Cálculo de Funções de Várias Variáveis

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C ÁL C U L O D E F U N ÇÕE S D E
V ÁR IA S V A R IÁV E IS
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C A L C U L O D E F U N ÇÕE S D E
V A R IA S V A R IÁV E I S
ı
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加 D ıcE
C A P IT U L O ı R E V I S Ão D E R IV A D A S I N T E G R A I S pAc 0 4
M P IT U L 0 2 F U N ÇÕE S D E V ÁR IA S V A R IÁV E I S P ÁC 2 7
C A P IT U L 0 3 D E R ıvA D A s pA R C IA Is pÁG 4 3
C A P ŔT U L O 4 D E R IV A D A S D I R E C IO N A IS pÁc 6 ı
P ÁC 7 3C A P IT U L 0 5 I N T E G R A I S n ÚL T IpL A S
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cA ptruLo ı R E V ısAo
ı I D E R IV A D A S
1 1 ıı R eoraı e proıuıulledadesdes
(cy O ı onde c é um a constante (xy 1
real
(x" y. N xn 1 (cos xy senx
(senxy cos x (e × y E x
(ın v
1
/ į (tg×y se x
(a x y A x Ina (sec xy= sec tgx
(cotg×y cos sec2 x (cos secxy cos secK cotgx
巴 8 × 5E xem plo 1 A derivada de y 4 x
2 5x + 6 é y
dx
' Ų 1
E xem pb 2 A derivada de y一 石 ×2 é y dx 丽
E xem plo 3 A derıvada de f(x» senx ◆ 4 cos x é P (x) cos x 4 senx
dp 4
Exem pıo 4 A derivada de P (X ) 4 lnxé di i
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ı ı 2 {hædeM e
■ ra do P rttduto R ev a do qııoden te
E xem pıo 1 consıdere a funç* o y x3 cosx para en«nntrarm os a derivada dæ ı
runç8o devem os utllızar a regra do produto (uvY u v + u v
Fołcm os u x3 , com u 3×
2
e v cosx com v senk
A ssım
3×2 cO sx x3senx
y . x
2{3 cosx xsem ¢ 
E xem pıo 2 C on 引 dere o funç8o y 
ľ 
e i para encontrarm os a derıv d*eıı) + 2 x
¢unçao devem os utllızar a rB gra do quociente : ( · \ tfv u vL · ) v 2
Fazem os u = senx com u cosx e v x2 + 2 x oom v 2x + 2
A ssım
y
cos X (y2 ◆ 2x) sem i (2 x ◆ 2)
(x2 ◆ 2x) 2
ı ı 3 m Tınm t=
A feta t* ngentlp * unu funç$o y» f (x) em xa ë ė a r« a ą uE p* ssa pe» peıaæ
(a ft · )) e tem Jttclłnaçlo ıgm l a r (a)
i
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ıı4 m d* yatıacäa
C onsidere a sttuagāo a seguir
 posiçäo de uma partícula é dada pela equaç ão s (t) = 3
_ tz +2 ot, onde t é?
m edido em segundos e s é m edido em m etros
para determ inarm os a posição da partícula no Instante em t 2 segundos, basta
substltulrm os t = 2 na fungãa s (t) t3 6t
z 
+ 2 0t, conform e segue
s (2) 2 3 6 2 2 + 2 0 2 - 2 4 m etros
para determ inarm os a velocidade da particula no Instante t 2 segundos
devem os encontrar prim eiram ente a derivada da fungāo s (t) = t3 6t2 + 2ot
V elocidade taxa de varïaçāa (instantânea) do espago pelo tem po, ou seja
V (t) Ę
dt
V (t) å 3t2 1 2 t+ 2 0
V (2) = 3 22 1 2 2 + 2 0 8 m /s
Exem plo U m reservatário de äglıa está sendo esyazlado para lim peza O volum e
de água no reservatório em litros, t horas após o escoam ento ter com eçado é
dado por V (t) 1 & 2 6 0 + 1 0 0 0 0
a) D eterm ine o volum e de água no reservatório no Instante t = 3 horas
V (t) 1 BtZ 6 0 0 1 + 10 0 0 0
V (2 ) 18 3 2 6 0 0 3 + 1 0 0 0 0
v (2 ) 8 3 6 2 L
b) D eterm ine a taxa de variação do volum e de água no reservatário após 3 horas
do escoam ento
V (t) = 3 6t 6 0 0
V (2 ) 3 6 3 6 0 D . 4 9 2 U h
1 1 5 D erıvadgm» osta
T abela de D erivadas F unç õ es com postas
u - u (x)
(e" y u e" (In uy =
(cos uľ u senu (senu) u cA su
Exem plo 1 A derivada da função y- e5 " é y ses.
Exem plo 2 A derivada da fungão y In (xz + 1 0 ) éy
Exem plo 4 A derivada da funçäo f (x) sen (B x) é f(x) 8 cos (B x)
Exem plo 5 A derivada da flıngão r (x) (x4 . 2 x) 6 é f(x) 6(x4 . 2 x) 5 (4 x3 + 2)
Exem plo 6 0 raio de um cfrculo cresce ā razã o de 2 cm /s Q ual a taxa de
crescim ento da área do círculo (A m 2 ) em relagãa ao tem po, quando r é ıguaı
a 2 0 cm ?
dA dA
ir ñ
2 n 2 0 2 8 0 n cm 2 /s
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团团团团 = 自
d) y = 
senx
e) y = 2 7
nr i
3 Encontre a equagão
absdssa x- 3
da reta tangente ao gráfico de
m
,
4 x nD
de x3 no
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8 um a bola é lançada para c
ım a e sua altura (em m etros) após t segundos é
h 1 2 t 2 4 t 
a) E ncontre a velocidade da bola ap
ós t segundos
b) E ncontre a velocidade da bola quan
do t 2 s
9 0 deslocam ento de um a partīcula é dado pe
la equação s (t) 1 2 + ģ co s(8 ),
sendo s m edido em centim etnos e t, em segundos Q ua
l a velocidade da particula
quando t 2 segundos?
1 0 S uponha o núm ero N de pessoas afetadas por da
da doença depois de t dias
do seu ınlclo seja dado peta função N 3 2 t Ţ 
a) qual é a variação do núm ero de pessoas afetadas pela doença em função do
tem po?
b) Q uantas pessoas foram afetadas pela doenga depois de 4 dias dos seu [nícío
1 Z
3t
2
1 2 ıN T E G R A IS
ı 2 1 E tlm ıłlvas
U m a prïm ltıva ?
(2×3 + ı 27 6 ×2
U m a prim itiva da fungã o f (x) 6 ×2 6 a funçä o F (x) 2 ×3 . ģ, pois (2 ×3 . 
ĝ
y 6 xz
um a prì m ïtıva da fu nçäo f (x) 6 x2 é a fu nçāo F (x) 2 ×3 ◆ C , pois
(2 ×3 + C y 6 ×2
U tilizam os a notação abaixo
Jóx2dx z + C
1 2 2 U so da laheıæ P ronrleđades
T abela 3 P rim itivas Im ediatas
rx" dx + C n # 1
ï x In 1 × 1 + C 
r cosxdx senx + c
ıe ×dx ex + c Jsenxdx cos x ◆ C
Jsec2 xdx tgx + C Jsec x tg×dx sec x + c
1 Z 2 ı P roprıedades das Integraıs
r[r (x) + g (x) 】dx Ff (x) dx ◆ ï g (x) dx
ï cf (x) dx cj f (x) dx
13
. n
função f【x) 6xzė a fungäo F (x) 2×3 + 12 , pols
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Judv = U v J vdu
dv - e' dx ¢* v - Je" dx = e"
Exem plo 2 J (2x + 4 ) cosxdx (2x + 4 ) senx 1senx2dx (2x + 4 ) senx + 2 cosx+ C
Exem pıo 3
Jxz ın xdx ın . ( )J į dx ın x
u a lnx
du 1 1
li i 钧 du idx
dv x2 dx ¢* v Jx2dx
X 二 ◆ C
3
3
ı2 6 E xercĺcıos P r«ıD ostos«ıD ostos
1 R esolva as ıntegraıs a seguır
a) ı x
b) Į (4 ×3 6 x 2 ) dx
C ) J yןd X
d) 1 (4 senx+ 1 6x) dx
e) J (Į 1 6l ·
2 R esoıva as ıntegraıs de¢lnıdas a seguir
a) j(4 x 1 2 ) dx
2
b) l6 x sd x
L / J e u A
1 
2 
0
d) senxdx
e) Jid.
ı7
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3 R esolva as integrais por subs
tituição a seguir
f
a) f x
b) 1 h ·
c) ï ×S cos (xó + 1 2 ) dx
d) Jx * e dx
e) JJeim dx
4 R esolva as integrais por partes a seguir
a) J (6 x + 7 ) sem dx
b) lxcosxdx
c) llnxdx
d) Į 5xcosxdx
e) 1(7 x + 1 4 ) exdx
3
T A R E F A 1 只 EV IS A Q P E RıV A P A S
1 Ence. Tre , 5 deri. A da. Das funçôes a segui"
a) y- sec" È. '
b) f(° į · 2 x°
PR O FE S S O R
n y iļ
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b) îsenM e 4 R esolva as ĺntegrals por partes
a) ıxe ×dx
3 R esolva as ĺntegraïs por substitulçāo
a) rx3sen(x 4 + 16 )dx
b) J (Zt+ 9 ) sentdt
b) 1 X
senx
c) ï x4 Inxdx
C ) ı itind t
d) J (9x + 3) cosxdx
d) Jóx5 e X 
6 
dx
2 4 2 5
◆
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2 F unç ö es de duas varıáveıs
H , H ir' " " " . . ? " " ¢" " d¢. . Macio domin d, n · ·
Exem plo 1 A plicando o par ordenado (2 4 ) na função F(x w x 2 y + 1 6
obtem os f(2 , 4 ) 2 2 4 + 1 6 10 0 u seja 1 0 é a ım agem do par ordenado
E xem plo 2 o volum e de um cone vé ? do por v (' h) 
ŝ m 2 h , onde réo raìo
? base e h é a aıtura do cone O voıum e do cone depende dos valores do raio
da sua base e da sua altura ou seja o voıum e do cone é um a fungão do raio da
base e da sua altura S e o raio é igual a 3 cm e a altura é iguaı a 5 cm então o
volum e do cone é iguala V (3 5 ) 
Ŝ
n 3 2 5 l5 , t cm 3
E xem plo 3 S uponha que a superficie corporal S (em m z) de um hum ano seja
dada por S (p h) 0 0 0 7 2 po4 2 5 h0 7 2 5 sendo p o peso (em kg) e h a altura (em
m ) da pessoa Logo a superficie corporaı de um hum ano é um a funç ão do seu
peso e da sua alturaU m a m ulher com peso de 5 6 kg e aıtura de 1 5 8 cm tem
superfície corporal igual a
S (5 6 , 1 5 8 ) 0 0 0 7 2 5 6 0 4 2 5 1 5 8 0 7 2 5 1 5 6 4 4 m 2
Exem plo 4 A superficie S de um dıindro cırcular reto é dada por
s(r h) 2 1rr2 + 2 nrh, sendo r o raio da base e h a aıtura do cilindro Logo a
superficie do ciıindro é um a funç ão do seu raıo e da sua aıtura A superficie de
um ciıindro com raıo da base igual a 1 0 cm e de altura ıguaı a 8 cm é
S ilo, 8 ) 2tt1 0 2 + 2 n1 0 8 3 6 0 x cm 2
2 7
2 6
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E xem plo 5 S uponha que o lucro 
m ensal L (em reais) de u
m a em presa gerado
pelo venda m ensal de x un
idades do produto P ı e p
eła venda m ensal de y
unidades do produto 
p2 seja dado pe
la fijnç âo
L (x Y ) 1ooo (1 3 5x ◆ 1 1 5 y x
z y
z olixy) A ssim , se a em presa 
vender em
dado m ės 4 0 unidades de P ı e 5 0 unida
des de P 2 seu lucro será Igua
l a
6 0 S 0 0 0 0 0 0 pols
U 4 0 5 0 ) 1 0 0 0 (ı3 5 4 0 ◆ 1 1 5 50 4 0
2 5 0 2 0 5 4 0 5 0 ) 6 0 59 0 0 0 reałs
E xem pto 6 S uponha que tim a pessoa p
rovoque em um a corda tim a onda
harm ônlca de am pııtude Igual a 8 cm que se propaga com co
m prım ento de onda
łgual a 3 cm e periodo de 5 s para ess
a onda harm ôn[ca a ebngaç ão y em
funçäo da absclssa x (em cm ) e do tem po t (em s) ė dada por
A ssim , no ınstante t 2 s e na absclssa x
1 5 cm a elongaç ão y da m ola é
aproxim adam ente Igual a 6 4 7 cm pols
2 2 D om lnıo e ım agem de u m a lunç äo de duas varıáveıs
o dom ïnlo D (ņ de um a funçäo de duas varlávels é um subconjurıto do R 2
A im agem Im (ņ de um a função de duas variáveis é um subconj Ĵ nto de R
Exem plo 1 0 d om {nlo da função f(x y) 5x + 6 y 1 5 é o conjjnto R
2 ou seja
D (ņ R 2
O par ordenado (1 , 2 ) pertence dom inio de f e 6(1 2) 5 1 + 6 ( 2) 1 5 2 2
O u seja 2 2 é a Im agem do par ordenado (1 2 ) para a fungão f
N a ngura a seguir Tem os o esboço do dom lnlo da funçã o f(x, y) 5x + 6y 1 5
2 8
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N a ngura a seguì, , t e m o s o esboço do d. M in da fu" ção rtx, y) ' V'
4 4 0 2
Esbop do đom ln \ o de f(x Y ) ·
2 3 G ráfico de um a funçā° d. D uas varıáveïs
a im agem do par ordenado (1 1 0 ) para a fungão f
3 0
A seguir, tem os exem plos de gráfıcos de lungõ es de duas variáveis
3 1
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E xem pıo 1 Esboçar o grónco da funçlo l(x, y) - (X 'īj
z
z (txz i ) ı
z
2 4 x2 y
2
x ◆ y ◆ z 4 (Equaçäo da Esfera de C entro na origem e raıo igual a 2 )
C om o z > O
, 
tem os o gráfıco ındlcado na figura a seguir
Esboço do gránco da fu \ l{x, y) Jłi{= zm
E xem plo 2 Esboçar o gráf« o da funçlo r«x, y) - ıo x 2y
z = 1 0 x 2y ¢* x ◆ 2 1 ◆ z ıo《Equaçao do Plano) 
3 3
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A baıxo tem os alguns po
ntos de 
l(x, y) = 1 0 x 2 丫
卜나二分廿듦ヨ
0 L 5 0
N a figura a seguir tem os o 
esboç o do gráfico da funçāo f(x v» 1 o x 2y
10
Esboço do grà¢lco da Funçã o F(x y) 1 0 x 2y
2 4 C urvas de nivel
A s curvas de nível de um a funçāo de duas variáveis sã o projeçô es no plano #yı
da Intersecçāo do gniFico de f com os planos horizontais f[x, y) c
Encontram os as curvas de nível de um a fungã o fazendo F(x, y) c sendo c um a
constante e pertence ā im agem de F
Exem pıo 1 Esboçar as curvas de nivel da fungāo z x + 4 y para c û c=
-2 e
c 3
x + 4 1 c[Equação da R eta)
P ara c O
, tem os x + 4 y 0 e os pontos (0 0 ) e (4 1 ) pertencem à reta
3 4
Para c= 2 tem os x ◆ 4 y = 2 e os pontos (2 1 ) e « 2 o) pertencem à reta
Para c 3 tem os x + 4 y 3 e os pontos ( ı, 1) e (3 , 0 ) pertencem à reta
N a figura a seguır tem os as curvas de nfveıs da runçäo z » x + 4y para c= O ,
c= 2 e c 3
ı ı 3 i C z 3 s
2
C urvas de níveıs da função z = x + 4 y para c= O , c= 2 e c« 3
Exem pıo 2 Esboçar as curvas de nivel ? funçäo f{x, y) = (xi »para
ca D , c= 1 e c= 2
c 44 ţxz + yz)
c
2 (r
C 2 4 x2 y
2
x
2 
+ y
2 4 c2
para c o tem os x2 + y
2 4 o2 . x2 + y
2 4 (Equação da C ırcunferência de
centro em (0 0 ) e raio ¡gual a 2 )
para c= 1 tem os x2 . Y
z 4 1 2 . x2 . Y
2 3 (Equaç ão da cırcunferêncıa de
centro em (o o) e raio igual a J3 )
Para c= 2 , tem os x
2 
◆ y
2 4 2 2 c) x2 + y
2 0 (ponto (0 0 ))
3 5
X
: ".
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N a ligura ' "gulr, tem os as curvas de nível da lunçäo r(* . y) m pala c = O ,
c- ı e c- 2
C urvas de nivel da fu' " ° r (y ) m para c- O , c- 2 e c- 4
2 5 E xerctcïos p, opostos
1 s' "nha que T H , y) 4 x
2 
+ óyz (em graus celstus) represente a dlstH b' "äo
de tem pe, alu, a T no plano " Encontre as temperaturas no ponto (1 2 ) · . o
ponto (D , O )
2 C o. sTdere a Funçã ° rþ, v] Jroo (. 1 . y'] E ncantre tc1 , 1) e f( 4 5 )
3 Encontre e esboce o domtnïo das M nçôe' " egulr
a) ft · v) 44 9 . ı y2
c) · rn
d) f(x y) =
x+ y
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elfţx, 1l 
4 Esboce os gr
áíicos das funções a
baixo 
a) z x óy + 1 2
b) r(x, y) = 14 9 x r
c) f(x, y) y 2×
2
d) Z 1 + 4 x
2 + y
2
5 Esboce as curvas de n
ivel de z - x 6y + 1 2 para c
- 4 , c O , c- 2 e c- 4
6 Eshoce as curvas de nivel de f(x, W 
= \ 4 9 . 
2 y
z para C D , C - 1 , C - 4 e C - 5
7 Esboce as curvas de nivel de f(x, v) y 2x
z para c- 2 c- O , c- 2 e c- 4
8 Esboce as curvas de nivel de z = l+ 4 x
2 
+ y
z 
para c- 2 , c- 4 , c- 5 e c- 8
3 8
IT A F EEA FyncÃo D E D U A S vA S Į ÁY Eı§
1 C ansldere a Função rþ y) m
E ncontre f(1 , 0 ) e F( 3
2 E ncontre e esboce o dom inio das fungiĵes a seguir
b) t 
亀
39
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4 2
3 D erıvadas parcıaıs
3 ı N otaç ö es para as derıvadas parcıaıs
S eja Z - f (xpy) U m a fungão de duas varıávels S e exlstlrem
, S uas derivadas
parciaıs em relaçāo à variáve' " (Ë] e à varıáveı y (§). . .. .. . . . . . . . .
m ostrado no quadro abaixo
z - f(x Y )
?z ar az ar
aii-
ĥ
f
x e 
ay
-
ay
f
y
3 2 D efinıç ä o de derıvadas parcıaıs
C onsidere z= f(x, y) um a função real de duas varlávels
* A derıvada parcial de f em reıaçio à variável × é
af + ļ x vL tm
ax
* A derıvada parcıal de r em relagão à variável y é
af F(x y ◆ ay) f{x y)" , y) lim ay ıo ay
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Exem plo 2 cons
idere a funçāo f(x, y)
4 x + ?y A derivada parcial de r em rgjaçao
à vańáve\ y é
(X 丫) ılm w + 0 衅 钾a
f 
4 x + 2 (y+ A V) (4 X + 2 9 ) . Um ay+ D 
4 X + 2y ◆ 2 6y 4li3
2nm &y+ o óy
3 3 D erivadas parclaıs (uso 
das regras de derivadas)
considere a função f(x y) para encon
trarm os sua derivada parcial em rela¢o a
x devem os considerar y co
m o um a constante P ara encontrarm os sua derivada
parcial em relaçāo a V i con
sideram os x com o um a constante
Exem plo 1 C onstderando a 
fungāo z x
z 
+ 4 1 I tem os o que segue
A derivada parcial em retaçāo a x é f. Ax
2 x e a derivada parcial em rela¢o
*z
a yé Y 4
Exem plo 2 considerando a fungâo f(x, y) óx
z 
y 
3 tem os o que segue
f
« 12×y
3 
e fy 18 x
z 
y 
Z
E xem pıo 3 C onsiderando a funç ão f(x y) ysenx tem os o que segue
f
. Y cosx e fy " nx
Exem plo 4 Consİderando a funçāo f[x, v) 
x
tem os o que segue
Exem plo 5 C onsiderando a funçāo f(x, y» e
xy tem os o que segue
f
x ye 
×y 
e fy xe
xy
y
Exem pıo 6 Considerando a função z . In{2x ◆ 6y», temos o que segue
aii忐 六 。 矿 扁 六
Exem pıo 7 C onsıderando a função f(x, y) sen (xy) tem os o que segue
ar ar
äi ycos (xy) e iy xcos (xy)
Exem plo 8 C onsiderando a funçäo z cos{6xz + 3 y) tem os o que segue
1 2 xsen (6 xz + 3y) , 3sen (6 xz + 3y)
Exem plo 9 consıderando a função z = Ji. tem os o que seg ue
E xem pıo 1o considerando a funçäo z exy cos(x2 ◆ yz), tem os o que segue
ax
ye 
xy cos(xz ◆ yz) exy 2xsen{x2 ◆ yz) e=y[v cos{xz ◆ y
z) 2xsen[xz . Y 2 ) ]
ãy
xe" cos(x2 ◆ y2 ) exy zysen(x
z 
◆ y
2 ) e' y[x cos[x2 ◆ yz) 2ysen[x2 ◆ y2 ) ]
E xem pıo 1 1 considerando a função f(x y) \ tem os o que segueX ◆ 4 y
ysen (xy) (xz + 4 yj cos(xy) 2 x
X s?ūr X ymuy cos(yw
(x2 + 4 yz )
E xem plo 1 2 C onsıderando a runção z
- xın[xz ◆ y
z), tem os o que segue
4 5
烹
袭
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ax
vw lim
Exem plo 14 Considerando a 
função f(x y) 4 xy
2
a derivada parcial de f em
relação a x no ponto (1 2) é f. (ı, 2) 4 ( 2 ) 
2 1 6 A derivada parciaı de F em
reıaçäo a y no ponto (1 , 2 ) é fyll, 2) 8 1 ( 2 ) 1 6
3 4 D erıvadas parcıaıs de funçõ es de três variáveis
Considere a função f(xł y z) 4 ×3 ◆ 3y2 z 2 2 z4
para encontrarm os a derivada parcıal de f em relação a x, devem os considerar y
e z com o constantes A ssim , obtem os 12 ×
2
Para encontrarm os a derivada parcıal de f em relação a y devem os consıderar x
a \ o ıL c a M aıılı I uuw m o5 y byz
Para encontrarm os a derivada parcıaı de f em relaçã o a z, devem os consıderar x
e y com o constantes Assım
, obtem os 6y 2 z 8z3
Exem plo 1 Suponha que a tem peratura T em um ponto (x, y z) do espaço sę 归
dada por T (x y z) 4 ×3 + 2y2 + 6z sendo T m edida em graus ceısius e as
variáveis x yi e z m edidas em m etros A variaçã o da tem peratura em relação a
o
u " c 1 2 x (o C /m », a varlagão da tem peratura em relaçã o ao eixo y 
e
?iT
4 y(° C /m ) e a variação ? tem peratura em relaçã o ao eixo Z
ðT
ai 6 (oclm )
i 
i
?
)y2
: ns superłores
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3 . R egra da C a
dela 
- · 
Suponha a funçã
o de duas varıáveis Z
- f(xı y), na qual Z depende da
variáveis x e y N e
ssa função, x e y dependem 
da variável t ou seja
x g (t) e y h (t) pa
ra enconM trm os a deriva
da de z f(x y), em relaçāo a t,
hzem os
? ?z dx ?z @
ií ax 百 
◆ 而 dt
Exem plo 1 considere a função z 
4 xy
2 
+ senx , x 2 t
2 e y Bt para essa
?
fungão determ ine li 
? az dx ?z y
ļ (4 y2 + cos x) 4t + B xy8
dt
if [4 (Bt) 
2 
+ cos (2tz) ] 4 1 + 8 2t
2 8 L 8 2 0 4 8 t3 ◆ 4 1 cos (2 tz)
Exem plo 2 ım agine que a tensão V (em V olts) em um circuito que satisfaz à ¡eï
I
V 
(ı em A m pères) esteja caindo enquanto a baterıa descaiT ega e que, ao
m esm o tempo a reslstência R (em ohm s) esteja aum entando conform e o
resstor esquenta Encontre a variação da Intensĺdade de corrente com o bempo,
ou sejai 
dl 
no m stante que K zuu $ı v zu v
dR
' i
m dt
艮
S uponha um a função de duas variáveis z r (x v), na qual z depende das
variáveıs x e y N essa fungão, x e y dependem das variáveis u e v, ou sejaX gju V ) e y h(u V ) Para encontrarm os a derivada de Z r (x, v), em
relação a t fazem os
az ?z ax E @
a ai ñ ◆ 布 ai
?z ?z ?x į 並
ai av + ay ai
Exem plo 1 C onsıdere a função z 2 ×3 y 2 , na quaı x eusenv e y 2vcos u
?z ?zD eterm ine ñ e ał 
?z ?z àx 
a 6×
2
y
2 e usenv ◆ 4 ×3y« 2vsenu)
3 7 P ıano T angente
O舢剄 łs
um a equagão do plano tangente ao gráfıco de f no ponto P(xo, YoI fixoyo)) é
dada por
z zo fx (xo yo xx xo) + 'y{xol yo) (y vo»
4 8
6xz y 
2 = U m v + 4 x3y2 C O S U
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Exenpıo ı D etermme 
a equaçāo do plano tangente ā superficie
11aĻ y) = xz y
z no ponto P(D , O , O )
Se f(xı y) x
2 y
z
, então F. = 2xe f. (0 , 0 ) = 0
Se f($, y) = x
2 y
z
, então fy 2y e fy[O , O ) = 0
Equaçso do plano tangente : z 0 - 0(x O ) + O(v 0 ) ou z - 0
Esse plano estā Ilustrado na ngura a seguir
Plano tangente à superficıe f(x, v) = x2 yz no ponto p(D , o D )
Exemplo 2 D eterm ine a equação do plana tangente à superficie
f{x V】 no ponto P ( 1 1 , 2 )
Equação do pıano tangente
Z ' T X T y ◆ 万 ◆ 2
5 0
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5 E ncontrar a equação do plano tangente à superficie z 3×2 4 yz no ponto
3 o raio r e a altura h 
de um cltlndro cïrcuıar re
to aum entam às razōes de oo4 p(o 1 , 3 )
o n/młn e oo8 cm lm ın, resp
ecuvam ente Q ual a taxa de variagāo do volum e
quando re to cm e h 
2 0 C m T
V dlindro m
ıh
4 E ncontre as derivadas parciais pedidas
a) f(x y) x3 y 4 + Sxy2 + 3x 2y fxx fxy fw fyv
b) f{p( y) ycos (xy)
xy
5 9
58
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4 Z D erivada direclonaı
para afunçāo z- f(x, y), a deN ada parc
ial de z em relação a x, I nd ica da por 
'
representa a taxa de varlaçãa de z na 
dlregão do eixo X e a derivada parctal de z
?z
em relagäo a Y , [ndlcada por , representa a taxa 
de variaç ã o de z na diregão
do eixo y
N o entanto, muitas vezes precisam os determ inar a taxa de varìagão de uma
fungāo de várias variáveis em um a diregão qualquer
A derivada dlrecional de f (D . f(x, y)) no ponto P(xD , Y o) na diregâo de um
vetor unltárlo u = (ą b) é o núm ero dado por
D . fixo, yū) f. (xo, yo) A + fy[X o, V o) b
Exem plo 1 Considere a fungãa f[x, y) = x2 y 3 A derivada direcionat de f no ponto
m ostrado a seguir
r
. = 2xy3 e fy 3x
z 
y
2
E xem plo 2 D eterm inar a derivada direcional de f(x, y) = 4 ×
2 6 y + 2x
2 y 
zno
Ponto P(2 1) e na direção do vetor unitário que form a ângulo e = 3 o° com o 
eıxo
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4 4 T axa má×ım a de varıasä o
O . eter gradiente vrh y) fornece a dl'"āo de m aior
Ex' " lo 1 Encontrar a taxa má×tma de variação de f(x, y) = se, (xy!+ y 
2 no
ponto P(0 , 2) e em que dıreçāo acom
A taxa málm a de varlaçâo ocorre na di, eçã° do . E tor g, adiente e é dada p
elos
cálculos a seguır
P r (y ) = ycos (xy) . (. cos (xy) + 2y) j
V F(0 2) 2 cosT0 2) ı
'
+ (0 costo2) + z2) j
vr(o 2) = z. 4 l
A bxa máxim a é I vr[o 2) I , m 2 45
E ' " Plo z s' " ' " que a f' " ão T(x y) 6 yz + 2 . 2 , em que T é m
edida em
graus celaus e x e y são m edtdos em m etros, represe. Te um a d
lstrlbulgāo 
de
t e m p e r a M ra T no plano xy '" " " " o' " Cļ , °), qual serla a d1R çäo de
m aior crescim ento de tem peratura? qual ė a taxa màxïm a de crescim ento da
tem p. ratura?
A m aior taxa de crescim ento da tem peratura ocorre na dl, eção do vetor
gradiente e é dada pelos cálculos a seguir
V T(x, y) = 4 ×7+ 1 2yŢ
V f(0 2 ) 2 . 4 8 l
A taxa má×lm a de . A riaçāo é D módulo de vf(o, 2 ) zT. 4 e7 ou seja, é
zt. 4 b j / www m 4g · com
4 5 E xercicı. s propost"
ī Encontre a de, Ivada d[rectonal de f(x, w . 4 xy+ x3 + Zy no ponto p(1 , u e
na di, eçã° do vetor unitário que form a â , gul° e = 4 5 
· com a eixo x
2 E ncontre a derivada dlreclanal ? f(x, y) = x
2 cos[×w no ponto P (2 , 0 ) e na
ď reção do vetar v - 2 . 了
3 Encontre a derĺvada dlreclonal de F(x y) ' " y no ponto P(3 , 1 ) e na 
dlregãa
do veto" " (4 , 1 ) 
4 Encontre a derivada direcl. N al de f(x, y) V
r. z . 4 . y no po. To p(1 , 1 ) · na
ď reção do vetor ( , ) 
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S Integrais H ūltlplas
S 1 Integrais dupıas
C onsidere o gráfico da fungão z f(x, y) m ostrado na figura abaixo
Z 奉
z f[xr y)
y
S uponha z= f(x y) seja um a função de duas variáveis contínua no retâ ngulo
R {(x y) E R 2 / a s x ś b c s y s d} N essa situação podem os escrever as
integrais dupıas m ostradas a seguir
7 3
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Exem plo 3 C alcular i
x O , y= ı e y x
2
R egião deïntegragão
3 
y y = xz
0
0 1 2
11(10 x 2y) dydx J 【 (1 D x 2 y) dydx · [oy xy y2 
2 
dx 
R O ×2 x
5 3 2 R egiâ o de integraç ã o tipo ıi
T ipo II R egião de Integração D {(x, y» E R
2 / 9 1(W S x 5 9 2 (y) c S y ś d}
7 7
2 
1
] Integral gelo $ 2y) dyd$ , onde R é a região llm ltada por
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5 6 ınt. g. . ı. D upl, 5 . m 
co. rdenadas p' " ' "
Supondo reglăes ge, éri° . c
irculares, com o a Indicada na figura a ' " Ui,, '
. tM z. çä° de c. o, denadas po
lares p. derá facilitar a re · . Iução da 1' " g' "Upla
臝
L ļ
; 
i
I
M uda' " de coordenad. . Ret°, gula'" para · . Gìã · · pota' "
Exem pıo 1 Por m eıo de coordenadas polares, calcule a ıntegraı
g co s (x 
2 
+ y
z) dydx, onde R é a regıâo acfm a do eixo x e dentro da cırcunferêncıa
x
2 
+ y
2 9
į į. ' " 2 ' " e ã[ĝ se rı(r2 ) ] de å[ĝ se [ĝ es. N 9]: ĝ ns, n9
Exem plo 2 Por m eio de co«»rdenadas polares determ ıne gm d A , onde R é
a regıão do sem lpıano superior lim itado pelos circuıos x2 + y2 . 9 e x2 ◆ y2 4
S e z f(x y) é continua no retânguto polar dado por o s a s r s b, a s e Ś P , P
ara 
d) î îxsen (xy) dydx
osp a s 2 n , ' " ã o : nf (xły) dA ŢÝr(, cos e, rseneydrde
R a a e) JJye X V d×dy
0 0
8 3
8 2
0 
3 Z 
0
N o sem ıpıano superıor tem os y0 e 4 ś x2 + y2 5 9
5 7 E xercĺcıos propostos
1 C alcular a integrais dupıas
3 2
a) 1 1(5x y2 ) dydx
0 0
b) Ť Ť{e×yz 1 2 ×3 ) dydx
1 ı
c) 7 l(6 * 3 y 2 + 2 ) dydx
ı ı
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2 catcular Jr (īO×y ◆ 2y) dA , onde R ((
x y)/ O s x 5 1 ı s y 5 4 }
4 C alcula' g(x ◆ 4 y) dA onde D éa reglāo ltm ltada pelas curvas y = xıe y 
Esboce a regłāo de Integraçã o
3 C alcular U (4 xy) dA , onde D é a região llm ltada pelas retas x O y le pela
paràbola y x2 Esboçar a região de Integraçāo
昭 8 9
R
口
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b) Ħf) « x, y)/y x2 ◆ 4 »
c) D (f) « x, y)/x 5 3}
3 R etas
4 C ırcunferêncıas
9 4
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