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Professor Victor M Lima
Matemática Viva
NÚMEROS REAIS & CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Números reais e conj. numéricos
Números Reais
Chamamos de Números Reais o conjunto de 
elementos, representado pela letra maiúscula R, que
inclui os:
• Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
• Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
• Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
• Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 
3,141592....}
Números reais e conj. numéricos
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união
dos conjuntos, utiliza-se a 
expressão:
R = N U Z U Q U I ou 
R = Q U I
Números reais e conj. numéricos
• O conjunto dos números Racionais (Q) é formado
pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos 
Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro
(Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
• O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os
Números Naturais (N); em outras palavras, todo
número natural é um número inteiro, ou seja, N 
está contido em Z.
Números reais e conj. numéricos
• O conjunto dos números Racionais (Q) é formado
pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos 
Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro
(Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
• O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os
Números Naturais (N); em outras palavras, todo
número natural é um número inteiro, ou seja, N 
está contido em Z.
Números reais e conj. numéricos
Os números Complexos são
representados pela letra C e mais
conhecidos como o número da letra i, 
sendo designada nesse conjunto a 
seguinte fundamentação: i² = -1.
1707 – 1783
Leonhard Euler
Números reais e conj. numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
• Os números naturais são representados por N. Eles
reúnem os números inteiros (incluindo o zero) e são
infinitos. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
• Foi o primeiro conjunto de que se teve notícia. 
Nasceu da simples necessidade de se fazer
contagens, por isso, seus elementos são apenas os
números inteiros e positivos.
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Naturais
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos 
dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o 
zero.
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto 
dos números naturais pares.
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Naturais
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: 
conjunto dos números naturais ímpares.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números 
naturais primos.
Números reais e conj. numéricos
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
• Os números inteiros são representados por Z. 
Reúnem todos os elementos dos números naturais
(N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um 
subconjunto de Z (N ⊂ Z).
• Uma ampliação do conjunto dos números naturais.
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Inteiros
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: 
conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, 
sem o zero.
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números 
inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números 
inteiros positivos e sem o zero.
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Inteiros
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos 
números inteiros não-positivos.
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números 
inteiros negativos e sem o zero.
Números reais e conj. numéricos
Conjunto dos Números Racionais (Q)
• Os números racionais são representados por Q. 
Reúnem os números fracionários representados
pelo conjunto das frações p/q sendo p e q números
inteiros e q≠0.
• Os números que podem ser escritos na forma de 
fração são: Todos os números inteiros; Decimais
finitos; Dízimas periódicas.
Números reais e conj. numéricos
• Os decimais finitos são aqueles que possuem um 
número finito de casas decimais. 
Exemplo: 1,1; 3,45 ; 7,89
• Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que
repetem a sequência final de suas casas decimais.
Exemplo: 2,3333.... ; 4,27272.... ; 
6,758975897589....
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Racionais
• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, 
formado pelos números racionais sem o zero.
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-
negativos, formado pelos números racionais
positivos e o zero.
• Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, 
formado pelos números racionais positivos, sem o 
zero.
Números reais e conj. numéricos
Subconjuntos dos Números Racionais
• Q– = subconjunto dos números racionais não-
positivos, formado pelos números racionais
negativos e o zero.
• Q*– = subconjunto dos números racionais
negativos, formado números racionais negativos, 
sem o zero.
Números reais e conj. numéricos
Conjunto dos Números Irracionais (I)
• Os números irracionais são representados por I. 
Reúnem os números decimais não exatos com uma
representação infinita e não periódica.
• Pertencem ao conjunto dos números irracionais
todos os números que não pertencem ao conjunto
dos racionais.
• Não existe possibilidade de um número pertencer a 
esses dois conjuntos simultaneamente
Números reais e conj. numéricos
Intervalos Numéricos
• Há ainda um subconjunto relacionado com os
números reais que são chamados de intervalos. 
Sejam a e b números reais e a < b, temos os
seguintes intervalos reais:
• Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}
Números reais e conj. numéricos
Intervalos Numéricos
• Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}
• Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de 
extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}
Números reais e conj. numéricos
Intervalos Numéricos
• Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de 
extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}
Fuiiiiiiiii !
Até!