Incerteza e Utilidade esperada - Micro II

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ECO 2278 – Teoria Microeconômica II
Escolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada
Joa˜o F. Caldeira
joao.caldeira@ufrgs.br
Curso de Cieˆncias Econoˆmicas , UFRGS
Porto Alegre, 11 de setembro de 2017
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Resumo: Prefereˆncias Envolvendo Risco
• Consumo contingente.
• Teoria da utilidade esperada de vNM.
◦ Intuição.
◦ Fundamentos axiomáticos.
• Coeficientes de aversão ao risco e seleção de carteiras.
• Dominância estocástica.
• Preferências em média-variância.
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Escolha sob Incerteza
• Quando pensamos em teoria das decisões podemos distinguir ações e
consequências. Uma ação é escolhida que gera uma consequência.
• A ideia é que um indivíduo racional tem preferências definidas sobre
consequências e deve escolher as ações que levam às consequências preferíveis.
• Até agora a distinção entre ações e consequências foi irrelevante já que cada
ação levava a uma consequência de forma determinística.
• Muitas das situações em que as pessoas fazem escolhas envolvem algum tipo de
incerteza. Adotaremos o conceito de estado da natureza.
• Nesse curso vamos considerar situações em que a relação é estocástica.
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Escolha sob Incerteza: Exemplos
• Um bilhete de loteria representa alguns milhões a mais ou alguns reais a menos.
• Quando você sai de casa levando um guarda-chuva você estará levando apenas
um peso a mais para carregar (caso não chova) ou proteção contra a chuva (caso
chova).
• Quando aluga uma casa na praia, você compra um fim de semana sob o sol ou
um fim de semana jogando cartas.
• Quando compra seguro para seu carro você compra reembolso de despesas com
acidentes ou em caso de roubo (caso eles ocorram) ou dinheiro jogado fora (caso
nada aconteça).
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Estado de Natureza
• Usamos o conceito de estado da natureza, para descrever a causa subjacente às
alternativas de mundo que observamos.
• Um estado de natureza é uma especificação completa dos valores de todas as
variáveis relevantes no horizonte temporal relevante.
• Suponha um mundo em que tudo dependa de dois lançamentos seguidos de uma
moeda. Notemos por F a ocorrência de cara e T a ocorrência de coroa. Os
estados de natureza são:
{(F, F ), (F, T ), (T, F ), (T, T )}.
• Um evento é um conjunto de estados de natureza. Dizemos que um evento ocorre
quando ocorre um de seus elementos.
• Passamos a considerar que o consumo e a produção da economia dependem da
realização de um estado da natureza s = 1, . . . , S.
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Escolha sob Incerteza
• Para alguns problemas, incerteza não é determinante. Para outros, é fundamental
para a análise.
• Iremos incorporar incerteza ao arcabouço que da teoria do consumidor.
• Vimos que X é o conjunto das escolhas possíveis: definição é geral o suficiente
para acomodar incerteza.
• Escolhas sob incerteza possuem características específicas, que permitem fazer
previsões mais fortes, ao impor restrições adicionais às preferências de indivíduos
racionais.
• Indivíduo precisa escolher uma dentre várias alternativas arriscadas. Cada
alternativa pode resultar em um dentre vários resultados possíveis.
• O resultado que irá efetivamente ocorrer é incerto. Mas indivíduo conhece as
probabilidades objetivas de ocorrência de cada resultado.
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Consumo contingente
• Um plano de consumo contigente é uma descrição completa das quantidades
consumidas de cada bem em cada possível estado de natureza.
Definic¸a˜o 0.1. Para todo bem (ou servic¸o) fı´sico l = 1, . . . , L e todo estado s = 1, . . . , S uma
unidade do bem contingente ls e´ um direito de receber uma unidade do bem l se e so´ se o estado s
ocorrer.
• Em mercados contingentes, uma mercadoria é um bem a ser entregue desde que
ocorra determinado evento.
Definic¸a˜o 0.2. O vetor de bens contingentes
x = (x11, x21, . . . , xL1, x21, . . . , xL2 . . . , xS1, . . . , xLS ) ∈ R
LS
representa o direito de receber o vetor (x1s, x2s, . . . , xLs) se e so´ se o estado s ocorrer.
• Um plano de consumo contingente é uma especificação do que seria consumido
para cada realização possível da natureza.
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Paradoxo de Sa˜o Petersburgo
• Um jogo propõe a seguinte aposta: joga-se uma moeda até que se obtenha a face
cara, em que a chance de se obter cara é igual a 1
2
em cada lançamento. Se a
face cara sair no j-ésimo lançamento o jogo paga 2j unidades monetárias.
• Logo o valor esperado do jogo é igual a:
E[x] =
∞∑
j=1
2j
(
1
2
)j
• Por exemplo, se a moeda for honesta (i.e, p = 1/2) temos:
Você ganhará $1 com probabilidade
1
2
,
(
1
2
)1
× 20
Você ganhará $2 com probabilidade
1
4
,
(
1
2
)2
× 21
Você ganhará $4 com probabilidade
1
8
,
(
1
2
)3
× 22
. . .
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Paradoxo de St. Petersburgo
• O ganho esperado é dado pela soma de todos os termos, i.e.:
∞∑
i=1
(
1
2
)i
× 2i−1 =
∞∑
i=1
1
2
=∞
• Assim, se um indivíduo olha simplesmente para o valor esperado do jogo, estará
disposto a pagar qualquer preço para participar desse jogo, o que é um
contrasenso.
• No entanto, na prática, ninguém está disposto a pagar um preço tão alto. Por quê?
• Mesmo que o retorno esperado seja infinito, a distribuição dos retornos não é
atraente. . .
◦ com 93% de probabilidade você ganhará $8 ou menos.
◦ com 99% de probabilidade você ganhará $64 ou menos.
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Paradoxo de St. Petersburgo
• Note, contudo, que se o comportamento for descrito por uma utilidade esperada
dada por u(z) = ln(z), a utilidade esperada do jogo de São Petersburgo é:
utilidade esperada =
∞∑
i=1
lnpiiu(xi)
=
∞∑
i=1
1
2i
ln
(
2i
)
=
∞∑
i=1
i
2i
ln(2)
= ln(2)
∞∑
i=1
i
2i
= 2 ln(2) ≈ 1.39.
• Um indivíduo com essa função utilidade estaria disposto a investir nesse jogo um
valor que lhe propicia utilidade de 1.39, aproximadamente $4
• Este resultado ilustra a aversão ao risco, conceito que captura uma tendência
comportamental de se evitar apostas com valores muito díspares.
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Definic¸o˜es e Conceitos
• No que concerne à formalização, há (basicamente) três alternativas que diferem
com relação ao caráter subjetivo ou objetivo das probabilidades (ou crenças)
envolvidas.
◦ A teoria de von-Neumann e Morgenstern (1944) que toma as probabilidades como algo
objetivo.
◦ A teoria de Savage (1954), que supo˜e que as probabilidades (crenc¸as) sa˜o subjetivas.
◦ A teoria da Anscombe e Aumann (1963), que admite que algumas probabilidades sa˜o
objetivas, enquanto algumas sa˜o essencialmente subjetivas.
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Definic¸o˜es e Conceitos
• X = {x1, x2, . . . , xN} denota os resultados possíveis. Por exemplo:
◦ Cestas de consumo
◦ Payoffs moneta´rios
Definic¸a˜o 0.3. Uma loteria simples e´ uma distribuic¸a˜o de probabilidade sobre esses resultados:
Considere um vetor de probabilidades(pi1, . . . , piN ), onde pij ≥ 0 ∀j e
∑j=1
N
pij = 1. Uma
loteria simples, L, e´ um vetor (x1, pi1; . . . ;xj , pij).
• Para simplificar a exposição, vamos fixar os resultados possíveis {xj}Nj=1 e definir
uma loteria pelo seu vetor de probabilidades associado a ela.
• Definamos então o conjunto L de todas as loterias sobre o conjunto de resultados
{xj}
N
j=1,
L ≡

(pi1, . . . , piN ) ;
N∑
j=1
pij = 1


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Definic¸o˜es e Conceitos
• Uma versão mais geral de loterias, que permite que os resultados possíveis
sejam, eles próprios, loterias.
Definic¸a˜o 0.4. ConsidereK loterias simples Lk =
(
pik1 , pi
k
2 , . . . , pi
k
N
)
, k = 1, . . . ,K e
probabilidades αk ≥ 0, com
∑K
k αk = 1. A opc¸a˜o arriscada que resulta na loteria L
k com
probabilidade αk , para k = 1, . . . ,K e´ chamada de loteria composta e representada por:
(L1,L2, . . . ,LK ;α1, α2, . . . , αK) .
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Definic¸o˜es e Conceitos
Definic¸a˜o 0.5. Dada uma loteria composta (L1,L2, . . . ,LK ;α1, α2, . . . , αK), a loteria reduzida
correspondente e´ a loteria simples (G1,G2, . . . ,GN ) que gera a mesma distribuic¸a˜o sobre os resultados
possı´veis. 

G1
.
.
.
GN

 = α1


pi11
.
.
.
pi1N

+ α2


pi21
.
.
.
pi2N

+ . . .+ αK


piK1
.
.
.
piKN


• Onde GN =
K∑
k=1
αkpi
k
j .
• Note que:
N∑
j=1
Gj =
N∑
j=1
(
K∑
k=1
αkpi
k
j
)
=
K∑
k=1
αk
K∑
k=1
pikj =
K∑
k=1
αk = 1.
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Prefereˆncias sobre loterias
• Agora vamos imaginar um tomador de decisões diante do espaço de escolha de
loterias, L.
• Vamos tomar como primitivo uma relação binária � sobre L denotando a relação
de preferências ou critério de escolha do tomador de decisões.
• A teoria de von Neumann-Morgenstern define uma forma particular para o
funcional que representa a relação de preferências.
• Tal funcional calcula o valor esperado das utilidades dos prêmios, isto é, realiza
uma soma das utilidades dos prêmios ponderada pelas probabilidades de cada
um deles.
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Prefereˆncias sobre loterias: hipo´teses
• Por hipótese, o agente tem uma relação de preferências � sobre L, caracterizada
pelos seguintes axiomas.
A1. O indivíduo é “consequencialista”: para qualquer escolha envolvendo risco,
apenas as loterias reduzidas são relevantes.
◦ Logo, o indivíduo deve ser indiferente entre duas loterias compostas com a
mesma loteria reduzida.
A2. Racionalidade: preferências completas e transitivas sobre L, o conjunto de todas
as loterias simples sobre o conjunto de resultados possíveisX.
A3. Continuidade: pequenas mudanças nas probabilidades não alteram o
ordenamento de preferências entre duas loterias quaisquer.
◦ Garante a existência de uma função utilidade U : L→ R representando �.
A4. Axioma da Independência: permite-nos representar � por um tipo de função de
utilidade particularmente útil.
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Prefereˆncias sobre loterias: hipo´teses
Definic¸a˜o 0.6. Continuidade: Uma relac¸a˜o de prefereˆncias� sobre L e´ dita contı´nua se, para quaisquer
L,L′,L′′ ∈ L, os dois conjuntos abaixo forem fechados:
{α ∈ [0, 1] : αL+ (1− α)L′ � L′′} ⊂ [0, 1]
{α ∈ [0, 1] : L′′ � αL+ (1− α)L′} ⊂ [0, 1]
Definic¸a˜o 0.7. Independeˆncia: Uma relac¸a˜o de prefereˆncias� sobre L satisfaz o axioma da
independeˆncia se, para quaisquer L,L′,L′′ ∈ L e e α ∈ [0, 1], tivermos:
L � L′ ⇔ αL+ (1− α)L′′ � αL′ + (1− α)L′′.
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Axioma da Independeˆncia
• Note que oAI não é necessariamente razoável no contexto da teoria do
consumidor tradicional.
• Por exemplo: suponha que o consumidor prefere
{2 chocolates , 0 bananas} a {0 chocolates, 2 bananas}
• Não há porque o consumidor preferir:
{2 chocolates , 1 bananas} a {1 chocolates, 2 bananas}
mesmo que ambos sejam uma combinação entre as cestas anteriores e a cesta
{2 chocolates , 2 bananas}.
• Veremos a seguir que o axioma da independência nos permite representar as
preferências na forma de utilidade esperada.
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Prefereˆncias sobre loterias: hipo´teses
• O axioma de continuidade afirma que: pequenas alterações nas probabilidades
não alteram a natureza da ordem entre duas loterias.
• O axioma que impõe, como veremos, uma importante estrutura à representação
de von Neumann-Morgenstern é o axioma de independência.
• O axioma da independência afirma que: se combinarmos as loterias L e L′ com
uma terceira, L′′, então a preferência entre as duas combinações
(αL+ (1− α)L′′ e αL′ + (1− α)L′′)
é totalmente determinada pela preferência entre L e L′, independentemente do
peso α e da terceira loteria L′′ considerada.
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Utilidade esperada
• A principal característica da representação de von Neumann-Morgenstern é a
linearidade nas probabilidades.
• Esta propriedade diz que a utilidade de uma loteria composta (obtida a partir de
uma combinação convexa de K loterias) é igual a combinação convexa, com
mesmos pesos, das utilidades de cada loteria considerada.
Definic¸a˜o 0.8. Um funcional utilidade U : L→ R tem a forma de utilidade esperada, se existe
uma designac¸a˜o de nu´meros (u1, u2, . . . , uN ) para osN resultados possı´veis (u : Z → R),
de modo que para cada loteria simples L = (pi1, pi2, . . . , piN ) ∈ L, temos:
U (L) =
N∑
i=1
u(zi)x(zi) =
n∑
i=1
uipii.
• A função de utilidade U : L→ R na forma de utilidade esperada é chamada de
utilidade de von Neumann-Morgenstern.
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Cardinalidade da Utilidade Esperada
• Note: U (L) =
∑
j
pijuj é linear nas probabilidades. Segue que:
Proposic¸a˜o 0.1. A func¸a˜o de utilidade U : L→ R tem a forma de utilidade esperada se, e
somente se satisfaz a propriedade:
U
(
K∑
k=1
αkLk
)
=
K∑
k=1
αkU (Lk) .
para quaisquerK loterias Lk ∈ L e probabilidades αk ≥ 0,
K∑
k=1
αk = 1, k = 1, . . . ,K .
• Diferentemente da Teoria do Consumidor que vimos ate´ agora, apenas transformac¸o˜es afins
crescentes preservam ordenamento de prefereˆncias representado por utilidade esperada.
Proposic¸a˜o 0.2. Suponha u : L→ R e´ uma utilidade esperada de v.N-M. para a relac¸a˜o de
prefereˆncias� sobre L. Enta˜o u˜ : L→ R e´ outra utilidade esperada de v.N-M. para a relac¸a˜o de
prefereˆncias� se, e somente se, existem α, β > 0 tais que u˜ (L) = α+ βu (L).
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Teorema da Utilidade Esperada
• Se a relação de preferências sobre loterias são contínuas e satisfazem o Axioma
da Independência, então são representáveis por uma função de utilidade com a
forma de utilidade esperada.
Proposic¸a˜o 0.3. Suponha que a relac¸a˜o de prefereˆncias� racionais sobre o espac¸o de loterias L
satisfaz continuidade e o axioma da independeˆncia. Enta˜o admite uma representac¸a˜o de utilidade
na forma de utilidade esperada. Isto e´, podemos designar um nu´mero un para cada realizac¸a˜o
n = 1, . . . , N de tal modo quepara quaisquer duas loterias L = (pi1, pi2, . . . , piN ) e
L′ =
(
pi′1, pi
′
2, . . . , pi
′
N
)
, temos:
L � L′ ⇐⇒
N∑
n=1
unpn ≥
N∑
n=1
unpi
′.
• Ver a prova em [JLP2010].
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Paradoxo de Allais
• Suponha que há três payoffs monetários:
(1) R$2.500.000 (2) R$500.000 (3) R$0
• Considere dois conjuntos de escolha, L e L′:
L : L1 = [0.00 1.00 0.00] L
′
1 = [0.10 0.89 0.01]
L
′ : L2 = [0.00 0.11 0.89] L
′
2 = [0.10 0.00 0.90]
• Que escolha você faria?
• Frequentemente as pessoas preferem L1 a L′1 e L2 a L
′
2 . Essas preferências
contradizem o axioma da independência.
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Digressa˜o: Paradoxo de Ellsberg
• Temos duas urnas: A e B. Cada uma delas contém cem bolas. Cada bola pode
ser preta ou branca. Na urna A existem 50 bolas de cada cor e não temos
nenhuma informação sobre a urna B.
◦ Uma bola é retirada de cada urna.
◦ Existem quatro estados da natureza denotados por
S = {(p, p), (p, b), (b, p), (b, b)}.
• Incerteza: A distribuição de probabilidade não é conhecida.
• Risco: A distribuição de probabilidade é conhecida (50 bolas são pretas e 50
bolas são brancas).
• Indivíduos são avessos à incerteza/ambiguidade (abordagem da probabilidade
não-aditiva).
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O Paradoxo de Ellsberg
• Suponha que uma urna contenha 30 bolas vermelhas (r) e outras 60 bolas que
podem ser pretas (b) ou amarelas (y). O número de bolas pretas e amarelas é
desconhecido, sabe-se apenas que a soma das duas é 60.
• Escolha uma das duas loterias seguir:
◦ Loteria Α: Ganha $100 se for selecionada uma bola vermelha.
◦ Loteria Β: Ganha $100 se for selecionada uma bola preta.
• Escolha uma das duas loterias seguir:
◦ Loteria C: Ganha $100 se for selecionada uma bola vermelha ou amarela.
◦ LoteriaD: Ganha $100 se for selecionada uma bola preta ou amarela.
• O paradoxo é o seguinte: quando pesquisados, a maioria das pessoas prefere
estritamente Α sobre Β eD sobreC.
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O Paradoxo de Ellsberg
• Todas as 90 bolas tem a mesma chance de ser selecioanda: pir , piy e pib.
• Suponha um agente econômico maximizador de uma função utilidade u:
contínua, estritamente crescente e côncava.
• Se o agente exibe o comportamento do paradoxo:
Α ≻ Β⇐⇒ pir · u($100) + (1− pir) · u($0) > pib · u($100) + (1− pib) · u($0)
Como u é estritamente crescente, temos que u($100) > u($0), logo:
pir [u($100) + u($0)] > pib [u($100) + u($0)]⇐⇒ pir > pib.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 26
O Paradoxo de Ellsberg
• Ao mesmo tempo, como o agente prefereD a C:
D ≻ C⇐⇒ pib·u($100)+piy ·u($100)+pir·u($0) > pir·u($100)+piy ·u($100)+pib·u($0)
simplificando:
pib [u($100)− u($0)] > pir [u($100)− u($0)]⇐⇒ pib > pir.
• O que é uma contradição e indica que as preferências do agente econômico são
inconsistentes com a teoria da utilidade esperada.
• Uma possível solução é adotar a abordagem do pior caso para avaliar as
utilidades esperadas. Tal abordagem requer um conjunto de probabilidades
subjetivas.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 27
Loterias Moneta´rias e Aversa˜o ao Risco
• Aversão ao Risco e Concavidade: A forma da função de utilidade de von
Neumann Morgenstern (NM) reflete as preferências em relação ao risco.
• Para caracterizarmos a atitude frente ao risco, vamos tomar utilidades esperadas
caracterizadas por índices u : R+ → R, que sejam duas vezes diferenciáveis com
primeira derivada satisfazendo u′ > 0.
• Dado uma loteria L ∈ L, vamos usar a notação u(L) = EL [u(z)] para denotar a
utilidade esperada da loteria x para um indivíduo com utilidade u.
• Formalização da noção de aversão ao risco no contexto de alternativas arriscadas
cujos resultados possíveis são valores expressos em unidades monetárias
(loterias monetárias).
• Tratamos o valor monetário como uma variável contínua.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 28
Loterias Moneta´rias e Utilidade Esperada
• Seja X variável aleatória contínua denotando um valor monetário.
Definic¸a˜o 0.9. Uma loteria moneta´ria e´ uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F : R→ [0, 1].
SeX e´ uma varia´vel aleato´ria que segue a lei de distribuic¸a˜o de F , enta˜o F (x) = Pr(X ≤ x) .
◦ Dado x, F (x) mede a probabilidade de a realizac¸a˜o do payoffX ser menor ou igual a x.
◦ Se F (·) tem uma func¸a˜o de densidade f(·), enta˜o:
F (x) =
∫ x
−∞
f(s)ds
• Nós vamos interpretar F como sendo uma loteria com resultados monetários – ou
seja, paga em renda nominal x (é por isso que o suporte de F é R+)
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 29
Loterias Moneta´rias e Utilidade Esperada
• Funções de distribuição preservam a estrutura linear das loterias:
• Dada uma loteria composta (L1,L2, . . . ,LK ;α1, α2, . . . , αK).
• Denotemos por FK(·) a distribuição de payoffs sob a loteria k.
• A distribuição do payoff associado à loteria reduzida é dada por:
F (x) =
K∑
k=1
αkFk(x)
• Assim, para estudar loterias sobre valores monetários, definimos o espaço de
loterias L como o conjunto de todas as distribuições de probabilidade possíveis,
com domínio não-negativo [a,∞).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 30
Loterias Moneta´rias e Utilidade Esperada
• Aplicação do Teorema da Utilidade Esperada: existe uma designação de valores
u(x) tais que F (·) pode ser avaliada como:
U (F ) =
∫
u(x)dF (x)
• Note: U (F ), que tem L como domínio, é a utilidade esperada de v.N-M.; u(x),
que tem como domínio o conjunto de realizações monetárias possíveis, é a
utilidade de Bernoulli.
•
∫
u(x)dF (x) é a esperança matemática de u(x).
◦ A função u(x) substitui os valores (u1, u2, . . . , uN ).
◦ Se F (x) tem função densidade f(x), então
U (F ) =
∫
u(x)f(x)dx
◦ Essa formulação inclui os casos em que um número finito de realizações tem
massa positiva.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 31
Aversa˜o ao Risco
• Atenção: O teorema de utilidade esperada não impõe restrições sobre a função
de Bernoulli, u(x).
◦ A especificação de u(x) é responsável por capturar atributos
comportamentais da escolha individual.
◦ Hipóteses básicas: u(·) é contínua, estritamente crescente e limitada
(acima e abaixo).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 32
Aversa˜o ao Risco
Definic¸a˜o 0.10. Um tomador de decisa˜o e´ dito:
1. Avesso ao risco se, para qualquer loteria F (·), ele prefere (fracamente) a loteria degenerada que
resulta num payoff certo (com probabilidade 1)
∫
xdF (x) a` loteria F (·).
2. Estritamente avesso ao risco se para toda loteria F (·) na˜o-degenerada, ele prefere estritamente
a loteria degenerada que tem por resultado
∫
xdF (x) probabilidade 1 a` loteria F (·).
3. Neutro ao risco se, para qualquer loteria F (·), ele e´ indiferente entre a loteria degenerada que tem
por resultado
∫
xdF (x) com probabilidade 1 e a loteria F (·).
4. Propenso ao risco se, para qualquer loteria F (·), ele prefere (fracamente) a loteria F (·) a` loteria
degenerada que tem por resultado
∫
xdF (x) com probabilidade 1.
5. Estritamente propenso ao risco se, para qualquer loteria F (·) na˜o-degenerada,ele prefere
estritamente a loteria F (·) a` loteria degenerada que tem por resultado
∫
xdF (x) com
probabilidade 1.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 33
Aversa˜o ao Risco e Concavidade de u(·)
• Da definição de aversão ao risco, segue que um indivíduo é avesso ao risco se, e
somente se: ∫
u(x)dF (x) ≤ u
(∫
xdF (x)
)
• Essa desigualdade se chama Desigualdade de Jensen, e define a concavidade
de uma função.
• Logo, aversão ao risco (estrita) é equivalente a concavidade (estrita) de u(·):
◦ utilidade marginal de um dólar adicional é (estritamente) decrescente;
◦ o risco de ganhar ou perder um dólar com probabilidades iguais não
compensa.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 34
Equivalente Certeza
Definic¸a˜o 0.11. O equivalente certeza de F (·), denotado por c(F, u), e´ o valor moneta´rio para o qual o
indivı´duo e´ indiferente entre a loteria F (·) e um valor sem risco c(F, u).
u (c(F, u)) =
∫
u(x)dF (x)
• Para um indivíduo avesso ao risco, c(F, u) é menor que o valor esperado de X:
trade-off entre o retorno esperado e um risco mais baixo.
c (F, u) =
∫
u(x)dF (x)
• De fato, a desigualdade acima é equivalente à aversão ao risco.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 35
Preˆmio de Risco
Definic¸a˜o 0.12. Preˆmio de risco: O preˆmio de riscoP e´ uma quantidade de renda tal que
P =
∫
u(x)dF (x)− c (F, u) .
Definic¸a˜o 0.13. Preˆmio de probabilidade: Dada uma func¸a˜o de utilidade u(·), um valor moneta´rio fixo x
e um nu´mero positivo ε, o preˆmio de probabilidade, denotado por pi(x, ε, u), e´ o excesso de probabilidade
de sucesso (em relac¸a˜o a probabilidades iguais de sucesso e fracasso) que deixa o indivı´duo indiferente
entre o resultado sem risco x e a loteria entre dois resultados x+ ε e x− ε.
u(x) =
(
1
2
+ pi(x, ε, u)
)
u(x+ ε) +
(
1
2
− pi(x, ε, u)
)
u(x− ε)
• Geometricamente, é fácil mostrar que aversão ao risco é equivalente a termos
pi(x, ε, u) ≥ 0, para todo x e todo ε > 0.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 36
Aversa˜o ao Risco e Concavidade
• Aversão ao risco implica que o Equivalente Certeza é menor que o Prêmio
Esperado.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 37
Aversa˜o ao risco
1) Um investidor é avesso ao risco, se CE[x˜] ≤ E[x˜], ou equivalentemente, se
pi[x˜] ≥ 0, para todas as variáveis aleatórias x˜.
2) Um investidor é neutro ao risco, se CE[x˜] = E[x˜], ou equivalentemente, se
pi[x˜] = 0, para todas as variáveis aleatórias x˜.
3) Um investidor é propenso ao risco, se CE[x˜] ≥ E[x˜], ou equivalentemente, se
pi[x˜] ≤ 0, para todas as variáveis aleatórias x˜.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 38
Aversa˜o ao risco
Proposic¸a˜o 0.4. Suponha que o indivı´duo e´ maximizador de uma utilidade esperada, com func¸a˜o de
utilidade de Bernoulli u(·) sobre valores moneta´rios. Enta˜o, as seguintes propriedades sa˜o equivalentes:
1. O indivı´duo e´ avesso ao risco;
2. u(·) e´ coˆncava;
3. c(F, u) ≤
∫
xdF (x), para todo F (·);
4. pi(x, ε, u) ≥ 0, para todo x, ε > 0.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 39
Medidas de Aversa˜o ao Risco
• Dado que funções de utilidade são definidas até para transformações lineares, a
própria concavidade não é suficiente para caracterizar o grau de aversão ao risco.
• Sejam u e v duas funções utilidade que representam preferências sobre riqueza.
A preferência u exibe mais a aversão ao risco do que v se os prêmios de risco
satisfazem:
piu (x˜) ≥ piv (x˜)
• Suponha que u e v são contínuas, monotonicamente crescentes, e duas vezes
difenciáveis.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 40
Medidas de Aversa˜o ao Risco
Definic¸a˜o 0.14. Dada uma func¸a˜o de utilidade u(·) sobre valores moneta´rios, duas vezes continuamente
diferencia´vel, o coeficiente de aversa˜o absoluta ao risco de Arrow-Pratt em x e´ definido como:
δA(x) = −
u′′ (x)
u′ (x)
.
• É uma medida da curvatura de u(·).
• Para um indivíduo avesso ao risco, δA(x) ≥ 0.
• Exemplo: u(x) = −e−ax, para a > 0, é chamada de função de utilidade CARA
(Constant Absolute Risk Aversion).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 41
Medidas de Aversa˜o ao Risco
Definic¸a˜o 0.15. Dadas func¸o˜es de utilidade de Bernoulli u1(·) e u2(·), dizemos que u2(·) e´ mais
avesso ao risco que u1(·) se:
1. δA(x, u2) ≥ δA(x, u1), para todo x.
2. Existe uma func¸a˜o crescente e coˆncava φ(·) tal que u2(x) = φ(u1(x)) para todo x, i.e., u2(·)
e´ uma transformac¸a˜o coˆncava de u1(·).
3. c(F, u2) ≤ c(F, u1), para qualquer F (·).
4. P(u2) ≥ P(u1), para qualquer F (·).
5. pi(x, ε, u2) ≥ pi(x, ε, u1), para quaisquer x e ε.
6. se ∫
u2(x)dF (x) ≥ u2(x) implica
∫
u1(x)dF (x) ≥ u1(x)
Ou seja, qualquer risco que u2(·) aceitar partindo de uma posic¸a˜o sem risco x tambe´m sera´ aceita
por u1(·).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 42
Aversa˜o ao risco entre nı´veis de renda
• É possível analisar também como relação com o risco varia com níveis de renda.
• A função de utilidade de u(·) exibe aversão absoluta ao risco decrescente se
δA(x, u) é uma função decrescente de x.
• Comparar aversão ao risco em diferentes níveis de renda é similar a compará-la
para indivíduos diferentes:
◦ Dois níveis de renda iniciais, w1 > w2.
◦ Seja z a mudança na renda.
◦ O indivíduo avalia risco comparando u1(z) ≡ u(w1+ z) a u2(z) ≡ u(w2+ z).
◦ δA(w,u2) ≥ δA(w, u1), para w1 > w2 se, e somente se
δA(z, u2) ≥ δA(z, u2), para todo z.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 43
Aversa˜o ao risco entre nı´veis de renda
Proposic¸a˜o 0.5. As seguintes propriedades sa˜o equivalentes:
1. u(·) exibe aversa˜o absoluta ao risco decrescente.
2. Sempre quew2 < w1, u2(z) ≡ u(w2 + z) e´ uma transformac¸a˜o coˆncava de
u1(z) = u(w1 + z).
3. Para qualquer risco F (z), o equivalente certeza cx da loteria formada ao adicionar risco z ao nı´vel
de renda x, dado por u (cx) =
∫
u(x+ z)dF (z), e´ tal que (x− cx) e´ decrescente em x. Isto
e´, quanto maior for x, menos o indivı´duo estara´ disposto a pagar para se livrar do risco.
4. O preˆmio de risco pi(x, ε, u) e´ decrescente em x.
5. Para qualquer F (z), se
∫
u(x2 + z)dF (z) ≥ u(x2) e x2 < x1, enta˜o∫
u(x1 + z)dF (z) ≥ u(x1).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 44
Aversa˜o relativa ao risco
• O conceito de aversão relativa ao risco nos permite avaliar alternativas arriscadas
cujos resultados são ganhos ou perdas percentuais da riqueza atual.
• Seja ψ > 0 o acréscimo ou decréscimo percentual da riqueza.
• Um indivíduo com utilidade u(·) e riqueza inicial w avalia o risco percentual
aleatório ψ usando u˜(ψ) = u(ψ · x).
• Um pequeno risco em torno da posição inicial ψ = 1 pode ser avaliado usando:
−
u˜′′(1)
u˜′(1)
= −
w · u′′(w)
u′(w)
.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 45
Aversa˜o relativa ao risco
Definic¸a˜o 0.16. Dada uma utilidade u(·), o coeficiente de aversa˜o relativa ao risco emw e´
δR(w, u) = −
w · u′′ (w)
u′ (w)
.
• Como δR(w, u) varia com a renda?
• Se δR(w,u) e´ decrescente em w, enta˜o indivı´duos mais ricos sa˜o menos avessos ao risco com
respeitoa loterias sobre percentuais de sua riqueza.
• Atenc¸a˜o: aversa˜o relativa ao risco decrescente=⇒ aversa˜o absoluta ao risco decrescente.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 46
Equivalente Certeza e Preˆmio de Risco
• Dada uma loteria x ∈ X, o equivalente certeza é um prêmio z ∈ R+ tal que:
u (z) = Ex [u(z)]
Notemos que pelas hipóteses aqui adotadas, temos que cx = u−1 (Ex[u(z)]).
• Como u′ > 0 implica que
(
u−1
)′
> 0 temos que
cx = u
−1 (Ex[u(z)]) ≤ Ex.
A diferença Ex − cx representa um prêmio pelo risco.
• Dado um nível de riqueza inicial w e um jogo justo, x ∈ X, o prêmio pelo risco da
loteria x dado a riqueza w, denotado por pi(w, x), é definido implicitamente como:
u (w − pi(w, x)) = E [u (x⊕ w)] .
• Lição de casa: Derive a expressão para o prêmio de risco.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 47
Equivalente Certeza e Preˆmio de Risco
• Sendo u crescente e estritamente côncava temos que
pi(w, x) = w − u−1 (E [u (x⊕ w)]) > 0.
• E então, pi(w, x) pode ser interpretado como o prêmio que o indivíduo está
disposto a pagar para ficar com o mesmo nível de utilidade gerado pelo jogo
representado por x⊕ w.
• Em geral, os problemas econômicos envolvem tomadas de decisões sobre
incerteza ao invés de risco, isto é, situações onde não temos probabilidades
dadas de maneira exógena.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 48
Nı´vel de Aversa˜o ao Risco Relativo - RRA
• Suponha agentes com função utilidade da forma:
u(w) =
w1−γ
1− γ
para γ 6= 1 e u(w) = logw para γ = 1.
como observado anteriormenteRRA(w) = γ e u(·) é da classeCRRA.
• Considere o seguinte investimento:


$50.000 com probabilidade pi = 0.5
$100.000 com probabilidade pi = 0.5
• Quanto o agente estaria disposto a pagar por tal investimento?
• A partir da resposta é possível inferir o coeficiente de aversão ao risco relativo
RRA(w) = γ.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 49
Nı´vel de Aversa˜o ao Risco Relativo
• A quantia máxima que o investidor está disposto a pagar por esse investimento
(CE) é definida por:
(w + CE)1−γ
1− γ
=
1
2
(w + 50.000)1−γ
1− γ
+
1
2
(w + 100.000)1−γ
1− γ
• Assumindo que a riqueza inicial é zero (w = 0), obtemos os seguintes resultados:
γ = 0 CE = 75.000 (neutralidade ao risco)
γ = 1 CE = 70.711
γ = 2 CE = 66.667
γ = 5 CE = 58.566
γ = 10 CE = 53.911
γ = 20 CE = 51.858
γ = 30 CE = 51.209
• Alternativamente, assumindo w = $100.000 e γ = 5, resulta em CE = $66.532.
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Comparando distribuic¸o˜es de payoffs
• Até agora, fixamos uma loteria e comparamos diferentes indivíduos (funções
utilidade) em termos de suas aversões ao risco.
• Agora, compararemos loterias (distribuições de payoff) em termos de risco e
retorno.
• Quando podemos dizer que uma distribuição F (·).
1. Tem retornos maiores que outra distribuição G(·)? (Domonância estocástica
de primeira ordem).
2. É menos arriscada que outra distribuição G(·)? (Dominância estocástica de
segunda ordem).
• Observação: Restringiremo-nos às distribuições F (·) que satisfazem F (0) = 0 e
F (x) = 1 para algum x.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 51
Dominaˆncia estoca´stica de primeira ordem
• Quando podemos dizer que a distribuição F (·) tem retornos maiores que outra
distribuição G(·)?
• Dois critérios equivalentes:
1. Se todo agente maximizador de utilidade esperada que prefere mais a menos
preferir F (·) a G(·) .
2. Se para qualquer valor monetário x, a probabilidade de receber ao menos x é
maior sob a loteria F (·) que sob G(·).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 52
Dominaˆncia estoca´stica de primeira ordem
Definic¸a˜o 0.17. Dizemos que a distribuic¸a˜o F (·) domina estocasticamente em primeira ordem a
distribuic¸a˜o F (·) se, para qualquer func¸a˜o na˜o-decresce u : R −→ R, tivermos:
∫
u(x)dF (x) ≥
∫
u(x)dG(x).
Proposic¸a˜o 0.6. A distribuic¸a˜o de payoffs moneta´rios F (·) domina estocasticamente em primeira ordem
a distribuic¸a˜oG(·) se, e somente se, F (x) ≤ G(x), ∀x.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 53
Dominaˆncia estoca´stica de segunda ordem
• Agora, comparamos distribuições em termos de quão arriscada são (dispersão de
payoffs).
• Restringiremo-nos a comparar distribuições com a mesma média.
Definic¸a˜o 0.18. Para duas distribuic¸o˜es F (·) eG(·) com a mesma me´dia, dizemos que F (·)
domina estocasticamente em segunda ordem (e´ menos arriscada que)G(·) se, para qualquer
func¸a˜o na˜o-decrescente e coˆncava u : R −→ R, tivermos:
∫
u(x)dF (x) ≥
∫
u(x)dG(x).
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 54
Dominaˆncia estoca´stica de segunda ordem
• Dominância estocástica de segunda ordem está intimamente relacionada ao
conceito de mean-preserving spreads.
• Um mean-preserving spread de uma distribuição F (·) é construído da seguinte
forma:
1. Considere uma loteria composta.
2. O primeiro estágio é a loteria F (·), com realização x.
3. O segundo estágio toma x como dado, e adiciona aleatorização com um
payoff de x+ z, em que z é distribuído de acordo com Hx(z), com média
zero, i.e.,
∫
zdHx(z) = 0
4. A loteria reduzida, denotada por G(·), é chamada de mean-preserving
spread.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 55
Dominaˆncia estoca´stica de segunda ordem
• Exemplo: Suponha que F (·) designa iguais probabilidades a 2 e 3 reais,
x ∈ {2, 3}. Em seguida, se x = 2, suponha que com igual probabilidade, o payoff
final é 1 ou 3. Se x = 3, então com probabilidades iguais o payoff final é 2 ou 4.
Então G(·) designa probabilidade 1/4 aos quatro possíveis resultados 1, 2, 3, 4.
• De forma geral, se G(·) é um mean-preserving spread de F (·) , então F (·)
domina estocasticamente em segunda ordem G(·) . A volta também vale. Logo,
os dois conceitos são equivalentes.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 56
Incerteza via estados da natureza
• Até agora, os consumidores apenas se importavam com as distribuições dos
payoffs, e não com as causas que podem originá-las.
• Estados da natureza:
1. S é o conjunto finito de possíveis estados.
2. s ∈ S é um estado.
3. pi(s) ou pis é a probabilidade (objetiva) de que s ∈ S ocorra.
• Neste arcabouço, uma possibilidade incerta com retornos monetários
(não-negativos) é capturada por uma variável aleatória.
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 57
Incerteza via estados da natureza
Definic¸a˜o 0.19. Uma varia´vel aleato´ria e´ uma func¸a˜o g : S −→ R+ que mapeia estados em
ocorreˆncias moneta´rias.
• Uma variável aleatória g gera uma loteria monetária F (·) tal que:
F (x) =
∑
s:g(s)≥x
pi(s), ∀x.
• Note que F (·) não monitora qual estado da natureza resulta em um dado payoff
monetário (perda de informação).
• Uma variável aleatória também pode ser representada por um vetor (x1, . . . , xS),
em que xs é o payoff no estado s.
• O conjunto de todas as variáveis aleatórias não-negativas é, então, dado por RS+ .
ECO 2278 – Teoria Microeconoˆmica IIEscolha sob Incerteza & Teoria da Utilidade Esperada – p. 58
	Resumo: Preferências Envolvendo Risco
	Escolha sob Incerteza
	Escolha sob Incerteza: ExemplosEstado de Natureza
	Escolha sob Incerteza
	Consumo contingente
	Paradoxo de São Petersburgo
	Paradoxo de St. Petersburgo
	Paradoxo de St. Petersburgo
	Definições e Conceitos
	Definições e Conceitos
	Definições e Conceitos
	Definições e Conceitos
	Preferências sobre loterias
	Preferências sobre loterias: nullextsf {hipóteses}
	Preferências sobre loterias: nullextsf {hipóteses}
	Axioma da Independência
	Preferências sobre loterias: nullextsf {hipóteses}
	Utilidade esperada
	Cardinalidade da Utilidade Esperada
	Teorema da Utilidade Esperada
	Paradoxo de Allais
	Digressão: Paradoxo de Ellsberg
	O Paradoxo de Ellsberg
	O Paradoxo de Ellsberg
	O Paradoxo de Ellsberg
	Loterias Monetárias e Aversão ao Risco
	Loterias Monetárias e Utilidade Esperada
	Loterias Monetárias e Utilidade Esperada
	Loterias Monetárias e Utilidade Esperada
	Aversão ao Risco
	Aversão ao Risco
	Aversão ao Risco e Concavidade de $u(cdot )$
	Equivalente Certeza
	Prêmio de Risco
	Aversão ao Risco e Concavidade
	Aversão ao risco
	Aversão ao risco
	Medidas de Aversão ao Risco
	Medidas de Aversão ao Risco
	Medidas de Aversão ao Risco
	Aversão ao risco entre níveis de renda
	Aversão ao risco entre níveis de renda
	Aversão relativa ao risco
	Aversão relativa ao risco
	Equivalente Certeza e Prêmio de Risco
	Equivalente Certeza e Prêmio de Risco
	Nível de Aversão ao Risco Relativo - $RRA$
	Nível de Aversão ao Risco Relativo
	Comparando distribuições de payoffs
	Dominância estocástica de primeira ordem
	Dominância estocástica de primeira ordem
	Dominância estocástica de segunda ordem
	Dominância estocástica de segunda ordem
	Dominância estocástica de segunda ordem
	Incerteza via estados da natureza
	Incerteza via estados da natureza