Jonas - Lista de Exercícios 2

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE
Programa de Pós-graduação em Desenvolvimento Regional e Agronegócio – PGDRA
- MESTRADO -
Lista de exercício 2
Mestrando: Jonas da Silva Henrique
Disciplina: Métodos Quantitativos I
Professor: Piacenti
Toledo-Paraná
Junho de 2014
1. Determine se os modelos abaixo são intrinsecamente lineares ou intrinsecamente não lineares. Mostre a forma como podem ser estimados.
a) 
R: Intrinsecamente linear, para isso, deve-se criar uma variável nova que será composta pelos valores da divisão de 1/Xi.
Yi = β1 – β2X2i + µi
Onde X2 é igual a 1/Xi
b) 
R: Este Modelo é linear.
c) 
R: O modelo não é linear nos parâmetros.
d) 
R: O modelo pode tornar-se linear aplicando o log.
LogYi = β1 + β2Xi + µi
e) 
R: O modelo pode tornar-se linear aplicando o log.
logYi = - β1 + β2Xi + ui
3. Resolva o exercício 7.23 de Gujarati (página 220).
EQUAÇÃO 1:
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 16/05/14 Time: 22:27
	Sample: 1960 1982
	Included observations: 23
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	2.032820
	0.116183
	17.49673
	0.0000
	LOG(X2)
	0.451528
	0.024695
	18.28435
	0.0000
	LOG(X3)
	-0.372212
	0.063466
	-5.864740
	0.0000
	R-squared
	0.980074
	 Mean dependent var
	3.663887
	Adjusted R-squared
	0.978082
	 S.D. dependent var
	0.187659
	S.E. of regression
	0.027783
	 Akaike info criterion
	-4.207711
	Sum squared resid
	0.015437
	 Schwarz criterion
	-4.059603
	Log likelihood
	51.38868
	 F-statistic
	491.8681
	Durbin-Watson stat
	1.875601
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
EQUAÇÃO 2
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 16/05/14 Time: 22:52
	Sample: 1960 1982
	Included observations: 23
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	2.125498
	0.137882
	15.41533
	0.0000
	LOG(X2)
	0.405924
	0.044791
	9.062535
	0.0000
	LOG(X3)
	-0.438825
	0.083332
	-5.265956
	0.0000
	LOG(X4)
	0.106656
	0.087838
	1.214228
	0.2395
	R-squared
	0.981509
	 Mean dependent var
	3.663887
	Adjusted R-squared
	0.978590
	 S.D. dependent var
	0.187659
	S.E. of regression
	0.027459
	 Akaike info criterion
	-4.195488
	Sum squared resid
	0.014326
	 Schwarz criterion
	-3.998011
	Log likelihood
	52.24812
	 F-statistic
	336.1808
	Durbin-Watson stat
	1.778678
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
EQUAÇÃO 3
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 16/05/14 Time: 23:33
	Sample: 1960 1982
	Included observations: 23
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	2.039362
	0.122320
	16.67229
	0.0000
	LOG(X2)
	0.440867
	0.052418
	8.410564
	0.0000
	LOG(X3)
	-0.381500
	0.076339
	-4.997420
	0.0001
	LOG(X5)
	0.021366
	0.092007
	0.232221
	0.8188
	R-squared
	0.980131
	 Mean dependent var
	3.663887
	Adjusted R-squared
	0.976994
	 S.D. dependent var
	0.187659
	S.E. of regression
	0.028464
	 Akaike info criterion
	-4.123589
	Sum squared resid
	0.015394
	 Schwarz criterion
	-3.926112
	Log likelihood
	51.42127
	 F-statistic
	312.4186
	Durbin-Watson stat
	1.868772
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
EQUAÇÃO 4
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 06/05/14 Time: 09:54
	Sample: 1960 1982
	Included observations: 23
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	2.189792
	0.155715
	14.06283
	0.0000
	LOG(X2)
	0.342555
	0.083266
	4.113970
	0.0007
	LOG(X3)
	-0.504592
	0.110894
	-4.550212
	0.0002
	LOG(X4)
	0.148545
	0.099673
	1.490334
	0.1535
	LOG(X5)
	0.091105
	0.100716
	0.904568
	0.3776
	R-squared
	0.982313
	 Mean dependent var
	3.663887
	Adjusted R-squared
	0.978383
	 S.D. dependent var
	0.187659
	S.E. of regression
	0.027591
	 Akaike info criterion
	-4.152987
	Sum squared resid
	0.013703
	 Schwarz criterion
	-3.906140
	Log likelihood
	52.75935
	 F-statistic
	249.9282
	Durbin-Watson stat
	1.826069
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
EQUAÇÃO 5
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 06/05/14 Time: 14:07
	Sample: 1960 1982
	Included observations: 23
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	2.029865
	0.118682
	17.10338
	0.0000
	LOG(X2)
	0.481286
	0.068188
	7.058251
	0.0000
	LOG(X3)
	-0.350628
	0.079394
	-4.416310
	0.0003
	LOG(X6)
	-0.061035
	0.129960
	-0.469645
	0.6440
	R-squared
	0.980303
	 Mean dependent var
	3.663887
	Adjusted R-squared
	0.977193
	 S.D. dependent var
	0.187659
	S.E. of regression
	0.028340
	 Akaike info criterion
	-4.132296
	Sum squared resid
	0.015260
	 Schwarz criterion
	-3.934819
	Log likelihood
	51.52141
	 F-statistic
	315.2063
	Durbin-Watson stat
	1.910653
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
RESPOSTAS:
a) O modelo (5) aparenta ser o melhor por abranger todas as variáveis economicamente relevantes, inclusive o preço real dos substitutos da carne de frango, o que provavelmente ajude a diminuir o problema de multicolinearidade entre o preço da carne bovina e o da carne de suína existente no modelo (4). O modelo (1) não tem informações sobre os substitutos, e elas são limitadas nos modelos (2) e (3).
b) O coeficiente de lnX2 representa a elasticidade de renda, e o lnX3 representa a de preço próprio .
c) O modelo (4) considera as carnes suína e bovina como bens substitutos, ao passo que o (2) considera apenas a suína.
d) Pode haver um problema de multicolinearidade entre o preço da carne bovina e o da suína. 
e) Sim Isso deve amenizar o problema da multicolinearidade. 
f) Devem ser bens substitutos porque competem com a carne de frango como produto de consumo
g) Equação 5: Intercepto: Significativo com 99% de probabilidade, seu valor foi de 2.029865, assim, teoricamente, a equação passa no eixo vertical (Y = consumo de carne de frango per capita) em 2,029865 libra-peso. Seu erro-padrão foi de 0.118682.
Coeficiente de lnX2: : É estatisticamente significativo a 1%. Seu sinal foi condizente com a teoria, pois quando a renda aumenta o consumo de bens normais também aumenta. Assim, quando a renda real per capita disponível variar em 1% o consumo da carne de frango per capita irá variar em 0.481286%. Seu erro-padrão foi de 0.068188.
Coeficiente de lnX3: Coeficiente significativo com 99% de probabilidade. Seu sinal foi condizente com o pensamento econômico, demonstrando a relação inversa entre preço e consumo. Quando o preço real do frango no varejo variar 1% o consumo de carne de frango per capita irá variar, no sentido contrário, em 0.350628%. Seu erro-padrão foi de 0.079394.
Coeficiente lnX6: Não demonstrou-se significativo a um nível de 10%, seu sinal a priori também não foi condizente com o esperado, pois acredita-se em uma relação direta entre o preço dos bens substitutos e a demanda do bem analisado. Seu erro-padrão foi de 0.129960.
O ajuste do modelo foi de 98,0303%, portanto, pouco mais de 98% das variações na variável dependente (consumo da carne de frango per capita) são explicadas pelas variações nas variáveis independentes (renda real per capita, preço real da carne de frango no varejo, e preço real composto dos substitutos do frango).
O R² justado foi de 97,7193%. Utilizado para comparar dois termos R², pois leva em conta o número de variáveis X presentes no modelo.
O R² modificado = (1 – k/n)R²
R² modificado = (1 – 3/23)0,980303
R² modificado = 0,852437.
h) O modelo 2 traz apenas como bem substituto o preço da carne de porco no varejo, enquanto o outro modelo traz uma variável com o preço real composto dos substitutos da carne de frango (carne de boi e porco), assim ele se tornamais completo que o modelo 2 (apesar de nos dois modelos a variável preço dos bens substitutos não ter sido significativo).
4. Considerando o modelo mostre como proceder os seguintes testes:
a) = 0
Teste de hipótese:
H0: = 0
H1: ≠ 0
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
b) = 5
Teste de hipótese:
H0: = 5
H1: ≠ 5
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
c) 
Teste de hipótese:
H0: = 3β4
H1: ≠ 3β4
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
d) 
Teste F
H0: 
H1: ao menos um dos parâmetros é diferente de zero.
Se F > Fα(k – 1, n – 1), rejeita-se H0; caso contrário, não rejeita-se, onde Fα(k – 1, n – 1) é o valor crítico de F no nível de significância; (k – 1), os graus de liberdade do numerador e (n – k), os graus de liberdade do denominador.
e) 
Teste de hipótese:
H0: β2 = 7 β3 – 5
H1: β2 ≠ 7 β3 – 5 
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
Ou
H0: β2 = 5eβ4
H1: β2 ≠ 5eβ4
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
Ou
H0: β2 = 0
H1: β2 ≠ 0
ttab(gl;Pr)
Se tcal<( -ttab) e tcal>ttab, rejeita-se H0.
5) Os dados da tabela abaixo representam o valor do investimento real (bilhões de dólares), PIB real (bilhões de dólares), taxa de juros (%), taxa de inflação (%) e tendência para a economia Americana. Considere o problema de estimar a Função de investimento para a economia americana .
Interprete a estimativa de , que é o efeito marginal do PIB () sobre a quantidade demandada.
	Investimento real (I)
	Tendência (T)
	PIB real (P)
	Taxa de juros (J)
	Taxa de inflação (I)
	0,161
	1
	1,058
	5,16
	4,40
	0,172
	2
	1,088
	5,87
	5,15
	0,158
	3
	1,086
	5,95
	5,37
	0,173
	4
	1,122
	4,88
	4,99
	0,195
	5
	1,186
	4,50
	4,16
	0,217
	6
	1,254
	6,44
	5,75
	0,199
	7
	1,246
	7,83
	8,82
	0,163
	8
	1,232
	6,25
	9,31
	0,195
	9
	1,298
	5,50
	5,21
	0,231
	10
	1,370
	5,46
	5,83
	0,257
	11
	1,439
	7,46
	7,40
	0,259
	12
	1,479
	10,28
	8,64
	0,225
	13
	1,474
	11,77
	9,31
	0,241
	14
	1,503
	13,42
	9,44
	0,204
	15
	1,475
	11,02
	5,99
R: 
	Dependent Variable: I
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 02:51
	Sample: 1 15
	Included observations: 15
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	-0.524303
	0.055996
	-9.363189
	0.0000
	T
	-0.017009
	0.001992
	-8.540291
	0.0000
	P
	0.682209
	0.055597
	12.27054
	0.0000
	J
	-0.002389
	0.001212
	-1.971558
	0.0769
	IN
	0.000426
	0.001338
	0.318237
	0.7569
	R-squared
	0.972774
	 Mean dependent var
	0.203333
	Adjusted R-squared
	0.961883
	 S.D. dependent var
	0.034177
	S.E. of regression
	0.006673
	 Akaike info criterion
	-6.920404
	Sum squared resid
	0.000445
	 Schwarz criterion
	-6.684387
	Log likelihood
	56.90303
	 F-statistic
	89.32316
	Durbin-Watson stat
	1.823325
	 Prob(F-statistic)
	0.000000
O estimado foi significativo a 1% de significância e seu sinal foi condizente com o pensamento a priori, pois quanto maior o PIB maior o investimento, assim, quando o PIB variar em 1 bilhão de dólares o investimento real irá variar em 0.682209 bilhões de dólares.
6 – Os dados da tabela abaixo representam o consumo per capta de leite (Y), em copos por dia, e o preço no varejo, em R$/litro (X), no período de 11 anos. Considere o problema de estimar a função Demanda de Leite representada pelas seguintes funções:
	Ano
	Yt
	Xt
	1
	1.3
	0.62
	2
	1.2
	0.78
	3
	1.4
	0.58
	4
	1.4
	0.57
	5
	1.5
	0.50
	6
	1.9
	0.40
	7
	2.6
	0.32
	8
	2.3
	0.36
	9
	2.5
	0.33
	10
	2.7
	0.33
	11
	2.1
	0.56
a) .
b) 
c) 
d) 
e) 
a) Interprete a estimativa de , que é o efeito marginal do preço sobre a quantidade demandada, para cada uma das funções estimadas acima;
R: equação a: 
	Dependent Variable: Y
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 03:58
	Sample: 2001 2011
	Included observations: 11
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	3.520101
	0.297441
	11.83462
	0.0000
	X
	-3.331048
	0.586673
	-5.677864
	0.0003
	R-squared
	0.781755
	 Mean dependent var
	1.900000
	Adjusted R-squared
	0.757506
	 S.D. dependent var
	0.565685
	S.E. of regression
	0.278564
	 Akaike info criterion
	0.444630
	Sum squared resid
	0.698383
	 Schwarz criterion
	0.516975
	Log likelihood
	-0.445465
	 F-statistic
	32.23814
	Durbin-Watson stat
	1.033092
	 Prob(F-statistic)
	0.000303
 
O foi significativo a 99% de probabilidade e seu sinal foi condizente com o esperado pois foi negativo, e quantidade demandada e preço, em bens normais, tem relação inversa, ou seja, quanto maior o preço menor a demanda e vice-versa. Assim, quando o preço variar em 1 R$/litro o preço irá variar, no sentido contrario, em 3.331048.
Equação b: 
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 04:32
	Sample: 2001 2011
	Included observations: 11
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	-0.091622
	0.107885
	-0.849253
	0.4178
	LOG(X)
	-0.906163
	0.131896
	-6.870287
	0.0001
	R-squared
	0.839860
	 Mean dependent var
	0.600441
	Adjusted R-squared
	0.822067
	 S.D. dependent var
	0.303712
	S.E. of regression
	0.128112
	 Akaike info criterion
	-1.108856
	Sum squared resid
	0.147714
	 Schwarz criterion
	-1.036512
	Log likelihood
	8.098709
	 F-statistic
	47.20084
	Durbin-Watson stat
	0.703370
	 Prob(F-statistic)
	0.000073
O foi significativo com 0,01 de nível de significância e seu sinal também foi condizente com a teoria econômica, que revela a relação inversa entre preço e demanda, assim, como o modelo é logaritmo o é a elasticidade da demanda do leite em relação ao preço, portanto, quando o preço do leite variar em 1% a demanda irá variar, no sentido inverso, em 0.906163%.
Equação c: 
	Dependent Variable: LOG(Y)
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 04:55
	Sample: 2001 2011
	Included observations: 11
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	1.484528
	0.149935
	9.901166
	0.0000
	X
	-1.817750
	0.295731
	-6.146628
	0.0002
	R-squared
	0.807614
	 Mean dependent var
	0.600441
	Adjusted R-squared
	0.786238
	 S.D. dependent var
	0.303712
	S.E. of regression
	0.140419
	 Akaike info criterion
	-0.925402
	Sum squared resid
	0.177458
	 Schwarz criterion
	-0.853058
	Log likelihood
	7.089714
	 F-statistic
	37.78104
	Durbin-Watson stat
	0.903592
	 Prob(F-statistic)
	0.000169
O foi significativo com 99% de probabilidade e seu sinal também foi condizente com a teoria econômica, que revela a relação inversa entre preço e demanda. Como se trata de um modelo log-lin é necessário multiplicar o valor do por 100, assim, dada a variação de 1 R$/litro no preço a demanda irá variar, em sentido contrário, em 181,775%.
Equação d: 
	Dependent Variable: Y
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 05:13
	Sample: 2001 2011
	Included observations: 11
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	0.618605
	0.207063
	2.987519
	0.0153
	LOG(X)
	-1.677816
	0.253148
	-6.627819
	0.0001
	R-squared
	0.829958
	 Mean dependent var
	1.900000
	Adjusted R-squared
	0.811064
	 S.D. dependent var
	0.565685
	S.E. of regression
	0.245885
	 Akaike info criterion
	0.195061
	Sum squared resid
	0.544136
	 Schwarz criterion
	0.267406
	Log likelihood
	0.927162
	 F-statistic
	43.92798
	Durbin-Watson stat
	0.785497
	 Prob(F-statistic)
	0.000096
O foi significativo com 99% de probabilidadee seu sinal também foi condizente com a teoria econômica, que revela a relação inversa entre preço e demanda. Como se trata de um modelo lin-log é necessário dividir o valor do por 100, assim, dada a variação de 1% no preço a quantidade demandada irá variar, em sentido contrário, em 0,01677816 unidades.
Equação e: 
1º cria-se uma nova variável (X2) onde X2=1/Xi
	Dependent Variable: Y
	Method: Least Squares
	Date: 07/05/14 Time: 05:25
	Sample: 2001 2011
	Included observations: 11
	Variable
	Coefficient
	Std. Error
	t-Statistic
	Prob. 
	C
	0.148888
	0.250824
	0.593598
	0.5674
	X2
	0.782299
	0.107773
	7.258786
	0.0000
	R-squared
	0.854109
	 Mean dependent var
	1.900000
	Adjusted R-squared
	0.837899
	 S.D. dependent var
	0.565685
	S.E. of regression
	0.227755
	 Akaike info criterion
	0.041872
	Sum squared resid
	0.466851
	 Schwarz criterion
	0.114217
	Log likelihood
	1.769704
	 F-statistic
	52.68998
	Durbin-Watson stat
	0.601029
	 Prob(F-statistic)
	0.000048
O foi significativo com 99% de probabilidade, como X2 é o inverso da variável preço seu sinal ficou positivo, porém o modelo não se torna útil para a análise da demanda do leite.
	
i) Calcule e interprete a elasticidade-preço da demanda de leite, no ponto médio da amostra, para cada uma das funções estimadas acima.
Equação a: Y médio = 1.9; X médio = 0.486364; = -3.331048
Quando o preço do leite variar 1% a sua demanda irá variar, em sentido oposto, em 0,8527%.
Equação b: Ep = = -0.906163
Quando preço aumentar em 1% a demanda do leite irá diminuir em 0,9% e vice-versa.
Equação c: X médio = 0.486364; = -1.817750
Quando o preço do leite aumentar 1% sua demanda irá cair em 0,884% e vice-versa.
Equação d: Y médio = 1.9; = -1.677816
Quando o preço do leite variar em 1% sua demanda irá variar, em sentido contrário, em 0,883%.
Equação e: Y médio = 1.9; X2 = 2.238416; = 0.782299
Quando X2 variar em 1% a demanda do leite irá variar em 0,9216% no mesmo sentido. Essa elasticidade não apresenta aplicação econômica, pois a variável X2 é composta por 1/X, sendo que X é o preço do leite em R$/litro.