ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO - NOTAS DE AULA

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DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
COM A PROPOSTA DE REVISÃO DA NBR 6118/2014 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
PROF. RONILSON FLÁVIO DE SOUZA 
Engenheiro Civil 
Especialista em Estruturas 
MBA em Construção Civil 
 
 
 
 
1ª Parte – Disciplina Estruturas de Concreto 1 
 
 
 
 
FEVEREIRO 2014 
 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto 1
Ementa 
Histórico - Normas - Tecnologia e Propriedades do 
Patologias em Estruturas de Concreto
Critérios de durabilidade - Agressividade Ambiental 
ELS); 
Deformações em vigas e lajes; 
Dimensionamento estrutural de lajes planas retangulares; 
Flexão Normal Simples em Vigas de Concreto Armado
Cisalhamento em Vigas de Concreto Armado
Torção em vigas retangulares de Concreto Armado
Aberturas em vigas de concreto armado;
Aderência, Ancoragem e Fissuração
Detalhamento de Lajes e Vigas (Disposições Construtivas Gerais de Armaduras Passivas)
Avaliações 
Serão aplicadas 4 avaliações (2 oficiais e 2 Parciais). As oficiais serão provas individuais com consulta 
apenas do material próprio. É proibido empréstimo de calculadora, tabelas e formulários. 
A nota será avaliada pelo resultado exato da questão, 
completa. Em caso de resposta errada, 
da nota. 
O aluno que perder alguma avaliação oficial terá direito a substitutiva com o mesmo conteúdo da 
avaliação perdida. 
As parciais serão trabalhos individuais e deverão ser entregues nas seguintes datas:
1ª Parcial: última aula antes da 1ª oficial
2ª Parcial: última aula antes da 2ª oficial
Os parâmetros para realização do trabalho serão passados pelo professor a cada aluno e a correção será 
em cima destes parâmetros. Trabalhos entregues com parâmetros diferentes terão nota ZERO.
O trabalho poderá ser feito no caderno ou no computador, porém, 
gabarito para avaliação, no formulário específico e assinado
 
 
“SOB NENHUMA HIPÓTESE SERÁ ACEITO TRABALHO POR E
APÓS A DATA LIMITE (2ª CHAMADA) NÃO SERÁ AVALIADO.”
 
Sábados letivos 
Nos sábados letivos que forem referentes a esta disciplina o professor estará na faculdade a partir das 
14:00hs para tirar dúvidas sobre a 1ª e 2ª Parcial e/ou outros assuntos r
 Critério de Avaliação 
O aluno que realizar todos os exercícios 
acrescidos a sua nota final. 
Exemplo: 
Aluno com todos os exercícios realizados. 
Nota Final: 5,7 + Crédito = 6 � 
Nota Final: 5,6 + Crédito = 5,9 �
Nota Final: 3,7 + Crédito = 4 � 
Nota Final: 3,6 + Crédito = 3,9 �
 
 
 
 
Disciplina: Estruturas de Concreto 1 
Professor: Ronilson F. Souza
e-mail: engronilsonsouza@gmail.com
e Propriedades do Concreto Armado; 
Patologias em Estruturas de Concreto; 
Agressividade Ambiental - Análise Estrutural, Segurança e Desempenho (
Dimensionamento estrutural de lajes planas retangulares; 
Flexão Normal Simples em Vigas de Concreto Armado; 
hamento em Vigas de Concreto Armado; 
de Concreto Armado; 
Aberturas em vigas de concreto armado; 
Ancoragem e Fissuração; 
Disposições Construtivas Gerais de Armaduras Passivas)
Serão aplicadas 4 avaliações (2 oficiais e 2 Parciais). As oficiais serão provas individuais com consulta 
apenas do material próprio. É proibido empréstimo de calculadora, tabelas e formulários. 
A nota será avaliada pelo resultado exato da questão, que deverá ser precedido da memória de cálculo 
resposta errada, será avaliada a memória de cálculo, porém, com no máximo 
O aluno que perder alguma avaliação oficial terá direito a substitutiva com o mesmo conteúdo da 
As parciais serão trabalhos individuais e deverão ser entregues nas seguintes datas: 
a 1ª oficial, em 1ª chamada, e no dia da 1ª oficial em 2ª e última chamada.
última aula antes da 2ª oficial, em 1ª chamada e no dia da 2ª oficial em 2ª e última chamada.
Os parâmetros para realização do trabalho serão passados pelo professor a cada aluno e a correção será 
em cima destes parâmetros. Trabalhos entregues com parâmetros diferentes terão nota ZERO.
O trabalho poderá ser feito no caderno ou no computador, porém, deverá ser 
para avaliação, no formulário específico e assinado pelo aluno. 
ATENÇÃO 
“SOB NENHUMA HIPÓTESE SERÁ ACEITO TRABALHO POR E-MAIL. O TRABALHO QUE FOR 
APÓS A DATA LIMITE (2ª CHAMADA) NÃO SERÁ AVALIADO.” 
Nos sábados letivos que forem referentes a esta disciplina o professor estará na faculdade a partir das 
14:00hs para tirar dúvidas sobre a 1ª e 2ª Parcial e/ou outros assuntos relativos à disciplina.
O aluno que realizar todos os exercícios proposto em classe terá um crédito de no máximo 
exercícios realizados. 
 Aprovado 
�Exame 
 Exame 
� Reprovado 
 
2 
Professor: Ronilson F. Souza 
mail: engronilsonsouza@gmail.com 
, Segurança e Desempenho (ELU e 
Disposições Construtivas Gerais de Armaduras Passivas); 
Serão aplicadas 4 avaliações (2 oficiais e 2 Parciais). As oficiais serão provas individuais com consulta 
apenas do material próprio. É proibido empréstimo de calculadora, tabelas e formulários. 
que deverá ser precedido da memória de cálculo 
será avaliada a memória de cálculo, porém, com no máximo 60% 
O aluno que perder alguma avaliação oficial terá direito a substitutiva com o mesmo conteúdo da 
e no dia da 1ª oficial em 2ª e última chamada. 
em 1ª chamada e no dia da 2ª oficial em 2ª e última chamada. 
Os parâmetros para realização do trabalho serão passados pelo professor a cada aluno e a correção será 
em cima destes parâmetros. Trabalhos entregues com parâmetros diferentes terão nota ZERO. 
entregue somente o 
MAIL. O TRABALHO QUE FOR ENTREGUE 
 
Nos sábados letivos que forem referentes a esta disciplina o professor estará na faculdade a partir das 
elativos à disciplina. 
terá um crédito de no máximo 0,3 pontos 
3 
 
 
Introdução 
 
O concreto armado como conhecemos, se comparado com o aço que há milênios vem 
sendo utilizado pelo homem, é de certa forma um material recente. Como elemento 
estrutural o conceito de concreto armado é antigo, porém as pesquisas que realmente 
desenvolveram o material e consolidaram sua utilização datam de menos de 200 anos. 
Por volta de 1850 elementos cimentícios com utilização de aço para resistir a tração 
foram construídos, estes elementos eram chamados de “cimento armado”, somente por 
volta de 1920 a denominação passou a ser “concreto armado”. A primeira teoria sólida 
sobre o dimensionamento das peças de concreto foi realizada pelo Alemão E. Mörsch, 
professor da Universidade de Stuttgart, em 1902, a sua analogia de treliça para o 
dimensionamento a flexão de vigas é até hoje utilizada no mundo. Não demorou para que 
as normas de concreto armado fossem redigidas e implantadas em todo mundo. No Brasil 
o concreto armado vem sendo utilizado desde 1904 e, em pouco tempo, o concreto 
armado, devido a sua versatilidade, foi incorporado de vez na engenharia de construção 
brasileira. Sendo considerado hoje o material mais utilizado como elemento estrutural no 
mundo. Em 1928 o francês Freyssinet é o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a 
importância da protensão na construção civil. Estuda as perdas devido à retração e 
deformação lenta do concreto e registra várias patentes sobre o sistema Freyssinet de 
protensão. É considerado o pai do concreto protendido. 
As normas mais importantes utilizadas no mundo são o C.E.B - Comitê Europeu de 
“Béton” (concreto), o A.C.I - Instituto Americano do Concreto, e aqui no Brasil a ABNT 
– Associação Brasileira de Normas Técnicas, em particular a NBR 6118/2014- Projeto de 
estruturas de concreto — Procedimento, que foi revisada em 2013. Esta norma que 
utilizaremos neste trabalho, juntamente, é claro, com as outras normas da ABNT que 
complementam o estudo do concreto armado. 
 
 
 
 
 
4 
 
Capítulo 1 - Tecnologia do Concreto Estrutural e Patologias 
 
O concreto estrutural pode ser dividido em três categorias, a saber: 
Concreto simples ou ciclópico: é aquele que não possui armadura (barras de aço para 
combater a tração). Segundo a NBR 6118 é classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto simplesestrutural 
Elementos estruturais elaborados com concreto que não possuem qualquer tipo de armadura, ou que a 
possuem em quantidade inferior ao mínimo exigido para o concreto armado (item 3.1.2 NBR 6118/2014). 
 
Concreto Armado com armadura passiva: é aquele que possui armaduras para resistir as 
solicitações de tração, no entanto estas armaduras são tracionadas somente após a retirada 
do cimbramento (escoramento), e a peça passa a trabalhar fissurada, situação em que as 
tensões são transmitidas do concreto para a armadura e vice versa. Segundo a NBR 6118 
é classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto armado 
Aqueles cujo comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se 
aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência (item 3.1.3 NBR 
6118/2014). 
 
Concreto protendido ou com armadura ativa: é aquele cujas armaduras são pré-
tracionadas antes mesmo da retirada do cimbramento. Este procedimento imprime a 
seção fletida uma compressão uniforme reduzindo a tração no concreto e 
consequentemente diminuindo a fissuração das peças. Segundo a NBR 6118 é 
classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto protendido 
Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão, 
com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da 
estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado-limite último 
(item 3.1.4 NBR 6118/2014). 
 
Como pôde ser observado nas descrições acima, existem dois tipos de armaduras, as 
armaduras passivas, utilizadas no concreto armado convencional, aqui chamado a partir 
 
de agora simplesmente de C.A. 
protendido que chamaremos simplesmente de C.P.
 
Propriedades do concreto 
 
O concreto para fins estruturais pode ser considerado um material homogêneo e 
isotrópico, com massa específica para efeito de 
O coeficiente de Poisson pode ser tomado com o valor médio de 
de dilatação térmica α = 10
possível, em ensaios de laboratório. No entanto podem ser 
estruturais, desde que os material utilizados na preparação do concreto (agregados e 
aglomerantes - cimentos ), estejam dentro das especificações normativas existentes para o 
concreto armado, na NBR 12655/06
que regulamentam estes materiais.
fck- resistência característica a compressão 
 
Resistência à compressão do concreto
A resistência característica a compressão do concreto, fck, deve ser especificada em todos 
os projetos e seu valor deve ser avaliado em ensaio de compressão definidos na NBR 
5739 – ensaios de compressão de corpos
8953/1992 – Concretos para fins estruturais 
dois grupos, Grupo 1 de 10 a 50MPa e Grupo 2 de 55 a 80MPa
Para fins estruturais a NBR 12655/2006 
a dosagem do concreto deve atender a requisitos de produção que variam com os níveis 
de controle no momento da dosagem. Para isso a norma estabelece três tipos de controle, 
a saber : 
 
de agora simplesmente de C.A. e as armaduras ativas que trabalham no concreto 
protendido que chamaremos simplesmente de C.P. 
Propriedades do concreto 
O concreto para fins estruturais pode ser considerado um material homogêneo e 
assa específica para efeito de cálculo (ρc)= 2500kg/m
pode ser tomado com o valor médio de (ν) = 0,2
= 10-5°C-1. Estes valores devem ser validados, sempre que 
possível, em ensaios de laboratório. No entanto podem ser utilizados nos projetos 
estruturais, desde que os material utilizados na preparação do concreto (agregados e 
cimentos ), estejam dentro das especificações normativas existentes para o 
NBR 12655/06, pode ser encontrado as descrição de todas as normas 
que regulamentam estes materiais. O módulo de elasticidade (E) do concreto d
resistência característica a compressão - e será estudado mais adiante
compressão do concreto - fck 
A resistência característica a compressão do concreto, fck, deve ser especificada em todos 
os projetos e seu valor deve ser avaliado em ensaio de compressão definidos na NBR 
ensaios de compressão de corpos-de-prova de concreto cilíndricos. 
Concretos para fins estruturais – define a classificação dos concretos em 
dois grupos, Grupo 1 de 10 a 50MPa e Grupo 2 de 55 a 80MPa 
 
Para fins estruturais a NBR 12655/2006 – Controle de Cimento Portland 
deve atender a requisitos de produção que variam com os níveis 
de controle no momento da dosagem. Para isso a norma estabelece três tipos de controle, 
5 
armaduras ativas que trabalham no concreto 
O concreto para fins estruturais pode ser considerado um material homogêneo e 
)= 2500kg/m3 (25kN/m3 ); 
) = 0,2 e o coeficiente 
. Estes valores devem ser validados, sempre que 
utilizados nos projetos 
estruturais, desde que os material utilizados na preparação do concreto (agregados e 
cimentos ), estejam dentro das especificações normativas existentes para o 
descrição de todas as normas 
do concreto depende do 
mais adiante. 
A resistência característica a compressão do concreto, fck, deve ser especificada em todos 
os projetos e seu valor deve ser avaliado em ensaio de compressão definidos na NBR 
prova de concreto cilíndricos. A NBR 
define a classificação dos concretos em 
Controle de Cimento Portland – especifica que 
deve atender a requisitos de produção que variam com os níveis 
de controle no momento da dosagem. Para isso a norma estabelece três tipos de controle, 
6 
 
 
A) Condição A (C10 até C80): 
O cimento e os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em 
massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos 
agregados; 
B) Condição B (C10 até C25) 
O cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante 
dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada. A umidade do 
agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno 
de concretagem. O volume de agregado miúdo é corrigido através da curva de 
inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; 
C) Condição C (C10 e C15 ) 
O cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de 
amassamento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da 
estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto. 
 
Cálculo da resistência de dosagem 
A resistência de dosagem deve atender às condições de variação existentes durante a 
construção. Esta variabilidade medida pelo desvio-padrão Sd é levada em conta no 
cálculo da resistência de dosagem, segundo a equação: 
 
fcj = fck + 1,65 Sd onde: 
fcj é a resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias, em 
megapascals; 
fck é a resistência característica do concreto à compressão, em megapascals; 
Segundo a NBR 12655, o desvio padrão para cada condição de preparo é: 
Condição A (C10 até C80) � Sd = 4MPa 
Condição B (C10 até C25) � Sd = 5,5MPa 
Condição C(1) (C10 até C15) � Sd = 7,0MPa 
 
1) Para as condições de preparo C nos concretos de 
15MPa o consumo mínimo de cimento é de 350kg/m3 de 
concreto ( tabela 6 - NBR 12655/2006). 
 
7 
 
 
É importante frisar que, em situações rotineiras de obras, estes controles não são 
atendidos quando o concreto é realizado na obra, com betoneiras. Se formos seguir ao “pé 
da letra” a normatização, somente poderíamos “rolar” na obra concretos com fck até 
25MPa. Além deste limite seria necessária a utilização de uma pequena estação de 
concretagem, fato que oneraria muito obras de pequeno porte. A recomendação é que 
para concretos com fck acima de 25MPa, sejam sempre utilizados concretos usinados. 
 
Resistência a Tração do concreto - fct 
A resistência a tração do concreto é muito pequena em relação a sua resistência 
característica de compressão, da ordem de 10 vezes menor, o valor deve sempre ser 
verificado por intermédio de ensaiosde laboratório, ensaios de tração direta ou ensaios de 
compressão diametral, que estima a resistência do concreto através do fendilhamento do 
corpo de prova. Outro ensaio é a resistência a tração na flexão. 
 
 Tração direta - fct,m Compressão Diametral – fct,sp Flexão- fct,f 
 
A NBR 6118/2014, estabeleça que a resistência à tração direta fct vale aproximadamente 
0,9 fct,sp ou 0,7fct,f , contudo na falta destes ensaios a resistência a tração média pode ser 
calculada em função do fck, sendo o valor dado pelas expressões: 
 
Para concretos de classes até C50: 
 
fct ,m = 0,3 fck
2/3 
 
Para concreto de classes C50 até C90: 
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) 
 
 
8 
 
 
Os valores mínimos e máximos (inferior e superior) de fct são iguais a: 
 
fctk,inf = 0,7 fct,m 
fctk,sup = 1,3 fct,m 
 
Módulo de Elasticidade - E 
Segundo a NBR 6118/2014, o módulo de elasticidade do concreto deve ser obtido através 
de ensaios. O comportamento do concreto na compressão não apresenta, como no aço, 
uma curva composta de uma fase elástica seguida de um patamar de escoamento, 
estricção e ruptura, no concreto a curva é parabólica, porém foi simplificada pela NBR 
em dois trechos, um parabólico seguido de um trecho reto, após a plastificação do 
material, e foi idealizado na nova NBR com a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
Onde fcd = fck/1,4 e as deformações εc2 (deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do 
concreto na ruptura) são calculadas pelas expressões: 
Para concretos até 50MPa 
εc2 = 0,002 e εcu = 0,0035 ( igual a NBR 6118/2003) 
 
Para concretos acima de 50MPa até o limite de 90MPa 
 
 










 −+=>
=≤
→














−−= 4
n
c2
c
c
100
fck90
23,41,4n:50MPafck
2n:50MPafck
ε
ε
110,85fcdσ
( ) 530
6
50fck
1085
0020 ,c2 ,ε −
×+=
−
4
3
cu
100
90
1035
0026,0ε





 −
×+=
−
fck
9 
 
 
Como o trecho elástico se apresenta na forma de uma parábola, o módulo de elasticidade 
do concreto para fins de cálculo pode ser estimado de duas formas. 
 
1º Módulo de elasticidade tangente na origem 
 
 
Neste caso o E é dado pela tangente de ϕ0 e é calculado pela expressão: 
Para concretos com fck menor que 50MPa 
 
 
Para concretos com fck entre 50 e 90 MPa 
 
 
 
O valor de αE é dado em função do tipo do agregado utilizado na preparação do concreto: 
αE = 1,2 para basalto e diabásio 
ααααE = 1,0 para granito e gnaisse (mais comum) 
αE = 0,9 para calcário 
αE = 0,7 para arenito 
 
2º Módulo de elasticidade secante 
 
Este valor é estimado, a favor da segurança, traçando-se uma reta secante ao ponto em 
que a tensão representa uma deformação da ordem de εm = 0,002 . O cálculo do Ecs é 
dado pela tangente do ângulo ϕc. 
 
fck5600αEci E ×=
3
1
E
3 25,1
10
α105,21Eci 




 +×××= − fck
10 
 
 
O valor de Ecs é 0,85Eci que é aproximadamente a diferença entre as inclinações das 
duas retas. No dimensionamento à flexão este é o valor do módulo de elasticidade que 
será utilizado. 
 
Propriedades do aço para concreto armado 
 
Os aços para concreto são ligas ferro-carbono com teor de carbono de até 2%, contendo 
apenas os elementos residuais resultantes do processo de fabricação (Mn, Si, P e S). 
Os aços podem ser do tipo doce, meio duros e duros, sendo que os aços do tipo doce 
possuem cerca de 0,25% de carbono e são utilizados na fabricação do aço CA 25. Os aços 
meio duros possuem teor de carbono entre 0,25% e 0,50%, e são utilizados na fabricação 
do aço CA 50. Por fim, os aços chamados duros com teor de carbono acima de 0,50% são 
utilizados na fabricação de cordoalhas para protensão. 
Em relação ao processo de fabricação dos aços são laminados a quente, onde sua forma 
final é obtida por laminação a alta temperatura (> 800 °C). Possui alta resistência 
mecânica, grande ductilidade e podem ser facilmente soldados. Podem também, serem 
trefilados a frio ou encruados, sua forma é obtida por trabalho mecânico (trefilação) em 
aços de menor resistência, sua resistência mecânica é obtida das tensões introduzidas no 
trabalho a frio. Estes aços possuem baixa dutilidade e não devem ser soldados. Nos 
projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 
7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto 
armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço 
em kN/cm2. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os estabelecidos na 
NBR 7480(1996). 
A superfície das barras de aço pode ser lisa ou com mossas para conferir a barra alta 
aderência ao concreto. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação 
11 
 
superficial mínimo, ηb, deve atender ao indicado na NBR 7480(1996). Para a NBR 6118 
(2014), a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1, cujo valor está 
relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb , como estabelecido na tabela 
abaixo: 
 
( tabela 8.3 - NBR 6118/2014) 
 
A massa específica do aço de armaduras passivas pode ser adotada com o valor de 
7.850kg/m3. O Coeficiente de dilatação térmica, no intervalo de 20 °C e 150 °C pode ser 
tomado com o valor de 10-5/°C e o módulo de elasticidade (Ecs), na falta de ensaios, é 
igual a 210 GPa. 
O diagrama de tensão e deformação do aço, pode ser simplificado pelo diagrama abaixo, 
cuja fase elástica se dá até o momento de deformação máxima εs = 0,02 
 
Onde : 
fyk é a resistência característica ao escoamento 
fyd é a resistência de cálculo ao escoamento, dada por fyk/γs ( γs é igual a 1,15) 
Como em todo aço carbono a resistência ao escoamento na tração é igual à resistência ao 
escoamento na compressão, bem como a resistência última na ruptura. 
 
 
 
12 
 
 
Segue abaixo uma tabela de características de barras de aço para C.A. 
 
 
 
Classe de agressividade e patologias 
 
As patologias no concreto podem ser de origens físicas ou químicas: 
 
Físicas 
Erosão por abrasão: Desgaste da superfície do concreto em contato com o meio ambiente, 
muito comum em pisos e revestimentos de concreto. 
Erosão por cavitação: Desgaste ocorrido em canais de água ou outro tipo de líquido em 
alta velocidade, as bolhas de ar produzidas pela turbulência do escoamento, liberam 
bastante energia e afetam as camadas superficiais do concreto destes elementos 
estruturais. 
Deformações excessivas: Podem ser produzidas por recalques diferenciais de fundações 
ou mesmo por excesso de carga nas estruturas. A deformação lenta do concreto ao longo 
do tempo, provocada pela retração e fluência (será visto mais a diante), produzem 
patologias nas peças estruturais e principalmente nas alvenarias. 
Químicas 
Solubilização dos elementos de concreto por águas ácidas: Ocorre pela transformação do 
composto de cálcio existente no concreto por sais solúveis em água. A agressão só é 
possível se houver percolação de água pelos poros do concreto; 
Ação de águas Sulfatadas: Caracteriza-se pelo ataque ao componente Aluminato 
tricálcico (C3A), existente na pasta do cimento. Uma solução é a diminuição do C3A 
φ φ φ φ Polegada 3/16" 1/4" 5/16" 3/8" 1/2" 5/8" 3/4" 7/8" 1"
φφφφ mm 5.0 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 20.0 22.0 25.0
kg/m 0,154 0,245 0,395 0,616 0,963 1,579 2,466 2,984 3,854
0,196 0,312 0,503 0,785 1,227 2,011 3,142 3,801 4,909
ÁREAS DAS SEÇÕES EM cm2
TABELA COM CARACTERÍSTICAS DE BARRAS DE AÇO PARA ARMADURAS DE CONCRETO ARMADO
P/ Barra
13 
 
com a adição de óxido férrico, são os chamados cimentos resistentes a sulfatos - Cimento 
Portland CP (RS) 
Reação álcali-agregado: Ocorre devido a reação dos componentes alcalinos do cimento 
com componentes de certos agregados, produzindo uma reação expansiva. A reação 
expansiva mais importante é a álcali-sílica, que somente ocorrerá quando houver sílica 
reativa,álcalis e água suficiente para que possa ocorrer a expansão. A pozolana 
(microsílica) é um componente capaz de acelerar a reação dos álcalis com sílica ainda na 
fase de concreto fresco, consumindo os álcalis do cimento, evitando-se assim que a 
reação ocorra após o endurecimento do concreto. Esta é a base do chamado Cimento 
Pozolâmico CPIV. 
 
Corrosão da armadura 
 
A corrosão de amaduras de concreto se dá por um processo eletroquímico, em que a 
diferença de potencial elétrico entre as barras ou em pontos diferentes da mesma barra 
contribui para a movimentação de íons de um ponto para o outro causando oxidação do 
metal ferroso (aço das barras). O fenômeno transforma o aço em óxido de ferro e é um 
fenômeno expansivo, daí o fato das camadas de cobrimento da armadura se romperem 
quando há oxidação avançada da armadura. As armaduras de aço dentro da massa de 
concreto são protegidas contra corrosão pelo fenômeno da passivação do aço. Devido a 
grande alcalinidade do meio em que está a armadura ( pH >12) a camada microscópica de 
óxido de ferro, chamada película passivadora, impede a dissolução dos íons de ferro 
tornando impossível a corrosão, iônica, que é a causa da ferrugem no aço. 
 
Os processos que abaixam o pH da estrutura, consumindo o hidróxido de cálcio da pasta 
de cimento e permitindo a destruição da película passivadora são: 
a) Carbonatação da camada de cobrimento; 
b) Presença de íons cloreto ( Cl-) ou de poluição atmosférica muito alta; 
14 
 
c) Lixiviação do concreto na presença de fluxos de água que percolem através de sua 
massa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG 
 
Com a perda da camada pasivadora a armadura fica exposta a corrosão, lembrando que: 
“Para que ocorra a corrosão é necessário que existam oxigênio e água, na ausência de um 
destes dois componentes, mesmo se a camada passivadora estiver destruída não 
acontecerá a corrosão.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carbonatação ���� Corrosão generalizada Ataque por cloretos ���� Corrosão Localizada 
Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG 
 
A carbonatação é a percolação do gás carbônico através dos vazios da camada de 
cobrimento da armadura ao longo dos anos. O tempo que o gás carbônico demora para 
chegar até a armadura e proporcionar a despassivação depende diretamente da espessura 
da camada de cobrimento. O mesmo acontece com o ataque por cloretos, a despassivação 
por cloretos é sempre localizada e de grande intensidade, portanto mais agressiva que a 
carbonatação que ocorre ao longo de toda a armadura e com menor agressividade. 
Contudo as duas situações levam a degeneração da armadura por ferrugem. Vale 
15 
 
ressaltar que após a despassivação da armadura a corrosão é muito rápida, então deve-se 
projetar as cobrimentos de forma que a camada passivadora se mantenha intacta durante 
toda a vida útil da estrutura. Segue abaixo uma tabela com a relação entre o tempo de 
penetração do CO2 ou CL
- e a espessura de camada de cobrimento. 
 
A NBR 6118/2014 prescreve uma série de medidas para a proteção da estrutura contra o 
ataque de agentes nocivos, dentre elas os limites de cobrimentos, o fck mínimo e a 
relação água cimento máxima para cada classe de agressividade ambiental. Segue abaixo 
as tabelas retiradas da norma. 
 
( tabela 6.1 - NBR 6118/2014) 
 
Profundidade de 
carbonatação ou 
penetração de íons 
cloreto
Tempo em 
anos
10 mm 5
15 mm 20
20 mm 50
25 mm 100
16 
 
 
( tabela 7.1 - NBR 6118/2014) 
 
 
(tabela 7.2 - NBR 6118/2014) 
 
Outras medidas devem ser tomadas para garantir a longevidade da estrutura, detalhes 
arquitetônicos, como pingadeiras, execução de mísulas nos encontro de paredes 
estruturais de concreto, juntas de dilatação protegidas com elementos impermeabilizantes, 
entre outros. Contudo a NBR 14931:2003 - Execução de estruturas de concreto – 
17 
 
Procedimento, define critérios para a execução das estruturas que visam garantir a 
longevidade e a segurança das peças de concreto armado. Segue abaixo alguns dos 
principais itens que devem se atendidos em relação a estes requisitos de qualidade: 
Concretagem em temperatura muito fria 
A temperatura da massa de concreto, no momento do lançamento, não deve ser inferior a 
5°C. A concretagem deve ser suspensa sempre que estiver prevista queda na temperatura 
ambiente para abaixo de 0°C nas 48 h seguintes. 
Concretagem em temperatura muito quente 
Quando a concretagem for efetuada em temperatura ambiente muito quente (≥ 35°C) e, 
em especial, quando a umidade relativa do ar for baixa (≤ 50%) e a velocidade do vento 
alta (≥ 30 m/s), devem ser adotadas as medidas necessárias para evitar a perda de 
consistência e reduzir a temperatura da massa de concreto. Imediatamente após as 
operações de lançamento e adensamento, devem ser tomadas providências para reduzir a 
perda de água do concreto. A concretagem deve ser suspensa se as condições ambientais 
forem adversas, com temperatura ambiente superior a 40°C ou vento acima de 60 m/s. 
Juntas de concretagem 
O concreto deve ser perfeitamente adensado até a superfície da junta, usando-se fôrmas 
temporárias, quando necessário, para garantir apropriadas condições de adensamento. 
Antes da aplicação do concreto, deve ser feita a remoção cuidadosa de detritos. Antes de 
reiniciar o lançamento do concreto deve ser removida a nata da pasta de cimento e feita a 
limpeza da superfície da junta, com a retirada do material solto. Pode ser necessário para 
se obter a aderência desejada o jateamento de abrasivos ou o apicoamento da superfície 
da junta, com posterior lavagem, de modo a deixar aparente o agregado graúdo. Nesses 
casos, o concreto já endurecido deve ter resistência suficiente para não sofrer perda 
indesejável de material, gerando a formação de vazios na região da junta de concretagem. 
Podem ser utilizados produtos para melhorar a aderência entre as camadas de concreto 
em uma junta de concretagem, desde que não causem danos ao concreto e seja possível 
comprovar desempenho ao menos igual ao dos métodos tradicionalmente utilizados. As 
juntas de concretagem, sempre que possível, devem ser previstas no projeto estrutural e 
estar localizadas onde forem menores os esforços de cisalhamento, preferencialmente em 
posição normal aos esforços de compressão. No caso de vigas ou lajes apoiadas em 
pilares, ou paredes, o lançamento do concreto deve ser interrompido no plano horizontal. 
18 
 
 
Tempo de permanência de escoramentos e fôrmas 
Escoramentos e fôrmas não devem ser removidos, em nenhum caso, até que o concreto 
tenha adquirido resistência suficiente para: 
a) Suportar a carga imposta ao elemento estrutural nesse estágio; 
b) Evitar deformações que excedam as tolerâncias especificadas; 
c) Resistir a danos para a superfície durante a remoção. 
d) “Se a fôrma for parte integrante do sistema de cura, como no caso de pilares e 
laterais de vigas, o tempo de remoção deve considerar os requisitos de cura” 
 
Cura do Concreto 
 “Cura é o conjunto de operações ou procedimentos adotados para proteger a superfície 
dos elementos estruturais (contra temperaturas muito altas ou muito baixas, impactos, 
desgastes prematuros, dessecação prematura) e, principalmente, evitar que a água usada 
no amassamento e destinada à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente 
pelas regiões superficiais do concreto.” 
(Figueiredo- 2008) 
“A cura é sempre necessária para evitar que a água usada no amassamento e destinada 
à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente pelas regiões superficiais do 
concreto. A água é parte integrante do processo de pega e endurecimento, 
consequentemente não poderá ser perdida sob pena de deixar vazios e criar esforços de 
retração hidráulica. Desta forma, quando uma mistura corretamente dosada é seguida 
de cura úmida, durante os primeiros estágios de endurecimento seráconferido ao 
concreto as melhores condições para se tornar um material de baixa permeabilidade, de 
baixa absorção de água, de alta resistência à carbonatação e à difusão de íons, e com 
resistência mecânica e durabilidade adequada.” 
(Fernandes – 2008) 
 
19 
 
O CEB – comitê europeu de concreto - recomenda para ao tempo de cura dos elementos 
estruturais uma relação entre a classe de agressividade, o clima na região da concretagem 
a sensibilidade do concreto ( relação água cimento). O gráfico abaixo pode ser utilizado 
com segurança para as estruturas usuais. 
 
 
Tempo de cura 
Aresta 1 = 1 a 3 dias 
Aresta 2 = 5 a 7 dias 
Aresta 3 = 10 a 14 dias 
 
 
Capítulo 2 - Análise estrutural – Segurança e Desempenho 
 
As ações em edifícios de concreto armado podem ser de origem permanente (g) ou 
variável (q). As cargas permanentes são advindas do peso próprio das estruturas e dos 
objetos e/ou equipamentos que compõem a estrutura, estas cargas não variam ao longo da 
vida útil do edifício, ou pelo menos, não poderiam variar. Já as cargas de origem 
variáveis, como próprio nome diz, são acidentais e ocorrem em ciclos alternados durante 
a vida da estrutura. As cargas acidentais são as sobrecargas de móveis, pessoas, ações de 
vento, sismos e outras que por ventura possam ocorrer na estrutura. O gráfico abaixo 
mostra o comportamento das ações, variáveis (sobrecarga e vento) e permanentes em uma 
estrutura. 
 
20 
 
De açor com a regra de Turkstra “O máximo efeito de uma combinação de ações se dará 
no instante em que uma das ações variáveis atingir seu valor máximo. O colapso se dá 
neste instante.” 
 
 
 
Método dos estados limites 
 
Estados limites últimos - E.L.U 
 
Estados limites últimos são aqueles relacionados com a segurança da estrutura. A 
ocorrência deste estado-limite significa sempre o colapso estrutural. Em uma estrutura de 
concreto armado deve-se verificar o E.L.U de esmagamento da seção de concreto, do 
escoamento por tração ou compressão do aço da Armadura e do cisalhamento da seção de 
concreto por solicitações tangenciais ( esforços cortantes). Nos elementos submetidos a 
Flexão Simples a ruína e caracterizada no concreto quando atinge uma deformação 
específica εc = 0,0035, e no aço das armaduras quando atinge uma deformação específica 
εs = 0,010. Este limite de escoamento do aço se dá em função do esmagamento do 
concreto, pois sabemos que o aço possui ductilidade para se alongar com deformações 
muito superiores a esta. Contudo, para que estes estados limites não ocorram nas 
estruturas faz-se necessário um dimensionamento que leva em consideração a relação 
entre o carregamento e a resistência. No E.L.U os carregamentos ou ações são majorados 
e as resistências minoradas por um coeficiente de ponderação. A estrutura estará 
verificada se a solicitação de cálculo for menor que a resistência de cálculo, ou seja, Sd ≤ 
21 
 
Rd. Onde Sd é a somatória das ações com seus respectivos coeficientes de ponderação e 
Rd é a resistência da peça minorada com seus respectivos coeficientes de minoração. 
Os coeficientes de minoração e majoração das ações são dados pela tabela abaixo: 
 
(tabela 11.1 - NBR 6118/2014) 
 
(tabela 11.2 - NBR 6118/2014) 
 
O coeficiente γf é utilizado para majorar a ação principal e o coeficiente γf2 para minorar a 
ação secundária, quando se tem nas combinações de cálculo mais de uma ação variável. 
No cálculo das combinações de e ações deve ser utilizado a NBR 6120/80 – carga para 
22 
 
cálculo de estruturas de edificações – esta norma possui uma relação de valores 
característicos de ações permanentes e variáveis. Estes valores devem ser majorados ou 
minorados nas combinações de cálculo no E.L.U. A equação para o cálculo da 
combinação de ações em ELU é dada pela NBR 8681. 
 
 
Onde: 
Fgi,k são valores característicos de ações permanentes 
Fqi,k são valores característicos de ações variáveis principais 
Fqj,k são valores de característicos de outras ações variáveis 
γ é o coeficiente de ponderação (tabelados) 
ψ é o fator de combinação (tabelados) 
 
Ação da água 
 
O nível d’água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao 
máximo possível compatível com o sistema de extravasão, considerando apenas o coeficiente γf = 1,2, 
conforme NBR 8681. Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a 
presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela 
construção. 
(item 11.4.1.3 NBR 6118/2014). 
 
Exemplo de combinação de cálculo no Estado Limite Último - E.L.U 
Exemplo 1 
Determinar a carga/m2 em ELU para uma laje com as seguintes características: 
A laje é maciça com 10cm de espessura de concreto com densidade normal 25kN/m3. 
Sobre a laje será efetuado um contra-piso com 30mm de espessura e argamassa de 
densidade de 21kN/m3; o piso será de granito com espessura de 20mm e peso específico 
de 28kN/m3; o edifício é residencial e deverá ser considerado uma sobrecarga de 
1,5kN/m2 
Exemplo 2 
Determinar a carga/m2 em ELU para uma laje industrial com as seguintes características: 
A laje é maciça com 15 cm de espessura de concreto com densidade normal 25kN/m3. 
Sobre a laje será efetuado um contra-piso com 40mm de espessura e argamassa de 
densidade de 21kN/m3; o edifício é industrial e deverá ser considerado uma sobrecarga de 
3kN/m2 ; haverá um equipamento móvel que funcionará esporadicamente cuja carga 
dinâmica poderá ser substituída por uma carga estática de 4kN/m2 . 
 
( ) ( )∑∑
==
++
n
j
kqjojqjkqqi
m
i
kgigi FFF
2
,,1
1
, ψγγγ
23 
 
Estados limites de serviço - E.L.S 
 
O estado limite último, como visto anteriormente, será sempre utilizado para o cálculo da 
resistência da estrutura na situação mais extrema que a peça poderá ser solicitada em toda 
sua vida útil. Será visto mais tarde que para dimensionar a armadura da seção 
utilizaremos sempre o ELU. No entanto, as estruturas em geral, e em particular as de 
concreto, também devem ser verificadas em situação de serviço chamado aqui de Estado 
Limite de Serviço ou simplesmente ELS. As combinações de cálculo no ELS serão 
compostas sempre dos valores característicos das ações e da sobrecarga minorada em um 
determinado fator, denominado Ψ1 ou Ψ2, que são dados pela tabela 11.2 da NBR 6118. 
Já as combinações de cálculo variam conforme a característica das cargas e são dadas 
pela tabela 11.4 da NBR 6118. 
 
 
 
As peças de concreto armado devem ser verificadas em situação de serviço para as três 
situações abaixo: 
 
Estado limite de deformações excessivas; 
Estado limite de abertura de fissuras; 
Estado limite de vibrações excessivas; 
 
Todos estes estados tem a ver com o conforto e a durabilidade da estrutura e serão vistos 
mais adiante no curso. 
24 
 
 
Utilizaremos neste curso a combinação quase permanente de serviço CQP, cuja expressão 
é: 
 
 
 
Nota: Para efeitos práticos considerar sempre o coeficiente ψ2 igual a 0,3 para edifícios 
residenciais, 0,4 para edifícios comerciais e 0,6 para edifícios industriais e bibliotecas. 
Exemplo 3 
Determinar a carga/m2 em ELS para uma laje com as mesmas características do exemplo 
1 
Exemplo 4 
Determinar a carga/m2 em ELS para uma laje industrial com as mesmas características do 
exemplo 2: 
 
 
*** 
 
( )qgP 2ELS ψ∑∑ +=
25 
 
 
Capítulo 3 – Deformações e esforços em vigas e lajes 
 
Como foi visto no capítulo anterior um dos estados limites de serviço mais importantes é 
o estado limite de deformação excessiva, portanto as estruturas de concreto, em particular 
as vigas e lajes devem ser dimensionadas para atender aos limites máximos de 
deformação ao longo de toda sua vida útil. A NBR 6118 fixa limites de deformação que 
devem ser observados, a tabela 13.3 trás os valores limites de deslocamentos verticais: 
 
 
Na prática, para edifícios usuais, o valor maisutilizado é l/250, portanto este limite será 
utilizado neste curso para todos os elementos a serem dimensionados nos exercícios, 
deixando claro que em situações de projeto a tabela acima deve ser utilizada para cada 
caso em particular, em função dos carregamentos e da característica da edificação. 
26 
 
 
Contra-flecha 
 
A norma possibilita a adoção de contra-flechas nas estruturas. A contra-flecha é uma 
curvatura imposta a estrutura no sentido contrário a deformação do peso próprio, de tal 
forma que, ao se retirar o cimbramento a deformação imediata será a deformação elástica 
menos a contra-flecha. Esta deformação imposta é feita por intermédio do 
posicionamento e nivelamento da fôrma, produzindo-se um arco contrário à deformação 
produzida pelas cargas gravitacionais na estrutura. O limite para contra-flecha em 
estruturas de concreto é l/350, sendo l o valor do vão livre entre apoios. 
 
Deformações em Vigas de C.A. 
 
O cálculo exato da deformação em elementos de concreto armado sempre foi um grade 
desafio para os engenheiros, a grande disparidade entre os valores encontrados na prática 
e os valores calculados demonstra as incertezas sempre constantes no dimensionamento 
de elementos fletidos de concreto armado. Não é incomum encontrar em obras contra-
flechas “permanentes”, ou seja, calcula-se uma contra flecha e após a desforma tem se 
uma surpresa, a deformação imediata prevista não ocorre da forma que foi calculada. Por 
outro lado a situação também recorrente é a obtenção de flechas muito maiores que a as 
previstas, principalmente a deformação ao longo dos anos. O uso indiscriminado de 
softwares de computador por profissionais com pouca experiência em dimensionamento, 
ou mesmo com certo grau de relaxamento nas análises, vem contribuindo para o aumento 
das patologias provocadas por deformações excessivas em estruturas de concreto armado, 
fato preocupante nos dias atuais. 
O cálculo de deformações em elementos fletidos de concreto armado deve levar em 
consideração a rigidez equivalente da seção fissurada e ao longo dos anos os efeitos 
reológicos do concreto, fluência e retração, que contribuem para aumentar 
consideravelmente a deformação. Porém, não é incomum encontrar dimensionamentos 
que desconsideram estes efeitos, por desconhecimento ou mesmo negligência. 
 
 
 
 
27 
 
Rigidez equivalente 
 
Aprendemos no curso de resistência dos materiais que a flecha em uma viga é função da 
sua rigidez ( produto do módulo de elasticidade do material pelo momento de inércia a 
flexão da seção) da carga, do vão livre e das condições de contorno da peça ( engastada 
ou apoiada). Para o concreto armado todas estas variáveis são válidas e a equação da 
flecha é calculada da mesma forma que na resistência clássica. Porém, o concreto possui 
uma característica que o difere dos demais materiais, como por exemplo, do aço. A 
rigidez ao longo da viga não é constante. O módulo de elasticidade pode ser considerado 
constate e é sempre igual a Ecs ( módulo secante), porém o momento de inércia varia com 
carga e a taxa de armadura que há na seção, e, portanto, não pode ser considerada bruta 
como no caso das estruturas de aço. 
Como já foi visto no capítulo 1 o concreto não possui resistência a tração, portanto 
sempre que uma seção submetida a flexão é carregada com um momento tal que a 
resistência a tração do concreto e atingida aparece na seção a primeira fissura. Esta 
fissura ocorre porque há a transferência de carga do concreto para a armadura, neste 
momento então não se pode mais dizer que a seção está trabalhando de forma “bruta”. Há 
uma parte da seção que está fissurada e não é capaz de atribuir rigidez a peça. Dizemos 
que a estrutura passou de “estádio”, ou seja, do estádio I, onde ainda as tensões são 
proporcionais às deformações e a estrutura não está fissurada, para o estádio II onde a 
estrutura fissurou e não se comporta segundo a lei de Hook, ou seja, não há um 
comportamento linear entre a tensão e a deformação. 
Com a diminuição da rigidez, a estrutura no estádio II , obviamente, irá se deformar mais, 
o segredo é saber o quanto mais e o quanto da inércia é perdida com a fissuração. Um 
pesquisador chamado Branson estudou o caso e formulou uma equação que nos permite 
estimar de forma aproximada uma rigidez equivalente ao longo de toda viga que se 
aproxima da situação real e é bastante segura para ser utilizada em dimensionamentos 
estruturais. A NBR 6118 recomenta a equação de Branson para a verificação do estado 
limite de deformação excessiva: 
 
 
 
ccsII
a
r
c
a
r
csEQ IEIM
M
I
M
M
EEI ≤






















−+





=
33
1)(
28 
 
Onde : 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto 
Ic é o momento de inércia da seção bruta dado por bwh
3/12, sendo bw a base da viga e h a 
altura total; 
III é o momento de inércia da seção fissurada, que deve ser calculado levando em conta a 
taxa de armadura e a altura real da linha neutra após a fissuração. Este cálculo será visto 
na disciplina de Concreto II, neste curso tomaremos de forma aproximada o valor de I II 
igual a 40% de Ic; 
Ma é o momento de serviço da estrutura calculado com a carga em ELS 
Mr é o momento que causa a primeira fissura na estrutura, chamado aqui de momento de 
fissuração. 
 
Cálculo do momento de fissuração 
 
 
 
e 
 
Onde: 
yt é a distância de fibra mais tracionada ao CG da seção e fct,m é a tensão média resistente 
a tração do concreto. 
A constante 1,5 é utilizada para seções retangulares, no caso de seções T (lajes 
nervuradas ou mesmo vigas calculadas como tal) esta constante é igual a 1,2 
 
Efeitos reológicos (retração e fluência) - deformação diferida no tempo 
 
Além do problema da fissuração, uma seção de concreto também sofre com o tempo a 
perda constante de água. A saída de água da seção produz retração hidráulica no concreto 
e esta retração aumenta o estado de fissuração, consequente mente diminuindo a rigidez 
ainda mais. Há também o efeito de fluência, que também está relacionado com a saída de 
água da estrutura, só que desta vez por causa da compressão constante provocada por 
cargas de longa duração. Estes dois fenômenos, principalmente a fluência aumentam em 
mito a deformação do concreto ao longo dos anos, este valor pode chegar a 3 vezes o 
valor da flecha imediata (elástica), portanto, devem ser considerados no cálculo da flecha, 
6
hbf51
Mr
6
hbw
y
I
como
y
If51
Mr
2
wmct
2
t
c
t
cmct ××=∴×≅= ,,
,
 :I estádio 
,
3
2
mct fck30f ,, =
29 
 
'ρ
ξ∆α
501f +
=
que passará a se chamar flecha diferida no tempo ou tempo infinito - f∞. De acordo com 
o item 17.3.2.1.2 da NBR6118, a determinação da flecha diferida no tempo para vigas de 
concreto armado, em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela 
multiplicação da flecha imediata - fe - pelo fator αf: 
( ) ef1f fα+=∞ , sendo , e bd
As='ρ 
 ξ é um coeficiente função do tempo, calculado pela expressão: )()( 0tt ξξξ −=∆ 
Sendo assim, com auxílio da tabela 17.1 da NBR 6118, tomamos o valor de t (tempo que 
se quer saber a flecha) e t0 (tempo que foi retirado o cimbramento) , que podem variar de 
0,54 para 15 dias até 2 para o tempo infinito. 
 
 
No momento em que estamos pré-dimensionado a estrutura ainda não sabemos a taxa de 
armadura, sendo assim a favor da segurança podemos, no pré-dimensionamento, definir a 
parcela 50ρ’ = 0. 
Neste curso trabalharemos com a retirada do cimbramento acontecendo sempre aos 15 
dias e o cálculo da flecha no tempo infinito, com isso a flecha final (diferida no tempo) 
será igual a: 
( ) eeef 462f01
5402
11f f,f
,
f ×=→





+
−+→+= ∞∞ α 
Ou seja, a flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior 
que a flecha elástica inicial - fe. 
 
Exemplo 1 
Calcular a flechafinal diferida no tempo para a viga abaixo e verificar se atende a 
prescrição de norma no que diz a deformação máxima, considerar o cimbramento retirado 
aos 15 dias e o fck do concreto igual a 25MPa. A carga já contempla o Peso próprio da 
viga. 
 
 
30 
 
 
 
Exemplo 2 
Pré-dimensionar a seção em função da flecha máxima admissível. Considerar o 
cimbramento retirado aos 15 dias e o fck do concreto igual a 30MPa. A carga não 
contempla o peso próprio da viga. Definir a altura h com a rigidez equivalente igual a 
Ecs.(0,4Ic) e verificar a flecha final utilizando a equação de Branson. 
 
 
 
Deformações em lajes retangulares de C.A. 
 
As lajes de concreto retangulares podem ser divididas em dois tipos, lajes armadas em 
uma direção e lajes armadas em duas direções. 
 
Lajes armadas em uma direção 
 
As lajes armadas em uma direção são aquelas cuja carga da laje é distribuída, 
predominantemente, em apenas duas vigas, ou seja, não se comportam como placas, se 
comportam como vigas. Um exemplo clássico de lajes armadas em uma direção é a laje 
conhecida como pré-fabricada. Neste tipo de laje há apoio apenas em uma direção, na 
direção das vigotas, esta laje é uma laje tipo nervurada (será estudada em concreto II), 
cujo todo peso (g + q) é descarregado nas vigotas que por sua vez descarrega nas vigas de 
apoio. Porém, existem também as lajes maciças armadas em uma direção, este fato 
ocorre sempre que a relação entre um dos lados da laje pelo outro é maior que 2. Este fato 
pode ser observado pela teoria das grelhas, desenvolvida por Marcus: 
31 
 
Dado três tipos de lajes com o mesmo carregamento P e apoiadas nas quatro bordas, se 
igualarmos as fechas elásticas no ponto central de cada laje, considerando uma faixa de 
1m para cada lado (vigas biapoiadas) teremos as flechas na direção 1 ( maior lado) e na 
direção 2 (menor lado), dadas pela equação clássica da resistência dos materiais: 
 
 
Sendo q1 o quinhão de carga na direção do maior lado e q2 o quinhão na direção de menor 
lado 
 
Para laje 3 temos: 
 
 
 
Para laje 2 temos: 
 
 
 
Para laje 1 temos: 
 
 
 
Observe que quanto maior a relação entre o lado de f1 e o lado de f2 menor a parcela de 
carga que sobra para q1, ou seja, quando a relação se distancia de 2, o quinhão de carga 
que descarrega na viga menor se aproxima de zero, por isso, a favor da segurança, sempre 
que esta relação for maior que 2 trataremos a laje armada em uma direção, jogando todo 
carregamento nas vigas maiores. Também para efeito de segurança não descarregaremos 
totalmente a viga menor, de forma prática atribuiremos a elas um carregamento de 25% 
EI384
Lq5
f
4
2
2 =EI384
Lq5
f
4
1
1 =
2
4
2
4
1
4
2
4
1
21 q1q10q10qEI384
10q5
EI384
10q5
ff =→=→=→=
21
4
2
4
1
4
2
4
1
21 q750q57q10qEI384
57q5
EI384
10q5
ff ,,
, =→=→=→=
21
4
2
4
1
4
2
4
1
21 q50q5q10qEI384
5q5
EI384
10q5
ff ,=→=→=→=
32 
 
da carga total. O cálculo da deformação neste tipo de laje é feito como em vigas 
utilizando as equações clássicas da resistência dos materiais para os três tipos possíveis 
de condições de contorno, e sempre na faixa de maior quinhão de carga, denominada aqui 
como sendo simplesmente lado a e o outro lado será o lado b. assim a relação b/a será 
sempre utilizada como parâmetro para o dimensionamento das lajes em uma e duas 
direções. 
Tipos de condições de contorno possíveis 
 
 
 
1º Caso: laje biapoiada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
4
ELS
e IE70384
LP5
××
=
,
f 
2º Caso: laje Apoiada e engastada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
4
ELS
e IE70185
LP
××
=
,
f 
3º Caso: laje biengastada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
4
ELS
e IE70384
LP
××
=
,
f 
Onde: 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto 
Ic é o momento de inércia da seção bruta dado por bh
3/12, sendo b um valor constante 
igual a 1m ou 100cm e h a altura da laje. 
 O valor 0,7 multiplicando a rigidez na equação é imposta para considerar a diminuição 
da rigidez em função da fissuração do concreto. Isso não impossibilita o cálculo exato, 
pela equação de Branson, como visto na seção anterior. Sendo que para isto a laje deverá 
ser calculada por um processo exato (elemento finitos, por exemplo) para se determinar 
as regiões em que o concreto está no estádio I e as regiões em que está no estádio II. O 
processo é muito laborioso e na maioria dos casos leva a resultados acima de 70% da 
rigidez, o que justifica a simplificação da NRB. 
33 
 
A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a 
flecha imediata ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência e 
retração, similar ao que foi feito nas vigas. 
Lajes armadas em duas direções ou em cruz 
São aquelas cuja relação b/a é menor que 2. Neste tipo de lajes o comportamento da 
estrutura é um comportamento de placa, diferente da viga. A rigidez a flexão e 
acompanhada pela rigidez a torção e o sistema trabalha em conjunto conferindo a 
estrutura uma rigidez muito maior que no caso das faixas em uma direção. As flechas são 
menores e podem ser calculadas pela equação diferencial de placa: 
 
 
 
 
Onde: 
w é o deslocamento vertical (transversal à placa) 
x e y são a direções principais 
q é a carga por unidade de área 
D é a rigidez da placa 
Não é difícil perceber que o cálculo de deformação em placas deste tipo é muito 
complicado e envolve uma matemática pouco prática. Sendo assim, foram desenvolvidas 
diversas tabelas de lajes para facilitar o cálculo. Dentre elas a clássica tabela de Marcus 
que utiliza-se da teoria das grelhas, conforme já visto anteriormente. E a Tabela de Bares, 
que utilizaremos neste curso. Bares deduziu os valores da equação da placa para diversas 
condições de contorno e relações de b/a, condensou seu trabalho em tabelas, tanto para o 
cálculo dos esforços quanto para calcular as flechas. 
 
( )2
3
4
4
22
4
4
4
112
Eh
D
D
q
y
w
yx
w
2
x
w
ν−
=→−=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
34 
 
Observe que Bares dividiu as lajes em função das condições de contorno ( engastada e 
apoiada) em 6 grupos A até F. 
 
 
Para utilizar a tabela de Bares é importante mostrar que o lado a nem sempre é o lado 
menor. Para os casos B e E o lado a pode ser o maior vão, porém, com maior número de 
engastes. Por isso a tabela possui valores de b/a menores que 1, limitado é claro a 0.55, 
pois abaixo deste valor a laje deve ser considerada armada em uma direção. 
A C
D
E
F
a ≤ b
a ≤ b
a ≤ ba a
b
b b 
B
a
b
35 
 
 
O valor da flecha imediata é calculada pela expressão: 
 





×
=
3
cs
4
ELS
i hE
aP
fef , observe que a tabela não foi feita com o valor do Momento de inércia 
Ic do concreto, sendo assim para considerarmos o efeito da possível fissuração da laje 
Tipo
de
Laje
b/a f i fi fi fi fi fi
0,55 - 0,009 - 0,008 0,005 -
0,60 - 0,011 - 0,010 0,006 -
0,65 - 0,014 - 0,012 0,007 -
0,70 - 0,017 - 0,014 0,009 -
0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 -
0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 -
0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 -
0,90 - 0,031 - 0,020 0,015 -
0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 -
1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015
1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016
1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018
1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019
1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020
1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021
1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022
1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023
1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024
1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025
1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026
1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027
1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027
1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027
1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028
1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028
1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028
1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029
1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,0291,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029
2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 29,000 0,029
O valor da flecha é dada por: 
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
Tabela - Flecha Elástica em Lajes Retangulares (Bar es)






×
×=
3
4
hE
pa
ff
cs
i
36 
 
utilizaremos o fator de minoração no cálculo do Ecs, multiplicando o valor do módulo de 
elasticidade por 0,7. A equação torna-se-a então: 






××
=
3
cs
4
ELS
i hE70
aP
f
,
fe 
A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a 
flecha imediata acima ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência 
e retração, similar ao que foi feito nas vigas. 
 
Condições de Contorno 
A utilização da tabela de Bares torna imprescindível o conhecimento das condições de 
contorno da estrutura. A simples colocação de uma armadura negativa sobre a união de 
duas lajes pode torna-la engastada, como também a falta destes torna a ligação rotulada, 
por consequência a laje fica apoiada. Porém, deve-se também levar em consideração a 
capacidade física de uma laje engastar a outra, lajes muito pequenas sempre estarão 
engastadas nas lajes maiores, no entanto o inverso não é verdadeiro as lajes maiores 
somente poderão ser consideradas engastadas se a dimensão da menor for suficiente para 
suportar os esforços deste engastamento. Segue abaixo uma regra prática de 
dimensionamento de lajes largamente utilizada: 
 
A regra mostra que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a 
distância D1 for maior que 1/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor 
poderá ser considerada engastada na maior. 
Outro fator importante é a existência de furos (aberturas) nas lajes. Estas aberturas 
também podem interferir no engastamento da laje. 
2
3
1
1 DD ≥
2
3
1
1 DD <
37 
 
 
 
 Observe que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a 
distância D1 for maior que 2/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor 
poderá ser considerada engastada na maior. 
Exemplo 3 
Calcular a flecha máxima para as lajes L1 e L2 do pavimento tipo do edifício comercial 
abaixo: 
 
Dados: 
Dados: 
fck = 25MPa 
Sc = 1,5 kN/m2 ; 
Piso = 1,2 kN/m2 ; 
h das lajes = 12cm 
 
 
 
Determinação de esforços em vigas 
 
As vigas são elementos prismáticos sujeitos a flexão e às vezes a flexo-compressão, 
podendo ser contínuas ou simplesmente biapoiadas. Nos cursos de resistência dos 
materiais ou mesmo estruturas (isostáticas e hiperestáticas), os modelos para cálculo já 
2
3
2
1 DD <
2
3
2
1 DD ≥
38 
 
vem com a carga distribuída ou concentrada. O aluno não precisa se preocupar de onde 
vêm aqueles valores. Porém, a partir de agora toda aquela teoria estudada será preciso 
para resolver uma situação real de cálculo estrutural e a carga distribuída ou concentrada 
terá que ser determinada. Neste curso veremos como se procede o carregamento de vigas 
sob lajes armadas em uma direção e em cruz, sendo que para esta última utilizaremos a 
tabela de lajes de Bares. 
 
Vigas que suportam lajes unidirecionais 
Imaginemos uma laje pré-moldada de um edifício residencial, conforme figura abaixo, 
cujas vigotas descarregam nas vigas V1 e V2: 
 
 
Corte AA 
 
39 
 
Em uma faixa de 1m, temos as seguintes áreas: 
Vigotas 2 seções de 129cm2 
Capa 400cm2 
Reboco 250cm2 
Piso e contrapiso 250cm2 
Valendo da tabela da NBR 6122 atribuímos a cada área seu peso característico e 
encontramos o peso total em 1m2 de laje, exemplo: 
Vigotas 0,0129m2 x 1m x 25 kN/m3 = 0,3225kN 
Capa 0,04m2 x 1m x 25 kN/m3 = 1kN 
Piso e contrapiso 0,03m2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,63kN 
Reboco teto 0,025m2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,525kN 
Enchimento de EPS possui peso desprezível 
Peso total 2,48kN/m2 
Como a laje descarrega em V1 e V2 basta calcular as reações de apoio de uma viga 
biapoiada na faixa de 1m, com o vão considerado, exemplo: 
 
 
As reações de apoio em V1 e V2 
2,48 x 3,5 /2 = 4,34 kN para cada viga. Como a carga foi calculada na faixa de 1m 
podemos afirmar que a laje descarrega na viga uma carga distribuída de 4,34kN/m. Além 
do peso das lajes devemos ainda considerar o peso próprio da viga (15 x 30), logo a carga 
total distribuída na viga será: 
 4,34 + (0,15 x 0,30 x 25) = 5,46kN/m. 
 
Lembrando que esta carga distribuída está em seus valores característicos, devendo para 
efeito de cálculo em ELU ser majoradas em 40%. 
Vamos continuar o exemplo adicionando à viga os esforços de sobrecarga de 1,5kN/m2 e 
uma parede de alvenaria de 2,70m de altura. 
40 
 
 
 Como a parede possiu 15cm de spessura e sua densidade é de 14kN/m3, podemos 
calcular o seu peso/m de viga: 
0,15m x 2,7m x 1m x 14kN/m3 = 5,67kN na faixa de 1m, ou simplesmente, 5,67kN/m 
Para adicionarmos a sobrecarga na estrutura temos que definir se a análise é em ELU ou 
ELS, então: 
Para ELS, como a edificação é residencial ψ2 = 0,3, logo : peso total é igual a 2,48 + 0,3 
x 1,5 = 2,93kN. A viga em ELS fica assim carregada: 
(2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 11,92kN/m 
Para o ELU o peso total é 2,48 + 1,5 = 3,98; como no ELU devemos majorar por 1,4, 
temos: 1,4 x [(3,98) x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 19,26kN/m 
Abaixo segue o esquema da viga V1 = V2 em ELS e ELU 
 
 
Uma observação importante é que por este método as vigas V3 e V4 não seriam 
submetidas a nenhum esforço das lajes, seriam carregadas apenas com seu peso próprio e 
uma eventual carga de alvenaria. Porém, estudos já mostraram que mesmo em lajes 
41 
 
unidirecionais, pré-moldadas ou maciças estas vigas acabam recebendo uma parcela da 
carga das lajes. Utilizaremos um método, a favor da segurança, que distribui para estas 
vigas 25% do carregamento das lajes. Portanto, considerando que sobre as vigas V3 e V4 
também há uma parede de alvenaria, o carregamento em ELS e ELU ficaria assim 
definido: 
ELS = (0,25 x 2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 8,08kN/m 
ELU = 1,4 x [0,25 x 3,98 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 11,95kN/m 
Abaixo segue o esquema da viga V3 = V4 em ELU e ELS 
 
 
 
Vigas que suportam lajes bidirecionais ou armadas em cruz 
Para este caso, da mesma forma que no cálculo da deformação, o efeito de placa que 
ocorre na estrutura distribui as cargas sobre as vigas através de quinhões diferentes em 
função das condições de contorno e da relação b/a. vários processos e tabelas são 
utilizados para este cálculo, a tabela de Bares, que utilizaremos utiliza o processo das 
carneiras plásticas. Por esta teoria admite-se que a ruína ocorra com a formação de linhas 
de plastificação que transformam a laje em um sistema hipostático. No caso de uma laje 
simplesmente apoiada nos seus quatro lados 
 
As charneiras dividem a lajes em quatro figuras, dois triângulos e dois trapézios, e 
considera-se que cada “figura” descarrega em uma viga, os trapézios descarregam nas 
vigas maiores (lado b) e os triângulos nas vigas menores (lado a). Em função das 
45º
42 
 
diferentes condições de contorno (engastada e apoiada) teremos diversos tipos de 
charneiras com trapézios e triângulos maiores ou menores. Bares ensaiou diversas lajes e 
com diversas condições de contorno e formulou a tabela abaixo: 
 
Tipo
de
Laje
ra = 0,144
ra = 0,25
b/a rb ra r`b r``b r`b r``b rb r`a r``a rb
0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158
0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174
0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190
0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206
0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222
0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238
0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254
0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268
0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281
0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,1440,250 0,292
1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303
1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312
1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,346 0,369 0,144 0,250 0,321
1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329
1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336
1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342
1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348
1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354
1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359
1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364
1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369
1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373
1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377
1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381
1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384
1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387
1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390
1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393
1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396
1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399
2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401
O valor da reação é dado por: R = r.p.a
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
Tabela - Reações de Apoio em Lajes Retangulares
r`a = 0,183
r``a = 0,317
43 
 
O conceito para identificação das lajes é o mesmo utilizado para a tabela de flechas, visto 
no capítulo anterior, e o cálculo da reação em cada viga é feito multiplicando o 
coeficiente “r” da tabela pela carga P distribuída na laje e pelo lado “a”. É importante 
frisar que sempre será o lado a, mesmo se estivermos verificando a carga das vigas no 
lado b, pois a tabela foi confeccionada tendo como base o comprimento do vão livre de a. 
Coeficientes r, r’ e r’’ 
Na tabela há três coeficientes distintos seguidos do índice a ou b, os índices 
correspondem ao lado que se está querendo verificar a reação, já os apóstrofos definem se 
há engastamento, dois apóstrofos, ou se não há engastamento, um apóstrofo. Quando os 
dois lados são iguais (engastado- engastado ou apoiado –apoiado), o coeficiente não leva 
apóstrofo, ou simplesmente linha, pois na engenharia não se utiliza o termo apóstrofo, e 
sim, “r linha” e “r duas linhas”. 
 
 
Prescrições da NBR 6118/2014 
 
Lajes maciças 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de 
piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. 
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem 
considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de acordo com o 
indicado na Tabela 13.2. 
rb
ra
r’’b
r’’a
r’b
r’a
44 
 
 
 
Exemplo 1 
Calcular o carregamento (w) em ELU e ELS das vigas V1, V2, V3, V4, V5 e V6. Sobre 
todas as vigas há uma parede de alvenaria de bloco cerâmicos com 15cm e altura de 
2,6m. 
 
Dados: 
Edifício Comercial 
Alvenaria 14kN/m3; 
Concreto 25kN/m3 
Sc = 2kN/m2 ; 
Piso = 1,1kN/m2 ; 
Revestimento teto 0,5kN/m2 
Parapeito na marquise 
1,5m de alvenaria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Exemplo 2 
Calcular o carregamento (w) em ELU e ELS nas viga V2. Sobre a viga há uma parede de 
alvenaria de bloco cerâmicos com 20cm e altura de 2,7m. 
Dados: 
Edifício Comercial 
Alvenaria 14kN/m3; 
Concreto 25kN/m3 
Sc = 2kN/m2 ; 
Piso = 1,2kN/m2 ; 
Revestimento teto 0,5kN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de esforços em lajes 
Para determinar os esforços nas lajes (momentos fletores em particular) faremos o mesmo 
processo utilizado para deformação, dividiremos as lajes em dois grupos, armadas em 
uma direção e em duas. Nas lajes unidirecionais a determinação dos momentos é similar 
ao cálculo de vigas, com a diferença que utilizaremos o método rígido plástico e não 
elástico como fazemos para as vigas. Este processo permite um dimensionamento mais 
econômico, pois permite uma rotação maior dos esgastamentos diminuindo a armadura 
para momentos negativos. Nas lajes convencionais de pequenos vãos (até 6m) os 
momentos negativos sempre são muito mais significativos que os positivos. Normalmente 
os momentos positivos acabam requerendo armadura mínima (como veremos mais 
adiante). Este fato justifica a consideração de plastificação dos engastamentos, pois neste 
caso os momentos positivos aumentam e os negativos diminuem, trazendo a economia 
requerida para os projetos. 
 
Segue abaixo as três situações possíveis e o formulário em regime rígido plástico para as 
lajes unidirecionais maciças. 
46 
 
 
 
No primeiro caso como não há momentos negativos o mento máximo é o mesmo do 
momento elástico: 
 
No segundo caso a laje é engastada e apoiada, o momento positivo Ma é dado por: 
 
 
O momento negativo e 50% maior que o positivo, logo: 
O terceiro caso a laje e duplamente engastada, com isso o momento positivo máximo é: 
 
 
O momento negativo e 50% maior que o positivo, logo: 
Vale lembrar que neste caso as reações de apoio também são diferentes das reações em 
regime elástico: 
Para o Caso 2 a reação no lado do engastamento RE = 0,613wL e no lado apoiado RL = 
0,387wL 
Para o Caso 1 e Caso 3, como não poderia ser diferente as reações permanecem iguais 
wl/2 . 
Nota: no caso de cálculo de lajes a carga w é a carga P calculada em ELS ou ELU. 
Nas lajes armadas em duas direções (bidirecionais) utilizaremos a tabela de Bares para 
lajes em regime rígido plástico 
8
wL
a
2
=M
3313
wL
a
2
,
M =
Ma51x ×= ,M
20
wL
a
2
=M
Ma51x ×= ,M
47 
 
 
Nesta tabela os coeficientes ma e mb são utilizados para calcular os momentos positivos 
nas direções a e b respectivamente. O momento de cálculo deverá ser a multiplicação do 
quadrado do vão a (sempre a, independente de o momento ser em a ou b) pela carga P 
dividida pelo coeficiente da tabela. Os momentos negativos são calculados majorando em 
50% os momentos positivos. 
Tipo
de
Laje
b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb
0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - -
0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - -
0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - -
0,65 - - 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - -
0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - -
0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - -
0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - -
0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - -
0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - -
0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - -
1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0
1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2
1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7
1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6
1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7
1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4
1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6
1,35 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4
1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4
1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6
1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9
1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,876,4
1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0
1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8
1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7
1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8
1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0
1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3
1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7
1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3
2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico
21 pa
m
M ×=
ii MX .5,1=
48 
 
Haverá casos em que as lajes adjacentes possuem momentos negativos diferentes em 
função das dimensões ou mesmo das condições de contorno. Nestes casos será 
considerado para efeito de cálculo das armaduras o maior momento, exemplo: 
 
 
 
 
 
 
No caso acima há um conflito de momentos sobre a viga V2, sendo assim para efeito de 
cálculo da armadura será utilizado o momento da laje 1 que é de 10kN.m, maior que o 
momento da laje 2. 
Nas lajes calculadas em regime elástico normalmente pode ser fazer uma redistribuição de 
momentos igualando os dois pela média ou com 80% do maior, porém, neste curso não 
abordaremos este assunto. 
 
Exemplo 1 
Para o pavimento tipo do edifício abaixo calcular os esforços nas lajes L1 L2 e na 
marquise. 
 
Dados: 
 
Alvenaria 14kN/m3; 
Concreto 25kN/m3 
Sc = 3kN/m2 ; 
Piso = 1,2kN/m2 ; 
Revestimento teto 0,6kN/m2 
Parapeito na marquise 
1,5m de alvenaria 
 
 
 
*** 
 
49 
 
LNMdMR
Tração
Compressão
x
Capítulo 4 – Flexão Normal Simples em Vigas de C.A. 
 
A flexão é dita normal quando o plano de ação do momento fletor (M) contém um eixo 
principal da seção transversal e é simples quando desacompanhada da força normal (N). 
Para o modelo de cálculo proposto neste curso cinco premissas devem ser consideradas: 
1) A verificação da resistência para uma dada seção deve ser feita em E.L.U – 
Estado Limite Último; 
2) As seções transversais permanecem planas após a flexão; 
3) A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a 
mesma do concreto em seu entorno; 
4) A resistência à tração do concreto deve ser desprezada; 
5) A deformação será considerada linear até a ruptura do material. 
 
Seja então uma barra prismática de concreto simples ( sem aço), de comprimento L e 
carga w, cuja seção retangular é dada por bw x h, teremos: 
 
 
Após a deformação aparecerá na seção uma região tracionada e uma região comprimida 
 
 
 
Enquanto a viga não atingir o momento de fissuração a distribuição de tensões na seção é 
proporcional às deformações σc ∝ εc e σs ∝ εs. Dizemos então, que a viga está em regime 
elástico linear, a linha neutra corta o centro da seção e a peça está no estádio I; 
 
w
L
Tração
Compressão
50 
 
Quando o momento fletor atuante atinge o valor do momento de fissuração a seção passa 
a trabalhar no estádio 2, e as tensões não são mais proporcionais as deformações, a linha 
neutra não passa mais pelo centro da seção. O valor de x ( profundidade da linha neutra 
para a ser menor que h/2. 
 
 
 
 
 
 
Como o concreto não oferece resistência à tração a tendência da peça é atingir o colapso, 
pois a medida que a linha neutra vai subindo a fissuração vai aumentando e com o 
aumento da fissuração a parte comprimida fica cada vez menor. Quando a seção 
comprimida atingir o limite de resistência a viga se romperá por flexão. Para resolver 
este problema coloca-se na região de tração máxima da seção uma barra de aço. 
 
 
 
 
 
Se continuarmos aumentando o momento na seção, haverá um istante em que o concreto 
na região mais comprimida atingirá o limite de deformação εc = 0,35%, daí para frente 
considera-se que a a tensão não mais aumentará no concreto e o diagrama terna se uma 
parábula-retângulo a seção esá agura no estádio III, ou seja em um estado limite último. 
 
 
 
 
 
 
Porque “em um ELU”, e não no ELU, o termo se justifica porque uma seção de concreto 
possui vários estados limites últimos, ou, vários domínios de deformação, como definido 
item 17.2.2 da NBR 6118: 
LN
MdMR
x < h/2
LN
MdMR
aço
x < h/2
σs
σc
LN
MdMR
aço
x < h/2
σs
σc máximo
51 
 
 
A figura da norma mostra as cinco possibilidades de ruptura 
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva 
Reta “a” : tração uniforme; 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; 
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto 
εc < εcu e com o máximo alongamento permitido). 
Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto: 
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εsyd); 
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs ≥ εyd); 
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; 
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; 
Reta “b”: compressão uniforme. 
 
Observe que para cada reta que divide os domínios há um limite alcançado para um dos 
materiais, ora do aço ora do concreto. E, também, um ponto entre os domínios 3 e 4 que 
o aço atinge seu limite de escoamento (εs = εsyd) no mesmo instante que o concreto atinge 
seu limite de ruptura (εc = εcu). Esta é considerada uma situação ideal para o 
dimensionamento de peças sobre flexão simples, pois aproveita o máximo de cada 
material e ainda mantém a seção dúctil, fato importantíssimo para garantir a segurança na 
ruptura. Quando as peças são dimensionadas neste ponto (entre os domínios 3 e 4) e dito 
52 
 
que a peça é normalmente armada e serão peças normalmente armadas que estudaremos 
neste curso. 
 
Ductilidade 
Antes de prosseguir na dedução das equações que possibilitam o equilíbrio da seção, 
abriremos um parêntese para entendermos o conceito de ductilidade. 
Segundo a Wikipédia “a ductilidade é a propriedade que representa o grau de deformação 
que um material suporta até o momento de sua fratura. Materiais que suportam pouca ou 
nenhuma deformação no processo de ensaio de tração são considerados materiais 
frágeis.” Pois é isso mesmo um material frágil se rompe com facilidade, de forma 
abrupta, “sem aviso”, já um material dúctil se deforma muito antes de romper, ou seja, 
“nos avisa antes de quebrar”. Para atender a esta característica de “informar que vai 
romper” é que as estruturas de concreto devem ser dimensionadas com alta ductilidade. 
Voltando a seção fletida, imaginemos que após a colocação ao aço o momento continue a 
subir. Para que ocorra o equilíbrio da seção a força que traciona o aço (Rst) multiplicada 
pela seção de aço e o braço de alavanca Z deve ser igual a força que comprime o concreto 
multiplicada pela áreas de concreto acima da linha neutra e o braço de alavanca Z, ou 
seja: 
 
Rcc.bw.x.Z = Rst.As=Md 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
bw é a largura da seção; 
Z a altura do braço de alavanca; 
Md o momento de cálculo solicitante; 
As a áreas de aço; 
x é a profundidade da linha neutra; e, 
Rcc a força no concreto e Rst a força no Aço. 
 
LN
MdMR
aço
x < h/2
Rst
σc máximo
Rcc
Z
53 
 
Matematicamente haverá sempre um par Rst e Rcc que equilibrarão a seção. Isso nos leva 
a falsa interpretação que podemos colocar aço nas vigas indefinidamente. No entanto, à 
medida que aumentamos a quantidade de aço tracionado na seção a linha neutra vai 
descendo e a ruptura vai ficado cada vez mais frágil, pois o concreto irá romper antes do 
escoamento do aço (ruptura sem