Geometria Analitica vetores

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Geometria Analítica 
 
 
 
2 
Geometria Analítica 
Gestão da Educação a Distância 
Cidade Universitária – Bloco C 
Avenida Alzira Barra Gazzola, 650, 
Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
ead.unis.edu.br 
0800 283 5665 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição ficam 
reservados ao Unis – MG. 
É proibida a duplicação ou reprodução 
deste volume (ou parte do mesmo), 
sob qualquer meio, sem autorização 
expressa da instituição. 
 
 
 
3 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestre em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletromagnetismo Aplicado. 
Graduado em Engenharia Elétrica. Licenciado em Matemática e Física. Especializado 
em Gestão de Negócios e Aperfeiçoado em Ensino de Matemática e Física. Atua 
como professor titular no Centro Universitário do Sul de Minas na Unidade de 
Gestão de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia e Unidade de Gestão da Educação 
a Distância. 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/8613055164618749 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. 
Hugo Rodrigues Vieira 
 
 
Autoria 
 
 
VIEIRA, Hugo Rodrigues. Guia de Estudo – Geometria Analítica. 
Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2017. 
163 p. 
1. Vetores 2. Produto Escalar 3. Produto Vetorial. 
Geometria Analítica. 
 
 
 
 
 
4 
Geometria Analítica 
Caro (a) aluno (a), 
 
 O fato de você estar cursando um curso a distância faz com que pensemos 
que você acredita no potencial do ensino a distância e está disposto a mergulhar 
com dedicação neste universo diferenciado de aprendizado. 
 A disciplina de Geometria Analítica será trabalhada através da leitura do 
nosso guia de estudos, análise de exemplos e realização de exercícios individuais e 
em grupo. Todas as atividades serão trabalhadas no nosso ambiente virtual de 
aprendizagem. Em relação ao ambiente de aprendizagem e avaliação, estaremos 
utilizando a maior quantidade possível de ferramentas que possibilitem uma maior 
interação e comunicação entre aluno (a) e professor. 
 Na disciplina de Geometria Analítica é onde iremos estudar os vetores, suas 
características e aplicações, onde se buscará uma maior quantidade de 
exemplificações e aplicações práticas para tornar o aprendizado mais eficiente e 
também mais prazeroso. 
 Trabalharemos de forma que possamos despertar (ou aumentar) o seu 
interesse pela área de Geometria (Vetores e Grandezas Vetoriais), mas 
dependeremos muito de sua determinação quanto à leitura minuciosa deste guia, 
bem como de todo material complementar que será disponibilizado ao longo do 
curso. 
 Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas em relação ao uso 
de ferramentas computacionais, buscarei uma linguagem bastante simples como 
forma de propiciar um bom entendimento e estarei sempre à disposição para 
esclarecer dúvidas, trocar informações e auxiliá-los na aplicação dos conceitos de 
Geometria Analítica no contexto educacional. 
Nossa interação será essencial! 
Podem contar comigo sempre! 
Professor Hugo Rodrigues Vieira 
 
“Só o conhecimento traz o poder” 
(Freud) 
 
 
 
 
5 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
Vetores no Plano e no Espaço. Produto Escalar e Vetorial. Retas e 
planos. Cônicas e Quádricas. 
 
 
 
 
 
 
 
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no Ambiente Virtual. 
 
 
 
 
 
Vetores. Produto Escalar. Produto Vetorial. Seções Cônicas. 
 
Ementa 
 
 
Orientações 
 
 
Palavras-chave 
 
 
 
 
6 
Geometria Analítica 
 
EMENTA ____________________________________________________________________ 5 
ORIENTAÇÕES ______________________________________________________________ 5 
PALAVRAS-CHAVE ___________________________________________________________ 5 
 
UNIDADE I - VETORES ________________________________________________________ 9 
1.1 VETORES NO PLANO _______________________________________________________ 10 
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO __________________________________________ 11 
1.2.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES NO PLANO. __________________________________ 11 
1.2.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR NO PLANO. ________________________ 13 
1.2.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS NO PLANO. _________________________________ 14 
1.2.4 PONTO MÉDIO DE UM VETOR NO PLANO. ______________________________________ 16 
1.2.5 PARALELISMO DE UM VETOR NO PLANO. ________________________________________ 17 
1.2.6 MÓDULO DE UM VETOR NO PLANO. __________________________________________ 18 
1.2.7 VETOR UNITÁRIO NO PLANO. _______________________________________________ 20 
1.3 VETORES NO ESPAÇO _______________________________________________________ 21 
1.4 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO _________________________________________ 23 
1.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES NO ESPAÇO. _________________________________ 23 
1.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR NO ESPAÇO. _______________________ 23 
1.4.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS NO ESPAÇO. ________________________________ 23 
1.4.4 PONTO MÉDIO DE UM VETOR NO ESPAÇO. ______________________________________ 24 
1.4.5 PARALELISMO DE UM VETOR NO ESPAÇO. _______________________________________ 25 
1.4.6 MÓDULO DE UM VETOR NO ESPAÇO. __________________________________________ 25 
1.4.7 VETOR UNITÁRIO NO ESPAÇO. _______________________________________________ 26 
UNIDADE II – PRODUTO ESCALAR _____________________________________________ 28 
2.1 PRODUTO ESCALAR________________________________________________________ 29 
2.1.1 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA ____________________________________________________ 29 
2.1.2 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR ________________________________________ 32 
2.1.3 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE VETORES _______________________________________ 33 
2.1.4 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR ________________________ 38 
2.1.5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO _______________________________________ 42 
2.1.6 APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR __________________________________________ 45 
UNIDADE III – PRODUTO VETORIAL ___________________________________________ 48 
3.1 PRODUTO VETORIAL _______________________________________________________ 49 
3.1.1 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA ____________________________________________________ 49 
 
 
 
7 
Geometria Analítica 
3.1.2 DISPOSITIVO PRÁTICO PARA O CÁLCULO DO PRODUTO VETORIAL ____________________ 54 
3.1.3 CARACTERÍSTICAS DO PRODUTO VETORIAL _____________________________________ 58 
3.1.4 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL _________________ 65 
3.1.5 PRODUTO VETORIAL ASSOCIADO AO PRODUTO ESCALAR (PRODUTO MISTO) ___________ 71 
3.1.6 APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL _________________________________________ 76 
UNIDADE IV – RETAS E PLANOS _______________________________________________ 78 
4.1 RETAS E PLANOS __________________________________________________________ 79 
4.2 A RETA E SUAS EQUAÇÕES ___________________________________________________ 79 
4.2.1 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA _______________________________________________ 79 
4.2.2 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA __________________________________________ 83 
4.2.3 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA _____________________________________________ 85 
4.2.4 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA _____________________________________________ 88 
4.3 RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS _____________________________________________ 89 
4.4 ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS _________________________________________________ 91 
4.5 RETAS ORTOGONAIS E RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS ___________________________ 94 
4.6 O PLANO E SUAS EQUAÇÕES ________________________________________________ 100 
4.6.1 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO______________________________________________ 100 
4.6.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO ________________________________________ 104 
4.7 ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS _______________________________________________ 107 
4.8 PLANOS PERPENDICULARES __________________________________________________ 109 
4.9 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO __________________________ 112 
4.10 INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ___________________________________________ 114 
4.11 INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO __________________________________________ 116 
UNIDADE V – CÔNICAS E QUÁDRICAS ________________________________________ 118 
5.1 SEÇÕES CÔNICAS ________________________________________________________ 119 
5.2 PARÁBOLA _____________________________________________________________ 122 
5.2.1 EQUAÇÕES DE UMA PARÁBOLA _____________________________________________ 124 
5.2.1.1 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA PARÁBOLA ____________________________________ 129 
5.3 ELIPSE _________________________________________________________________ 132 
5.3.1 EQUAÇÕES DE UMA ELIPSE _________________________________________________ 135 
5.3.2 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE ____________________________________________ 135 
5.3.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA ELIPSE _________________________________________ 140 
5.4 HIPÉRBOLE ______________________________________________________________ 142 
5.4.1 EQUAÇÕES DE UMA HIPÉRBOLE _____________________________________________ 144 
5.4.2 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE ___________________________________________ 144 
5.4.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA HIPÉRBOLE _____________________________________ 148 
5.5 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS ___________________________________________________ 151 
5.5.1 ELIPSOIDES ____________________________________________________________ 152 
5.5.2 HIPERBOLOIDES ________________________________________________________ 155 
5.5.3 PARABOLOIDES _________________________________________________________ 158 
 
 
 
8 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
9 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
Ao final desta unidade o aluno deverá ser capaz de realizar 
operações com vetores no plano e espaço, bem como resolver 
situações problema envolvendo vetores. 
 
 
 
 Ciclo 02 
 
 
 
Unidade I - Vetores 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
I 
 
 
10 
Geometria Analítica 
 
1.1 Vetores no Plano 
Um vetor no plano é um par de coordenadas (x,y) de números reais que 
seguem a representação da base canônica do sistema cartesiano ortogonal. A 
Figura 1 nos mostra o sistema canônico ortogonal. Podemos verificar que estamos 
tratando de uma grandeza em duas dimensões e comumente os eixos são 
chamados de x e y. 
 
Figura 1 – Sistema Cartesiano Ortogonal (Plano). 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Os valores de x e y são denominados os componentes de um vetor 
v
, 
onde a componente x é conhecida como abscissa do vetor 
v
 e a componente y é 
denominada a ordenada do vetor 
v
. 
Utilizaremos sempre o sistema de coordenadas cartesianas, onde será muito 
comum nos depararmos com vetores representados da forma 
jyixv 
 ou 
simplesmente por 
 y,xv 
. 
 
 
 
 
 
 
Você pode verificar muitas aplicações e definições 
relativas a vetores acessando o site: 
http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/ 
 
 
Unidade I 
 
 
 
11 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
1.2 Operações com Vetores no Plano 
1.2.1 Adição e Subtração de Vetores no Plano. 
 Inicialmente vamos considerar dois vetores, 
 11 y,xu 
 e 
 22 y,xv 
, e 
assim vamos determinar a soma entre eles. A soma de vetores algebricamente é 
feita somando-se individualmente cada coordenada correspondente. Se desejarmos 
determinar um vetor 
w
, que é a soma entre os vetores 
u
 e 
v
, fica da seguinte 
maneira: 
 2121 yy,xxwvuw 
 
 
 Devemos prestar atenção nesse tipo de operação para não “misturarmos” 
as componentes de x e y, ou seja, x sempre opera com x e y sempre opera com y. 
 Geometricamente, a operação que acabamos de realizar pode ser 
visualizada pela Figura 2 a seguir: 
 
Figura 2 – Soma de Vetores. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
Vale lembrar que não deve deixar de estar sempre 
estudando o nosso guia de estudos e buscar, através 
de pesquisas como a indicada anteriormente, 
aumentar o saber e formas de visualizar a disciplina. 
 
 
Unidade I 
 
 
12 
Geometria Analítica 
 
Trabalhar geometricamente uma maneira de se tratar da soma ou subtração 
de vetores é selecionar o primeiro vetor a ser somado e, posteriormente, colocar o 
início do outro vetor a ser somado no final do primeiro vetor. Então, o vetor 
resultante será o vetor partindo do início do primeiro vetor até o final do segundo 
vetor. 
As mesmas considerações são válidas em caso de subtração entre vetores, 
ou seja, a subtração é feita componente a componente e, para a subtração realizada 
geometricamente, basta que invertamos a seta de um dos vetores, pois fazendo isso 
estamos invertendo seu sentido e corresponde a subtrair o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam os vetores 
 5,2u 
 e 
 4,3v 
, 
determinar um vetor 
w
que seja a soma entre 
u
 e 
v
 e um vetor 
q
 que seja a subtração entre 
u
 e 
v
. 
 
Para a soma teremos: 
 
 
 9,1w
45),3(2w
yy,xxwvuw 2121



 
 
E para a subtração teremos: 
 
 
 1,5q
45),3(2q
yy,xxwvuq 2121



 
 
Algumas propriedades em relação à adição e 
subtração de vetores no plano, considerando 
quaisquer vetores 
u
, 
v
 e 
w
. 
 
uvvu 
 
 
u0u 
 
 
   wvuwvu 
 
 
  0uu 
 
 
 
Unidade I 
 
 
 
13 
Geometria Analítica 
 
O uso de propriedades ao se operar com vetores é um agente que poderá 
transformar operações complexas em operações relativamente mais fáceis. 
 
1.2.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar no Plano. 
 A multiplicação de um vetor por um valor escalar qualquer corresponde a 
multiplicar cada componente do vetor por este escalar. 
 Considerando o vetor 
 11 y,xu 
 e um escalar qualquer α, fica definida a 
multiplicação por escalar da seguinte maneira: 
 
 11 y,xu 
 
 
Geometricamente, a operação que acabamos de realizar pode ser 
visualizada pela Figura 3 a seguir: 
 
Figura 3 – Multiplicação de um Vetor por um Escalar. 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 Pela Figura 3 verificamos que o escalar α aumentou o tamanho do vetor 
u
. 
Uma consideração importante deve ser feita neste momento, pois o escalar α pode 
ter seu valor inferior a 1, ou seja, ele diminuirá o vetor. Caso o escalar α seja 
negativo, além dele aumentar ou diminuir o vetor, ele também irá inverter o 
sentido do vetor. 
Unidade I 
 
 
14 
Geometria Analítica 
 
 
Sejam os vetores 
 5,2u 
 e 
 4,3v 
, determinar 
um vetor 
v4u2w 
. 
Vejamos que nesse exemplo iremos aplicar o 
conceito de adição de vetores e multiplicação por 
escalar. 
 
   
   
 26,8w
16,1210,4w
4,345,22w
v4u2w




 
 
 
1.2.3 Vetor Definido por Dois Pontos no Plano. 
Para mostrar um vetor definido por dois pontos, vamos considerar um 
vetor qualquer 
AB
 que possui um ponto inicial em 
 11 y,xA
 e um ponto final 22 y,xB
. 
Um vetor 
AB
 qualquer será sempre composto pela subtração entre o 
ponto final e o ponto inicial do mesmo. Em termos geométricos teremos sempre o 
valor do ponto corresponde à ponta da seta subtraído do ponto inicial da seta. A 
Figura 4 mostra o vetor 
AB
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
 
15 
Geometria Analítica 
 
Figura 4 – Vetor Definido por dois Pontos. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
A expressão que define algebricamente o modo de cálculo do vetor 
AB
 é 
dada a seguir: 
 
 1212 yy,xxAB 
 
 
 Podemos observar também na Figura 4 o vetor 
OP
, que é o vetor 
AB
transladado de sua posição original para uma posição com início na origem. Este 
vetor 
OP
 é denominado de vetor posição ou representante natural de 
AB
. 
Como metodologia para guardarmos esse tipo de operação, vamos sempre fazer o 
ponto final do vetor subtraído do ponto inicial. Outra forma de memorizar esta 
operação é fazer a posição da ponta da seta do vetor subtraída da posição inicial do 
vetor. 
 Para invertermos o sentido de um vetor basta multiplicar o mesmo por -1 e, 
assim, a ponta da seta irá inverter de posição. 
 
 
Unidade I 
 
 
16 
Geometria Analítica 
 
1.2.4 Ponto Médio de um Vetor no Plano. 
O ponto médio de um vetor ou um segmento qualquer corresponde 
exatamente à metade do mesmo. Vamos considerar, conforme a Figura 5, o 
segmento AB, ou poderia ser o vetor 
AB e o ponto M, como sendo o ponto 
médio desse segmento. 
 
Figura 5 – Ponto Médio de um Vetor. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 Para determinarmos o ponto médio de um segmento ou um vetor basta 
que façamos o valor médio entre os pontos, ou seja, somamos o valor de cada 
coordenada correspondente e dividimos o resultado por dois. Assim, considerando 
para a Figura 4 o ponto 
 11 y,xA
 e o ponto 
 22 y,xB
, teremos o ponto M, 
determinado da seguinte maneira: 
 





 

2
yy
,
2
xx
M 2121
 
 
 É importante que tenhamos bem definido o ponto médio e saibamos que 
ele pode ser aplicado entre dois pontos ou entre um vetor qualquer, pois um vetor 
qualquer, necessariamente, possui dois pontos. 
 
 
 
Unidade I 
 
 
 
17 
Geometria Analítica 
 
 
Podemos calcular a mediana de um triângulo 
utilizando o teorema do ponto médio. Essa é uma 
aplicação muito importante, no que tange a área de 
geometria analítica. 
 
1.2.5 Paralelismo de um Vetor no Plano. 
Para que dois vetores sejam paralelos entre si é necessário que exista um 
número tal que seja igual à relação entre todas as coordenadas. 
Portanto, considerando os vetores 
 11 y,xu 
 e 
 22 y,xv 
, eles serão 
paralelos se e somente se a relação a seguir for satisfeita. 
 

2
1
2
1
y
y
x
x
 
 
 A Figura 6 nos mostra geometricamente três vetores quaisquer paralelos no 
plano. 
Figura 6 – Paralelismo entre Vetores. 
 
Fonte: Autor. 
 
 Em situações onde um vetor se sobrepõe a outro também é considerada 
uma situação de paralelismo - veremos posteriormente, na unidade que 
calcularemos o vetor unitário. O vetor unitário é um vetor de módulo que possui a 
mesma direção e sentido do vetor que o originou e, naturalmente, ele é paralelo ao 
mesmo. 
Unidade I 
 
 
18 
Geometria Analítica 
 
 
Considerando os vetores 
 2,3u 
 e 
 6,9v 
, 
verificar se os mesmos são paralelos. 
Para que os vetores sejam paralelos, devemos 
encontrar o parâmetro α que indica a 
proporcionalidade entre todas as componentes. 
Assim: 

2
1
2
1
y
y
x
x
 
 
3
1
9
3

 
3
1
6
2

 
Verificamos que 
3
1

, logo, os vetores em questão 
são paralelos. 
 
1.2.6 Módulo de um Vetor no Plano. 
O módulo de um vetor corresponde ao seu tamanho, intensidade ou 
magnitude da grandeza a que ele corresponde. Se tivermos dois pontos quaisquer, 
o módulo de um vetor também corresponderá à distância entre esses dois pontos. 
O cálculo do módulo de um vetor é realizado com o auxílio do Teorema 
de Pitágoras e da Figura 7 a seguir. 
 
Figura 7 – Módulo de um Vetor. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
Unidade I 
 
 
 
19 
Geometria Analítica 
 
Verificamos que, ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras associado às 
componentes do vetor 
v
, teremos: 
 
22 yxv 
 
 
 Concluímos que o módulo de um vetor corresponde à raiz da soma de suas 
componentes ao quadrado. 
 O módulo de um vetor ta+mbém pode nos indicar a distância entre dois 
pontos quaisquer. 
 
 
Uma aplicação do módulo de um vetor é na 
determinação da distância entre dois pontos 
quaisquer. Sejam os pontos A(1,3) e B(2,5), conforme 
a Figura 8 a seguir. Vamos calcular a distância entre os 
pontos A e B. 
 
 
Figura 8 – Distância entre Dois Pontos. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
20 
Geometria Analítica 
 
Conforme os aspectos teóricos vistos anteriormente, a distância entre os 
pontos A e B corresponderá ao módulo do vetor 
AB
. Portanto, inicialmente, 
vamos determinar o vetor 
AB
. 
 
   
 2,1AB
3,15,2AB
ABAB



 
 
E agora determinamos o módulo do vetor 
AB
 que corresponde à distância entre 
os pontos A e B. Fica nítido e claro pela Figura 7 essa correspondência entre a 
análise geométrica e algébrica. 
 
 
  5B,Ad
21B,Ad 22


 
 
1.2.7 Vetor Unitário no Plano. 
O vetor unitário, pela sua própria nomenclatura, nos deixa deduzir que seja 
um vetor com módulo igual a um. O vetor unitário tem a característica de manter a 
direção e sentido do vetor que o originou, porém com módulo igual a um. 
O cálculo do vetor unitário é feito de maneira simples, bastando dividir o 
vetor original pelo módulo dele mesmo. O vetor unitário é também chamado de 
versor. Assim, considerando um vetor 
v
 qualquer, o seu vetor unitário será dado 
por: 
 
v
v
v 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
 
21 
Geometria Analítica 
 
O vetor unitário tem muitas aplicações na física, principalmente na 
determinação de direção e sentido de grandezas do tipo campo elétrico, força 
elétrica, campo magnético, dentre outras. 
 
 
Para provarmos as características de um vetor 
unitário, pense e realize o seguinte procedimento: 
 
 Escolha um vetor qualquer no espaço; 
 Efetue o cálculo do seu vetor unitário; 
 Multiplique esse vetor unitário pelo escalar 2; 
 Verifique o resultado do módulo desse vetor 
unitário multiplicador por 2. 
 
Pense: O que aconteceu com o módulo desse vetor? 
 
 
1.3 Vetores no Espaço 
 Quando trabalhamos com vetores no plano estamos trabalhando em duas 
dimensões na base canônica 
i
e 
j
. 
 Neste momento vamos trabalhar no espaço, ou seja, em três dimensões e 
de forma análoga no espaço, a nossa base canônica será composta de mais uma 
componente, no caso a componente 
k
. As Figuras 9 e 10 nos mostram o sistema 
cartesiano ortogonal e a representação vetorial de um vetor 
v
qualquer no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
22 
Geometria Analítica 
 
Figura 9 – Sistema Cartesiano Ortogonal (Espaço). 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Figura 10 – Vetor no Espaço. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e GeometriaAnalítica, 2000. 
 
 Portanto, um vetor 
v
 no espaço pode ser expresso das seguintes maneiras: 
 
kzjyixv 
 ou simplesmente por 
 z,y,xv 
. 
 
Unidade I 
 
 
 
23 
Geometria Analítica 
 
1.4 Operações com Vetores no Espaço 
1.4.1 Adição e Subtração de Vetores no Espaço. 
As operações de adição e subtração de vetores no espaço são realizadas da 
mesma maneira do plano. 
Considerando dois vetores 
 111 z,y,xu 
 e 
 222 z,y,xv 
, a soma de 
wvu 
, será igual a: 
 
 212121 zz,yy,xxw
vuw


 
 
1.4.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar no Espaço. 
Multiplicar um vetor no espaço por um escalar α qualquer não nulo 
corresponde a multiplicar todas as suas componentes por esse escalar. 
 Considerando o vetor 
 111 z,y,xu 
 e um escalar qualquer α, fica definida a 
multiplicação por escalar da seguinte maneira: 
 
 111 z,y,xu 
 
 
 Assim como no plano, ao multiplicarmos um vetor no espaço por um 
escalar qualquer, o seu tamanho irá aumentar ou diminuir de acordo com o valor 
do escalar α em questão. Uma forma de saber se a operação foi feita corretamente 
é fazendo o módulo desse vetor, onde, necessariamente, o módulo irá aumentar 
conforme o valor do escalar α aplicado. 
 
1.4.3 Vetor Definido por Dois Pontos no Espaço. 
Um vetor no espaço que seja definido por dois pontos, um inicial e um final, 
segue as mesmas considerações que fizemos sobre o plano. 
 
Unidade I 
 
 
24 
Geometria Analítica 
 
Para o cálculo faremos sempre o ponto final do vetor subtraído do ponto 
inicial do mesmo. Assim, considerado um ponto
 111 z,y,xA
 e um ponto final 
 222 z,y,xB
, um vetor 
AB
 fica da seguinte forma: 
 
 121212 zz,yy,xxAB  
 
 
Sejam os pontos A(1,2,4) e B(3,1,2) e o vetor 
 1,3,2v 
, realizar a operação a seguir que aborda 
todos os conceitos vistos anteriormente: 
v2BAw 
 
 
Inicialmente faremos o vetor 
BA
. 
   
 2,1,2BA
2,1,34,2,1BA
BABA



 
 
Agora somamos o vetor 
BA
 ao vetor 
v
 multiplicado 
por 2. 
 
   
 4,7,6w
2,6,42,1,2w
)1,3,2(22,1,2w



 
 
 
1.4.4 Ponto Médio de um Vetor no Espaço. 
O ponto médio de um vetor no espaço, ou o ponto médio entre dois 
pontos no espaço, corresponde exatamente à metade do segmento definido por 
esse vetor ou segmento e segue o mesmo princípio de cálculo para o plano. 
 
 
Unidade I 
 
 
 
25 
Geometria Analítica 
 
O método de cálculo do ponto médio entre dois pontos 
 111 z,y,xA
 e 
 222 z,y,xB
, que podem ou não definir um vetor, fica da seguinte maneira: 
 





 

2
zz
,
2
yy
,
2
xx
M 212121
 
1.4.5 Paralelismo de um Vetor no Espaço. 
Um vetor paralelo no plano tem a mesma estrutura de cálculo de um vetor 
paralelo no espaço. 
Devemos encontrar um parâmetro α que indica a proporcionalidade entre 
as componentes e assim nos garante o paralelismo entre os vetores no espaço. 
Portanto, considerando os vetores 
 111 z,y,xu 
 e 
 222 z,y,xv 
, eles 
serão paralelos se e somente se a relação a seguir for satisfeita. 
 

2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
 
 
1.4.6 Módulo de um Vetor no Espaço. 
 Para calcularmos o módulo de um vetor no espaço basta inserirmos a 
terceira componente canônica no cálculo do mesmo. 
 Da mesma forma que no plano, o módulo de um vetor no espaço indica a 
intensidade ou magnitude da grandeza envolvida e também pode definir a distância 
entre dois pontos quaisquer. Portanto, o módulo do vetor 
 z,y,xv  é dado por: 
 
222 zyxv 
 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
26 
Geometria Analítica 
 
 
Sempre que calcularmos o módulo de qualquer vetor 
devemos nos atentar para que os valores dentro da 
raiz, necessariamente, serão positivos, pois um 
número positivo ao quadrado resulta em um número 
positivo e um número negativo ao quadrado também 
resulta em um número positivo. Sempre estaremos 
somando dentro da raiz quadrada. 
 
 
1.4.7 Vetor Unitário no Espaço. 
 O vetor unitário no espaço é calculado da mesma maneira que calculamos 
no plano. Portanto, para um vetor qualquer 
v
, o seu unitário será definido por: 
v
v
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
 
27 
Geometria Analítica 
 
 
Seja o vetor 
 2,2,1u 
, determinar um vetor 
paralelo ao vetor 
u
 e que o mesmo possua um 
módulo igual a 2. 
Para resolvermos esse exemplo, inicialmente 
precisaremos calcular o vetor unitário do vetor 
u
. 
 
 
   











3
2
,
3
2
,
3
1
u
3
2,2,1
9
2,2,1
u
221
2,2,1
u
u
u
u
u
u
222
u
u
 
 
Pela definição sabemos que o vetor unitário é um 
vetor que tem módulo igual a um e possui a mesma 
direção e sentido do vetor que o originou e sendo 
assim, ele é um vetor paralelo natural. 
Se o vetor unitário possui módulo igual a um e 
desejamos um vetor paralelo e com módulo igual a 
dois, basta multiplicarmos o vetor unitário pelo 
escalar α = 2, assim teremos: 















3
4
,
3
4
,
3
2
u
3
2
,
3
2
,
3
1
2u
u2u
p
p
up
 
 
 
 
Unidade I 
 
 
28 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
Ao final desta unidade, o aluno deverá ser capaz de realizar as 
operações envolvendo produto escalar e, assim, ser capaz de resolver 
situações problema que o envolvem. 
 
 
 
 Ciclo 02 
 
 
 
 
 
 
Unidade II – Produto 
Escalar 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
II 
 
 
 
29 
Geometria Analítica 
 
2.1 Produto Escalar 
 Nesta unidade vamos estudar o produto escalar. Analisar, calcular e utilizar 
o produto escalar é sempre proveitoso, pois conhecer o produto escalar entre dois 
vetores nos permite o cálculo de diversos parâmetros extras e, então, podemos 
resolver diversas situações problema em matemática, física e engenharia. Existem, 
basicamente, duas formas de se calcular o produto escalar, uma delas é quando de 
posse do ângulo entre os vetores, e também dos seus módulos, e a outra maneira 
é quando conhecemos todas as componentes dos vetores em questão. Nossos 
estudos nos darão ferramentas matemáticas que irão nos permitir determinar os 
ângulos entre vetores, ângulos entre eixos ordenados, projeções entre vetores e 
aplicações na matemática, física e engenharia. Estudar o produto escalar é muito 
interessante e fascinante e, nos itens a seguir, teremos toda estrutura para 
determinar tais parâmetros, grandezas e, assim, conseguiremos analisar situações 
problema. 
 
2.1.1 Definição Algébrica 
A definição algébrica de produto escalar, pelo próprio nome, vejam só: 
“produto escalar”, nos dá a ideia de que o resultado será do tipo escalar. Veremos, 
a seguir, que a operação algébrica que define o produto escalar mostra isso. 
Vamos considerar dois vetores 
 111 z,y,xu 
 e 
 222 z,y,xv 
, e o 
produto escalar entre eles, o qual é representado por 
vu 
e é calculado por: 
 
212121 zzyyxxvu 
 
 
 A formulação anterior do produto escalar nos mostra claramente que o 
resultado é um escalar, ou seja, um número qualquer. Outra representação do 
produto escalar que vocês podem encontrar na literatura corrente sobre o 
conteúdo é da forma 
 v,u. 
Unidade II 
Unidade II 
 
 
30 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste exercício devemos ficar atentos para realizar as operações com 
vetores antes de realizar o produto escalar. Em caso de dúvida na realização das 
operações com vetores, devemos retornar à Unidade I para revisar os conceitos. 
Uma forma de saber se o produto escalar está 
correto é verificando se a resposta está na forma de 
uma escalar, se estiver em forma de vetor, devemos 
conferir e refazer os cálculos, pois, necessariamente, 
a resposta será na forma de um escalar. 
 
 
Vamos considerar os vetores 
 3,2,1u  e 
 4,3,2v  e realizar as seguintes operações: 
a) 
vu 
 
Para a solução da letra a devemos somente aplicar o 
conteúdo visto nesse item, que é o produto escalar 
e, assim, resolvemos a questão: 
   
     
16vu
1262vu
433221vu
4,3,23,2,1vu




 
 
Verificamos, através do cálculo do produto escalar, 
que o resultado nos forneceu como resposta um 
escalar. 
b) 
  u2vu 
 
 
 
Unidade II 
Unidade II 
 
 
 
31 
Geometria Analítica 
    
 
 
 6,4,2u2
3,2,12u2
7,5,1vu
4,3,23,2,1vu




 
 
Agora que já calculamos os vetores necessários, podemos realizar o 
produto escalar solicitado no exercício. 
     
       
 
  60u2vu
42202u2vu
674521u2vu
6,4,27,5,1u2vu




 
 
Verificamos que, novamente e de acordo com os aspectos teóricos vistos 
anteriormente, o resultado do produto escalar é um número. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tentar solucionar um exercício mais 
complexo? Vou deixar a resposta e gostaria de 
todos tentassem resolver o exercício. A resposta é 
1
. 
O desafio é: Dados os vetores 
 1,,4u 
 e 
 3,2,v 
 e os pontos A (4,-1,2) 
e B (3,2,-1), determinar o valor de 

tal que 
  1BAvu 
. 
 
 
Unidade II 
 
 
32 
Geometria Analítica 
 
2.1.2 Propriedades do Produto Escalar 
As propriedades do produto escalar devem ser encaradas como facilitadoras 
do processo de cálculo e sempre devem ser usadas quando as condições forem 
satisfeitas. Iremos mostrar cada uma das quatro propriedades, explicar o seu 
significado e situações nas quais elas podem ser utilizadas. 
Vamos considerar quaisquer vetores não nulos 
u
, 
v
 e 
w
 e o escalar real α 
também não nulo. 
I. 
uvvu 
 
Esta é a propriedade que nos mostra que, se invertermos a ordem de 
realização do produto escalar, o resultado não se altera, ela deve ser utilizada em 
situações onde já temos um resultado do produto escalar e no caso de inversão de 
ordem devemos aproveitar o mesmo resultado. 
II. 
     wuvuwvu 
 
A propriedade II nos permite realizar o produto escalar envolvendo três 
vetores sem a necessidade real de se calcular uma soma vetorial. 
III. 
     vuvuvu 
 
Os aspectos algébricos relacionados à propriedade III nos mostram que, se 
multiplicarmos o escalar antes do produto escalar ou depois, independentemente 
sobre qual vetor, o resultado não se altera. 
IV. 
2
uuu 
 
A propriedade IV nos mostra que não precisamos realizar necessariamente 
o produto escalar quando ele é feito sobre ele mesmo. Esta propriedade se torna 
bastante útil quando já possuímos o módulo do vetor em questão, bastando então 
somente elevar o módulo dele ao quadrado e, assim, obter o resultado do produto 
escalar de um vetor sobre ele mesmo. 
 
Unidade II 
 
 
 
33 
Geometria Analítica 
 
2.1.3 Cálculo do Ângulo entre Vetores 
 Para que possamos determinar o ângulo entre dois vetores quaisquer e não 
nulos, antes precisamos analisar a formalidade que compõe a definição geométrica 
do produto escalar e, para tal, utilizaremos dois vetores 
u
 e 
v
não nulos e entre os 
quais é formado um ângulo qualquer θ, e assim ficamos com a seguinte definição: 
 
 cosvuvu
 
 
 Para que a definição fique bem clara para nós, vamos considerar o triângulo 
ABC da Figura 11 a seguir: 
Figura 11 – Triângulo ABC. 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 E assim, visualizando o triângulo ABC, inicialmente vamos aplicar a 
conhecida Lei dos Cossenos. Onde, então, chegaremos à seguinte formulação: 
 
 cosvu2vuvu
222
 
 
 
Unidade II 
 
 
34 
Geometria Analítica 
 
 Utilizando a definição mostrada no aspecto teórico do início deste item 
(
 cosvuvu
), vamos substituir na formulação logo acima e, então, teremos: 
 
 vu2vuvu 222 
 
 
 Portanto, podemos agora igualar as duas igualdades anteriores, o que vai 
nos resultar em: 
 
   cosvu2vuvu2vu 2222
 
 
 E assim provamos que: 
 
 cosvuvu
 
 
 Em termos literais, queremos dizer que o produto escalar resultante entre 
dois vetores quaisquer não nulos é igual à multiplicação do valor de seus módulos 
pelo cosseno do ângulo formado entre eles, com o valor de θ entre 0o e 180º. 
 
 
 
 
 
Unidade II 
 
 
 
35 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sempre que formos realizar um trabalho 
com os parâmetros citados nos aspectos teóricos 
anteriores, devemos nos atentar que, se 
trabalharmos com ângulos cujo valor de cosseno 
precisa ser calculado com a ajuda de uma 
calculadora, é necessário uma atenção redobrada na 
configuração do instrumento. Se estivermos 
trabalhando com os ângulos em graus, devemos 
configurar a calculadora para trabalhar da mesma 
maneira. 
 Agora que já conhecemos a definição 
algébrica do produto escalar, já é possível 
determinar o ângulo entre dois vetores quaisquer 
não nulos, onde basta isolar o cosseno de θ na 
formulação base e depois determinar seu arco. 
Assim, da igualdade conhecida 
 cosvuvu
 
teremos: 
 
vu
vu
cos



 
 
 
A determinação do ângulo entre vetores é uma das 
aplicações bem utilizadas na engenharia e na física. 
Saber trabalhar com o produto escalar e também 
operar a calculadora é fundamental para se obter os 
resultados corretos na determinação do ângulo 
entre vetores. 
 
 
Unidade II 
 
 
36 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando os vetores 
)1,3,2(u
e 
)4,2,1(v 
, 
vamos determinar o ângulo entre eles utilizando a 
formulação mostrada no item em questão. 
Como forma de solução do exercício, vamos fazer 
por partes, pois facilita os nossos cálculos, o 
exercício fica bem organizado e a possibilidade de 
errarmos fica reduzida. Inicialmente, vamos calcular 
o produto escalar entre os vetores: 
 
 
8vu
462vu
)4,2,1(1,3,2vu



 
 
Agora, vamos determinar o módulo de cada um dos 
vetores. Primeiramente, o módulo do vetor 
u
. 
14u
132u 222

 
E, agora, o módulo do vetor 
v
. 
 
21v
421v 22
2

 
 
 
 
Unidade II 
 
 
 
37 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificamos que já temos todos os valores 
necessários para calcularmos o ângulo entre os 
vetores em questãoe assim aplicamos na 
formulação do cálculo: 
466,0cos
2114
8
cos
vu
vu
cos






 
 
Vejamos que, nesse momento, temos o valor do 
cosseno de θ, mas queremos calcular o valor do 
arco, ou seja, do ângulo que possui o cosseno igual a 
0,466. Então, devemos utilizar a função arc cosseno 
ou cos-1 da calculadora, portanto: 
 
 
o22,62
466,0cosarc


 
 
Terminamos o exercício com o valor de 62,22 graus 
de angulação entre os vetores em questão. 
 
 
Unidade II 
 
 
38 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor 
 Agora que já sabemos como calcular o ângulo entre vetores, vamos 
aproveitar este conceito e aplicá-lo na determinação dos ângulos diretores e, 
consequentemente, dos cossenos diretores de um vetor qualquer não nulo. 
 Os ângulos diretores correspondem aos ângulos que o vetor em questão irá 
formar com os eixos ordenados x, y e z em relação ao unitário desses eixos. A 
Figura 12 nos mostra esses ângulos α, β e 

. 
Figura 12 – Ângulos Diretores. 
 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Uma forma de aprimorarmos nossos estudos e 
ganharmos conhecimento é através da prática de 
exercícios. Como sugestão, o link abaixo contém 
aspectos teóricos e exercícios que servem como 
aprimoramento do conhecimento. 
http://miltonborba.org/ALG/Produto_Escalar.pdf 
 
 
Unidade II 
 
 
 
39 
Geometria Analítica 
 
Veremos, agora, que o método de cálculo dos ângulos diretores segue o 
procedimento de cálculo do ângulo entre vetores, porém, ao invés de utilizarmos 
os dois vetores, iremos utilizar o vetor em questão e os ângulos serão 
determinados em relação ao unitário do eixo ordenado correspondente. 
Vamos considerar o vetor 
 z,y,xv  e, partindo dele, vamos equacionar o 
cálculo dos cossenos diretores e, consequentemente, dos ângulos diretores. Assim: 
 
   
   
   
v
z
1v
1,0,0z,y,x
kv
kv
cos
v
y
1v
0,1,0z,y,x
jv
jv
cos
v
x
1v
0,0,1z,y,x
iv
iv
cos





















 
 
 A formulação a princípio parece ser complicada, mas se analisarmos 
veremos que cada ângulo diretor é correspondente ao cosseno da direção em 
questão dividida pelo módulo do vetor original. 
 Se analisarmos a formulação e compararmos com os aspectos teóricos 
vistos sobre vetor unitário, veremos que cada cosseno diretor é igual a cada uma 
das componentes do vetor unitário, vejamos a seguir essa demonstração: 
 
   










 cos,cos,cos
v
z
,
v
y
,
v
x
v
z,y,x
v
v 
 
Unidade II 
 
 
40 
Geometria Analítica 
 
Por fim, podemos utilizar uma formulação bastante recorrente, que nos é 
útil na determinação de parâmetros em alguns exercícios. Esta formulação 
corresponde à soma dos quadrados dos cossenos diretores e é igual a 1. 
 
      1coscoscos 222 
 
 
 Como orientação ao final dos conceitos dos ângulos diretores, devemos 
deixar claro que quando calcularmos o cosseno diretor é necessário utilizar a 
função arc cosseno ou cos-1 da calculadora para determinação do ângulo diretor 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste exemplo, vamos utilizar as formulações de 
ângulos diretores para determinar os ângulos 
diretores do vetor 
)4,2,1(v
. 
 
Inicialmente, vamos determinar o valor do módulo 
do vetor 
)4,2,1(v
. Assim: 
 
21v
421v 222

 
 
Agora, vamos aplicar na formulação para 
determinação de cada um dos cossenos diretores: 
 
 
 
Unidade II 
 
 
 
41 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos aplicar na formulação para 
determinação de cada um dos cossenos diretores: 
 
872,0
21
4
v
z
cos
436,0
21
2
v
y
cos
218,0
21
1
v
x
cos



 
 
Finalmente, vamos determinar os ângulos diretores 
utilizando a função arc cosseno ou cos-1 para 
chegarmos aos resultados. Assim: 
o4,77
; 
o1,64
 e 
o3,29
 
 
 
 
Utilizando os conceitos de ângulos diretores, 
determinar o valor do ângulo α, sabendo que os 
ângulos diretores de um vetor qualquer são iguais a 
45º e 60º. 
Vamos utilizar este exercício para praticar e utilizar a 
formulação 
      1coscoscos 222 
. Como 
resposta, o valor de α é de 60º ou 120º. 
 
 
Unidade II 
 
 
42 
Geometria Analítica 
 
2.1.5 Projeção de um Vetor Sobre Outro 
A projeção de um vetor sobre outro é uma técnica muito utilizada na 
determinação de distâncias, alturas e parâmetros necessários para o cálculo de 
volumes quando mais de um vetor está envolvido no cálculo. Seu modo de calcular 
é bastante simples e envolve os conceitos de produto escalar que estamos 
estudando nesta unidade. 
Vamos considerar inicialmente dois vetores 
u
 e 
v
 não nulos e um ângulo θ 
formado entre eles e, para que possamos explicar melhor a projeção de um vetor 
sobre outro, vamos decompor o vetor 
v
 em dois vetores 
1v
 e 
2v
, tais que: 
 
21 vvv 
 e sendo que 
1v
 é paralelo a 
u
 e 
2v
 é perpendicular a 
u
, conforme 
podemos visualizar na Figura 13 a seguir. 
 
Figura 13 – Projeção de um Vetor Sobre Outro. 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Nessa situação, e de acordo com a Figura 13, chamamos o vetor 
1v
 de 
projeção ortogonal do vetor 
v
 sobre o vetor 
u
 e o modo como vamos 
representar algebricamente esses dizeres é feito como a seguir: 
vprojv
u1

 
Unidade II 
 
 
 
43 
Geometria Analítica 
 
 De posse da formulação algébrica, precisamos determinar agora os 
parâmetros necessários para a determinação dos valores desse vetor projeção e, 
assim, a determinação da projeção do vetor 
v
 sobre o vetor 
u
 fica definida da 
seguinte maneira: 
 
u
uu
uv
vproj
u












 
 
 Neste momento, é importante sabermos também a interpretação 
geométrica do módulo do produto escalar a qual está diretamente relacionada ao 
vetor projeção que estamos estudando neste item da unidade. 
 Fica definido que o comprimento do vetor projeção de 
v
 sobre o vetor 
u
, 
sendo o vetor 
u
 unitário, é equivalente ao módulo do produto escalar do vetor 
v
 
pelo vetor 
u
. 
 Podemos provar tal afirmação partindo da formulação do vetor projeção e 
considerando 
1u 
, assim: 
 
  uuvvproj
u

, em função de sabermos que 
1uuu
2

. 
 
Então: 
  uuvuuvvproj
u

, que corresponde a: 
uvvproj
u

. 
 
 
 
Unidade II 
 
 
44 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste exemplo vamos determinar a projeção do 
vetor 
)1,3,2(v
 sobre o vetor 
)4,2,1(u
. 
Para facilitar nossos cálculos, vamos calcular por 
parte cada um dos parâmetros da formulação de 
projeção de um vetor sobre outro e depois aplicar 
tais parâmetros na formulação em questão. 
   
12uv
462uv
4,2,11,3,2uv



 
   
21uu
1641uu
4,2,14,2,1uu


 
 
Agora, então, aplicamos os valores na formulação de 
projeção. 
 


























21
48
,
21
24
,
21
12
vproj
4,2,1
21
12
vproj
u
uu
uv
vproj
u
u
u
 
 
Logo, a projeção 
)1,3,2(v
 sobre o vetor 
)4,2,1(u 
corresponde ao vetor 






21
48
,
21
24
,
21
12
. 
 
 
 
Unidade II 
 
 
 
45 
Geometria Analítica 
 
2.1.6 Aplicações do Produto Escalar 
O produto escalar é uma ferramenta importante para a solução de 
problemas nas mais diversas áreas envolvendo a matemática, a física e a engenharia, 
visto que uma quantidade enorme de grandezas pode ser definida e calculada 
através do emprego do produto escalar. Uma das grandezas que pode se calculada 
através do produto escalar é o trabalho que veremos a seguir. 
A definição de trabalho nos diz que o mesmo corresponde à aplicação de 
uma determinada força 
F
 ao longo de uma determinada distância 
d
 e, assim, o 
trabalho fica sendo o produto dessa força em questão pela distância deslocada. 
Nem sempre a força tem a direção exata do deslocamento, podendo ser aplicada 
com uma determinada angulação θ, conforme podemos ver na Figura 14. 
Figura 14 – Força Aplicada a um Corpo. 
 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Na Figura 14 podemos observar que a componente real da força 
F
 que 
realiza o trabalho é a direcionada para o eixo x, ou seja, 
xF
, e também notamos 
que 
xF
 é paralela ao deslocamento 
dAB 
. 
Portanto, podemos definir 
 cosdFFx
, considerando θ, conforme 
mencionado anteriormente, como sendo o ângulo entre a força aplicada e o 
sentido do deslocamento. 
Unidade II 
 
 
46 
Geometria Analítica 
 
A grandeza em questão, o trabalho, definido pela letra W, é uma grandeza 
de natureza escalar, medido em Joules [J] cuja expressão de cálculo fica da seguinte 
maneira: 
 


cosdFW
dFW 
 
 Assim, vemos claramente a aplicação do produto escalar na física através do 
cálculo do trabalho de uma força. 
 Diversas outras aplicações podem ser encontradas na literatura recorrente 
do assunto, tais como aplicações em engenharia civil e matemática aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade II 
 
 
 
47 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos determinar o trabalho realizado por uma 
força 
F
 para deslocar um corpo do ponto A até o 
ponto B se a distância entre A e B é de 20 m, a 
força aplicada 
N10F 
 e o ângulo 
o9,36
, 
conforme ilustração a seguir. 
Figura 15 – Força Atuando em um Bloco. 
 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Para esse exercício devemos aplicar a formulação 
vista nos aspectos teóricos do item em questão, a 
qual se trata do trabalho realizado por uma força. 
 
J160W
8,0200W
9,36cos2010W
cosdFW
o




 
 
Assim, de acordo com os cálculos, são necessários 
160 J para se deslocar este corpo por 20 metros 
com a aplicação desta força angulada. 
 
 
Unidade II 
 
 
48 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
Ao final desta unidade, o aluno deverá ser capaz de realizar as 
operações envolvendo produto vetorial e, então, ser capaz de resolver 
situações problema que o envolvem. 
 
 
 
 Ciclo 03 
 
 
 
 
 
 
Unidade III – 
Produto Vetorial 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
III 
 
 
 
49 
Geometria Analítica 
 
3.1 Produto Vetorial 
 Nesta unidade, vamos estudar o produto vetorial. Analisar, calcular e utilizar 
o produto vetorial em situações problema nos faz enxergar de maneira diferente 
operações vetoriais. O produto vetorial é calculado através de operações entre 
vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser 
também um vetor, ao invés de um escalar. 
Estudar o produto vetorial é de grande importância, pois diversas aplicações na 
Física podem ser resolvidas através do produto vetorial, dentre as quais podemos 
citar a força exercida sobre uma partícula com carga unitária mergulhada num 
campo magnético uniforme (produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo 
vetor campo magnético). Outro exemplo de aplicação do produto vetorial é 
possível obter da engenharia, na subárea da mecânica: uma força provoca um 
movimento de rotação em um corpo através do produto vetorial entre a força e o 
vetor de posição do ponto de aplicação, tomado como referência o eixo de 
rotação do corpo. Estamos vendo que conhecer e saber operar com o produto 
vetorial é de grande valia e suma importância para disciplinas futuras. 
 
3.1.1 Definição Algébrica 
A definição algébrica do produto escalar, como o próprio nome sugere, 
vejam só: produto vetorial, nos dá a ideia de que o resultado será do tipo vetorial, 
indicando assim um vetor como resposta. Para a determinação do produto vetorial, 
é necessário que façamos uma breve revisão de determinantes, pois é através de 
determinantes que é realizado o cálculo do produto vetorial. 
Vamos iniciar com determinantes de ordem 2. Assim, a definição formal de 
determinantes de ordem 2 fica da seguinte maneira: 
 
2121
22
11
xyyx
yx
yx

 
Unidade III 
 
 
50 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notamos que, para o cálculo de um determinante 
de ordem 2, devemos realizar a multiplicação dos 
termos da diagonal principal e, então, subtraímos o 
resultado da multiplicação dos termos da diagonal 
secundária. 
 
 
Vamos considerar a matriz 







13
42
A
e assim 
calcular seu determinante, utilizando a expressão 
geral mostrada anteriormente. 
103412
13
42

 
Portanto, o determinante da matriz A é igual a -10. 
Agora que já conhecemos o modo de se 
calcular um determinante de ordem 2, passaremos 
para um de ordem 3 e verificaremos o seu 
procedimento de cálculo, veja: 
22
11
22
11
22
11
222
111
yx
yx
c
zx
zx
b
zy
zy
a
zyx
zyx
cba

 
 Essa metodologia de cálculo é conhecida 
pelo nome de Teorema de Laplace e consiste em 
reduzir a ordem inicial do determinante - no caso, 
ordem 3 - para determinantes de ordem 2, os quais 
sabemos calcular, como visto anteriormente. 
 
 
Unidade III 
 
 
 
51 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar a matriz 











143
214
321
A
e assim 
calcular seu determinante, utilizando a expressão 
geral mostrada anteriormente. 
 
      363163642811
143
214
321
43
14
3
13
24
2
14
21
1
143
214
321


 
 
Portanto, o determinante da matriz A é igual a 36. 
Agora que já conhecemos o modo de se calcular os 
determinantes de ordem 2 e 3, podemos calcular o 
produto vetorial que, como veremos a seguir, é a 
aplicação do cálculo de determinantes na geometria 
analítica. 
Vamos então considerar os seguintes vetores 
generalizados 
 111 z,y,xu 
 e 
 222 z,y,xv  e 
chamaremos de produto vetorial 
vu
parao 
seguinte processo e vetor resultante: 
 
Unidade III 
 
 
52 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
11
22
11
22
11
yx
yx
k
zx
zx
j
zy
zy
ivu 
 
 
 Assim, o produto vetorial de 
u
 por 
v
 
também pode ser representado por 
u
 ^ 
v
 e, como 
leitores, devemos ler 
u
 vetorial 
v
. Em termos 
generalizados, o produto vetorial fica representado 
como a seguir: 
 
222
111
zyx
zyx
kji
vu 
 
 
 Nos itens seguintes desta unidade veremos 
quais informações esse vetor resultante do produto 
vetorial nos fornece. 
 
É necessário que tenhamos muita atenção e 
respeito pela ordem e posicionamento dos vetores 
no determinante. O primeiro vetor deve ser 
posicionado na segunda linha e o segundo vetor 
deve ser posicionado na terceira linha do 
determinante. A inversão dessa ordem implica na 
inversão do sentido do vetor resultado, o que altera 
completamente a orientação física do mesmo. 
 
 
Unidade III 
 
 
 
53 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fixar os conceitos vistos de produto vetorial, 
vamos aplicá-los a vetores como 
 2,1,3u 
 e 
 4,3,1v 
 e determinar um vetor 
w
, que seja o 
produto vetorial entre os vetores 
u
 e 
v
. 
O exemplo se resolve aplicando a definição vista 
anteriormente, logo: 
 
31
13
k
41
23
j
43
21
i
431
213
kji
vu
yx
yx
k
zx
zx
j
zy
zy
i
zyx
zyx
kji
vu
22
11
22
11
22
11
222
111







      
 10,10,10vu
k10j10i10vu
19k212j64ivu



 
 
Portanto, de acordo com os cálculos realizados, o 
vetor  10,10,10w  . 
 
Unidade III 
 
 
54 
Geometria Analítica 
 
3.1.2 Dispositivo Prático para o Cálculo do Produto Vetorial 
Agora que já conhecemos a maneira tradicional de se calcular o produto 
vetorial entre dois vetores, é interessante que conheçamos também um dispositivo 
prático que vai facilitar nossos cálculos, oferecendo uma nova maneira de se calcular 
o produto vetorial entre vetores. O dispositivo prático tem como vantagem 
principal o fato de não corrermos o risco de esquecer a troca do sinal do 
determinante intermediário, impedindo erros simples que comprometem o 
resultado do exercício em questão. 
A utilização do dispositivo prático é bem simples, basta realizar o passo a 
passo a seguir: 
1. Escrevemos os dois vetores em linhas, o primeiro vetor em uma 
linha e o segundo vetor na linha de baixo. 
2. Replicamos os dois primeiros termos de cada vetor e colocamos na 
sua linha correspondente. 
3. Realizamos três determinantes simples de ordem dois, iniciando da 
segunda coluna com a terceira, depois da terceira com a quarta e, 
por fim, da quarta com a quinta coluna. 
4. O resultado de cada um desses determinantes de ordem dois 
corresponde a uma das direções do vetor resultado do produto 
vetorial. 
 Para que fique mais claro o passo a passo de utilização do dispositivo 
prático, veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
Unidade III 
 
 
 
55 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos determinar o resultado do produto vetorial 
entre os vetores 
 3,4,5u 
 e 
 1,0,1v 
 utilizando o 
dispositivo prático apresentado anteriormente. 
1. Escrevemos os dois vetores em linhas, o primeiro 
vetor em uma linha e o segundo vetor na linha de 
baixo. 
Conforme a Figura 16, realizamos o passo 1. 
Figura 16 – Passo 1. 
 
Fonte:Adaptado de: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
2. Replicamos os dois primeiros termos de cada 
vetor e colocamos na sua linha correspondente. 
Conforme a Figura 17, realizamos o passo 2. 
 
Figura 17 – Passo 2. 
 
Fonte: Adaptado de: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Unidade III 
 
 
56 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Realizamos três determinantes simples de ordem 
dois, iniciando da segunda coluna com a terceira, 
depois da terceira com a quarta e, por fim, da quarta 
com a quinta coluna. 
4. O resultado de cada um desses determinantes de 
ordem dois corresponde a uma das direções do 
vetor resultado do produto vetorial. 
Conforme Figura 18, realizamos os passos 3 e 4 e 
finalizamos a resposta do produto vetorial. 
Figura 18 – Passos 3 e 4 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
Assim, através do dispositivo prático, determinamos 
o valor do produto vetorial entre os vetores em 
questão e temos como resposta o vetor (4,-2,-4). 
Neste momento, é importante tratarmos de 
algumas propriedades relevantes do produto 
vetorial, vamos apresentá-las e realizar comentários 
sobre elas. 
 
 
Unidade III 
 
 
 
57 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, através do dispositivo prático, determinamos 
o valor do produto vetorial entre os vetores em 
questão e temos como resposta o vetor (4,-2,-4). 
Neste momento, é importante tratarmos de 
algumas propriedades relevantes do produto 
vetorial, vamos apresentá-las e realizar comentários 
sobre elas. 
 
 vuuv 
 
Essa propriedade nos mostra que, se invertemos a 
ordem dos vetores quando vamos realizar o cálculo, 
ocorre a inversão do sentido do vetor resultante. 
Em termos de módulo e direção nada se altera, mas 
o sentido é invertido. Essa proriedade implica em 
uma não comutatividade do produto vetorial. 
 
0vu 
 
Essa propriedade acontece somente se os vetores 
u
 
e 
v
 forem paralelos. Esse paralelismo e nulidade do 
resultado fica fácil de ser percebido; pois, como os 
vetores são paralelos, suas componentes serão 
proporcionais. Assim, ao realizarmos os 
determinantes, necessariamente teremos o 
resultado igual a zero. 
 
 
 
Unidade III 
 
 
58 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.3 Características do Produto Vetorial 
 Chegamos a um tópico de fundamental importância para compreendermos 
as informações que o produto vetorial nos fornece. Ao analisamos as caraterísticas 
de um vetor, veremos que as informações que o produto vetorial nos fornece são 
as mesmas de um vetor normal, porém carregadas de significados adicionais que o 
tornam uma ferramenta muito importante em diversos segmentos de estudo. 
Analisaremos três características: direção, sentido e comprimento. 
 
 
 
 
Agora que sabemos, através da propriedade, que o 
produto vetorial não é comutativo, vamos tentar 
provar o fato através de valores numéricos? Esse é o 
desafio! 
De posse dos vetores 
 2,1,3u 
 e 
 3,5,2v 
, 
prove que o produto vetorial não é comutativo. 
O que esperar como resposta? Espera-se como 
resposta um vetor e outro vetor com sentido 
invertido. 
Não deixe de tentar, pois esse desafio é uma boa 
oportunidade de praticar! Para a solução do produto 
vetorial e para tornar o desafio mais interessante, 
faça uma parte através de determinantes normaise 
outra parte através do dispositivo prático. 
 
 
Unidade III 
 
 
 
59 
Geometria Analítica 
 
1. Direção de 
vu
 
 
 A direção do vetor resultante do produto vetorial entre 
u
 e 
v
 nos fornece 
um vetor que é simultaneamente ortogonal aos mesmos. Um vetor 
simultaneamente ortogonal é um vetor que forma um ângulo reto (90 graus) entre 
os vetores que o originaram. Uma maneira de provar essa ortogonalidade é utilizar 
os conceitos vistos na unidade 2, que tratam do produto escalar, onde sabemos 
que dois vetores são ortogonais a partir do momento em que o resultado do 
produto escalar entre eles é igual a zero. Portanto, podemos complementar a 
primeira característica do produto vetorial em análise com as seguintes proposições: 
 
  0uvu 
 e 
  0vvu 
 
 
 Se aplicarmos tal formulação ao teorema de determinantes, teremos a 
seguinte formatação: 
 
222
111
111
zyx
zyx
zyx
uvu 
 
 
 Assim, provamos que pelo fato de duas linhas serem iguais nesse 
determinante, necessariamente o resultado vai ser igual a 0, comprovando a 
ortogonalidade entre os vetores. 
 Para mostrar geometricamente, a Figura 19 ilustra essa situação da 
ortogonalidade entre os vetores e produto vetorial. 
 
 
Unidade III 
 
 
60 
Geometria Analítica 
 
Figura 19 – Produto Vetorial. 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o produto vetorial entre os vetores 
 2,1,1u 
 e 
 1,2,3v 
. Dica: iremos provar a 
ortogonalidade entre eles, garantindo que nosso 
exercício está correto. 
Como forma de praticar o dispositivo prático, 
iremos determinar o produto vetorial entre os 
vetores solicitados. 
 1,5,3
23123
11211
vu 
 
Através do dispositivo prático, chegamos ao vetor 
resultado do produto vetorial como sendo o vetor 
(-3,5,-1). Agora, utilizaremos uma forma de provar e 
verificar que nosso resultado está correto, ou seja, 
provaremos a ortogonalidade entre os vetores. 
Assim: 
    02532,1,1)1,5,3(uvu 
 
    011091,2,3)1,5,3(vvu 
 
 
 
Unidade III 
 
 
 
61 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sentido de 
vu
 
 
 Existem várias maneiras de se determinar o sentido do vetor resultante do 
produto vetorial entre 
u
 e 
v
, vamos apresentar duas delas: a regra da mão direita e 
o dispositivo permutação cíclica simples. 
 Iniciamos com a regra da mão direita, onde a mão é aplicada com os dedos 
no sentido do primeiro vetor e, com esses dedos no sentido do primeiro vetor, 
fechamos a mão rumo ao outro vetor. O sentido do vetor resultado do produto 
vetorial será para onde o dedo polegar apontar. A Figura 20 nos auxiliará na 
compreensão da aplicação da regra da mão direita. 
 
 
 
 
 
 
Como verificado, ambas as proposições para teste 
do resultado do produto vetorial foram iguais a 
zero. Assim, comprovadamente, o vetor resultante é 
simultaneamente ortogonal aos vetores que o 
originaram. 
 Vamos agora à segunda característica do 
produto vetorial. 
 
 
Unidade III 
 
 
62 
Geometria Analítica 
 
Figura 20: Regra da Mão Direita. 
 
Fonte:WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 O outro dispositivo para determinação do sentido do produto vetorial é 
através da permutação cíclica dos vetores. Inicialmente, mostramos a Figura 21 e a 
seguir explicamos o procedimento de uso. 
 
Figura 21: Permutação Cíclica. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 A permutação cíclica é bem simples, vejamos a indicação da seta com o 
valor (+), isso nos diz que, ao girarmos naquele sentido, o resultado fica positivo; e 
se giramos no sentido contrário, o resultado fica negativo. Por exemplo, se fizemos 
Unidade III 
 
 
 
63 
Geometria Analítica 
 
o produto vetorial entre as direções 
i
 e 
j
, o resultado será um vetor na direção 
k
. 
Outro exemplo é se fizermos o produto vetorial entre as direções 
i
 e 
k
, o 
resultado será um vetor na direção 
j
. 
 Notamos que ambas as utilizações são de grande praticidade e facilidade de 
aplicação, cabendo a nós atenção ao aplicar as regras específicas de cada uma delas. 
 Por fim, vamos à última característica do produto vetorial. 
 
3. Comprimento de 
vu
 
 
 Sempre que tratamos de dois vetores não paralelos haverá um ângulo 
diferente de zero entre eles e é a partir dessa premissa, considerando um ângulo 
qualquer θ entre os vetores 
u
 e 
v
, que podemos definir o comprimento, ou 
tamanho, do vetor resultante do produto vetorial: 
 
  senvuvu
 
 
 Essa é uma característica bastante simples de ser analisada e calculada em 
função de obtermos os parâmetros necessários. Uma aplicação recorrente é a 
determinação do ângulo entre vetores através da mesma. No próximo item, iremos 
verificar o significado do comprimento desse vetor resultante do produto vetorial. 
Vamos exemplificar para tornar mais fácil a compreensão da aplicação da 
formulação. 
 
 
 
Unidade III 
 
 
64 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos determinar o módulo desse produto 
vetorial e o módulo de cada um dos vetores. 
2142)1(v
14132u
2307)9(10vu
222
222
222



 
Verificamos que já temos todos os valores 
necessários para calcularmos o ângulo entre os 
vetores em questão. Assim, aplicamos na formulação 
do comprimento do produto vetorial isolando o 
)(sen 
. 
 
 
  884,0sen
2114
230
sen
vu
vu
sen






 
 
Vejamos que, neste momento, temos o valor do 
seno de θ, mas queremos calcular o valor do arco, 
ou seja, do ângulo que possui o seno igual a 0,884. 
Então, devemos utilizar a função arc seno ou sen-1 
da calculadora, portanto: 
 
o22,62
884,0senarc


 
Terminamos o exercício com o valor de 62,22 graus 
de angulação entre os vetores em questão. 
 
Unidade III 
 
 
 
65 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.4 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial 
 Para iniciarmos a análise da interpretação geométrica do módulo do 
produto vetorial que calculamos nas seções anteriores, vamos considerar o 
paralelogramo formado pelos vetores 
u
 e 
v
não nulos, conforme podemos ver pela 
Figura 22 a seguir. 
Figura 22 – Paralelogramo. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
Vamos considerar, para o paralelogramo em questão, a base sendo como o 
módulo do vetor 
u
, 




 u
e sua altura correspondente sendo como o produto do 
módulo do vetor 
v
 pelo seno do ângulo formado entre os vetores, 




  )(senv
. 
Assim, fica claro que a área desse paralelogramo pode ser definida pela formulação: 
 
Vale lembrar que não deve deixar de estar sempre 
estudando o nosso guia de estudos e buscar, através 
de pesquisas como a indicada anteriormente, 
aumentar o saber e formas de visualizar a disciplina. 
 
 
Unidade III 
 
 
66 
Geometria Analítica 
 
)(senvualturabaseA 
 
 
 Essa formulação, se analisarmos os aspectos teóricos vistos anteriormente, 
nos leva a concluir que: 
 
vuA 
 
 Então, o resultado do produto vetorial nos forneceum vetor cujo módulo é 
igual ao valor da área do paralelogramo que os vetores produzem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante deixar claro que o resultado do 
produto vetorial poderá ser expresso por: a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores 
u
 e 
v
é 
numericamente igual ao comprimento do vetor 
resultado do produto vetorial entre 
u
 e 
v
. 
 
 
Uma forma interessante de provar os pressupostos 
mencionados anteriormente é através de uma 
exemplificação que vai nos mostrar claramente a 
relação do comprimento do vetor resultante do 
produto vetorial e a área do paralelogramo. Para tal, 
vamos determinar o produto vetorial entre 
)0,0,2(u 
e 
)0,3,0(v
. 
 
 
Unidade III 
 
 
 
67 
Geometria Analítica 
 
Inicialmente, vamos determinar o produto vetorial através do dispositivo prático: 
 
 6,0,0
30030
02002
vu 
 
 
Sabendo que o produto vetorial resulta em um vetor (0,0,6), vamos fazer agora o 
módulo desse vetor resultado do produto vetorial, assim teremos: 
 
66vu 2 
 
 
Agora, analisando a Figura 23, vamos confirmar que o vetor resultante do produto 
vetorial tem comprimento igual a 6 e a área formada pelo paralelogramo dos 
vetores 
u
 e 
v
 também é igual a 6. 
Figura 23: Produto Vetorial. 
 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
Unidade III 
 
 
68 
Geometria Analítica 
 
Através desse exemplo provamos a postulado do produto vetorial, onde 
fica claro que seu comprimento é igual ao valor da área formada pelo 
paralelogramo dos vetores geradores do produto vetorial. 
 Neste momento, é interessante apresentarmos algumas propriedades 
algébricas e específicas do produto vetorial, as quais podem nos ser úteis para 
solução de uma maior variedade de exercícios. 
Vamos considerar quaisquer vetores não nulos 
u
, 
v
 e 
w
 e o escalar real α 
também não nulo. 
V. 
   wvuwvu 
 
 A propriedade I nos mostra que o produto vetorial não é associativo. 
VI. 
     wuvuwvu 
 
 Através da propriedade II, podemos realizar a distributiva do produto 
vetorial, conseguindo assim o mesmo resultado, essa propriedade pode agilizar 
nossos cálculos dependendo dos parâmetros iniciais. 
VII. 
     vuvuvu 
 
 De acordo com a propriedade III, podemos realizar a multiplicação do 
escalar α no produto vetorial antes ou depois do produto, mantendo-se assim o 
resultado final. 
 Existe ainda uma quarta propriedade, que relaciona o produto escalar 
juntamente com o produto vetorial – essa propriedade será tratada como um item 
particular de nosso guia de estudos: é o nosso item 2.1.5, que veremos após alguns 
exercícios propostos. 
 
 
 
 
Unidade III 
 
 
 
69 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este é o momento de praticarmos os 
conhecimentos! 
Então, de posse dos vetores 
)4,1,1(u  e )2,2,3(v  , 
determine alguns vetores de acordo com o que se 
pede: 
a) Um vetor ortogonal a 
u
 e 
v
 
Dica: Utilizar o dispositivo prático para a solução do 
problema. 
Resposta: (10,-10,5) 
b) Um vetor ortogonal a 
u
 e 
v e também unitário 
Dica: Já possuímos o vetor simultaneamente 
ortogonal feito na letra a do exercício. Agora, 
utilizando os conhecimentos adquiridos na unidade 
anterior, calcule o vetor unitário partindo desse 
vetor ortogonal. 
Resposta: 







3
1
,
3
2
,
3
2
 
c) Um vetor ortogonal a 
u
 e 
v e com módulo igual 
a 5 
Dica: Já possuímos o vetor simultaneamente 
ortogonal feito na letra a do exercício, e também o 
vetor unitário feito na letra b do exercício. Então, 
veja: se o vetor unitário tem módulo igual a 1, e 
queremos um vetor com módulo igual a 5, basta 
multiplicarmos o vetor unitário por 5. 
Resposta: 







3
5
,
3
10
,
3
10
 
 
 
Unidade III 
 
 
70 
Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando um triângulo equilátero de lado ABC, 
calcular a área do paralelogramo composto pelos 
lados AB e AC, conforme representação a seguir: 
 
 
 
Dica: Utilizar a formulação base do produto vetorial 
considerando o ângulo entre os vetores. 
Resposta: 86,6 
 
 Dados os vetores )1,1,1(u  e )4,3,2(v  determinar a 
altura do paralelogramo relativa à base definida pelo 
vetor 
u
, conforme representação a seguir: 
 
 
 
Dica: Utilizar a definição de área. A = (base) x 
(altura) 
Resposta: 1,414 
 
Unidade III 
 
 
 
71 
Geometria Analítica 
 
3.1.5 Produto Vetorial Associado ao Produto Escalar (Produto Misto) 
Neste momento, é importante mostrarmos outra aplicação do produto 
vetorial, porém agora está associada ao produto escalar. Vamos tomar como base 
os vetores 
 111 z,y,xu 
, 
 222 z,y,xv 
 e 
 333 z,y,xw 
 e, mantendo a ordem, 
o produto misto entre eles nos fornece como resposta o escalar que é simbolizado 
por 
 wvu 
. 
A forma de cálculo do produto misto é através de um determinante de 
ordem 3; onde, para a solução, podemos aplicar a Regra de Sarrus. A montagem do 
determinante é mostrada a seguir, vale atentar-se para o fato de que a ordem dos 
vetores deve ser respeitada no posicionamento no determinante. 
 
 
333
222
111
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
 
Então, aplicando a Regra de Sarrus para o determinante mostrado 
anteriormente, o produto misto entre os vetores em questão é calculado através da 
repetição das duas primeiras colunas ao lado da última. Então, realizam-se três 
multiplicações em diagonal da esquerda para a direita; e subtrai-se esse resultado de 
outras três multiplicações da direita para esquerda, conforme formulação a seguir. 
 
 
  )xyz()yzx()zxy()yxz()xzy()zyx(wvu
yxzyx
yxzyx
yxzyx
wvu
321321321321321321
33333
22222
11111


 
 
Unidade III 
 
 
72 
Geometria Analítica 
 
Podemos verificar que, pelo cálculo do produto misto, teremos como 
resposta um escalar e esse escalar pode nos fornecer duas informações bem 
interessantes e cruciais em diversos exercícios e aplicações. 
 
I. Coplanaridade dos Vetores (Vetores no mesmo plano) 
 Esta é uma propriedade bem interessante e de fácil observação. Se tivermos 
vetores no mesmo plano, quando fizermos o produto escalar entre dois deles e 
tivermos como resultado outro vetor que é perpendicular a eles; ao ser realizado o 
produto escalar com o vetor restante, se o resultado for zero, isso indica que o 
ângulo entre eles é de 90º, ou seja, eles são perpendiculares, indicando assim a 
coplanaridade dos vetores. A Figura 24 nos mostra geometricamente essa 
afirmação. 
Figura 24: Vetores Coplanares. 
 
Fonte: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2000. 
 
 A maneira como representamos a coplanaridade entre os vetores é 
mostrada a seguir: 
 
  0
zyx
zyx
zyx
wvu
333
222
111

 
 
Unidade III 
 
 
 
73 
Geometria Analítica 
 
Neste caso, a ordem dos vetores não irá influenciar no resultado, pois o 
objetivo é determinar se os vetores são ou não coplanares. Qualquer resultado 
diferente de zero indica que os vetores não estão no mesmo plano. 
 
II. Volume do Paralelepípedo Composto Pelos Vetores 
 Ao