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1 0 Lista de Exerc��cio de MAT0122 (2 0 semestre 2011) Turma: 2011234 Bibliogra�a do curso 1 G. Strang, � Algebra linear e aplica�c~oes, 4 o Edi�c~ao, Cengage Learning. 2 S. Lipschutz and M. Lipson, � Algebra linear, 3 o Edi�c~ao, Cole�c~ao Schaum. 1 Parte 1: 1.1 I-Sistemas Lineares e Matrizes Problema 1.1. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss 2u+ v + w = 5 4u� 6v = �2 �2u+ 7v + 2w = 9 Problema 1.2 (M��nimos quadrados). Considere (t 1 ; b 1 ); : : : (t m ; b m ) dados experimentais de um feno^meno linear, e.g., dados que descrevem um objeto com velocidade uniforme que no tempo t i est�a a uma dista^ncia b i de um certo referencial. A�m de encontrar a reta que y = ax + c que est�a mais pr�oxima dos pontos coletados de�nimos a fun�c~ao de 2 variaveis E(c; a) = P m i=1 (b i � c � at i ) 2 . Veri�que que se (c^; a^) �e ponto cr��tico de E, i.e., se @E @c (c^; a^) = 0 = @E @a (c^; a^); ent~ao (c^; a^) atende: � m P t i P t i P t 2 i � � c^ a^ � = � P b i P t i b i � Problema 1.3 (Matriz de Vandermonde). Dado pontos (t 1 ; b 1 ); : : : ; (t n ; b n ) existe um �unico polino^mio P de grau n � 1 tal P (t i ) = b i . Veri�que que encontrar tal polino^mio P equivale a encontrar (c 1 ; : : : ; c n ) que atende: 2 6 6 6 4 1 t 1 t 2 1 � � � t n�1 1 1 t 2 t 2 2 � � � t n�1 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 t n t 2 n � � � t n�1 n 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 c 1 c 2 . . . c n 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 b 1 b 2 . . . b n 3 7 7 7 5 1 Problema 1.4. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss (a) x� 3y � 2z = 6 2x� 4y � 3z = 8 �3x+ 6y + 8z = �5 (b) x+ 2y � 3z = 1 2x+ 5y � 8z = 4 3x+ 8y � 13z = 7 (c) x 1 + 3x 2 � 2x 3 + 5x 4 = 4 2x 1 + 8x 2 � x 3 + 9x 4 = 9 3x 1 + 5x 2 � 12x 3 + 17x 4 = 7 Problema 1.5. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss (a) x+ 2y � z = 3 x+ 3y + z = 5 3x+ 8y + 4z = 17 (b) x� 2y + 4z = 2 2x� 3y + 5z = 3 3x� 4y + 6z = 7 (c) x+ y + 3z = 1 2x+ 3y � z = 3 5x+ 7y + z = 7 2 Problema 1.6. Resolva o sistema por elimina�c~ao e retrosubstitui�c~ao. x+ 2y + 3z = 0 �x+ y � 2z = �3 2x+ y + z = 3 Seja AX = B o sistema acima. Escreva as tre^s matrizes de elimina�c~ao E 21 , E 31 e E 32 que transformam A na matriz triangular superior U com E 32 E 31 E 21 A = U . Calcule a matriz M = E 32 E 31 E 21 Problema 1.7. (a) Calcule as inversas das matrizes de elimina�c~ao abaixo: E 21 = 2 4 1 0 0 5 1 0 0 0 1 3 5 E 31 = 2 4 1 0 0 0 1 0 �7 0 1 3 5 E 32 = 2 4 1 0 0 0 1 0 0 3 1 3 5 (b) Calcule a inversa da matriz M = E 32 E 31 E 21 Problema 1.8. Determine a fatora�c~ao LU da matriz A = 2 4 2 1 1 4 �6 0 �2 7 2 3 5 Problema 1.9. Determine a fatora�c~ao LU da matriz A = 2 4 1 �3 5 2 �4 7 �1 �2 1 3 5 Problema 1.10. Determine a fatora�c~ao LU da matriz A = 2 4 1 2 1 2 3 3 �3 �10 2 3 5 Problema 1.11. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa da matriz A = 2 4 2 1 1 4 �6 0 �2 7 2 3 5 3 Problema 1.12. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa da matriz A = 2 4 1 0 2 2 �1 3 4 1 8 3 5 Problema 1.13 (*). Seja A = 2 4 3 2 6 6 4 11 3 3 �8 3 5 Calcule a fatora�c~ao LU de A se esta existir ou determine a fatora�c~ao PA = LU para a matriz de permuta�c~ao P adequada. 1.2 Respostas da Parte 1 Problema 1.1: w = 2, v = 1, u = 1 Problema 1.4: (a) x = 1; y = �3 e z = 2 (b) x = �3� a, y = 2 + 2a, z = a onde a �e um para^metro (c) o sistema n~ao possui solu�c~ao. Problema 1.5: (a) x = 17 3 , y = �2 3 , z = 4 3 (b) O sistema n~ao possui solu�c~ao (c) x = �10a y = 1 + 7a; z = a onde a �e um para^metro. 4 Problema 1.6: z = 0, y = �1, x = 2. M = E 32 E 31 E 21 = 2 4 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 5 2 4 1 0 0 0 1 0 �2 0 1 3 5 2 4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 3 5 = 2 4 1 0 0 1 1 0 �1 1 1 3 5 Problema 1.7: (a) E �1 21 = 2 4 1 0 0 �5 1 0 0 0 1 3 5 ; E �1 31 = 2 4 1 0 0 0 1 0 7 0 1 3 5 ; E �1 32 = 2 4 1 0 0 0 1 0 0 �3 1 3 5 : (b) M = 2 4 1 0 0 �5 1 0 7 �3 1 3 5 : Problema 1.8: L = 2 4 1 0 0 2 1 0 �1 �1 1 3 5 ; U = 2 4 2 1 1 0 �8 �2 0 0 1 3 5 Problema 1.9: L = 2 4 1 0 0 2 1 0 �1 � 5 2 1 3 5 ; U = 2 4 1 �3 5 0 2 �3 0 0 �3 2 3 5 Problema 1.10: L = 2 4 1 0 0 2 1 0 �3 4 1 3 5 ; U = 2 4 1 2 1 0 �1 1 0 0 1 3 5 Problema 1.11 A �1 = 2 4 12 16 � 5 16 � 6 16 4 8 � 3 8 � 2 8 �1 1 1 3 5 Problema 1.12 A �1 = 2 4 �11 2 2 �4 0 1 6 �1 �1 3 5 5 Problema 1.13 Sejam E 21 := 2 4 1 0 0 �2 1 0 0 0 1 3 5 , E 31 := 2 4 1 0 0 0 1 0 �1 0 1 3 5 , P := P 23 = 2 4 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 5 , Observe que PE 31 E 21 A = U := 2 4 3 2 6 0 1 �14 0 0 �1 3 5 Note tamb�em que PE 31 E 21 = BP onde B := 2 4 1 0 0 �1 1 0 �2 0 1 3 5 Por �m de�na L := B �1 := 2 4 1 0 0 1 1 0 2 0 1 3 5 e conclua que PA = LU . 6 2 Parte 2 2.1 II-Espa�cos e Subespa�cos Vetoriais Problema 2.1. Escreva o polino^mio v(t) = t 2 +4t�3 como uma combina�c~ao linear dos polino^mios p 1 (t) = t 2 � 2t+ 5; p 2 (t) = 2t 2 � 3t; p 3 (t) = t+ 1 Problema 2.2. Escreva a matriz M = � 4 7 7 9 � como combina�c~ao linear das matrizes: A = � 1 1 1 1 � ; B = � 1 2 3 4 � ; C = � 1 1 4 5 � : Problema 2.3. Seja V o espa�co vetorial real dos polino^mios reais. Deter- mine se W �e ou n~ao um subespa�co de V onde (a) W �e composto por todos os polino^mios de coe�cientes inteiros. (b) W �e composto por todos os polino^mios de grau menor ou igual a 6 e do polino^mio nulo (c) W �e composto por todos os polino^mios que possuem apenas pote^ncias pares. Problema 2.4. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores de- termina ou n~ao uma base de R 3 (a) (1; 1; 1), (1; 0; 1) (b) (1; 2; 3), (1; 3; 5), (1; 0; 1), (2; 3; 0) (c) (1; 1; 1) (1; 2; 3), (2;�1; 1) (d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 3; 4) Problema 2.5. Seja S o espa�co das matrizes sim�etricas reais 2 por 2, i.e., o espa�cos das matrizes reais A = A t ond A t �e a transposta de A. Determine a dimens~ao de S e uma base para S. 7 Problema 2.6. (a) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(U) da matriz U = 2 4 1 3 3 2 0 0 3 3 0 0 0 0 3 5 : (b) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(A) da matriz A = 2 4 1 3 3 2 2 6 9 7 �1 �3 3 4 3 5 : Problema 2.7. Determinea dimens~ao e uma base do espa�co de solu�c~oes dos sistemas homoge^neos abaixo: (a) x+ 2y + 2z � s+ 3t = 0 x+ 2y + 3z + s+ t = 0 3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0 (b) x+ 2y + z � 2t = 0 2x+ 4y + 4z � 3t = 0 3x+ 6y + 7z � 4t = 0 (c) x+ y + 2z = 0 2x+ 3y + 3z = 0 x+ 3y + 5z = 0 Problema 2.8. Demonstre as seguintes a�rma�c~oes: (a) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentes em R m . (b) Sejam f 1 : : : f m e g 1 ; : : : g n bases para um mesmo espa�co vetorial V . Ent~ao m = n. (c) Sejam ff i g base de um espa�co vetorial W e v 2 W: Ent~ao existe para cada vetor f i somente um n�umero v i tal que v = P i v i f i 8 2.2 Respostas da Parte II Problema 2.1: v = �17 11 p 1 + 14 11 p 2 + 52 11 p 3 Problema 2.2: M = 2A+ 3B � C Problema 2.3: (a) n~ao, (b) e (c) sim. Problema 2.4: (a), (b) n~ao , pois dimR 3 = 3. (c) Sim, pois colocando os vetores como colunas de uma matriz A tre^s por tre^s, podemos observar que A �e n~ao singular. (d) N~ao pois colocando os vetores como colunas de uma matriz A observamos que Ax = 0 admite mais de uma solu�c~ao. Problema 2.5: dimS = 3 e uma base �e: E 1 = � 1 0 0 0 � ; E 2 = � 0 1 1 0 � ; E 3 = � 0 0 0 1 � : Problema 2.6: (a) dimN(U) �e igual ao n�umero de vari�aveis livres, i.e., 2. Uma base E 1 , E 2 do subespa�co vetorial N(U) pode ser determinada da seguinte forma: Considere as solu�c~oes de Ux = 0: Ent~ao E 1 �e obtido tomando x 4 = 1 e x 2 = 0 e E 2 tomando-se x 4 = 0 e x 2 = 1. Assim E 1 = (1; 0;�1; 1) e E 2 = (�3; 1; 0; 0). (b) Sabemos que PA = LU . Logo A = P �1 LU . Logo Ax = 0 se e somente se Ux = 0: Logo N(A) = N(U). Problema 2.7: (a) Dimens~ao �e 3. Base: v 1 = (�2; 1; 0; 0; 0), v 2 = (5; 0;�2; 1; 0), v 3 = (�7; 0; 2; 0; 1) (b) Dimens~ao �e 2. Base v 1 = (�2; 1; 0; 0) v 2 = (�5; 0;�1; 2) (c) Dimens~ao 0, i.e., o espa�co �e o espa�co vetorial trivial f(0; 0; 0)g. Problema 2.8: Demonstrado em sala de aula. Para maiores detalhes consulte livro de Strang, cap��tulo 2. 9 3 Parte 3 3.1 II- Transforma�c~oes Lineares Problema 3.1. Diga se as aplica�c~oes abaixo s~ao ou n~ao transforma�c~oes lineares (a) T : R! R, T (x) = 7x (b) T : R! R, T (x) = cos(x) (c) T : R! R, T (x) = 7x+ 1 (d) T : R 2 ! R 3 , T (x; y) = 2 4 1 3 4 7 8 1 3 5 � � x y � (e) T : C 1 (R)! C 1 (R), T (f) = d dt f (f) T : R! R, T (x) = x 2 (g) T : C 1 (R)! C 1 (R), T (f) = R t 0 f(x)d x (h) T : C 1 (R)! C 1 (R), T (f) = R t 0 f(x)g(x; t)d x onde g(x; t) 2 C 1 (R 2 ) (i) T : R 2 ! R 2 , T (x; y) = (xy; y) (j) T : R 3 ! R 2 , T (x; y; z) = (x+ y + z; 2x� 3y + 4z) (k) T : R 2 ! R 3 , T (x; y) = (x+ 3; 2y; x+ y) Problema 3.2. Determine a transforma�c~ao linear T : R 2 ! R 3 tal que T ((1; 0)) = (2; 3; 4) e T ((0; 1)) = (4; 6; 8) Problema 3.3. Determine a transforma�c~ao linear R � : R 2 ! R 2 que deter- mina a rota�c~ao de vetores por meio de um a^ngulo �: 10 Problema 3.4. Sejam P (t 3 ) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e � := fp 0 = 1; p 1 = t; p 2 = t 2 ; p 3 = t 3 g base de P (t 3 ). Considere a trans- forma�c~ao linear T : P (t 3 ) ! P (t 3 ), T (f) = d dt f . Determine a representa�c~ao matricial [T ] � � de T na base �. Problema 3.5. Sejam P (t 3 ) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e � := fq 1 = t 3 ; q 2 = t 2 ; q 3 = t; q 4 = 1g base de P (t 3 ). Considere a trans- forma�c~ao linear T : P (t 3 ) ! P (t 3 ), T (f) = d dt f . Determine a representa�c~ao matricial [T ] � � de T na base �. Problema 3.6. Sejam P (t 3 ) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e � := fp 0 = 1; p 1 = t; p 2 = t 2 ; p 3 = t 3 g base de P (t 3 ): Sejam P (t 4 ) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 4 e ~� := fp 0 = 1; p 1 = t; p 2 = t 2 ; p 3 = t 3 ; p 4 = t 4 g uma base de P (t 4 ). Considere a transforma�c~ao linear T : P (t 3 )! P (t 4 ), T (f) = R t 0 f(x)d x. Determine a representa�c~ao matricial [T ] ~� � de T: Problema 3.7. Sejam v 1 = ( 1 p 2 ; 1 p 2 ) e v 2 = ( �1 p 2 ; 1 p 2 ). Considere a aplica�c~ao linear T (xv 1 + yv 2 ) = xv 1 � yv 2 . (a) Considere as bases e = f(1; 0); (0; 1)g (base cano^nica) e v = fv 1 ; v 2 g: Determine as representa�c~oes matriciais de Id (aplica�c~ao identidade) [Id] e e , [Id] v v ; [Id] v e ; [Id] e v . (b) Determine a representa�c~ao matricial [T ] v v (c) Determine a representa�c~ao matricial [T ] e e . Problema 3.8. Considere as seguintes bases � = fu 1 ; u 2 g = f(1; 2); (3; 5)g e � = fv 1 ; v 2 g = f(1;�1); (1;�2)g Determine a mudan�ca de base da base [Id] � � Problema 3.9. Considere a matriz A = 2 4 1 3 3 2 2 6 9 7 �1 �3 3 4 3 5 : 11 (a) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A. (b) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A: (c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A: Problema 3.10. Seja F : R 4 ! R 3 a aplica�c~ao linear de�nida por F (x; y; z; t) = (x� y + z + t; x+ 2z � t; x+ y + 3z � 3t) (a) Determine a representa�c~ao matricial A de F na base cano^nica. (b) Determine uma base e a dimens~ao da imagem de F . (c) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de F . (d) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A: Problema 3.11. Seja F : R 3 ! R 3 a aplica�c~ao linear de�nida por F (x; y; z) = (x+ 2y � z; y + z; x+ y � 2z) (a) Determine a representa�c~ao matricial A de F na base cano^nica. (b) Determine uma base e a dimens~ao da imagem de F . (c) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de F . (d) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A: Problema 3.12. Considere a matriz A = 2 4 1 2 3 1 1 3 5 �2 3 8 13 �3 3 5 : (a) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A. (b) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A: (c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A: 12 Problema 3.13. Demonstre as a�rma�c~oes abaixo. (a) Seja T : V ! W uma aplica�c~ao linear. Ent~ao T �e determinada por fT (v i )g onde fv i g �e base de V . (b) Sejam T : V ! W uma aplica�c~ao linear, fv i g base de V e fw i g base de W . Ent~ao T admite representa�c~ao matricial A = (a ij ) onde T (v j ) = P i a ij w i : (c) Seja A uma matriz m � n de posto r. Seja C(A) o espa�co colunas de A. Ent~ao dimC(A) = r: (d) Seja A uma matriz m�n de posto r. Seja N(A) o n�ucleo de A. Ent~ao dimN(A) = n� r: (e) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao o n�umero de linhas independentes de A �e r: (f) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A) �e complemento ortogonal de C(A t ). (g) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A t ) �e complemento ortogonal de C(A). 3.2 Respostas da Parte 3 Problema 3.1 (a) Sim, T �e transforma�c~ao linear (b) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear (c) N~ao,T n~ao �e transforma�c~ao linear (d) Sim, T �e transforma�c~ao linear (e) Sim, T �e transforma�c~ao linear (f) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear 13 (g) Sim, T �e transforma�c~ao linear (h) Sim, T �e transforma�c~ao linear (i) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear (j) Sim, T �e transforma�c~ao linear (k) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear Problema 3.2: T (x; y) = 2 4 2 4 4 6 4 8 3 5 � � x y � Problema 3.3: R � (x; y) = � cos(�) �sen (�) sen (�) cos(�) � � � x y � Problema 3.4: [T ] � � = 2 6 6 4 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 7 7 5 Problema 3.5: [T ] � � = 2 6 6 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 3 7 7 5 Problema 3.6: [T ] � � = 2 6 6 6 6 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4 3 7 7 7 7 5 Problema 3.7 (a) [Id] e e = [Id] v v = � 1 0 0 1 � ; [Id] e v = " 1 p 2 � 1 p 2 1 p 2 1 p 2 # ; [Id] v e = " 1 p 2 1 p 2 � 1 p 2 1 p 2 # ; 14 (b) [T ] v v = � 1 0 0 �1 � : (c) [T ] e e = � 0 1 1 0 � : Problema 3.8: Primeiro resolva os dois sistemas lineares abaixo (lembre- se v 1 ; v 2 ; u 1 ; u 2 s~ao vetores) v 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 v 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 Assim obtemos [Id] � � = � a 11 a 12 a 21 a 22 � = � �8 �11 3 4 � : Problema 3.9 (a) dimens~ao do espa�co coluna de A �e 2. Uma base �e f(1; 2;�1); (3; 9; 3)g (b) dimens~ao do n�ucleo de A �e 2. Uma base �e f(�3; 1; 0; 0); (1; 0;�1; 1)g (c) dimens~ao do espa�co de linhas deA �e 2. Uma base �e f(1; 3; 3; 2); (0; 0; 3; 3)g Problema 3.10: (a) A = 2 4 1 �1 1 1 1 0 2 �1 1 1 3 �3 3 5 : (b) dimens~ao da imagem de F (espa�co colunas de A) �e 2. Uma base �e f(1; 1; 1); (�1; 0; 1) (c) dimens~ao do n�ucleo de F (n�ucleo de A) �e 2. Uma base �e (2; 1;�1; 0) e (1; 2; 0; 1) (d) dimens~ao do espa�co de linhas de A �e 2. Uma base �e (1;�1; 1; 1) e (0; 1; 1;�2) Problema 3.11 15 (a) A = 2 4 1 2 �1 0 1 1 1 1 �2 3 5 : (b) dimens~ao da imagem de F (espa�co colunas de A) �e 2 . Uma base �e f(1; 0; 1); (2; 1; 1)g (c) dimens~ao do n�ucleo de F (n�ucleo de A) �e 1. Uma base �e f(3;�1; 1)g (d) dimens~ao do espa�co de linhas de A �e 2. Uma base �e f(1; 2;�1); (0; 1; 1)g Problema 3.12 (a) dimens~ao do espa�co coluna de A �e 2. Uma base �e f(1; 1; 3); (2; 3; 8)g (b) dimens~ao do n�ucleo de A �e 2. Uma base �e f(1;�2; 1; 0); (�7; 3; 0; 1)g (c) dimens~ao do espa�co de linhas deA �e 2. Uma base �e f(1; 2; 3; 1); (0; 1; 2;�3))g Problema 3.13: Demonstrado em sala de aula. Maiores detalhes vide Cap��tulo 2 do Strang. 16 4 Parte 4 4.1 III- Produto Interno e Matrizes Ortogonais Problema 4.1. Veri�que se g �e produto interno do espa�co vetorial V em quest~ao. (a) g(x; y) = hx;Ayi = x t Ay para A = � cos(�) �sen (�) sen (�) cos(�) � e V = R 2 (b) g(x; y) = hx;Ayi = x t Ay para A = � 4 0 0 7 � e V = R 2 : (c) g(A;B) = trA t B onde A e B pertencem ao espa�co V das matrizes reais n� n. (d) g(f; h) = R 1 0 f(t)h(t)d t onde f; h pertencem ao espa�co V das fun�c~oes cont��nuas com dominio [0; 1]. (e) g(x; y) = hx;Ayi = x t Ay para A = � 4 8 3 6 � e V = R 2 Problema 4.2. Seja B matriz m� n com nucleo trivial e A = B t B. Prove que g(x; y) = hx;Ayi = x t Ay �e um produto interno em R n . Problema 4.3. Prove que as a�rma�c~oes abaixo s~ao equivalentes para uma matriz real A n� n. (a) A �e ortogonal, i.e., AA t = A t A = Id (b) A preserva o produto escalar de R n , i.e., hAx;Ayi = hx; yi para todos os vetores x; y em R n . (c) As colunas (respectivamente linhas) de A formam uma base ortonormal de R n : 17 Problema 4.4. Determine se a matriz A �e ou n~ao matriz ortogonal. Em caso a�rmativo determine a inversa da matriz A. (a) A matriz de rota�c~ao por um angulo �: A = � cos(�) �sen (�) sen (�) cos(�) � : (b) A matriz de proje�c~ao no eixo x: A = � 1 0 0 0 � : (c) A matriz de re ex~ao em rela�c~ao ao eixo x: A = � 1 0 0 �1 � : (d) A = 2 4 1 1 �1 1 3 4 7 �5 2 3 5 : (e) A = 2 6 4 1 p 3 1 p 3 �1 p 3 1 p 26 3 p 26 4 p 26 7 p 78 �5 p 78 2 p 78 3 7 5 : (f) Sejam v 1 = (v 11 ; v 21 ; v 31 ), v 2 = (v 12 ; v 22 ; v 32 ) e v 3 = (v 13 ; v 23 ; v 33 ) ve- tores ortonormais em R 3 . Considere as bases � = fv 1 ; v 2 ; v 3 g e a base cano^nica e = fe 1 ; e 2 ; e 3 g. A matriz A em quest~ao �e a mudan�ca de base A = [Id] e � : 4.2 Respostas da Parte 4 Problema 4.1: (a) n~ao, A n~ao �e sim�etrica (b) sim, (c) sim, (d) sim (e) nao, A �e singular. 18 Problema: 4.2: Observe primeiro que A t = (B t B) t = B t (B t ) t = B t B = A, ou seja A �e sim�etrica. Observe depois que hx;Axi = x t B t Bx = (Bx) t Bx = hBx;Bxi = kBxk 2 Como nucleo de B �e trivial, concluimos que para qualquer x diferente de zero, kBxk 2 > 0 e assim hx;Axi > 0. As duas observa�c~oes implicam que A �e sim�etrica positiva de�nida, logo g �e produto interno. Problema: 4.3: (a) equivale (b) segue direto de hAx;Ayi = (Ax) t Ay = x t A t Ay (a) equivale (c) segue direto da de�ni�c~ao de produto de matrizes. Problema: 4.4: (a) Sim. A �1 = A t = � cos(�) sen (�) �sen (�) cos(�) � : (b) N~ao. (c) Sim. A �1 = A t = � 1 0 0 �1 � : (d) N~ao. (e) Sim. A �1 = A t = 2 6 4 1 p 3 1 p 26 7 p 78 1 p 3 3 p 26 �5 p 78 �1 p 3 4 p 26 2 p 78 3 7 5 : (f) Sim. A �1 = A t = 2 4 v 11 v 21 v 31 v 12 v 22 v 32 v 13 v 23 v 33 3 5 : 19
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