Lista 09 Leis de Biot Savart e de Ampere 111

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1. Um topógrafo está usando uma bússola a 6,3 m abaixo de uma linha de transmissão 
que conduz uma corrente de 120 ampères. Esta corrente interferirá sensivelmente na 
leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético terrestre vale 
cerca de 0,21 gauss (21 µT). 
 
2. Um condutor retilíneo por onde passa uma 
corrente i se divide em dois semicírculos 
idênticos como mostra a figura. Qual é a 
intensidade do campo magnético no centro C da 
espira circular resultante? 
 
3. A figura (a) mostra um segmento de fio encurvado de 
modo a formar uma espira circular, por onde passa uma 
corrente i. Na Fig. (b), o mesmo segmento de fio forma um 
enrolamento de duas espiras, de raio menor. (a) Se Ba e Bb 
são os módulos dos campos magnéticos nos centros dos 
dois enrolamentos, qual é o valor da razão Bb / Ba? (b) Qual 
a razão entre seus momentos de dipolo, µb / µa ? 
 
4. A figura mostra um dispositivo chamado de bobinas de 
Helmholtz, que consiste em duas bobinas circulares 
coaxiais de N voltas cada uma e raio R, separadas por 
uma distância R. Elas são percorridas por correntes 
iguais i em módulo e sentido. Calcule o campo 
magnético em P, o ponto médio entre as bobinas. 
 
5. Um longo grampo de cabelo é formado 
dobrando-se um fio, como mostra a figura. Se 
uma corrente i de 11,5 A passar pelo fio, (a) quais 
serão a direção, o sentido e a intensidade de B no ponto a?(b) e no ponto b, que está 
muito distante de a? Considerar R = 5,20 mm. 
 
6. Um segmento de fio de comprimento L é 
percorrido por uma corrente i. (a) Mostre que o 
campo magnético gerado por este segmento no 
ponto P, que está a uma distância perpendicular 
D de um dos extremos do fio (veja figura), é 
dado por . (b) Mostre que o 
campo magnético é nulo no ponto Q, ao longo da reta que coincide com o fio. 
 
7. Considere o circuito da figura. Os segmentos curvos são 
arcos de círculos de raios a e b. Os segmentos retilíneos 
são radiais. Ache o campo magnético B em P, supondo 
uma corrente i percorrendo o circuito.. 
 
IF/UFRJ – Física III – 2011/1 – Raimundo 
Turmas IFA/OV1/ BCMT/MAI/IGM/MAA 
9a Lista de Problemas – Leis de Biot-Savart e de Ampère 
8. (a)Mostre que B, no centro de uma espira retangular, de comprimento L e largura d, 
percorrida por uma corrente i é dada por (b) A que se reduz 
B quando L >> d? Este é o resultado que se deveria esperar? 
 
9. Uma espira quadrada, de lado a, conduz uma corrente i. (a) Mostrar que B, num 
ponto do eixo da espira e a uma distância z do centro, é dado por 
€ 
B(z) = 4µ0ia
2
π 4z2 + a2( ) 4z2 + 2a2( )
12
; (b) A que esta expressão se reduz para z = 0? 
 
10. O campo magnético B para pontos do eixo de uma espira quadrada de lado a 
percorrida por uma corrente é dado no Problema 9. (a) Mostre que o campo axial 
para esta espira, quando z >> a, é o de um dipolo magnético. (b) Ache o momento 
de dipolo magnético desta espira. 
 
11. Considere um fio, de comprimento L, conduzindo uma corrente i. Ele pode ter a 
forma de uma circunferência ou de um quadrado. Qual dessas figuras dará o maior 
valor de B no ponto central? 
 
12. A figura mostra uma seção reta de uma lâmina longa de largura l percorrida por uma 
corrente i uniformemente distribuída, entrando na 
página. Calcule o campo magnético B num ponto 
P no plano da lâmina e a uma distância d da sua 
borda. (Sugestão: Considere a lâmina como 
construída por muitos fios finos, longos e paralelos). 
 
13. Dois fios longos, separados pela distância d conduzem 
correntes i iguais e de sentidos opostos, como se vê na 
figura. (a) Mostre que B, no ponto P eqüidistante dos 
fios, é dado por . (b) Qual a direção e o 
sentido de B? 
 
14. É dado um circuito fechado com raios a e b, como ilustra 
a figura, percorrido por uma corrente i. Ache o momento 
de dipolo magnético do circuito. 
 
 
 
 
15. No Problema 4 vamos chamar a separação das bobinas de s (que não precisa ser 
igual ao raio R das bobinas). (a) Mostre que a derivada primeira do campo 
magnético, , se anula no ponto médio P para qualquer valor de s. Por que isto 
é esperado a partir de considerações de simetria? (b) Mostre que a derivada segunda 
do campo magnético, , também se anula em P se s = R. Isto justifica a 
uniformidade de B no entorno do ponto P para esta separação particular das bobinas. 
 
16. Um disco de plástico, de raio R, tem uma carga q uniformemente distribuída em sua 
superfície. Se o disco girar com velocidade angular ω em torno do seu eixo, mostre 
que (a) o campo magnético no centro do disco será igual a e (b) o 
momento de dipolo magnético do disco valerá . (Sugestão: O disco, ao 
girar, torna-se equivalente a um conjunto de espiras circulares de corrente). 
 
17. Considere uma espira retangular percorrida por uma 
corrente i, como é visto na figura. O ponto P está a 
uma distância x do centro da espira, tal que x >> a, b. 
Encontre uma expressão para o campo magnético em 
P, devido à espira. Relacione seu resultado com o 
campo de um dipolo magnético. (Sugestão: Lados 
opostos do retângulo podem ser considerados em 
conjunto, mas analise cuidadosamente a orientação de 
B devido a cada lado.) 
 
18. Mostre que é impossível um campo magnético B 
uniforme cair abruptamente a zero, considerando-
se um percurso perpendicular às suas linhas de 
indução, como o indicado pela seta horizontal da 
figura (veja o ponto a). Em ímãs reais, sempre 
aparece uma deformação das linhas de força, o 
que significa que B tende a zero de modo gradual 
e contínuo. (Sugestão: Aplicar a Lei de Ampère 
ao trajeto retangular indicado pelas linhas 
tracejadas.) Modifique as linhas de B na figura, de modo a indicar uma situação 
mais realística. 
 
19. A figura mostra um cilindro oco, de raios a e b, conduzindo uma 
corrente i, uniformemente distribuída em sua seção reta. (a) 
Mostre que o campo magnético, B(r), para pontos internos do 
condutor (i.e., b < r < a), vale . (b) 
Verifique a validade deste resultado para os casos particulares r = a, r = b, b = 0. (c) 
Suponha a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, e i = 100 A, e trace o gráfico de B(r) no intervalo 0 
< r < 6 cm. 
 
20. A figura mostra, em corte transversal, um longo condutor, chamado de cabo coaxial, 
com raios a, b e c. Os dois condutores são percorridos por 
correntes i iguais, uniformemente distribuídas, mas de sentidos 
opostos. (a) Deduza expressões para B(r) em todo o espaço. (b) 
Teste seus resultados em todos os casos limites que você puder 
imaginar. (c) Suponha a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, c = 0,40 cm e i = 
120 A, e trace o gráfico de B(r) no intervalo 0 < r < 3 cm. 
 
21. A densidade de corrente dentro de um fio sólido, longo, e cilíndrico de raio a é 
paralela ao eixo; seu módulo varia linearmente com a distância radial ao eixo, de 
acordo com a lei j = j0r/a. Calcule o campo magnético no interior do fio. Expresse 
sua resposta em termos da corrente total i transportada pelo fio. 
 
22. A figura mostra a seção reta de um condutor cilíndrico longo, de 
raio a, que contém uma cavidade também cilíndrica e longa, de 
raio b. Os eixos dos dois cilindros são paralelos e estão a uma 
distância d. Uma corrente i é uniformemente distribuída pela área 
tracejada na figura. (a) Use o princípio de superposição para 
mostrar que o campo magnético no centro da cavidade é 
. (b) Analise os dois casos particulares b = 0 e d = 
0. (c) É possível usar a lei de Ampère para mostrar que o campo no interior da 
cavidade é uniforme? (Sugestão: Imagine a cavidade cilíndrica como se estivesse 
preenchida por duas correntes de mesma intensidade, mas de sentidos opostos, logo 
uma cancelando a outra. Suponha que uma destas correntes tem densidade igual 
àquela do condutor real. Superponha, então, os campos devidos aos dois cilindros 
completos de corrente,de raios a e b, com a densidade sendo a mesma para ambos.) 
 
 
Respostas: 
 
3. (a) 4; (b) ½. 
7. , saindo do plano da figura. 
12. , para cima. 
14. . 
20. (a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 
21.