APOSTILA COMPLETA DE MATEMÁTICA

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1 
 
 
 
 
Apostila de Matemática 
 
UNIDADE 1 
 
1 – Operações com frações 
2 – Divisão de frações 
3 – Operações com números relativos 
4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 
5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 
6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo) 
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) 
9 – Equação do 2º grau completa 
10 – Radicais 
11 – Operações com radicais 
12 – Exponenciais 
13 – Propriedade distributiva 
14 – Produtos notáveis 
15 – Diferença de quadrados 
16 – Trinômio ao quadrado 
17 – Binômio ao quadrado 
18 – Fatoração 
19 – Racionalização de expressões numéricas 
20 – Racionalização de expressões algébricas 
21 – Solução de equações irracionais 
22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas 
 
 
UNIDADE 2 matemática aplicada 
 
UNIDADE 3 estatistica 
 
UNIDADE 4 regras de três 
 
UNIDADE 4 razões e proporções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
1 – Operações com frações 
 
 O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum: 
 
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
c
d
bd
a
b
bd












 = 
bd
bcda 
 
 
Ex. 1) 
3
2
 + 
7
5
 = 
73
5
7
73
2
3
73






 





 
 = 
21
1514 
 = 
21
29
 
 
Ex. 2) 
5
4
 - 
7
2
 = 
75
2
7
75
4
5
75






 





 
 = 
35
1028 
 = 
35
18
 
 
 
 Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. 
 
 
b
a
 + 
d
c
 + 
f
e
 = 
fdb
e
f
fdb
c
d
fdb
a
b
fdb


















 = 
fdb
edbcfbafd )()()( 
 
 
 
Ex. 3) 
7
5
 + 
5
2
 - 
4
3
 = 
457
3
4
457
2
5
457
5
7
457






 





 





 
 = 
 
 = 
720
335228520


 = 
140
51
 
 
 
Resolver: 
 
a) 
7
2
 + 
9
1
 b) 
7
3
 - 
5
1
 c) 
11
8
 - 
5
4
 
 
d) 
7
3
9
2
4
1

 e) 
11
4
8
3
9
4

 f) 
5
4
9
2
3
5

 
 
 
 3 
2 – Divisão de frações 
 
d
c
b
a

 É só inverter a 2ª fração e multiplicar 
 
d
c
b
a

 = 
c
d
b
a

 = 
bc
ad
 
 
 
Ex. 1) 
7
4
3
2

 = 
4
7
3
2

 = 
12
14
 = 
6
7
 
 
 
Ex. 2) 
3
4
8
5
 = 
4
3
8
5

 = 
32
15
 
 
 
Ex. 3) 
2
1
7
4
8
5
5
2


 = 
72
78
85
5528




 = 
14
1
40
41
 = 
1
14
40
41

 = 
20
287
 
 
 
Resolver: 
 
a) 
5
2
23
11

 b) 
9
8
3
4

 c) 
8
1
7
3

 
 
 
d) 







7
4
3
2
  







2
1
4
15
 e) 







5
1
3
7
  







8
7
3
4
 
 
 
 
3 – Operações com números relativos 
 
Ex. 1) -2 + (-3)  -2 – 3 = - 5 
 
Ex. 2) +5 – (-8)  5 + 8 = 11 
 
Ex. 3) (-2)  (-3) = 6 
 
Ex. 4) (-3)  5 = -15 
 
Ex. 5) (-2)2 = (-2)  (-2) = 4 
 
 4 
Ex. 6) (-3)3 = (-3)2  (-3) = 9  (-3) = - 27 
 
Resolver: 
 
a) -9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 = 
 
c) 7 – (-8) = d) -14 – (-12) – 24 = 
 
e) (-3)  (-8) + 25 = f) 9  (-2)  (-3) = 
 
g) (-5)2 = h) (-2)5 = 
 
 
4 – Resolução de equações do 1º grau 
 
Ex. 1) ax = b , divide os 2 membros por “a” 
 
 ax/a = b/a  x = b/a 
 
Resolver: 
 
a) 3x = -7 b) 15x = 3 
 
 
5 – Equações do 1º grau (continuação) 
 
Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x) 
 6x + 8 – 8 = 26 – 8  6x = 18  x = 18/6  x = 3 
 
Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x) 
 
 3x – 12 + 12 = 12 – 13  3x = -1  x = -1/3 
 
Resolver: 
 
a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9 
 
c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0 
 
 
6 – Equações do 1º grau (continuação) 
 
Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros) 
 
 5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7 
 
 3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros) 
 
 3x – 13 + 13 = 7 + 13  3x = 20  x = 20/3 
 
Resolver: 
 
 5 
a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x 
 
c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4 
 
e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x 
 
 
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 
 
Ex. 1) x2 = 4  
2x
 = 
4
 (extrai a raiz de ambos os membros) 
 
 X =  2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas) 
 
 
Prova: (x)2 = (+2)2  x2 = 4 
 As 2 raízes satisfazem 
 (x)2 = (-2)2  x2 = 4 
 
Resolver: 
 
a) 3x2 = 12 b) x2 = 7 
 
 
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) 
 
Ex. 1) x2 – 2x = 0 (põe x em evidência) 
 
 x – 2 = 0  x = 2 
Resulta (x – 2)x = 0 
 x = 0  x = 0 
 
Resolver: 
 
a) 4x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x = 0 
 
c) 3x2 + 7x = 0 d) x2 – 5x = 0 
 
 
9 – Equação do 2º grau completa 
 
Forma: ax2 + bx + c = 0 
 
Solução:  = b2 – 4ac ,  > 0 (solução real, 2 raízes diferentes) 
 = 0 (sol. real, 2 raízes iguais) 
 
Fórmula: x = 
a
b
2
 ou x’ = (-b +  ) / 2a x” = (-b -  )/2a 
 
 
Ex. 1) 2x2 + 5x + 2 = 0 
 
 6 
  = 
22425 
 = 
1625 
 = 
9
 = 3 
 
Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2 
 
 x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2 
 
Resolver: 
 
a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 
 
c) 3x2 + 11x + 8 = 0 
 
 
10 – Radicais 
 
n mA  A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando 
 
n mA = A
m/n (fórmula geral) 
 
Ex. 1) 
4
 = 2 22 = 2
2/2 = 21 = 2 
 
Ex. 2) 
3 27
 = 
3 33
 = 3 
 
Ex. 3) 
5 1024
 = 5 102 = 2
10/5 = 22 = 4 
 
Ex. 4) 
 2x
 = 
x
  
x
 = 
2x
 = x 
 
 
11 – Operações com radicais 
 
Ex. 1) 
x
  
x
 = 
2x
 = x2/2 = x 
 
Ex. 2) 
x
  
y
 = 
yx
 
 
Ex. 3) 
3 8
 = 3 32 = 2 
 
Ex. 4) 
81
64 = 
2
2
9
8 = 
2
9
8





 = 
9
8
 
Ex. 5) 
2n
n
x
x = )2(  nnx = 2x = x 
 
Ex. 6) 
16
 = 42 = 2/42 = 2 
 
Resolver: 
 7 
 
a) 3 729 b) 3 64 c) 5 107 
 
d) 4 81 e) 2)2( x f) 81 
 
 
12 – Exponenciais 
 
Ax - A é a base, x é o expoente 
 
P1) Ax  Ay = Ax+y 
 
P2) Ax / Ay = Ax-y 
 
P3) (Ax)y = Ax.y 
 
P4) (A . B)x = AxBx 
 
P5) 
x
x
A
A

1
 e x
B
A






 = 
x
x
B
A
 = Ax . B-x 
 
Ex. 1) 27 = 23+4 = 23 . 24 = 8  16 = 128 
 
Ex. 2) (22)3 = 26 = 23+3 = 23 . 23 = 8  8 = 64 
 
Ex. 3) (2  3)3 = 23  33 = 22  2  32  3 = 4  2  9  3 = 216 
 
Ex. 4) 
20
23
5
5 = 5
23-20 = 53 = 52  5 = 25  5 = 125 
 
 
Resolver: 
a) 210 b) 
2
4
7
7
 c) 
4
2
3





 d) 16  2-3 
 
 
13 - Propriedade distributiva 
 
1) A  (B + C) = A  B + A  C 
 
2) (A  B)(C + D) = (A  B)(C + D) = A(C + D)  B(C + D) 
 
Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x 
 
Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2)= 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6 
 
 8 
Resolver: 
 
a) (x - 
7
)(x + 
7
) b) (a + b)(a + b) 
 
c) (2 + 
3
)(2 - 
3
) d) (2 + 
x
)(3 + 2
x
) 
 
 
14 – Produtos notáveis (A + B)2 
 
 Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: 
 
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2 
 
(A – B)2 = (A – B)(A – B) = A2 – 2AB + B2 
 
Ex. 1) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 
 
Resolver: 
 
a) (x – 3)2 b) (a + 2)2 c) (x + y)2 
15 – Diferença de quadrados 
 
x2 – a2 = (x – a)(x + a) 
 
Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) 
 
Ex. 2) x2 – 3 = (x - 
3
)(x + 
3
) 
 
Ex. 3) x2 – A = (x - 
A
)(x + 
A
) 
 
 
Resolver: 
 
a) (
3
 - 2)(
3
 + 2) = b) x2 – 16 = 
 
c) x2 – 7 = d) (2 + 
3
)(2 - 
3
) = 
 
 
16 – Trinômio ao quadrado 
 
(a + b + c)2 = [(a + b) + c)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 
 
 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 
 
 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
Resolver: 
 
a) (x + y + 1)2 b) (x – y +2)2 
 
 
17 – Binômio ao cubo 
 9 
 
(a + b)3 = (a + b)2  (a + b) 
 
 
 
 
 
18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses) 
 
Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) 
Ex. 2) x
x
 + x2 = x(
x
 + x) 
Ex. 3) 
)2)(3(
)3(4)3(5 22


xxx
xxxx
 = 
  
  23
435)3(


xxx
xxxx
 = 
2
4155


x
xx
 = 
2
159


x
x
 
Resolver: 
a) 
12
48 2


x
xx
 = b)     
 13
1213


x
xxx
 = 
c)  
 ba
ba


2 = d)  
 2
42


x
x
 = 
 
19 – Racionalização de expressões numéricas 
 Consiste em tirar uma raiz do denominador. 
Ex. 1) 
n A
1
  
n n
n n
A
A
1
1

  
n A
1
 = 
n n
n n
A
A 1 = 
A
A
n n 1 
 
Ex. 2) 
2
1
 = 
2
2
  
2
1
 = 
2
2 
 
Ex. 3) 
3
3 2
3 3
3 2
33 2
3 2
3
93
3
39
3
39
3
9
3
3
3
9

 
 
Resolver: 
 10 
 a) 
3
3
 b) 
3 5
3
 c) 
4 3
2
 d) 
3 9
1
 
20 - Racionalização de Expressões Algébricas 
Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para 
resultar numa diferença de quadrados. 
 
Ex.1) 
1)1(
)()(
)()(
2 












 x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x 
 
Ex. 2) 
)32(3
1
)32(3
22
)32(3
)32(
32
)32(
3
32
3
2











 
 
Resolver : 
a) 
21
1

 b) 
x1
1
 c) 
1
2
x
 
 
d) 
73
7

 e) 
ba 
1
 f) 
23
1

 
 
21 - Solução de Equações Irracionais 
 
Ex.1) 
123 2  x
  isola a raiz 
 
24 2  x
  eleva ao quadrado ambos os membros 
 
216 2  x
  
142 x
  
14x
 
 
Resolver: 
a) 
xx 
 b) 
12  x
 c) 
315 2  x
 
 
 11 
d) 
xx 2
 e) 
xx  1
 
 
22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas 
 
 
Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação. 
 
)25
)11223


yx
yx
 
 
a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1). 
Então 3(5 - y) + 2y =12  y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2. 
 
 
b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1) 
 Então 
 3x + 2y = 12 
 -3x - 3y = -15 
 
 - y = - 3  y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2. 
 
Resolver: 
 
a) 2x + y = 12 b) 3x + 2y = 4 
 x + 7y = 19 x - y = 2 
 
c) 2x + 3y = 8 d) x - y = 3 
 3x + 4y = 11 2x + y = 9 
 
 
 Respostas das Questões 
 
 
1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ; 
 
 e) 343/792 ; f) 147/135 
 
2) a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e) 256/371 
 
3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ; e) 49 ; 
 
 f) 54 ; g) 25 ; h) –32 
 
4) a) x= -7/3 ; b) x=1/5 
 
5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5 
 
6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ; e) x= -5/2 
 
7) a) x= 2 ; b) x = 
7
 
 
8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ; 
 12 
 
 d) x=0 e x= 5 
 
9) a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/3 
 
11) a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3 
 
12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2 
 
13) a) x2 – 7 ; b) a2 + 2ab +b2 ; c) 1 ; d) 2x + 7
x
 + 6 
 
14) a) x2 – 6x +9 ; b) a2 + 4a + 4 ; c) x2 +2xy + y2 
 
15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x -
7
)(x + 
7
) ; d) 1 
 
16) a) x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x2 + y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y 
 
18) a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2 
 
19) a) 
3
 ; b) 3 
3 25
/5 ; c) 2
4 27
/3 ; d) 
3 81
/ 9 
 
20) a) 
2
 - 1 ; b) (1 + 
x
) / (1 - x) ; c) 2 (
x
 -1 ) / (x -1) 
 
 d) (7/2).(3 - 
5
) ; e ) (
a
 - 
b
)/ (a2 – b2 ) ; f) 
3
 - 
2
 
 
21) a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x = 
5
 
 
 d) x=4 e x= 1 ; e) x= ( 1
5
 )/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
UNIDADE 2 
 
 
1 - INTRODUÇÃO 
 
NÚMEROS REAIS 
 
 O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto 
infinito é representado pelo símbolo R. 
 Os números reais podem ser fracionários 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 2,7893 . 
 
NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS 
 
 São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros 
positivos ou negativos. 
 
Ex.: 0
1
 , 1
1
 , 1
2
 , 2
1
 , 1
3
 , 2
7
 , 21
13
 , ... , etc. racionais positivos 
 
ou 
 
 - 1
2
 , - 5
7
 , - 2
3
 , - 41
17
 , ... , etc. racionais negativos 
 
 
NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS 
 
 São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por exemplo: 
 
 
2
 , 
3
 , - 
5
 ,  , etc. 
 
VARIÁVEIS E CONSTANTES 
 
 Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um 
conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...) 
 Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é denominado 
de constante. Ex.: , e, 
3
 , etc. 
 Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos , que são 
definidos a seguir. 
 Seja a e b números reais, tais que a < b. 
 
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 
 nos negativos nos positivos 
 14 
1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por (a,b), é o conjunto de todos os números reais 
x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo. 
 
 
 
 
 
2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números reais x, 
tais que a  x  b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo. 
 
 
 
 
 
3 - Intervaloaberto à direita, de a até b, representado por [a,b) é o conjunto de números 
reais x, tal que a  x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence. 
 
 
 
 
4 - Intervalo aberto à esquerda (a , b]. b  ao intervalo. a  ao intervalo. 
 
 
 
OUTROS TIPOS DE INTERVALOS 
 
 Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos + e - 
(infinito). 
 Os intervalos 
 
1 - De a até + , representado por (a, +) é o conjunto de todos os números reais x tal que 
x > a. 
 
 
 
 
 
2 - De - até a é (-, a) é o conjunto dos números reais x tal que x < a. 
 
 
 
3 - De a até +, representado por [a, +) é o conjunto de todos os números reais x, tais 
que x  a. 
 
 
 
 
 
4 - De - até a, (-,a] , x  a. 
 
 
 
 
 (        ) 
 a b 
 
 [        ] 
 a b 
 
 [        ) 
 a b 
 
 (        ] 
 a b 
 
 ( 
 a 
 
 
 +
 
a  ao intervalo - a 
 ) 
 [ 
 a 
 
 
 +
 
a  ao intervalo 
 
 - 
 
 
 a 
a  ao intervalo ] 
 15 
5 - O intervalo (-, +) é o conjunto dos números reais R. 
 
 
 Noção de dependência ou funcionalidade. 
 
 Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas grandezas 
(variáveis), por exemplo: 
 
1) A área de uma circunferência A =  r2 depende de seu raio. A depende do r, que podemos 
dizer A é função de r, ou ainda A = f(r). 
 
2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso). 
 
3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P) 
 
Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação 
entre variáveis, esse conceito é o de função. 
 
1.1 - FUNÇÕES REAIS 
 
 Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x 
corresponda, mediante uma certa lei, um valor para y. 
 Pode-se dizer que função é uma regra ou correspondência que associa um valor da 
variável y a cada valor da variável x. 
 Uma função é representada por 
 
 y = f(x) 
 
onde 
 
x  variável independente, que pode variar livremente 
y  variável dependente 
 Lê-se: y é igual a f de x (ou função de x). 
 
 
Domínio da variável independente 
 
 O domínio da variável independente é o conjunto de valores numéricos que essa 
variável pode assumir. 
 
Domínio da função 
 
 Ou campo de existência (definição) de uma função é o conjunto de pontos onde a 
função é definida ou existe (tem valor finito e real). 
 Se a função for do tipo y = 
)(xP
 , para que ela exista, a raiz deve ser positiva para 
ser real , então a condição é P(x)0 . 
 Se a função for do tipo y = P(x)/Q(x) , para que ela exista, não deve haver zero no 
denominador, então a condição é Q(x)0 . 
 E finalmente, se função for do tipo y = Q(x) /
)(xP
 , para que ela exista, não pode dar 
zero no denominador e a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)>0 . 
Entretanto, existem exceções para este caso, por exemplo se P(x)=x2 + 3, seu valor será 
sempre positivo para qualquer valor de x. 
 
 16 
Exemplos: Achar o campo de existência (domínio) das funções: 
 
a) y = 2x + 3 
 
 
 
 
 
b) y = f(x) = x2 + 2 
 
Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o 
domínio da função é D: (-,). 
 
 c) y = 
3
2x 
 
 
agora x só não pode ter o valor 2, porque neste caso, y  , logo o domínio é (-, 2) e (2, 
+). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
 O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy, onde 
x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f. 
Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a restrição x  
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim, o 
gráfico a seguir não representa uma função. 
 
 
 
 
 
Y =2x
2
 , x 0 
(1,2) 
+ y (ordenada) 
(4,32) 
1 2 3 4 + x 
(abcissa) 
O 
 X Y 
 
0 0 
1 2 
2 8 
3 18 
4 32 
5 50 
y P 
Q 
O 
mesma abcissa 
x 
x 
-  0 + 
 
 
x pode assumir qualquer valor real que, y existe 
e é finito.Seu domínio é (-, +) ou - < x < + . 
-        )(       +  
 2 
 17 
 
 
 
 
 
Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem possuir a 
mesma abcissa (x). 
 
 
 
Domínio via gráfico 
 
 O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 
 
 A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a função y = 
x  1
 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o gráfico 
de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo). 
 
Solução: 
 
 Como y = f(x) = 
x  1
 , a condição de existência da função é que x - 1  0 para que 
a raiz exista no campo dos números reais. 
 Assim, x - 1  0  x  1 ou D: [1 ,  ). Para se fazer o gráfico da função 
construi-se a tabela, respeitando este dominio. 
y 
f 
O 
domínio de f 
 
 
x abcissas 
ordenadas 
y 
Imagem de f f 
 
 
 O y 
 18 
 
Q 
 
 
Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma restrição é 
dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a função existe. 
 
Exemplo: Dada a função 
 y = 3x + 1 
 
x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a função 
 
 y = 
4  x
 (Condição de existência 4 - x  0) 
 
já que 
4  x
 é definido somente para 4 - x  0, isto é, x  4, o domínio de f é o intervalo 
(-, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , ). 
 A raiz quadrada tem dois sinais,  , mas para que y seja uma função toma-se só um 
sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y  0. 
 
x y 
  
-2 
6
 = 2,45 ... 
-1 
5
 = 2,24 ... 
0 2 
1 
3
 = 1,73 
2 
2
 = 1,41 
4 0 
 
Domínio de f , D : [1,} 
e I : [ 0,  } 
 
y 
x 
Imagem de 
f 
Gráfico 
de f 
1 
0,5 
 x y 
 
1,00 0,00 
1,25 0,50 
1,50 0,71 
1,75 0,87 
2,00 1,00 
2 
Domínio = R 
Imagem = R 
y 
y = 3x + 1 
1 
x 
 19 
 
 
 
 
 
 O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe. Neste 
exemplo x existe de (- a 4]. 
 A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y  0 então [0, ). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Achar o domínio e a imagem da função 
 y = f(x) = 
1
1 xDomínio da função: (- 4]  
é o domínio de x  - < x  4. 
Imagem da função: [0, ) pois 
y  0. 
xy  4
 
y 
2 
O 
4 x 
 X Y 
-3 1 / 4 = 0,25 
-2 1 / 3 = 0,33 
-1 1 / 2 = 0,50 
0 1 
1  
2 –1 
3 –1/2 = -0,50 
4 –1/3 = -0,33 
5 –1/4 = -0,25 
y 
1 
 -3 -2 -1 
 1 2 3 4 5 x 
A condição de existência é 1-x  0, que fornece os 
dois intervalos para o domínio e a imagem : 
Domínio: (-, 1) e (1, ) 
Imagem : (-, 0) e ( 0, ) 
x = 1 (singularidade ) 
 20 
Exercício proposto 
 
1) Achar o domínio e imagem da função y = 1
x
 (hipérbole) 
Condição de existência x  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALOR ABSOLUTO 
 
 Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por x, é definido 
por 
 
 x se x  0 
 x = 
 -x se x < 0 
Exemplo: 
 
 7 = 7 pois 7 > 0, -3 = - (-3) = 3 pois -3 < 0 
 
O valor absoluto de um número real é sempre positivo. 
 
PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO 
(Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >,  , < e  ) 
 
Suponha que X e Y são números reais ou funções. 
 
1) X + Y  X + Y desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3 
 (igual) e X = -2, Y = 1 (maior) 
2) X = Y se e somente se X =  Y ( ou X = Y e X = - Y ) 
 
3) X < Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y ) 
 
 
 
4) X  Y se e somente se X  Y ou X  -Y 
 
 
 
 
Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão 
 
 3x + 2  5 
 
Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se 
y 
x 
D : (-, 0) (0, ) 
 
I : ( -, 0) (0, ) 
 
x = 0 (singularidade) 
Neste caso, os valores de X 
estão internos aos de Y -Y Y 
X 
Neste caso, os valores de X 
estão externos aos de Y -Y Y 
X 
 21 
 3x + 2  5 e 3x + 2  -5 
Isolando x  3x  5 - 2 Isolando x, 3x  -5 - 2 
 3x  3 3x  -7 
 x  1 x  - 7
3
 
 solução existe no domínio (-, -7/3] e [1, ) 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Achar o conjunto 
solução da expressão 2x + 3 < 3 
 
Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações 
 
2x +3 > -3 e 2x + 3 <3 
2x>-6 ou 2x < 0 ou 
x >-3 x < 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão  x -2 = 5 
 
Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x = 7 e x 
= -3 satisfazem a equação dada. 
 
Exemplo 4: Estudar a função y = x 
 
 A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o 
conjunto dos números reais R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESIGUALDADES (do 2o grau) 
 
 As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do conjunto dos 
reais. A teoria vale para os sinais (>,  ,< e ) . Exemplo, dada a desigualdade 
 
 a x2 + b x + c > 0 , as soluções x1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação do 2
o 
grau ,ou x1 = (- b + 
acb 42 
)/2a e x2 = (- b - 
acb 42 
)/2a 
mas o conjunto de soluções é 
 D : (- , x1 ) e (x2 , ) , (o conjunto é extra-raizes) 
y = x 
y 
D : (-,) 
 I : [0 , ) 
 x 
 
-7/3 1 
  x x  
x 
-3 0 
 22 
 
 
 
 
 Se a desigualdade for negativa, ou seja, 
 
 a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes) 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Achar o domínio da função y = 
42 x
 
 
Solução: x2 – 4  0 , logo D : (- , -2] e [2 ,  ) 
 
TIPOS DE FUNÇÃO 
 
 As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as 
algébricas, exponenciais e as trigonométricas. 
 
Funções Pares e Ímpares 
 
a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x pertence ao 
domínio de f. 
b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x pertence 
também ao domínio de f. 
Exemplos: 
 
a) Pares 
 
 g(x) = x2 f(x) = x4 + 2 
 
pois g(-x) = (-x)2 = x2 = g(x) f(-x) = (-x)4 + 2 = x4 + 2 = f(x) 
b) Ímpares 
 
 g(x) = x3 f(x) = 2x 
 g(-x) = (-x)3 = -x3 = -g(x) f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x) 
 
 Funções Polinomiais 
 
 São funções da forma 
 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anxx n > 0 e ai , reais 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2 
 
Funções Racionais (razão) 
 
 São funções definidas por 
 
x x 
X1 X2 
x 
X1 X2 
 23 
 f(x) = 
p x
q x
( )
( )
 
 
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q  0. 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = 3 1
4 1
2
5 3
x x
x x
 
 
 é uma função racional 
 
 
Funções Algébricas 
 
 São resultantes de operações algébricas comuns. 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = x + 1 , g(x) = 
x
x 2 5
 etc. 
Exercícios 
 
 Classificar as funções abaixo: 
 
1) f(x) = x4 + x 
 
Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial 
 
2) g(t) = 2t2 + 3t 
 
Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3-t = 2t2 + 3t = g(t) par 
 
3) f(x) = x
x
2 4
2


 (função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2) 
 
RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES 
 
Tipo de Função Exemplo 
Par f(-x) = f(x) y=x4  y = (-x)4 = x4 
Ímpar f(-x) = - f(x) y = x3  y = (-x)3 = -x3 
Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x
2+..+anx
n y = 3 +5x-7x2 e outros. 
Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x3+ 4x) / (x2+2x) 
Algébricas Todas as anteriores. 
Trigonométricas y = senx , cosx , etc. 
Logarítmicas y =lnx , ou y = lgax 
Exponenciais y = ef(x) ou y = af(x) 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 24 
As funções trigonométricas são 6, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co-
tangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan (ou tg) , sec, csc, cot. Antes de 
estudar essas funções vamos estudar as medidas de ângulos. 
 As medidas de ângulos podem ser em graus e radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num círculo completo s = r = 2r   = 2 r
r
 = 2 ou 360o equivalente a 2 
(radianos), e 180o =  = 3,1416 ... 
 
Graus 30o 45o 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 
Radianos 

6
 

4
 
3
 
2
 2
3
 3
4
 5
6
 
 
3
2
 
2 
 
 O grau é uma unidade sexagesimal , isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60 
em 60. Exemplo : 1o = 60(minutos de arco) e 1 = 60 (segundos de arco). 
 
 Ex.1 Transformar 35,758o em grau, minutos e segundos. 
 Solução: 
 = 35o + (0,75860=45,48)parte inteira + (0,4860=28,8) 
 
 = 35o 45 28,8 
 
 Ex.2 Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35o 45 28,8 para a forma decimal 
.Solução: 
 
 = 35o + 45/60 + 28,8/(6060) = 35,758o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
História da Trigonometria 
 
 A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e 
montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um 
triângulo com o lado maior(hipotenusa) coincidindocom o raio de um círculo de raio=1, e com 
isso, montou-se uma tabela de valores x e y (que seriam 1) para cada ângulo. Para valores 
O 
s 
 
 (radianos) = s
r
 
1 rd  57,3º 
 1rd=57,3
o
 
 s = r r 
Se s = r , o ângulo compreendido por s é de 1 radiano 
r 
 y 
 
Q Y 
 
 x y y/x 
1 - - - 
2 - - - 
 25 
de X e Y (fora do círculo) maiores do que 1, e um mesmo ângulo, os lados seriam 
proporcionais e isso permitiria calcular esses valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O nome sen foi dado para a medida y, e para a medida x foi dado cos. A relação 
entre as duas grandezas y e x é chamada de tan . 
Assim a altura da árvore pode ser calculada, considerando que 
 
 
 
 
 
Exemplo: se a distância da árvore fosse 30m e o ângulo de visada fosse de 30o , então h = 30 
. 0,500/0,866 = 17,4m , onde o valor 0,50 = y = sen e o valor 0,86 para x que foram medidos 
(com uma régua) no círculo de raio unitário, para o ângulo de30o . 
Atualmente , os valores sen, cos e tan não são mais medidos, pois, podem ser 
calculados com precisão por funções desenvolvidas pelos matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição das funções trigonométricas. 
 
 Usa-se o círculo trigonométrico (de raio unitário) para representar as funções, e o 
ângulo aqui é representado por “t” . 
 
 
 
 
y = x tan tan = y/x = medido no círculo de r=1, para cada ângulo 
 
cott 
reta do ângulo 
(x ,y) 
y 
t 
tant 
x = cost  sect = 1/x 
y = sent  csct = 1/y 
y/x = tant  cott = x/y = 1/tant 
 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores de senx, cosx e tanx em graus e radianos 
 
RADIANOS 0 

6
 
4
 
3
 
2
 
 
GRAUS 0 30º 45º 60º 90º 180º 
sen 0 
1
2
 
2
2
 
3
2
 
1 0 
 27 
cos 1 
3
2
 2
2
 1
2
 
0 -1 
tg 0 
3
3
 
1 
3 
 0 
 
 O domínio das funções seno e co-seno é o conjunto dos reais, R. Os domínios das 
outras 4 funções são os conjuntos de valores de t para os quais o denominador da fração que 
a define é diferente de zero. Veja os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os dois gráficos mostram que - < x < , ou seja, o domínio das funções seno e co-seno é 
R (conjunto dos reais). 
 Analisar o domínio das funções y = tanx e y = cotx. 
 
 
 
 
 
 
y 
Imagem : [-1,1] 
 
 
y = senx x = t 
1 
-1 
 -2 - 
3
2

 - -

2
 0 

2
  
3
2

 2 x 
 -
3
2

 - - 
2
 0 
2
  
3
2

 X 
y=tanx 
y = cosx 
1 
-1 
 -2 - 
3
2

 - -

2
 0 

2
  
3
2

 2 x 
Imagem [-1,1] 
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = tanx = 
sen
cos
x
x
 , cosx = 0 em x =  
2
 ,  3
2
 etc I : (-, ) 
 
x   k 
2
 ; sendo k = 1,3,5,.... ímpar (y   nestes pontos) 
 
 Para a função y = cotx tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
então x deve ser diferente de (0,  , 2....),ou x  k , k = 0, 1, 2, 3, ... 
 
 
 
 
Funções: 
 
y = secx = 
1
cos x
 
 
 
 
 
 - - 
2
 
2
  X 
-1 
1 
y = secx 
y 
-2 -
3
2

 - - 
2
 0 
2
  
3
2

 2 X 
 
y=cotx 
 
senx = 0 em 0 ,  , 2 
y   nestes pontos 
y = cotx = 
cos
sen
x
x
 
 29 
 
 
 
 
 
 
 
 cosx = 0 em x  k 
2
 , para k = 1, 2, 3 ... 
 
Domínio da função: D: { x  k 
2
} e I = (-, -1] , [1, ) 
 
Função y = cscx = 
1
sen x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identidades trigonométricas 
 
As identidades trigonométricas são relações obtidas no círculo trigonométrico de raio unitário e 
são bastante úteis nas aplicações matemáticas. 
 
 sen(-t) = -sent (função ímpar) 
 ver gráficos 
 cos(-t) = cost (função par) 
 
 sen2t + cos2t = 1 (ver definição), demonstrar 
 
 tg2t + 1 = sec2t 
 
 cot2t + 1 = csc2t 
 
 sen(t + s) = sent coss + cost sens 
 
 sen(t - s) = sent coss - cost sens 
 
 cos(t + s) = cost coss - sent sens 
 
 cos(t - s) = cost coss + sent sens 
 
y 
 
y = cscx 
- - /2 0 /2  X 
x  k k = 0, 1, 2, ... 
 
 30 
 tan(t + s) = 
tan tan
tan tan
t s
t s

1
 tan(t + s) = 
sen( )
cos( )
t s
t s


 
 tan(t - s) = 
tan tan
tan tan
t s
t s

1
 para t ou s  k
2
 
 
 sen2t = 2sent cost sen2
t
2






 = 1
2
 (1 - cost) 
 cos2t = cos2t - sen2t cos2
t
2






 = 1
2
(1 + cost) 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES INVERSAS 
 
 Dada uma função y = f(x), a inversa dessa função é definida como g(x) = x = f-1(y) e 
trocando y por x. 
A imagem de g está contida no domínio de f. 
O domínio de g está contida na imagem de f. 
 
 Exemplo 2: (função inversa) y = g(x) 
g(x) = x2 +1  x2 = g(x) – 1  x = 
1y
  y = 
1x
 
Direta : g(x) = x2 +1 , D : (- , )  mas a restrição da raiz faz com que elas sejam 
inversa só na região : D [0 , ) e I : [1, ) , pois 
Inversa : f(x) = 
1x
 , x-1  0 , D: [1,) e I : [0 , ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções inversas trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: a) sen(t + ) Resp. – sent ; 
 b) sen 
2






s
 Resp. coss ; 
c) cos 
2






s
 Resp. coss 
 
 
y =f(x) 
 1 2 3 4 x 
y=g(x) 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 1 
- -/2 /2  
 x 
Diretas 
-1 
y=senx 
1 
D: (-, ) só é inversa na região 
D: [-/2 , /2 ] e de imagem I: [-1, 1] 
Inversas 
 -1 1 x 
 
y=sen-1x 
/2 
-/2 
D: [-1, 1] é o domínio da inv. 
I: [-/2 , /2 ] é sua imagem.31 
 
 
 
 
 
As funções inversas trigonométricas são bastante úteis quando se tem, por exemplo o 
seno de um ângulo e se quer saber o valor do ângulo. Ex. sen = 0,5 , portanto, sen-1=30º 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Se x = by , então y é chamado de logaritmo de x na base b e escreve-se logaritmo 
de x como logx ou lgx ou lgbx . 
 
 
 
 y = lgb x b = 10 é a base decimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando b = e  2,7182818 ..., esta base é chamada de natural e representa-se por y = ln x 
ou LN(x) . Quando o logarítmo , lg = “ln” a base é sempre "e" , isto é , ln x = lgex ou 
logarítimo de x na base "e" . 
 
 
 
A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa. 
 
 y=exp(x) 
 
 y 
 y = lnx 
 1 
 
 
 
 Direta : y= exp(x)=e
x 
 D : (- ,  ) 
 I : (0,  ) 
 
Inversa : y = lnx 
 D : (0 ,  ) 
 I : (- ,  ) 
 
f(x)= lgbx 
se y = 0 
x = b
0 
= 1 
Sabemos que 10
2
 = 100 , 10
3
 
=1000, e 2
3
 = 8 , 2
4 
= 16 , etc. 
mas e se tivéssemos um 
número fracionário do tipo 
10
0,30103
 = N , quanto seria N ? 
Neste caso, y=0,30103 é o 
log10 N. Os logaritmos se 
aplicam para resolver equações 
do tipo:7
x
 = 3, achar x. 
Solução: Aplica a propriedade 
lgA
x
 =x.lgA , ou na 
equação dada , 
x.
3lg7lg 1010 
 , 
x =
7lg/3lg 1010
, 
x= 0,477121255/0,845098040 
x = 0,5645750344 
 
(Os lg10 toma-se na 
calculadora) 
 
 
 y 
1 b 
Propridades dos logarítmos(naturais ou 
outros): 
NgMgNMg bbb  ).()1
 
 
NgMgNMg bbb  )/()2
 
 
NgpNg b
p
b  .)()3 
 
 32 
 
 0 1 x 
 
 
(A inversa de y = ex , é obtida aplicando lg=ln , ou lny=lnex =xlne=x, e trocando x por y 
,resultando y =lnx) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 
Estatistica Básica 
 
 
PROBABILIDADE 
 
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. 
Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da 
probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um 
número em um experimento aleatório. 
 
 33 
Experimento Aleatório 
 
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados 
diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e 
possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. 
 
Espaço Amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que 
representa o espaço amostral, é S. 
Exemplo: 
 
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído 
pelos 12 elementos: 
 
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, 
B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 
 
2. Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem; 
b) B e C ocorrem; 
c) Somente B ocorre. 
 
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos 
Resolução: 
 
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos 
de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; 
 
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: 
 
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} 
 
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: 
 
C={R1,R3,R5}. 
 
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} 
 
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5} 
 
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; 
 
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2} 
 
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ 
 
Conceito de probabilidade 
 
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade 
de ocorrer um evento A é: 
 34 
 
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras 
diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares 
têm probabilidades iguais de ocorrência. 
 
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é 
sempre: 
 
Propriedades Importantes: 
 
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: 
P( A ) + P( A' ) = 1 
 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento 
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 
 
Probabilidade Condicional 
 
Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o 
evento que se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s 
sua probabilidade de ocorrência alterada. 
 
Fórmula de Probabilidade Condicional 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). 
 
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; 
 
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; 
 
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido 
E1 e E2...En-1. 
 
Exemplo: 
 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma 
de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a 
segunda ser azul? 
Resolução: 
 
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: 
 
A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30 
 
B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29 
Assim: 
 
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 
 
 
 
 35 
Eventos independentes 
 
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer 
um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
 
Exemplo: 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez 
e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda 
ser preta? 
 
Resolução: 
 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e 
azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A 
e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair 
azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. 
 
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. 
Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a 
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. 
 
Probabilidade de ocorrer a união de eventos 
 
Fórmulada probabilidade de ocorrer a união de eventos: 
 
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2) 
 
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no 
cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). 
 
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: 
 
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) 
 
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul 
e 3 no branco? 
Considerando os eventos: 
 
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 
 
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 
 
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: 
 
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a 
probabilidade de ser um 8 ou um Rei? 
 
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. 
 
Considere os eventos: 
 36 
 
A: sair 8 e P(A) = 8/52 
 
B: sair um rei e P(B) = 4/52 
 
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma 
carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B 
são mutuamente exclusivos. 
 
 
 
1- bjeto da estatística 
 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, 
resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como 
média ou desvio padrão. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas 
vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, 
sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor 
compreensão das situações que representam. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser 
utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que 
nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de 
informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados 
provêm. 
Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, 
deixando de lado a aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar 
uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a 
potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma 
população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro 
cometido. 
 
2- População e amostra 
 
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. 
Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a 
população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que 
é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, 
custo, tempo, logística, entre outros motivos. 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que 
a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de 
determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da 
amostra. 
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-
se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. 
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua 
utilização pode dar origem a interpretações erradas. 
 
 
3- Recenseamento 
 
 37 
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um 
País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se 
recenseamento do seguinte modo: 
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de 
adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos 
acerca de características importantes desse universo. 
 
4- Estatística descritiva e estatística indutiva 
 
Sondagem 
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da 
população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma 
ou mais características particulares dessa população. 
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como: 
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e 
preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de 
interesse comum. 
 
5-Amostragem 
 
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos 
probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo. 
 
 
Tipos de Amostragem 
Não Probabilística 
Acidental ou conveniência 
Intencional 
Quotas ou proporcional 
Desproporcional 
Probabilística 
Aleatória Simples 
Aleatória Estratificada 
Conglomerado 
 
Não Probabilística 
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem 
frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por 
este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos 
na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem. 
 
5.1- Acidental ou conveniência 
 
Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados para testar 
produtos. 
Intencional 
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, 
quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas. 
 
5.2- Quotas ou proporcional 
 
 38 
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio 
conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar 
apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o 
trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda 
proporcionalidade. 
 
5.3- Desproporcional 
 
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos 
para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo. 
 
Probabilística 
Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com 
amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma 
hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser 
selecionado na amostra. 
 
5.4- Aleatória Simples 
 
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de 
amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os 
indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada 
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, 
o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos 
dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica. 
 
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente 
para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e 
obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número 
x + y; a terceira será a de número x + 3. y. 
 
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O 
terceiroserá 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente. 
Aleatória Estratificada 
 
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se 
cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre 
outros. 
 
5.5- Conglomerado 
 
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta 
modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É 
exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões. 
 
6- Dimensionamento da amostra 
Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três 
etapas distintas: 
 Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa; 
 Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; 
 Verificar se a população é finita ou infinita; 
Variável intervalar e população infinita 
 39 
Variável intervalar e população finita 
 
Variável nominal ou ordinal e população infinita 
 
Variável nominal ou ordinal e população finita 
 
Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos 
para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 
0,60. 
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d. 
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q. 
 
7- Tipos de dados 
 
Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como 
qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor 
que ser "quebrado". São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, 
vendas, faturamento, entre muitas outras. 
Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças 
defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, 
satisfação e escalas nominais no geral. 
O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer 
dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que 
tipo de tratamento se dará a ela. 
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se 
essencialmente duas fases: 
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: 
Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a 
população: 
 
1ª Fase Estatística Descritiva 
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as 
propriedades. 
2ª Fase Estatística Indutiva 
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), 
expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a 
existência de leis (na população). 
 
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou 
verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não 
são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que 
também não podemos afirmar que são verdadeiras ! 
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de 
Probabilidade. 
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da 
noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma 
conclusão para a população, a partir da observação da amostra. 
 
 40 
8- Dados, tabelas e gráficos 
 
Distribuição de freqüência 
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os 
visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou 
categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. 
 
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao 
menor valor das observações: 
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao 
maior valor das observações: 
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando K = . Obrigatoriamente deve 
estar compreendido entre 5 a 20. 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe 
(inferior e superior) 
 
Distribuições simétricas 
 
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a 
uma classe média 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica 
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de 
dados que distribuem-se em forma de sino. 
 
Distribuições Assimétricas 
 
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados: 
 
Distribuições com "caudas" longas 
 
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos 
concentrados na região central da distribuição. 
 
 
9- Medidas de tendência Central 
 
 41 
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética 
para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média 
harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: 
amplitude, desvio padrão e variância. 
 
Medidas 
 
Média aritmética 
 
Média aritmética para dados agrupados 
 
Média aritmética ponderada 
 
Mediana 
1) Se n é impar, o valor é central, 
 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais 
 
Moda 
Valor que ocorre com mais freqüência. 
 
Média geométrica 
 
 
Média harmônica 
 
Quartil 
 
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, 
pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. 
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de 
localização do centro, é a média. 
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais 
freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média). 
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte: 
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses 
desvios o resultado obtido é igual a zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas 
aplicações: 
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a 
média. 
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade 
pretendida. 
 42 
 
9.1- Moda 
 
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são 
discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a 
moda ou a classe modal 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados 
qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode 
calcular a média e por vezes a mediana. 
 
9.2- Mediana 
 
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do 
seguinte modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que 
a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os 
outros 50% são maiores ou iguais à mediana 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n 
elementos: 
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
Se n é par, a mediana é a semi-soma dosdois elementos médios. 
 
9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana 
 
Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n 
, ... , Xn:n 
então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão 
sensível aos dados. 
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou 
muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as 
observações. 
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores 
"muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número 
na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas 
situações em que teria mais significado utilizar a mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser 
maior que a mediana 
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a 
ser inferior à mediana. 
 
 
10 - Medidas de dispersão 
 
Introdução 
 
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de 
dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através 
das seguintes medidas: 
 
 43 
10.1- Medidas de dispersão 
 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da 
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da 
amostra. 
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que 
se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 
 
10.2- Variância 
 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios 
das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de 
observações da amostra menos um. 
 
 
10.3- Desvio-padrão 
 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a 
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as 
mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio 
padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, 
maior será a dispersão dos dados. 
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: 
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 
 
 
11. Distribuição Normal 
A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se 
em formato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média. 
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer 
que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à 
área compreendida entre esses dois pontos. 
 
68,26% => 1 desvio 
95,44% => 2 desvios 
99,73% => 3 desvios 
 
 44 
Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais 
afastado do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um 
desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 
95,44% dos dados comprendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir 
que quanto maior a variablidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de 
encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal. 
Propriedade 1: 
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0; 
Propriedade 2: 
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; 
Propriedade3: 
"f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; 
Propriedade4: 
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z 
tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. 
 
 
 
Unidade 4 
 
Regra de três simples 
 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
 
Passos utilizados numa regra de três simples: 
 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplos: 
 
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m
2
, uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m
2
, qual será a 
energia produzida? 
Solução: montando a tabela: 
Área (m
2
) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
Identificação do tipo de relação: 
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 
1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 45 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
Identificação do tipo de relação: 
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) 
na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 
 
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do 
mesmo tipo e preço? 
Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 46 
 
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo 
trabalho? 
Solução: montando a tabela: 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
5 x 
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Regra de três composta 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
Exemplos: 
 
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m
3
 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar125m
3
? 
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada 
linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 
Identificação dos tipos de relação: 
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
Observe que: 
 
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a 
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é 
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo 
x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
 
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 47 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 homens em 16 dias? 
Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
Observe que: 
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é 
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas 
concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as 
inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
Exercícios complementares 
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 
piscinas? Resposta: 6 horas. 
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada 
para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto 
tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? 
Resposta: 15 dias. 
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média 
de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma 
velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 48 
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 
minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 
minutos? Resposta: 2025 metros. 
 
 
 
 
Unidade 5 
Razões e Proporções 
 
Medidas de superfície 
 
Introdução 
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais 
corriqueiras do cotidiano: 
 Qual a area desta sala? 
 Qual a area desse apartamento? 
 Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina? 
 Qual a area dessa quadra de futebol de salão? 
 Qual a area pintada dessa parede? 
Superfície e área 
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, 
um número. 
Metro Quadrado 
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. 
O metro quadrado (m
2
) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. 
Múltiplos 
Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetros 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
1.000.000m
2
 10.000m
2
 100m
2
 1m
2
 0,01m
2
 0,0001m
2
 0,000001m
2
 
O dam
2
, o hm
2
 e km
2
 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm
2
, o cm
2
 e o mm
2
 são 
utilizados para pequenas superfícies. 
Exemplos: 
1) Leia a seguinte medida: 12,56m
2
 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
 12, 56 
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma 
unidade de área. 
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m
2
 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
 1 78, 30 
Lê-se “189 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam
2
 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
 0, 91 70 
Lê-se 9.170 decímetros quadrados. 
Medidas Agrárias 
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. 
A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o 
centiare (ca). 
 49 
Unidade 
agrária 
hectare (ha) are (a) centiare (ca) 
Equivalênci
a 
de valor 
100a 1a 0,01a 
Lembre-se: 
1 ha = 1hm
2
 
1a = 1 dam
2
 
1ca = 1m
2
 
 
 
 
Transformação de unidades de superfície 
 
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada 
unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: 
 
 
Observe as seguintes transformações: 
 
 transformar 2,36 m
2
 em mm
2
. 
 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
 
Para transformar m
2
 em mm
2
 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 
(100x100x100). 
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm
2
 
 
 transformar 580,2 dam
2
 em km
2
. 
 
km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
 
Para transformar dam
2
 em km
2
 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 
580,2 : 10.000 = 0,05802 km
2
 
 
 
Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
1) Transforme 8,37 dm
2
 em mm
2
 (R: 83.700 mm2) 
2) Transforme 3,1416 m
2
 em cm
2
 (R: 31.416 cm2) 
3) Transforme 2,14 m
2
 em dam
2
 (R: 0,0214 dam2) 
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) 
 
 
 
Medidas de volume 
Introdução 
 
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, 
largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros 
cúbicos e volume. 
 50 
 
Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m
3
) é medida 
correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
 
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 
 
Múltiplos 
Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico 
metro cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro cúbico 
km
3
 hm
3
 dam
3
 m
3
 dm
3
 cm
3
 mm
3
 
1.000.000.000m
3
 1.000.000 m
3
 1.000m
3
 1m
3
 0,001m
3
 0,000001m
3
 0,000000001 m
3
 
Leitura das medidas de volume 
A leitura