Matematica Para Concurso 2018

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CURSO PREPARATÓRIO PARA CONCURSO PÚBLICO – SBC 
PROFESSOR I DE EDUCAÇÃO BÁSICA 
Profªs organizadoras: Maria Antonia Sanches e Vânia Aparecida Orlando 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Definição: 
Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome 
de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são 
denominados conjuntos numéricos. 
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos fundamentais, que 
são os conjuntos numéricos mais amplamente utilizados. 
 
Conjunto dos Números Naturais 
 
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por contagens e 
quantidades. Talvez a primeira ocorrência desta necessidade, tenha sido 
quando lá pelos seus dois ou três anos de idade algum coleguinha foi lhe visitar 
e começou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, neste momento 
mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos números naturais, afinal de 
contas era necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de 
proprietário e mesmo desconhecendo a existência dos números, você já sentia 
a necessidade de um sistema de numeração. 
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos 
numéricos, que é o conjunto dos números naturais. Com a utilização deste 
conjunto você pode enumerar brinquedos ou simplesmente registrar a sua 
quantidade, por exemplo. 
Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma 
representação do conjunto dos números naturais: 
 
As chaves são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os 
pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos 
são infinitos. 
Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto podemos ter a 
representação de apenas um subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto 
do conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiro múltiplos de 
sete: 
 
Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um dos 
outros quatro conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere asterisco após a 
letra, como em . 
TEMA: MATEMÁTICA 
Profª.: MARIA ANTONIA SANCHES 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da 
existência de números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura 
estava em dois graus abaixo de zero. Curioso você quis saber o que significava 
isto, então alguém notando o seu interesse, resolveu lhe explicar: 
Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em torno 
dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C 
e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura continuava a abaixar e já 
havia atingido o menor dos números naturais, como então representar uma 
temperatura ainda mais baixa? 
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou 
oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica 
que se trata de um número negativo, portanto menor que zero. Os números 
naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é nulo. 
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos 
formam outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela 
letra Z ( ). 
A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros: 
 
Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos possuem 
um número inicial, o zero, os números inteiros assim como os demais 
conjuntos numéricos fundamentais não têm, por assim dizer, um ponto de 
início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois para cada número à 
sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda. 
Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido em outro, ou 
que é um subconjunto seu, como o conjunto dos números naturais é um 
subconjunto do conjunto dos números inteiros, temos que . 
Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros contém ( ) o 
conjunto dos números naturais ( ). 
Como supracitado podemos escrever para representarmos o conjunto dos 
números inteiros, mas sem considerarmos o zero: 
 
Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais conjuntos 
numéricos fundamentais podemos utilizar os caracteres "+" e "-" como abaixo: 
 
 
 
 
Note também que e que . 
 
Conjunto dos Números Racionais 
Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa, além disto. 
No termômetro você viu que entre um número e outro existiam várias 
marcações. Qual a razão disto? 
Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 20° C 
para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as 
marcações são de décimos em décimos. Para passar de 20° C para 21° C, por 
exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 20,2° C e 
continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C. Estes 
são números pertencentes ao conjunto dos números racionais. 
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de 
fração. O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao 
conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser 
igual a zero, pois não há divisão por zero. 
O número 20,1, por exemplo, pode ser expresso como , assim 
Como 0,375 pode ser expresso como e 0,2 por ser representado por . 
Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que é um 
número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro. Trata-se de 
uma dízima periódica simples que também pode ser representada como , 
mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser expresso 
como . 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q ( ). 
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números 
racionais, temos então que . 
Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números 
racionais negativos e que representa o conjunto dos números racionais 
positivos ou nulo. 
Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do 
conjunto dos números racionais: 
 
A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois 
números racionais quaisquer terá como resultado também um número racional, 
obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser diferente de zero. Sejam 
a e b números racionais, 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são todos 
aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então existem aqueles 
que não podem ser expressos desta forma?" 
Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. 
Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI ( ), o número 
de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ). Se você se dispuser a calcular tal 
raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto 
porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das 
dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma 
fração. Esta é uma característica dos números irracionais. 
A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números 
irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja 
um quadrado perfeito é um número irracional. é um número irracional, 
pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um número natural que 
multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já é um número 
natural, pois . 
A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais. 
Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar o 
conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por . 
O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais: 
 
Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de 
qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números irracionais 
quaisquer não terá obrigatoriamente como resultado também um número 
irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto pertencera . 
 
Conjunto dos Números Reais 
Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( ), 
assim como um número inteiro também é um número racional ( ), 
portanto . 
Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos 
números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no 
conjunto vazio: 
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos 
os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos 
envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a 
intersecção entre estes dois conjuntos será . 
O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado 
pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais, 
que simbolicamente representamos por: . 
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os 
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam 
dois conjuntos e , a união entre estes dois 
conjuntos será . 
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais 
( ), assim como o conjunto dos números irracionais também é 
subconjunto do conjunto dos números reais ( ). 
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o 
conjunto dos números reais positivos por . 
Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais: 
 
 
Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama 
Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um 
diagrama. 
 
Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos 
números reais ( ) é resultado da união do conjunto dos números racionais 
como o conjunto dos números irracionais ( ). Observamos também 
que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números 
racionais ( ) e que os números naturais são um subconjunto do 
números inteiros ( ). 
Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com 
conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente identificamos que os números 
naturais são também números reais ( ), mas não são números 
irracionais ( ), isto porque o conjunto dos números irracionais não 
contém o conjunto dos números naturais ( ), mas sim o conjunto 
números dos racionais que os contém ( ), assim como o conjuntos dos 
números reais ( ) e dos inteiros ( ). 
Problemas envolvendo Números Racionais 
1) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1/6 das 
figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com 3/4 das figurinhas. Com que 
fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? 
Solução: 
 
 
2) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1/4do livro e no dia seguinte 
leu 1/6 do livro. Então calcule: 
a) a fração do livro que ela já leu. 
b) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 
Resposta a: 
 
Resposta b: 
 
 
3) Em um pacote há 4/5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1/3. Quantos 
quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? 
Resposta 3: 
 
 
4) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram 
asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? 
Resposta 4: 
 
5) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1/3 desses 
apartamentos foi vendido e 1/6 foi reservado. Calcule: 
 
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? 
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos 
ou reservados? 
 
 
Resposta a: 
 
Resposta b: 
 
POTENCIAÇÃO 
Potenciação é a forma de abreviar na multiplicação uma sequência de fatores 
iguais. Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes 
podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é 
multiplicado. 
Assim: ab = c 
Chamamos a de base, b de expoente e c de potência. 
A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de 
vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado. 
Exemplo: 
Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos um sequência do número 3 
multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma: 
 34 = 81 Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um 
onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi 
multiplicado. 
Mais Exemplos de potenciação 
 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 
 5² = 5 x 5 = 25 
 6¹ = 6 
Propriedades da potenciação 
1. Qualquer número natural elevado ao expoente 1 é igual ao próprio 
número. 
 Exemplo: 31 = 3, 81 = 8, x1 = x 
2. Qualquer número natural não nulo elevado ao expoente 0 é igual a 1. 
 Exemplo: 50 = 1, 100 = 1, a0 = 1 
3. Qualquer potência que possuem na base o número 1 é igual a 1. 
 Exemplo: 18 = 1, 1n =1 
4. Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 
1 seguido da quantidade de zeros de acordo com o valor do expoente. 
 Exemplo: 105 = 100.000 
 Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5. 
 5) Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre 
 O numerador e o denominador. 
 Exemplo: (3/4)-2 = (4/3)2 
Propriedades operatórias da potenciação 
É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os 
cálculos envolvendo potenciação. 
Produto de potências de mesma base 
Ao multiplicar duas ou mais potências com a mesma base, devemos proceder 
da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes. 
 Exemplo: am . an = a m+n 
Divisão de potências de mesma base 
Ao dividirmos potências não nulas de mesma base, devemos proceder da 
seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes. 
Exemplo: am : an = a m - n 
Base negativa e expoente ímpar 
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo. 
Exemplo: (-2) 3 = -8 
Base negativa e expoente par 
Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo. 
Exemplo: (-5)2 = 25 
Potência de potência 
Neste caso devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. 
Exemplo: ( (3)2)3 = 36 
Potência de um produto 
Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto. 
Exemplo: (4x5)2 = 42 . 52 
Potência de um quociente 
Um quociente elevado a um expoente, devemos elevar tanto o numerador 
quanto o denominador ao expoente. 
Exemplo: (3/4) = 32 / 42 
Multiplicação de potência com o mesmo expoente 
Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos 
conservar o expoente e multiplicar as bases. 
Exemplo: 24 . 34 = 64 
 
RADICIAÇÃO 
Símbolo da Radiciação 
Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação: 
 
Sendo n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos 
procurando foi multiplicado por ele mesmo. 
x o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos 
procurando por ele mesmo. 
Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 
2. Essa raiz é chamada de raiz quadrada. 
A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de 
raiz cúbica. 
Exemplos 
3√27 (Lê-se raiz cúbica de 27) 
5√32 (Lê-se raiz quinta de 32) 
√400 (Lê-se raiz quadrada de 400) 
Propriedades da Radiciação 
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar 
radicais. 
 
Radiciação e Potenciação 
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, 
podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem 
como resultado a raiz proposta. 
Exemplos 
a) √81= 9, pois sabemos que 92 = 81 
b) 4√10 000 = 10, pois sabemos que 104 = 10 000 
 
 
Razão e Proporção 
 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, 
sendo o quociente entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, 
quando duas razões possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar 
que grandezas são proporcionais quando existem duas razões entre elas. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os 
conceitos de razãoe proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, 
utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes. 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de 
medida terão de ser as mesmas. 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/potenciacao/
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B donde b≠0 
 
Proporção: donde todos os coeficientes são ≠0 
 
Exemplo 1: Qual a razão entre 40 e 20? 40 = 2 
 20 
 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também 
chamada de razão centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de 
antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
Para encontrar o valor da proporção, utilizamos a regra de três: 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também 
chamado de “quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada 
pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D) . 
 
Propriedades da Proporção 
 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
 
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
 é equivalente Logo, D. A = C . B 
Exercícios: 
 
1) Sejus ES 2013 – Vunesp). Em uma população carcerária de 14 400 presos, 
há 1 mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 
estão em regime provisório, correspondendo a 
(A) 840 mulheres. (B) 480 mulheres. (C) 1200 mulheres. (D) 640 mulheres. 
(E) 450 mulheres. 
 
Resolução 
Se existe 1 mulher para cada 11 homens, temos então que a cada 12 presos, 1 
é mulher. 
Daí, para saber a quantidade de mulheres, basta dividir o total de presos por 
12: 
14400/12 = 1200 
 
Como 2/5 das mulheres estão no regime provisório: 
1200.2/5 = 2400/5 = 480 
 
2) Questão 2 (PM SP 2012). Uma pessoa comprou determinado volume de 
suco de uva, bebendo 200 mL desse suco por dia. Se essa pessoa bebesse 
150 mL por dia, com o mesmo volume comprado, poderia beber suco de uva 
por mais 5 dias. O volume de suco de uva, em litros, comprado por essa 
pessoa foi 
a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 
 
Resolução 
Quando a pessoa toma 200 ml de suco por dia temos: 
x/200 = y 
x = 200y 
Onde x é a quantidade de suco comprada e y a quantidade de dias que o suco 
dura nessas condições. 
 
Quando a pessoa passar a tomar 150 ml de sucos por dia teremos: 
x/150 = y + 5 
x = (y + 5).150 
x = 150y + 750 
 
Igualando as duas equações: 
200y = 150y + 750 
200y – 150y = 750 
50y = 750 
y = 750/50 
y = 15 
 Como x = 200y 
x = 200.15 = 3000 ml = 3 litros 
Resposta: C 
Regra de Três Simples e Composta 
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos 
problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 
Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam 
apresentados, para que assim, descubra o quarto valor. 
 
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, 
por meio de outros três. A regra de três composta, por sua vez, permite 
descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos. 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma 
implica no aumento da outra na mesma proporção. 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma 
implica na redução da outra. 
 
Exercícios Regra de Três Simples 
Exercício 1 
Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No 
entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que 
necessitaremos? 
Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas 
colunas, a saber: 
1 bolo 300 g 
5 bolos x 
Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. 
Feito isso, os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido 
contrário: 
1x = 300 . 5 
1x = 1500 g 
Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg. 
Note que trata-se de um problema com grandezas diretamente 
proporcionais, ou seja, fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará 
proporcionalmente a quantidade de chocolate acrescentado nas receitas. 
 
Exercício 2 
Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. 
Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa 
velocidade de 120 km/h? 
Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas colunas: 
 
80 km/h 3 horas 
120 km/h x 
Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, 
portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais. Em outras 
palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. 
Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação: 
120 km/h 3 horas 
80 km/h x 
120x = 240 
x = 240/120 
x = 2 horas 
Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado 
será de 2 horas. 
 
Exercício Regra de Três Composta 
 
Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o 
estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta. 
Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para 
estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de 
estudar por dia, para se preparar para o exame? 
Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima: 
Livros Horas Dias 
8 6 7 
8 x 4 
Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o 
número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros. Portanto, tratam-se 
de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos 
dias para realizar a equação: 
Livros Horas Dias 
8 6 4 
8 x 7 
 
6/x = 8/8 . 4/7 
6/x = 32/56 = 4/7→6/x = 4/7→4 x = 42→x = 42/4→x = 10,5 horas = 10h30min. 
 
Logo, o estudante precisará estudar 10h30 por dia, durante os 4 dias, a fim de 
realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora. 
 
Exercícios Comentados: 
 
Aproveite os exercícios comentados e questões de concursos resolvidas para 
verificar seus conhecimentos sobre esta matéria. 
 
Exercício 1 
Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. 
Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por 
dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração? 
Solução 
Devemos sempre começar identificando as grandezas e as suas relações. É 
muito importante identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Neste exercício as grandezas quantidade total de ração consumida e o número 
de dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias maior será a 
quantidade total gasta. 
Para melhor visualizar a relação entre as grandezas, podemos usar setas. O 
sentido da seta aponta para o maior valor de cada grandeza. 
As grandezas cujos pares de setas apontam para o mesmo sentido, são 
diretamente proporcionais e as que apontam em sentidos contrários, são 
inversamente proporcionais. 
Vamos então resolver o exercício proposto, conforme o esquema abaixo: 
 
Resolvendo a equação, temos: 
 
Assim, a quantidade de ração consumida por semana é de 
aproximadamente 4,7 kg. 
 
Exercício 2 
Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará 
para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira 
anterior? 
 
Solução 
Neste problema, as grandezasenvolvidas serão número de torneiras e tempo. 
Contudo, é importante observar que quanto maior o número de torneiras, 
menor será o tempo para encher o tanque. 
Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, ao 
escrever a proporção, devemos inverter uma das razões, conforme mostramos 
no esquema abaixo: 
Resolvendo a equação: 
 
 
Assim, o tanque ficará totalmente cheio em 1,5 h. 
 
Exercício 3 
Em uma empresa, 50 funcionários, produzem 200 peças, trabalhando 5 horas 
por dia. Se o número de funcionários cair pela metade e o número de horas de 
trabalho por dia passar para 8 horas, quantas peças serão produzidas? 
Solução 
As grandezas indicadas no problema são: número de funcionários, número de 
peças e horas trabalhadas por dia. Portanto, temos uma regra de três 
composta (mais de duas grandezas). 
Neste tipo de cálculo, é importante analisar separadamente o que acontece 
com a incógnita (x), quando mudamos o valor das outras duas grandezas. 
Fazendo isso, percebemos que o número de peças será menor se reduzirmos 
o número de funcionários, portanto, essas grandezas são diretamente 
proporcionais. 
O número de peças aumenta se aumentarmos o número de horas de trabalho 
por dia. Portanto, também são diretamente proporcionais. 
No esquema abaixo, indicamos esse fato através das setas, que apontam para 
o sentido crescente dos valores. 
 
 
 
Assim, serão produzidas 160 peças. 
 
 
Exercícios de Regra de Três Simples 
 
1-Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quanto segundos atrasará em 
8 dias? 
 
2– Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de 
forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da 
foto ampliada? 
 
3 – Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m2 de parede. Quantos metros 
quadrados podem ser pintados com 11 latas dessa tinta? 
 
4 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de 
largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir 
com a mesma quantidade de fio ? 
 
5 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas 
de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? 
 
6 – Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para 
atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 
clientes ? 
 
7 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 
kg dessa mesma substância ? 
 
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais 
necessitamos para obter 385 bombons ? 
 
09 – O trabalhador A pode realizar uma certa tarefa em 12h. O trabalhador B é 
50% mais eficiente. Nessas condições, qual o número de horas necessárias 
para que o trabalhador B realize esta mesma tarefa? 
 
10 – Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para encher um 
reservatório de volume de 1m3, quanto tempo esta torneira levará? 
 
 
Exercícios Regra de Três Composta 
 
1) Sabendo que o comprimento do muro Parque Zoobotânico é de 
aproximadamente 1,7 km e sua altura é de 1,7 m, um artista plástico pintou 
uma área correspondente a 34 m² do muro em 8 horas trabalhadas em um 
único dia. Trabalhando no mesmo ritmo e nas mesmas condições, para 
pintar este muro, o pintor levará quantos dias? 
a) 83 dias b) 84 dias. c) 85 dias. d) 86 dias. e) 87 dias 
2) Uma empresa gasta R$ 3.600,00 com 12 funcionários, trabalhando em 
uma obra 6 horas por dia durante 5 dias. Com a crise, a empresa demitiu 3 
funcionários e aumentou a carga horária para 8 horas por dia. Quanto essa 
empresa irá gastar com o pagamento desses funcionários em uma semana? 
 a) R$ 5.040,00 b) R$ 6.000, c) R$ 4.500,00 d) R$ 
2.000,00 
 3) Para construir 10 casas, 20 operários precisam 12 dias de trabalho. 
Quantos dias 12 operários precisarão para construir 13 casas? 
 a) 7 b) 9 c) 15 d) 22 e) 26 
PORCENTAGEM 
 
A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100, isto é, a 
porcentagem representa uma comparação de uma parte com o todo. Para 
representar a porcentagem utilizamos o símbolo %. 
A porcentagem é usada em muitas situações do cotidiano, sendo muito 
importante nos cálculos de matemática financeira. 
Assim, aproveite os exercícios comentados, propostos e questões do Enem 
para testar seus conhecimentos sobre porcentagem. 
 
Exercícios Comentados 
 
1) Na última liquidação de verão, uma loja vendia todos os seus produtos com 
um desconto de 15%. Se uma camisa antes da liquidação custava R$ 145,00, 
quanto passou a custar na liquidação? 
Comentário: 
Para resolver o exercício devemos calcular quanto custa o desconto em reais. 
Assim, vamos calcular 15% de R$145. Esse cálculo é feito passando a 
porcentagem para fração ou para número decimal e depois multiplicando o 
valor por 145. 
Assim, temos: 15 . 145 
 100 
Multiplicando 145 por 0,15 encontramos 21,75 e esse será o valor em reais do 
desconto. Para encontrar o valor da camisa na liquidação, devemos diminuir o 
valor do desconto do valor antes da liquidação. 
Desta forma, na liquidação a camisa passou a custar R$ 123,25. 
 
Esse problema poderia também ser feito da seguinte maneira: 
Com o desconto de 15% o preço da camisa passou a representar 85% do 
preço antes da liquidação (100% - 15%). Como: 0,85 . 145 = r$ 123,25 
Onde encontramos o mesmo valor anterior. 
 
2) Em um concurso, 520 candidatos se inscreveram. No dia da prova apenas 
364 candidatos compareceram. Neste caso, qual foi a porcentagem dos 
candidatos que faltaram a prova? 
 
Comentário: 
Como estamos interessados em saber a porcentagem dos candidatos que 
faltaram, primeiro vamos encontrar o número de faltosos. Assim, temos: 
520 - 364 = 156 
Agora, precisamos calcular quantos por cento representa esse valor. Para isso, 
vamos escrever a razão entre o número de faltosos e o número total de 
inscritos. Temos então 156 = 0,30 = 30% 
 520 
Assim, 30% dos candidatos faltaram a prova. 
 
3) Com base nas informações que constam no gráfico abaixo, responda: 
a) Qual foi o aumento percentual da população brasileira nos últimos 10 anos? 
b) Em qual período houve uma redução no número de brasileiros? 
c) Neste período, essa redução representou quantos por cento? 
 
Solução: 
 
a) Para calcular a porcentagem do aumento da população nos últimos 10 anos, 
devemos primeiro calcular qual foi o aumento populacional no período. 
Aumento da população = 207600000 - 183900000 = 23700000 
 
Podemos agora encontrar o percentual fazendo uma regra de três: 
 
Assim, no período de 10 anos, a população brasileira aumentou 
aproximadamente 12,89%. 
 
b) Ao analisar o gráfico observamos que de 2009 para 2010 houve uma 
redução no número de brasileiros. 
 
c) Para calcular a porcentagem nesse período devemos inicialmente calcular 
qual foi o valor da redução. 
 
Redução da população = 190700000 - 191400000 = - 700000 (o sinal de 
menos representa que houve uma redução no número de brasileiros). 
 
Para encontrar o percentual da redução vamos fazer uma regra de três: 
 
Assim, entre 2009 e 2010 o número de brasileiro reduziu aproximadamente 
0,37%. 
Exercícios sobre porcentagem 
 
1) Um objeto foi vendido por R$ 276,00 com um lucro de 15% sobre o 
preço de custo. Quando custou o objeto? 
 
2) Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. 
De quantos por cento foi o lucro? 
 
3) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650,00 e 
deseja obter um lucro de 30% sobre a venda. Por quanto deverá vendê-
la? 
 
4) Um aparelho de som foi vendido por R$ 800,00. Qual o valor do lucro se 
o mesmo foi calculado na base de 25%? 
 
5) Uma casa vendida por R$ 50.600,00 deu um prejuízo de 8% sobre o 
preço de compra. Quanto havia custado? 
 
6) Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00, foi paga com um 
desconto de R$ 250,00. Qual a taxa do desconto? 
 
7)Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos 
de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura? 
 
8) Apliquei R$ 80.000,00 em ações. Depois de um mês, meu saldo era de 
R$98.000,00. Qual foi a taxa percentual de rendimento de minhas 
ações naquele mês? 
Máximo divisor comum (mdc) 
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, 
precisamos saber o que é divisor de um número. Todo número 
natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo 
número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor 
de A. 
Por exemplo: 
16:2 é igual a 8 e resto 0. 
25 : 5 é igual a 5 e resto 0. 
 
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 
respectivamente. 
 
Exemplos de divisores de um número: 
 
Divisores de: 
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32 
15 = 1, 3, 5, 15 
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45 
 
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a 
eles. 
Exemplos: 
 
MDC(12,36) 
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o 
próprio 12. 
MDC(12,24,54) 
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54 
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6. 
 
 
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum 
 
MDC(12,36) 
 
 
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois 
números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma 
multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor 
comum. 
2 x 2 x 3 = 12 
MDC(12,36) = 12 
 
 
MDC(70,90,120) 
 
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10 
 
 Mínimo Múltiplo Comum (mmc) 
 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o 
menor múltiplo comum a todos estes números. 
Denotamos o mínimo múltiplo comum dos números {a, b, c, ...} por 
mmc(a, b, c, ...). 
Em um procedimento mais rústico, para se obter o mínimo múltiplo 
comum entre dois ou mais números naturais, fazemos uma listagem 
de seus primeiros múltiplos até encontrar o menor comum. 
 
Exemplo — Obter mmc(10, 12, 15). 
 
 
10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, ... } 
12: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, .... } 
15: {15, 30, 45, 60, 75, 90, ...} 
Portanto, mmc(10, 12, 15) = 60. 
Outro modo de se determinar o mmc entre dois ou mais números 
naturais é fatorar cada um deles. 
Basta multiplicar todos os fatores comuns, sendo que a quantidade 
de vezes que cada fator vai comparecer é a mesma que o maior 
comparecimento em pelo menos uma ocasião dos números 
fatorados. 
 
 
 
Exemplo — Obter mmc(24, 36). 
 
 
24 = 2 · 2 · 2 · 3 
36 = 2 · 2 · 3 · 3 
Veja quais são os fatores envolvidos: do 
'tipo' {2} e do 'tipo' {3}. 
Quantas vezes cada 'tipo' de fator 
compareceu no 24 e no 36: 
 {2} {3} 
2
4 
3 
vez
es 
1 
vez 
3
6 
2 
vez
es 
2 
vez
es 
 
O mmc(24,36) será o produto de todos os 
fatores envolvidos, na maior quantidade 
envolvida (em pelo menos uma das 
fatorações). Ou seja: 
{2} {3} 
3 
vezes 
 
 
2 
vezes 
 
Portanto, mmc(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 
 
 
 
 
Exemplo — Obter mmc(30, 56, 70). 
 
 
30 = 2 · 3 · 5 
56 = 2 · 2 · 2 · 7 
70 = 2 · 5 · 7 
Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2}, 
do 'tipo' {3}, do 'tipo' {5} e do 'tipo' {7}. 
Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu 
no 24 e no 36: 
 
{
2
} 
{
3
} 
{
5
} 
{
7
} 
3
0 
1
 
v
e
z 
1
 
v
e
z 
1
 
v
e
z 
0
 
v
e
z
e
s 
5
6 
3
 
v
e
z
e
s 
0
 
v
e
z
e
s 
0
 
v
e
z
e
s 
1
 
v
e
z 
7
0 
1
 
v
e
z 
0
 
v
e
z
e
s 
1
 
v
e
z 
1
 
v
e
z 
 
O mmc(30, 56, 70) será o produto de todos os 
fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida 
(em pelo menos uma das fatorações). Ou seja: 
 
{
2
} 
{
3
} 
{
5
} 
{
7
} 
3
0 
 
1
 
v
e
z 
1
 
v
e
z 
 
5
6 
3
 
v
e
z
e
s 
 
1
 
v
e
z 
7
0 
 
1
 
v
e
z 
1
 
v
e
z 
 
Portanto, mmc(30, 56, 70) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 
840 
 
Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser 
obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta 
relação válida entre mdc e mmc de números naturais: 
mmc(x,y,z,...)=x⋅y⋅z⋅...mdc(x,y,z,...) 
 
 
Exemplo — Obter mmc(24, 36). 
 
 
24 = 2 · 2 · 2 · 3 
36 = 2 · 2 · 3 · 3 
Temos que mdc(24, 36) = 12 (ver m.d.c.) 
http://www.profcardy.com/cardicas/mdc.php
http://www.profcardy.com/cardicas/mdc.php
Assim, 
mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36) 
mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 
mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72 
 
 
Exemplo — Obter mmc(1024, 7). 
 
 
Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois 
são primos entre si. 
Vai ficar bem mais rápido usar: 
mmc(x,y,z,...)=x⋅y⋅z⋅...mdc(x,y,z,...) 
Assim, 
mmc(1024,7)=1024⋅7mdc(1024,7)=1024⋅71=1
024⋅7=7168 
 
 
Cardica 
Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso 
significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o 
resultado da multiplicação simples entre eles. 
Exemplos: 
a) mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210. 
b) mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630. 
c) mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400. 
 
 
 
 
http://www.profcardy.com/cardicas/mdc.php
Exercícios sobre MMC e MDC 
1) Dois amigos, João e Pedro, foram beber cerveja em um bar. João pediu 
uma garrafa de 750 mL, e Pedro pediu uma latinha de 290 mL. João bebeu 3/5 
da cerveja de sua garrafa, e Pedro, depois de beber toda a cerveja da latinha, 
bebeu mais 3/4 do que havia restado na garrafa do amigo. Então, é possível 
concluir que: 
(A) Pedro bebeu exatamente a mesma quantidade que João. 
(B) Pedro bebeu 65 mL a menos que João. 
(C) João bebeu 50 mL a menos que Pedro. 
(D) João bebeu 50 mL a mais que Pedro. 
(E) Pedro bebeu 65 mL a mais que João. 
 
Resolução: 
João bebeu 750.3/5 = 2250/5 = 450 ml 
Sobraram então 300 ml na garrafa 
 
Pedro bebeu 290 + 300.3/4 = 290 + 225 = 515 ml 
Assim, 515 – 450 = 65 
 2) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o 
Mínimo Múltiplo Comum entre eles, determine o valor de M – 250.D. 
A) 8050 B) 8750 C) 16000 D) 16835 E) 16765 
 
Resolução: 
Calculando o mdc: 
 
 
O mdc é o produto dos primos que se repetem: 
5.7 = 35 
 
Calculando o mmc: 
 
2.2.2.2.2.3.5.5.7 = 16800→ 16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050 
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-pm-ac-2012-2.jpg
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-pm-ac-2012-3.jpg
 3) 2011 – Cespe. O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, 
será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de 
forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão 
escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação 
apresentada, o lado do ladrilho deverá medir 
 
A. mais de 30 cm. 
B. menos de 15 cm. 
C. mais de 15 cm e menos de 20 cm. 
D. mais de 20 cm e menos de 25 cm. 
E. mais de 25 cm e menos de 30 cm. 
 
Resolução: 
 
Como as respostas estão em cm, vamos considerar as medidas da sala como 
352cm x 416cm. 
Note que estamos querendo revestir com ladrilhos quadrados iguais de modo 
que não fiquem espaços vazios e que sejam os maiores possíveis. Não é difícil 
observar que na verdade estamos querendo achar o maior divisor comum, o 
popular MDC. 
 
Observe que os fatores primos em comum são 2.2.2.2.2 = 32 
 
 
4) PM Piauí 2009 – Nucepe No alto de uma torre de uma emissora de 
televisão duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira, “pisca“ 
12 vezes por minuto e a segunda, “pisca“ 15 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a piscar simultaneamente? 
a) 10 segundos. 
b) 20 segundos. 
c) 15 segundos. 
d) 40 segundos. 
e) 30 segundos. 
 
Resolução: 
 
A que pisca 12 vezes por minuto pisca de 5 em 5 segundos. 
Ela pisca em 0, 5, 10, 15, 20… 
A que pisca 15 vezes por minuto pisca de 4 em 4 segundos. 
Ela pisca em 0, 4, 8, 12, 16, 20… 
O que estamos fazendo na verdade é calcularo mmc de 4 e 5 que é 20. 
 
 
http://sabermatematica.com.br/mmcmdcmd.html
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-correios-2011-3.jpg
5) PM SP 2014 – Vunesp No estoque de uma papelaria, há uma caixa com 
várias borrachas iguais e, para facilitar as vendas, o dono dessa papelaria 
decidiu fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de borrachas. Ao 
fazer isso, notou que era possível colocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada 
pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na caixa. O menor número 
de borrachas que essa caixa poderia conter era: 
 
(A) 80. (B) 65. (C) 60. (D) 70. (E) 75. 
 
Resolução: 
 
A questão fala de uma caixa com várias borrachas, onde o vendedor consegue 
dividir em caixas com 3, 4 ou 5 borrachas. 
Estamos tratando de mmc (mínimo múltiplo comum), ou seja, a quantidade de 
borrachas pode ser dividida por 3, 4 ou 5 e tem que ser a menor possível. 
Como não existem fatores primos em comum, o mmc(3, 4, 5) = 3.4.5 = 60 
 
 6) SAP SP . Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem 
promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o cliente tem desconto na 
compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha 
uma mini pizza doce, e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. 
Se hoje estão as três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer 
daqui a quantas semanas? 
(A) 40. 
(B) 12. 
(C) 84. 
(D) 22. 
(E) 7. 
 
Resolução: 
 
Veja que os descontos acontecem a cada, 4, 3 e 7 dias. 
Hoje é o dia da coincidência. Queremos saber quando acontecerá novamente. 
Na verdade estamos querendo saber qual o menor múltiplo comum de 4, 3 e 7, 
ou seja, o mmc entre 4, 3 e 7, que é 84. 
Para descobrirmos a semana, obviamente basta dividir por 7: 
84/7 = 12 
 
7) Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 1,2 minutos. Já outro 
ciclista completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. Se ambos saem juntos do 
ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto 
de partida? 
 
(A) 120 (B) 240 (C) 280 (D) 288 (E) 360 
 
 
 
 
 
Equação do Primeiro Grau 
 
As equações de primeiro grau são equações matemáticas que estabelecem 
relações de igualdade entre termos, representadas sob a forma: ax + b = 0 
onde a e b são números racionais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0). 
Note que a incógnita ou o termo variável designa o valor desconhecido. 
Assim, as equações de primeiro grau podem apresentar mais de uma 
incógnita. 
Os termos variáveis são expressos por uma letra qualquer, sendo que as mais 
utilizadas são x, y, z, como observamos abaixo: 
2x=4, nesse caso, a incógnita é o x: 
2x=4 → x=4/2→ x=2 
 
Como Resolver a Equação de Primeiro Grau 
 
Para resolver a equação de primeiro grau é importante observar que seu 
objetivo principal é o de descobrir o valor da incógnita na relação de 
igualdade estabelecida. É por isso que é utilizado o sinal de igual. 
 
Para encontrar o valor da incógnita, deve-se isolar o x, ou seja, separar 
os elementos variáveis dos elementos constantes. 
Sendo a e b as chamadas "constantes reais", (a diferente de 0) e o x, o 
elemento variável. Entretanto, alguns conceitos matemáticos são primordiais 
para a resolução das equações. 
 
Primeiramente, a expressão situada à esquerda da igualdade denomina-se 1º 
membro da equação. Por outro lado, a expressão da direita do sinal de igual 
chama-se 2º membro da equação. 
 
Assim, ao isolar o x (incógnita), situada no primeiro membro da equação, para 
que os elementos semelhantes fiquem juntos, inverte-se o sinal do termo. 
Isso quer dizer que ao mudar os elementos para antes e depois do sinal de 
igual, devemos inverter a operação do termo (soma e subtração, 
multiplicação e divisão). Por exemplo: 
8x-3=5→8x=5+3→8x=8→x=8/8→x=1 
 
Observe que ao isolar o x de um lado, o número 3 mudou de operação. O 8 
que estava multiplicado pelo x (8 * x) passou para o 2º membro da equação 
dividindo o termo. 
 
Outra regra básica para o desenvolvimento das equações de primeiro grau 
determina o seguinte: 
 
Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos 
multiplicar todos os membros da equação por –1. Por exemplo: 
 
– 9x = – 90 (-1)→ 9x=90→ x=10 
 
 
Equações do 1º grau – Exercícios resolvidos 
Questão 1 (PM SP 2012). Ao somar todos os gastos da semana, Maria somou, 
por engano, duas vezes o valor da conta do supermercado, o que resultou num 
gasto total de R$ 832,00. Porém, se ela não tivesse somado nenhuma vez a 
conta do supermercado, o valor encontrado seria R$ 586,00. O valor correto 
dos gastos de Maria durante essa semana foi 
(A) R$ 573,00. (B) R$ 684,00. (C) R$ 709,00. (D) R$ 765,00. (E) R$ 
825,00. 
 
Resolução: 
 
Sendo x o gasto com o supermercado, podemos montar a seguinte equação do 
primeiro grau: 
586 + 2x = 832 
2x = 832 – 586 
2x = 246 
x = 246/2 
x = 123 
Logo, 
586 + 123 = 709 
Resposta: C 
 
Questão 2 (PM SP). Um eletricista comprou um rolo de fio com 50 metros de 
comprimento para realizar três ligações. Na primeira ligação ele utilizou 18,7 
metros do fio; na 3.ª ligação, utilizou 2/3 do comprimento de fio que havia 
utilizado para a 2.ª ligação, restando ainda 2,3 m de fio no rolo. Pode-se 
concluir que o comprimento, em metros, de fio utilizado na 3.ª ligação foi 
(A) 14,3. (B) 13,2. (C) 12,9. (D) 11,6. (E) 10,8. 
 
Resolução: 
Seja x a quantidade de fio utilizada na segunda ligação, podemos montar a 
seguinte equação do primeiro grau: 
18,7 + x + 2x/3 + 2,3 = 50 
x + 2x/3 = 50 – 18,7 – 2,3 
(3x + 2x)/3 = 29 
5x = 29.3 
x = 87/5 
x = 17,4 
 
Lembrando que x é a quantidade utilizada na segunda ligação. A quantidade 
utilizada na terceira foi 2/3 de 17,4: 
17,4.2/3 = 34,8/3 = 11,6 
 
 
Questão 3 (PM SC). Qual é o valor de x que poderá satisfazer a equação do 
primeiro grau: 3x + 4(1 + x) + 2 = 5x – x – 6? 
a) 4 b) -4 c) 2 d) 3 
 
 
Resolução: 
 
3x + 4(1 + x) + 2 = 5x – x – 6 
3x + 4 + 4x + 2 = 4x – 6 
7x + 6 = 4x – 6 
7x – 4x = -6 – 6 
3x = -12 
x = -12/3 
x = -4 
 
 
Questão 4 (BB 2011 – FCC). Em um dado momento em que Ari e Iná 
atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do 
Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari 
tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. 
Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a 
fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, 
então, o total de pessoas das duas filas era: 
(A) 24. (B) 26. (C) 30. (D) 32. (E) 36. 
 
Resolução: 
 
Vamos considerar que no início haviam x pessoas na fila de Iná e x+4 pessoas 
na fila de Ari. 
Após passarem 8 pessoas da fila de Ari para Iná passamos a ter: x+8 pessoas 
na fila de Iná e x-4 na fila de Ari. 
Veja que a questão fala que neste momento Iná fica com o dobro de Ari. 
 
Podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: 
2(x – 4) = x + 8 
2x – 8 = x + 8 
2x – x = 8 + 8 
x = 16 
Logo, existiam x + x + 4 = 16 + 16 + 4 = 36 pessoas 
 
5) (Guarda Civil SP 2010). O valor de x na equação 2x/3 – x/5 = 6(x – 2) é: 
 
a) 160/73 b) 120/53 c) 180/83 d) 140/63 e) 100/43 
 
Resolução: 
 
2x/3 – x/5 = 6(x – 2) 
(5.2x – 3.x)/15 = 6(x – 2) 
(10x – 3.x)/15 = 6(x – 2) 
(10x – 3.x) = 15.6(x – 2) 
10x – 3x = 90(x – 2) 
7x = 90x – 180 
180 = 90x – 7x 
83 x = 180 
x = 180/83 
Questão 6 (PM ES 2013). Existe um número que somado com seu triplo é 
igual ao dobro desse número somado com doze. O valor desse número é: 
 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 
 
Resolução: 
 
Como não sabemos qual é esse número, vamos chamá-lo de x, 
assim podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: 
x + 3x = 2x + 12 
4x = 2x + 12 
4x – 2x = 12 
2x = 12 
x = 12/2x = 6 
 
 
Questão 7 (PM SP 2012). João tem 5 filhos, sendo que dois deles são 
gêmeos. A média das idades deles é 8,6 anos. Porém, se não forem contadas 
as idades dos gêmeos, a média dos demais passa a ser de 9 anos. Pode-se 
concluir que a idade dos gêmeos, em anos, é 
 
(A) 6,5. (B) 7,0. (C) 7,5 (D) 8,0. (E) 8,5. 
 
Resolução: 
 
Seja x a idade de cada um dos gêmeos. 
Como a média das idades dos 3 filhos que não são gêmeos é 9, a soma das 
idades dos 3 é 27 anos. 
Sabendo que a média dos 5 filhos é 8,6, podemos montar a seguinte equação 
do primeiro grau: 
(27 + 2x)/5 = 8,6 
27 + 2x = 8,6.5 
2x = 43 – 27 
2x = 16 
x = 16/2 
x = 8 anos 
 
Equações do 2º grau 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação 
polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também 
chamada de equação quadrática, é representada por: ax2 + bx + c = 0 
 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor 
desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de 
zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau. 
 
Resolver uma equação de segundo Grau significa buscar valores reais de x, 
que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da 
equação. 
 
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais. 
 
Equações do 2º Grau Completas e Incompletas 
 
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os 
coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). 
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes 
são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2). 
 
Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por 
exemplo, a equação 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
 
Solução: 
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para 
equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim: 
 
 
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números 
elevados ao quadrado resultam em 4. 
 
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2 
 
 
2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2. 
 
 
 
Solução: 
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, 
devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2. 
 
(x - 2) . (x - 1) = 2 
 
Agora vamos multiplicar todos os termos: 
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2 
x2 - 1x - 2x + 2 = 2 
x2 - 3x + 2 - 2 = 0 
x2 - 3x = 0 
 
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação 
incompleta do segundo grau, com c = 0. 
 
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se 
repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência. 
x . (x - 3) = 0 
 
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, 
substituindo x por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse 
valor não será resposta da questão. 
 
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa 
equação: x – 3 = 0 →x = 3 
 
Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3. 
 
Fórmula de Bháskara 
 
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de 
Bhaskara para encontrar as raízes da equação. 
A fórmula é apresentada abaixo: 
 
 
 
Fórmula do Delta 
 
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de 
discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber 
qual o número de raízes que a equação terá. 
 
Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula: 
 
Passo a Passo 
 
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, 
devemos seguir os seguintes passos: 
 
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é 
importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que 
estão. 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
O coeficiente a é o número que está junto com o x2, o b é o número que 
acompanha o x e o c é o termo independente, ou seja, o número que aparece 
sem o x. 
 
2º Passo: Calcular o delta. 
 
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, 
substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes. 
 
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que 
terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), 
a equação terá duas raízes reais e distintas. 
 
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ ), a equação não apresentará 
raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente 
uma raiz. 
 
3º Passo: Calcular as raízes. 
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum 
cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais. 
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as 
letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes. 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 
 
Solução: 
 
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos: 
 
a = 2 
b = - 3 
c = - 5 
 
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as 
regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a 
multiplicação e depois a soma e a subtração. 
 
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49 
 
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para 
as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1. 
 
 
2) Resolva a equação de segundo grau completa, utilizando a Fórmula de 
Bhaskara: 
2 x2 + 7x + 5 = 0 
 
Antes de mais nada é importante observar cada coeficiente da equação, 
portanto: 
a = 2 b = 7 c = 5 
Através da fórmula do discriminante da equação, devemos encontrar o valor de 
Δ. 
Isso para depois encontrar as raízes da equação por meio da fórmula geral ou 
a fórmula de Bhaskara: 
Δ = 72 – 4 . 2 . 5 
Δ = 49 - 40 
Δ = 9 
Observe que se o valor de Δ é maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas 
raízes reais e distintas. 
 
Assim, após encontrar o Δ, vamos substituí-lo na fórmula de Bhaskara: 
 
 → 
 
 
 
 
Logo, os valores das duas raízes reais é: x1 = - 1 e x2 = - 5/2 
 
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 1º e 2° GRAU. 
1) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 
.(R: 9 e-10) 
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule 
esse número. (R: 3 e -4) 
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse 
número. (R:1) 
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule 
esse número. (R:10 e -8) 
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse 
número. Calcule esse número (R: 5) 
6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse 
número. Calcule esse número. (R: 0 e 4) 
7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse 
número.(R: 5 e -1) 
8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 
18.Qual é esse numero?(R: 6 e -3) 
9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 
7menos 3. Qual é esse numero?(R:3 e ½) 
10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 
15.Qual é esse numero?(R: 6 e -3) 
11) Somando as idades de Ana e de Beatriz obtemos 15 anos. Calcule as duas 
idades sabendo que o dobro da idade de Ana é igual ao quádruplo da idade de 
Beatriz. Resposta: Ana tem 10 anos e Beatriz tem 5 anos 
12) Sabendo queo t r i p l o de u m nú mero so mado co m 8 é i gua l 
ao nú mero somado com 10, descubra qual é o número? 
Resposta; O número é igual a 1 
GRANDEZAS E MEDIDAS 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir 
diferentes grandezas, tais como comprimento, capacidade, massa, 
tempo e volume. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de 
cada grandeza. Baseado no sistema métrico decimal, o SI surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior 
parte dos países. 
Medidas de Comprimento 
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo, a jarda, a 
polegada e o pé. 
No Sistema Internacional (SI) a unidade padrão de comprimento é o 
metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da distância 
percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de um segundo. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro 
(hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro 
(mm). 
Medidas de Capacidade 
 A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São 
ainda usadas o galão, o barril, o quarto, entre outras. 
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), 
decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro (cl), mililitro (ml). 
Medidas de Massa 
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o 
quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio é usado como o padrão 
universal do quilograma. 
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), 
decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg) e 
miligrama (mg). 
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a 
tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente a 1000 kg. 
Medidas de Volume 
No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e 
submúltiplos do m3 são: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico 
(hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro cúbico (dm3), centímetro 
cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3). 
Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os 
líquidos assumem a forma do recipiente que os contém. Para isso 
usamos a seguinte relação: 
1 l = 1 dm3 
Tabela de conversão de Medidas 
0 mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas. 
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as 
unidades de medidas bases das grandezas que queremos converter, 
por exemplo: 
 Capacidade: litro (l) 
 Comprimento: metro (m) 
 Massa: grama (g) 
 Volume: metro cúbico (m3) 
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os 
prefixos deci, centi e mili correspondem respectivamente à décima, centésima e 
milésima parte da unidade fundamental. 
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo 
correspondem respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade fundamental. 
 
 
 Múltiplos 
medida 
base Submúltiplos 
comprimento Km hm dam m dm cm mm 
Massa Kg hg dag g dg cg mg 
Capacidade Kl hl dal l dl cl ml 
Superfície Km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
Volume km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
1) Quantos mililitros correspondem 35 litros? 
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número 
na tabela das medidas de capacidade. Lembrando que a 
medida pode ser escrita como 35,0 litros . A virgula e o 
algarismo que está antes dela devem ficar na casa da unidade 
de medida dada, que neste caso é o litro. 
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar 
na unidade pedida. A vírgula ficará sempre atrás do algarismos 
que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml. 
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml. 
2) Transforme 700 gramas em quilogramas. 
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a 
vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste caso g e os 
demais algarismos nas casas anteriores 
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade 
pedida, que neste caso é o quilograma. A vírgula passa então 
para atrás do algarismo que está na casa do quilograma. 
Então 700 g corresponde a 0,7 kg. 
3) Quantos metros cúbicos possui um paralelepípedo de 4500 
centímetros cúbicos ? 
Nas transformações de volume (m3), iremos proceder da 
mesma maneira dos exemplos anteriores. Contudo, devemos 
colocar 3 algarismos em cada casa. 
Escrevemos a medida como 4500,0 cm3. 
Agora completamos com 3 algarismos cada casa até chegar a 
unidade pedida. 
Encontramos que 4500 cm3 correspondem a 0,0045 m3. 
 
 
E o Tempo? 
A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). 
Atualmente o segundo é definido como o tempo de duração de 
9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela transição 
eletrônica entre os níveis hiperfinos do estado fundamental do 
átomo de césio 133. 
Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas 
medidas não são decimais, por isso usa-se as seguintes 
relações: 
1 minuto (min) = 60 segundos (s) 
1 hora = 3 600 segundos (s) 
60minutos(min) = 1hora(h) 
24 horas (h) = 1 dia (d) 
Os submúltiplos do segundo são: 
Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s 
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s 
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s 
Ângulos 
Ângulos são duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e 
são medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema 
Internacional. 
Tipos de Ângulos 
Conforme as suas medidas, os ângulos são classificados em agudo, 
reto, obtuso e raso. 
Agudo 
O ângulo agudo mede menos do que 90º ( < 90º). 
 
RetoO ângulo reto mede o mesmo que 90º ( = 90º). 
 
ObtusoO ângulo obtuso mede mais do que 90º e menos do que 180º 
(90º > < 180º). 
 
Raso 
O ângulo raso, também conhecido como meia volta, mede o mesmo 
que 180º ( = 180º). 
 
Ângulos Complementares 
são aqueles que juntos medem 90º. 
 
30º + 60º = 90º, o que que dizer que os ângulos se 
complementam mutuamente, 30º complementa o ângulo de 60º 
e vice-versa. 
Ângulos Suplementares 
Ângulos suplementares são aqueles que juntos medem 180º. 
 
135º + 45º = 180º 
Isso quer dizer que o ângulo de 135º é o suplemento do ângulo 
que mede 45º. Ao mesmo tempo, o ângulo de 45º é o 
suplemento do ângulo que mede 135º. 
 
Ângulos Adjacentes 
Os ângulos adjacentes, que são aqueles que não têm pontos 
comuns, podem ser complementares ou suplementares. 
A soma dos ângulos adjacentes complementares é 90º. 
A soma dos ângulos adjacentes suplementares é 180º. 
Compare a diferença entre ângulos adjacentes com outros 
ângulos que possuem pontos internos em comum. 
 
AÔC e AÔB possuem pontos internos em comum. Logo, não 
são adjacentes. 
 
AÔC e CÔB não possuem pontos internos em comum. Logo, 
são adjacentes complementares. 
 
AÔB e AÔC não possuem pontos internos em comum. Logo, 
são adjacentes suplementares. 
Ângulos Congruentes 
Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida. 
 
Ângulos Consecutivos 
Ângulos consecutivos são aqueles que possuem em comum 
um lado e um vértice. 
 
AÔC e CÔB têm em comum o vértice (O) e o lado (OC) 
Ângulos Opostos pelo Vértice 
Ângulos opostos pelo vértice (OPV) são aqueles cujos lados se 
opõem aos lados de outro ângulo. 
 
Exercícios 
1. (MACKENZIE-2014) Na figura abaixo, a e b são retas 
paralelas. 
 
A afirmação correta a respeito do número que expressa, em 
graus, a medida do ângulo é: 
a) um número primo maior que 23. 
b) um número ímpar. 
c) um múltiplo de 4. Alternativa d. 
d) um divisor de 60. 
e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 
2) Um ângulo excede o seu complemento em 48°. DETERMINE o suplemento 
desse ângulo. 
Seja x o ângulo procurado e y o seu complemento. x = 48 + y. Como x e y são 
complementares, x + y = 90. Assim, y = 90 – x. Então 
x = 48+(90-x) 
x = 48+90-x 
x = 138-x 
2x = 138 
x = 138/2 = 69º 
Então, 69° somado com seu suplemento deve ser igual a 180°. Assim, o 
suplemento será 180°- 69° = 111°. 
Tabelas e Gráficos 
 
Tabelas 
As tabelassão usadas para organizar algumas informações ou dados. Da 
mesma forma que os gráficos elas facilitam o entendimento, por meio de linhas 
e colunas que separam os dados. 
 
 
Sendo assim, são usadas para melhor visualização de informações em 
diversas áreas do conhecimento. Também são muito frequentes em concursos 
e vestibulares. 
 
 
 
 
 
 
Gráficos 
 
Compreender os gráficos hoje em dia é uma tarefa essencial, pois eles estão 
muito presentes em nosso cotidiano, seja nos jornais, revistas, internet, etc. 
Além disso, os concursos, vestibulares e o Enem, contém diversas questão em 
que os gráficos estão presentes. 
 
O que são Gráficos? 
Gráficos são representações visuais utilizadas para exibir dados, sejam eles, 
sobre determinada informação, ou valores numéricos. 
Geralmente, são utilizados para demostrar padrões, tendências e ainda, 
comparar informações qualitativas e quantitativas num determinado espaço de 
tempo. 
São ferramentas utilizadas em diversas áreas de estudo (matemática, 
estatística, geografia, economia, história, etc.) para facilitar a visualização de 
alguns dados, bem como para tornar os dados mais claros e informativos. 
Dessa forma, o uso de gráficos torna a interpretação e/ou análise mais rápida e 
objetiva. 
 
Elementos dos Gráficos 
 
Alguns elementos importantes que estão incluídos nos gráficos são: 
 
 Título: geralmente possuem um título a respeito da informação que será 
apresentada. 
 
 Fonte: muitos gráficos, sobretudo os da área de estatística, apresentam 
a fonte, ou seja, de onde as informações foram retiradas. Também podem 
apresentar o ano de publicação da fonte referida. 
 
 Números: estes são essenciais para comparar as informações dadas 
pelos gráficos. A maior parte deles utilizam números, seja para indicar 
quantidade ou tempo (mês, ano, trimestre). 
 
 Legendas: grande parte dos gráficos apresentam legendas que auxiliam 
na leitura das informações apresentadas. Junto a ela, cores que destacam 
diferentes informações, dados ou períodos, são utilizadas. 
 
Classificação dos Gráficos 
 
Vejamos agora as diversas maneiras de exibir os dados num gráfico, de acordo 
com o objetivo pretendido: 
 
Gráfico de Colunas 
Também conhecido como “Gráfico de Barra”, eles são usados para comparar 
quantidades ou mesmo demostrar valores pontuais de determinado período. As 
colunas podem surgir de duas maneiras: 
 
Horizontal: 
 
 
Vertical: 
 
 
Gráficos de Linha 
Também chamado de “Gráfico de Segmento”, ele é usado para apresentar 
valores (sequência numérica) em determinado espaço de tempo. Ou seja, 
mostra as evoluções ou diminuições de algum fenômeno. 
 
 
 
Gráfico Pizza 
Também chamado de “Gráfico de Setores”, esse modelo recebe esse nome 
pois tem a forma de uma pizza, ou seja, é circular. Eles são utilizados para 
reunir valores a partir de um todo, segundo o conceito de proporcionalidade. 
 
Exercícios com Gabarito 
Confira abaixo exercícios com gráficos que caíram no Enem: 
1. (Enem-2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o 
gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em 
Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. 
 
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a 
maior e a menor venda absolutas em 2011 foram: 
 
a) março e abril. 
b) março e agosto. 
c) agosto e setembro. (alternativa e) 
d) junho e setembro. 
e) junho e agosto. 
 
 
2. (Enem-2012) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações 
sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento 
ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha 
tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha 
contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem 
ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem 
resolvidas. 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível 
de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o 
número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações 
recebidas. 
Disponível em: http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 
(adaptado). 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência 
utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi 
muito bom na: 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. (alternativa b) 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
 
 
 
3) (UFLMG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos 
candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados no gráfico. Coloque 
V(verdadeiro) ou F(falso) nas afirmativas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) O candidato B pode se considerar eleito. 
( ) O número de pessoas consultadas foi de 5400. 
( ) O candidato B possui 30% das intenções de voto. 
( ) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos 
indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a liderança. 
( ) O candidato A ainda tem chances de vencer as eleições. 
 
Média aritmética simples 
A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a 
medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está 
tão presente em nosso dia a dia que qualquer pessoa entende seu 
significado e a utiliza com frequência. 
A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-
se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de 
elementos somados, que é igual ao número de elementos do 
conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. 
Exemplo: 
Marcos realizou quatro provas de Matemática no decorrer do ano. Suas 
notas foram: 
1ª prova = 6,0 2ª prova = 7,0 3ª prova = 9,0 4ª prova = 8,0 
Para encontrar a média aritmética simples, somamos as notas e 
dividimos por 4, que é o número de provas realizadas: 
 
Portanto, a média das notas de Marcos foi 7,5. 
2 – A tabela abaixo informa a cotação do dólar (moeda estrangeira) 
durante uma determinada semana. De acordo com a tabela 
informativa, determine o valor médio da moeda estrangeira na semana, 
sempre lembrando que esse valor é cotado de acordo com a moeda 
nacional: o Real. 
 
Segunda-feira Terça - feira Quarta - feira Quinta-feira Sexta - feira 
R$ 2,20 R$ 2,30 R$ 2,38 R$ 2,10 R$ 2,25 
 
Me = 2,20 + 2,30 + 2,38 + 2,10 + 2,25 → Me = 11,23 → Me = 
2,25 
 5 5 
O dólar obteve um valor médio de R$ 2,25 na semana especificada. 
3 – Em uma sequência de 8 jogos amistosos, o time A obteve os 
seguintes resultados: 4x2, 3x0, 4x2, 0x1, 2x2, 3x0, 4x4, 2x0. Qual a 
média de gols marcados pelo time A nesses jogos amistosos? E a 
média de gols sofridos? 
 
Gols marcados: Me = 4+3+4+0+2+3+4+2 → Me = 22 → Me = 2,75 
gols. 
 8 8 
 
 
Gols sofridos: Me = 2+0+2+1+2+0+4+0 → Me = 11 → Me = 1,37 
gols. 
 8 8 
 
 
 
4) Em uma empresa existem cinco faixas salariais divididas de acordo 
com a tabela a seguir: 
 
Determine a média de salários da empresa. 
Me = (1500 + 1200 + 1000 + 800 + 500) / 5 
Me = 5000 / 5 → Me = 1000 Portanto, a média salarial da empresa é de R$ 
1000,00 
Geometria Plana: Formas, Áreas e Perímetro 
Triângulo 
 
Polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura 
geométrica plana formada por três segmentos de reta. 
Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em: 
 
 triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais 
(60°); 
 
 triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos 
congruentes; 
 
 triânguloescaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes. 
 
No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em: 
 
 triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°; 
 
 triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, 
menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°; 
 
 triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°. 
 
O perímetro do triângulo é a soma dos três lados 
 
 
https://www.todamateria.com.br/poligonos/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-equilatero/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-isosceles/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-escaleno/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
A área é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
Quadrado 
 
Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura 
geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°). 
O perímetro do quadrado é a soma dos 4 lados, ou seja, P = 4.l 
A área do quadrado é l.l, ou seja, A = l2 
 
 
Retângulo 
 
 
Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e 
os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo 
formam ângulos reto (90°). 
 
 
O perímetro do retângulo é igual a 2.b + 2.h 
 
A área do retângulo corresponde ao produto da medida da base pela altura da 
figura, sendo expressa pela fórmula: 
A=b.h 
Onde, 
A: área 
b: base 
h: altura 
 
Lembre-se que o retângulo é uma figura geométrica plana formada por quatro 
lados (quadrilátero). Dois lados do retângulo são menores e dois deles são 
maiores. 
Ele possui quatro ângulos internos de 90° chamados de ângulos retos. Assim, 
a soma dos ângulos internos dos retângulos totalizam 360°. 
 
 
Círculo 
 
Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um 
plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da 
figura até sua extremidade. 
O perímetro do circulo é igual a 2π.r, onde π = 3,141692... 
 
Área do Círculo 
Para calcular a área do círculo devemos utilizar a seguinte fórmula: 
A = π . r2 onde, π: constante Pi (3,14) r: raio 
 
Fique Atento! 
Lembre-se que o raio (r) corresponde a distância entre o centro e a 
extremidade do círculo. 
 
Já o diâmetro é um segmento de reta que passa pelo centro do círculo, 
dividindo-o em duas metades iguais. Dito isso, o diâmetro equivale duas vezes 
o raio (2r). 
 
Trapézio 
 
Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos 
corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana. 
Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. 
São classificados em: 
trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º; 
trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma 
medida; 
trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 
 
Fórmula da Área 
Para calcular a área do trapézio utilizamos a seguinte fórmula: 
 
Onde: 
A: área da figura 
B: base maior 
b: base menor 
h: altura 
 
Fórmula do Perímetro 
Para calcular o perímetro do trapézio utiliza-se a fórmula: 
P = B + b + L1 + L2 
Donde: 
P: perímetro (soma de todos os lados) 
B: base maior 
b: base menor 
L1 e L2: lados da figura 
 
Losango 
 
Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, 
junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo. 
Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos 
opostos congruentes e paralelos. 
O perímetro do losango é 4.l. 
 
https://www.todamateria.com.br/paralelogramo/
Área 
Para calcular a área do losango é necessário traçar duas diagonais. Dessa 
forma tem-se 4 triângulos retângulos (com ângulo reto de 90º) iguais. 
Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4 triângulos 
retângulos ou 2 retângulos. 
Assim, a fórmula para encontrar a área do losango é representada da seguinte 
maneira: 
 
Sendo A, a área do losango, D1 a diagonal maior e D2 a diagonal maior. 
 
Exercícios: 
 
1) A chácara do senhor Luís tem o formato e as medidas da figura abaixo. 
Quantos metros de arame farpado ele precisa comprar para cercar a chácara 
com 6 voltas de fio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é igual a 52 cm? 
 
3) Mariana construiu um salão de festas cujo piso tem a forma de um trapézio 
(veja figura abaixo). Para cobrir o piso, Mariana escolheu uma lajota quadrada 
cujo lado mede 30cm. Quantas lajotas serão necessárias para cobrir 
completamente o salão, considerando que devem ser comprados 5% a mais 
para repor eventuais lajotas quebradas? 
 
 
4) (PM Pará 2012). Um empresário possui um espaço retangular de 110 m por 
90 m para eventos. Considerando que cada metro quadrado é ocupado por 
4 pessoas, a capacidade máxima de pessoas que esse espaço pode ter é: 
 
a) 32.400 
b) 34.500 
c) 39.600 
d) 42.500 
e) 45.400 
 
Resolução: 
Vamos calcular a área do espaço: 
A = 90 x 110 = 9900 m² 
Como cabem 4 pessoas por m²: 
Capacidade = 4.9900 = 39600 
Resposta: C 
 
 
Teorema de Pitágoras 
 
 
Teorema de Pitágoras: relação entre lados do triângulo e áreas dos quadrados 
Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego que viveu há 
aproximadamente 2500 anos. Ele descobriu uma relação muito interessante 
envolvendo o tamanho dos lados de triângulos retângulos e a área de 
quadrados. 
Relembrando: 
 Um triângulo retângulo é qualquer triângulo que tenha um ângulo reto, 
isto é, um ângulo de 90 graus. Na figura abaixo o ângulo C é reto. 
 O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. No triângulo abaixo, 
o seguimento AB é a hipotenusa. 
 Os lados que formam ângulo reto chamam-se catetos. Neste triângulo 
ABC, os seguimentos BC e AC são os catetos. 
 
 A área de um quadrado é calculada multiplicando o comprimento dos 
lados. Assim, se o lado = a, temos que a Área = a*a = a². 
 
O que Pitágoras observou foi que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, em outras 
palavras, o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos lados menores. Assim, na figura abaixo, podemos escrever 
a²=b²+c². Isso significa que a área do quadrado de lado a (roxo) é igual à área 
do quadrado de lado b (verde) somado à área do quadrado de lado c (cinza). 
Essa relação é chamada de Teorema de Pitágoras e o interessante é que é 
verdade para qualquer triângulo retângulo, independente do tamanho dos seus 
lados. 
 
 
Teorema de Pitágoras (resumo) 
Enunciado do teorema de Pitágoras: 
Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
Observe a figura abaixo. Nela, temos um triângulo retângulo ABC, retângulo 
em B. A medida da hipotenusa é a, os catetos medem respectivamente b, c. 
 
http://www.gabaritodematematica.com/wp-content/uploads/2014/01/imagem1.png
Os catetos são os lados do ângulo reto (90º), já a hipotenusa é o segmento (ou 
lado) “de frente” (ou lado oposto) ao ângulo reto. Temos a seguinte relação: 
a2 = b2 + c2. 
Exercícios sobre Teorema de Pitágoras 
1) Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em 
relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião. 
 
2) Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A 
base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do 
muro. 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular 
com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca 
de arame terá 4 fios. 
Solução: 
 
Teorema de Tales 
Tales de Mileto foi um matemático e filósofo Grego do período pré-socrático 
que viveu em meados de 650 A.C. Tales, quando tentava determinar a altura 
de uma pirâmide, formulou um teorema que afirma: 
“Se duas retas são