Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição Louis Leithold Capítulo III A derivada e a derivação Exercícios 3.10 Revisão do capítulo III Resolvido por Nelson Poerschke Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada dafunção dada: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Nos exercícios 17 a 24, calcule a derivada indicada. 17. [ 18. 19. 20. 21. 23. = = Nos exercícios 25 a 34, ache 25. 26. 27. 28. 29. 33. 36. Ache uma equação da reta normal à curva no ponto . Substituindo por 3 e por 1, temos: Uma equação da reta normal, que passa pelo ponto (3, 1) é: 38. Ache as equações das retas tangentes e normal à curva , no ponto . A equação da reta tangente é: A equação da reta normal é: 41. Encontre se . 42. Dada , onde é uma constante e , uma função de , expresse em termos de e . 43. Dada . Para que valores de . Portanto, quando . 45. Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal segundo a equação , onde cm é a distância orientada da partícula até a origem no instante t s. a) A partícula está no ponto inicial quando . Para que outros valores de a partícula estará de novo no ponto inicial? Vejamos que, se , será igual a 100. Logo, sempre que , t será igual a zero. Então: Então, a partícula estará no ponto inicial quando . b) Determine a velocidade da partícula em cada instante em que ela estiver no ponto inicial e interprete o sinal da velocidade em cada caso. (a partícula move-se para a direita) (a partícula move-se para a esquerda) (a partícula move-se para a direita) 46. Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal, de acordo com a equação onde cm é a distância orientada da partícula a partir de um ponto em s. O sentido positivo do movimento é para a direita. Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula inverte o sentido de seu movimento na reta. Mostre o comportamento do movimento como uma figura e escolha os valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t nos quais a partícula inverte o sentido do movimento. Conclusão é positiva, a partícula move-se para a direita. 0 0 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda. é negativa, a partícula move-se para a esquerda. 0 0 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda. é positiva, a partícula move-se para a direita. 48. Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação , onde m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após s do início do movimento. a) Ache a velocidade aos 3 s. b) Ache a velocidade inicial. 49. Uma bola é atirada para cima do topo de um prédio com 112 m de altura. Sua equação do movimento é , onde m é a distância orientada da bola ao ponto de partida, após s. a) Ache a velocidade instantânea da bola após 2s. b) Qual a altura máxima atingida pela bola? A bola atingirá a altura máxima quando c) Quanto tempo levará para atingir o solo? Como a origem está 112 m acima do solo, Neste caso, utilizamos o valor positivo para o tempo. d) Ache a velocidade instantânea da bola ao atingir o solo. O valor negativo para a velocidade indica que o sentido da mesma é para baixo. 51. Se unidades quadradas for a área de um triângulo retângulo isóceles cujos catetos têm unidades de comprimento, ache: a) a taxa média de variação de em relação a quando varia de 8,00 para 8,01. A área do triângulo é onde é a base e a altura. Como este triângulo possui os catetos iguais, podemos dizer que a base é igual à altura. Então, mas, , logo, . Assim, b) A taxa instantânea de variação de em relação a quando . 69. Se for a quantia em dinheiro correspondente ao custo total de fabricação de cadeiras e , ache: a) a função custo marginal A função custo marginal é a derivada da equação do custo. b) o custo marginal quando 20 cadeiras são fabricadas. c) o custo real de fabricação da 21ª cadeira. . 70. O rendimento total recebido da venda de lâmpadas é e . Ache: a) a função rendimento marginal. b) o rendimento marginal quando . c) o rendimento real da venda da 16ª lâmpada. 71. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de peixes pequenos no lago, naqueleperíodo de tempo. Suponha que quando há peixes pequenos no lago, a população de predadores é e . Se a temporada de pesca terminou semanas atrás, A que taxa a população do peixe predador estará crescendo 9 semanas após o término da temporada de pesca? Não expresse em termos de mas use a regra da cadeia. Após semanas haverá peixes pequenos e predadores, onde e Se e e Assim, após 9 semanas, a população de predadores estará crescendo a uma taxa de 648 pixes por semana. 72. A equação de demanda para uma barra de chocolate é onde barras são demandadas por semanas quando centavos é o preço por unidade. Se o preço atual de cada barra for 49 centavos e estiver aumentando à taxa de 0,2 centavos por semana, ache a taxa de variação na demanda. A taxa de variação na demanda é Nós multiplicamos os dois lados por: A demanda decresce em 242 unidades/semana quando o preço sobe 0,2 centavos por semana. 73. Uma partícula move-se ao longo de uma reta, e onde m é a distância da partícula até a origem no instante s. Prove que o movimento é harmônico simples. Observe-se que a equação da aceleração é igual à equação da posição multiplicada por – 16. Então, Como a magnitude da aceleração é sempre proporcional à medida do deslocamento e a aceleração e o deslocamento têm sentidos opostos, o movimento é harmônico simples. 80. Quando o último vagão de um trem passa por baixo de um viaduto, um automóvel cruza o viaduto numa rodovia perpendicular aos trilhos e 30 m acima deles. O trem está a 80 m/s, enquanto que o automóvel está a 40 m/s. Com que velocidade se afastam um do outro após 2 s? 27. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento? Em s depois que o caminhão passa pelo cruzamento: m (distância percorrida pelo caminhão) m (distância percorrida pelo automóvel) m (distância entre eles) Como e Então em , e , temos: Assim, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento, o automóvel e o caminhão estão se separando à taxa de 14 m/s.
Compartilhar