Apostila Sistemas Estruturais I Sapatas

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COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 
9º semestre / Engª Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Sérgio Carneiro 
Revisão Prof. Rose 
 
 
 
 
Sorocaba/SP 
Fevereiro/2017 
1 
INTRODUÇÃO 
Na Facens, chamamos de “Sistemas Estruturais I e II” às disciplinas ministradas no último ano do 
curso de Engenharia Civil e que versam sobre os elementos estruturais de concreto que não são 
abordadas em “Concreto Armado I e II” no ano anterior. Lá se estudam lajes, vigas e pilares que constituem 
basicamente a superestrutura de um edifício comum de concreto armado. Aqui trataremos de alguns dos 
elementos correntes das infraestruturas como sapatas, blocos de coroamento de estacas e vigas-
alavanca, além de analisarmos escadas e muros de arrimo. A abordagem destes tópicos privilegiará o 
dimensionamento dos mesmos, englobando tomada de cargas, definições de modelos estruturais, 
determinação de esforços solicitantes além do cálculo e detalhamento de armaduras, comentando 
também, sempre que possível, a respeito das técnicas de execução desses elementos. 
1 FUNDAÇÕES 
1.1 Conceito 
Fundação é o elemento estrutural que transmite para o terreno as ações atuantes na estrutura, 
tendo a função de transferir e distribuir com segurança as ações da superestrutura ao solo, de modo que 
não cause recalques diferenciais prejudiciais ao sistema estrutural, ou ruptura do solo. 
De acordo com a NBR 6122:2010 tem-se as seguintes definições de fundações: 
 Fundação superficial (rasa ou direta) refere-se ao elemento de fundação em que a carga é 
transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a base da fundação, e a profundidade de 
assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor 
dimensão da fundação; 
 
 Fundação profunda (indireta) refere-se ao elemento de fundação que transmite a carga ao 
terreno ou pela base (resistência de ponta) ou por sua superfície lateral (resistência de fuste) ou 
por uma combinação das duas, devendo sua ponta ou base estar assente em profundidade 
superior ao dobro da sua menor dimensão em planta, e no mínimo 3,00m. Neste tipo de fundação 
incluem-se as estacas e os tubulões. 
 
Fundações Diretas Blocos de fundação 
Rasas Superficiais Sapatas 
 Radier 
 Madeira 
 Pré moldadas Aço 
Fundações Indiretas Estacas Concreto 
Profundas Franki 
 Moldadas "In loco" Strauss 
 Injetada 
 Rotativa 
 Tubulões A céu aberto e/ou ar comprimido 
 
2 
1.2 Escolha do tipo de fundação 
A escolha do tipo de fundação a ser utilizada em uma edificação é função de dois fatores: 
1) Os esforços oriundos da superestrutura. 
2) As características de resistência e deformabilidade do solo. 
Os esforços oriundos da super-estrutura devem ser informados pelo projetista estrutural e devem 
ser fornecidos no nível de topo da fundação (no caso de edifícios o topo das cintas e para pontes o topo 
de blocos ou sapatas), ou ao nível da interface entre os projetos de super-estrutura e 
fundação/infraestrutura, devendo ficar bem caracterizado esse nível (NBR 6122:2010). 
Em relação às características do solo, estas serão determinadas através de ensaios geotécnicos, 
que serão tão mais importantes e necessários quanto maior for à importância relativa da obra. 
Evidentemente o projeto e a execução de um túnel sob os Alpes austríacos demanda um grau de 
conhecimento a respeito do solo muito maior que a construção de uma casa térrea! A citação à Áustria 
não é gratuita neste caso, visto que naquele país desenvolveu-se um método de projeto e escavação de 
túneis conhecido como N.A.T.M. (“New Austrian Tunneling Method”) baseado justamente em estudos do 
comportamento de solos (e rochas) quando da retirada de parte de seu maciço através de escavação. 
Para muitas das situações intermediárias entre esses dois extremos, um ensaio de simples 
reconhecimento com cravação de amostrador “SPT” (“Standard Penetration Test”) é o que basta para um 
grau de conhecimento razoável acerca do solo onde se pretenda construir algo. 
Existem, inclusive, algumas fórmulas empíricas que correlacionam o índice “SPT” de uma camada 
de solo com a sua capacidade de carga, ou seja, com a sua tensão admissível à compressão, sendo 
frequentemente empregadas, as seguintes: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = √𝑁𝑆𝑃𝑇 − 1 
Onde: 
 𝑁𝑆𝑃𝑇 é o nº de golpes desferidos pelo amostrador 
𝜎𝑎𝑑𝑚 é obtido em kgf/cm². 
Tais expressões revelam-se de enorme utilidade no dimensionamento de uma sapata, por exemplo, na falta de ensaios 
geotécnicos mais aprofundados. 
 
De posse destes dois fatores (esforços da super-estrutura e características do solo) estamos aptos 
a escolher de forma adequada o tipo de fundação a empregar sob determinado pilar ou parede estrutural. 
Cabe lembrar que a “resistência à compressão média-alta e relativa homogeneidade” é um 
conjunto de conceitos, função do tipo de edificação e da magnitude dos esforços advindos da 
superestrutura que solicitarão o elemento de fundação a ser escolhido e dimensionado. 
Após estas considerações de caráter geral, que são muito mais bem abordadas nas disciplinas 
“Fundações e Obras de Terra I e II”, passaremos de imediato ao estudo especifico dos tipos de fundação 
já mencionados. 
 
3 
2 SAPATAS 
2.1 Conceito 
As sapatas são definidas como elemento de fundação superficial, de concreto armado, 
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultante sejam resistidas pelo emprego de 
armadura especialmente disposta para esse fim (NBR:6122/2010). 
O comportamento estrutural das sapatas pode ser caracterizado como rígidas ou flexíveis 
(NBR:6118/2014), sendo: 
Sapatas Rígidas 
 Trabalha à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para cada uma delas, a tração na 
flexão seja uniformemente distribuída na largura correspondente da mesma; 
 O cisalhamento ocorre também nas duas direções, não apresentando ruptura por tração 
diagonal e sim por compressão diagonal; 
 Não há possibilidade de punção porque a sapata fica inteiramente dentro do cone 
hipotético de punção. 
Sapatas Flexíveis 
Embora o uso mais raro dessa sapata, são indicadas para fundação de cargas pequenas e solos 
relativamente fracos. 
 Trabalha à flexão nas duas direções, não admitindo-se tração na flexão uniformemente 
distribuída na largura da sapata; 
 O cisalhamento pode ser descrito pelo fenômeno da punção. 
 
2.2 Classificação 
As sapatas podem ser classificadas conforme suas características geométrico-funcionais e tipo de 
cargas que transferem ao solo, sendo: 
 
2.2.1 Sapata isolada centrada – para apoio de um único pilar (carga concentrada) em seu centro de 
gravidade, distribui a carga nas duas direções, sendo: 
 
 
b
h
aA A
Planta
Corte AA
0
h
b0
a0
4 
2.2.2 Sapata corrida ou continua – para apoio de paredes (estruturais ou de vedação), muros ou 
uma bateria de pilares alinhados e pouco espaçados, com carga linear distribuída em uma 
única direção, sendo: 
 
 
2.2.3 Sapata associada – para apoio de dois ou mais pilares, referem-se as cargas concentradas 
distribuídas através de uma viga, e utilizadas também quando há interferência entre sapatas 
isoladas, sendo: 
 
 
2.2.4 Sapata excêntrica ou de divisa – para apoio de um pilar fora de seu CG (centro de 
gravidade), utilizada em pilar de divisa com carga concentrada, transferida na maioria dos 
casos através de viga-alavanca, sendo: 
 
 Além das representações ora feitas, podem existir outras geometrias possíveis para cada uma 
das modalidades citadas. Assim, podemos projetar eexecutar, por exemplo, uma sapata isolada circular 
(em planta) que é normalmente a solução adotada para edificações cilíndricas tais como torres d’água 
 
h
a
A A
Planta
Corte AA
0
h
a0
divisa ou interferência
5 
com essa geometria. Da mesma forma, nada impede que uma sapata corrida não seja chanfrada, ou seja, 
tenha altura constante e assim por diante. 
 
2.2.5 Viga alavanca ou viga de equilíbrio – é o elemento estrutural que recebe as cargas de um 
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às fundações. 
Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das cargas dos pilares nelas 
atuantes. É comum em pilar de divisa onde o momento fletor resultante da excentricidade da ação com a 
reação da base deve ser resistido pela “viga de equilíbrio”. 
 
 
2.3 Dimensionamento 
Segue as etapas de dimensionamento e detalhamento de cada tipo de sapata. 
2.3.1 Sapata corrida 
2.3.1.1 Definição geométrica 
Da mesma forma que ocorre no dimensionamento de outros elementos estruturais (lajes, vigas ou 
pilares) o processo de dimensionamento de uma sapata, independente de sua geometria, é na realidade 
um processo de verificação, ou seja, adotam-se, “a priori”, medidas que, supõe-se, atenderão às 
necessidades de resistência e rigidez, e que poderão ser modificadas, caso isso não ocorra. No caso 
específico de sapatas corridas, este pré-dimensionamento resume-se à adoção de uma seção transversal 
típica, visto que sua extensão é função do comprimento da parede ou muro ou da distância entre as faces 
externas dos pilares extremos da bateria que nela se apoia. Na figura abaixo temos uma seção transversal 
típica: 
6 
 
Onde: 
 “a” largura da sapata será adotada e verificada em função dos esforços solicitados e do solo; 
 𝑎0, quando do dimensionamento da sapata, encontra-se já definido; 
 l é decorrência dos dois elementos anteriores (𝑙 = 0,5 · (𝑎 − 𝑎0); 
 h será adotado de tal forma que a sapata seja rígida, ou seja, ela deve obedecer o critério 
de rigidez, além de ser maior que 30 cm e que 30 vezes o diâmetro das barras da armadura 
longitudinal (vertical) da parede, ou seja, 
 ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
30. ∅𝑙𝑝
0,5. 𝑙
 , onde ∅𝑙𝑝 é a bitola referida ; 
ℎ0 deve ser maior que um terço de h e que 20 cm simultaneamente 
(ℎ0 ≥ (
h
3
; 20 cm)). 
Ainda, segundo a NBR:6118/2014, item 22.6.1, a sapata pode ser definida como rígida ou flexível, 
conforme expressão abaixo: 
h ≥ (a-a0)/ 3 para rígida e/ou h < (a-a0)/ 3 para flexível 
onde: 
h é a altura da sapata; 
a é a dimensão da sapata em uma determinada direção; 
a0 é a dimensão do pilar na mesma direção. 
Obs. Para sapata isolada verificar nas duas direções. 
Considerar a que for conservadora 
A fundação superficial (rasa ou direta) deve ter a sua base em contato com o solo (sapatas, vigas 
de equilíbrio, etc) apoiadas sobre lastro de concreto não estrutural com no mínimo 5 cm de espessura 
(NBR:6122/2010). 
2.3.1.2 Critério de rigidez 
Para que a sapata corrida (e genericamente qualquer peça de fundação) não sofra flexão tornamo-
la rígida a partir do critério de rigidez que, no caso de uma sapata corrida, pode ser expresso por: 
ℎ ≥ 0,5. 𝑙. Onde (ℎ/𝑙) é a tangente do ângulo α indicado na figura abaixo: 
 
h0
h
a
a0 l
7 
 
A linha tracejada da figura corresponde aos limites superiores das “bielas” de compressão 
originadas a partir do pilar e que “rumam” para a base da sapata. Por “bielas” entendem-se as trajetórias 
das tensões de compressão. Uma vez obedecido o critério de rigidez, as bielas solicitarão a totalidade da 
base da sapata, não havendo necessidade de armaduras que “suspendam” as tensões de compressão tal 
como ocorre em uma viga de concreto armado, que é uma peça não-rígida (ou flexível) por excelência. 
Aliás, o motivo principal de impormos o critério de rigidez no dimensionamento de uma peça de fundação 
qualquer é justamente o de não haver necessidade deste tipo de armadura (que no caso de vigas 
corresponde aos estribos). 
Para que a sapata não seja excessivamente rígida (ultra-rígida) Impomos também que: 
tg α ≤ 2 
Juntando-se estas duas condições, temos que: 
26,3° ≤ α ≤ 63,4° 
Estes dois ângulos delimitam superior e inferiormente as “bielas” de compressão eficientes. 
O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios laboratoriais realizados por Lebelle 
(1936) e se aplica às sapatas rígidas, corridas e isoladas. A carga é transferida do pilar para a base da 
sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata, 
que devem ser resistidas por armadura. 
 
2.3.1.3 Verificação das tensões do solo 
Definida a geometria de uma sapata rígida, a etapa seguinte consiste em verificar a 
compatibilidade das tensões normais que surgirão em sua base com a capacidade de carga do solo. Para 
 
h
l
8 
isso imaginemos uma sapata submetida a uma força vertical de compressão e a um momento fletor em 
torno de seu eixo longitudinal e as tensões normais decorrentes, conforme representado: 
 
 
 
As tensões máximas e mínimas (σmáx e σmín, respectivamente) podem ser determinadas através 
das seguintes expressões: 
𝜎𝑚á𝑥 = (
𝑁𝑘
𝑎
) + 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
); e 𝜎𝑚𝑖𝑛 = (
𝑁𝑘
𝑎
) − 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
) 
onde: 
 𝑁𝑘 = 𝑉𝑘 + 𝐺𝑘 
 𝐺𝑘 é o peso-próprio da sapata 
Por excentricidade virtual entendemos a relação entre momento fletor e a força normal atuantes 
e a chamamos, comumente, de e0. 
 
Neste caso temos que a excentricidade virtual da força normal atuante sobre a sapata é maior que 
o limite do núcleo central de inércia. Fisicamente o fato de termos excentricidade maior que o limite do 
núcleo de inércia significa que a base da sapata estará só parcialmente comprimida, ou seja, a tensão 
mínima será igual à zero. 
Já a tensão normal máxima poderá ser calculada pela seguinte expressão: 
 
Para : e0 = (
Mk
Nk
) ≥
a
6
 
A dedução desta expressão pode ser facilmente entendida através da próxima figura. 
 
h0
h
a
a0 l
kV
kM
kG
max
min
 
max
a
x
kN
e0(0,5a-e0)
x = 3 (0,5a-e0)
Para : e0 = (
Mk
Nk
) ≤
a
6
 
9 
𝜎𝑚á𝑥 =
2𝑁𝑘
(1,5𝑎 − 3. 𝑒0)
 ; 𝑒 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 
 
Admite-se que o solo tem comportamento elástico, com as reações do solo sobre a superfície de 
apoio da sapata seguindo uma linha reta. Isto posto, comparamos a tensão normal média atuante na base 
da sapata (
(𝜎𝑚á𝑥+𝜎𝑚í𝑛)
2
) com a capacidade de carga do solo, a esta altura já estimada por geotecnia, 
de modo que 
 
(0,5. (𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛)) ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 
 
 Simultaneamente impomos que a tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível em mais 
que 30%, ou seja: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 1,3𝜎𝑎𝑑𝑚 
 
Esta é uma das poucas situações de dimensionamento estrutural em que se admite que valores 
admissíveis sejam ultrapassados. Justifica-se tal critério tendo em vista dois fatores: em primeiro lugar, a 
capacidade de carga do solo é um valor empírico que já traz consigo uma elevada dose de prudência e, 
além disto, também os carregamentos considerados como atuantes na sapata já estão amplamente 
majorados, com frequência, pois trazem consigo cargas acidentais elevadas atuando simultaneamente 
nos diversos pavimentos de um edifício, por exemplo, o que é um evento pouco provável. 
 
2.3.1.4 Verificação das “bielas” comprimidas 
A etapa seguinte consiste na verificação do nível de compressão do concreto da sapata. Fazemos 
tal verificação de forma indireta, comparando-se tensões atuantesde cisalhamento com valores 
admissíveis. Tais valores são normalmente correlacionados a valores admissíveis do concreto à 
compressão. 
A seção de concreto da sapata onde “medimos” a tensão de cisalhamento atuante (seção de 
referência) está representada logo a seguir, situando-se para fora da face da parede de uma distância 
igual à metade da altura útil da sapata (d/2). 
 
Temos que: 
𝜏𝑤𝑑 =
𝑉𝑑
𝑏. 𝑑
=
𝛾𝐹. 𝑉𝑘
𝑑𝑖
 
 
Onde: 
 
h0
h
a
a0 l
max
min
d/2
seção de referência
10 
 𝜏𝑤𝑑 é a tensão de cisalhamento atuante na seção de referência (valor de cálculo, ou seja, 
majorado) 
 
 𝑉𝑘 é a força cortante atuante na seção de referência, e que corresponde numericamente à 
área do diagrama de tensões reativas do solo à esquerda da mesma, neste corte transversal 
 
 𝛾𝐹 é o coeficiente de ponderação para solicitações (= 1,4) 
 
 𝑑𝑖 é a altura útil intermediária, na seção de referência, obtido através de semelhança de 
triângulos no diagrama de tensões e é considerada como 5 cm menor que a altura bruta 
intermediária (ℎ𝑖) 
 
Impõe-se, como critério de aceitação, que: 
 
𝜏𝑤𝑑 ≤ 𝜏𝑤𝑢 = tensão de cisalhamento última 
 
Para peças de fundação, de uma maneira geral, adotamos: 
 𝜏𝑤𝑢 = 0,15. 𝑓𝑐𝑑, onde 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
 
2.3.1.5 Determinação das armaduras 
2.3.1.5.1 Armadura principal 
A armadura principal de uma peça de fundação direta situa-se próximo à face inferior da mesma 
(armadura positiva) e deve resistir ao momento fletor atuante em uma seção de referência que se localiza 
conforme mostrado na figura: 
 
Rst e Rcc são respectivamente as forças resultantes de tração no aço e de compressão no 
concreto na seção de referência; assumimos que a distância que as separa seja 0,8. 𝑑 onde “d” é a 
altura útil da sapata. 
Consideramos, “a priori”, d = (h-5) (em cm). 
Consequentemente temos que: 
𝑅𝑠𝑡 = 𝑅𝑐𝑐 =
𝑀𝑘
0,8. 𝑑
 
 
h0
h
a
a0
max
min
seção de referência
0,15a0
Rst
Rcc
0,8
d d
11 
Onde: 
 Mk é o momento fletor que solicita nossa nova seção de referência, e pode ser obtido 
multiplicando-se a área à esquerda da mesma pela distância da seção até o centroide desta 
área. 
A área de aço da armadura principal será calculada por: 
𝐴𝑠 =
1,4. 𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑
 
Sendo que 𝐴𝑠 será disposta por metro de extensão longitudinal da sapata. 
Na expressão anterior, 𝑓𝑦𝑑 é a tensão de escoamento do aço adotado, no seu valor de cálculo, 
obtida minorando-se o valor “cheio” (fyk) que seve ser dividido por 1,15. 
A armadura principal será disposta transversalmente à maior dimensão da sapata corrida e 
também deverão obedecer aos seguintes critérios: 
{
 
 
 
 
𝐴𝑠 ≥ 0,15. 𝑑0 
𝛷 ≥ 10𝑚𝑚 (𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠) 
13𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 30 𝑐𝑚 (𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠)
 
Onde: 
𝑑0 é a altura útil do “rodapé” da sapata corrida. Consideramos normalmente (𝑑0 = ℎ0 − 5) (em cm) 
2.3.1.5.2 Armadura secundária 
Será disposta longitudinalmente na sapata e obedecerá aos valores mínimos de 0,9 cm²/m e As/5 
(o valor máximo entre ambos). 
 
Armadura secundária 
Armadura principal 
12 
2.3.1.6 Exemplo de dimensionamento 
Dimensionar e detalhar uma sapata corrida rígida de 8,00 m de extensão, dados: 
 Vk = 40 tf/m; Mk = 5 tf·m*m; 
a = 1,2 m; 𝑎0 = 20 cm; 
𝑁𝑆𝑃𝑇=13 golpes 
fck = 25 MPa; aço CA 50, ∅𝑙𝑝 = 16𝑚𝑚 
Obs.: A miscelânea de unidades é proposital. 
 
Resolução: 
ROTEIRO DE CÁLCULO 
 
1) Pré-dimensionamento (englobando geometria e critérios de rigidez) 
 
Determinar todas as dimensões que faltam, assim temos: 
𝑙 = 0,5 · (𝑎 − 𝑎0) l = 0,5 * (120 – 20) l = 50cm 
Segundo a NBR:6118/2014, item 22.6.1, a sapata pode ser definida como rígida ou flexível, conforme 
expressão abaixo: 
h ≥ (a-a0)/ 3 para rígida, logo: h ≥ (120-20)/ 3 h ≥ 33,33 cm ~35 cm 
h0 ≥ h/3 h0 ≥ 35/3 h0 ≥ 11,67 cm ~ 15 cm 
Para efeito de cálculo considera-se inicialmente a sapata corrida com comprimento de 1,00m (um metro) 
e no final será adequado para o comprimento total da sapata. 
 
Verificação do Critério de Rigidez: 
ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
30. ∅𝑙𝑝 = 30 ∗ 1,6 = 48 ~𝟓𝟎𝒄𝒎
0,5. 𝑙 = 0,5 ∗ 50 = 25𝑐𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎)
 
 
como h = 35 cm (encontrado anteriormente) não atende o critério de rigidez, adotar h=50 cm para que a 
condição de rigidez seja satisfeita. Calcular novo h0: 
 h0 ≥ h/3 h0=50/3 h0=16,67 , logo adotar h0 ≥ 20 cm 
 
13 
2) Verificação das tensões do solo 
Nk = Vk + Gk 
Gk= Área * 𝛾𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜=2,5 𝑡𝑓/𝑚3 
O peso-próprio desta sapata será: 𝐺𝑘 = (1,20 ∗ 0,20 + (
0,20+1,20
2
) 𝑥0,30)𝑥2,5= 1,125 tf/m 
A força normal atuante na base será 𝑁𝑘 = 𝑉𝑘 + 𝐺𝑘 = 40+1,125 = 41,125 tf/m 
 
 𝑒0 = (
𝑀𝑘
𝑁𝑘
) ≤
𝑎
6
, 𝑒0 = (
𝑀𝑘
𝑁𝑘
) =
5
41,125
≤
1,20
6
 = 0,122 𝑚 ≤ 0,20m 
 
As tensões máximas e mínimas (σmáx e σmín, respectivamente) podem ser determinadas através das 
seguintes expressões: 
𝜎𝑚á𝑥 = (
𝑁𝑘
𝑎
) + 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
) = (
41,125
1,20
) + 6. (
5
(1,20)2
) = 55,104 𝑡𝑓/𝑚² 
𝜎𝑚í𝑛 = (
𝑁𝑘
𝑎
) − 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
) = (
41,125
1,20
) − 6. (
5
(1,20)2
) = 13,438 𝑡𝑓/𝑚² 
 
A verificação das tensões no solo, deve atender: 
{
 
 
 
 𝜎𝑚á𝑥 < 1,3 · 𝜎𝑎𝑑𝑚 = (5,510/1,3) = 4,238𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚
2 < 2,61 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛
2
< 𝜎𝑎𝑑𝑚 
5,510 + 1,344
2
= 3,427 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² < 2,61𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
 = 
13
5
 = 2,60 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = √𝑁𝑆𝑃𝑇 − 1= √13 − 1 = 𝟐, 𝟔𝟏 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
 
Logo, as verificações não foram atendidas, neste caso, deve ser redimensionada a sapata. 
 
REDIMENSIONANDO A SAPATA, adotando a=1,80m 
1) Geometria e critérios de rigidez 
 
Determinar todas as dimensões que faltam, assim temos: 
𝑙 = 0,5 · (𝑎 − 𝑎0) l = 0,5 * (180 – 20) l = 80cm 
 
Segundo a NBR:6118/2014, item 22.6.1, a sapata pode ser definida como rígida ou flexível, conforme 
expressão abaixo: 
h ≥ (a-a0)/ 3 para rígida, logo: h ≥ (180-20)/ 3 h ≥ 53,33 ~55 cm 
h0 ≥ h/3 h0 ≥ 55/3 h0 ≥ 18,33 cm ~ 20 cm 
Para efeito de cálculo considera-se inicialmente a sapata corrida com comprimento de 1,00m (um metro) 
e no final será adequado para o comprimento total da sapata. 
 
14 
Verificação do Critério de Rigidez: 
 
ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚 𝑂𝐾!
30. ∅𝑙𝑝 = 30 ∗ 1,6 = 48 ~𝟓𝟎𝒄𝒎 𝑶𝑲! 
0,5. 𝑙 = 0,5 ∗ 80 = 40𝑐𝑚 𝑂𝐾!
 
 
Para h=55 cm verifica-se que a condição de rigidez está atendida. 
 
 
2) Verificação das tensões do solo 
Nk = Vk + Gk 
Gk= Área * 𝛾𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜=2,5 𝑡𝑓/𝑚3 
O peso-próprio desta sapata será: 𝐺𝑘 = (1,80 ∗ 0,20 + (
0,20+1,80
2
) 𝑥0,35)𝑥2,5= 1,775 tf/m 
A força normal atuante na base será 𝑁𝑘 = 𝑉𝑘 + 𝐺𝑘 = 40+1,775 = 41,775 tf/m 
 
 𝑒0 = (
𝑀𝑘
𝑁𝑘
) ≤
𝑎
6
, 𝑒0 = (
𝑀𝑘
𝑁𝑘
) =
5
41,775
≤
1,80
6
 = 0,120 𝑚 ≤ 0,30m 
 
As tensões máximas e mínimas (σmáx e σmín, respectivamente) podem ser determinadas através das 
seguintes expressões: 
𝜎𝑚á𝑥 = (
𝑁𝑘
𝑎
) + 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
) = (
41,775
1,80
) + 6. (
5
(1,80)2
) = 32,468 𝑡𝑓/𝑚² 
𝜎𝑚í𝑛 = (
𝑁𝑘
𝑎
)− 6. (
𝑀𝑘
𝑎2
) = (
41,775
1,80
) − 6. (
5
(1,80)2
) = 13,95 𝑡𝑓/𝑚² 
 
A verificação das tensões no solo, deve atender: 
{
 
 
 
 𝜎𝑚á𝑥 < 1,3 · 𝜎𝑎𝑑𝑚 = (
3,247
1,3
) = 2,49𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 < 2,61 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛
2
< 𝜎𝑎𝑑𝑚 
3,247 + 1,395
2
= 2,321 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² < 2,61𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
 
15 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
 = 
13
5
 = 2,60 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = √𝑁𝑆𝑃𝑇 − 1= √13 − 1 = 𝟐, 𝟔𝟏 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
 
Logo, as verificações foram atendidas. 
 
3) Verificação das “bielas” comprimidas 
A etapa seguinte consiste na verificação do nível de compressão do concreto da sapata. 
Temos que: 
 
𝜎𝐼𝑁𝑇 = 𝜎𝑚𝑎𝑥− ((𝜎𝑚𝑎𝑥− 𝜎𝑚𝑖𝑛)/𝑎)∗(𝑙−𝑑/2) = 32,468−((32,468−13,95)/1,80)∗0,55= 𝟐𝟔,𝟖𝟏 𝒕𝒇/𝒎² 
𝑣 = ((𝜎𝑚𝑎𝑥+ 𝜎𝑖𝑛𝑡)/2)∗(𝑙−𝑑/2) = ((32,468+26,81)/2)∗0,55= 𝟏𝟔,𝟑𝟎 𝒕𝒇/𝒎² 
 
𝜏𝑤𝑑 =
𝑉𝑑
𝑏.𝑑
=
𝛾𝐹.𝑉
𝑑𝑖
=
1,4∗16,30
0,391
= 58,363 𝒕𝒇/𝒎² 
 
di= (h0 +((h - h0)/ l )* x) - cobr. = (0,20 +((0,55 - 0,20) / 0,80) * 0,55) - 0,05 = 0,391m 
 
𝛾𝐹 é o coeficiente de ponderação para solicitações (= 1,4) 
 
16 
 
 
 
 
 
Para peças de fundação, de uma maneira geral, adotamos: 
 
𝜏𝑤𝑢 = 0,15. 𝑓𝑐𝑑, onde 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
 𝜏𝑤𝑢 = 0,15* 
25
1,4
= 2,68𝑀𝑃𝑎 
 
Impõe-se, como critério de aceitação, que: 
 
𝜏𝑤𝑑 ≤ 𝜏𝑤𝑢 =58,363 𝒕𝒇/𝒎² ≤ 𝟐𝟔𝟖 𝒕𝒇/𝒎² 
Portanto o concreto não se romperá por compressão (ou por cisalhamento). 
 
4) Determinação das armaduras 
Nova seção, agora chamada de crítica, faz-se necessária, conforme mostramos: 
Consideramos, “a priori”, d = (h-5) (em cm). 
Assim: 
𝜎𝑖
′ = 32,468 −
(32,468 − 13,95)
1,80
𝑥0,83 = 23,93𝑡𝑓/𝑚2 
e 𝑀 =
(𝑙+0,15∗𝑎0)2∗𝜏𝑖𝑛𝑡
2
+ (
2
3
) ∗
(𝑙+0,15∗𝑎0)2∗ (𝜏𝑚𝑎𝑥− 𝜏𝑖𝑛𝑡)
2
 
𝑀 =
(0,80 + 0,15 ∗ 0,20)2 ∗ 23,93
2
+ (
2
3
) ∗
(0,80 + 0,15 ∗ 0,20)2 ∗ (32,468 − 23,93)
2
= 10,203 𝑡𝑓𝑚2 ∗ 𝑚 
(Este é o momento fletor que solicita nossa seção crítica por metro de extensão longitudinal da sapata). 
17 
 
Este momento é resistido por um binário constituído pelas resultantes de compressão no concreto (Rcc) e 
de tração na armadura (Rst). Essas resultantes podem ser calculadas por: 
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 =
𝑀
0,8. 𝑑
=
10,203
(0,8𝑥0,50)
= 25,508
𝑡𝑓
𝑚2
∗ 𝑚 
(sempre por metro de extensão da sapata). 
𝐴𝑆 = 1,4 ·
𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑
= 1,4 𝑥
25,508
5,0
1,15
= 8,214 𝒄𝒎²/𝒎 
Esta é a área de aço da armadura principal disposta transversalmente por metro de extensão de nossa 
sapata. 
A armadura principal será disposta transversalmente à maior dimensão da sapata corrida e também 
deverão obedecer aos seguintes critérios: 
{
 
 
 
 
𝐴𝑠 ≥ 0,15. 𝑑0 0,15 ∗ 15 = 2,25cm2 
𝛷 ≥ 10𝑚𝑚 (𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠) 
13𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 30 𝑐𝑚 (𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠)
 
Onde: 
𝑑0 é a altura útil do “rodapé” da sapata corrida. Consideramos normalmente (𝑑0 = ℎ0 − 5) (em cm). 
Já a armadura secundária que será disposta longitudinalmente à sapata pode ser determinada por: 
𝐴𝑆2 ≥ {
𝐴𝑠
5
 
0,9 𝑐𝑚²/𝑚
 
No presente exemplo, 
18 
𝐴𝑆2
5
=
8,214
5
= 𝟏, 𝟔𝟒𝟑 𝒄𝒎²/𝒎 
 
5) Detalhamento das armaduras 
 
N Ø (mm) Quantidade 
Comprimento (m) 
Peso + 10% (kg) 
Unitário Total 
1 12,5 49 2,02 98,98 109 
2 6,3 8 8,22 65,76 18 
 TOTAL 127 
Até agora, falamos sempre em sapatas rígidas. No caso de impossibilidade de atender o critério 
de rigidez (o que é pouco frequente), como proceder? 
Para uma sapata não-rígida (ou flexível), fazemos o dimensionamento da mesma como uma viga 
em balanço apoiada sobre pilar central, conforme esquematizado a seguir: 
 
Assim, temos a sapata analisada de “ponta-cabeça” e “convertida” em uma viga. As tensões 
normais reativas advindas do solo tornam-se carregamentos e os esforços do pilar tornam-se relações de 
apoio. Uma vez feita esta analogia traçam-se os diagramas de esforços solicitantes e com seus valores 
críticos (de momento fletor e força cortante) dimensionam-se as armaduras. Cabe notar que, neste caso, 
haverá armadura de cisalhamento (estribos ou barras inclinadas), que evitamos nas sapatas rígidas. 
 
h0
h
a
a0 l
kV
kM
kG
max
min
19 
2.3.1.7 Exercícios propostos 
NOTA: O concreto da classe 15, não é mais considerado para elementos estruturais. 
1) Para a estrutura esquematizada abaixo: 
a) Determine o máximo valor da carga vertical distribuída Vk para que a totalidade da base 
da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze os pesos próprios. 
b) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. 
c) Para o valor de Vk determinado, determine o mínimo valor de SPT da camada de solo 
onde está assente a sapata, para que o mesmo não se rompa à compressão. 
Dado: 𝛾𝑐 = 2,5 𝑡𝑓/𝑚³. 
 
2) Para a estrutura esquematizada abaixo: 
a) Determine o máximo valor da carga horizontal distribuída Hk para que o solo subjacente à 
sapata corrida não se rompa à compressão. Não despreze os pesos próprios. 
b) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez? Demonstre. 
Dados: Vk = 1 tf/m; 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1,5 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²; dimensões em cm. 
 
 
20 20
2
0
2
5
0
2
5
2
0
20
120
V
Hk
k
20 
 
3) Para a estrutura esquematizada abaixo: 
a) Determine o máximo valor da carga horizontal distribuída Hk para que a totalidade da base 
da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze pesos próprios. 
b) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez? Demonstre. 
Dados: Vk = 0,5 tf/m; dimensões em cm. 
 
4) Para a estrutura esquematizada abaixo: 
a) Determine o máximo valor da carga inclinada distribuída Fk para que a totalidade da base 
da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze pesos próprios; 
b) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. 
Considere as dimensões em cm. 
 
 
kV Hk
120
2
5
2
0
0
20
2
0
20
2
0
20
 
20
2
0
120
2
5
20
k
2
7
0
30°
F
21 
2.3.2 Sapata Isolada 
2.3.2.1 Definição geométrica e critério de rigidez 
As dimensões em planta de uma sapata isolada normalmente (e inicialmente) são adotadas de 
forma a manter as projeções horizontais das bielas de compressão idênticas nas duas direções. Assim 
sendo, para um pilar de seção quadrada adota-se uma sapata quadrada em planta. Já a altura da sapata 
isolada, tal como fazemos para a sapata corrida, deve obedecer o critério de rigidez. Esta parametrização 
geométrica está esquematizada a partir da ilustração seguinte: 
 
Temos pois: 
 
{
(𝑎 − 𝑎0) = (𝑏 − 𝑏0), 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎 = 𝑙𝑏 (𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çõ𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑑ê𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠)
h ≥ 0,5 · √(𝑙𝑎2 + 𝑙𝑏²) (𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 )
 
 
Cabe notar que as dimensões a e b são função do nível de carregamento advindo do pilar e da 
capacidade de carga do solo e que para h e h0 são válidas as mesmas imposições já vistas para sapatas 
corridas. 
As dimensões a0 e b0 encontram-se equacionadas desde o dimensionamento do pilar, antes de 
iniciarmos o dimensionamento da sapata. 
2.3.2.2 Verificação de tensões normais no solo 
Definida a geometria da sapata isolada rígida, a etapa seguinte consiste em verificar a 
compatibilidade das tensões normais que surgirão em sua base com a capacidade de carga do solo. Para 
isso imaginemos uma sapata isolada submetida a uma força vertical decompressão e a dois momentos 
fletores perpendiculares entre si (solicitação esta denominada de flexão oblíqua composta), conforme 
representado: 
22 
 
Em planta temos representados os esforços de forma vetorial. Pela “regra da mão direita” 
concluímos que, para os momentos fletores atuando segundo os sentidos positivos dos eixos x e y como 
representado, o ponto 3 da base da sapata será o mais comprimido contra o solo e o ponto 1 será o menos 
comprimido. As tensões normais atuantes nestes dois pontos críticos serão calculadas pelas seguintes 
expressões, respectivamente: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
+
6𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
+
6𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
 𝑒 𝜎𝑚í𝑛 =
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
−
6𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
−
6𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
 
Da análise destas duas fórmulas, percebemos que a tensão normal máxima resultará sempre 
positiva, ao passo que a tensão mínima poderá resultar positiva, negativa ou nula. 
Tensão normal positiva significa que haverá efetivamente compressão no ponto 3. Tensão 
negativa significaria tração no ponto 1, se houvesse possibilidade de haver tração entre materiais distintos 
simplesmente justapostos (concreto e solo). Assim sendo, desprezamos qualquer valor negativo que 
porventura seja obtido na expressão de σmín e consideramos seu valor como simplesmente 0 (zero). Neste 
caso, como não haverá tensão de tração no ponto 1 (nem em qualquer outro sob a sapata), o valor de σmáx 
efetivo será menor que o calculado, aumentando a margem de segurança. 
Os valores das tensões normais atuantes nos pontos 2 e 4 poderão ser calculados pelas seguintes 
expressões: 
𝜎2 =
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
−
6𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
+
6𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
 𝑒 𝜎4 =
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
+
6𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
−
6𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
 
As mesmas observações feitas para o ponto 1 são válidas para os pontos 2 e 4. 
 
Notamos que, para as fórmulas de cálculo das tensões normais nos 4 “cantos” da sapata, aparece 
na 1ª parcela Nk, que será a força normal total de compressão atuante na base da sapata. Na última figura 
aparece tão somente a força vertical de compressão Vk, que é a força normal atuante no topo da sapata e 
que advém da superestrutura através do pilar de seção a0 x b0. 
A relação entre ambas será Nk = Vk + Gk, onde Gk é o peso próprio da sapata. 
 
a
h
b
A A
Planta
Corte AA
0
h
a0
b0
My
MxVk
1 2
34
x
y Vk
My
Corte BB
h0
h
B
B
Vk
Mx
23 
Este peso próprio deve ser calculado multiplicando-se seu volume pelo peso específico do 
concreto armado. Tal volume, para uma sapata isolada efetivamente chanfrada, será obtido pela seguinte 
expressão: 
𝑉𝑜𝑙 = 𝑎. 𝑏. ℎ0 +
ℎ − ℎ0
3
. (𝑎. 𝑏 + 𝑎0. 𝑏0 + √𝑎. 𝑏. 𝑎0. 𝑏0) 
A partir daí, vem: 𝐺𝑘 = 𝑉𝑜𝑙. 𝛾𝐶𝐴 onde 𝛾𝐶𝐴 = 2,5
𝑡𝑓
𝑚3
= 25 𝑘𝑁/𝑚³ 
Com as tensões críticas calculadas nos 4 cantos da sapata, fazemos as seguintes verificações, 
que constituirão o critério de aceitação para continuarmos adiante: 
{
 
 
 
 
(𝐴) 𝜎𝑚á𝑥 ≤ 1,3. 𝜎𝑎𝑑𝑚
(B) 
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛
2
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
(C) (𝜎2, 𝜎4) ≥ 0 
 
As condições A e B dizem respeito à compatibilização entre tensões atuantes e capacidade de 
carga do solo e são idênticas às condições impostas para sapatas corridas. A condição C impõe que pelo 
menos 50% da base da sapata esteja comprimida contra o solo. 
Aqui também valem as fórmulas empíricas que correlacionam tensão admissível do solo com 
número de golpes SPT, já revistas para sapatas corridas, como segue: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = √𝑁𝑆𝑃𝑇 − 1 (em 𝑘𝑔𝑓/c𝑚²) 
 
2.3.2.3 Verificação das bielas comprimidas 
A etapa seguinte consiste na verificação do nível de compressão do concreto da sapata, a exemplo 
do que fazemos para sapatas corridas. Como já visto, fazemos tal verificação de forma indireta, 
comparando-se tensões atuantes de cisalhamento com valores admissíveis. Tais valores são normalmente 
correlacionados a valores admissíveis do concreto à compressão. 
Para sapatas isoladas, “medimos” a tensão de cisalhamento atuante em duas seções de concreto 
da sapata (seções de referência) perpendiculares entre si, como representado logo a seguir, situando-as 
para fora das faces do pilar de uma distância igual à metade da altura útil da sapata (0,5.d). 
24 
 
Consideramos d, “a priori”, como sendo igual a (h-5) (em cm). 
Nos dois cortes AA e BB, representamos as tensões normais atuantes e calculamos as forças 
cortantes decorrentes nas seções SR1 e SR2, como abaixo: 
 
As forças cortantes V1 e V2 serão calculadas por: 
{
 
 𝑉1 = (
𝜎𝑖1 + 𝜎𝑚á𝑥
2
) . (𝑙𝑎 − 0,5𝑑). 𝑏
𝑉2 = (
𝜎𝑖2 + 𝜎𝑚á𝑥
2
) . (𝑙𝑏 − 0,5𝑑). 𝑎
 
Tais valores correspondem, numericamente, às áreas cinzentas mostradas nas distribuições de 
tensões da última figura. 
Os valores das tensões intermediárias σi1 e σi2 (correspondentes às tensões sob SR1 e SR2) 
envolvidos nas expressões acima devem ser obtidos por semelhança de triângulos nos trapézios de 
tensões da mesma figura. 
Com as forças cortantes assim obtidas, calculamos a seguir as tensões de cisalhamento de cálculo 
(majoradas) presentes nas seções SR1 e SR2, como segue: 
 
a
hbA A
Planta
Corte AA
0
h
a0
b0
1 2
34
Corte BB
h0
h
B
B
Seção de Referência 2
Seção de Referência 1 S.R. 1
S.R. 20,5d
0,5
d
0,5d
0,5d
 
a
a0
max
4
0,5d
SR1
i 1
l a
V1
(l -0,5d)a
a
b0
max
2
SR2
i 2
l b
V2
(l -0,5d)b
Corte AA Corte BB
di 1 di 2
0,5d
25 
{
 
 
 
 𝜏𝑤𝑑1 = (
1,4. 𝑉1
𝑏. 𝑑𝑖1
)
 𝜏𝑤𝑑2 = (
1,4. 𝑉2
𝑏. 𝑑𝑖2
)
 
Onde: 
 𝑑𝑖1𝑒 𝑑𝑖2 são as alturas úteis intermediárias sob SR1 e SR2 respectivamente e também são 
obtidas através de semelhança de triângulos. 
Como critério de aceitação (e, portanto como garantia que o concreto da sapata não se romperá 
por cisalhamento) impõe-se que esses valores de tensão de cisalhamento não sejam superiores à tensão 
de cisalhamento última (𝜏𝑤𝑢). 
Assim: (𝜏𝑤𝑑1, 𝜏𝑤𝑑2) ≤ 𝜏𝑤𝑢 = 0,15. 𝑓𝑐𝑑 , lembrando que 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
. 
 
2.3.2.4 Determinação das armaduras 
Contrariamente às sapatas corridas, onde temos uma armadura principal e uma armadura 
secundária, nas sapatas isoladas teremos duas armaduras, ambas de tração, perpendiculares entre si, 
formando uma malha de barras de aço situada próximo à sua face inferior (armaduras positivas). Elas 
devem resistir aos momentos fletores atuantes em duas seções críticas também perpendiculares entre si 
e que localizam-se conforme mostrado na próxima figura: 
 
Nos dois cortes AA e BB, representamos as tensões normais atuantes e calculamos os momentos 
fletores decorrentes nas seções SC1 e SC2, como abaixo: 
 
a
h
b
A A
Planta
Corte AA
0
h
a0
b0
1 2
34
Corte BB
h0
h
B
B
Seção Crítica 1
Seção Crítica 2
SC 1
SC 2
0,15a0
0,15b0
a0
b0
26 
 
As tensões normais intermediárias 𝜎𝑖𝑛𝑡1𝑒 𝜎𝑖𝑛𝑡2 mostradas são as que ocorrem exatamente sob 
as seções críticas SC1 e SC2. 
Os momentos fletores 𝑀1 e 𝑀2 serão calculados por: 
{
 
 
 
 𝑀1 = (
𝜎𝑖𝑛𝑡1 ∗ (𝑙𝑎 + 0,15𝑎0)
2
2
+
(𝜎𝑚á𝑥−𝜎𝑖𝑛𝑡1) ∗ (𝑙𝑎 + 0,15𝑎0)
2
3
) ∗ 𝑏
𝑀2 = (
𝜎𝑖𝑛𝑡2 ∗ (𝑙𝑏 + 0,15𝑏0)
2
2
+
(𝜎𝑚á𝑥−𝜎𝑖𝑛𝑡2) ∗ (𝑙𝑏 + 0,15𝑏0)
2
3
) ∗ 𝑎
 
De posse desses momentos, calculamos as áreas de aço das armaduras necessárias à absorção 
dos mesmos, da maneira seguinte: 
𝐴𝑠1 = (
1,4.𝑀1
0,8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
) 𝑒 𝐴𝑠2 = (
1,4.𝑀2
0,8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
) 
O valor 0,8d presente em ambas as expressões corresponde ao braço de alavanca das resultantesde tração no aço e de compressão no concreto que atuarão nas seções críticas, sendo d a altura útil total 
da sapata (para a altura total h, portanto). 
 
Lembramos que 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
 onde 𝑓𝑦𝑘 é o limite de resistência ao escoamento do aço que 
desejamos empregar nessas armaduras; por exemplo: 
 para o aço CA50 𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚
2 = 5000 kgf/cm² = 5 tf/cm² = 500 MPa. 
Usando unidades adequadas e compatíveis obteremos os valores das áreas de aço em cm²/m. 
A partir destes números, basta escolher a bitola do aço desejado, que teremos condições de 
determinar quantas barras de aço serão necessárias para perfazer as áreas calculadas. 
A armadura definida pela área 𝐴𝑠1 terá suas barras dispostas paralelamente à dimensão a e a 
área 𝐴𝑠2 definirá as barras paralelas ao lado b da sapata, ambas colocadas junto à face inferior da mesma, 
conforme já dito. 
 
a
a0
max
4
SC1
int 1
l a
M1
a
b0
max
2
SC2
int 2
l b
Corte AA Corte BB
0,15a0
0,15b0
M2
27 
2.3.2.5 Exemplo de dimensionamento 
Dimensionar e detalhar uma sapata isolada rígida para: 
 Vk = 60 tf; Mx = 5 tf.m; My = 10 tf.m; a0 = 40 cm; b0 = 20 cm; 
NSPT=10; fck = 25 MPa; aço CA 50A; Ølp = 12,5 mm (do pilar). 
 
Resolução: 
ROTEIRO DE CÁLCULO 
1) Pré-dimensionamento (englobando geometria e critérios de rigidez) 
Os valores de a e b, foram obtidos da seguinte forma: 
𝑁𝑆𝑃𝑇 =
10
5
= 𝟐 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² = 𝟐𝟎 𝒕𝒇/𝒎² 
Á𝑟𝑒𝑎 =
60
20
= 3 𝑚² 
𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 20%
⇒ Á𝑟𝑒𝑎𝑓 = 3𝑥1,2 = 𝟑, 𝟔𝟎 𝒎² 
Adotamos 𝑎 = 2,10 𝑚, portanto: 
𝑎 − 𝑎0 = 𝑏 − 𝑏0 ∴ 𝑏 = 2,10 − 0,40 + 0,2 = 1,90 𝑚 
 
Segundo a NBR:6118/2014, item 22.6.1, a sapata pode ser definida como rígida ou flexível, conforme 
expressão abaixo: 
h ≥ (a-a0)/ 3 para rígida, logo: h ≥ (210-40)/ 3 h ≥ 56,67 cm ≡ 60 cm 
h ≥ (b-b0)/ 3 para rígida, logo: h ≥ (190-20)/ 3 h ≥ 56,67 cm ≡ 60 cm 
 
h0 ≥ h/3 h0 ≥ 60/3 h0 ≥ 20 cm 
 
Verificação do Critério de Rigidez: 
ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚 𝑂𝐾!
30. ∅𝑙𝑝 = 30 ∗ 1,25 = 37,5𝑐𝑚 𝑂𝐾!
h ≥ 0,5 · √(𝑙𝑎2 + 𝑙𝑏²) = 0,5√(85² + 85²) = 60𝑐𝑚 𝑂𝐾!
 
 
Logo, a condição do Critério de rigidez está atendida. 
28 
 
 
2) Verificação das tensões do solo 
𝑉𝑜𝑙 = 2,10𝑥1,90𝑥0,20 +
0,40
3
𝑥(2,10𝑥1,90 + 0,40𝑥0,20 + √2,10𝑥1,90𝑥0,40𝑥0,20) = 1,42 𝑚³ 
𝐺𝑘 = 𝑉𝑜𝑙. 𝛾𝐶𝐴 = 1,42𝑥2,5 = 𝟑, 𝟓𝟓 𝒕𝒇/𝒎 
Cálculo das tensões: 
{
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
= 2 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = √𝑁𝑆𝑃𝑇 − 1 = 𝟐, 𝟏𝟔 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎²
 
𝜎𝑚á𝑥(3) = (
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
) + 6. (
𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
) + 6. (
𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
) = (
60 + 3,55
2,10𝑥1,90
) + 6. (
5
2,10𝑥1,902
) + 6. (
10
2,102. 1,90
) 
𝝈𝒎á𝒙(𝟑) = 𝟐𝟕, 𝟎𝟓 𝒕𝒇/𝒎² 
𝜎𝑚í𝑛(1) = (
𝑁𝑘
𝑎.𝑏
) − 6. (
𝑀𝑥
𝑎.𝑏2
) − 6. (
𝑀𝑦
𝑎2.𝑏
) = (
60+3,55
2,10𝑥1,90
) − 6. (
5
2,10𝑥1,902
) − 6. (
10
2,102.1,90
) = 𝝈𝒎í𝒏(𝟏) = 𝟒, 𝟖𝟏 𝒕𝒇/𝒎² 
As tensões normais atuantes nos pontos 2 e 4 podem ser assim calculadas: 
𝜎2 = (
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
) − 6. (
𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
) + 6. (
𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
) = (
60 + 3,55
2,10𝑥1,90
) − 6. (
5
2,10𝑥1,902
) + 6. (
10
2,102. 1,90
) = 𝟏𝟗, 𝟏𝟑𝒕𝒇/𝒎𝟐 
𝜎4 = (
𝑁𝑘
𝑎. 𝑏
) + 6. (
𝑀𝑥
𝑎. 𝑏2
) − 6. (
𝑀𝑦
𝑎2. 𝑏
) = (
60 + 3,55
2,10𝑥1,90
) + 6. (
5
2,10𝑥1,902
) − 6. (
10
2,102. 1,90
) = 𝟏𝟐, 𝟕𝟑𝒕𝒇/𝒎𝟐 
29 
Com as tensões críticas calculadas nos 4 cantos da sapata, fazemos as seguintes verificações, 
que constituirão o critério de aceitação para continuarmos adiante: 
Critério de aceitação: 
{
 
 
 
 
(𝐴) 𝜎𝑚á𝑥 ≤ 1,3. 𝜎𝑎𝑑𝑚
(𝐵) 
𝜎𝑚á𝑥+𝜎𝑚í𝑛
2
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
(𝐶) (𝜎2, 𝜎4) ≥ 0 
 {
27,05
1,3
≤ 21,6 ~ 2,081𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎𝟐 ≤ 2,16𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 𝑂𝐾! 
27,05+4,81
2
= 1,593 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 ≤ 2,16 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 𝑂𝐾! 
 
(𝜎2, 𝜎4) ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 50% 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜. 
Conforme o critério de aceitação, não haverá ruptura da camada de solo. 
 
3) Verificação das bielas comprimidas 
 
 
As forças cortantes VI e VII serão calculadas por: 
As forças cortantes V1 e V2 serão calculadas por: 
30 
{
 
 𝑉1 = (
𝜎𝑖1 + 𝜎𝑚á𝑥
2
) . (𝑙𝑎 − 0,5𝑑). 𝑏
𝑉2 = (
𝜎𝑖2 + 𝜎𝑚á𝑥
2
) . (𝑙𝑏 − 0,5𝑑). 𝑎
 
{
 
 𝑉𝐼 = (
23,12 + 27,05
2
) 𝑥0,575𝑥1,90 = 27,40 𝑡𝑓
𝑉2 = (
24,65 + 27,05
2
) 𝑥0,575𝑥2,10 = 31,21 𝑡𝑓
 
 
1) Tensões de cisalhamento de cálculo para as SRI e SRII 
{
 
 
 
 𝜏𝑤𝑑1 = (
1,4. 𝑉1
𝑏. 𝑑𝑖1
)
 𝜏𝑤𝑑2 = (
1,4. 𝑉2
𝑏. 𝑑𝑖2
)
 
{
 
 
 
 𝜏𝑤𝑑𝐼 = (
1,4𝑥27,40
1,90𝑥0,421
) = 47,96 𝑡𝑓/𝑚²
 𝜏𝑤𝑑𝐼𝐼 = (
1,4𝑥31,21
2,10𝑥0,421
) = 49,42 𝑡𝑓/𝑚²
 
Assim: 
𝜏𝑤𝑢 = 0,15.
𝑓𝑐𝑘
1,4
= 2,14𝑀𝑃𝑎 = 214 𝑡𝑓/𝑚² 
Portanto, (𝜏𝑤𝑑𝐼 , 𝜏𝑤𝑑𝐼𝐼) < 𝜏𝑤𝑢, ou seja, o concreto não rompe. 
5) Determinação das armaduras 
Novas seções críticas fazem-se necessárias, conforme mostramos: 
 
31 
Os momentos fletores 𝑀𝐼 e 𝑀𝐼𝐼 serão calculados por: 
{
 
 
 
 𝑀1 = (
𝜎𝑖𝑛𝑡1 ∗ (𝑙𝑎 + 0,15𝑎0)
2
2
+
(𝜎𝑚á𝑥−𝜎𝑖𝑛𝑡1) ∗ (𝑙𝑎 + 0,15𝑎0)
2
3
) ∗ 𝑏
𝑀2 = (
𝜎𝑖𝑛𝑡2 ∗ (𝑙𝑏 + 0,15𝑏0)
2
2
+
(𝜎𝑚á𝑥−𝜎𝑖𝑛𝑡2) ∗ (𝑙𝑏 + 0,15𝑏0)
2
3
) ∗ 𝑎
 
{
 
 
 
 𝑀𝐼 = (
20,83 ∗ 0,912
2
+
(27,04 − 20,83) ∗ 0,912
3
) ∗ 1,90 = 19,64 𝑡𝑓.𝑚
𝑀𝐼𝐼 = (
23,38 ∗ 0,882
2
+
(27,04 − 23,38) ∗ 0,882
3
) ∗ 2,10 = 21,00 𝑡𝑓.𝑚
 
De posse desses momentos, calculamos as áreas de aço das armaduras necessárias à absorção dos 
mesmos, da maneira seguinte: 
𝐴𝑠1 = (
1,4.𝑀1
0,8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
) 𝑒 𝐴𝑠2 = (
1,4.𝑀2
0,8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
) 
{
 
 
 
 𝐴𝑠𝐼 = (
1,4 ∗ 19,64
0,8 ∗ 0,55 ∗ 4,35
) = 14,36 𝑐𝑚2/m
𝐴𝑠𝐼𝐼 = (
1,4 ∗ 21,00
0,8 ∗ 0,55 ∗ 4,35
) = 15,36𝑐𝑚2/m
 
Para 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
= 4,35 𝑡𝑓/𝑚². 
Assim adotaremos para AsI e AsII, barras de 10 mm de diâmetro espaçadas a cada 10 cm. 
 
6) Detalhamento 
 
N Ø (mm) Quantidade 
Comprimento (m) 
Peso + 10% (kg) 
Unitário Total 
1 10 19 2,32 44,08 30 
2 10 20 2,12 42,40 29 
 TOTAL 59 
Para o volume de 1,42m³ da sapata teremos a taxa de armadura =
59
1,42
= 42 𝑘𝑔/𝑚³ 
PLANTA
14 14 14 14184204
19N1 Ø10 c=232 20N2 Ø10 c=212
20 N2 19 N1
19 N1 C/10
2
0
 N
2
 C
/1
0
CORTE AA CORTE BB
PLANTA
14 14 14 14184204
19N1 Ø10 c=232 20N2 Ø10 c=212
20 N2 19 N1
19 N1 C/10
20 
N2
 C/
10
CORTE AA CORTE BB
32 
2.3.2.6 Exercícios propostos 
1) Para a sapata isolada apresentada, pede-se: 
a) A tensão normal máxima aplicada no solo; 
b) O ponto onde ela ocorre; 
c) O valor mínimo de SPT para que o solo não se rompa à compressão; 
d) A condição de rigidez está atendida? 
 Dados: 𝑁𝑘 = 10 𝑡𝑓; 𝑀𝑥 = 5 𝑡𝑓.𝑚; 𝑀𝑦 = 8 𝑡𝑓.𝑚 
 
 
2) Para a sapata mostrada abaixo: 
a) Determine o mínimo valor de Vk para que a totalidade de sua base esteja comprimida. Não 
despreze o peso próprio. 
b) Para o valor encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se 
rompa à compressão? 
c) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. 
Dados: 𝑀𝑘 = 4 𝑡𝑓.𝑚; 𝛾𝐶 = 2,5 𝑡𝑓/𝑚³. 
 
 
160
40
(cm)
M
A
M
N k
208
020
A
2012
3
4
y
x
Corte AA
Planta
 
Planta
150
30
N k
A
M
Corte AA
30
(cm)
A
20
80
Vk
k
35°
20
33 
3) Para a sapata mostrada a seguir: 
a) Determine o máximo valor de p para que a totalidade de sua base esteja comprimida. Não 
desconsidere pesos próprios. 
b) Para o valor de p encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não 
se rompa à compressão? 
c) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. 
Dados: 
 
;/5,2;
32
;
4
;
5
;; 3
32
minmax mtf
d
W
d
A
N
W
M
A
N
W
M
A
N
c
SPT
adm
kkkk 



  
 
)(
12
);(
4
);(5,0
2
2
cone
hd
Vol
cilindro
hd
Volrigidez
l
h






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corte AA
10
(cm)
A
Planta
A
40
60
0
40
80
320
p
34 
4) Para a sapata mostrada abaixo: 
a) Determine o máximo valor da carga uniforme distribuída p para que a totalidade de sua 
base esteja comprimida. Não despreze pesos próprios. 
b) Para o valor encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se 
rompa à compressão? 
c) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. 
Dado: 𝛾𝐶𝐴 = 2,5 𝑡𝑓/𝑚³ 
 
 
 
2.3.3 Sapata Associada 
 
No projeto de fundações de um edifício com sapatas, o mais econômico é aquele com sapatas 
isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata 
associada. 
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, 
com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta retangular, trapezoidal, etc. 
Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter uma 
viga unindo os pilares (viga de rigidez). 
2.3.3.1 Geometria 
Exemplificada por sapata sob 3 pilares. 
(cm)
p
12
0
5
0
0
0,2 tf
2
0
1
5
100
xy
10 tf
5020
35 
 
Onde: 
 𝑎 𝑒 𝑏 são adotados em função do carregamento e da capacidade de carga (NSPT) do solo. 
ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
30. ∅𝑙𝑝
0,5. 𝑙
 
Onde: 
 ∅𝑙𝑝 é o maior diâmetro dentre as armaduras longitudinais dos 3 (ou n) pilares. 
 𝑙 é a maior dimensão (𝑙𝑎1; 𝑙𝑏1; 𝑙𝑎2; 𝑙𝑏2 ; 𝑙𝑎3; 𝑙𝑏3; … ; 𝑙𝑎𝑛; 𝑙𝑏𝑛). 
2.3.3.2 Esforços solicitantes equivalentes (atuantes no C.G. da sapata) 
 
1
2
3
lb1
la1 la2
lb2
la3
lb3
a
b
A A
h
PLANTA CORTE AA
36 
 Força vertical de compressão resultante atuante no CG da sapata (2.1) 
𝑉𝑘 = 𝑉𝑘1 + 𝑉𝑘2 + 𝑉𝑘3 
 Momento fletor resultante, também no CG (2.2) 
{
𝑀𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑀𝑥1
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑀𝑥2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 −𝑀𝑦2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 +𝑀𝑥3
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 +𝑀𝑦3
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑠𝑒𝑛 𝛼3 − 𝑉𝑘1 . 𝑦1 − 𝑉𝑘2 . 𝑦2 + 𝑉𝑘3 . 𝑦3
𝑀𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑀𝑦1
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑀𝑦2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 +𝑀𝑦2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 −𝑀𝑥3
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑠𝑒𝑛 𝛼3 +𝑀𝑦3
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 𝑉𝑘1 . 𝑥1 + 𝑉𝑘2 . 𝑥2 − 𝑉𝑘3 . 𝑥3
 
Com tais esforços solicitantes equivalentes (aplicado no CG da sapata), a partir desta 
virtualização, podemos prosseguir como se fora uma sapata isolada. 
 
 
 
 
 
2.3.3.3 Exercício proposto 
 
1) Para a sapata associada representada abaixo determine: 
a) a altura mínima da sapata para satisfazer a condição de rigidez; 
b) 𝑁𝑘; 𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦 resultantes na sapata (não despreze o peso próprio); 
c) a tensão normal máxima de compressão na base da sapata (𝜎𝑚á𝑥), indicando o ponto 
onde ela ocorre. 
Dados: 𝑁𝑘1 = 30𝑡𝑓; 𝑁𝑘2 = 40𝑡𝑓; 𝑀𝑥1 = +16𝑡𝑓.𝑚; 𝑀𝑦1 = −4𝑡𝑓.𝑚; 𝑀𝑥2 = −8𝑡𝑓.𝑚; 𝑀𝑦2 = +3𝑡𝑓.𝑚 
 
y
x
60 40 50 50
25
30
25
20
1
2
(cm)
37 
2.3.4 Sapata excêntrica (não alavancada) 
2.3.4.1 Geometria 
 
Onde: 
 𝑎, 𝑏 é a função do carregamento e da capacidade de carda (NSPT) do solo. 
ℎ ≥
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
30. ∅𝑙𝑝
h ≥ 0,5 · √(𝑙𝑎2 + 𝑙𝑏²)
 
Onde: 
 ∅𝑙𝑝 é o maior diâmetro dentre as armaduras longitudinais dos 3 (ou n) pilares. 
 {
𝑙𝑎 = 0,5. (𝑎 − 𝑎0)
𝑙𝑏 = 0,5. (𝑏 − 𝑏0)
 
 𝒆 é a excentricidade do pilar em relação à sapata (excentricidade inicial ou real, de 1ª ordem). 
𝑒 = 0,5. (𝑎 − 𝑎0) 
2.3.4.2 Esforços solicitantes equivalentes 
 
Após esta virtualização, podemos prosseguir como se fora uma sapata isolada. 
lb
lb
PLANTA
h0
b0
a0
la
h
a0
e
Vk
CORTE AA
A A
Mk
SITUAÇÃO EQUIVALENTE
OU VIRTUAL
SITUAÇÃO REAL
e
Vk
G
a
0,5a0,5a
Vk G
𝑀𝑘 = Vk. 𝑒 
 Onde: Mk é o momento fletor devido à 
excentricidade do pilar.