito de fluxo 
magnético enlaçado φ (fluxo magnético total enlaçando o circuito), podemos escrever matematicamente a lei de 
Faraday como
onde φ é o fluxo magnético total enlaçando o circuito, sendo também chamado de fluxo magnético enlaçado.
Edminister_01.indd 9Edminister_01.indd 9 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO10
Exemplo 7 Um fio retilíneo longo, localizado no espaço livre, conduz uma corrente de frequência 60 Hz e valor 
rms I0. Para a determinação de I0, uma espira de teste retangular (1 m � 10 cm) é posicionada coplanar com o fio 
e a uma distância de 10 m. O valor rms da fem induzida na espira é 95 μV. Determine I0.
A partir do valor medido de fem � 95 μV, obtemos I0 � 95/0,754 � 126 A.
Aumentando o fluxo enlaçado. O fluxo enlaçado é aumentado de um fator n se a espira de teste tem n voltas. Se 
a espira do Exemplo 7 tiver 100 voltas (como se o fluxo magnético atravessasse 100 espiras quadradas idênticas à 
do exemplo), por exemplo, a fem induzida seria 9,5 mV.
1.9 OPERADORES MATEMÁTICOS E IDENTIDADES
Campos e forças eletromagnéticas são grandezas vetoriais especificadas por seu módulo e sua orientação e repre-
sentadas por símbolos em negrito, como visto nas seções anteriores. Até agora, nos contentamos com casos e 
exemplos simples, que são tratados sem recorrer à álgebra e cálculo vetoriais. Contudo, na análise rigorosa de 
problemas mais gerais em eletromagnetismo, precisamos da álgebra vetorial e de operadores como o gradiente, a 
divergência, o rotacional e o laplaciano. Tais operadores em particular serão discutidos no Capítulo 5 e ao longo 
de todo o livro à medida que for necessário. Alguns operadores e identidades vetoriais importantes utilizados em 
eletromagnetismo estão resumidos na Tabela 1-5. Por simplicidade, são apresentadas as expressões para os opera-
dores apenas em coordenadas cartesianas (expressões similares para os outros sistemas de coordenadas são apre-
sentadas no Capítulo 5). Os vetores unitários nas direções x, y e z são dados, respectivamente, por ax, ay e az.
Tabela 1-5 Alguns operadores e identidades vetoriais úteis
 (1) Vetor em coordenadas cartesianas A � Axax � Ayay � Azaz
 (2) Derivada de um vetor em relação ao tempo
 (3) Produto escalar entre dois vetores A � B � Ax Bx � Ay By � Az Bz
 (4) Produto vetorial entre dois vetores A � B � (Ay Bz � Az By)ax � (Az Bx � Ax Bz) ay � (Ax By � Ay Bx) az
 (5) Operador Del
 (6) Gradiente de um campo escalar
 (7) Divergência de um campo vetorial
 (8) Rotacional de um campo vetorial
 (9) Laplaciano (divergência do gradiente) de um 
campo escalar
(10) Rotacional do rotacional de um campo vetorial ∇ � (∇ � A) � ∇(∇ � A) � ∇2 A
(11) Identidades vetoriais
 (a) A divergência do rotacional é zero
 (b) O rotacional do gradiente é zero
∇ � (∇ � A) � 0
∇ � (∇F) � 0
Edminister_01.indd 10Edminister_01.indd 10 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 11
1.10EQUAÇÕES DE MAXWELL
James Clerk Maxwell (1831-1879) inspirou-se na descoberta de Faraday em 1831, de que um campo magnético 
variável no tempo gerava um campo elétrico e, também, em sua hipótese de que um campo elétrico variável no 
tempo produziria de maneira similar um campo magnético (hipótese esta que Faraday não previu teoricamente nem 
demonstrou experimentalmente).
Em suas tentativas teóricas de formular o acoplamento entre campos elétrico e magnético variáveis no tempo, 
Maxwell verificou a inadequação da lei de Ampère quando aplicada a campos variáveis no tempo, uma vez que, 
nesses casos, o princípio de conservação da carga elétrica era violado (veja o Problema 1.17). Em seus estudos, 
Maxwell introduziu o conceito fundamental de densidade de corrente de deslocamento na lei de Ampère, como 
um complemento à densidade de corrente devido ao movimento de cargas elétricas. A introdução da corrente de 
deslocamento eliminou a contradição na lei de Ampère citada anteriormente e, ainda, permitiu prever, teorica-
mente, que um campo elétrico variável no tempo também produziria um campo magnético. A contribuição de 
Maxwell para o eletromagnetismo clássico foi tão fundamental que as quatro equações a seguir, que contemplam 
todos os fenômenos eletromagnéticos clássicos, levam o nome de Equações de Maxwell.
 
(Lei de Faraday)
 
(Lei de Ampère complementada pela corrente de deslocamento de Maxwell)
 (Lei de Gauss para o campo elétrico)
 (Lei de Gauss para o campo magnético)
Nestas equações, ρ é a densidade de cargas (C/m3) e J é o vetor densidade de corrente (A/m2). As Equações de 
Maxwell constituem a essência do eletromagnetismo clássico. Elas fornecem uma visão completa e geral do com-
portamento de campos eletromagnéticos variáveis no tempo, e a partir delas podem ser deduzidos os casos espe-
ciais relativos a campos estáticos. Ainda, tais equações preveem as importantes ondas eletromagnéticas que se 
propagam no vácuo com a velocidade da luz.
No caso de campos que variam sinusoidalmente com o tempo (campos que apresentam dependência temporal 
segundo o termo ejωt, também chamada variação harmônica no tempo), as Equações de Maxwell podem ser escritas 
na forma fasorial.
No domínio fasorial (ou da frequência), os campos E e B são vetores complexos (ou seja, apresentam parte real e 
imaginária) e função apenas das coordenadas espaciais (x, y e z). Neste caso, os campos compartilham a mesma 
variação temporal dada pelo termo ejωt. A representação fasorial das Equações de Maxwell não impõem qualquer 
tipo de limitação e podem ser utilizadas sem perda de generalidade†.
Equações de Maxwell em um meio livre de fontes. As Equações de Maxwell em um meio linear com permea-
bilidade μ, permissividade � e que não contém cargas ou correntes (ρ � 0 e J � 0) se tornam
† N. de T.: Deve-se ter em mente que, ao utilizar as Equações de Maxwell na forma fasorial, assume-se que os campos possuem 
variação harmônica no tempo. Por outro lado, dado que qualquer função periódica contínua pode ser representada por uma soma de 
senos e cossenos pela aplicação da Série de Fourier, pode-se inferir que a forma fasorial das Equações de Maxwell é bastante geral.
Edminister_01.indd 11Edminister_01.indd 11 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO12
As equações que envolvem o rotacional fornecem duas equações diferenciais parciais de primeira ordem em ter-
mos de E e H, que incluem derivadas em relação ao espaço e ao tempo. Note também que nessas equações diferen-
ciais as grandezas E e H estão acopladas. Para determinação das equações de onda para E e H, tomamos as deriva-
das (espacial e temporal) de ambas as equações diferenciais parciais citadas e, após algumas manipulações, 
obtemos duas novas equações diferenciais parciais em E e H, nas quais tais campos estão desacoplados (veja a 
Seção 1.11). Algumas equações de onda para situações especiais e importantes são derivadas na próxima seção.
1.11 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Ondas eletromagnéticas são padrões de campo variáveis no tempo que viajam através do espaço. Um exemplo é a 
onda plana senoidal no espaço livre com os seguintes campos constitutivos:
onde ax e ay são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. O campo elétrico tem uma componente ape-
nas na direção x, e o campo magnético é ortogonal a ele. Os campos são função de , com um defasa-
mento no tempo dado por segundos a partir de z � 0. Dessas informações e das equações dos campos, pode-
mos inferir que os padrões de campo se propagam na direção positiva de z e com velocidade , que 
corresponde à velocidade da luz (no vácuo). Note que E, H e a direção de propagação da onda eletromagnética (dire-
ção z) formam um sistema de coordenadas que respeita a regra da mão direita. Em conformidade com as Equações de 
Maxwell, temos a seguinte relação entre as amplitudes dos campos E e H: (veja o Problema 1.18).
Neste livro, também estudaremos a propagação de ondas eletromagnéticas em outros meios, diferentes do vá-
cuo; por exemplo, meios dielétricos, meios com perdas, meios dispersivos, linhas de transmissão, guias de onda e 
antenas. As equações que governam as ondas e a propagação delas são chamadas equações de onda. Elas são deri-
vadas diretamente das Equações de Maxwell e possuem a forma de equações diferenciais parciais. A partir da so-
lução de tais equações, são obtidas expressões para os campos E e H em função do espaço e do tempo (x, y, z e t). 
Nesta seção, vamos apresentar as equações de onda para vários casos simples, começando com ondas planas em 
um meio livre de fontes. Deduções e soluções mais detalhadas para as equações de onda serão exploradas poste-
riormente no Capítulo 14.
Ondas planas em um meio livre de fontes. Em uma onda plana, os campos elétrico e magnético dependem do 
tempo e de apenas uma coordenada espacial: a coordenada z. A direção associada a essa coordenada corresponde à 
direção de propagação da onda eletromagnética e de transmissão de energia. Os campos também são perpendicu-
lares entre si. Considerando a direção de propagação em z, o campo elétrico tem apenas uma componente x Ex(z, t) 
e o campo magnético tem apenas uma componente y Hy(z, t). As leis de Faraday e Ampère fornecem duas equações 
diferenciais parciais que acoplam as derivadas de Ex e Hy com relação à z e t. Os passos para desacoplar
† essas 
equações e para obter as equações de onda estão detalhados na Tabela 1-6.
A equação de onda na forma fasorial pode ser obtida a partir da equação correspondente no domínio do tempo. Veja 
o Problema 1.19.
As equações de onda têm a forma da seguinte equação escalar geral (unidimensional):
onde F é o módulo da intensidade de campo na posição z e instante de tempo t, e u é a velocidade de propagação da 
onda. As soluções da equação acima têm a forma F � f(z � ut) e F � g(z � ut), que correspondem, fisicamente, a 
duas ondas se propagando nas direções �z e �z, respectivamente. No campo de uma onda eletromagnética plana, 
† N. de T.: Aqui desacoplar significa obter equações diferenciais que dependem apenas de Ex ou que dependem apenas de Hy.
Edminister_01.indd 12Edminister_01.indd 12 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 13
os campos elétrico e magnético são normais à direção de propagação, e as ondas são ondas planas viajando nas 
direções �z e �z. Para ondas harmônicas (que possuem dependência com o tempo segundo ejωt), a equação geral 
de onda fica
As soluções desta equação são da forma F � Cej(ωt � βz) e F � Dej(ωt � βz), ou qualquer uma das partes real ou ima-
ginária, como, por exemplo, F � C sen(ωt � βz), que foi introduzida como uma onda plana senoidal no início 
desta seção. O termo ω corresponde à frequência angular e β � ω/u corresponde à constante de fase. A forma de 
onda se repete quando z varia de um comprimento de onda dado por λ � 2π/β. A frequência da onda é f � ω/(2π). 
O comprimento de onda e a frequência estão relacionados por f � λ � u.
Equações de onda em um meio livrede fontes. A partir das Equações de Maxwell, podem-se obter as equações 
diferenciais parciais de segunda ordem para E e H em um meio livre de fontes. Tais equações são chamadas de 
equações de onda clássicas ou equações de Helmholtz. Veja a Tabela 1-7 a seguir.
Tabela 1-7 Equações de onda clássicas nos domínios do tempo e fasorial
Domínio do tempo
Domínio fasorial
onde ∇2 é o laplaciano
Tabela 1-6 Derivação da equação da onda plana
Lei de Faraday Lei de Ampère
para ondas planas para ondas planas
diferenciação 
em relação
a z
diferenciação 
em relação
a t
Edminister_01.indd 13Edminister_01.indd 13 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO14
Essas ondas se propagam com velocidade dada por , que é a velocidade da luz em um dado meio. Para 
derivar as equações de onda, vamos iniciar com as Equações de Maxwell em um meio de permeabilidade μ e per-
missividade �, desprovido de cargas e correntes (ρ � 0 e J � 0). O procedimento de dedução está apresentado na 
Tabela 1-8 para o caso do campo elétrico E.
Tabela 1-8 Dedução da equação de onda para o campo elétrico em um meio livre de fontes
Passo 1. Tome o rotacional de ambos os lados da Lei de Faraday
Passo 2. Substitua ∇ � H a partir da Lei de Ampère
Passo 3. Note que o rotacional do rotacional de E é
Passo 4. Note, também, que a divergência de E é nula
Passo 5. Portanto,
Passo 6. Substitua o resultado do Passo 5 no Passo 2 para encontrar
A equação de onda para o campo H pode ser obtida de maneira similar. Para isso, comece no Passo 1 tomando 
o rotacional de ambos os lados da Lei de Ampère e, após, proceda como na Tabela 1-8 (no Passo 2, deve-se substi-
tuir o ∇ � E a partir da Lei de Faraday). Veja o Problema 1.20.
Fluxo de potência e vetor de Poynting. Ondas eletromagnéticas, se propagando a partir de uma fonte como uma 
estação de rádio ou irradiadas pelo sol, transportam energia. A densidade instantânea do fluxo de potência, em um 
dado ponto no espaço e instante de tempo, é dada pelo vetor de Poynting S � E � H, onde E e H são funções reais 
do espaço do tempo. Para ondas planas, o fluxo de potência está na direção de propagação da onda. No sistema SI, 
a unidade de S é (V/m) � (A/m) � (W/m2).
Exemplo 8 Considere uma onda eletromagnética se propagando na direção �z, com campos associados dados 
por E � E0 sen(ωt � βz)ax e H � H0 sen(ωt � βz)ay, onde e O vetor de Poynting 
é sen2(ωt � βz)az � [1 � sen 2 (ωt � βz)] az. O fluxo de potência médio é obtido 
pela integração da potência instantânea ao longo de um período e dividindo o resultado pelo período. Neste exem-
plo, 
Para ondas harmônicas, os campos são dados por RE{Eejωt} e RE{Hejωt}, onde os vetores complexos E e H 
são os fasores associados aos campos elétrico e magnético, respectivamente. O vetor de Poynting complexo é defi-
nido como S � E � H*/2. A potência média é
Exemplo 9 O campo elétrico em um sinal de rádio FM, no espaço livre, é dado por 5 μV/m (rms). Determine a 
potência média do sinal para cada 1 m2.
De acordo com a lei de Faraday, H0 � E0 � 2,6526 � 10
�3 E0 � 13,263 � 10
�9 T (rms). O fluxo médio 
de potência é Pmédia � E0 � H0 � (5 � 10
�15) � (13,263 � 10�9) � 66,214 � 10�15 W/m2 � 66,214 fW/m2.
1.12 TRAJETÓRIA DE UM MOVIMENTO SINUSOIDAL EM DUAS DIMENSÕES
Considere o vetor campo elétrico variável no tempo E � Ex cos ωt ax � Ey cos (ωt � θ) ay, desenhado da origem 
até a ponta (do vetor), de acordo com a seguinte definição dos eixos cartesianos
Edminister_01.indd 14Edminister_01.indd 14 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 15
Assuma que Ex, Ey e θ sejam constantes positivas. À medida que o tempo passa, a ponta do vetor se move no plano 
xy. A trajetória da ponta é determinada pela eliminação da variável t das equações acima, como mostrado a seguir.
(a) Trajetória linear. Para θ � 0 (em fase) ou θ � π (fora de fase), temos:
 e a ponta do vetor descreve uma trajetória linear definida por Veja a Fig. 1-3(a). Girando os eixos x 
e y de um ângulo φ, onde tan φ � Ey/Ex e 0 � φ � π/2, (no sentido horário para θ � 0 e no sentido anti-horário 
para θ � π), o vetor total é dado por E � E cos ωt ax, onde e ax é o vetor unitário na nova dire-
ção x.
(b) Trajetória circular. Para Ey � Ex � E e θ � π/2 ou �π/2, temos:
 Neste caso, a ponta do vetor descreve uma trajetória circular x2 � y2 � E2. Para θ � π/2 o movimento se dá no 
sentido horário e, para θ � �π/2, o movimento se dá no sentido anti-horário. Veja a Fig. 1-3(b).
(c) Trajetória elíptica. Para o caso geral (mas ainda considerando valores constantes de Ex, Ey e θ), temos
 Mas cos2 ωt � sen2 ωt � 1. Assim,
 Neste caso, a ponta do vetor descreve uma trajetória elíptica. Veja a Fig. 1-3(c).
 O produto xy na equação acima pode ser eliminado alinhando os eixos maior e menor da elipse na Fig. 1-3(c) 
com as direções horizontal e vertical. Isso é feito girando os eixos x e y de um ângulo γ no sentido anti-horário, 
onde cot(2γ) � (k2 � 1)/2k cos θ, k � Ex/Ey e 0 � γ � π/2.
E
E Ey
(b) Polarização circular: PCE indica 
polarização circular à esquerda e PCD 
indica polarização circular à direita.
Ex
E
PEE
PED
E
E
(c) Polarização elíptica: PEE indica 
polarização elíptica à esquerda e PED 
indica polarização elíptica à direita.
PCE
PCD
Ex
Ey
(a) Polarização linear.
Figura 1-3 Três tipos de polarização e trajetórias da ponta do vetor E em uma onda plana se propagando na 
direção �z (para fora da página).
Edminister_01.indd 15Edminister_01.indd 15 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO16
1.13 POLARIZAÇÃO DA ONDA
Todas as ondas planas compartilham a propriedade que os campos E e H são perpendiculares à direção de propa-
gação (por exemplo, o eixo z). Em geral, o campo elétrico (assim como o campo magnético) possui duas compo-
nentes: uma na direção x e outra na direção y. No caso de variação senoidal com o tempo (variação harmônica no 
tempo) e meios dielétricos (por exemplo, o espaço livre ou vácuo), os campos são função do termo ej(ωt � βz). Para 
qualquer valor de z, o campo elétrico é dado pelo seguinte vetor variável no tempo
onde ax e ay são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e θ é a diferença de fase entre as componentes 
x e y do campo. Em uma forma mais simples, o campo elétrico é um vetor E com componentes x e y (cada uma 
variando senoidalmente com o tempo) expressas por
Note que este é o mesmo vetor discutido na Seção 1.12 com três trajetórias possíveis para sua ponta (considerando 
a origem do vetor fixa). Cada trajetória está associada a um tipo de polarização de onda como resumido a seguir.
(a) Polarização linear. Em uma onda linearmente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move para trás e 
para frente ao longo de uma linha no plano xy à medida que o tempo passa. Veja a Fig. 1-3(a). As componentes x 
e y do campo podem ser combinadas, representando E por um vetor unidimensional que oscila no tempo, como 
foi considerado anteriormente no caso de ondas planas com campo elétrico contendo apenas uma componente. 
Ainda, é importante mencionar que a soma de várias ondas linearmente polarizadas resulta em uma onda tam-
bém linearmente polarizada. Ondas linearmente polarizadas são também chamadas de ondas planas uniformes.
(b) Polarização circular. Em uma onda circularmente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move ao 
longo de um círculo à medida que o tempo passa. Considerando a direção de propagação �z, se o movimento 
da ponta é no sentido anti-horário (ou seja, na direção dos dedos da mão direita com o polegar apontando na 
direção de propagação), a onda possui polarização circular à direita. Se o movimento da ponta é no sentido 
horário (ou seja, na direção dos dedos da mão esquerda com o polegar apontando na direção de propagação), a 
onda possui polarização circular à esquerda. Veja a Fig. 1-3(b).
(c) Polarização elíptica. Em uma onda elipticamente polarizada, a ponta do vetor campo elétrico se move ao 
longo de uma trajetória elíptica à medidaque o tempo passa. Veja a Fig. 1-3(c). Aqui, assim como no caso de 
polarização circular, o movimento da ponta do vetor pode ser para a esquerda ou para a direita, resultando, 
respectivamente, em polarizações elípticas à esquerda ou à direita.
(d) Alguns efeitos práticos da polarização. Há alguns aspectos, e benefícios, práticos em se reconhecer a polari-
zação de uma onda plana. Alguns exemplos são apresentados a seguir. A polarização de uma antena e a energia 
irradiada por ela são parâmetros relacionados. De modo similar, a energia absorvida por uma antena receptora 
a partir de uma onda incidente está relacionada com a polarização da onda. Por outro lado, em alguns casos, 
a orientação, por exemplo, de uma antena dipolo, não é um fator crítico na recepção de sinais, se são conside-
radas ondas com polarização circular. Por fim, vale salientar que em eletromagnetismo o termo “polarização” 
também é usado na caracterização de um fenômeno típico de meios dielétricos. O termo polarização em die-
létricos diz respeito a um fenômeno físico distinto do analisado nesta seção. Contudo, apesar dessa diferença, 
a polarização de um meio pode alterar sua permissividade relativa (veja a Seção 8.1) e também influenciar na 
polarização de uma onda eletromagnética que atravessa esse meio.
1.14 ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
Uma onda plana no espaço livre se propagando na direção z tem a forma dada por sen(ωt � βz), onde f � ω/(2π) é 
a frequência da onda e λ � 2π/β é o comprimento de onda associado. Em qualquer instante de tempo, a forma de 
onda se repete quando z varia de λ. O comprimento de onda e a frequência estão relacionados por f � λ � u, onde 
u é a velocidade da luz. O espectro eletromagnético se estende desde frequências extremamente baixas (ELF, 3-30 
Hz) até frequências mais elevadas, por exemplo, aquelas associadas aos raios gama (até cerca de 1023 Hz). Um re-
sumo do espectro eletromagnético é apresentado na Tabela 1-9(a). Um resumo das bandas de frequência e aplica-
ções é apresentado na Tabela 1-9(b).
Edminister_01.indd 16Edminister_01.indd 16 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 17
Tabela 1-9(a) Espectro eletromagnético
1000 m � 1 mm 1 mm 750 nm 380 nm 600 pm 3 fm
Ondas de rádio e microondas Infravermelho Luz visível Ultravioleta Raios X Raios gama
300 kHz � 300 GHz 300 GHz 400 THz 760 THz 500 PHz 1023 Hz
Tabela 1-9(b) Bandas de frequência
Nome Frequência Comprimento de onda Aplicações
ELF 3�30 Hz 100 Mm até 10 Mm
SLF 30�300 Hz 10 Mm até 1 Mm Redes de potência
ULF 300�3000 Hz 1 Mm até 100 km
VLF 3�30 kHz 100 km até 10 km
LF 30�300 kHz 10 km até 1 km
MF 300�3000 kHz 1 km até 100 m Transmissão AM
HF 3�30 MHz 100 m até 10 m Ondas curtas
VHF 30�300 MHz 10 m até 1 m FM, TV
UHF 300�3000 MHz 1 m até 10 cm TV, celular
SHF 3�30 GHz 10 cm até 1 cm Radar, dados
EHF 30�300 GHz 1 cm até 1 mm Radar, dados
As siglas dos nomes das faixas de frequência advêm de termos em inglês: E � Extremely (Extremamente), S � Super (Super), U � 
Ultra (Ultra), V � Very (Muito), L � Low (Baixa), M � Medium (Média), H � High (Alta), F � Frequency (Frequência). Assim, 
por exemplo, as faixas ELF e VHF indicam, respectivamente, frequências extremamente baixas e frequências muito altas.
1.15 LINHAS DE TRANSMISSÃO
Linhas de transmissão são estruturas compostas por dois (ou mais) condutores que guiam ondas eletromagnéticas 
entre dois dispositivos (por exemplo, entre uma fonte geradora e uma carga) separados por uma distância. São 
exemplos de linhas de transmissão: linhas de alta tensão, linhas telefônicas, cabos coaxiais e microfitas. Uma linha 
de transmissão tem resistência, indutância, condutância e capacitância, todos esses parâmetros distribuídos ao lon-
go de todo seu comprimento. As equações de onda e o comportamento de uma linha de transmissão podem ser 
obtidos a partir de um modelo com parâmetros distribuídos, conforme apresentado a seguir.
Equações das linhas de transmissão. Considere uma porção incremental Δx de uma linha de transmissão e um 
modelo dessa porção formado por um circuito de dois terminais constituído por elementos (resistência, indutância, 
condutância e capacitância) concentrados, como ilustrado na Fig. 1-4.
v(x, t)
R L
G C
i(x, t)
�
�
Δ X
Figura 1-4 Modelo com parâmetros concentrados de uma porção incremental de uma linha de transmissão.
Pela aplicação da lei de Kirchhoff das tensões à malha fechada do circuito da Fig. 1-4 e da lei de Kirchhoff das cor-
rentes ao nó principal desse mesmo circuito e, após, dividindo ambos os lados por Δx, obtemos as seguintes equações
onde os parâmetros R e L são a resistência e a indutância por unidade de comprimento associadas aos condutores 
da linha. De modo similar, os parâmetros G e C são a condutância e a capacitância por unidade de comprimento 
Edminister_01.indd 17Edminister_01.indd 17 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO18
associadas ao dielétrico que separa os condutores da linha. No limite Δx → 0, as equações anteriores tornam-se 
equações diferenciais parciais de primeira ordem:
Regime permanente senoidal (CA). Em regime permanente senoidal (CA), as tensões e as correntes podem ser 
expressas como fasores, resultando nas equações derivadas na Tabela 1-10.
Tabela 1-10 Derivação das equações das linhas de transmissão na forma fasorial
onde Z � R � jLω, Y � G � jCω e é chamado de constante de pro-
pagação. As equações na forma fasorial apresentadas têm a mesma forma que as equações de onda. As soluções são:
onde os números complexos V0
�, V0
�, I0
� e I0
� são constantes de integração (obtidas das condições de contorno 
da linha, como ilustrado no Exemplo 10 mais adiante). Essas constantes também estão relacionadas pela equação 
da linha (Tabela 1-10). Assim,
onde , chamada de impedância característica da linha. Os fasores de tensão e corrente podem imedia-
tamente serem transformados para as grandezas correspondentes no domínio do tempo. Por exemplo, uma repre-
sentação da tensão ao longo da linha no domínio do tempo é
onde
As equações de tensão e corrente podem ser interpretadas como ondas senoidais (frequência angular ω) se propa-
gando ao longo da linha, com redução da amplitude na direção de propagação. Uma onda, chamada de onda inci-
dente , viaja para a direita (na direção �x) com redução da amplitude governada pelo termo V0
�e�αx. A outra 
onda, chamada de onda refletida , viaja para a esquerda (na direção �x) com redução da amplitude governada 
pelo termo V0
�e�αx. Os seguintes parâmetros (válidos para cada ponto da linha) são definidos para uma linha de 
transmissão e utilizados em sua análise.
Coeficiente de reflexão:
 
Impedância (vista pela carga em qualquer ponto da linha): 
Edminister_01.indd 18Edminister_01.indd 18 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 19
Regime permanente senoidal (CA) em uma linha sem perdas. Se R � G � 0 (ou em altas frequências, quan-
do a contribuição desses dois parâmetros para γ pode ser ignorada), a constante de propagação torna-se um núme-
ro puramente imaginário, γ � jβ. Nestes casos, a solução das equações de linhas de transmissão fica
onde e . As constantes V0
� e V0
� são determinadas a partir das condições de contorno (veja 
o Exemplo 10).
Exemplo 10 Uma linha de transmissão conecta um gerador CA (Vg � 10 Vrms, frequência 750 MHz e impedância 
interna Zg � 10 Ω) a uma carga ZR � 150 Ω (veja a Fig. 1-5). A linha tem comprimento de 20 cm e parâmetros 
distribuídos L � 0,2 μH/m e C � 80 pF/m. Determine a tensão e a corrente na linha.
I
V ZRVg ��
Zg
Zent
x��� x�0
�
Figura 1-5 Linha de transmissão conectando um gerador a uma carga.
As expressões desenvolvidas para e em regime permanente senoidal serão utilizadas. A partir dos valores 
dados para a linha, temos , e Vamos considerar a carga localiza-
da em x � 0 e o gerador em x � ��. As constantes V0
� e V0
� podem ser obtidas aplicando as condições de contor-
no para essas duas extremidades da linha conformea seguir.
(a) Em x � 0 (extremidade ou terminal da carga)
 Porém, a característica i � v da carga requer que Assim,
 de onde
(b) Em x � �� (extremidade ou terminal do gerador)
Edminister_01.indd 19Edminister_01.indd 19 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO20
 Porém, a aplicação da lei de Kirchhoff das tensões em x � �� resulta em Assim,
de onde
Substituindo os dados numéricos , Z0 � 50, β� � 1,2π, Γ � 0,5 e Zg � 10 nas equações anteriores, 
obtemos e . Finalmente, as ondas de tensão e corrente ao longo da linha (�0,2 
� x � 0) são
onde o ângulo de fase de 160° foi convertido para 160π/180 � 2,7925 radianos. Um deslocamento para a direita (atra-
so) de 2,7925/ω � 593 ps na origem de tempo produz , e as equações de tensão e corrente ficam
Impedância de entrada em uma linha sem perdas. A impedância de entrada de uma linha sem perdas é defi-
nida como a razão entre os fasores de tensão e corrente em x � ��. Ela pode ser expressa em termos do coeficien-
te de reflexão:
onde é o coeficiente de reflexão na extremidade da carga. A impedância de entrada também pode ser ex-
pressa em termos da impedância da carga pela substituição de na expressão anterior. O resultado é
Exemplo 11 Substitua o circuito da Fig. 1-5 pelo circuito equivalente da Fig. 1-6 e utilize-o para obter V0
�.
Vg �
�
�
�
Zg I(��)
V(��) Zent
Figura 1-6 Circuito equivalente da linha de transmissão da Fig. 1-5.
Da Fig. 1-5, 
 
Da Fig. 1-6,
 
Edminister_01.indd 20Edminister_01.indd 20 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 21
A partir das expressões anteriores, 
Exemplo 12 No circuito do Exemplo 10, (a) determine a impedância de entrada da linha (no terminal do gerador, 
olhando em direção à carga), e (b) use o circuito equivalente da Fig. 1-6 para calcular V0
�.
(a) Dados os parâmetros Z0 � 50, ZR � 150, β� � 1,2π e tan β� � 0,7265, podemos calcular Zent:
(b) Dados os parâmetros , Zg � 10, , β� � 1,2π e Γ � 0,5, podemos calcular V0
�:
Alguns parâmetros de linhas sem perdas. A frequência angular é ω [frequência f � ω/(2π) Hz e período T � 1/f 
segundos]. As ondas incidentes e refletidas são senoides com amplitudes V0
� e V0
�, respectivamente (considerando 
ondas de tensão). Cada onda se repete após viajar uma distância de λ � 2π/β, que é chamada de comprimento de 
onda. A velocidade de fase da onda viajante em uma linha sem perdas é Para linhas a dois 
fios (bifilar) ou coaxial (considerando que os condutores são ideais e que o meio que os separa é um dielétrico perfei-
to), LC � μ�, que resulta em uma velocidade de fase , onde μ e � são, respectivamente, a permeabilidade 
e a permissividade do meio entre os condutores da linha. Uma vez que, em geral, a permeabilidade e a permissivida-
de de um meio são especificadas em termos de seus valores relativos àqueles do vácuo (espaço livre), μ � μrμ0 e � � 
�r�0, a velocidade de fase pode ser expressa como , onde é a velocidade da luz no vácuo.
A amplitude da onda de tensão tem um valor máximo e um valor mínimo, sendo a razão entre tais valores 
chamada de razão de onda estacionária, ROE, e definida como
 onde é o coeficiente de reflexão de tensão.
Linha em curto. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em curto-circuito (ZR � 0 na Fig. 1-5), então
A impedância de entrada da linha é reativa (indutiva, quando tan β� 	 0, e capacitiva, quando tan β� 
 0). Obser-
ve que β� � 2π�/λ. Para � � kλ/2, sendo k um inteiro (ou seja, uma linha cujo comprimento é múltiplo da metade 
do comprimento de onda), β� � kπ�, que implica em tan β� � 0, e a linha é vista como um curto-circuito.
Linha em aberto. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em um circuito aberto (ZR � � na Fig. 1-5), então
Edminister_01.indd 21Edminister_01.indd 21 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO22
A impedância de entrada da linha é reativa. Novamente, note que para � � (2k �1)λ/4, sendo k um inteiro, β� � 
(2k � 1)π/2, que implica em cot β� � 0, e a linha é vista como um curto-circuito.
Linha casada. Se a linha tem a extremidade da carga terminada em uma impedância igual à impedância caracte-
rística da linha (ZR � Z0 na Fig. 1-5), então
Em qualquer ponto da linha, as ondas de tensão e corrente estão em fase com uma razão constante e igual à impe-
dância característica da linha. Neste caso, temos que a impedância de entrada é igual a Z0.
Potência em uma linha sem perdas. A potência instantânea entregue à carga é p(t) � v(t)i(t), onde v(t) e i(t) são 
a tensão e a corrente instantâneas na carga, respectivamente. A potência média durante o período de t até t � T é
Em regime permanente senoidal,
No domínio fasorial,
onde é o fasor de tensão na carga, é o complexo conjugado do fasor de corrente na carga e θ é o ângulo de fase 
do fasor de corrente, considerando o fasor de tensão como referência (ângulo de fase nulo). Assim, em uma linha 
de transmissão sem perdas, a potência média entregue à carga pela onda incidente e a potência média refletida da 
carga, considerando a onda refletida, são, respectivamente,
A potência líquida entregue à carga é
(A superposição das potências se aplica, pois as ondas incidente e refletida possuem a mesma frequência.)
Problemas Resolvidos
Observação: Considera-se o sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) com vetores unitários ax, ay e az nos pro-
blemas a seguir. Assim, (a, b, c) indicam um ponto tridimensional no espaço com x � a, y � b e z � c. De modo 
similar, um ponto no plano xy é indicado por (a, b).
 1.1 Duas cargas pontuais idênticas Q estão separadas por uma distância d em um meio homogêneo. Determine 
a intensidade de campo elétrico em um ponto distante de r de cada carga (veja a Fig. 1-7). Encontre as in-
tensidades de campo próximo e distante.
Edminister_01.indd 22Edminister_01.indd 22 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 23
Pelo princípio da superposição, E � E1 � E2, onde E1 e E2, cada um com módulo Q/(4π�r
2), correspondem às inten-
sidades de campo devido a cada carga. Vamos considerar a linha conectando as duas cargas como o eixo x e o ponto 
médio entre elas como a origem do sistema de coordenadas. Tendo isso em conta, a carga de teste estará localizada em 
 Observando a Fig. 1-7, pode-se notar que as componentes x de E1 e E2 se cancelam mutuamente, en-
quanto as componentes y se adicionam. A partir da lei de Coulomb e da geometria do problema, temos que a intensidade 
de campo elétrico em um ponto sobre o eixo y é
onde ay é o vetor unitário na direção y. Considerando a origem (ponto médio entre as cargas, r � d/2) como a região de 
campo próximo, temos que o campo elétrico é nulo. Para regiões distantes, r 		 d, o campo é ou seja, 
aproximadamente o campo devido a uma carga pontual de valor 2Q localizada na origem.
 1.2 Repita o Problema 1.1 para duas cargas de mesmo valor, porém de sinal contrário.
Aqui, as componentes y de E1 e E2 se cancelam mutuamente, enquanto as componentes x se adicionam (veja a Fig. 1-8). 
Da geometria do problema, temos
Q Q
rr
E
E1E2
d
Figura 1-7 Intensidade de campo elétrico ao 
longo da bissetriz ortogonal à linha que conecta as 
duas cargas de mesmo sinal �Q.
Q �Q
rr
E
E1
E2
d
Figura 1-8 Intensidade de campo elétrico ao 
longo da bissetriz ortogonal à linha que conecta as 
duas cargas de sinais opostos �Q.
Da expressão anterior, podemos observar que o campo é inversamente proporcional a r3, ou seja, tende a zero para regiões 
mais distantes. Na origem r � d/2, o campo é que corresponde ao campo devido a uma carga pontual �2Q.
 1.3 Duas cargas pontuais, de valor 0,1 μC e sinais opostos, estão localizadas no vácuo sobre o eixo x, estando 
a carga positiva em x � �1 e a negativa em x � �1. (a) Calcule a intensidade de campo no ponto (0, 1) m. 
(b) Aproxime o valor da intensidade de campo em um ponto 10 cm distante de uma das cargas ignorando a 
contribuição da outra carga e determine o erro percentual associado a essa aproximação.
(a) Assimcomo na Fig. 1-8, as componentes y dos campos produzidos por cada carga pontual se cancelam mutuamente, 
enquanto as componentes x se adicionam, resultando em . Com Q � 0,1 μC, d � 2 m e m, 
obtemos E � 636,4 ax V/m.
(b) Cada carga pontual tem influência predominante no campo total, se considerada a região em seu entorno até um 
raio de 10 cm, resultando em E � � 180 ar kV/m, onde ar é o vetor unitário radial, tendo as cargas como centro. O 
campo aponta radialmente para fora em x � �1 e radialmente para dentro em x � �1. Os maiores erros ocorrem 
quando o ponto de cálculo está em (�0,9; 0), com um erro relativo percentual de 100 � 1/(1 � 192) � 0,275%.
 1.4 Três cargas pontuais Q, Q1 e Q2 estão dispostas na forma de um triângulo equilátero de lado d. Consideran-
do o meio homogêneo, determine a força elétrica sobre Q.
Vamos considerar a linha conectando Q1 e Q2 como o eixo y e o ponto médio entre elas como a origem do sistema de co-
ordenadas (veja a Fig. 1-9). As forças exercidas por Q1 e Q2 sobre Q são dadas, respectivamente, pelos vetores F1 e F2.
Edminister_01.indd 23Edminister_01.indd 23 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO24
d
d
xd
y
Q2
Q1
F1
F2
Q
F
Figura 1-9 Forças sobre a carga Q devido às cargas Q1 e Q2.
onde a1 e a2 são os vetores unitários apontando, respectivamente, de Q1 e Q2 para Q e k � Q/(4π�d
2). A força total sobre 
Q é a soma vetorial F � F1 � F2 obtida a partir da soma individual das componentes x e y das duas forças. Assim,
 1.5 Considere uma carga Q1 localizada no ponto (0, �d) e outra carga Q2 localizada no ponto (0, d). Desenvolva 
uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico em um ponto de teste (x, y) em função de d, Q1, 
Q2, x e y.
Sejam R1 e R2 os vetores conectando respectivamente Q1 e Q2 ao ponto (x, y).
 1.6 As linhas de fluxo em um ponto qualquer no interior de um campo elétrico em um meio homogêneo são 
tangentes ao vetor intensidade de campo elétrico neste ponto. Tendo isso em mente, considere o campo 
elétrico em um meio homogêneo gerado por duas cargas pontuais �Q localizadas em �d sobre o eixo x, 
respectivamente. Determine a orientação das linhas de fluxo nos pontos (�d, 0) e (0, y).
Cada carga pontual tem influência predominante sobre o campo em suas vizinhanças, resultando em uma direção 
radial para o vetor intensidade de campo elétrico e para as linhas de fluxo (que se originam de x � d e terminam em x 
� �d). Já ao longo do eixo y, as linhas de fluxo se tornam horizontais (apontando da direita para a esquerda), pois as 
componentes y dos campos de cada uma das cargas se cancelam mutuamente, enquanto as componentes x se adicionam.
 1.7 Duas pequenas esferas, cada uma com massa m � 1 grama, estão suspensas próximas uma da outra por duas 
cordas de comprimento l � 10 cm, como ilustrado na Fig. 1-10(a). Considere que as esferas estão colocadas 
no vácuo e que experimentam uma atração gravitacional (g � 9,81 m/s2). Quando cada esfera é carregada 
com uma carga Q, elas se separam por uma distância de d � 1 cm, como ilustra a Fig. 1-10(b). Encontre Q.
Edminister_01.indd 24Edminister_01.indd 24 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 25
� �
� �
d
Q Q
Θ Θ
mg mg
(a) (b)
F F
Figura 1-10 Dois corpos carregados se repelem com uma força de módulo .
A carga pode ser calculada a partir da distância de separação d. A força gravitacional em cada esfera tem módulo igual 
a mg e aponta para baixo. Já a força de Coulomb tem módulo dado por F � Q2/(4π�d2) e aponta na direção horizon-
tal, afastando uma esfera da outra. No equilíbrio, cada corda tem seu eixo alinhado com a direção da força total, que 
corresponde à soma vetorial da força gravitacional com a força elétrica de Coulomb. A partir da semelhança entre os 
triângulos formados pelas forças e pelas cordas, temos
Substituindo F por Q2/(4π�d2) e resolvendo a equação anterior para Q, temos
Com �0 � 8,854 � 10
�12 F/m, d � 0,01 m, � � 0,1 m e m � 10�3 kg, obtemos Q � 2,3376 nC.
 1.8 Uma linha retilínea, infinitamente longa, tem uma distribuição uniforme de cargas de densidade ρ C/m. Use 
a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um ponto a uma distância radial r da linha.
Para solucionar este problema, vamos considerar uma superfície fechada cilíndrica de comprimento �, com seção reta 
circular uniforme de raio r e cujo eixo coincide com a linha de cargas. No interior dessa superfície fechada, temos uma 
carga total de Q � ρ�. Devido à simetria da distribuição de cargas, o campo E aponta na direção radial e tem o mesmo 
módulo sobre a superfície lateral do cilindro. O fluxo total através da superfície é Ψ � D � A, sendo D o módulo da 
densidade de fluxo elétrico e A a área total que o fluxo corta, ou seja, Ψ � �E � � � 2πr. Mas, pela lei de Gauss, Ψ � Q,
então E � ρ/(2π�r), onde ρ � Q/�. 
 1.9 Um plano infinito está uniformemente carregado com uma densidade ρ C/m2. Use a lei de Gauss para deter-
minar o campo elétrico em um ponto a uma distância r do plano.
Para solucionar este problema, vamos considerar uma superfície fechada cilíndrica com seção reta de área S, paralela 
ao plano, e de tal forma que o plano secciona o cilíndrico em duas partes de comprimentos iguais. No interior dessa su-
perfície fechada, temos uma carga total de Q � ρS. Devido à simetria, o campo E é normal ao plano e aponta para fora 
dele (considerando o plano positivamente carregado), além de apresentar o mesmo módulo sobre as seções transversais 
do cilíndrico (seções superior e inferior). O fluxo total sobre as seções do cilíndrico é Ψ � �E � 2 � S. Mas, pela lei 
de Gauss, Ψ � Q, de onde E � ρ/(2�), ou seja, o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado 
independe da distância do ponto de cálculo ao plano.
 1.10 Uma distribuição uniforme de cargas com densidade ρ C/m2 é estabelecida sobre o plano infinito xy (z � 0). 
Determine o potencial elétrico em pontos acima e abaixo do plano.
Para z 	 0, o vetor intensidade de campo elétrico é E � ρ/(2�) az e V � E � z � ρz/(2�). Para z 
 0, E � �ρ/(2�) az 
e V � �ρz/(2�).
 1.11 Um plano infinito em z � d está uniformemente carregado com uma densidade ρ C/m2, e um segundo plano 
em z � 0 também está uniformemente carregado com �ρ C/m2. Determine a intensidade de campo elétrico E 
e o potencial V para a região �� 
 z 
 �, considerando a referência de potencial nulo localizada em z � 0.
Edminister_01.indd 25Edminister_01.indd 25 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO26
Sejam E1 e E2 os vetores intensidade de campo elétrico devido ao primeiro e segundo planos, respectivamente. A partir 
do resultado do Problema 1.10 e utilizando o princípio da superposição, temos
Pela integração do campo E ao longo do eixo z, tendo como referência de potencial zero o plano z � 0, obtemos 
 1.12 Dois planos paralelos possuem distribuições uniformes de cargas com densidades de �ρ0 cos(ωt), res-
pectivamente. Determine o módulo do vetor intensidade de campo elétrico, o potencial escalar elétrico e a 
corrente de deslocamento na região entre os planos, considerando que essa região é preenchida com (a) ar e 
(b) um material dielétrico com �r � 100.
(a) 
(b) 
Note que a corrente de deslocamento permanece a mesma em (a) e (b). Por outro lado, a intensidade de campo elétrico 
e o potencial elétrico são reduzidos por um fator de 100 em (b).
 1.13 Determine os valores médio e rms da força por unidade de comprimento entre dois fios infinitos paralelos, 
localizados no ar e separados por uma distância de 1 m, cada um conduzindo uma corrente CA (60 Hz) de 
100 amperes (rms) em sentidos opostos.
O valor médio de F é 2 � 10�3 N. Seu valor rms é 2 � 10�3 � 2,45 � 10�3 N.
 1.14 Dois fios infinitos paralelos, separados por uma distância de 1 m, estão 6 m acima do solo. Cada um conduz uma 
corrente alternada (CA) (60 Hz) de 100 amperes (rms), porém, em sentidos opostos. Encontre a densidade de 
fluxo magnético B em um ponto sobre o solo e localizado a uma distância igualdos dois fios (veja a Fig. 1-11).
B1B2
d
h
B
Figura 1-11 Densidade de fluxo magnético B � B1 � B2 devido a um par de 
fios aéreos conduzindo correntes em sentidos opostos.
A corrente instantânea nos fios é sen (377t). A densidade de fluxo magnético devido a cada fio tem magnitude
Edminister_01.indd 26Edminister_01.indd 26 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 27
e faz um ângulo reto com a linha que conecta o ponto de cálculo ao fio. Pela geometria do problema, as componentes 
horizontais de B1 e B2 se cancelam, enquanto as componentes verticais se adicionam. A partir da semelhança entre os 
triângulos formados pelos vetores e pelas distâncias, obtemos B � 0,78 ay μT.
 1.15 Um corrente alternada em um fio aéreo gera um campo magnético alternado dado por BCA � 50 sen(377t) μT em 
um ponto localizado abaixo do fio. O campo magnético terrestre estático nas proximidades vale BCC � 50 μT 
e aponta em direção ao norte. Determine o campo total (valores instantâneo, médio e rms) nas proximidades 
do fio se a corrente circula no sentido (a) oeste-leste ou (b) sul-norte.
Vamos considerar a direção oeste-leste como sendo o eixo x e a direção sul-norte como sendo o eixo y, com vetores 
unitários ax e ay, respectivamente. Então, B � BCC � BCA, onde BCC � 50ay μT.
(a) 
(b) 
Todos os valores de campo magnético estão em μT.
 1.16 Uma pequena espira quadrada (1 m � 10 cm) é colocada paralelamente a um fio retilíneo muito longo, e a 
uma distância de 10 m dele. O fio está localizado no espaço livre (vácuo) e conduz uma corrente senoidal 
de 50 A (rms) e frequência f Hz. Obtenha a fem induzida na espira em função de f e determine seu valor rms 
para as frequências 60 Hz e 60 kHz.
O valor rms da fem induzida é 0,2πf (μV). Para 60 Hz, o valor é 37,7 μV e, para 60 kHz, torna-se 37,7 mV.
 1.17 Prove a necessidade da corrente de deslocamento introduzida por Maxwell na lei de Ampère.
Primeiro, considere a lei de Ampère em sua forma original, ∇ � H � J e, então, tome a divergência de ambos os la-
dos: ∇ � (∇ � H) � ∇ � J. Mas ∇ � (∇ � H) � 0 (a divergência do rotacional é sempre zero, de acordo com a linha 
11a na Tabela 1-5). Isso implica em ∇ � J � 0, o que contraria, no caso de campos variáveis no tempo, a conservação 
da carga, que estabelece que Considere, agora, a lei de Ampère na forma modificada, com a inclusão 
da corrente de deslocamento introduzida por Maxwell, , e tome a divergência de ambos os lados: 
 Pela lei de Gauss, Assim, que corres-
ponde à equação de conservação da carga para campos variáveis no tempo. Desse modo, a inclusão da corrente de 
deslocamento na lei de Ampère resolve a contradição da conservação da carga.
 1.18 Considere o par de vetores e , onde ax e ay são 
os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Mostre que, de modo a obedecer as Equações de 
Maxwell (i.e., de modo que tais campos estejam fisicamente associados a uma onda eletromagnética em um 
meio homogêneo), devemos ter 
A lei de Faraday estabelece que Neste problema temos 
e . De modo a satisfazer a lei de Faraday, devemos ter ou 
No espaço livre, H0 � 2,65258 � 10
�3E0.
 1.19 Considerando um meio livre de fontes, derive a equação de onda para o campo E no domínio fasorial a 
partir da equação no domínio do tempo.
A equação de onda para o campo E no domínio do tempo é . Considerando ondas com variação harmô-
nica no tempo temos
Edminister_01.indd 27Edminister_01.indd 27 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
ELETROMAGNETISMO28
Substituindo as expressões anteriores na equação no domínio do tempo e cortando o termo comum ejωt de ambos os 
lados obtemos , que corresponde à equação de onda para E no domínio fasorial.
 1.20 Considerando um meio livre de fontes, derive a equação de onda para o campo magnético a partir das Equa-
ções de Maxwell.
Vamos iniciar com as Equações de Maxwell para um meio sem fontes, como apresentadas a seguir, e, após, aplicar os 
Passos 1, 2 e 3, indicados em seguida.
 Lei de Faraday: Lei de Gauss para o campo elétrico: 
 Lei de Ampère: Lei de Gauss para o campo magnético: 
Passo 1. Tome o rotacional de ambos os lados da lei de Ampère 
 Da lei de Faraday, temos 
 Substituindo na primeira equação resulta em 
Passo 2. Aplicando uma identidade vetorial, temos 
 Mas a divergência de H é zero, 
 Então, 
Passo 3. Igualando os resultados dos Passos 1 e 2, obtemos 
Problemas Complementares
 1.21 Duas cargas pontuais idênticas de mesmo sinal e valor Q estão localizadas no plano xy nos pontos (�d/2, 0) e (d/2, 0). 
(a) Determine o campo elétrico sobre o eixo z, a uma distância z da origem. (b) Obtenha o valor desse campo conside-
rando Q � 0,5 nC, d � 2 m e z � 1 m.
 1.22 Quatro cargas pontuais idênticas, de valor 0,25 nC, estão localizadas no plano xy nos vértices de um quadrado de lado 
m, centrado na origem. Determine o vetor intensidade de campo elétrico em z � 1 m.
 1.23 Uma carga total de 1 nC está igualmente distribuída em 2n pontos igualmente espaçados ao longo de um círculo de raio 
de 1 m, localizado no plano xy e centrado na origem. Determine o vetor intensidade de campo elétrico sobre o eixo do 
círculo nos pontos z � �1 m.
 1.24 Considere que uma carga total de 0,5 nC está igualmente distribuída em n pontos dispostos aleatoriamente sobre um 
circulo unitário, localizado no plano xy e centrado na origem. Agora, considere outro conjunto de cargas idênticas dis-
tribuídas nesse mesmo círculo em localizações que correspondem à imagem especular do primeiro conjunto de cargas, 
em relação à origem. Determine a intensidade de campo elétrico sobre o eixo do círculo nos pontos z � �1 m.
 1.25 Uma carga Q está uniformemente distribuída sobre um anel circular com raio r e centrado na origem do plano xy. (a) 
Determine o campo elétrico em um ponto z qualquer ao longo do eixo do anel (eixo z). (b) Obtenha o valor desse campo 
para Q � 1 nC e r � z � 1 m.
 1.26 Nove anéis concêntricos possuem distribuições de cargas com densidades definidas por nC/m, onde k � 1, 2,..., 
9 m é o raio de um anel. (a) Determine a carga total Q sobre o conjunto. (b) Determine a intensidade de campo elétrico 
sobre o eixo dos anéis a uma distância de 5 m do centro. (c) Determine o raio m do anel equivalente com uma densidade 
de cargas uniforme Q/(2πm), que produziria o mesmo campo E sobre seu eixo a uma distância de 5 m do centro.
 1.27 Duas cargas pontuais de 0,5 nC estão localizadas no plano xy nos pontos (1, 1) e (�1, 1). Duas outras cargas de �0,5 nC 
estão localizadas no mesmo plano e nos pontos (�1, �1) e (1, �1). Determine o campo elétrico sobre o eixo z em z � 1.
 1.28 Duas cargas pontuais de 0,5 nC estão localizadas no plano xy nos pontos (1, 0) e (0, 1). Duas outras cargas de �0,5 nC 
estão localizadas nos pontos (�1, 0) e (0, �1). Determine o campo elétrico sobre o eixo z em z � 1.
 1.29 Vinte cargas pontuais estão dispostas em posições equidistantes ao longo de um círculo unitário, localizado no plano xy 
e centrado na origem. As primeiras 10 cargas pontuais (localizadas no semicírculo superior, y 	 0) são de 50 pC cada, 
e as 10 cargas restantes (localizadas no semicírculo inferior, y 
 0) são de �50 pC cada. Determine o campo elétrico a 
uma distância vertical de 1 m do centro do círculo.
 1.30 Uma lâmina infinita em z � 0 está uniformemente carregada com densidade de 2 nC/m2. Sobre o lado z 	 0, a lâmina 
está coberta com uma camada de 1 cm de um material dielétrico com �r � 100. Determine a densidade de fluxo elétrico 
D e a intensidade de campo elétrico E para z 	 0.
Edminister_01.indd 28Edminister_01.indd 28 16/10/12 10:2116/10/12 10:21
CAPÍTULO 1 • O TEMA ELETROMAGNETISMO 29
 1.31 A diferença de potencial entre duas placas paralelas infinitas, separadas por 10 cm, é 100 V. Determine o campo elétrico 
no espaço entre elas.
 1.32 Seja uma diferença de potencial v(t) � 100 cos(36000πt) aplicada entre duas placas paralelas infinitas, separadas por 
uma distância de 1 cm. Determine a corrente de deslocamento