Aula sobre flexão composta

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Dimensionamento de seções
retangulares à flexão
composta
Dimensionamento de seções
retangulares à flexão
composta
Disciplina: Concreto Estrutural II
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
Considerações Gerais
 Domínio 1: flexo-tração com pequena excentricidade (baixo
momento fletor)
 Domínios 4a e 5: flexo-compressão com pequena
excentricidade (baixo momento fletor)
d
1%
1
yd
0,2% 0,35
%
2
h
3/7 h
3
4
4a
5
d”
d’
Alongamento Encurtamento
Configurações deformadas no estado limite último.
 Domínio 1: flexo-tração com pequena excentricidade (baixo
momento fletor)
 Domínios 4a e 5: flexo-compressão com pequena
excentricidade (baixo momento fletor)
2
d
1%
1
yd
0,2% 0,35
%
2
h
3/7 h
3
4
4a
5
d”
d’
Alongamento Encurtamento
Configurações deformadas no estado limite último.
FLEXÃO COMPOSTA
NORMAL
3
Tração axial ou uniforme
 Concreto fissurado, sem momento fletor, logo:
ydsd fAN 
Concreto Estrutural II 4
Flexo-tração com pequena
excentricidade
dh
d”
d’
As2
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d
Rs2d
s1d = 1%
s2d  yd
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
x
-
+
Tração com pequena excentricidade (L.N. de - até x<d’’)
5
dh
d”
d’
As2
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d
Rs2d
s1d = 1%
s2d  yd
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
x
-
+
Tração com pequena excentricidade (L.N. de - até x<d’’)
d
d
N
M
e 
Flexo-tração com pequena
excentricidade
 Equações de equilíbrio:
MAs2 = 0   
"dd
"dh5,0eNR dd1s 
 
yd
d1s
1s f
RA 
MAs1 = 0  
Normalmente faz-se s2d  yd , ou seja, s2d = fyd
6
 Equações de equilíbrio:
MAs2 = 0   
"dd
"dh5,0eNR dd1s 
 
yd
d1s
1s f
RA 
MAs1 = 0   
"dd
eh5,0dNR dd2s 
 
yd
d2s
2s f
RA 
Normalmente faz-se s2d  yd , ou seja, s2d = fyd
Flexo-tração com pequena
excentricidade
Limite entre flexo-tração de pequena e de grande
excentricidade (x = d’’ e As2 = 0)  0eh5,0d 
Logo pequena excentricidade é quando
2
c
e f , onde cf é a
distância entre as armaduras (se d’= d’’).
Exemplo 1
7
Limite entre flexo-tração de pequena e de grande
excentricidade (x = d’’ e As2 = 0) 
Logo pequena excentricidade é quando
2
c
e f , onde cf é a
distância entre as armaduras (se d’= d’’).
Exemplo 1
Flexo-tração com grande excentricidade
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
Caso de grande excentricidade (L.N. d’’ < x < d)
8
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
Caso de grande excentricidade (L.N. d’’ < x < d)
 dh5,0eNM dsd 
Flexo-tração com grande excentricidade
 Domínios 2 e 3
0,8 X
0,85 fcd
d – 0,4 X
Rcd
R sd
Resultantes de tensões.
x8,0bf85,0R wcdcd 
L.N.: 

 
68,0
6,11125,1
d
x
,
onde
Concreto Estrutural II 9
0,8 X
0,85 fcd
d – 0,4 X
Rcd
R sd
Resultantes de tensões.
L.N.: 

 
68,0
6,11125,1
d
x
,
onde 2
wcd
sd
dbf
M
Flexo-tração com grande excentricidade
 Domínios 2 e 3
braço de alavanca:  4,01
d
z
Por equilíbrio de forças: dcdsd NRR 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura:
Assim, tem-se:
Concreto Estrutural II 10
braço de alavanca:
Por equilíbrio de forças: dcdsd NRR 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura:
dRzRM cdcdsd 
Assim, tem-se:
yd
d
yd
sd
f
N
fd
MAs 
Flexo-tração com grande excentricidade
 Domínio 4
Semelhante ao caso de flexão simples, bastando
acrescentar o esforço normal à equação de equilíbrio:
, com L o limite entre os domínios 3 e 4
Concreto Estrutural II 11
Semelhante ao caso de flexão simples, bastando
acrescentar o esforço normal à equação de equilíbrio:
2
wcdLd1 dbfM  , com L o limite entre os domínios 3 e 4
d1sdd2 MMM 
Flexo-tração com grande excentricidade
 Domínio 4
L.N.: limite de ductilidade imposto pela
NBR 6118 / 2003:
para fck  35 MPa => e
para fck  35 MPa => e
Concreto Estrutural II 12
L.N.: limite de ductilidade imposto pela
NBR 6118 / 2003:
para fck  35 MPa 5,0dx  => 2720,0L  e
80,0L 
para fck  35 MPa 4,0dx  => 2285,0L  e
84,0L 
Flexo-tração com grande excentricidade
 Domínio 4
Resultante no concreto: dbf68,0R Lwcdcd 
Armadura de tração :   yd
d
yd
d2
ydL
d1
s f
N
f"dd
M
fd
MA 
Armadura de compressão :
Deformação na armadura:
13
Resultante no concreto:
Armadura de tração :   yd
d
yd
d2
ydL
d1
s f
N
f"dd
M
fd
MA 
Armadura de compressão :   sd
d2
s
'"dd
M
'A 
Deformação na armadura: %35,0
d
"dd
x
"dx
' cdsd 

Exemplo 2
Flexo-compressão com grande
excentricidade
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
Caso de flexo-compressão normal de grande excentricidade.
Concreto Estrutural II 14
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
Caso de flexo-compressão normal de grande excentricidade. 'dh5,0eNM dsd 
Flexo-compressão com grande
excentricidade
 Domínios 2 e 3
L.N.: 

 
68,0
6,11125,1
d
x
Braço de alavanca:
Sendo
Assim, tem-se :
15
L.N.:
Braço de alavanca:  4,01
d
z
Sendo 2
wcd
sd
dbf
M
Assim, tem-se :
yd
d
yd
sd
f
N
fd
MAs 
Flexo-compressão com grande
excentricidade
 Domínio 4
Semelhante ao caso de flexão simples, bastando
acrescentar o esforço normal à equação de equilíbrio:
, com L o limite entre os domínios 3 e 4
L.N.: limite de ductilidade imposto pela
NBR 6118 / 2003:
16
Semelhante ao caso de flexão simples, bastando
acrescentar o esforço normal à equação de equilíbrio:
2
wcdLd1 dbfM  , com L o limite entre os domínios 3 e 4
d1sdd2 MMM 
L.N.: limite de ductilidade imposto pela
NBR 6118 / 2003:
Flexo-compressão com grande
excentricidade
 Domínio 4
Armadura de tração :   yd
d
yd
d2
ydL
d1
s f
N
f"dd
M
fd
MA 
Armadura de compressão :   sd
d2
s
'''dd
M
'A 
Deformação na armadura:
Exemplo 3
17
Armadura de tração :
Armadura de compressão :   sd
d2
s
'''dd
M
'A 
Deformação na armadura: %35,0
d
"dd
x
"dx
' cdsd 

Exemplo 3
Conferir o exemplo em:
http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/java/fcn/Flexcomposta.htm
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção totalmente comprimida
dh
d”
d’
As1
As2
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs2d
Rs1d

s2d

s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
Seção totalmente comprimida ( ou .). 18
dh
d”
d’
As1
As2
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs2d
Rs1d

s2d

s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
Seção totalmente comprimida ( hx8,0  ou h25,1x  .).
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção totalmente comprimida
 Equações de equilíbrio:
hbf85,0R wcdcd 
MAs2 = 0 
MAs1 = 0 
19
 Equações de equilíbrio:
MAs2 = 0     
"dd
dh5,0Rh5,0deNR
'
cdd
d1s 

MAs1 = 0     
"dd
"dh5,0Re"dh5,0NR cddd2s 

Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção totalmente comprimida
Normalmente faz-se s1d e s2d ’yd , ou seja, s1d e s2d
= f’yd (infinitas LNs). Assim,
e
Relações válidas quando As2  0, ou seja,
20
Normalmente faz-se s1d e s2d ’yd , ou seja, s1d e s2d
= f’yd (infinitas LNs). Assim,
yd
'
d1s
1s f
RA  e
yd
'
d2s
2s f
RA 
Relações válidas quando As2  0, ou seja,
 "dh5,0
N
hbf85,01ee
dwcd
0 


 
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção totalmente comprimida
Valores de f 'yd.para sd = 0,2 %
AÇO f 'yd (MPa)
CA-25 217
CA-50 420
CA-60 420
Exemplo 4a
21
Valores de f 'yd.para sd = 0,2 %
AÇO f 'yd (MPa)
CA-25 217
CA-50 420
CA-60 420
Exemplo 4a
Conferir o exemplo em:
http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/java/fcn/Flexcomposta.htm
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
h
d”
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
As2
d
0,8x
Seção parcialmente comprimida (0,8 x < h ou seja, x < 1,25 h, e
ainda,x  d)
22
h
d”
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
As2
d
0,8x
Seção parcialmente comprimida (0,8 x < h ou seja, x < 1,25 h, e
ainda,x  d)
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
A resultante de tensões no concreto atua no centro da seção
(bw x 0,8x): x8,0bf85,0R wcdcd 
Posição da L.N. (MAs1 = 0 )



23
A resultante de tensões no concreto atua no centro da seção
(bw x 0,8x):
Posição da L.N. (MAs1 = 0 )
    "dx4,0Re"dh5,0N cdd 
   0
bf
e"dh5,0N
x"d68,0x272,0
wcd
d2 
   


  2
wcd
d
"dbf
e"dh5,0N
272,0
15625,125,1"dx
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
 Equação de compatibilidade:
24
 Equação de compatibilidade:
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
 Equação de compatibilidade:
Domínio 4 a: %35,0c 
    xdxdx c''d1sd2s 
Domínio 5:
Reta b:
25
 Equação de compatibilidade:
Domínio 4 a:
    xdxdx c''d1sd2s 
Domínio 5: h
7
3
a%2,0c 
     



h
7
3
x
%2,0
dxdx ''
d1sd2s
Reta b: %2,0d2sd1sc 
50A-CAparaMPa420f yd'sd 
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
 Equação de compatibilidade:
 d  x < h  domínio 4a  %35,0
x
"dx
d1s

 h  x < 1,25 h  domínio 5 
, com
26
 Equação de compatibilidade:
 d  x < h  domínio 4a  %35,0
x
"dx
d1s

 h  x < 1,25 h  domínio 5  %4,1
h3x7
"dx
d1s 

d1s
d1s
1s
RA  , com cddd1s RNR 
Flexo-compressão com pequena
excentricidade
 Seção parcialmente comprimida
 Limite entre pequena e grande excentricidade



 

  5625,125,1
d
d
N
dbf272,0dh5,0e
2
''
d
2
''
wcd''
1
Exemplo 4b
27
 Limite entre pequena e grande excentricidade



 

  5625,125,1
d
d
N
dbf272,0dh5,0e
2
''
d
2
''
wcd''
1
Exemplo 4b
Conferir o exemplo em:
http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/java/fcn/Flexcomposta.htm
Compressão axial ou uniforme
 Equações de equilíbrio:
hbf85,0'fAN wcdydsd 
yd
wcdd
s
'f
hbf85,0NA 
Exemplo 5
Concreto Estrutural II 28
 Equações de equilíbrio:
yd
wcdd
s
'f
hbf85,0NA 
Exemplo 5
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Empregados para obter armadura simétrica
 Flexo-compressão com pequena excentricidade e seção
totalmente comprimida:
dh
d”
d’
As1
As2
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs2d
Rs1d
s2d
s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
Seção totalmente comprimida ( ou ) 29
dh
d”
d’
As1
As2
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs2d
Rs1d
s2d
s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
x
Seção totalmente comprimida ( hx8,0  ou h25,1x  )
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Flexo-compressão com pequena excentricidade e seção
totalmente comprimida:
 Equações de equilíbrio
d2s2sd1s1swcdd AAhbf85,0N 
 Equação de compatibilidade
 Adicionalmente, introduz-se a condição,
30
 Equações de equilíbrio
d2s2sd1s1swcdd AAhbf85,0N 
   "ddAh5,0dhbf85,0M0M d1s1swcdsdA 2s 
 Equação de compatibilidade
dx"dxh3x7
014,0 d2sd1s



 Adicionalmente, introduz-se a condição,
2s1s AA 
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Flexo-compressão com pequena excentricidade e seção
totalmente comprimida:
Sistema de 4 equações com as seguintes incógnitas: As = A's, s1d , s2d,
e x. A solução para vários casos resulta em ábacos baseados nas seguintes
variáveis adimensionais:
e
e obtém-se como resposta a taxa mecânica de armadura,
31
Sistema de 4 equações com as seguintes incógnitas: As = A's, s1d , s2d,
e x. A solução para vários casos resulta em ábacos baseados nas seguintes
variáveis adimensionais:
hbf
N
cd
d e 2
cd
d
hbf
M
e obtém-se como resposta a taxa mecânica de armadura,
hbf
'fA
cd
yds
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Equações de equilíbrio para armadura assimétrica
a) Duas armaduras tracionadas:
21 
  

 
h
d
2
1
21
32
a) Duas armaduras tracionadas:
  

 
h
d
2
1
21
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Equações de equilíbrio para armadura assimétrica
b) Uma armadura tracionada e outra comprimida:
 flexo-compressão:
yd
2s
2
yd
1s
1x ffh
d68,0 
 flexo-tração:
33
b) Uma armadura tracionada e outra comprimida:
 flexo-compressão:
yd
2s
2
yd
1s
1x ffh
d68,0 


 


 

 

 
h
d
2
1
ffh
x4,0
2
1
h
d68,0
yd
2s
2
yd
1s
1x
 flexo-tração:
yd
2s
2
yd
1s
1x ffh
d68,0 


 


 

 

 
h
d
2
1
ffh
x4,0
2
1
h
d68,0
yd
2s
2
yd
1s
1x
Emprego de ábacos para
dimensionamento
 Equações de equilíbrio para armadura assimétrica
c) Duas armaduras comprimidas:
 para 0,8x  h:
yd
2s
2
yd
1s
1x ffh
d68,0 
 para 0,8x > h:
34
c) Duas armaduras comprimidas:
 para 0,8x  h:
yd
2s
2
yd
1s
1x ffh
d68,0 


 


 

 
h
d
2
1
ffh
x4,0
2
1
h
d68,0
yd
1s
1
yd
2s
2x
 para 0,8x > h:
yd
2s
2
yd
1s
1 ff
85,0 


 


 
h
d
2
1
ff yd
1s
1
yd
2s
2
EXEMPLOS DE ÁBACO PARA
FLEXÃO COMPOSTA
NORMAL 35
Exemplo 6
36
37
Detalhamento na flexão composta
normal
 Flexão simples: proporcional à força de tração na armadura. Se
Z é constante (altura constante), usa-se DMF.
 Flexão-composta reta com grande excentricidade (vigas):
dcdsd NRR  ou sddsd eNMM  



tração
compressão
onde, es é a excentricidade da força Nd em relação à armadura tracionada.
Flexo compressão: Flexo tração:
 Flexão simples: proporcional à força de tração na armadura. Se
Z é constante (altura constante), usa-se DMF.
 Flexão-composta reta com grande excentricidade (vigas):
38
ou 



tração
compressão
onde, es é a excentricidade da força Nd em relação à armadura tracionada.
Nd Md
es
d
d'
Flexo compressão: 'dh5,0ees  Flexo tração: dh5,0ees 
Detalhamento na flexão composta
normal
 Roteiro para flexo compressão:
a) Desenhar o diagrama sddsd eNMM 
b) Decalagem no diagrama Msd
c) Na compressão, há redução de As  redução de um momento fictício
Msd =  d fyd As (significa uma translação do eixo horizontal)
d) Detalhamento para o diagramaMsd - Msd
39
 Roteiro para flexo compressão:
a) Desenhar o diagrama
b) Decalagem no diagrama Msd
c) Na compressão, há redução de As  redução de um momento fictício
Msd =  d fyd As (significa uma translação do eixo horizontal)
d) Detalhamento para o diagrama Msd - Msd
Detalhamento na flexão composta
normal
 Roteiro para flexo compressão:
Md
Md
Diagrama para detalhamento à flexao composta reta com tração.
40
 Roteiro para flexo compressão:
Md
Md
Diagrama para detalhamento à flexao composta reta com tração.
FLEXÃO COMPOSTA
OBLÍQUA
41
Flexão Composta Oblíqua
 Conceituação
 Esforço normal fora dos eixos de simetria
X
Y
Nd
e
e
x
y
Concreto Estrutural II 42
X
Y
Nd
e
e
x
y
Flexão Composta Oblíqua
 Ocorrência: Principalmente em pilares
– Falta de simetria da seção em estudo
– Falta de simetria do arranjo das armaduras
– Atuação excêntrica das cargas
X
Y
Nd
 Ocorrência: Principalmente em pilares
– Falta de simetria da seção em estudo
– Falta de simetria do arranjo das armaduras
– Atuação excêntrica das cargas
Concreto Estrutural II 43
X
Y
Nd
Flexão Composta Oblíqua
 Cálculo exato
 Não é possível
se aplicar o
princípio da
superposição
dos efeitos
(estado limite
último)
Nd
X
X
Y
Y
h
h
h
x
x
x
x
d
d
e
e
y
y
y
c
cd
si



 Cálculo exato
 Não é possível
se aplicar o
princípio da
superposição
dos efeitos
(estado limite
último)
Concreto Estrutural II 44
Nd
X
X
Y
Y
h
h
h
x
x
x
x
d
d
e
e
y
y
y
c
cd
si



Flexão Composta Oblíqua
 Cálculo exato
 Equações de equilíbrio
 
n
1=i
sidsiA+
Acc
dydx
cddF=dN
  
Acc
siXsidsiA+dydxXcd=xedF=xdM
n
1=i
  
Acc
siYsidsiA+dydxYcd=yedF=ydM
n
1=i
 Cálculo exato
 Equações de equilíbrio
Concreto Estrutural II 45
 
n
1=i
sidsiA+
Acc
dydx
cddF=dN
  
Acc
siXsidsiA+dydxXcd=xedF=xdM
n
1=i
  
Acc
siYsidsiA+dydxYcd=yedF=ydM
n
1=i
Flexão Composta Oblíqua
 Cálculo exato: solução do problema
 Conhecidos:
 A sua forma geométrica e dimensões;
 A área de armadura e sua distribuição nas seções;
 A resistência de cálculo do concreto;
 O diagrama tensão-deformação do aço da armadura;
 Fixam-se x e  da LN e, para esta posição:
 Traça-se o diagrama de deformação para toda a seção;
 Calculam-se as deformações nos centros das barras de
armadura;
 Determinam-se as tensões de cálculo no centro das barras
da armadura
 Calculam-se Nu, Mux e Muy.
 Cálculo exato: solução do problema
 Conhecidos:
 A sua forma geométrica e dimensões;
 A área de armadura e sua distribuição nas seções;
 A resistência de cálculo do concreto;
 O diagrama tensão-deformação do aço da armadura;
 Fixam-se x e  da LN e, para esta posição:
 Traça-se o diagrama de deformação para toda a seção;
 Calculam-se as deformações nos centros das barras de
armadura;
 Determinam-se as tensões de cálculo no centro das barras
da armadura
 Calculam-se Nu, Mux e Muy. 46
Flexão Composta Oblíqua
 Cálculo por tentativas
• Fixa-se  e varia-se  e x
• Calcula-se (u, xu, yu)
• Compara com (d, xd, yd):
– Menor  Insegura;
– Maior  Antieconômica;
– Igual  Bom aproveitamento da seção.
 Cálculo por tentativas
• Fixa-se  e varia-se  e x
• Calcula-se (u, xu, yu)
• Compara com (d, xd, yd):
– Menor  Insegura;
– Maior  Antieconômica;
– Igual  Bom aproveitamento da seção.
Concreto Estrutural II 47
Flexão Composta Oblíqua
 Emprego de ábacos
para dimensionamento
 Superfície de
interação
Concreto Estrutural II 48
Flexão Composta Oblíqua
 Emprego de ábacos para dimensionamento
 Adotam-se:
 Dimensões da seção;
 Aço da armadura;
 Arranjo geométrico da armadura;
 Posições relativas das barras;
 Determinam-se d, xd e yd;
 Pelo diagrama, determina-se 
 Emprego de ábacos para dimensionamento
 Adotam-se:
 Dimensões da seção;
 Aço da armadura;
 Arranjo geométrico da armadura;
 Posições relativas das barras;
 Determinam-se d, xd e yd;
 Pelo diagrama, determina-se 
49
hbf
N
cd
d 2
cd
d
1 hbf
M 2
cd
d
2 bhf
M
hbf
'fA
cd
yds
EXEMPLOS DE ÁBACO PARA
FLEXÃO COMPOSTA
OBLÍQUA 50
Exemplo 7
Concreto Estrutural I - 2003 51
Concreto Estrutural I - 2003 52
Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
 Processos para seções retangulares
 Flexão oblíqua substituída por flexões normais
 Muito imprecisos
 Resultados podem ser antieconômicos
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
 Processos para seções retangulares
 Flexão oblíqua substituída por flexões normais
 Muito imprecisos
 Resultados podem ser antieconômicos
Concreto Estrutural II 53
Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
1.1. Flexão composta normal
Substituição da flexão composta normal por uma compressão
centrada:
 A seção transversal do pilar deve ser retangular ou
circular;
 A armadura deve ser simétrica;
 A força normal reduzida  deve ser igual ou superior a
0,7. Concreto Estrutural II 54
1.1. Flexão composta normal
Substituição da flexão composta normal por uma compressão
centrada:
 A seção transversal do pilar deve ser retangular ou
circular;
 A armadura deve ser simétrica;
 A força normal reduzida  deve ser igual ou superior a
0,7.
Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
Força normal equivalente:


 
h
e1NN real,sdeq,sd e 0M eq,sd 
Onde,
55
Força normal equivalente:


 
h
e1NN real,sdeq,sd e
Onde,
ccd
sd
Af
N
hN
M
h
e
real,sd
real,sd
  hd8,001,039,0
1
'
Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
 s1  se s < 1 seções retangulares
 s se 1  s  6 seções retangulares
  = 6 se s 6 para seções retangulares
  = -4 para seções circulares
Arranjo de armaduras caracterizado pelo parâmetro s.
nh
nv
nh
56
 se s < 1 seções retangulares
 se 1  s  6 seções retangulares
  = 6 se s 6 para seções retangulares
  = -4 para seções circulares
1n
1n
v
h
s 

Arranjo de armaduras caracterizado pelo parâmetro s.
nh
nv
nh
Exemplo 8
Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
1.2. Flexão composta oblíqua
Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode
ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação:
57
1.2. Flexão composta oblíqua
Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode
ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação:
1=
M
M
+
M
M
yy,Rd
y,Rd
xx,Rd
x,Rd









Flexão Composta Oblíqua
 Processos Aproximados (NBR 6118:2007, item 17.2.5)
Onde,
MRd,x; MRd,y - são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão
oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y,
da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd
igual à normal solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja
obter;
MRd,xx; MRd,yy - são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos
referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de
NRd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade
de armadura em estudo;
 - é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o
valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de
suasporcentagens. Em geral pode ser adotado = 1, a favor da
segurança. No caso de seções retangulares poder-se adotar = 1,2. 58
Onde,
MRd,x; MRd,y - são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão
oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y,
da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd
igual à normal solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja
obter;
MRd,xx; MRd,yy - são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos
referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de
NRd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade
de armadura em estudo;
 - é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o
valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de
suas porcentagens. Em geral pode ser adotado = 1, a favor da
segurança. No caso de seções retangulares poder-se adotar = 1,2.