2ª VE Matemática Básica (com gabarito)

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UFF - IME - Departamento de Matema´tica Aplicada
Turma B1 - Prof. Leonardo Silvares
Nome:
2a VE de Matema´tica Ba´sica
10/01/17
Questa˜o Valor Nota
1 2,0
2 2,0
3 2,0
4 2,0
5 2,0
Total: 10,0
Atenc¸a˜o: Todas as afirmac¸o˜es feitas na soluc¸a˜o das questo˜es desta prova devem estar devida-
mente justificadas. Soluc¸o˜es sem justificativas na˜o sera˜o consideradas. Argumentos “geome´tricos”
ou “visuais” na˜o sera˜o aceitos, salvo quando forem expressamente solicitados.
1.
(a) Em um mesmo sistema de coordenadas, esboce o gra´fico de f(x) = x2, g(x) =
√
x, h(x) = x3 e
i(x) = 3
√
x. Diga qual gra´fico e´ de qual func¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(b) Ao sistema de coordenadas do item anterior, acrescente os gra´ficos de j(x) =
4
√
x2, justificando
o gra´fico apresentado.
Soluc¸a˜o: Como x2 > 0, temos j(x) = 4
√
x2 = (x2)
1
4 =
(
(x2)
1
2
) 1
2
= |x| 12 = √|x|.
Com isso, para x > 0, j(x) =
√|x| = √x e, para x < 0, j(x) = √|x| = √−x. Assim,
acrescentando o gra´fico de j aos anteriores, temos:
2. Resolva a desigualdade x 6
√
x+ 6 , justificando cada passagem da soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, observe que toda soluc¸a˜o devera´ cumprir x + 6 > 0, para que a
√
x+ 6
esteja definido. Assim, temos x > −6.
Todo −6 6 x < 0 e´ soluc¸a˜o da inequac¸a˜o, pois, neste caso, teremos
x < 0 6
√
x+ 6,
dado que uma raiz quadrada sempre e´ positiva.
Se x > 0, como o quadrado e´ crescente em [0,+∞), podemos resolver
x 6
√
x+ 6⇔ x2 6
(√
x+ 6
)2
= x+ 6⇔ x2 − x− 6 6 0⇔ −2 6 x 6 3.
Assim, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ dada por x ∈ [−6, 0] ∪ [−2, 3] = [−6, 3].
3. Ao se deparar com a inequac¸a˜o (
1
pi
)2x
> pi3,
um aluno apresentou a seguinte soluc¸a˜o:(
1
pi
)2x
> pi3 ⇔
(
1
pi
)2x
>
(
1
pi
)−3
⇔ 2x > −3⇔ x > −3
2
.
A soluc¸a˜o esta´ correta? Fac¸a uma ana´lise detalhada.
Soluc¸a˜o: Infelizmente, a soluc¸a˜o do aluno esta´ incorreta! Poxa vida... Ele se equivoca na segunda
equivaleˆncia de sua soluc¸a˜o. Como pi > 1, temos 1
pi
< 1 e, portanto, a func¸a˜o definida por f(x) =
(
1
pi
)x
e´ decrescente. Desta forma, teremos(
1
pi
)2x
>
(
1
pi
)−3
⇔ 2x < −3,
uma vez que f(x0) > f(x1)⇔ x0 < x1.
4.
(a) O que representa o s´ımbolo logbc(a), para b > 0, b 6= 1 e a > 0?
Soluc¸a˜o: logbc(a) e´ o nu´mero d tal que
(bc)d = a,
ou ainda, “o expoente que deve ser dado a` base bc para que a poteˆncia resulte em a”.
(b) A partir da definic¸a˜o acima, prove que, nas condic¸o˜es dadas,
logbc(a) =
1
c
logb(a).
Soluc¸a˜o: A partir da definic¸a˜o acima, queremos provar que 1
c
logb(a) e´ o nu´mero d tal que
(bc)d = a,
isto e´, queremos provar que
(bc)
1
c
logb(a) = a.
Mas
(bc)
1
c
logb(a) =
(
(bc)
1
c
)logb(a)
=
b>0
(
bc·
1
c
)logb(a)
= blogb(a) = a,
provando o que se pede.
(c) Nos itens acima, bem como na demonstrac¸a˜o que voceˆ apresentou, que valores pode assumir c?
Justifique.
Soluc¸a˜o: A base de um log pode ser qualquer nu´mero real positivo e diferente de 1. Assim,
precisamos ter bc > 0 e bc 6= 1.
5. Considere a func¸a˜o definida por f(x) = xx, com domı´nio (0,+∞).
(a) Escreva a func¸a˜o na forma f(x) = eg(x).
Soluc¸a˜o: Para x ∈ (0,+∞),
x = eln x,
logo
f(x) = xx =
(
eln x
)x
= ex·ln x.
(b) Determine os valores de x tais que f(x) = 1.
Soluc¸a˜o:
f(x) = 1⇔ ex·ln x = 1⇔ x · ln x = 0 ⇔
x 6=0
ln x = 0⇔ x = 1.
(c) Utilizando o fato de que a func¸a˜o h(x) = ex e´ crescente, resolva a inequac¸a˜o
xx > 1.
Soluc¸a˜o:
xx > 1⇔ ex·ln x = e0 ⇔ x · ln x > 0 ⇔
x>0
ln x > 0⇔ x > 1.