Trabalho I - ECO 117 - Econometria

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA – UFRR 
Centro de Ciências Administrativas e Econômicas – CADECON 
Departamento de Economia 
Disciplina: ECO 117 – Econometria 
Professor: Dr. Carlos Eduardo Gomes 
Data de Entrega: 27/10/2020 – terça-feira. 
Discente: ___________________________________________________ 
Observação 
O trabalho deve ser entregue individualmente e deve conter o desenvolvimento dos cálculos. 
 
Trabalho I 
 
1) São dados os valores de 𝑌𝑗, 𝑋1𝑗 e de 𝑋2𝑗 na tabela a seguir: 
𝒀𝒋 𝑿𝟏𝒋 𝑿𝟐𝒋 
-4 0 3 
5 1 1 
4 2 2 
11 3 0 
Considerando o modelo 𝑌𝑗 = 𝛼 + 𝛽1𝑋1𝑗 + 𝛽2𝑋2𝑗 + 𝜇𝑗 , sendo 𝜇𝑗 erros independentes com 
distribuição normal de média zero e variância constante. 
a) Determine a equação de regressão de 𝑌 em relação a 𝑋1 e 𝑋2. Interprete os resultados. 
b) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = 0 . 
c) Calcule o valor do coeficiente de determinação múltiplo, interprete. 
d) Teste a hipótese 𝐻0: 𝛽2 = 4, ao nível de significância de 5%, contra 𝐻1: 𝛽2 ≠ 0 . 
e) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽1 = 0 
f) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽1 = −2 e 𝛽2 = 4 . 
g) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 contra a hipótese alternativa 
𝐻𝐴: 𝛽1 > 𝛽2 . 
Respostas: 1) a) 𝛼 = 5,5 ; �̂�1 = 2 ; �̂�2 = −3 ; b) 𝐹 = 56,5 não significativo ; c) 𝑅
2 = 0,9912 ; d) 
𝑡 = −9,39 não significativo ; e) 𝑡 = 2,682 não significativo ; f) 𝐹 = 274,5 significativo ; g) 𝑡 =
10,607 significativo. 
 
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2) Curva de Phillips com acréscimo de expectativas. A tabela a seguir mostra os valores de 𝑌 (taxa 
efetiva de inflação em %) e 𝑋2 (taxa de desemprego em %) e 𝑋3 (taxa esperada de inflação em %) 
para os Estados Unidos da América de 1970-1982. 
ANO 𝒀 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟐
𝟐 𝑿𝟑
𝟐 𝑿𝟐𝑿𝟑 𝑿𝟐𝒀 𝑿𝟑𝒀 
1970 5,92 4,9 4,78 
1971 4,3 5,9 3,84 
1972 3,3 5,6 3,13 
1973 6,23 4,9 3,44 
1974 10,97 5,6 6,84 
1975 9,14 8,5 9,47 
1976 5,77 7,7 6,51 
1977 6,45 7,1 5,92 
1978 7,6 6,1 6,08 
1979 11,47 5,8 8,09 
1980 13,46 7,1 10,01 
1981 10,24 7,6 10,81 
1982 5,99 9,7 8 
𝑛 = 13 
a) Suponha que 𝑌 se relacione com 𝑋 como segue 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋3 + 𝜇𝑖 . Apresente e 
interprete o modelo estimado. 
b) Preencha a tabela com as “variáveis” e os seus valores. 
c) Teste, com um nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽2 = 𝛽3 = 0 . 
Respostas: 2) a) �̂�1 = 7,1933 ; �̂�2 = −1,3925 ; �̂�3 = 1,47 ; c) 𝐹 = 35,515 significativo. 
 
3) São dados os valores de 𝑌𝑗, 𝑋2𝑗 e 𝑋3𝑗: 
∑ 𝑌𝑗 = 18 ; ∑ 𝑋2𝑗 = 4 ; ∑ 𝑋3𝑗 = 4 ; �̅� = 4,5 ; ∑ 𝑌𝑗
2 = 126 ; ∑ 𝑋2𝑗
2 = 10 ; ∑ 𝑋3𝑗
2 = 10 ; ∑ 𝑋2𝑗 𝑌𝑗 =
33 ; ∑ 𝑋3𝑗 𝑌𝑗 = 6 ; ∑ 𝑋2𝑗 𝑋3𝑗 = 1 ; 𝑛 = 7 . 
Considerando o modelo 𝑌𝑗 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑗 + 𝛽3𝑋3𝑗 + 𝜇𝑗 , sendo 𝜇𝑗 erros independentes com 
distribuição normal de média zero e variância constante. 
a) Determine a equação de regressão de 𝑌 em relação a 𝑋2 e 𝑋3 . Apresente e interprete a equação 
estimada. 
b) Teste, considerando o nível de significância de 5%, a hipótese 𝐻0: 𝛽2 = 𝛽3 = 0 . Interprete. 
Respostas: 3) a) �̂�1 = 3,5 ; �̂�2 = 2 ; �̂�3 = −1 ; b) 𝐹 = 7 não significativo. 
 
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4) Considere a seguinte equação: 
�̂�𝑡 =
1,073
(0,797)
+
5,288𝑉𝑡
(0,812)
−
0,116𝑋𝑡
(0,111)
+
0,054𝑀𝑡
(0,022)
+
0,046𝑀𝑡−1
(0,019)
 
𝑅2 = 0,934 ; 𝑔𝑙 = 14. 
Em que 𝑊 é o salário por empregado; 𝑉 são os postos de trabalho não preenchidos na Grã-Bretanha, 
como percentual do número total de empregados na Grã-Bretanha; 𝑋 é o Produto Interno Bruto por 
pessoa empregada; 𝑀 são os preços de importação; 𝑀𝑡−1 são os preços de importação no ano anterior. 
Os desvios padrão estão entre parênteses. Responda as seguintes questões: 
a) Interprete a equação anterior. 
b) Quais dos coeficientes estimados são estatisticamente significativos independentemente (utilize o 
nível de 5%). 
c) Qual das variáveis podem ser excluídas do modelo? Por quê? 
d) Em termos globais o que é possível dizer do modelo – veja o 𝑅2 e o teste 𝐹. 
 
5) Seja 𝑄 a quantidade de certo produto, em determinado mercado, por unidade de tempo, seja 𝑃 o 
respectivo preço e seja 𝑊 a renda per capita dos consumidores. Admita que essas variáveis estão 
relacionadas de acordo com o modelo 
𝑄𝑗 = 𝛾𝑃𝑗
𝛽1𝑊𝑗
𝛽2𝜀𝑗 
E que 𝜇𝑗 = log 𝜀𝑗 são erros aleatórios independentes com média zero e variância constante. 
a) Que anamorfoses devem ser feitas para obtermos um modelo de regressão linear múltiplo? 
 
6) Considere a função de produção 𝑄 = 𝑓(𝐿, 𝐾), em que 𝑄 é a medida do produto e 𝐿 e 𝐾 são os 
insumos trabalho e capital, respectivamente. Uma forma popular é a equação de Cobb-Douglas: 
𝑄𝑖 = 𝛼𝐿𝑖
𝛽1𝐾𝑖
𝛽2𝑒𝜇𝑖 
Ou 
log 𝑄𝑖 = log 𝛼 + 𝛽1 log 𝐿𝑖 + 𝛽2 log 𝐾𝑖 + 𝜇𝑖 
Ou 
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝜇𝑖 
Neste caso, 𝑌𝑖 = log 𝑄𝑖 ; 𝛽0 = log 𝛼 ; 𝑋1𝑖 = log 𝐿𝑖; 𝑋2𝑖 = log 𝐾𝑖. 
Responda o que se pede. A amostra tem 23 observações e são conhecidas as seguintes matrizes 
(relativas ao modelo com todas as variáveis centradas, inclusive a dependente). 
𝑋′𝑋 = [
12 8
8 12
] ; 𝑋′𝑦 = [
10
8
] ; 𝑦′𝑦 = 10 ; 𝑛 = 23 
a) Quais são as estimativas dos parâmetros 𝛽1 e 𝛽2 e os respectivos desvios padrão. 
b) Calcule o valor do 𝑅2. 
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c) Teste se os rendimentos à escala são constantes, isto é, teste a hipótese 𝐻0: 𝛽1 + 𝛽2 = 1 , 
considerando um nível de significância de 5%. 
Respostas: 6) a) �̂�1 = 0,7 ; �̂�2 = 0,2 e (�̂�1) = 𝑠(�̂�2) = 0,1025 ; b) 𝑅
2 = 0,86 ; c) 𝑡 = −1,195 não 
significativo (𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2,086). 
 
7) Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade 
demandada (Q) e o preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em reais e que 
a estimação será efetuada por MQO (ln é o logaritmo natural). 
ln 𝑄𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑃𝑖 + 𝜇𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,100. 
É correto afirmar que [marque Verdadeiro (V) ou Falso (F)]: 
( ) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará em 10𝛽2%, ceteris paribus. 
( ) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter 
quantidades demandadas negativas. 
( ) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de 𝛽2 na nova 
equação será igual a sua estimativa obtida na equação em reais. 
( ) Se a variável ln 𝑌 (Y é a renda) for acrescentada ao modelo, o coeficiente 𝑅2 desta nova regressão 
será maior ou igual ao coeficiente 𝑅2 da regressão original. 
( ) Se o coeficiente 𝑅2 ajustado da regressão com a variável ln 𝑌 for maior do que o coeficiente 𝑅2 
ajustado da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln 𝑌 é estatisticamente 
significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bilateral. 
Respostas: 7) F ; F ; V ; V ; F. 
 
8) Em uma aplicação da função Cobb-Douglas, foram obtidos os seguintes resultados: 
ln 𝑌𝑖 =
2,3542
+
0,9576 ln 𝑋2𝑖
(0,3022)
+
0,8242 ln 𝑋3𝑖
(0,3572)
 
𝑅2 = 0,8432 ; 𝑔𝑙 = 12. Em que 𝑌 é o produto, 𝑋2 é o trabalho e 𝑋3 é o capital. Os números entre 
parênteses são os erros padrão estimados. Responda o que se pede: 
a) Os coeficientes de trabalho e capital na equação anterior fornecem as elasticidades de produção 
em relação ao trabalho e ao capital. Teste a hipótese de que estas elasticidades são individualmente 
iguais a 1. 
b) Como você testaria a significância global da equação de regressão anterior. 
Respostas: 8) a) Para �̂�2 , teste 𝑡 = −0,1403 não significativo (𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2,179) ; Para �̂�3 , teste 
𝑡 = −0,49216 não significativo (𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2,179) ; b) 𝐹 = 32,2653 significativo (𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 =
3,89). 
 
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9) Admite-se que as variáveis 𝑋1, 𝑋2 e 𝑌 estão relacionadas conforme o modelo: 
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝑋1𝑖+ 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝜇𝑖 
Em que 𝜇𝑖 são erros independentes com 𝐸(𝜇𝑖) = 0 e 𝐸(𝜇𝑖
2) = 𝜎2. Para uma amostra de 9 
observações, obtivemos: 
�̅�1 = �̅�2 = 0 ; ∑ 𝑥1
2 = 8 ; ∑ 𝑥2
2 = 4 ; ∑ 𝑥1𝑥2 = 0 ; �̅� = 6 ; ∑ 𝑥1𝑦 = −8 ; ∑ 𝑥2𝑦 = −8 ; ∑ 𝑦
2 = 42. 
a) Calcule as estimativas de mínimos quadrados para os parâmetros. 
Respostas: 9) a) 𝛼 = 6 ; 𝛽1 = −1 ; 𝛽2 = −2 . 
 
10) Em notação matricial, vimos que 
�̂� = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦 
a) O que acontece a �̂� quando há perfeita multicolinearidade entre os 𝑋′𝑠? 
b) Como você sabe se existe perfeita multicolinearidade? 
 
11) Uma função de produção Cobb-Douglas ajustada por Mínimos Quadrados Ordinários a uma série 
de 20 anos produziu: 
log 𝑄
=
0,9
(4,19)
+
0,461 log 𝐾
(1,44)
+
0,461 log 𝐿
(1,44)
 
𝑅2 = 0,83 ; ∑ [
1 0,95
0,95 1
] 
Em que os números entre parênteses indicam as correspondentes estatísticas 𝑡 de student, e ∑ é a 
matriz de correlação entre 𝐾 e 𝐿. Além disso, a hipótese de serem ambas as elasticidades dos fatores 
de produção simultaneamente nulas é fortemente rejeitada (𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 41,5). Esses resultados 
sugerem que as elasticidades dos fatores de produção são (assinale a alternativa correta): 
a) Individualmente precisas e o modelo serve para previsão; 
b) Individualmente precisas, mas o modelo não serve para previsão; 
c) Individualmente imprecisas e o modelo serve para previsão; 
d) Individualmente imprecisas e o modelo não serve para previsão; 
e) Imprecisas na sua soma e o modelo não serve para previsão. 
 
12) Para o modelo de regressão linear simples, 𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝜇 mostre, pelo método de mínimos 
quadrados, que �̂� = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦. 
 
13) Comente as premissas do Modelo Clássico de Regressão Linear – MCRL. 
 
14) A partir das equações normais mostre que: 
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𝑋′𝑋𝛽 − 𝑋′𝑦 = 0 
a) A soma dos erros é igual a zero. 
b) A reta de regressão passa pelos valores médios da variável independente e das variáveis 
explicativas. 
c) A média dos valores observados e dos valores ajustados são iguais. 
 
15) Mostre que o estimador de MQO, 𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦, é não viesado, 𝐸[𝑏|𝑋] = 𝛽. 
 
16) Mostre que 𝑉[𝑏|𝑋] = 𝜎2(𝑋′𝑋)−1. 
 
17) Mostre que 𝐸[𝑒′𝑒|𝑋] = (𝑛 − 𝑘)𝜎2 
E, portanto, a estimativa da variância dos estimadores de mínimos quadrados 
𝑠2 =
𝑒′𝑒
𝑛 − 𝑘
 
Além disso, que essa estimativa é não viesada 𝐸[𝑠2] = 𝜎2 
 
18) Demonstre o Teorema de Gauss-Markov, que o estimador de mínimos quadrados tem a menor 
variância entre todos os estimadores lineares e não viesados, ou seja, é eficiente. Considere: 
𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦 ; 𝐸[𝑏|𝑋] = 𝛽 ; 𝑉[𝑏|𝑋] = 𝜎2(𝑋′𝑋)−1 ; 𝑏0 = 𝐶𝑦 ; 
𝐸[𝑏0|𝑋] = 𝛽 ; 𝑉[𝑏0|𝑋] = 𝜎
2𝐶𝐶′ 
Além disso, 𝐷 = 𝐶 − (𝑋′𝑋)−1𝑋′ . Mostre que 𝑉[𝑏0|𝑋] ≥ 𝑉[𝑏|𝑋] . 
 
19) Considere o seguinte modelo: 
𝑘𝑖𝑑𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝜇 
Em que 𝑘𝑖𝑑𝑠 é a taxa de fertilidade; 𝑒𝑑𝑢𝑐 são anos de educação. Responda o que se pede: 
a) Que tipos de fatores estão contidos em 𝜇? É provável que eles estejam correlacionados com o nível 
de educação? 
b) Uma análise de regressão simples mostrará o efeito “ceteris paribus” da educação sobre a 
fertilidade? Explique. 
 
20) Considere o seguinte modelo: 
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝜇 
Suponha que 𝐸(𝜇) ≠ 0. Fazendo 𝛼0 = 𝐸(𝜇), mostre que o modelo pode sempre ser reescrito com a 
mesma inclinação, mas com um novo intercepto e erro, em que o novo erro tem um valor esperado 
zero. 
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21) Considere o modelo 
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜̂ = �̂�0 + �̂�1𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜̂ = −124,84 + 0,853𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 
𝑛 = 100 ; 𝑅2 = 0,692 
a) Interprete o intercepto dessa equação e comente seu sinal e magnitude. 
b) Qual é o consumo previsto quando a renda familiar é $ 30.000,00? 
Resposta: 21) b) 25.465,16 . 
 
22) Salário inicial (mediano) para recém formados em direito: 
log(𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑦) = 𝛽0 + 𝛽1𝐿𝑆𝐴𝑇 + 𝛽2𝐺𝑃𝐴 + 𝛽3 log(𝑙𝑖𝑏𝑣𝑜𝑙) + 𝛽4 log(𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝛽5𝑟𝑎𝑛𝑘 + 𝜇 
Em que: 𝐿𝑆𝐴𝑇 é a nota mediana de ingresso no curso; 𝐺𝑃𝐴 a nota mediana dos recém formados; 
𝑙𝑖𝑏𝑣𝑜𝑙 é o volume de biblioteca da escola; 𝑐𝑜𝑠𝑡 é o custo anual; 𝑟𝑎𝑛𝑘 é a classificação da escola. 
a) Por que esperamos 𝛽5 ≤ 0? 
b) Sinais dos outros parâmetros? 
c) 𝑛 = 136 ; 𝑅2 = 0,842 
log(𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑦) = 8,34 + 0,0047𝐿𝑆𝐴𝑇 + 0,248𝐺𝑃𝐴 + 0,095 log(𝑙𝑖𝑏𝑣𝑜𝑙) + 0,038 log(𝑐𝑜𝑠𝑡)
− 0,0033𝑟𝑎𝑛𝑘 + 𝜇 
Diferença do “ceteris paribus” prevista no salário para as escolas com um 𝐺𝑃𝐴 mediano diferente em 
um ponto. 
d) Interprete o coeficiente da variável log(𝑙𝑖𝑏𝑣𝑜𝑙). 
Respostas: 22) c) 24,8 . 
 
23) Considere o modelo: 
log(𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒) = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑛𝑜𝑥) + 𝛽2𝑟𝑜𝑜𝑚𝑠 + 𝜇 
Em que 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒 é o preço médio da residência ; 𝑛𝑜𝑥 é a quantidade de poluição; 𝑟𝑜𝑜𝑚𝑠 é o número 
médio de cômodos nas residências na comunidade. 
a) Quais os prováveis sinais de 𝛽1 e 𝛽2? Qual a interpretação de 𝛽1 e 𝛽2? Explique. 
b) Por que 𝑛𝑜𝑥 e 𝑟𝑜𝑜𝑚𝑠 deveriam ser negativamente correlacionados? Se esse é o caso, a regressão 
simples de log(𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒) sobre log(𝑛𝑜𝑥) produz um estimador viesado para cima ou para baixo de 𝛽1 
c) log(𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒)̂ = 11,71 − 1,043 log(𝑛𝑜𝑥) 
𝑛 = 506 ; 𝑅2 = 0,264 
log(𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒)̂ = 9,23 − 0,718 log(𝑛𝑜𝑥) + 0,306𝑟𝑜𝑜𝑚𝑠 + 𝜇 
𝑛 = 506 ; 𝑅2 = 0,514 
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A regressão simples fica como prevista em (b)? Pode-se dizer que -0,718 está claramente mais 
próximo da elasticidade verdadeira que -1,043? 
 
24) 𝑐𝑟𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1𝑝𝑎𝑟𝑐𝑝 + 𝛽2𝑝𝑎𝑟𝑐𝑟 + 𝛽3𝑝𝑎𝑟𝑐𝑣 + 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑡 + 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠_𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 
Em que 𝑐𝑟𝑒𝑠 é a variação percentual do emprego ; 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑝 é a parcela dos impostos sobre a 
propriedade; 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑟 é a parcela das receitas de impostos sobre a renda; 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑣 é a parcela das receitas 
de impostos sobre as vendas; 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑡 é a parcela omitida, inclui taxas e impostos variados. 
a) Por que devemos omitir uma das variáveis da parcela de impostos da equação?