Fisica 3A

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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Aula 1 – A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de
Coulomb
Meta da aula
Apresentar a Lei de Coulomb.
Objetivos
Ao final do estudo desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
• Entender que as bases da eletrosta´tica sa˜o fundamentalmente emp´ıricas;
em particular, perceber que a Lei de Coulomb e´ uma s´ıntese de fatos
experimentais acumulados ao longo de muitos anos.
• Compreender que a carga ele´trica e´ uma propriedade da mate´ria.
• Aplicar a Lei de Coulomb e o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o aos exerc´ıcios
e problemas propostos ao longo do texto e ao final da aula.
Pre´-requisitos
Seria proveitoso se, antes de prosseguir com a leitura e o estudo desta
aula, voceˆ revisasse a Aula 1 – Interac¸a˜o Eletrosta´tica I e o Complemento 1
– Histo´ria da Eletricidade, Volume 4, Mo´dulo 4.
Introduc¸a˜o
Nesta aula iniciaremos o estudo da eletrosta´tica, ramo da F´ısica que
trata da interac¸a˜o ele´trica gerada por cargas em repouso. Nem tudo sera´
novidade, pois voceˆ ja´ deve ter travado contato com este assunto no Ensino
Me´dio e na disciplina Introduc¸a˜o a`s Cieˆncias F´ısicas.
Histo´ria da eletricidade
Os peixes-ele´tricos podem
armazenar eletricidade e
utilizar essa carga
armazenada para se defender
e ate´ mesmo atacar suas
presas. No Brasil, o mais
conhecido e´ o peixe da regia˜o
amazoˆnica Electrophorus
electricus, conhecido
popularmente por poraqueˆ.
A humanidade convive ha´ bastante tempo com os fenoˆmenos ele´tricos e
magne´ticos, como a eletrizac¸a˜o por fricc¸a˜o, os relaˆmpagos e as bu´ssolas natu-
rais. O fenoˆmeno da eletricidade esta´tica produzida por fricc¸a˜o era familiar
aos antigos, que tambe´m conheciam as propriedades de certos peixes capazes
de gerar descargas ele´tricas (peixes-ele´tricos).
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Tales de Mileto (c. 600 a.C.), Teo´frasto (c. 321 a.C.) e Pl´ınio (c. 70
d.C.) fizeram refereˆncia a uma substaˆncia resinosa que, apo´s ser friccionada,
adquiria capacidade de atrair objetos. Imagina-se que eles estivessem falando
do aˆmbar.
O termo c. tambe´m pode
ser encontrado na forma
“circa de”. E´ uma refereˆncia
temporal e significa “por
volta de”, ou
“aproximadamente”.
No se´culo XVI, Girolamo Cardano (1501-1576) foi capaz de estabe-
lecer a diferenc¸a entre o aˆmbar e a magnetita. As propriedades ele´tricas
da mate´ria foram tambe´m estudadas por William Gilbert (1544-1603),
me´dico da rainha Elizabeth I da Inglaterra, que resumiu dezoito anos de ex-
perieˆncias com a magnetita, com os ı´ma˜s e os materiais ele´tricos em seu livro
O aˆmbar e´ uma susbtaˆncia
resinosa, resultante do
processo de polimerizac¸a˜o da
seiva de a´rvores
pre´-histo´ricas. E´ muito
usado na fabricac¸a˜o de jo´ias
e pec¸as ornamentais.
De magnete. Nesse trabalho, e´ poss´ıvel encontrar a primeira distinc¸a˜o entre
materiais ele´tricos e na˜o-ele´tricos, ou diele´tricos; a relac¸a˜o entre a umidade e
a eletrizac¸a˜o; a demonstrac¸a˜o de que a eletrizac¸a˜o afeta os metais, os l´ıquidos
e a fumac¸a; a observac¸a˜o de que os materiais ele´tricos comportam-se como
agentes atrativos, entre outras propriedades. Foi Gilbert quem descreveu es-
sas propriedades como ele´tricas, do grego ηλ�κτoν (elektron), que significa
aˆmbar. Ele chamava a atrac¸a˜o ele´trica de vis electrica, ou forc¸a ele´trica.
Em 1729, o ingleˆs Stephen Gray realizou experimentos que lhe permitiram
estabelecer diferenc¸as entre materiais condutores e materiais isolantes. Um
pouco depois, em 1733, o franceˆs Charles Franc¸ois du Fay, superintendente
dos jardins reais, fez treˆs descobertas de importaˆncia vital para o desenvol-
vimento da eletricidade, e descobriu que:
William Gilbert, ou
Gilberd, como ele mesmo
escrevia, nasceu em 1544 em
Colchester, Essex,
Inglaterra. As primeiras
investigac¸o˜es cient´ıficas de
Gilbert foram centradas
quase que exclusivamente em
Qu´ımica. Gilbert foi um dos
primeiros a descrever com
sucesso, apo´s exaustivos
experimentos feitos com uma
pacieˆncia exemplar,
fenoˆmenos ele´tricos e
magne´ticos. Seus resultados
foram publicados durante o
ano de 1600 sob o t´ıtulo De
Magnete magneticisque
corporius, et de magno
magnete tellure; Physiologia
nova, plurimis et argumentis
et experimentis demonstrata.
(i) havia dois tipos de eletricidade;
(ii) os tipos semelhantes de eletricidade repelem um ao outro;
(iii) os tipos opostos atraem ou ao outro.
Esses dois tipos de eletricidade foram posteriormente denominados
positiva e negativa por Benjamin Franklin (1706-1790). Tal nomencla-
tura perdura ate´ hoje, mas voceˆ deve ter percebido que positivo e negativo
sa˜o apenas termos arbitra´rios para denotar os dois tipos de eletricidade; alfa
e beta seriam palavras igualmente va´lidas.
Entretanto, a questa˜o transcende aos aspectos experimentais e conven-
cionais. De fato, a F´ısica teo´rica moderna mostra que, na verdade, temos
apenas um tipo de carga, que pode adquirir valores reais, isto e´, valores po-
sitivos e negativos. Uma evideˆncia disso e´ o fato de que a mesma lei de forc¸a
da´ conta das interac¸o˜es entre cargas positivas e negativas; outra evideˆncia e´
a conservac¸a˜o da carga ele´trica, que discutiremos mais adiante.
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Experimento 1: o pente eletrizado
Vamos realizar um simples experimento que, apesar de na˜o fornecer resul-
tados quantitativos, apresenta resultados qualitativos interessantes. Esse
experimento depende um pouco das condic¸o˜es de umidade do meio am-
biente no momento de sua realizac¸a˜o. Voceˆ vai necessitar dos seguintes
materiais:
• Um pente de pla´stico simples.
• Papel cortado em pedac¸os bem pequenos.
Coloque os pedacinhos de papel sobre uma mesa ou ta´bua. Em seguida,
aproxime o pente dos pedacinhos. O que voceˆ observa? Anote esse
resultado.
Esfregue agora o pente no cabelo (seu ou de um colega). O ato de pentear
o cabelo va´rias vezes ja´ e´ suficiente. Aproxime novamente o pente dos
pedacinhos de papel. O que voceˆ observa? Houve alguma alterac¸a˜o em
relac¸a˜o ao procedimento anterior? Anote o novo resultado.
Os resultados que voceˆ deve ter observado esta˜o relacionados a` auseˆncia
ou presenc¸a de cargas ele´tricas no pente e nos pape´is. Mais adiante voceˆ
ja´ tera´ condic¸o˜es de fazer uma ana´lise mais detalhada desses resultados e
entendeˆ-los melhor. Por enquanto, apenas fac¸a as anotac¸o˜es, observando
cada detalhe.
Cargas puntiformes sa˜o
cargas associadas a um
ponto no espac¸o, e portanto
na˜o teˆm dimensa˜o.
Vejamos, agora, como a lei fundamental de interac¸a˜o entre cargas ele´tricas,
a Lei de Coulomb, foi finalmente estabelecida.
Franz Aepinus escreveu o
primeiro livro aplicando a
Matema´tica a` eletricidade e
ao magnetismo. O livro,
Tentamen theoriae
eletricitats et magnetismi,
foi publicado em 1759.
A forc¸a entre duas cargas puntiformes: a Lei de
Coulomb
Foi um cientista raramente mencionado nos livros dida´ticos da a´rea
(a bibliografia esta´ no final do mo´dulo), de nome Franz Maria Ulrich
Theodosius Aepinus (1724-1802), quem sugeriu pela primeira vez que a
forc¸a entre cargas ele´tricas esta´ticas deveria diminuir, por um lado, com o
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
aumento da distaˆncia entre elas e, por outro lado, deveria aumentar com a
diminuic¸a˜o dessa distaˆncia. Entretanto, Aepinus na˜o sugeriu como a forc¸a
entre cargas esta´ticas dependia da distaˆncia, isto e´, a lei de forc¸a. Em 1753,
o ingleˆs Henry Cavendish (1731-1810), talvez mais conhecido dos estudan-
tes pela determinac¸a˜o experimentalda constante universal de gravitac¸a˜o G,
realizou experieˆncias com distribuic¸o˜es de cargas esta´ticas. Essas experieˆncias
o levaram a concluir que a intensidade da forc¸a entre duas cargas ele´tricas e´
da forma
‖�F‖ ∼ 1
rx
,
onde r e´ a distaˆncia entre as cargas e x e´ um nu´mero real positivo.
Em 1785, Charles Agustin Coulomb (1736-1806) publicou o pri-
Charles Agustin
Coulomb nasceu em 14 de
junho de 1736 em
Angouleˆme, no sul da
Franc¸a, em uma famı´lia de
posic¸a˜o social elevada.
Coloumb seguiu a carreira
de engenheiro militar. Era
grande conhecedor da teoria
e pra´tica da balanc¸a de
torc¸a˜o, que utilizou no
estudo da eletrosta´tica.
meiro dos sete trabalhos que escreveu sobre eletricidade e magnetismo. Dois
anos depois, em 1787, publicou o segundo.
Nesses dois trabalhos, Coulomb apresentou os aspectos mais relevantes
da lei de forc¸a que rege as interac¸o˜es eletrosta´ticas. Embora controvertidas
– e, para muitos, inconclusivas, as experieˆncias de Coulomb consolidaram o
modelo gravitacional do inverso do quadrado no contexto eletrosta´tico. Cou-
lomb utilizou balanc¸as de torc¸a˜o para verificar fenoˆmenos ele´tricos repulsivos
e atrativos.
Escrita em notac¸a˜o matema´tica vetorial moderna, a Lei de Coulomb
no va´cuo se leˆ:
O va´cuo cla´ssico e´ o espac¸o
livre de mate´ria e energia.
No cotidiano, usamos o
termo va´cuo para designar o
espac¸o com uma densidade
de mate´ria muito baixa. O
termo va´cuo e´ usual em
tecnologia para referir-se a
um espac¸o ocupado por um
ga´s sob pressa˜o inferior a`
ambiente. As te´cnicas de
obtenc¸a˜o de va´cuo sa˜o de
grande importaˆncia em
pesquisas, tais como
part´ıculas elementares. O
va´cuo pode ser obtido
usando equipamentos
especiais, chamados de
bombas de va´cuo.
�F12 = Ke
q1q2
r212
rˆ12 (1.1)
onde �F12 e´ a forc¸a que a carga puntiforme q1 exerce sobre a carga puntiforme
q2,
rˆ12 :=
(�r2 − �r1)
‖�r2 − �r1‖ ,
e´ o vetor unita´rio cuja direc¸a˜o e´ dada pelo segmento de reta que une as cargas
q1 e q2 com o sentido de q1 para q2; r12 := ‖�r2−�r1‖ e´ a distaˆncia entre as duas
cargas. A Figura 1.1 ilustra a representac¸a˜o vetorial da Lei de Coulomb.
Como essa lei obedece a` Terceira Lei de Newton, a forc¸a que q2 exerce sobre
q1 tem a mesma intensidade, a mesma direc¸a˜o e sentido oposto ao da forc¸a
que q1 exerce sobre q2, isto e´: �F21 = −�F12. Nunca e´ demais lembrar que o
par ac¸a˜o e reac¸a˜o atua sobre corpos distintos. A constante Ke depende do
sistema de unidades utilizado. No Sistema Internacional, a forc¸a e´ dada em
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
newtons, a distaˆncia em metros e as cargas em coulomb. Portanto, a unidade
de Ke e´
newton metro2
coulomb2
(1.2)
Figura 1.1: Representac¸a˜o vetorial da Lei de Coulomb.
Continuac¸a˜o do experimento do pente eletrizado
Pegue suas anotac¸o˜es, referentes ao experimento que voceˆ realizou com
o pente. O que ocorreu quando o pente, rece´m-esfregado no cabelo, foi
aproximado dos pedacinhos de papel? A interac¸a˜o ocorrida foi do tipo
atrativa ou repulsiva? Supondo que existam cargas ele´tricas no pente e nos
pedacinhos de papel, o que podemos afirmar com relac¸a˜o ao tipo de carga
em cada um deles?
Exerc´ıcio 1.1
Para a constituic¸a˜o dos a´tomos e mole´culas, a forc¸a de Coulomb e´ muito
mais importante que a forc¸a gravitacional. Considere, por exemplo, um
a´tomo de hidrogeˆnio, que e´ uma estrutura formada por um ele´tron e um
pro´ton. Calcule a raza˜o entre o mo´dulo da forc¸a gravitacional ‖�Fg‖ e o da
forc¸a eletrosta´tica ‖�Fe‖ entre o ele´tron e o pro´ton e mostre que
‖�Fg‖
‖�Fe‖
≈ 2, 3 × 10−39.
As constantes de que voceˆ necessita esta˜o na Tabela I no final do mo´dulo.
11 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
A lei emp´ırica, descoberta por Coulomb, resume o acervo de fatos ex-
perimentais sobre a eletrosta´tica, acumulados, analisados e discutidos por
gerac¸o˜es de pesquisadores.
O eletrosco´pio foi
inventado em 1748 por
Jean-Antoine Nollet
(1700-1770), padre franceˆs,
f´ısico experimental e um dos
l´ıderes da Academia
Parisiense de Cieˆncias.
Nollet foi o primeiro
professor de F´ısica
Experimental da
Universidade de Paris.
Exerc´ıcio 1.2
A forc¸a gravitacional entre duas massas puntiformes (a Lei da Gravitac¸a˜o
Universal de Newton) e a forc¸a eletrosta´tica entre duas cargas puntiformes
(a Lei de Coulomb) guardam semelhanc¸as entre si; mas, como podemos
observar, guardam tambe´m diferenc¸as. Mencione duas semelhanc¸as e duas
diferenc¸as importantes entre essas duas leis fundamentais da Natureza.
Quantos tipos de massa existem? Quantos tipos de carga existem?
Resposta comentada: Em ambas as leis, a forc¸a de interac¸a˜o varia com o
produto de massas ou cargas, e com o inverso do quadrado da distaˆncia.
So´ existe um tipo de massa, e dois tipos de carga. A forc¸a eletrosta´tica e´
atrativa quando as cargas sa˜o opostas e e´ repulsiva quando as cargas sa˜o
de mesmo tipo. Ja´ na lei gravitacional, embora as massas sejam apenas de
um tipo, a forc¸a e´ sempre atrativa.
Existe um instrumento muito simples, chamado eletrosco´pio, esque-
matizado na Figura 1.2, que e´ capaz de evidenciar a existeˆncia de cargas
ele´tricas e o efeito da interac¸a˜o entre elas.
O eletrosco´pio e´ uma ampola de vidro em cuja tampa esta´ pendurada
uma haste de cobre. Na extremidade da haste que esta´ dentro da ampola,
esta´ pendurada uma fita de material meta´lico (papel-alumı´nio, por exemplo).
A outra extremidade da haste fica para fora da ampola.
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Figura 1.2: Esquematizac¸a˜o de um eletrosco´pio: (a) ampola de vidro, (b) tampa,
(c) haste meta´lica, (d) folha meta´lica.
Vamos supor que uma superf´ıcie carregada de cargas positivas, por
exemplo uma haste de pla´stico, ou mesmo um pente, seja aproximada da
ponta externa da haste. Veja a Figura 1.3. A presenc¸a das cargas positivas
pro´ximas a` extremidade meta´lica da haste faz com que suas cargas negativas
se reordenem, conforme mostra a Figura 1.3.
Tal processo e´ conhecido como induc¸a˜o de cargas e, por sua vez, tambe´m
induz o aparecimento de cargas na fita meta´lica no interior da ampola, mas
com sinal contra´rio. Como as cargas na fita meta´lica sa˜o de mesmo sinal,
suas extremidades se repelem, e o que se observa e´ o afastamento entre elas.
Note que a forc¸a ele´trica de repulsa˜o precisa vencer a forc¸a gravitacional que
mante´m as fitas na vertical. Uma maneira de garantir isso e´ utilizar fitas de
pouca massa (fitas muito finas, por exemplo). Mas fitas com pouca massa
podem sofrer influeˆncias externas, como movimentos devido a correntes de
ar. Essa e´ uma das razo˜es do uso da ampola. A ampola de vidro protege
as fitas meta´licas e garante o bom funcionamento do eletrosco´pio. A ampola
tambe´m garante que a umidade ao redor das fitas na˜o varia. O eletrosco´pio
funciona em qualquer lugar, independentemente das condic¸o˜es de umidade
do ambiente.
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Figura 1.3: Induc¸a˜o de cargas ele´tricas por aproximac¸a˜o de uma superf´ıcie carregada.
Experimento 2: O eletrosco´pio
Os po´los teˆm, a` sua disposic¸a˜o, um eletrosco´pio simples. Com ele, voceˆ
podera´ realizar experimentos simples para verificar a existeˆncia de cargas
ele´tricas.
Material necessa´rio:
• eletrosco´pio;
• haste de Teflon� ou outro material pla´stico;
• haste meta´lica;
• flanela seca.
Siga as instruc¸o˜es:
1. Pegue a haste de Teflon�. Esfregue-a va´rias vezes com a flanela.
Observe com cuidado a posic¸a˜o da fita no interior do eletrosco´pio.Aproxime a haste da extremidade externa do eletrosco´pio. Observe e
anote o comportamento da fita no interior do mesmo.
2. Repita o procedimento anterior usando a haste meta´lica.
Observe cuidadosamente suas anotac¸o˜es e explique seus resultados com base
no que voceˆ aprendeu, ate´ aqui, a respeito das cargas ele´tricas.
Teflon�, aqui, refere-se ao
material pla´stico e na˜o ao
recobrimento usualmente
encontrado em panelas
antiaderentes.
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A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
A permissividade ele´trica �
No Sistema Internacional (SI) de unidades que utilizaremos aqui, a
constante material Ke se escreve:
Ke =
1
4π�
, (1.3)
onde a constante � – a permissividade ele´trica do meio – caracteriza as
propriedades ele´tricas do meio homogeˆneo e isotro´pico em torno das
Meio homogeˆneo e´ aquele
em que as propriedades
f´ısicas sa˜o as mesmas em
todos os pontos. Meio
isotro´pico e´ aquele em que
as propriedades f´ısicas sa˜o
independentes da direc¸a˜o em
que sa˜o observadas.
duas cargas puntiformes. Futuramente faremos um estudo mais detalhado
da permissividade ele´trica, quando tratarmos de campos ele´tricos. No caso
em que o meio e´ o va´cuo cla´ssico, temos:
Ke =
1
4π�0
, (1.4)
onde
�0 = 8, 85418782 × 10−12 coulomb
2
newton metro2
. (1.5)
A constante �0 e´ a permissividade do va´cuo e seu valor e´ determinado
experimentalmente.
Para ca´lculo simples, o valor
de �0 pode ser aproximado
para �0 ∼= 8, 9× 10−12 C2N·m2 .
Se o meio e´ o ar, Kar ≈ Kva´cuo. Veremos posteriormente que, para os
meios materiais mais comuns, a permissividade ele´trica pode ser escrita na
forma � = �rel�0, onde �rel e´ a permissividade relativa. Para o va´cuo, �rel = 1.
O Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Consideremos treˆs cargas puntiformes de valores iguais a q1, q2 e q3,
respectivamente, cujas distaˆncias relativas entre si permanecem fixas. Que-
remos calcular a forc¸a sobre a carga q3. Como proceder? Uma soluc¸a˜o e´
aplicar a Lei de Coulomb ao par formado por q1 e q3 e, em seguida, ao par
formado por q2 e q3, obtendo as forc¸as �F13 e �F23 respectivamente. Final-
mente, devemos somar os resultados individuais vetorialmente. Ou seja, a
forc¸a resultante sobre q3, devido a`s cargas q1 e q2, seria a soma vetorial:
�F3 = �F13 + �F23,
ou ainda:
�F3 =
1
4π�0
q1q3
r213
rˆ13 +
1
4π�0
q2q3
r223
rˆ23.
15 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Esse procedimento parece lo´gico e aparentemente simples. Observe a
Figura 1.4, que o ilustra geometricamente.
Figura 1.4: O Princ´ıpio da Superposic¸a˜o. A forc¸a resultante sobre q3 e´ a soma vetorial
das forc¸as exercidas por q1 e q2 separadamente.
Do ponto de vista matema´tico, ele esta´ justificado pela a´lgebra linear.
Entretanto, devemos refletir sobre ele. A reflexa˜o nos levara´ a` pergunta: tal
procedimento corresponde a uma realidade experimental? A Natureza na˜o
tem obrigac¸a˜o de obedecer ao que por vezes, de modo ingeˆnuo, chamamos
lo´gica. Embora ela admita uma descric¸a˜o matema´tica de muitos fenoˆmenos,
a priori essa descric¸a˜o na˜o tem por que ser linear. Felizmente, os experi-
mentos mostram que o procedimento e´ correto. Esse modo de calcular a
forc¸a eletrosta´tica resultante, devido a` interac¸a˜o eletrosta´tica entre uma dis-
tribuic¸a˜o de cargas puntiformes e uma carga de teste, e´ chamado Princ´ıpio
da Superposic¸a˜o. No´s o utilizaremos muitas e muitas vezes no decorrer
do curso. Mas conve´m ter sempre em mente que os fundamentos da sua
utilizac¸a˜o sa˜o emp´ıricos e na˜o lo´gicos.
CEDERJ 16
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Exemplo 1.1. Uma aplicac¸a˜o simples do Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Duas cargas puntiformes q1 = 5,0µC e q2 = −5,0µC esta˜o separadas
por uma distaˆncia de 10cm. Queremos determinar a forc¸a sobre uma terceira
carga q3 = 2,0µC, colocada sobre a mediatriz do segmento de reta que une
q1 e q2, a uma distaˆncia de 5cm do ponto me´dio desse segmento. A Figura
1.5 ilustra a situac¸a˜o:
Figura 1.5: Uma aplicac¸a˜o simples do Princ´ıpio da Superposic¸a˜o.
Soluc¸a˜o. Pelo Princ´ıpio da Superposic¸a˜o, podemos escrever:
�F3 = �F13 + �F23.
Por simetria, podemos escrever F13,⊥ = −F23,⊥, onde o s´ımbolo ⊥ de-
nota componente perpendicular ao segmento de reta que une as cargas q1 e
q2; por outro lado, temos F3,\\ = F13,\\ + F23,\\ = 2F13,\\, onde o s´ımbolo \\
denota a componente paralela ao segmento de reta que une as cargas q1 e q2.
Podemos enta˜o escrever 2F13,\\ = 2‖�F13‖ cos θ, ou ainda:
F3,\\ = 2× 1
4π�0
q1 q3
r2
cos θ.
Como θ = π/4, temos:
F3,\\ = 2× 9 × 109N ·m
2
C2
(
5 × 10−6 C)2
√
2/2
(1 × 10−2m)2
≈ 3N.
17 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Exemplo 1.2. Outra aplicac¸a˜o simples do Princ´ıpio da
Superposic¸a˜o.
Treˆs cargas iguais de valor q1 = q2 = q3 = e = 1.6 × 10−19C sa˜o
colocadas nos ve´rtices de um triaˆngulo equ¨ila´tero de lado igual a 1,64A˚.
Queremos calcular a forc¸a eletrosta´tica sobre uma das cargas.
Soluc¸a˜o. Considere a carga indicada na Figura 1.6
Figura 1.6: A forc¸a resultante sobre q3 = −e e´ a soma vetorial das forc¸as exercidas
por q1 = −e e q2 = −e.
A intensidade da forc¸a resultante sobre esta carga e´:
‖�F3‖ =
√
‖�F13‖2 + ‖�F23‖2 + 2‖�F13‖‖�F23‖ cos π
3
.
Por simetria, temos ‖�F13‖ = ‖�F23‖, logo:
‖�F3‖ =
√
2‖�F13‖2
(
1 + cos
π
3
)
.
Lembrando que cos π/3 = 1/2, obtemos:
‖�F3‖ =
√
3‖�F13‖ =
√
3× 9, 0 × 109 (1, 6 × 10
−19)2
(1, 64× 10−10)2N ≈ 1, 56 × 10
11N.
A forc¸a resultante forma um aˆngulo de π/6 radianos em relac¸a˜o a` reta que
une as cargas q1 e q3.
CEDERJ 18
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
A conservac¸a˜o da carga ele´trica
Na Natureza, a carga ele´trica total de um sistema isolado na˜o e´ nunca
criada ou destru´ıda, mas sim conservada. Isso foi sugerido pela primeira
vez por volta de 1746, por William Watson (1715-1789). Hoje em dia,
esse aspecto importante da propriedade da mate´ria, que denominamos carga
ele´trica, esta´ firmemente comprovado por muitas experieˆncias. Descrevere-
mos a seguir um experimento moderno, projetado por Wolfgang Rueckner,
Douglass Goodale, Daniel Rosenberg e David Tavilla, da Universidade Har-
vard, capaz de demonstrar a conservac¸a˜o da carga ele´trica. O experimento e´
ilustrado na Figura1.7.
Figura 1.7: Esquematizac¸a˜o da demonstrac¸a˜o experimental da conservac¸a˜o da
carga ele´trica.
Se atritarmos uma pele de coelho em uma superf´ıcie de Teflon� havera´
uma transfereˆncia de cargas negativas (ele´trons) da pele de coelho para o
Teflon�. Como resultado, o Teflon� fica negativamente carregado e a pele de
coelho positivamente carregada. Entretanto, a quantidade de carga ele´trica
que encontramos em cada um desses materiais e´, em valor absoluto, igual,
embora os sinais alge´bricos sejam opostos.
O principal problema com experieˆncias de eletrosta´tica e´ medir as
cargas antes que os corpos eletrizados percam a carga acumulada para a
atmosfera ou para outros corpos. No laborato´rio, isso pode ser contornado
do seguinte modo: conectamos dois cilindros de alumı´nio separadamente a
dois eletroˆmetros, instrumentos capazes de medir carga ele´trica. Um dos ci-
19 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
lindros e´ internamente revestido com Teflon�, o outro na˜o. Os cilindros sa˜o
alinhados de modo a formar quase um u´nico cilindro, pois ha´ uma pequena
separac¸a˜o de um a dois cent´ımetros entre eles; veja a Figura 1.7. E´ preciso
tambe´m assegurar que os cilindros meta´licos tenham a mesma capacidade de
armazenar carga. Isso e´ poss´ıvel conectando cadacilindro a um capacitor.
Agora fazemos deslizar a pele de coelho por dentro dos cilindros, pu-
xando-a por meio de um fio na˜o-condutor, primeiro pelo cilindro revestido de
Teflon� e depois pelo cilindro meta´lico sem revestimento. A pele de coelho
produzira´, por atrito, um excesso de cargas negativas no primeiro cilindro.
Esse excesso de carga negativa aparecera´ como uma indicac¸a˜o de carga nega-
tiva no eletroˆmetro. A seguir, puxamos a pele de coelho atrave´s do segundo
cilindro de alumı´nio. A pele de coelho carregada entra em contato com a
superf´ıcie do segundo cilindro, e ha´ uma redistribuic¸a˜o das cargas ele´tricas.
Se a Lei da Conservac¸a˜o da Carga for verdadeira, o segundo eletroˆmetro in-
dicara´ uma carga ele´trica positiva, igual em valor absoluto a` indicada pelo
eletroˆmetro conectado ao primeiro cilindro. Isso significara´ que a quantidade
de carga negativa e´ igual a` quantidade de carga positiva e que a carga total
e´ conservada. E e´ o que acontece com uma precisa˜o de quase 100%!, exce-
lente, portanto, para uma experieˆncia relativamente rudimentar. Antes de
iniciarmos o experimento, a carga total na pele de coelho e nos cilindros era
nula; ao final, continuamos com carga total nula.
Exerc´ıcio 1.3
Suponha que, no experimento sobre a conservac¸a˜o da carga ele´trica descrito
no texto, o segundo cilindro carregado seja conectado momentaneamente
a` Terra (neutralizado-se eletricamente) e, depois, conectado ao primeiro, o
qual, lembre-se, ainda esta´ carregado. Qual sera´ a leitura nos eletroˆmetros?
Resposta: A leitura sera´ a mesma e indicara´ metade da carga que havia no
primeiro cilindro, pois a carga ira´ se dividir entre eles.
CEDERJ 20
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Exerc´ıcio 1.4
Suponha que, no experimento de Rueckner sobre a conservac¸a˜o da carga
ele´trica, os dois cilindros tenham adquirido uma carga igual em valor abso-
luto. Os dois cilindros sa˜o, enta˜o, ligados entre si. Qual sera´ a leitura nos
eletroˆmetros?
Reposta: Zero
Sa˜o inu´meros os exemplos da manifestac¸a˜o da Lei da Conservac¸a˜o da
Carga Ele´trica total em um sistema isolado. Um dos mais espetaculares e´
o processo de criac¸a˜o de pares formados por uma part´ıcula carregada e sua
correspondente antipart´ıcula. Sob certas condic¸o˜es, um fo´ton de alt´ıssima
energia da´ origem a um par de cargas de mesmo valor absoluto, pore´m de
sinais alge´bricos opostos, por exemplo, um ele´tron e um po´sitron. O fo´ton
(γ) tem carga ele´trica nula, o ele´tron (e−) tem uma unidade de carga ele´trica
fundamental negativa – veja a sec¸a˜o seguinte – e o po´sitron (e+), uma unidade
de carga ele´trica fundamental positiva. O processo de decaimento e´ descrito
pela fo´rmula
γ → e− + e+.
Antes do decaimento, t´ınhamos carga total nula; depois, continuamos
com carga total nula, ja´ que a soma alge´brica no lado direito da equac¸a˜o que
descreve o decaimento e´ tambe´m nula.
Figura 1.8: Criac¸a˜o de pares.
Nossa confianc¸a na Lei de Conservac¸a˜o da Carga Ele´trica e´ tanta que,
em algumas situac¸o˜es, ela nos leva a prever fenoˆmenos ainda na˜o observados.
21 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
E´ o caso da radiac¸a˜o Hawkings, sugerida teoricamente pelo f´ısico britaˆnico
Stephen Hawkings.
Stephen Hawkings e´ um
f´ısico ingleˆs, nascido em
Oxford em 1942. Professor
da Universidade de
Cambridge, Inglaterra, onde
ocupa a cadeira
anteriormente ocupada por
Newton, dedicou grande
parte do seu trabalho aos
estudos matema´ticos sobre a
origem do Universo, na
teoria conhecida como Big
Bang, e ao estudo de
buracos negros. Publicou
alguns livros de divulgac¸a˜o
cient´ıfica connecidos tais
como Uma breve histo´ria do
tempo (1988), Os buracos
negros (1992) e, mais
recentemente, O universo
em uma casca de no´z (2002).
Perto de um buraco negro pode haver criac¸a˜o de pares de part´ıculas
Os buracos negros sa˜o
corpos celestes cuja
densidade de massa e´
infinitamente grande (uma
massa muito grande contida
em um volume muito
pequeno). O campo
gravitacional em torno
desses corpos e´
colossalmente grande, e nem
mesmo a luz pode escapar,
por isso na˜o podem ser
vistos. A expressa˜o “buraco
negro” foi adotada pela
primeira vez pelo cientista
norte-americano John
Wheeler, em 1969, para
descrever uma ide´ia surgida
200 anos antes. Em 1783, o
professor de Cambridge John
Michell escreveu um
trabalho, onde disse que
poderia haver uma estrela
compacta com massa
suficiente para que nem a luz
pudesse escapar de sua
atrac¸a˜o gravitacional.
Alguns anos depois, Laplace
fez a mesma proposic¸a˜o, de
forma independente, mas so´
a incluiu nas duas primeiras
edic¸o˜es de seu livro
O sistema do mundo.
ele´tron-pos´ıtron, como na Figura 1.9. O que cria o par de part´ıculas e´ o
campo gravitacional muito intenso do buraco negro. Um dos componentes
do par, digamos, o pos´ıtron, e´ tragado pelo buraco negro; o outro, agora
sem seu parceiro, torna-se observa´vel como radiac¸a˜o Hawkings, ao mesmo
tempo que o buraco negro adquire carga ele´trica.
Figura 1.9: Radiac¸a˜o Hawkings.
A quantizac¸a˜o da carga ele´trica
Na maior parte das vezes, e´ poss´ıvel pensar na carga ele´trica como uma
propriedade da mate´ria que, do ponto de vista quantitativo, pode assumir
valores reais continuamente, desde −∞ ate´ +∞. Por exemplo, para o enge-
nheiro que projeta um circuito, e´ natural pensar na corrente ele´trica – isto e´,
na carga ele´trica em movimento – como um fluido carregado. No´s mesmos,
em muitos momentos deste curso, imaginaremos os fenoˆmenos ele´tricos como
cont´ınuos. A natureza granular da carga ele´trica so´ pode ser percebida sob
certas condic¸o˜es experimentais. Em nossa vida dia´ria, a eletricidade se revela
como uma propriedade cont´ınua da mate´ria. Entretanto, hoje sabemos que
a carga ele´trica que um corpo material eventualmente possui na˜o e´ cont´ınua,
mas e´ um mu´ltiplo inteiro de uma unidade ba´sica de carga. Experimental-
CEDERJ 22
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
mente, o valor da carga ele´trica fundamental e´ dado em unidades do
Sistema Internacional por:
e = 1, 60217733× 10−19C.
Para os ca´lculos que voceˆ
fara´ ao longo deste curso,
podemos usar o valor
aproximado:
e ≈ 1,60× 10−19C. Essa
aproximac¸a˜o implicara´ uma
incerteza menor que 0,2%.
Qualquer valor q para a carga ele´trica de um corpo eletrizado e´ um
mu´ltiplo inteiro desse valor fundamental, isto e´,
q = ne, n ∈ {0,±1,±2, ...}.
A quantizac¸a˜o da carga ele´trica foi verificada experimentalmente pela
primeira vez em 1909, em um experimento cla´ssico, realizado porRobert A.
Millikan. Analisaremos esse experimento mais adiante, quando estudarmos
Robert Andrews
Millikan (1868-1953), f´ısico
americano ganhador do
preˆmio Nobel de 1923 por
seus trabalhos na
determinac¸a˜o do valor da
carga do ele´tron.
o movimento de part´ıculas carregadas sob a ac¸a˜o de forc¸as eletrosta´ticas.
Exerc´ıcio 1.5
Calcule o nu´mero de ele´trons que deveriam ser arrancados do planeta
Terra e de seu sate´lite, a Lua, para que a repulsa˜o coulombiana igualasse
a atrac¸a˜o gravitacional.
Resposta: 3, 58 × 1032 ele´trons.
Leituras complementares
Sugerimos a leitura de alguns livros que tambe´m tratam de to´picos
abordados nesta aula. Voceˆ pode consultar como material complementar,
por exemplo:
HALLIDAY,David.; RESNICK, Robert.; WALKER, E Jearl.
F´ısica. v.3: eletromagnetismo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Cap. 22.
NUSSENZVEIG, H. Moyse´s. Curso de F´ısica Ba´sica. Sa˜o Paulo: Edgard
Blu¨cher, v.:3: eletromagnetismo, 1997.
TIPLER, PaulA. F´ısica para cientistas e engenheiros. 4.ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2000. v.2.
23 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Atividades Finais
Os problemas a seguir servem para verificar os conhecimentos que voceˆ
adquiriu nesta aula. O grau de dificuldade vai de fa´cil a moderadamente
dif´ıcil. Voceˆ so´ deve passar para a aula seguinte se conseguir resolver to-
dos. Discuti-los em grupos de dois ou treˆs colegas pode ser uma boa ide´ia.
Na˜o hesite em pedir orientac¸a˜o ao tutor, mas na˜o espere que ele resolva os
problemas para voceˆ!
Problema 1.1: Uma certa carga fixa Q deve ser dividida em duas partes,
Q− q e q. Mostre que a relac¸a˜o entre Q e q para que a repulsa˜o coulombiana
seja ma´xima e´ q = Q/2.
Problema 1.2: A forc¸a coulombiana de atrac¸a˜o entre duas cargas punti-
formes de 1C, sinais opostos e separadas por uma distaˆncia de 1m vale, em
magnitude, aproximadamente 9 × 109N. Para ter uma ide´ia melhor do que
isso significa, e´ mais proveitoso fazer comparac¸o˜es. Por exemplo, determine
o tamanho que deve ter a aresta de um cubo de chumbo para que ele pese
9× 109N. A densidade do chumbo e´ ρPb = 1,13 × 104kg/m3.
Problema 1.3: Uma carga puntiforme de 1,0µC e´ colocada em treˆs dos
quatro ve´rtices de um quadrado com 20,0cm de lado (veja Figura 1.10).
Determine a forc¸a coulombiana resultante (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) sobre
uma carga puntiforme de 3,0µC, se esta for colocada no centro do quadrado.
Explique como seria poss´ıvel manter esse arranjo em equil´ıbrio mecaˆnico.
Figura 1.10: Problema 1.3.
CEDERJ 24
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Problema 1.4: Refac¸a o problema anterior para o caso em que a carga
de 3,0µC for colocada no ve´rtice vazio do quadrado. Se uma carga adicio-
nal de 1,0µC for colocada no centro do quadrado, qual sera´ a forc¸a ele´trica
resultante sobre ela?
Problema 1.5: Considere duas esferas ideˆnticas carregadas e suspensas por
meio de fios de seda de comprimento �, como ilustrado na Figura 1.11.
Ambas as esferas teˆm raio a, massa M e carga q, e seus respectivos centros
geome´tricos esta˜o separados por uma distaˆncia fixa d.
Figura 1.11: Problema 1.5.
(a) Em que condic¸o˜es podemos aplicar a Lei de Coulomb para descrever
a repulsa˜o eletrosta´tica entre as esferas? Justifique cuidadosamente a
sua resposta.
(b) Obtenha uma expressa˜o para a distaˆncia x em func¸a˜o de q, �, M e g,
va´lida para pequenos afastamentos da posic¸a˜o vertical.
Problema 1.6: A Figura 1.12 representa uma variante do Problema 1.5.
A principal diferenc¸a e´ que os pontos de suspensa˜o A e B esta˜o separados
por uma distaˆncia fixa d.
(a) Mostre que:
(2� sin θ + d)2 tan θ =
q2
4π�0 mg
.
(b) De que modo esse arranjo poderia ser empregado para testar a Lei de
Coulomb?
25 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
Figura 1.12: Problema 1.6.
Problema 1.7: Considere a configurac¸a˜o de cargas puntiformes mostradas
na Figura 1.13.
(a) Obtenha uma expressa˜o para a forc¸a resultante �F0 (x) sobre a carga de
prova q0, como func¸a˜o da distaˆncia x entre a carga de prova e a carga
q2 = −2q.
(b) A partir do resultado anterior, obtenha uma expressa˜o aproximada para
�F0 (x) no limite em que a/x	 1.
(c) Repita o ca´lculo anterior no limite em que x/a	 1.
Figura 1.13: Problema 1.7. Para esta configurac¸a˜o, q1 = q3 = q, q2 = −2q e q4 = q0.
Problema 1.8: A Figura 1.14 mostra cinco cargas puntiformes, de mesmo
valor, dispostas sobre um semic´ırculo de raio a. A distaˆncia entre duas cargas
cont´ıguas quaisquer e´ a mesma.
(a) Determine uma expressa˜o para a forc¸a resultante �F0 (x) sobre uma
carga de prova q0 colocada a uma distaˆncia x do ponto O.
(b) A partir do resultado anterior, obtenha uma expressa˜o aproximada para
�F0 (x) no limite em que a/x	 1.
CEDERJ 26
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
Figura 1.14: Problema 1.8. Para a configurac¸a˜o mostrada na figura, q1 = q2 = q3 =
q4 = q5 = q, q6 = q0.
Problema 1.9: A Figura 1.15 representa um modelo simples para a colisa˜o
entre uma part´ıcula alfa, α, o nu´cleo do a´tomo de he´lio, qα = +2e e uma
mole´cula de hidrogeˆnio, H2 (na˜o fac¸a confusa˜o com o hidrogeˆnio atoˆmico!).
A part´ıcula α move-se sobre uma trajeto´ria perpendicular ao eixo internu-
clear, em que temos dois pro´tons puntiformes, ou seja, sem estrutura interna,
separados por uma distaˆncia D. Os ele´trons da mole´cula sa˜o representados
por uma nuvem sime´trica de carga igual a −2e. Suponha que a velocidade
da part´ıcula α seja muito alta e despreze a interac¸a˜o dela com a nuvem
eletroˆnica.
(a) Determine uma expressa˜o para a forc¸a coulombiana sobre a part´ıcula
α quando ela se encontra a uma distaˆncia x do centro da mole´cula, o
ponto P na Figura 1.15.
(b) Para que valor de x essa forc¸a e´ ma´xima?
Figura 1.15: Problema 1.9.
Problema 1.10: A disposic¸a˜o geome´trica da mole´cula de amoˆnia, NH3,
pode ser descrita por um tetraedro regular de aresta igual a 1,64A˚; os treˆs
ı´ons de H+ ocupam os ve´rtices da base do tetraedro e o ı´on N3−, o ve´rtice
remanescente. Veja a Figura 1.16. Calcule:
(a) A forc¸a eletrosta´tica sobre um ı´on H+.
27 CEDERJ
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
(b) A forc¸a eletrosta´tica sobre o ı´on N3−.
Figura 1.16: Problema 1.10. Mole´cula de amoˆnia. A ligac¸a˜o e´ ioˆnica, os treˆs hi-
drogeˆnios cedem seus ele´trons para o nitrogeˆnio, que adquire carga igual a −3e.
O Problema 1.2 mostra a intensidade das interac¸o˜es ele´tricas. O fato de
que um objeto so´lido na˜o entrar em outro se deve a essas interac¸o˜es. Se
fosse poss´ıvel inspecionar o ponto de contato entre dois objetos colocados
um sobre o outro, seria poss´ıvel ver que eles nem mesmo chegam a se tocar!
A repulsa˜o coulombiana impede o contato total.
Resumo
As bases da eletrosta´tica sa˜o fundamentalmente emp´ıricas. A Lei de
Coulomb e´ uma s´ıntese de fatos experimentais, acumulados ao longo de mui-
tos anos. A carga ele´trica e´ uma propriedade da mate´ria, podendo ser tanto
positiva quanto negativa. A Lei de Coulomb descreve a forc¸a de interac¸a˜o
existente entre cargas ele´tricas puntiformes e e´ escrita na forma:
�F12 = Ke
q1q2
r212
rˆ12.
A Lei de Coulomb segue o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o; ou seja, a forc¸a
em uma determinada carga q e´ a resultante de todas as forc¸as devido a todas
as cargas ao seu redor. A Lei de Coulomb e o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o sa˜o
aplica´veis em diferentes configurac¸o˜es de cargas ele´tricas. Na Natureza, a
carga ele´trica total de um sistema isolado na˜o e´ nunca criada ou destru´ıda,
mas sim conservada. A carga ele´trica que um corpo material eventualmente
CEDERJ 28
A interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb
MO´DULO 1 - AULA 1
possua na˜o e´ cont´ınua, mas um mu´ltiplo inteiro de uma unidade ba´sica cujo
valor e´ igual a` carga do ele´tron:
e = 1, 60217733× 10−19C.
Auto-Avaliac¸a˜o
Agora que voceˆ chegou ao final desta aula, deve saber explicar os re-
sultados observados nos experimentos com o pente eletrizado e com o ele-
trosco´pio. Se na˜o souber, volte a ler as duas primeiras sec¸o˜es desta aula
(Introduc¸a˜o e Lei de Coulomb).
Voceˆ deve ter condic¸o˜es de resolver, no mı´nimo, os problemas de 1 a 8.
Caso tenha tido dificuldades com eles, volte a ler as sec¸o˜es Lei de Coulomb
e Princ´ıpio da Superposic¸a˜o. Veja tambe´m os exemplos 1.1 e 1.2.
29 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Aula 2 – O campo ele´trico: distribuic¸o˜es
discretas de carga
Meta da aula
Apresentar o conceito de campo ele´trico e aplica´-lo a`s distribuic¸o˜es
discretas de carga.
Objetivos
Ao final do estudodesta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
• Perceber que a interac¸a˜o eletrosta´tica pode ser descrita por meio do
conceito de campo ele´trico.
• Aplicar o conceito de campo ele´trico a distribuic¸o˜es discretas de cargas
ele´tricas.
Pre´-requisitos
Para que voceˆ possa acompanhar esta aula, e´ fundamental a leitura da
Aula 1 deste mo´dulo, a interac¸a˜o eletrosta´tica: a Lei de Coulomb. Tambe´m
e´ aconselha´vel que voceˆ revise a Aula 2, do Mo´dulo 4 do Volume 4 do curso
de Introduc¸a˜o a`s Cieˆncias F´ısicas.
Introduc¸a˜o
Distribuic¸a˜o discreta de
cargas ele´tricas e´ uma
configurac¸a˜o formada por
um nu´mero finito de cargas
puntiformes.
Na Aula 1 deste mo´dulo vimos que existem cargas ele´tricas e como elas
interagem entre si. Foram apresentados e discutidos a Lei de Coulomb e o
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o.
Nesta aula introduziremos o conceito de campo ele´trico e o aplicaremos
a distribuic¸o˜es discretas de cargas ele´tricas. Como na aula anterior, nem
tudo sera´ novidade, pois os grandes protagonistas sera˜o, novamente, a Lei de
Coulomb e o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o.
O campo ele´trico
O conceito de campo ele´trico surge diretamente da compreensa˜o da
interac¸a˜o eletrosta´tica entre cargas, que ja´ foi vista na Aula 1 deste mo´dulo.
31 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Vamos, a seguir, relembrar como ocorre esta interac¸a˜o para um conjunto de
va´rias cargas.
Consideremos uma colec¸a˜o formada por N cargas puntiformes:
q1, q2, ...qk...qN ,
colocadas em posic¸o˜es fixas, e uma carga puntiforme adicional q0.
A esse tipo de arranjo de cargas puntiformes chamaremos distribuic¸a˜o
discreta.
A Lei de Coulomb foi
estudada na Aula 1 deste
mo´dulo, e na Aula 1 do
Mo´dulo 4 do curso de
Introduc¸a˜o a`s Cieˆncias
F´ısicas.
Vamos supor que a distribuic¸a˜o discreta esteja no va´cuo. A forc¸a ele-
trosta´tica que uma das cargas da colec¸a˜o – digamos, a carga qk – exerce sobre
a carga q0 e´ dada pela Lei de Coulomb:
�F0k =
1
4π�0
qk q0
r20k
rˆ0k (2.1)
onde r0k = ‖�r0−�rk‖, e rˆ0k = (�r0 − �rk) /‖�r0−�rk‖ e´ o vetor unita´rio cuja direc¸a˜o
e´ dada pelo segmento de reta que une qk a q0 e que tem sentido de qk para
0. Veja a Figura 2.1.
Figura 2.1: Forc¸a eletrosta´tica que a carga qk exerce sobre a carga q0.
A forc¸a eletrosta´tica total sobre a carga q0 pode ser calculada por meio
da Lei de Coulomb e do Princ´ıpio da Superposic¸a˜o:
�F0 = �F01 + �F02 + �F03 + · · ·+ �F0N (2.2)
CEDERJ 32
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Como cada termo na Equac¸a˜o 2.2 e´ da forma dada pela Equac¸a˜o 2.1,
podemos escrever:
�F0 =
1
4π�0
q1 q0
r2
01
rˆ01 +
1
4π�0
q2 q0
r2
02
rˆ02 +
1
4π�0
q3 q0
r2
03
rˆ03 + . . .+
1
4π�0
qN q0
r2
0N
rˆ0N
ou seja,
�F0 =
q0
4π�0
N∑
k=1
qk
r2
0k
rˆ0k (2.3)
onde pusemos em evideˆncia os fatores comuns.
Observe a Equac¸a˜o 2.3. Vamos verificar o que ocorre quando a dividi-
mos por q0. Isso significa que temos
�F0
q0
=
1
4π�0
N∑
k=1
qk
r2
0k
rˆ0k (2.4)
Observe o termo da direita na Equac¸a˜o 2.4. Ele na˜o conte´m a carga
q0. Podemos concluir que, na posic¸a˜o ocupada por essa carga q0, existe uma
quantidade vetorial que depende exclusivamente da distribuic¸a˜o discreta das
demais cargas e na˜o de q0. Assim, se na posic¸a˜o ocupada previamente pela
carga q0 colocarmos (sem desmanchar o arranjo formado pelas cargas discre-
tas) uma outra carga q ′0, a forc¸a sobre essa carga sera´ dada pela Equac¸a˜o 2.3
com q0 substitu´ıdo por q
′
0. Esta e´ a base fundamental para a formulac¸a˜o do
conceito de campo ele´trico.
Estes fatos sugerem a possibilidade de descrever a eletrosta´tica de modo
independente da carga que sofre a ac¸a˜o de uma dada distribuic¸a˜o fixa de
cargas. Em outras palavras, a distribuic¸a˜o discreta de cargas puntiformes
cria uma propriedade em cada ponto do espac¸o que pode ser descrita por
uma grandeza vetorial. Se soubermos como calcular essa grandeza vetorial,
podemos calcular a forc¸a eletrosta´tica sobre qualquer carga colocada em um
ponto arbitra´rio desse espac¸o, tenha ela o valor q0, q
′
0 ou qualquer outro. Essa
grandeza vetorial recebe o nome de campo ele´trico e seu s´ımbolo matema´tico
e´ �E. Observe novamente a Equac¸a˜o 2.4. Podemos identificar a quantidade
�E(P ), ou seja, o campo ele´trico no ponto P como sendo:
�F0
q0
=
1
4π�0
N∑
k=1
qk
r2
0k
rˆ0k = �E(P ) (2.5)
33 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
ou seja,
�F0
q0
= �E(P ) (2.6)
Observe a Equac¸a˜o 2.6. Dela se pode deduzir que a unidade de campo
ele´trico e´ definida como a divisa˜o entre unidades de forc¸a e unidades de carga.
No Sistema Internacional (S.I.) de unidades, a unidade de campo ele´trico e´
o newton/coulomb, ou N/C.
Formalmente, o campo ele´trico e´ definido por:
�E (P ) := lim
q0→0
�F 0
q0
(2.7)
onde q0 → 0 agora representa uma carga puntiforme infinitesimal colocada
em um ponto arbitra´rio P do espac¸o. A exigeˆncia de que a carga q0 seja
arbitrariamente pequena serve para na˜o perturbar a distribuic¸a˜o de cargas
discretas que gera o campo ele´trico no ponto de observac¸a˜o. Cargas infinite-
simais que na˜o provocam rearranjos na distribuic¸a˜o de cargas discretas que
geram o campo ele´trico sa˜o chamadas cargas de prova ou de teste, ou ainda
cargas-teste. As cargas que geram o campo sa˜o chamadas cargas-fonte ou
simplesmente fontes.
No caso da distribuic¸a˜o discreta de cargas que estamos considerando, e
observando a Equac¸a˜o 2.4, o campo ele´trico e´ dado por:
�E (P ) =
1
4π�0
N∑
k=1
qk
r2Pk
rˆPk (2.8)
onde agora rPk = ‖�rP − �rk‖, e rˆPk = (�rP − �rk) /‖�rP − �rk‖ e´ o vetor unita´rio
cuja direc¸a˜o e´ dada pelo segmento de reta que une qk ao ponto arbitra´rio P
do espac¸o e tem sentido de qk para P . Veja a Figura 2.2.
CEDERJ 34
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Figura 2.2: O campo ele´trico no ponto de observac¸a˜o P e´ uma consequ¨eˆncia do
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o.
O leitor mais atento na˜o deixara´ de se perguntar: o que acontece quando
o ponto de observac¸a˜o coincide com a posic¸a˜o de uma das cargas da distri-
buic¸a˜o discreta? A resposta e´: a Equac¸a˜o 2.8 na˜o e´ bem definida nesses
pontos, isto e´, quando �rP − �rk = 0. Na˜o ha´ muito sentido em calcular
o campo exatamente no ponto onde se encontra uma carga. Esses pontos
sera˜o omitidos nos ca´lculos que envolvem o campo ele´trico.
Exemplo 2.1. O campo ele´trico de uma carga puntiforme.
Quando temos apenas uma carga puntiforme (N = 1), a Equac¸a˜o 2.8,
que descreve o campo ele´trico no ponto P , conduz a:
�E (P ) =
1
4π�0
q1
r2
P1
rˆP1
onde rP1 = ‖�rP − �r1‖, e rˆP1 = (�rP − �r1) /‖�rP − �r1‖. Se colocarmos a carga
puntiforme na origem, enta˜o �r1 = 0, a norma do campo ele´trico dependera´
somente de r = ‖�rP‖ e apresentara´ simetria esfe´rica. Fazendo q1 = q, temos:
�E =
1
4π�0
q
r2
rˆ =
1
4π�0
q
r3
�r (2.9)
onde omitimos a refereˆncia ao ponto P , por ser desnecessa´ria no momento,
e escrevemos rˆ = �r/r. A Figura 2.3 representa o campo ele´trico gerado por
uma carga puntiforme colocada na origem.
A cada ponto do espac¸o foi atribu´ıdo um segmento de reta radial-
mente orientado. O tamanho do segmento representa a intensidade do campo
ele´trico e diminui a` medida que o ponto P , local de observac¸a˜o, estiver mais
distante da origem. Evidentemente, apenas alguns pontos sa˜o representados.
35 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Figura 2.3: Campo ele´trico criado por uma carga puntiforme colocada na origem.Exemplo 2.2. O campo ele´trico de duas cargas puntiformes em
coordenadas cartesianas.
Suponhamos que se queira expressar o campo ele´trico em um ponto
P do plano XY , o ponto de observac¸a˜o, para a configurac¸a˜o de cargas
puntiformes da Figura 2.4 em func¸a˜o de q1, q2, a, b e das coordenadas
x e y.
Figura 2.4: Campo ele´trico criado por duas cargas puntiformes. Nessa figura, escolhe-
mos q1 > q2 > 0 e a > b > 0.
Pelo Princ´ıpio da Superposic¸a˜o, temos:
�E (P ) ≡ �E (x, y) = q1
4π�0
(�r − �r1)
‖�r − �r1‖3 +
q2
4π�0
(�r − �r2)
‖�r − �r2‖3
CEDERJ 36
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Da Figura 2.4, vemos que �r1 = −bxˆ e �r2 = axˆ. Como �r = x xˆ + y yˆ,
podemos escrever:
�r − �r1 = (x + b) xˆ + y yˆ
e
�r − �r2 = (x− a) xˆ + y yˆ
Fazendo as substituic¸o˜es pertinentes, segue que:
�E (x, y) =
q1
4π�0
[(x + b) xˆ + y yˆ]
[(x + b)2 + y2]3/2
+
q2
4π�0
[(x− a) xˆ + y yˆ]
[(x− a)2 + y2]3/2
A extensa˜o desse resultado para treˆs dimenso˜es, isto e´, para um ponto
P (x, y, z), e´ imediata. O resultado e´:
�E (x, y, z) =
q1
4π�0
[(x + b) xˆ + y yˆ + z zˆ]
[(x + b)2 + y2 + z2]3/2
+
q2
4π�0
[(x− a) xˆ + y yˆ + z zˆ]
[(x− a)2 + y2 + z2]3/2
Exerc´ıcio 2.1
Determine o campo ele´trico �E em um ponto P a uma distaˆncia z ≥ 0
acima do ponto me´dio do segmento de reta que une duas cargas puntiformes
ideˆnticas de magnitude igual a q (veja Figura do Exerc´ıcio 2.1). A distaˆncia
entre as cargas vale d. Que resultado voceˆ obte´m quando z = 0? Ele e´
fisicamente razoa´vel?
Figura 2.5: Figura do Exerc´ıcio 2.1.
37 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Exerc´ıcio 2.2
Suponha que no Exerc´ıcio 2.1 uma das cargas puntiformes digamos, a da es-
querda seja trocada por outra de valor igual a −q (veja Figura do Exerc´ıcio
2.2). Determine �E em P .
Figura 2.6: Figura do exerc´ıcio 2.2.
Exerc´ıcio 2.3
Suponha que nos dois exerc´ıcios precedentes y � d. Qual a expressa˜o para
o campo ele´trico em cada caso? Sugesta˜o: uma expansa˜o binomial sera´
conveniente.
Exemplo 2.3. O campo ele´trico de um dipolo ele´trico.
Como terceiro exemplo, consideremos duas cargas puntiformes de mesmo
valor q, pore´m de sinais opostos. Seja �s o vetor que une −q a q, �r+ o vetor
que une a carga positiva ao ponto de observac¸a˜o P , �r− o vetor que une −q
ao mesmo ponto e �r o vetor que une o ponto mediano O da reta suporte de
�s ao ponto P . Veja a Figura 2.7. Um arranjo de cargas esta´ticas desse tipo
e´ denominado dipolo ele´trico. Como antes, queremos determinar o campo
ele´trico dessa configurac¸a˜o no ponto de observac¸a˜o P , mas com a condic¸a˜o
de que esse ponto se encontre muito distante da configurac¸a˜o, isto e´: s	 r,
onde s ≡ ‖�s‖ e r ≡ ‖�r‖.
CEDERJ 38
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Figura 2.7: Campo ele´trico de um dipolo ele´trico.
Da Figura 2.7 podemos escrever as relac¸o˜es vetoriais:
�r+ = �r − �s
2
e
�r− = �r +
�s
2
Pelo Princ´ıpio da Superposic¸a˜o temos, enta˜o:
�E (P ) =
q
4π�0
�r+
r3+
− q
4π�0
�r−
r3−
Eliminando �r+ e �r−:
�E (P ) =
q
4π�0
[
�r − �s/2(
r2 + s
2
4
− rs cos θ)3/2 −
�r + �s/2(
r2 + s
2
4
+ rs cos θ
)3/2
]
(2.10)
Como o ponto de observac¸a˜o esta´ muito distante do dipolo ele´trico,
conve´m reescrever a relac¸a˜o anterior de um modo que a deixe pronta para
efetuarmos uma expansa˜o binomial na varia´vel adimensional s/r:
�E (P ) =
q
4π�0
[
�r − �s/2
r3
(
1 + 1
4
s2
r2
− s
r
cos θ
)3/2 − �r + �s/2
r3
(
1 + 1
4
s2
r2
+ s
r
cos θ
)3/2
]
39 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Recordemos, agora, a expansa˜o binomial:
(1 + u)p = 1 +
p
1!
u +
p (p− 1)
2!
u2 +
p (p− 1) (p− 2)
3!
u2 + · · · (2.11)
No caso, desprezaremos o termo quadra´tico em s/r no denominador e
faremos as identificac¸o˜es:
u ≡ s
r
cos θ
e p = −3/2. Mantendo apenas os dois primeiros termos da expansa˜o bino-
mial, temos,
(
1± s
r
)−3/2
cos θ ≈
(
1± 3
2
s
r
cos θ
)
Segue enta˜o, apo´s algumas simplificac¸o˜es, que:
�Edip (P ) ≈ q
4π�0
(
3 s cos θ rˆ
r3
− �s
r3
)
Podemos reescrever esse resultado de modo mais compacto se introdu-
zirmos o momento de dipolo ele´trico �p, que e´ definido por:
�p := q�s (2.12)
O momento de dipolo e´ medido no S.I. em unidades de coulomb vezes
metro, C ·m. Como s cos θ = �s · rˆ, e´ fa´cil ver que o campo do dipolo ele´trico
pode ser posto na forma:
�Edip (P ) =
1
4π�0
1
r3
[3 (�p · rˆ) rˆ − �p] (2.13)
Observe que o campo do dipolo ele´trico cai em intensidade com o inverso
do cubo da distaˆncia e na˜o com o inverso do quadrado, como no caso da
carga puntiforme. A Equac¸a˜o 2.13 mostra, tambe´m, que uma configurac¸a˜o
de cargas neutra pode ter interac¸a˜o ele´trica. Algumas mole´culas, por exemplo
a mole´cula de a´gua, apesar de neutras, teˆm momento de dipolo ele´trico na˜o
nulo e sa˜o, por isto, capazes de interagir eletrostaticamente. Esse fato e´ de
suma importaˆncia para as ligac¸o˜es e interac¸o˜es qu´ımicas.
O campo de dipolo ele´trico na forma dada pela Equac¸a˜o 2.13 e´ inde-
pendente da escolha de um sistema de coordenadas particular, desde que o
CEDERJ 40
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
dipolo �p se encontre na origem. Por exemplo, em coordenadas polares, se
colocarmos um dipolo ele´trico na origem e fizermos o seu momento de dipolo
�p apontar no sentido positivo do eixo OZ, isto e´, se escrevermos: �p = pzˆ,
enta˜o o campo se escreve:
�Edip (P ) =
p
4π�0
1
r3
(
2 cos θ rˆ + sin θ θˆ
)
(2.14)
onde θ e´ o aˆngulo entre o eixo �p e o vetor �r = rrˆ, que da´ a posic¸a˜o do ponto
de observac¸a˜o em relac¸a˜o a` origem, e rˆ e θˆ sa˜o vetores unita´rios associados
a`s coordenadas polares. Veja a Figura 2.8.
Figura 2.8: Dipolo ele´trico em coordenadas polares.
41 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Exerc´ıcio 2.4
Obtenha a Equac¸a˜o 2.14. Escreva primeiro:
�Edip (P ) =
1
4π�0
1
r3
[3 (p cos θ) rˆ − pzˆ]
Agora, expresse o vetor unita´rio �z como combinac¸a˜o linear de rˆ e θˆ, isto e´:
zˆ = c1 rˆ + c2 θˆ
A seguir, mostre que c1 = cos θ e c2 = − sin θ, portanto:
zˆ = cos θrˆ − sin θθˆ
Agora, complete o ca´lculo e obtenha a Equac¸a˜o 2.14.
Leituras complementares
Sugerimos a leitura de alguns livros que tambe´m tratam de to´picos
abordados nesta aula. Voceˆ pode consultar como material complementar,
por exemplo:
HALLIDAY,David.; RESNICK, Robert.; WALKER, E Jearl.
F´ısica. v.3: eletromagnetismo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Cap. 22.
NUSSENZVEIG, H. Moyse´s. Curso de F´ısica Ba´sica. Sa˜o Paulo: Edgard
Blu¨cher, v.:3: eletromagnetismo, 1997.
TIPLER, Paul A. F´ısica para cientistas e engenheiros. 4.ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2000. v.2.
Atividades Finais
Problema 2.1 Considere a configurac¸a˜o de cargas mostradas na Figura
2.9. Determine a intensidade do campo ele´trico no ponto P devido a`s cargas
puntiformes mostradas.
CEDERJ 42
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Figura 2.9: Problema 2.1.
Problema 2.2 Calcule a direc¸a˜o, o sentido e a intensidade do campo ele´trico
no ponto P devido a`s treˆs cargas puntiformes mostradas na Figura 2.10.
Figura 2.10: Problema 2.2.
Problema 2.3 Qual e´ a direc¸a˜o, o sentido e a intensidade do campo ele´trico
no ponto P devido a`s cargas puntiformes mostradas na Figura 2.11.
Figura 2.11: Problema 2.3.
43 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Problema 2.4 Considere duas cargas puntiformesna configurac¸a˜o discutida
no Exemplo 2.2, com q1 = −q, q2 = q e b = a.
(a) Calcule o campo ele´trico da configurac¸a˜o para pontos sobre o eixo OX
tais que x > a/2.
(b) Suponha que x � a/2. Mostre que nesse caso o campo ele´trico sobre
o eixo OX e´ dado por:
�E (x, 0, 0) ≈ 1
2π�0
�p
x3
onde �p := qaxˆ e´ o momento de dipolo ele´trico da configurac¸a˜o.
Problema 2.5 Considere um cubo de aresta a. Em cada ve´rtice do cubo,
exceto em um, uma carga puntiforme de valor q e´ colocada (veja Figura
2.12).
Figura 2.12: Problema 2.5.
(a) Determine o campo ele´trico no centro do cubo.
(b) Determine o campo ele´trico na posic¸a˜o do ve´rtice em que na˜o ha´ carga.
(c) Uma carga de valor igual a −q0 e´ colocada no ve´rtice do item anterior.
Determine a forc¸a eletrosta´tica sobre −q0.
CEDERJ 44
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
MO´DULO 1 - AULA 2
Problema 2.6 Um dipolo ele´trico ideal esta´ localizado na origem de um
sistema de coordenadas cartesiano e aponta para o sentido positivo do eixo
OZ. Uma carga puntiforme q0 e´ colocada no ponto de coordenadas (a, 0, 0).
Calcule:
(a) a forc¸a eletrosta´tica sobre a carga puntiforme;
(b) a forc¸a eletrosta´tica sobre a carga puntiforme se essa for recolocada no
ponto de coordenadas (0, 0, a).
Problema 2.7 A mole´cula de H2O tem um momento de dipolo �p que e´ a
soma vetorial de dois momentos de dipolo �p1 e �p2. Veja a Figura 2.13.
Medidas experimentais mostram que a distaˆncia entre o a´tomo de hidrogeˆnio
e o a´tomo de oxigeˆnio vale 9, 6 × 10−11m, e que as retas que unem os dois
tipos de a´tomo na mole´cula formam um aˆngulo cuja medida vale 105 graus.
As medidas mostram tambe´m que ‖�p ‖ ≈ 6, 1 × 10−31 C ·m. Calcule a carga
do a´tomo de hidrogeˆnio. Voceˆ devera´ obter um valor inferior ao esperado,
tente explicar a raza˜o desse resultado.
Figura 2.13: Problema 2.7. A mole´cula de a´gua como dipolo ele´trico.
Resumo
O conceito de campo ele´trico surge naturalmente da aplicac¸a˜o da Lei
de Coulomb e do Princ´ıpio da Superposic¸a˜o para distribuic¸o˜es discretas de
cargas ele´tricas. O campo gerado por uma distribuic¸a˜o discreta de carga e´ a
soma dos campos ele´tricos gerados por cada uma das cargas que fazem parte
da distribuic¸a˜o.
45 CEDERJ
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga
Na pro´xima aula veremos como podemos visualizar o campo ele´trico
atrave´s das linhas de campo, e como cargas ele´tricas puntiformes se compor-
tam quando posicionadas em regio˜es onde ha´ um campo ele´trico.
Auto-Avaliac¸a˜o
Ao final desta aula, voceˆ deve ter entendido o conceito de campo ele´trico
como decorreˆncia da aplicac¸a˜o da Lei de Coulomb e o Princ´ıpio da Super-
posic¸a˜o. E´ fundamental que voceˆ seja capaz de resolver os Problemas 2.1
a 2.6.
CEDERJ 46
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Aula 3 – O campo ele´trico: linhas de campo e
dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
Meta da aula
Apresentar o conceito de linhas de campo e a dinaˆmica das part´ıculas
em um campo ele´trico.
Objetivos
Ao final do estudo desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
• Perceber que o campo ele´trico pode ser facilmente visualizado quando
se usa o conceito de linhas de campo.
• Descrever as linhas de campo ele´trico de distribuic¸o˜es discretas de car-
gas ele´tricas.
• Descrever a dinaˆmica da part´ıcula carregada em um campo ele´trico
externo.
Pre´-requisitos
Para que voceˆ possa acompanhar esta aula, e´ fundamental a leitura da
Aula 2 deste mo´dulo (O campo ele´trico: distribuic¸o˜es discretas de carga).
Tambe´m e´ aconselha´vel que voceˆ revise a Aula 2 do Mo´dulo 4 do Volume 4
do curso Introduc¸a˜o a`s Cieˆncias F´ısicas.
Introduc¸a˜o
Na Aula 2 deste mo´dulo, vimos como o conceito de campo ele´trico surge
naturalmente da aplicac¸a˜o da Lei de Coulomb e do Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
para distribuic¸o˜es discretas de cargas ele´tricas. O campo gerado por uma
distribuic¸a˜o discreta de carga e´ a soma dos campos ele´tricos gerados por
cada uma das cargas dessa distribuic¸a˜o. Mas como podemos visualizar esse
campo ele´trico? Quais sa˜o as caracter´ısticas do campo ele´trico em uma regia˜o
do espac¸o?
47 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
Linhas de forc¸a
Como vimos anteriormente, em cada ponto do espac¸o podemos dese-
nhar um segmento de reta orientado, isto e´, uma flecha orientada (um vetor),
que representara´ o campo ele´trico naquele ponto. Podemos tambe´m tomar o
cuidado de desenhar uma flecha cujo tamanho nos deˆ uma ide´ia da magnitude
do campo naquele ponto. O resultado e´ a Figura 3.1.
Figura 3.1: Representac¸a˜o esquema´tica de um campo vetorial.
Imagine um ponto do espac¸o. Sabemos calcular o campo ele´trico criado
por uma distribuic¸a˜o discreta de cargas neste ponto. Sabemos, tambe´m,
que podemos associar a este ponto um vetor campo ele´trico, que pode ser
representado por uma seta.
A bu´ssola, conforme sera´
visto mais adiante, nas aulas
relativas ao Magnetismo, e´
um instrumento que indica a
direc¸a˜o e o sentido do campo
magne´tico em um
determinado ponto.
Imaginemos que exista um equipamento capaz de indicar a direc¸a˜o e
o sentido do campo ele´trico em um ponto, de forma muito similar a uma
bu´ssola. Vamos, enta˜o, imaginar o seguinte experimento: caminharemos
com esse instrumento observando a direc¸a˜o e o sentido do campo ele´trico a`
medida que nos deslocamos, tomando o cuidado de dar passos sempre na
direc¸a˜o e no sentido em que estiver apontando o vetor campo ele´trico. Dessa
forma, nosso deslocamento sera´ sempre paralelo ao vetor campo ele´trico.
A linha imagina´ria pela qual nos deslocamos e´ chamada linha de forc¸a ou
linha de campo. Veja a Figura 3.2.
CEDERJ 48
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Figura 3.2: Linhas de forc¸a de um campo vetorial.
As linhas de campo constituem uma representac¸a˜o visual do campo
ele´trico e podem nos dar informac¸o˜es sobre o comportamento do campo em
uma regia˜o do espac¸o. Por exemplo, a maior ou menor concentrac¸a˜o das
linhas de campo fornece uma indicac¸a˜o sobre a intensidade do campo. Se
em uma regia˜o do espac¸o as linhas forem muito concentradas, sabemos que o
campo ali e´ mais intenso do que em uma regia˜o onde a concentrac¸a˜o e´ menor.
Embora muitas vezes seja poss´ıvel desenha´-las de modo intuitivo, a
construc¸a˜o das linhas de campo de um campo ele´trico gerado por uma dis-
tribuic¸a˜o de carga so´ e´ simples em poucos casos.
Como essas linhas sa˜o o tempo todo paralelas ao campo ele´trico �E,
todas as componentes de reta que descrevem essas linhas sera˜o iguais a`s
componentes do campo ele´trico, ou seja, dx, dy e dz sa˜o as componentes das
retas, e Ex, Ey e Ez, as componentes de �E, enta˜o:
dx
Ex
=
dy
Ey
=
dz
Ez
(3.1)
As soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es diferenciais dadas por 3.1 sa˜o curvas
cont´ınuas.
Obrigatoriamente, as linhas de campo na˜o podem interceptar-se.
Exerc´ıcio 3.1
Por que a linhas de campo na˜o podem interceptar-se? Para responder essa
pergunta, pense na relac¸a˜o entre o campo ele´trico e as linhas de campo.
Podemos tambe´m obter as equac¸o˜es diferenciais 3.1 imaginando um
deslocamento d�� tangente a` linha de forc¸a e escrevendo �E = κ d��, onde κ e´
uma constante positiva com as dimenso˜es apropriadas.
49 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
Exerc´ıcio 3.2
Determine as dimenso˜es da constante κ para que o vetor κ d�� tenha as
dimenso˜es de campo ele´trico.
Em coordenadas cartesianas,o paralelismo entre �E e κ d�� se escreve:
Ex = κ dx, Ey = κ dy e Ez = κ dz. Reescrevendo essas treˆs relac¸o˜es na forma
dx/Ex = 1/κ, e igualando todos os termos (pois sa˜o todos iguais a 1/κ),
obtemos as equac¸o˜es diferenciais para as linhas de campo em coordenadas
cartesianas, ou seja, a Equac¸a˜o 3.1.
Exemplo 3.1. Linhas de forc¸a associadas com o campo de uma
carga puntiforme.
Considere uma carga puntiforme na origem de um sistema de coor-
denadas cartesiano. Para projetar o campo da carga puntiforme ao longo
dos eixos coordenados e, dessa forma, obter as componentes cartesianas do
campo, basta lembrar que:
�E = Ex xˆ + Ey yˆ + Ez zˆ
e que, por exemplo,
Ex = xˆ · �E
onde o s´ımbolo · denota o produto escalar.
O campo da carga puntiforme e´ dado pela Equac¸a˜o 2.9, logo
Ex =
q
4π�0
xˆ · �r
r3
=
1
4π�0
q x
(x2 + y2 + z2)3/2
Da mesma forma:
Ey =
q
4π�0
yˆ · �r
r3
=
1
4π�0
q y
(x2 + y2 + z2)3/2
Restringindo o problema ao plano XY , escrevemos a equac¸a˜o
diferencial:
CEDERJ 50
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
dy
dx
=
Ey
Ex
que, no caso, leva a:
dy
dx
=
y
x
(3.2)
A soluc¸a˜o da Equac¸a˜o 3.2, que e´ linear de primeira ordem, e´:
y = C x
onde C e´ uma constante arbitra´ria. Isso significa que a soluc¸a˜o do nosso pro-
blema e´ dada por uma famı´lia constitu´ıda por todas as retas (na˜o-orientadas)
que passam pela origem.
Figura 3.3: Linhas de forc¸a para uma carga puntiforme na origem. As linhas (no caso
retas) obedecem a` equac¸a˜o y = C x.
Exerc´ıcio 3.3
Obtenha a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial 3.2.
A orientac¸a˜o dessas retas e´ adotada por convenc¸a˜o. No caso de uma
carga puntiforme positiva, as retas sa˜o orientadas de forma a divergir para
fora da posic¸a˜o onde se encontra a carga, como setas, com origem no local
onde se encontra a carga. Se a carga puntiforme for negativa, as retas tera˜o a
orientac¸a˜o oposta, ou seja, sera˜o setas que apontara˜o para onde a carga se en-
contra. De modo geral, podemos dizer que as linhas de campo “nascem” nas
cargas positivas e “morrem” nas cargas negativas.
51 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
A equac¸a˜o para as linhas de campo pode ser escrita em coordenadas
polares r, θ, φ (e em outros sistemas de coordenadas). No caso do campo
ele´trico do dipolo ele´trico, que nos interessa particularmente, o campo na˜o
depende de φ (simetria axial).
Simetria e´ a
correspondeˆncia de posic¸o˜es,
de forma, ou de medida, em
relac¸a˜o a um eixo entre os
elementos de um conjunto
ou entre dois ou mais
conjuntos. A simetria axial
caracteriza uma simetria em
relac¸a˜o a um eixo axial. Por
exemplo, imagine um
cilindro longo e um eixo que
passa pelo centro do dele. Se
o cilindro gira ao redor desse
eixo, na˜o temos como
identificar qualquer
diferenc¸a. O eixo do cilindro
e´ um eixo de simetria axial.
Nesse caso, restringimos o problema da determinac¸a˜o das linhas de
campo ao plano φ constante. Lembrando que:
�E = κ d�� → Er rˆ + Eθ θˆ = κ
(
dr rˆ + r dθ θˆ
)
obtemos, como no caso com coordenadas cartesianas, a equac¸a˜o diferencial:
r dθ
Eθ
=
dr
Er
(3.3)
Exerc´ıcio 3.4
Obtenha a Equac¸a˜o 3.3.
O exemplo a seguir ilustra a aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o 3.3 a` determinac¸a˜o
das linhas de campo de um dipolo ele´trico.
Exemplo 3.2. Linhas de forc¸a associadas com o campo de um
dipolo ele´trico.
As componentes do campo do dipolo ele´trico em coordenadas
polares sa˜o:
Er (r, θ) =
p
4π�0 r3
2 cos θ
e
Eθ (r, θ) =
p
4π�0 r3
sin θ
substituindo na Equac¸a˜o 3.3 e simplificando, obtemos:
cot θ dθ =
1
tan θ
dθ =
cos θ
sin θ
dθ =
dr
2 r
CEDERJ 52
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Fazendo uso da integral
∫
cot θ dθ = ln | sin θ |
podemos resolver facilmente a equac¸a˜o diferencial e obter a relac¸a˜o entre
r e θ:
r = C | sin θ |
onde C e´ uma constante de integrac¸a˜o arbitra´ria. Novamente, como no caso
da carga puntiforme, temos uma famı´lia de soluc¸o˜es, uma curva para cada
valor da constante C.
A Figura 3.4 mostra as linhas de campo de um dipolo ele´trico ideal
que aponta para o sentido positivo do eixo OZ, que tomamos como o eixo
polar. Para visualizar o campo em treˆs dimenso˜es, gire a figura em torno do
eixo polar.
Figura 3.4: Linhas de forc¸a para um dipolo ideal na origem. As linhas obedecem a`
equac¸a˜o r = C | sin θ |.
Exerc´ıcio 3.5
Determine a equac¸a˜o para as linhas de campo associadas com o campo
ele´trico de um dipolo ele´trico em coordenadas cartesianas.
Resposta: x2 + y2 = Cy.
53 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
O movimento de uma carga puntiforme em um campo
ele´trico externo
Suponha que exista um campo eletrosta´tico �E definido em todos os
pontos do espac¸o. As cargas-fonte que da˜o origem a esse campo na˜o fara˜o
parte do problema. E´ suficiente saber que ha´ um campo ele´trico prescrito.
Suponha tambe´m que uma carga q seja colocada em um ponto P , e que esta
carga tenha uma velocidade inicial �v0. Qual sera´ o movimento subsequ¨ente
da part´ıcula? A resposta a essa pergunta e´ dada por meio de uma soluc¸a˜o
particular da equac¸a˜o de movimento da part´ıcula. Para velocidades muito
menores do que a velocidade da luz, a equac¸a˜o de movimento e´ dada pela
segunda Lei de Newton:
�F = m�a (3.4)
onde m e´ a massa inercial da part´ıcula carregada, �a ≡ d2�r/dt2 e´ a acelerac¸a˜o
e �F = q �E. Nesse caso, a acelerac¸a˜o da part´ıcula carregada se escreve:
d2�r
dt2
=
q �E
m
(3.5)
Sabendo a posic¸a˜o inicial caracterizada pelo vetor de posic¸a˜o da part´ıcula
no instante inicial �r0 e a sua velocidade inicial �v0, a equac¸a˜o de movimento
pode ser integrada e as constantes do movimento, determinadas. Desse pro-
cesso emerge a soluc¸a˜o particular que descreve o movimento em qualquer
instante de tempo t.
Exemplo 3.3. Movimento em um campo ele´trico uniforme e
constante I
Suponha que uma part´ıcula puntiforme de carga q esteja se movendo
sob a ac¸a˜o de um campo ele´trico uniforme �E. Se conhecemos a posic¸a˜o inicial
e a velocidade inicial, a integrac¸a˜o da equac¸a˜o de movimento e´ imediata, e a
soluc¸a˜o que queremos e´:
�r (t) = r0 + v0t +
q �E
2m
t2
que nos da´ a posic¸a˜o em um tempo arbitra´rio t e
�v (t) = v0t +
q �E
m
t
que nos da´ a velocidade.
CEDERJ 54
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Exerc´ıcio 3.6
Uma carga puntiforme de valor igual a −q0 e massa m e´ posicionada por
um agente externo a uma altura h acima de um plano de extensa˜o infinita
uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga σ. A
seguir, a carga e´ abandonada pelo agente externo. Calcule o intervalo de
tempo decorrido ate´ o instante em que q0 toca o plano.
Resposta: ∆t = 2
√
�0 hm
q0σ
. Por que o resultado depende da massa da
part´ıcula?
Exemplo 3.4. Movimento em um campo ele´trico uniforme e
constante II
A Figura 3.5 mostra um dos aspectos fundamentais do funcionamento
de um oscilosco´pio.
Figura 3.5: O oscilosco´pio
Um ele´tron de massa me e carga −e, emitido por um filamento aquecido
e acelerado por um campo ele´trico, passa atrave´s da fenda F com velocidade
�v0 paralela ao eixo OX. Com essa velocidade, o ele´tron penetra em uma
regia˜o limitada por duas placas condutoras paralelas carregadas que geram
um campo ele´trico uniforme paralelo ao eixo OY , apontando para o sentido
negativodesse eixo. Apo´s percorrer uma distaˆncia horizontal �, o ele´tron
emerge no ponto de coordenadas (�, y) e a partir desse ponto, livre de forc¸as,
prossegue em uma trajeto´ria retil´ınea ate´ atingir a tela fluorescente T no
ponto de coordenadas (� + D, y + H). A tela do oscilosco´pio possui um
A tela fluorescente de um
oscilosco´pio simples e´ feita
de um material que emite
certa quantidade de luz
quando sofre o impacto de
uma part´ıcula carregada,
como o ele´tron.
tamanho definido, e queremos que o ele´tron atinja a tela dentro de certos
limites. Assim, a distaˆncia na˜o pode assumir qualquer valor, pois, depen-
dendo dos valores da distaˆncia D e do tamanho da tela, correr´ıamos o risco
55 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
de na˜o ver os pontos brilhantes na tela. Isso impediria uma medida do campo
ele´trico nas placas paralelas. Portanto, a relac¸a˜o entre D e H e´ importante.
Suponha conhecidos o campo entre as placas, �E = −E0yˆ, o compri-
mento horizontal das placas �, a distaˆncia entre a extremidade final da placa
e a tela fluorescente D, �v0 = v0xˆ, a massa do ele´tron me assim como a sua
carga −e. Queremos determinar H e a raza˜o y/H .
O ele´tron penetra na regia˜o entre as placas com velocidade �v0 = v0xˆ
e sofre a ac¸a˜o do campo ele´trico �E = −Eyˆ. Isto quer dizer que o movi-
mento ao longo do eixo OX e´ uniforme e o movimento ao longo do eixo
OY e´ uniformemente acelerado. A soluc¸a˜o do exemplo precedente nos leva a
escrever:
x = v0t
para o movimento horizontal, e
y =
(−e) (−E)
2me
t2 =
eE
2me
t2
para o movimento vertical. O ele´tron permanece um tempo igual a �/v0 na
regia˜o entre as placas, logo
y =
eE
2me
(
�
v0
)2
Apo´s sair da regia˜o entre as placas no ponto (�, y), a trajeto´ria do
ele´tron e´ uma reta.
Exerc´ıcio 3.7
Voceˆ sabe explicar por que apo´s sair da regia˜o entre as placas no ponto
(�, y) a trajeto´ria do ele´tron e´ uma reta? Caso na˜o se lembre, volte a ler
com atenc¸a˜o a explicac¸a˜o no in´ıcio deste exemplo, prestando atenc¸a˜o na
descric¸a˜o do movimento dos ele´trons.
A inclinac¸a˜o desta reta em relac¸a˜o a` horizontal e´ medida por
vy
vx
=
vy
v0
=
H
D
CEDERJ 56
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Mas
vy = ayt =
eE
me
�
v0
Como
H = D
vy
v0
= D
eE�
mev20
o ca´lculo da raza˜o y/H agora e´ imediato e obtemos
y
H
=
�
2D
Se D for muito maior do que �, a coordenada vertical y sera´ muito me-
nor do que H, e essa quantidade enta˜o medira´ o desvio vertical. Invertendo
o sentido do campo ele´trico entre as placas, inverteremos o sinal de H, e o
deslocamento vertical sera´ para baixo.
Leituras complementares
Sugerimos a leitura de alguns livros que tambe´m tratam de to´picos
abordados nesta aula. Voceˆ pode consultar como material complementar,
por exemplo:
NUSSENZVEIG, H. Moyse´s. Curso de F´ısica Ba´sica. Sa˜o Paulo: Edgard
Blu¨cher, v.:3: eletromagnetismo, 1997.
HALLIDAY,David.; RESNICK, Robert.; WALKER, E Jearl.
F´ısica. v.3: eletromagnetismo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Cap. 22.
Na sec¸a˜o 23.8 ha´ uma interessante descric¸a˜o do funcionamento de cabec¸as
de impressa˜o em impressoras de jato de tinta que utiliza os conceitos de mo-
vimento de cargas ele´tricas em campos ele´tricos.
Atividades Finais
Problema 3.1 Observe a Figura 3.6 com atenc¸a˜o. Com relac¸a˜o a`s intensi-
dades relativas do campo ele´trico no pontos A e B indicados na figura, o que
podemos afirmar? O campo ele´trico no ponto A (EA) e´ maior que o campo
ele´trico no ponto B (EB), ou vice-versa?
57 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
Figura 3.6: Problema 3.1.
Problema 3.2 No problema anterior, suponha que a intensidade do campo
ele´trico no ponto A seja de EA = 40 N/C. Qual e´ a intensidade do campo
ele´trico no ponto B?
Problema 3.3 Considere mais uma vez a Figura 3.6 e os resultados do
Problema 3.2.
(a) Qual e´ a intensidade da forc¸a ele´trica que atua sobre um ele´tron colo-
cado no ponto A?
(b) Qual e´ a intensidade da forc¸a ele´trica que atua sobre um pro´ton colo-
cado no ponto B?
Problema 3.4 O hidrogeˆnio molecular H2 e´ formado por meio de uma ligac¸a˜o
covalente entre dois a´tomos de hidrogeˆnio. Se a mole´cula de H2 perder um
ele´tron, ela torna-se positivamente ionizada. Considere um modelo cla´ssico
para a mole´cula ionizada de H2, o H
+
2 . O modelo consiste em duas cargas
puntiformes positivas e, fixas, simetricamente posicionadas sobre o eixo OZ,
uma no ponto (0, 0, a/2) e a outra no ponto (0, 0,−a/2). O ele´tron remanes-
cente de massa me e carga igual a −e descreve uma o´rbita circular de raio
igual a s no plano XY com centro na origem do sistema de coordenadas.
Veja a Figura 3.7.
CEDERJ 58
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Figura 3.7: Problema 3.4. Um modelo cla´ssico para o hidrogeˆnio molecular ionizado.
(a) Calcule o campo ele´trico resultante, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido, na
posic¸a˜o do ele´tron.
(b) Calcule a forc¸a, mo´dulo, direc¸a˜o e sentido, sobre o ele´tron.
(c) Mostre que a velocidade angular do ele´tron e´ dada por:
ω = e
√
1
2π�0me
(
s2 + a
2
4
)3/2 .
(d) Calcule a ordem de grandeza da frequ¨eˆncia de revoluc¸a˜o do ele´tron.
Resposta: ≈ 1015Hz.
Problema 3.5 Qual e´ a intensidade de um campo ele´trico que acelera um
ele´tron na direc¸a˜o Norte, com acelerac¸a˜o a = 1, 8× 10−9 m/s2?
Problema 3.6 Um corpo puntiforme de massa m e carga ele´trica positiva
q0 e´ obrigado a mover-se ao longo do eixo OZ, sob a ac¸a˜o de seu peso e do
campo criado por uma carga ele´trica q fixa na origem. Veja a Figura 3.8.
59 CEDERJ
O campo ele´trico: linhas de campo e dinaˆmica de part´ıculas no campo ele´trico
Figura 3.8: Problema 3.6
(a) Determine a posic¸a˜o de equil´ıbrio z0 do corpo.
(b) Suponha que o corpo e´ ligeiramente afastado da posic¸a˜o de equil´ıbrio
z0. Determine a frequ¨eˆncia de oscilac¸a˜o do corpo.
Resumo
Linhas de campo fornecem uma forma de visualizar a direc¸a˜o e a inten-
sidade do campo ele´trico em uma regia˜o do espac¸o. O vetor campo ele´trico
em qualquer ponto e´ tangente a uma linha de campo que passa por esse
ponto. A intensidade do campo ele´trico pode ser medida atrave´s da densi-
dade de linhas de campo em uma regia˜o. As linhas de campo teˆm origem
em cargas positivas, e terminam em cargas negativas. Quando uma carga
puntiforme e´ colocada numa regia˜o onde ha´ um campo ele´trico, criado por
outras cargas, sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a eletrosta´tica que possui a mesma
direc¸a˜o e sentido do campo se a carga for positiva, ou sentido contra´rio se a
carga for negativa.
Na pro´xima aula, veremos como calcular o campo ele´trico de distri-
buic¸o˜es cont´ınuas de carga.
Auto-Avaliac¸a˜o
Ao final desta aula, e´ importante que voceˆ seja capaz de entender o
conceito de linhas de campo, e de como elas podem facilitar a visualizac¸a˜o
do campo ele´trico numa dada regia˜o. Voceˆ deve ser capaz de responder a`
questa˜o formulada no exemplo 3.2. Voceˆ tambe´m deve ser capaz de resolver
todos os problemas propostos.
CEDERJ 60
O campo ele´trico: distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga
MO´DULO 1 - AULA 4
Aula 4 – O campo ele´trico: distribuic¸o˜es
cont´ınuas de carga
Meta da aula
Estender o conceito de campo ele´trico a`s distribuic¸o˜es cont´ınuas
de carga.
Objetivo
Ao final do estudo desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
• Aplicar o conceito de campo ele´trico a distribuic¸o˜es cont´ınuas de cargas
ele´tricas.
Pre´-requisitos