Mecânica Fundamental

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FIS 031 - Mecaˆnica Fundamental
Primeira Lista de Exerc´ıcios
Revisa˜o de Ca´lculo, Equac¸o˜es Diferenciais e Se´ries de Taylor
1. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, calcule a derivada primeira df/dx e a integral indefinida
∫
f(x)dx:
a) f(x) = 2x3 + 4x+ 5
b) f(x) = e−ax, onde a e´ uma constante.
c) f(x) = a sen(bx), onde a e b sa˜o constantes.
d) f(x) = a cos(bx), onde a e b sa˜o constantes.
e) f(x) =ln(ax), onde a e´ uma constante. (Neste caso, basta calcular a derivada primeira.)
f) f(x) = 1ax+b , onde a e b sa˜o constantes. (Dica: 1/x = x
−1.)
2. Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
dx
dt
= −ax, (1)
com a condic¸a˜o inicial x(0) = x0 (a e´ uma constante). Dica: Pense em uma func¸a˜o conhecida que, ao ser
derivada uma vez, da´ como resultado ela mesma.
3. Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
dx
dt
= a− bx2, (2)
com a condic¸a˜o inicial x(0) = 0.
4. Qual (ou quais) das seguintes func¸o˜es x(t) tem sua derivada segunda proporcional a menos ela mesma?
d2x
dt2
∝ −x (3)
(a) x(t) = 12at
2
(b) x(t) = A eat
(c) x(t) = A e−at
(d) x(t) = A cos(at)
5. Encontre a se´rie de Taylor para as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = ex
(b) f(x) = e−ax
(c) f(x) = sen x
(d) f(x) = cos x
(e) f(x) = ln(1 + ax).
Aplicac¸o˜es da 2a. Lei de Newton (Geral)
6. Ze´ esta´ puxando um bloco ao longo de uma superf´ıcie bastante rugosa. Para manter o bloco com uma
velocidade constante de mo´dulo v, ele aplica uma forc¸a de mo´dulo F . As setas no diagrama mostrado
na figura abaixo indicam corretamente a direc¸a˜o e o sentido das diversas forc¸as que atuam sobre o bloco,
mas na˜o necessariamente suas magnitudes. W e´ o peso do bloco, k a forc¸a de atrito cine´tico e N e´ a forc¸a
normal que a superf´ıcie exerce sobre o bloco. Qual relac¸a˜o abaixo deve necessariamente ser verdadeira?
(a) F = k e N = W .
(b) F = k e N > W .
(c) F > k e N < W .
1
(d) F < k e N = W .
(e) Nenhuma das anteriores.
Figura 1: Questa˜o 6.
7. Uma part´ıcula de massa m esta´ inicialmente em repouso. Subitamente, no instante t = 0, aplica-se sobre
eka uma forc¸a constante F0. Depois de um intervalo de tempo t0, a forc¸a subitamente dobra de valor
e permanece constante da´ı para a frente. Encontre a velocidade da part´ıcula e o deslocamento total no
instante t = 2t0.
8. Encontre a velocidade v e a posic¸a˜o x em func¸a˜o de t de uma part´ıcula de massa m que parte do repouso
em t = 0 sujeita a`s seguintes forc¸as:
a) F = F0
b) F = F0 + bt
c) F = F0cos(ωt)
d) F = kt2
9. Embora estejamos acostumados a analisar a velocidade de um objeto como uma func¸a˜o do tempo, e´ poss´ıvel
tambe´m encarar v como func¸a˜o da posic¸a˜o x, v = v(x). Ha´ basicamente duas maneiras de conseguirmos
isso. Numa delas, encontramos v(t) e x(t) separadamente e eliminamos a varia´vel t, obtendo assim x(v)
ou v(x). A outra e´ resolvendo a segunda lei de Newton diretamente para v como func¸a˜o de x. Para isso
e´ necessa´rio reescrever a acelerac¸a˜o como func¸a˜o da posic¸a˜o. Usando a regra da cadeia para a func¸a˜o
v(x(t)), mostre que
dv
dt
= v
dv
dx
. (4)
10. Encontre a velocidade v em func¸a˜o do deslocamento x de uma part´ıcula de massa m que parte do repouso
em x = 0 sujeita a`s seguintes forc¸as:
a) F = F0 + kx
b) F = F0e
−kx
c) F = F0 + kv
11. Uma part´ıcula de massa m esta´ inicialmente em repouso. Uma forc¸a constante F0 atua na part´ıcula ate´ o
instante t = t0. A forc¸a enta˜o aumenta de valor linearmente com o tempo tal que depois de um intervalo
adicional t0 a forc¸a vale 2F0. Mostre que a distaˆncia total percorrida pela part´ıcula no intervalo total de
tempo 2t0 e´
13
6
F0t
2
0
m
(5)
12. Um bloco e´ lanc¸ado para cima em um plano inclinado com velocidade inicial ~v0. Se o aˆngulo de inclinac¸a˜o
do plano em relac¸a˜o a` direc¸a˜o horizontal e´ θ, e o coeficiente de atrito cine´tico entre o plano e o bloco e´
µc, encontre o tempo total necessa´rio para o bloco retornar ao ponto de lanc¸amento. Dica: Lembre-se
que o mo´dulo da forc¸a de atrito cine´tico e´ dado por fat = µcN , onde N e´ o mo´dulo da forc¸a normal que
a superf´ıcie faz sobre o objeto.
2
Queda livre
13. Se voceˆ solta um objeto a partir do repouso, de uma altura h em relac¸a˜o ao solo, este objeto cai com uma
acelerac¸a˜o aproximadamente igual a 9,8 m/s2. Se voceˆ joga o objeto com uma certa velocidade inicial
para baixo, ele ira´ cair com acelerac¸a˜o igual a (despreze a resisteˆncia do ar)
(a) menor que 9,8 m/s2.
(b) 9,8 m/s2.
(c) maior que 9,8 m/s2.
Explique.
14. Em qual das duas situac¸o˜es descritas acima o objeto chegara´ primeiro ao cha˜o? Considere que, na segunda
situac¸a˜o, o objeto perca o contato com a sua ma˜o a` mesma altura h que a anterior. Explique sua resposta.
15. Voceˆ joga uma bola em linha reta para cima. Quanto valem a acelerac¸a˜o e a velocidade da bola quando
ela esta´ no ponto mais alto de sua trajeto´ria? Explique sua resposta.
16. Um objeto de massa m e´ solto a partir do repouso de uma altura h em relac¸a˜o ao solo. Desprezando o
efeito de resisteˆncia do ar, encontre, para o objeto (expresse todas as suas respostas em termos de m, h e
g):
a) a acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo;
b) a velocidade em func¸a˜o do tempo;
c) a posic¸a˜o vertical em func¸a˜o do tempo;
d) a velocidade em func¸a˜o da posic¸a˜o vertical;
e) o tempo total de movimento.
f) Se na˜o pudermos desprezar o efeito da resisteˆncia do ar, o que voceˆ espera que mude em relac¸a˜o ao
tempo de queda? Ele aumenta, diminui ou se mante´m o mesmo em relac¸a˜o ao caso sem resisteˆncia?
Explique sua resposta.
17. Durante um teste, um foguete, movendo-se verticalmente para cima, apresenta uma falha no motor quando
ele esta´ a 40 m do solo. Neste instante, sua velocidade e´ de 75 m/s. Determine a altura ma´xima alcanc¸ada
pelo foguete e sua velocidade imediatamente antes de ele colidir com o solo. Despreze o efeito de resisteˆncia
do ar e considere que o movimento do foguete e´ puramente vertical.
18. Uma bola e´ jogada verticalmente para cima com uma velocidade de 15 m/s. Determine o tempo de voˆo
ate´ ela retornar a` posic¸a˜o inicial da qual foi solta.
Movimento de Proje´teis
19. Uma bola se move sob a ac¸a˜o da forc¸a gravitacional em uma trajeto´ria curva como a mostrada na figura
abaixo. No ponto mais alto da trajeto´ria, e´ correto afirmar que:
Figura 2: Questa˜o 19.
(a) As magnitudes da velocidade e da acelerac¸a˜o da bola sa˜o iguais a zero.
(b) A magnitude da velocidade da bola e´ mı´nima, mas diferente de zero.
(c) A magnitude da velocidade da bola e´ igual a zero, e a de sua acelerac¸a˜o e´ constante e diferente de
zero.
(d) A magnitude da velocidade da bola e´ mı´nima, mas diferente de zero, e a magnitude da acelerac¸a˜o e´
igual a zero.
(e) Nem a velocidade, nem a acelerac¸a˜o, atingiram ainda suas magnitudes mı´nimas.
3
20. Um objeto de massa m e´ lanc¸ado, a partir do solo, com uma velocidade inicial ~v0 que faz um aˆngulo θ
com a direc¸a˜o horizontal. Desprezando a forc¸a de resisteˆncia do ar, encontre, em termos de m, g, v0 e θ:
a) a altura ma´xima que o objeto atinge;
b) a distaˆncia horizontal ma´xima percorrida;
c) a posic¸a˜o vertical em func¸a˜o da posic¸a˜o horizontal.
d) Suponha que, exatamente no instante em que o objeto atinja a altura ma´xima, um outro objeto seja
solto desta mesma altura, a partir do repouso. Qual dos dois chegara´ ao solo primeiro? Por queˆ?
21. A figura abaixo mostra uma sequ¨eˆncia de fotos, tiradas em intervalos de tempo iguais (usando um aparelho
chamado estrobosco´pio), de dois objetos soltos de uma mesma altura em relac¸a˜o ao solo. A bolinha
vermelha (a` esquerda) e´ solta do repouso e cai verticalmente, enquanto a bolinha amarela (a` direita) e´
lanc¸ada com uma certa velocidade inicial na direc¸a˜o horizontal, e cai segundouma trajeto´ria parabo´lica.
Essa foto demonstra um aspecto bastante importante do movimento de proje´teis no ar, no caso em que
efeitos de resisteˆncia do ar podem ser desprezados. Explique que aspecto e´ este e mostre, explicitamente,
onde isso esta´ evidenciado na formulac¸a˜o matema´tica do problema.
Figura 3: Questa˜o 21.
22. Um navio de batalha lanc¸a, simultaneamente, duas balas de canha˜o em direc¸a˜o a navios inimigos, A e
B. Se as balas seguem as trajeto´rias parabo´licas mostradas na figura abaixo, qual dos dois navios sera´
atingido primeiro? Explique.
Figura 4: Questa˜o 22.
23. Um dos trechos de uma pista de corrida para motos foi projetado de tal maneira que os pilotos saltem de
uma rampa inclinada a 30o em relac¸a˜o a` direc¸a˜o horizontal, perdendo contato com a rampa a 1 m do cha˜o
(veja a figura abaixo). Observou-se que um dos pilotos permaneceu no ar por 1,5 s. Determine o mo´dulo
da velocidade com a qual ele deixou a rampa, a distaˆncia horizontal R percorrida e a altura ma´xima H
que ele alcanc¸a. Despreze o tamanho da motocicleta e o do piloto.
Figura 5: Questa˜o 23.
4
24. Determine o mo´dulo da velocidade com a qual uma bola de basquete lanc¸ada do ponto A deve ser jogada
em um aˆngulo de 30o para que atinja a cesta no ponto B (veja a figura). Se o aˆngulo de lanc¸amento for
maior, o que devera´ acontecer com o mo´dulo da velocidade inicial?
Figura 6: Questa˜o 24.
25. Uma boa maneira de se estimar a velocidade de lanc¸amento de um proje´til e´ tirando uma foto de seu
movimento e medindo a posic¸a˜o vertical em func¸a˜o da sua posic¸a˜o horizontal (naquele instante de tempo),
bem como o aˆngulo de seu lanc¸amento. Para se obter os valores reais de comprimento, e´ necessa´rio
calibrar a escala da foto, utilizando para isso um objeto de tamanho real conhecido (ou, pelo menos, fa´cil
de ser estimado) que tambe´m aparec¸a na foto. Este me´todo pode ser usado, por exemplo, para estimar
velocidades de bolas em jogos de futebol.
Observe a figura abaixo. Em cada caso, fac¸a as medidas necessa´rias e estime:
a) a velocidade da a´gua lanc¸ada de um aspersor que se encontra a 1 m do cha˜o, e
b) a velocidade da bola de basquete, sabendo que a cesta esta´ a 3 m do cha˜o. Neste u´ltimo caso, a bola
acertara´ a cesta?
Figura 7: Questa˜o 25.
26. Suponha que voceˆ tenha um vizinho mala (ou talvez um professor(a) de Mec. Fund. que ja´ te reprovou
algumas vezes...) e queira ’dar um chega pra la´’ nele. Voceˆ decide usar o que aprendeu em Mec. Fund. e
planeja o seguinte: quando o vizinho sair do pre´dio, voceˆ, que mora no primeiro andar, arma um pequeno
canha˜o na sua janela para servir de propulsor a uma bola bem pesada. O seu canha˜o so´ consegue lanc¸ar
objetos na horizontal. Suponha que a altura H da parte inferior da sua janela em relac¸a˜o ao cha˜o seja
de 4 m, e que o mala parou para conversar com outra pessoa a uma distaˆncia D de 10 m da portaria
do pre´dio. Desprezando a forc¸a de resisteˆncia do ar, com qual velocidade voceˆ devera´ arremessar a bola
para atingir a cabec¸a do ’pela-saco’, que tem 1,70 m de altura? (Pense: Essa velocidade e´ fact´ıvel? Voceˆ
consegue imaginar um jeito de controlar esta velocidade? Como?)
27. Suponha que voceˆ tenha errado os ca´lculos (a´ı voceˆ entende porque tomou pau em Mec. Fund...) e a bola
caiu um pouco a` frente do seu vizinho. Ele viu, vira para tra´s e comec¸a a correr em sua direc¸a˜o! Voceˆ na˜o
pode perder tempo e decide tentar de novo, desta vez com uma bola mais pesada, porque quer machucar
de verdade a cabec¸a dele (na˜o para matar, porque a´ı tambe´m na˜o, mas pelo menos para lhe causar uma
amne´sia tempora´ria e ele te deixar em paz depois...). Se ele corre a uma velocidade aproximadamente
constante de 4 m/s em direc¸a˜o ao pre´dio, com qual velocidade voceˆ devera´ lanc¸ar a bola para atingir-lhe
5
Figura 8: Questo˜es (a) 26 e (b) 27.
na cabec¸a? Essa velocidade depende da massa da bola? Felizmente, numa situac¸a˜o real na˜o poder´ıamos
desprezar o efeito da forc¸a de resisteˆncia do ar, enta˜o com essas velocidades calculadas voceˆ na˜o acertara´
a cabec¸a do sujeito e na˜o podera´ acusar a professoa de Mec. Fund. de incitar a violeˆncia! :)
Movimento em Campos Ele´tricos e Magne´ticos Uniformes
28. Sabemos que o campo ele´trico entre as placas de um capacitor carregado, desprezando efeitos de borda,
e´ uniforme, isto e´, na˜o varia no espac¸o. Sabemos tambe´m que a forc¸a ele´trica sentida por uma part´ıcula
carregada, de carga q, em uma regia˜o onde exista um campo ele´trico ~E e´ dada por
~Fe = q ~E. (6)
Suponha que um ele´tron, de massa m e carga ele´trica −e, entre na regia˜o entre as placas de um capacitor
carregado com uma certa velocidade inicial ~v0 orientada ao longo da direc¸a˜o horizontal, como mostra a
figura abaixo. O comprimento das placas vale l e a distaˆncia entre elas e´ d. Considere que a u´nica forc¸a
que atua no ele´tron e´ a forc¸a ele´trica devida ao capacitor.
Figura 9: Questa˜o 28.
a) Descreva a trajeto´ria que o ele´tron ira´ percorrer na regia˜o entre as placas do capacitor.
b) Encontre, em func¸a˜o de m, e, l, d, v0 e E, o desvio vertical y do ele´tron no instante em que ele deixa
a regia˜o entre as placas do capacitor, no sistema de refereˆncia mostrado na figura.
c) Voceˆs sabem (ou sabera˜o um dia) que o mo´dulo do campo ele´trico entre as placas de um capacitor
e´ igual a` raza˜o entre a diferenc¸a de potencial ele´trico aplicada entre as placas e a distaˆncia d entre
elas (E = V/d). Considerando V = 10 V, d = 1 cm, l = 4 cm e v0 = 3 ×106 m/s, calcule o valor de
y encontrado no item anterior.
d) Quanto tempo o ele´tron leva para atravessar a regia˜o do capacitor? Utilize os dados do item anterior.
e) Considere agora a situac¸a˜o em que o capacitor esteja descarregado (ou seja, E = 0), e que a u´nica
forc¸a que atue sobre o ele´tron seja a forc¸a gravitacional que a Terra exerce sobre ele. Calcule o desvio
6
vertical y do ele´tron assim que ele deixa a regia˜o do capacitor. Esta deflexa˜o e´ mensura´vel a olho
nu?
f) Se, ao inve´s de um ele´tron, a part´ıcula entrando neste aparato fosse um pro´ton (cuja massa e´ cerca
de 1000 vezes maior que a do ele´tron), ainda seria seguro desprezarmos a deflexa˜o causada pela forc¸a
gravitacional? Por queˆ?
Nota histo´rica: Na u´ltima de´cada do se´culo XIX, o cientista ingleˆs J. J. Thomson realizou uma se´rie
de experieˆncias que o levou a propor a existeˆncia de uma ate´ enta˜o desconhecida part´ıcula fundamental,
que teria dimenso˜es (tamanho) muito menores que a do menor a´tomo conhecido, o hidrogeˆnio. A esta
part´ıcula, foi dado o nome de ele´tron. Ale´m de propor sua existeˆncia, Thomson foi capaz tambe´m de
medir a raza˜o entre a carga ele´trica e e a massa m dessa part´ıcula, valores estes desconhecidos ate´ enta˜o.
Para isso, ele utilizou um tubo de raios cato´dicos, onde um feixe de ele´trons era produzido, acelerado
e defletido sob a ac¸a˜o de um campo ele´trico uniforme. Essa deflexa˜o independe de propriedades da
part´ıcula, sendo determinada unicamente por paraˆmetros relacionados ao aparato experimental utilizado.
A grande sacada de Thomson foi incluir um campo magne´tico uniforme na regia˜o do capacitor tal que
a forc¸a magne´tica produzida por esse campo cancelasse exatamente a forc¸a ele´trica sobre os ele´trons em
movimento, anulando, portanto, a deflexa˜o do feixe. O valor de B para o qual isso acontece e´ func¸a˜o da
massa e da carga das part´ıculas. Foi assim que Thomson conseguiu medir a raza˜o carga-massa e/m do
ele´tron, levando-o a ganhar o preˆmio Nobel de 1906.
Na primeira de´cada do se´culo XX, o cientista norte-americano Robert Millikan e seu aluno de doutorado
Harvey Fletcher bolaram um experimento capaz de medir a carga do ele´tron. Eles mediam a velocidade
terminal de got´ıculas de o´leo caindo no ar. Como as got´ıculas sa˜o muito pequenininhas (diaˆmetros daordem de alguns microns, ou 10−6 m) e as velocidades envolvidas tambe´m sa˜o bastante pequenas, a
forc¸a de resisteˆncia do ar neste caso e´ uma func¸a˜o predominantemente linear da velocidade. Com este
experimento (simples na teoria, pore´m bastante delicado em sua implementac¸a˜o experimental), Millikan
e Fletcher conseguiram obter o valor da carga do ele´tron, e, usando a raza˜o e/m obtida por Thomson
alguns anos antes, conseguiram encontrar tambe´m sua massa m. Por este trabalho, Millikan recebeu o
preˆmio Nobel (sozinho) de 1923.
29. A forc¸a magne´tica que atua sobre uma part´ıcula de carga q e velocidade ~v (com v � c, onde c e´ a
velocidade da luz no va´cuo), numa regia˜o com campo magne´tico ~B, e´ dada por
Fm = q~v × ~B. (7)
a) Descreva a trajeto´ria de um ele´tron de carga −e com velocidade ~v = −v0iˆ em uma regia˜o onde
~B = −B0kˆ. Desenhe esta trajeto´ria na figura abaixo.
Figura 10: Questa˜o 29.
b) Encontre o raio da trajeto´ria.
30. Um espectro´grafo de massa e´ um aparelho capaz de medir massas atoˆmicas com precisa˜o. Ele e´ particu-
larmente u´til para separar iso´topos de um mesmo a´tomo, funcionando da seguinte maneira: um feixe de
ı´ons (todos com a mesma carga) da espe´cie atoˆmica de interesse e´ produzido e acelerado, entrando, enta˜o,
com uma certa velocidade ~v, em uma regia˜o onde ha´ um campo magne´tico uniforme ~B, onde o feixe sera´
defeltido. Iso´topos de massas diferentes sa˜o defletidos de maneiras diferentes. A figura abaixo mostra a
trajeto´ria de dois ı´ons em um espectro´grafo de massa. Qual e´ a relac¸a˜o entre suas massas? Explique.
7
Figura 11: Questa˜o 30.
31. Uma part´ıcula carregada de massa m e carga ele´trica positiva q move-se em uma regia˜o com campos
ele´trico e magne´tico uniformes, ~E e ~B, ambos apontando ao longo da direc¸a˜o z, no sentido de z positivo.
A forc¸a resultante sobre a part´ıcula e´
~F = q( ~E + ~v × ~B). (8)
a) Escreva a equac¸a˜o de movimento para a part´ıcula, e mostre que essa equac¸a˜o equivale a treˆs equac¸o˜es
diferenciais, uma para cada componente cartesiana da forc¸a.
b) Encontre o vetor-velocidade e o vetor-posic¸a˜o da part´ıcula em func¸a˜o do tempo. Que tipo de movi-
mento a part´ıcula descreve?
32. Considere uma part´ıcula carregada positivamente, entrando em uma regia˜o com campo magne´tico uni-
forme ~B alinhado ao eixo y, como mostra a figura abaixo. A forc¸a magne´tica sobre a part´ıcula e´ dada por
Fm = q~v × ~B.
a) Escreva a equac¸a˜o de movimento (vetorial) e mostre que ela e´ equivalente a treˆs equac¸o˜es diferenciais
’escalares’, uma para componente espacial da forc¸a.
b) (Opcional) Considerando que a velocidade inicial tenha apenas componentes ao longo dos eixos y e
z (isto e´, ~v0 = v0y jˆ + v0z kˆ), resolva as equac¸o˜es de movimento e mostre que a trajeto´ria da part´ıcula
tem a forma de uma espiral, com eixo paralelo a` direc¸a˜o y (se tiver dificuldade, veja o exemplo 2.10
do livro do Marion).
Figura 12: Questa˜o 32.
8
Resisteˆncia do Ar
33. Quando uma bola de beisebol voa atrave´s do ar, a raza˜o entre os mo´dulos das forc¸as de resisteˆncia do ar
quadra´tica (Fquad) e linear (Flin) e´ dada por
Fquad
Flin
= 1, 6× 103 s/m2 Dv, (9)
onde D e´ o diaˆmetro da bola e v o mo´dulo de sua velocidade.
a) Se D = 7 cm, determine a velocidade aproximada para a qual os dois termos da forc¸a de resisteˆncia
sa˜o igualmente importantes.
b) Para qual intervalo de velocidades e´ seguro tratar a forc¸a de resisteˆncia como puramente quadra´tica?
c) Para condic¸o˜es normais (v da ordem de poucos metros por segundo), ignorar o termo linear constitui
uma boa aproximac¸a˜o?
d) Responda a`s mesmas questo˜es para uma bola de Pilates de diaˆmetro igual a 70 cm.
Movimento Horizontal
34. Um objeto de massa m se move ao longo da direc¸a˜o horizontal com velocidade inicial de mo´dulo v0.
Supondo que a u´nica forc¸a que atue sobre o objeto e´ uma forc¸a de resisteˆncia do ar proporcional a` sua
velocidade:
~Far = −b~v, (10)
a) escreva a equac¸a˜o de movimento para o objeto.
b) O que voceˆ espera que acontec¸a para tempos muito longos? Responda sem resolver a equac¸a˜o.
Resolvendo a equac¸a˜o de movimento, encontre:
c) a velocidade,
d) a acelerac¸a˜o e
e) a posic¸a˜o do objeto como func¸o˜es do tempo.
f) Esboce os gra´ficos de v(t), a(t) e x(t).
g) Tome o limite apropriado em alguma das soluc¸o˜es que voceˆ encontrou e veja se sua previsa˜o da letra
b) se confirma.
h) Encontre a posic¸a˜o na qual o objeto pa´ra (chamada de posic¸a˜o terminal do objeto), em func¸a˜o de
m, v0 e b.
i) Embora matematicamente seja imposs´ıvel descobrirmos em qual instante de tempo o objeto pa´ra, e´
poss´ıvel encontrar quanto tempo o objeto leva para atingir uma certa porcentagem de sua posic¸a˜o
terminal. Calcule o tempo que o objeto leva para atingir 95% de xterm.
35. Uma massa m tem velocidade v0 no instante t = 0 e move-se ao longo do eixo x em um meio onde a forc¸a
de resisteˆncia do fluido e´ dada por
~F = −kv3/2vˆ, (11)
onde vˆ e´ um vetor unita´rio ao longo da direc¸a˜o do vetor-velocidade ~v.
a) Encontre a velocidade v em func¸a˜o do tempo t.
b) Pela soluc¸a˜o da letra a), o objeto ira´ parar? Se sim, em qual instante de tempo?
36. Um objeto de massa m se move ao longo da direc¸a˜o horizontal com velocidade inicial de mo´dulo v0.
Supondo que a u´nica forc¸a que atue sobre o objeto e´ uma forc¸a de resisteˆncia do ar proporcional ao
mo´dulo ao quadrado de sua velocidade:
~Far = −cv2vˆ, (12)
a) escreva a equac¸a˜o de movimento para o objeto.
b) O que voceˆ espera que acontec¸a para tempos muito longos? Responda sem resolver a equac¸a˜o.
Resolva a equac¸a˜o e encontre:
c) a velocidade,
9
d) a acelerac¸a˜o e
e) a posic¸a˜o do objeto como func¸o˜es do tempo.
f) Esboce os gra´ficos de v(t), a(t) e x(t).
g) Tome o limite apropriado em alguma das soluc¸o˜es que voceˆ encontrou e veja se sua previsa˜o da letra
b) se confirma.
h) Faz sentido falar em posic¸a˜o terminal neste caso? Por queˆ?
Movimento Vertical
37. E´ um fato observado experimentalmente que um objeto caindo em um meio fluido atinge, apo´s certo
tempo de queda, uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal do objeto. Explique este
fato. (Dica: Fac¸a um diagrama mostrando as forc¸as que atuam sobre o objeto em pelo menos treˆs
instantes de tempo diferentes: logo apo´s ser solto, um instante intermedia´rio e depois de um tempo muito
longo de movimento.)
38. Encontre a velocidade terminal de um objeto de massa m caindo sob a ac¸a˜o da forc¸a gravitacional em
um meio fluido, meio este que exerce uma forc¸a de resisteˆncia ao movimento do objeto cujo mo´dulo e´
proporcional ao:
a) mo´dulo da velocidade do objeto;
b) mo´dulo ao quadrado da velocidade do objeto.
39. Considere dois objetos de mesmo formato, mas de massas bastante diferentes. Voceˆ solta estes objetos do
repouso, a partir de uma certa altura h em relac¸a˜o ao cha˜o. De acordo com a sua percepc¸a˜o visual/auditiva:
a) Qual chegara´ ao cha˜o primeiro, se h ≈ 1 m?
b) E se h ≈ 5 m?
Explique suas respostas.
40. Determine a velocidade terminal de (a) uma bola de ac¸o de diaˆmetro 3 mm e de (b) um paraquedista
de 70 kg em posic¸a˜o fetal, caindo no ar sob a ac¸a˜o de uma forc¸a de resisteˆncia do ar quadra´tica com a
velocidade. A densidade do ac¸o e´ de 8 g/cm3 e pode-se considerar o paraquedista como uma esfera de
densidade 1 g/cm3 (Pense: Por que essa densidade?).
41. Considere uma esfera de diaˆmetro D e densidade ρesf caindo no ar (densidade ρar), no caso em que a
forc¸a de de resisteˆncia e´ predominantemente quadra´tica. E´ poss´ıvel mostrar que essa forc¸a sera´ dada por
Far =
1
4
ρarAv
2, (13)
onde A e´ a a´rea da sec¸a˜o reta da esfera e v sua velocidade.
a) Mostre que a velocidade terminal da esfera e´ dada por
vterm =
√
8
3
gD
ρesfρar
. (14)
b) Use este resultado para mostrar que, no caso de duas esferas de mesmo tamanho (mesmo diaˆmetro),
a mais densa ira´ cair mais ra´pido.
c) Para duas esferas de mesmo material, mas tamanhos diferentes, qual ira´ cair no cha˜o primeiro?
42. Voceˆ solta um objeto de massa m a partir do repouso de uma certa altura h medida em relac¸a˜o ao solo.
Suponha que a forc¸a de resisteˆncia do ar seja linear com a velocidade (~Far = −b~v).
a) Sem resolver a equac¸a˜o de movimento, como voceˆ acha que sera´ o movimento para tempos muito
curtos?
b) E para tempos muito longos?
Resolva a equac¸a˜o de movimento e encontre
c) a velocidade,
d) a acelerac¸a˜o e
10
e) a posic¸a˜o vertical como func¸o˜es do tempo.
f) Tome o limite apropriado e encontre a velocidade terminal do objeto. Compare com sua resposta
dada a` letra a) da questa˜o 38.
g) Quanto tempo o objeto leva para atingir 99% de sua velocidade terminal?
h) Tome o limite apropriado para mostrar que, para tempos suficientemente curtos,
vy(t) ≈ −gt. (15)
O que isso significa?
Dica: Use a se´rie de Taylor para a func¸a˜o exponencial. Para valores de x suficientemente pequenos (no caso
de f(x) = ex, |x| < 1), f(x) pode ser aproximada desprezando-se poteˆncias altas de x. Uma aproximac¸a˜o
em primeira ordem consiste em desprezar termos de ordem igual ou superior a 2. No caso da exponencial,
ex ≈ 1 + x, em primeira ordem.
i) Encontre a expressa˜o para a velocidade do objeto em func¸a˜o de sua posic¸a˜o vertical (Dica: use
dv/dt = v dv/dy).
43. Considere um objeto que e´ arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial v0 em um meio
linear (Far ∝ v).
a) Encontre v(t) e y(t).
b) Determine o tempo gasto para o objeto atingir a altura ma´xima, e determine essa altura.
c) Mostre que, a` medida que o coeficiente de arraste (constante de proporcionalidade entre Far e v) se
aproxima de zero, sua u´ltima resposta se reduz ao resultado bem conhecido yma´x = v
2
0y/2g. Dica:
Use a se´rie de Taylor para a func¸a˜o apropriada.
44. Voceˆ solta um objeto de massa m a partir do repouso de uma certa altura h medida em relac¸a˜o ao solo.
Suponha que a forc¸a de resisteˆncia do ar seja quadra´tica com a velocidade (~Far = −cv2vˆ).
a) Sem resolver a equac¸a˜o de movimento, como voceˆ acha que sera´ o movimento para tempos muito
curtos?
b) E para tempos muito longos?
Resolva a equac¸a˜o de movimento e encontre
c) a velocidade e
d) a acelerac¸a˜o como func¸o˜es do tempo.
Dica: Escreva a integral em dv na forma ∫
dx
1− x2
e use que
1
1− x2 =
1
2
(
1
1− x +
1
1 + x
)
.
a) Tome o limite apropriado para mostrar que, para tempos muito longos, v(t) tende a` velocidade-limite
encontrada na letra b) da questa˜o 38.
45. Um proje´til de 10 kg e´ disparado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de
50 m/s. Determine a altura ma´xima que ele atingira´ se:
a) a resiteˆncia do ar for desprezada, e
b) a resisteˆncia do ar (em mo´dulo) for dada por Far = (0,01 kg/m) v
2.
Movimento de Proje´teis
46. Considere um proje´til lanc¸ado da beira de um penhasco com uma velocidade inicial ao longo da direc¸a˜o
horizontal. Escreva as equac¸o˜es de movimento sem desprezar a forc¸a de resisteˆncia do ar e diga se
os movimentos ao longo das direc¸o˜es horizontal e vertical sa˜o ou na˜o independentes, para os casos em que:
a) ~Far = −b~v, e
b) ~Far = −cv2vˆ.
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