APOSTILA__CAR_I__02_2014.pdf

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UDESC – UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA 
CATARINA 
 
 
CCT – CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS 
 
 
DEC – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
APOSTILA DE CONCRETO ARMADO I – 
CAR1001 
 
2º semestre de 2014 
 
 
Versão baseada na NBR 6118/2014 
 
 
 
Profa. Sandra Denise Kruger Alves 
Email: sandrakrugeralves@gmail.com/sandra.kruger@udesc.br 
Fone: (47) 4009-7992 
 2
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS PARA A CONCEPÇÃO E O 
DESENVOLVIMENTO DA SENSIBILIDADE ESTRUTURAL 
 
 Na engenharia estrutural existem basicamente duas fases: a fase de concepção do 
projeto, e a fase do desenvolvimento propriamente dito. O objetivo principal é obter soluções 
adequadas, simples e econômicas para o problema proposto, exigindo do engenheiro experiência 
e sensibilidade para encontrar estas respostas, não se esquecendo de que 
 
“A engenharia é a arte de tratar de maneira simples e adequada o complexo. A qualidade de um 
projeto se mede pela adequação da sua solução, pelo seu método construtivo, pela qualidade do 
detalhamento com vistas à facilidade executiva, e pelo seu dimensionamento através de 
modelos que simulem corretamente a estrutura, propiciando um grau de segurança adequado.” 
 
 
1.1 ANÁLISE CONCEITUAL 
 
 A análise conceitual é formada por várias etapas, como: 
- desenho esquemático em escala adequada; 
- indicação das cargas atuantes, hipóteses adotadas, materiais utilizados; 
- visualização e análise dos diversos caminhos que as cargas atuantes devem percorrer até 
chegar à fundação. Isto depende da disposição e rigidez dos vários elementos que compõe a 
estrutura, lembrando-se que a estrutura que permite o menor caminhamento das cargas até a 
fundação é a mais econômica; 
- visualização da sequencia construtiva. 
 
 
1.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
 Nesta etapa é feita uma análise simplificada em seções críticas, para que se 
tenha ideia das ordens de grandeza envolvidas. Depois de definidas as dimensões dos 
elementos estruturais, é feito um cálculo detalhado da estrutura envolvendo muitas vezes 
programas computacionais. Aconselha-se não prosseguir o cálculo se houver muita discrepância 
entre o pré-dimensionamento e o definitivo, pois é nesta fase que muitos engenheiros se 
sentem confiantes demais por disporem de um programa teoricamente muito eficaz, podendo 
acontecer muitos erros. 
 
 
1.3 REGRAS ÚTEIS 
 
 Lembrando-se que projetar não é calcular, e sim prever e resolver problemas, seguem 
alguns “conselhos”: 
- entender o projeto como um todo (arquitetura, implantação, estrutura, distribuição elétrica e 
de ar condicionado, tubulações referentes ao projeto hidráulico, etc); 
- prever os problemas ao longo de todas as etapas construtivas, ou seja, procurar uma solução 
de fácil execução; 
 3
- entender a distribuição das vagas nas garagens, bem como será feita a circulação dos 
veículos; 
- verificar possíveis diferenças de níveis; 
- separar o principal do secundário; 
- pensar! Pensar no problema, levantar todos os aspectos possíveis, gerar um modelo 
simplificado levando em conta os aspectos essenciais, etc. 
 
 
1.4 MEMORIAL DE CÁLCULO, DESENHOS E ESPECIFICAÇÕES 
 
 O produto final de um projeto estrutural é constituído por memorial de cálculo, 
desenhos e especificações. 
 O memorial de cálculo é um documento de auxílio e esclarecimento de dúvidas 
sobre um determinado projeto, contendo descrição da concepção, do cálculo e do 
detalhamento do mesmo. Ele deve ser autoexplicativo, claro (bom entendimento) e conter 
todos os dados que farão parte do desenho final, uma vez que é o documento fundamental 
para o controle da qualidade. 
 A estrutura da memória de cálculo deve conter: 
a) índice: utilização de regras para os diversos itens (letras maiúsculas, minúsculas, números) e 
paginação; 
b) conteúdo: 
 - hipóteses preliminares (carregamentos, características dos materiais empregados, 
características do solo de fundação, condicionantes construtivas, método executivo, etc); 
 - memorial justificativo e descritivo (descrever a obra e justificar a solução adotada); 
 - sistema estrutural (desenho esquemático); 
 - implantação e geometria; 
 - cálculo principal (lajes, vigas, pilares, fundação, detalhes gerais); 
 - desenhos gerados (anexos); 
 Da mesma forma, as informações dos desenhos e especificações devem também ser 
completas, claras, em escalas apropriadas, consistentes entre si e corretas. 
 
 
1.5 QUALIDADE NO PROJETO ESTRUTURAL 
 
 A NBR 6118:2003 procurou inserir novos conceitos de qualidade dentro do projeto 
estrutural, muito além do que simplesmente a garantia da estabilidade da obra. 
Assim, uma estrutura deve apresentar requisitos relativos à sua capacidade 
resistente, bom desempenho em serviço (não pode haver fissuração excessiva, 
deformações inconvenientes e vibrações indesejáveis) e durabilidade. 
 A vida útil de projeto deve ser de 50 anos, e a qualidade passa pela sistematização 
segundo padrões internacionais de qualidade, proporcionalmente ao porte e ao risco da 
construção em análise. Isto exige constante atualização do nível de conhecimento do 
projetista e cuidados com os processos de automatização envolvidos no projeto. 
 Todas as normas técnicas internacionais apresentam uma grande preocupação 
com a qualidade, englobando economia na execução da obra, melhor aproveitamento da 
tecnologia dos materiais, da metodologia da análise numérica, da garantia de durabilidade e 
 4
vida útil das construções e da segurança, não apenas imediata das estruturas, mas também a 
longo prazo, evitando-se acidentes desnecessários. O projeto deve ser compatível desde o 
atendimento ao projeto arquitetônico até o ajuste com as instalações, apresentando uma 
garantia de uma execução correta daquilo que foi projetado. 
 Visando procurar estruturas cada vez com mais qualidade, a versão da NBR 6118/2014 
inclui o item que diz que a avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada por 
profissional habilitado, independente e diferente do projetista, requerida e contratada pelo 
contratante, e registrada em documento específico que acompanhará a documentação do 
projeto. 
Entende-se que o contratante, pode ser o proprietário da obra, desde que este tenha 
condições de compreender o que está se propondo e acertado neste contrato, cujo conteúdo 
pode versar sobre termos técnicos, específicos da linguagem do engenheiro. Nesse caso, 
entende-se que o proprietário tenha conhecimentos técnicos suficientes e compreenda todo o 
teor técnico do contrato e o autorize. O contratante pode ser também um representante ou 
preposto do proprietário, respondendo tecnicamente pelo que há de cunho técnico neste 
contrato, substituindo este último nas questões exigidas, ou seja, nas responsabilidades 
próprias e definidas pela norma. 
O contratante também definirá em comum acordo com o projetista, as demais 
prerrogativas, exigências e necessidades para atendimentos da norma, sempre que alguma 
tomada de decisão resulte em responsabilidades presentes e futuras de ambas as partes. 
 A avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada antes da fase de construção 
e, de preferência, simultaneamente com a fase de projeto. 
 Para os critérios de aceitação do projeto, do recebimento do concreto e aço e da 
confecção do manual de utilização, inspeção e manutenção, deve-se consultar a seção 25 da 
NBR 6118/2014. 
 Ainda dentro dos conceitos de qualidade de um projeto estrutural, evitando 
envelhecimento prematuro da estrutura e garantindo sua durabilidade, devem ser observados: 
a) drenagem eficiente; 
b) formas arquitetônicas e estruturais adequadas; 
c) garantia de concreto com qualidadeapropriada, com um período adequado de cura após a 
concretagem (para estruturas correntes ver ABNT NBR 14931); 
d) garantia de cobrimentos de concreto apropriados para proteção da armadura; 
e) detalhamento adequado das armaduras; 
f) controle de fissuração; 
g) uso de revestimentos protetores nas peças sob condições ambientais agressivas; 
h) definição de um plano de inspeção e manutenção preventiva; 
i) análise cuidadosa e atenta do projeto arquitetônico; 
j) contatos com os proprietários para saber dos objetivos da obra, durabilidade 
estimada, padrão de revestimentos e acabamentos; 
k) conhecimento do construtor e suas obras anteriores; 
l) lançamento de um sistema estrutural compatível com a arquitetura, com o projeto de 
instalações, com a tecnologia executiva disponível, etc; 
m) pré-dimensionamento da estrutura com verificação da compatibilidade dos esforços e 
deformações do sistema criado; 
 5
n) desenvolvimento do projeto propriamente dito, incluindo detalhamento de cada 
elemento da estrutura, combinando os resultados obtidos das análises e dos programas 
utilizados com a experiência profissional; 
o) desenhos claros e detalhados; 
p) implementação nos desenhos de informações complementares (resistência dos 
materiais utilizados, módulos de elasticidade, hipóteses consideradas, etc); 
q) supervisão da execução da obra pelo projetista, com visitas eventuais à obra nas 
fases críticas da execução dos projetos, como por exemplo antes das concretagens; 
o) garantia de uma sondagem bem feita (SPT, CPT, rotativa em rocha, etc); 
r) projetos planialtimétricos bem elaborados (por exemplo no caso de pontes); 
s) utilização de barreiras protetoras em pilares (viadutos, pontes, garagens e outros) sujeitos 
a choques mecânicos; 
t) utilização de juntas de dilatação em estruturas sujeitas a variações volumétricas; 
u) utilização de isolamentos isotérmicos, em casos específicos, para prevenir patologias 
devidas a variações térmicas. 
v) utilização cuidadosa de aditivos à base de cloreto em estruturas de concreto, que devem 
ter seus limites estabelecidos pela ABNT NBR 12655. Ressalta-se que a versão anterior da 
norma proibia a utilização deste tipo de aditivo. 
 
 Deve-se lembrar ainda que as condições de equilíbrio e de compatibilidade 
devem ser sempre respeitadas, e podem ser estabelecidas com base na geometria 
indeformada da estrutura (teoria de primeira ordem), ou com base na geometria 
deformada (teoria de segunda ordem), nos casos em os deslocamentos influenciem de 
maneira significativa os esforços internos. 
 6
2. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO 
 
 
2.1 COMPOSIÇÃO DO CONCRETO ARMADO 
 
 O concreto armado é composto de concreto simples mais um material de boa 
resistência à tração, como por exemplo, aço ou bambu, que devem estar convenientemente 
colocados (armadura passiva). O concreto por sua vez, é formado por um material 
aglomerante (cimento Portland, cimento de pega rápida, etc), materiais inertes (agregados 
graúdos ou miúdos), água e eventualmente aditivos. Estes aditivos podem ter a função de 
acelerar o endurecimento do concreto, aumentar a trabalhabilidade, a resistência, a 
impermeabilidade ou a durabilidade do concreto. 
 
 
2.2 VANTAGENS DO USO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 As principais vantagens em se utilizar estruturas de concreto armado são: 
- facilidades e rapidez na construção, principalmente no caso de se utilizar peças pré-
moldadas; 
- economia em função do baixo custo dos materiais e da mão-de-obra envolvida; 
- adaptabilidade a qualquer forma construtiva, em função da boa trabalhabilidade; 
- processos construtivos bastante conhecidos em qualquer lugar do país; 
- boa resistência a diversas solicitações, incluindo-se a resistência ao fogo e ao choque; 
- materiais de fácil obtenção; 
- conservação fácil e de baixo custo, desde que a estrutura tenha sido 
convenientemente projetada e construída; 
- boa transmissão de esforços, em função da obtenção de estruturas monolíticas (concretagem 
in loco); 
- boa aderência entre os materiais e comportamento idêntico do concreto e do aço com relação 
aos módulos de deformação térmica. 
 
 
2.3 DESVANTAGENS DO USO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 Da mesma forma, as principais desvantagens são: 
- encarecimento das fundações (peso próprio elevado); 
- reformas e demolições trabalhosas; 
- exigências construtivas (escoramento, concreto bem executado, cura, etc); 
- baixa resistência à tração do concreto, havendo a necessidade de colocação de 
armadura corretamente posicionada; 
- problemas de fissuração e de corrosão das armaduras. 
 
 
2.4 NORMAS BRASILEIRAS REFERENTES AO CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO 
 
 As principais normas brasileiras relacionadas ao projeto estrutural são: 
 7
 
NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – procedimento; 
NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – procedimento; 
NBR 6123 – Forças devido ao vento em edificações – procedimento; 
NBR 8681 – Ações e segurança nas estruturas – procedimento; 
NBR 7187 – Cálculo e execução de pontes de concreto armado; 
NBR 14931 – Execução de estruturas de concreto – procedimento. 
 
 Também relacionadas ao concreto armado tem-se as seguintes normas: 
 
NBR 7808 – Símbolos gráficos para projetos de estruturas; 
NBR 5732 – Cimento Portland comum – especificação; 
NBR 5733 – Cimento Portland de alta resistência inicial – especificação; 
NBR 5735 – Cimento Portland de alto forno – especificação; 
NBR 5736 – Cimento Portland pozolânico – especificação; 
NBR 5738 – Concreto – procedimento para moldagem e cura de corpos-de-prova; 
NBR 5739 – Concreto – ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos; 
 NBR 6004 – Arames de aço – ensaio de dobramento alternado – método de ensaio; 
NBR 6122 – Projeto e execução de fundações – procedimento; 
NBR 6152 - Materiais metálicos – determinação das propriedades mecânicas à tração – 
método de ensaio; 
NBR 6153 – Produto metálico – ensaio de dobramento semi-guiado – método de ensaio; 
NBR 6349 – Fios, barras e cordoalhas de aço para armaduras de protensão – ensaio de tração – 
método de ensaio; 
NBR 7190 – Projeto de estruturas de madeira – procedimento; 
NBR 7222 – Argamassa e concreto – determinação da resistência à tração por compressão 
diametral de corpos de prova cilíndricos – método de ensaio; 
NBR 7477 – Determinação do coeficiente de conformação superficial de barras e fios de aço 
destinados a armaduras de concreto armado – método de ensaio; 
NBR 7480 – Aço destinado à armaduras para estruturas de concreto armado – especificação”; 
NBR 7482 – Fios de aço para concreto protendido – especificação; 
NBR 7483 – Cordoalhas de aço para concreto protendido – especificação; 
NBR 7484 – Fios, barras e cordoalhas de aço destinados a armaduras de protensão – 
ensaios de relaxação isotérmica – método de ensaio; 
NBR 8522 – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama – 
tensão - deformação – método de ensaio; 
NBR 8548 – Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda 
mecânica ou por solda – determinação da resistência à tração – método de ensaio; 
NBR 8953 – Concreto para fins estruturais – classificação por grupos de resistência – 
classificação; 
NBR 8965 – Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade destinadas a 
armaduras para concreto armado – especificação; 
NBR 9062 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – procedimento; 
NBR 11578 – Cimento Portland composto – especificação; 
NBR 11919 – Verificação de emendas metálicas de barras de concreto armado – método de 
ensaio; 
 8
NBR 12142 – Concreto– determinação da resistência à tração na flexão em corpos de prova 
prismáticos método de ensaio; 
NBR 12519 – Símbolos gráficos de elementos de símbolos, símbolos qualitativos e outros 
símbolos de aplicação geral; 
NBR 12654 – Controle tecnológico de materiais componentes do concreto – procedimento; 
NBR 12655– Concreto: preparo, controle e recebimento – procedimento; 
 
Observações: 
 
- como toda norma está sujeita a revisões, deve-se verificar qual é norma vigente e se houve 
atualização (vide www.abnt.gov.br); 
- a NBR 6118/2014 não inclui requisitos exigíveis para evitar os estados limites gerados por 
certos tipos de ação, como sismos, impactos, explosões e fogo. Para ações sísmicas, deve-se 
consultar a NBR 15421, e para ações em situação de incêndio deve-se consultar a NBR 15200; 
- no caso de estruturas especiais, tais como de elementos pré-moldados, pontes, obras 
hidráulicas, estruturas off-shore, ou em que se utilizam técnicas construtivas não 
convencionais, as condições da NBR 6118/2014 ainda são aplicáveis, devendo no entanto ser 
complementadas por outras normas brasileiras específicas; 
- desde que seja devidamente justificado, pode-se também utilizar alguns regulamentos 
internacionais, sendo os principais: 
• Builiding Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI – American 
Concrete Institute); 
• CEB-FIP Model Code (Comitê Euro-Internacional du Beton); 
• EUROCODE. 
- como sugestão para consulta nesta disciplina, indica-se o site 
www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu. 
 
 
2.5 UNIDADES 
 
 Na disciplina de CAR-I serão utilizadas unidades do Sistema Internacional (SI), e 
em virtude do grande problema que alguns profissionais ainda tem ao lidar com diversos 
sistemas de unidades, mostra-se a seguir as equivalências mais comuns com o sistema MKS: 
 
 1 N = 0,1 kgf 
 1 kN = 100 kgf = 0,1tf 
 1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 
 1 Mpa = 10 kgf/cm2 = 1000kN/m2 = 100 tf/m2 = 0,1 kN/cm2 
 9
3 PROPRIEDADES DO CONCRETO 
 
 
3.1 CLASSES DE CONCRETO 
 
 Os concretos utilizados para fins estruturais subdividem-se em grupos de 
acordo com a resistência característica à compressão ( ckf ). Assim, têm-se os concretos 
mais comumente utilizados, pertencentes ao grupo I de resistência (C10 a C50), e os 
concretos pertencentes ao grupo II (C55 a C90), também conhecidos como concretos de alto 
desempenho. Os números indicadores da classe representam o 
ckf do concreto. Assim, um 
concreto C25 possui 
ckf = 20 Mpa. 
Por exigência da NBR 6118, o valor mínimo da resistência à compressão deve ser 
de 20 Mpa para concretos apenas com armadura passiva (concreto armado) e 25 Mpa para 
concretos com armadura ativa (concreto protendido). O valor de 15 Mpa pode ser usado 
apenas em fundações e eventualmente em obras provisórias (obras com até quatro pavimentos, 
vãos de no máximo 4 m, sem utilização de laje plana, e desde que o proprietário esteja de 
acordo). 
 
 
3.2 CONCRETO ARMADO E CONCRETO PROTENDIDO 
 
 O concreto armado é obtido por meio da associação entre concreto simples e uma 
armadura convenientemente posicionada, chamada de armadura passiva, de tal modo que os 
dois materiais resistam de forma solidária aos esforços solicitantes. Por sua vez, o concreto 
protendido é obtido por meio da associação entre o concreto simples e a armadura ativa, para a 
qual é aplicada uma força de protensão com a finalidade principal de neutralizar as tensões de 
tração. A armadura neste caso é composta de cabos (armadura ativa) e barras (armadura 
passiva). 
 
 
Viga de concreto armado. 
 10
 
Viga de concreto protendido. 
 
 Quando não há reforço de armadura no concreto, este é conhecido como concreto 
simples, sendo seu uso restrito a apenas alguns tipos de estrutura, tais como: 
- barragens de concreto de gravidade; 
- bases de tubulões; 
- estacas moldadas in loco, excetuando-se a região próxima à superfície; 
- faces superiores de lajes nas regiões de momento positivo. 
 
 
3.3 MASSA ESPECÍFICA 
 
 Para concretos simples pode-se adotar para massa específica o valor de 2400 
kg/m3 e para o concreto armado o valor de 2500 kg/m3. Para concretos leves (que utilizam 
argila expandida, escórias, EPS, vermiculita, etc) pode-se adotar valores entre 1200 e 
1600 kg/m3 e para concretos pesados (usados por exemplo para blindagens de material de 
radiação) o valor de 3300 a 4000 kg/m3. 
 
 
3.4 PROPRIEDADES DO CONCRETO FRESCO 
 
 As principais propriedades do concreto fresco dizem respeito à trabalhabilidade, 
consistência e homogeneidade. Na moldagem da estrutura torna-se particularmente importante 
a consideração do processo de cura, que deve começar logo após o adensamento e o início da 
pega. Estes itens foram devidamente estudados na disciplina de Materiais de Construção II, e 
não serão aqui abordados. 
 
 
3.5 CARACTERÍSTICAS REOLÓGICAS 
 
 As características reológicas a serem consideradas para o concreto são: 
 
 11
3.5.1 RETRAÇÃO - é a diminuição de volume que ocorre na peça de concreto, mesmo 
que não estejam atuando solicitações ou efeitos de temperatura, provocando fissuras e 
esforços adicionais. As deformações impostas uniformes nas peças, como aquelas decorrentes 
de retração, bem com temperatura e fluência do concreto, devem ser verificadas. No caso de 
peças com partes com espessuras muito diferentes, a consideração de deformações impostas 
diferenciais deve ser sempre considerada. 
 Basicamente, a retração pode ser de três tipos: 
- retração química – quando ocorre evaporação da água quimicamente não associada durante o 
processo de endurecimento do concreto; 
- retração capilar – ocorre por evaporação parcial da água capilar e perda da água adsorvida, 
fazendo com que apareçam tensões superficiais e fluxos de água nos capilares; 
- retração por carbonatação: é o tipo de retração que ocorre quando há diminuição de 
volume com o processo 
 
 
 
 A retração será tanto maior quanto mais seco for o ambiente, menos espessa for a 
peça em questão, e maior for o fator água-cimento. Para proteger quanto aos danos 
devido à retração deve-se proceder uma boa “cura”, evitando peças de grande 
comprimento e usando juntas de dilatação ou de concretagem apropriadas. Para casos 
correntes das obras de concreto armado, com peças de dimensões usuais entre 10 cm e 100 cm 
e umidade ambiente não inferior a 75%, pode-se adotar o valor de deformação específica axial 
devido à retração como sendo 
 
 ε cs = 15 x 10-5 
 
 Para casos especiais deve-se consultar a norma. 
 
 
3.5.2 EXPANSÃO - é o aumento de volume de peças de concreto submersas, quando o fluxo 
de água é de fora para dentro da peça. 
 
3.5.3 DEFORMAÇÃO IMEDIATA E DEFORMAÇÃO LENTA (FLUÊNCIA) DO CONCRETO– 
a deformação imediata pode ser entendida como sendo a deformação que acontece logo após a 
aplicação do carregamento, devido à acomodação dos cristais que formam o material. A 
fluência corresponde a um acréscimo de deformação com o tempo (
ccε ), com a permanência da 
carga aplicada. Após a acomodação dos cristais com a aplicação das cargas, há uma diminuição 
do diâmetro dos capilares e consequentemente um acréscimo da tensão superficial 
nestes capilares, provocando a fluência. 
A consideração da deformação lenta e da fluência tem muita importância para 
projetos de estruturas de concreto protendido, sendo proporcional à deformação imediata 
0cε : 
 
 cocc εϕε .= 
 12
 
onde ϕ é o coeficiente de fluência. 
 A deformação lenta é parcialmente reversível, sendo que parte desta deformação 
é eliminada quando do descarregamento. Os fatores que mais influenciam a deformação 
lenta são: 
- condiçõesambientais (maior umidade relativa do ar, então menor deformação lenta); 
- espessura da peça (maior espessura, então menor deformação lenta); 
- fator água cimento (maior a/c, maior deformação lenta); 
- idade do concreto quando do carregamento (idade menor, então deformação lenta maior). 
 A partir destes fatores é possível calcular o coeficiente de fluência “ϕ ”, para 
casos em que não é necessária muita precisão: 
 
 
 
Sendo: 
cA - área da seção transversal da peça em contato com a atmosfera; 
u - perímetro da seção transversal da peça em contato com a atmosfera; 
ot - tempo antes do primeiro carregamento. 
 Na prática, para casos de estruturas “simples” em que o número de pavimentos é 
menor ou igual a 4 (quatro), o valor da sobrecarga de utilização é de no máximo 3 KN/m2, o 
pé direito não excede 4 m, os vão são no máximo de 6m e os balanços são de no máximo 2 m, 
pode-se usar para concreto armado ao ar livre o valor médio do coeficiente de fluência de 
5,2=ϕ . 
 
3.5.4 TEMPERATURA - aumentos ou diminuições de temperatura podem provocar 
variações nas dimensões das peças de concreto. Para minimizar estes problemas, deve-se 
 13
usar juntas de dilatação ou de concretagem, minimizar a inércia dos pilares na direção da 
deformação imposta ou aumentar o comprimento livre dos pilares nos níveis inferiores. 
 As juntas de dilatação são utilizadas principalmente quando as dimensões em planta são 
muito grandes (ordem de 20 a 30 metros) separando a estrutura em duas partes, podendo ter 
dimensão da ordem de alguns centímetros. Por outro lado, as juntas de concretagem delimitam 
volumes de concreto que serão lançados de uma só vez, sem que haja interrupção. Este tipo de 
junta é utilizado por exemplo em blocos de fundação com dimensões muito grandes, e devem 
ter um tratamento adequado, incluindo limpeza, remoção de nata e proteção por material 
“veda-junta”. 
 Tem-se que: 
 
tct ∆= αε , onde ctε é a deformação específica axial devido à temperatura; 
Co510 −=α , onde α é o coeficiente de dilatação térmica do concreto. 
 
Segundo a NBR 6118, a variação da temperatura ∆t a ser considerada é : 
- CtC oo 1510 ±≤∆≤± se a menor dimensão da peça for ≤ 50 cm; 
- ∆≤± Co5 t Co10±≤ se a menor dimensão da peça for ≥ 70 cm, considerando peças 
maciças ou ocas com os espaços vazios inteiramente fechados; 
- variação de temperatura obtida por interpolação para dimensões entre 50 e 70 cm os valores 
acima devem ser interpolados; 
- ∆ t = 0 para peças permanentemente envolvidas por terra ou água, ou para peças com 
comprimento de até 30m. 
 A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra, sendo que 
usualmente se utiliza uma variação de 15 graus. 
 Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição 
significativamente diferente da uniforme, estes efeitos devem ser convenientemente 
considerados. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre 
os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre 
uma face e outra da estrutura não seja inferior a cinco graus centígrados. 
Obs.: estas recomendações não são válidas para muros, paredes estruturais ou pilares 
robustos rigidamente ligados às fundações. Cuidados especiais também devem ser 
tomados no caso de projetos de chaminés, fornos, etc, onde há um grande gradiente 
térmico. 
 
3.6 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
 
 As principais características mecânicas do concreto a serem consideradas são a 
resistência à compressão, resistência à tração e módulo de elasticidade, propriedades 
estas que são determinadas por ensaios normatizados pela ABNT. 
 
3.6.1 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 
 
 A resistência à compressão é a característica mais importante do concreto, e é obtida 
em ensaios de cilindros moldados segundo a NBR 5738 e NBR 5739. Quando não for indicada a 
 14
idade, esta resistência se refere à idade de 28 dias. Para o dimensionamento pode-se admitir 
uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se o módulo de elasticidade 
secante, e podendo-se empregar no estado limite último o diagrama simplificado tensão-
deformação específica, conforme figura a seguir e válido para concretos até C90: 
 
 
 
Para concretos de classes até C50 fica valendo o já tradicional diagrama com 
 
02 %0,2=cε 
0%5,3=ucε 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este último diagrama tem-se: 
 
 0 ≤ 0%2<cε => ( )[ ]2002,0/1185,0 ccdc f εσ −−= 
 
o
%2 cε≤ 0%5,3≤ => cdc f85,0=σ 
 
E para concretos de classes C50 até C90 tem-se as seguintes expressões: 
 
3,5% 2% 
 
0,85f 
 
 15
53,0
002 )50.(%085,0%0,2 −+= ckc fε 
4
00 ]100/)90.[(%35%6,2 ckuc f−+=ε 
 
 O diagrama a seguir possibilita um melhor esclarecimento dos parâmetros 
considerados: 
 
 
Fonte: Prof. Sergio Hampshire de C. Santos (UFRJ). 
 
Observações gerais: 
 
a) define-se como ckf a resistência característica do concreto à compressão, valor este 
obtido pela estatística do rompimento de corpos de prova; 
 b) define-se como cdf a resistência de cálculo do concreto à compressão (resistência 
de projeto ou resistência última do concreto), para verificações em data t igual ou superior a 
28 dias, como sendo 
 
 
c
ck
cd
ff
γ
= 
 
onde cγ é o coeficiente de segurança do concreto tomado normalmente como 1,4, podendo ser 
utilizado com o valor de 1,2 em condições especiais de construção. Estes coeficientes devem 
ser multiplicados por 1,1 em obras de pequena importância, em que seja empregado o aço CA 25 
e onde não é realizado um controle de qualidade rigoroso. Na disciplina de CAR I o valor a ser 
utilizado será 1,4 em todas as situações. 
 Quando a verificação se faz em data t inferior a 28 dias, a expressão de cdf deve 
ser modificada (consultar norma). 
 16
 
c) a resistência medida no concreto depende de modo geral da forma dos corpos de 
prova e duração da solicitação; 
 d) o coeficiente 0,85, estudado pelo eng. Hubert Rüsch, que reduz a resistência de cálculo 
do concreto, leva em conta a superposição de três fatores: 
 - perda de resistência sob carga mantida igual a 0,72; 
- ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da estrutura (para 
cimento CPI) igual a 1,23; 
- coeficiente que corrige a influência da forma do corpo de prova padrão 
(15x30) e a resistência na estrutura, igual a 0,96. 
 Assim, como 0,72 x 1,23 x 0,96 = 0,85, justifica-se o valor anteriormente mencionado. 
 
 O exposto acima também implica que a resistência do concreto para fins de segurança 
deve ser tomada na idade de referência de 28 dias, não cabendo a consideração do ganho de 
resistência após esta data, mesmo que existam teorias de que após um período de dois anos e 
meio, haja um ganho de 23%. 
 
 
3.6.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO 
 
 Para melhor entendimento deste item, torna-se necessário a descrição dos dois 
métodos de cálculo do módulo de elasticidade, relativos aos diagramas tensão x 
deformação: 
 
- módulo de elasticidade tangente ou inicial: é dado pela declividade de uma reta tangente à 
curva em sua origem, sendo que sua obtenção é fornecida pela NBR 8522: 
 
 
 
- módulo secante: é conhecido através da declividade de uma reta traçada da origem, a um 
ponto da curva correspondente a 40% da tensão relativa a carga de ruptura. 
 
O módulo de elasticidade E ci deve ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na 
NBR 8522, devendo-se considerar omódulo de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias 
de idade. Quando não são realizados ensaios apropriados e não existirem dados mais precisos 
sobre o concreto usado na idade de 28 dias, o valor do módulo de elasticidade inicial do 
 17
concreto, a ser especificado em projeto e controlado na obra, pode ser estimado usando-se 
as seguintes expressões (valores em Mpa): 
 
 E ci = fckE 5600.α para concretos C20 a C50; 
 E ci =
3/13 )25,1
10
.(.10.5,21 +fckEα para concretos C55 a C90. 
Sendo: 
 Eα = 1,2 para basalto e diabásio 
 Eα = 1,0 para granito e gnaisse 
Eα = 0,9 para calcário 
Eα = 0,7 para arenito. 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, tais como 
análises elásticas de projeto e verificação de estados limites de serviço, pode ser 
adotado o módulo de deformação secante dado pela expressão: 
 
 E cs = cii E.α (Mpa) 
 
Com 0,1
80
.2,08,0 ≤+= fckiα 
 
Obs.: a NBR 6118/2007 usava a expressão era E cs = ciE.85,0 para qualquer concreto até C50. 
 
 Para melhor entendimento, segue o diagrama que indica a variação do módulo de 
elasticidade com o valor do fck quando Eα = 1,0 : 
 
Fonte: Prof. Sergio Hampshire de C. Santos (UFRJ). 
 18
Para módulos de elasticidade a serem determinados numa idade menor que 28 dias, 
deve-se usar as seguintes expressões: 
 cici Efck
fckj
tE .)(
5,0






= para concretos C20 a C45 
 
 cici Efck
fckj
tE .)(
3,0






= para concretos C50 a C90. 
Onde: 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 e 28 dias 
(Mpa); 
fckj é a resistência característica compressão do concreto na idade em que se pretende 
estimar o módulo de elasticidade (MPa). 
 
3.6.3 COEFICIENTE DE POISSON - o coeficiente de Poisson (ν) do concreto, que é a 
relação entre a deformação unitária transversal e longitudinal, é desprezado na maioria dos 
cálculos usuais mas é utilizado por exemplo na análise de túneis e barragens. Para os casos em 
que as tensões de compressão são menores que 0,5 
cf e as tensões de tração são menores que 
ctf , o seu valor pode ser tomado como sendo 0,2. 
 
3.6.4 MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL - para as mesmas condições do 
item anterior, o módulo de elasticidade transversal do concreto é dado por 
 
G c = 0,4 E cs (Mpa) 
 
3.6.5 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO - apesar do concreto ser um material 
pouco resistente à tração, a consideração desta resistência pode estar relacionada com a 
capacidade resistente da peça, como no caso de esforço cortante, e ser importante na 
consideração da fissuração. A curva da tensão x deformação específica para a tração é 
semelhante à curva de compressão, não existindo nenhuma relação direta entre elas. Para 
efeito de cálculo e considerando-se concreto não fissurado, pode-se utilizar o diagrama 
abaixo, onde 
ctkf é a resistência característica do concreto à tração. 
 
 
 19
 
 A partir de ensaios apropriados (NBR 7222) pode-se medir a resistência à tração 
indireta ( spctf , ) e a resistência à tração na flexão ( fctf , ). A resistência à tração direta ( mctf , ) 
pode ser considerada igual a spctf ,9,0 , e na falta de ensaios apropriados, pode-se utilizar o 
valor da resistência à tração direta média ( ctnf ), na unidade de Mpa, que pode ser 
calculada por meio das expressões: 
 
 3/23,0 ckctm ff = para concretos com Mpafck 50≤ 
 
 )11,01ln(12,2 ckctm ff += para concretos com Mpafck 50> 
 
 O gráfico a seguir explica melhor a variação do ctmf com o valor do ckf : 
 
 
Fonte: Prof. Sergio Hampshire de C. Santos (UFRJ). 
 
 Para valores baixos de ckf , observa-se que de modo simplificado pode-se considerar 
que a resistência do concreto à tração é em torno de 10% da resistência à compressão. 
 
 Dependendo da situação a ser utilizada, deve-se levar em conta os seguintes limites: 
 
- resistência característica superior do concreto à tração: 
 
 ctmsup, 3,1 ff ctk = 
 
- resistência característica inferior do concreto à tração: 
 
 ctmctk ff 7,0inf, = 
 
 
 20
3.7 OBSERVAÇÕES QUANTO À COMPOSICÃO DO CONCRETO 
 
 De acordo com os ensinamentos vistos na disciplina de Materiais de Construção e com 
as prescrições da NBR 6118, deve-se dar preferência a certos tipos de cimento Portland e 
utilizar aditivos apropriados para resistir à agressividade ambiental, em função da 
natureza dessa agressividade. Do ponto de vista da maior resistência à lixiviação são 
preferíveis os cimentos com adições tipo CP III e CP IV; para minimizar o risco de reações 
álcali-agregado são preferíveis os cimentos pozolânicos tipo CP IV; para reduzir a 
profundidade de carbonatação* são preferíveis os cimentos tipo CP I e CP V; para 
reduzir a penetração de cloretos são preferíveis os cimentos com adições de tipo CP III e 
CP IV assim como adição extra de microssílica e cinza de casca de arroz. 
 A resistência do concreto está diretamente relacionada com o consumo de cimento, 
sendo que em estruturas usuais utilizam-se 250 a 450 3/ mkg . 
 Outro fator muito importante a ser considerado diz respeito ao fator água/cimento 
(a/c). Quanto menor for o fator água/cimento maior será a resistência do concreto, maior a 
durabilidade da obra, porém a trabalhabilidade será prejudicada. Usualmente o fator 
água/cimento varia entre 45% a70%. A tabela a seguir fornece a resistência do concreto em 
Mpa em função da relação a/c para vários tipos de cimento, considerando agregados de 
origem granítica com diâmetro máximo de 25 mm, batimento “slump” entre 50 e 70 mm e 
concreto com aditivo plastificante normal: 
 
TIPO DE 
CIMENTO 
RELAÇÃO A/C 
0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 
CP I 32 28 32 37 41 47 
CP II 32 24 28 31 35 39 
CP II 40 28 32 36 41 46 
CP III 32 23 27 31 36 41 
CP III 40 27 32 37 42 49 
CP IV 32 24 28 32 36 41 
CP V – 
ARI/RS 
30 33 38 42 46 
CP V - ARI 33 38 42 47 53 
 
 
 Atualmente está sendo muito utilizado o concreto de alto desempenho, particularmente 
em pontes, viadutos e edifícios altos, onde se consegue valores bem mais altos de resistência 
pela incorporação de aditivos especiais (micro sílica, super plastificantes e super 
fluidificantes), alcançando-se valores de até 100 Mpa. A nova versão da NBR 6118, 
disponibilizada e com uso obrigatório a partir de junho de 2014, incorpora diversas mudanças 
justamente para levar em conta a utilização deste tipo de concreto. 
 
 
 21
4. PROPRIEDADES DO AÇO 
 
 
4.1 DENOMINAÇÃO 
 
 O aço é uma liga metálica composta principalmente de ferro e de pequenas quantidades 
de carbono, podendo ser acrescido de outros materiais (manganês, cromo, alumínio, níquel, 
silício, cobre, titânio, etc) e apresentando boa resistência e ductilidade. A principal 
diferença entre aço e ferro diz respeito ao teor de carbono: o aço possui um teor inferior a 
2,04% e o ferro, possui um teor entre 2,04% e 6,7%. O aço estrutural utilizado na 
construção civil possui teores de carbono da ordem de 0,08% a 0, 5%. 
 A armadura que é colocada dentro do concreto livre de tensão (sem ser previamente 
alongada) é chamada de armadura passiva e o concreto neste caso é chamado de concreto 
armado. Esta armadura é constituída de fios e barras (vide NBR 7480), e na sua 
designação é usado o prefixo CA (concreto armado). Para estruturas de concreto 
protendido, o aço é denominado CP. 
 
 
 
Aço para concreto armado (vergalhões e fios). 
 
 
Aço para concreto protendido. 
 
 
 22
 Classificam-se como barras os produtos de diâmetro nominal igual ou superior a 6,3 mm 
obtidos por laminaçãoa quente, sem posterior deformação a frio, e como fios os produtos com 
dimensão nominal igual ou inferior a 10,0 mm obtidos por trefilação ou outro processo 
equivalente, como por exemplo estiramento. 
As barras são classificadas nas categorias CA-25 e CA-50, e os fios na categoria CA-
60. É importante salientar que a revisão da normalização NBR 7480 omite a classificação dos 
aços em classe “A” (barras obtidas por laminação à quente sem posterior deformação à frio) e 
“B” (barras e fios obtidos por deformação à frio), mas realça a existência de duas classes de 
aços. 
 A nomenclatura dos aços usados em estruturas de concreto armado é dada em função 
da sua tensão de escoamento ykf dada em kgf/mm2. Assim, para um aço CA-50, a tensão de 
escoamento é de 50 kgf/mm2. 
 Deve-se lembrar que o aço mais utilizado nas obras correntes é o CA-50, cujas 
barras são obtidas por laminação a quente de tarugos de lingotamento contínuo. 
 As barras de aço (CA-50) são fornecidas normalmente com comprimentos de 
12m, em feixes amarrados de 1000 kg ou 2000 kg, e devem ser fabricadas segundo 
especificações da NBR 7480, sendo considerados diâmetros nominais maiores ou iguais a 
6,3 mm e obtidos exclusivamente por laminação a quente. 
 O aço CA-60 é obtido por trefilação de máquina, e se caracteriza pela alta 
resistência, o que proporciona estruturas de concreto armado mais leves, e pelos 
entalhes, que aumentam ligeiramente a aderência do aço ao concreto. Estes aços são 
normalmente empregados para fabricação de lajes, tubos de concreto, lajes treliçadas, 
estribos de vigas e pilares, estruturas pré-moldadas de pequena espessura, etc.. São 
fornecidos em bitolas finas e em rolos com peso aproximado de 170 kg, barras de 120 m de 
comprimento, em feixes amarrados de 1000 kg, em estocadores e bobinas de 1500 kg para uso 
industrial, sendo mais utilizado em lajes e estribos de vigas e pilares. 
 O aço CA-25, por ser bastante dúctil, é normalmente usado quando se requer grandes 
diâmetros ou quando o detalhamento exige dobramentos sucessivos. 
 As barras CA-50 devem ter nervuras transversais e as barras CA-25 devem ser lisas. 
Os fios (CA-60) podem ser lisos, entalhados ou nervurados. 
 Sempre que houver perigo de confusão no canteiro de obras, é proibido o emprego 
simultâneo de diferentes categorias de aço. Entretanto, esse emprego é permitido desde 
que uma das categorias seja empregada exclusivamente na armadura longitudinal e a outra 
exclusivamente na armadura transversal das vigas e pilares. A armadura deve ser identificada 
quanto ao produtor, à categoria do material e quanto ao seu respectivo diâmetro nominal, 
através de marcas em relevo ou etiquetas. 
 
 
4.2 BITOLAS COMERCIAIS 
 
 Os fios e barras de aço devem atender as especificações da NBR 7480 (Aço destinado 
a armaduras para estruturas de concreto armado – especificação). 
 Para efeito da escolha da bitola para dimensionamento em CAR-I, serão consideradas 
as seguintes bitolas e respectivas áreas: 
 
 
 23
 
BITOLA (MM) 
 
TIPO DE AÇO 
AREA 
PADRONIZADA 
( 2cm ) 
AREA 
“SIMPLIFICADA” 
( 2cm ) 
4,2 CA-60 0,139 0,14 
5,0 CA-60 0,196 0,2 
6,3 CA-50 0,312 0,315 
8,0 CA-50 0,503 0,5 
10,0 CA-50 0,785 0,8 
12,5 CA-50 1,23 1,25 
16,0 CA-50 2,01 2,0 
20,0 CA-50 3,14 3,15 
25,0 CA-50 4,91 5,0 
32,0 CA-50 8,04 8,0 
40,0 CA-50 12,57 12,5 
 
 A armadura também pode ser fornecida em forma de telas soldadas, muito utilizadas 
no detalhamento de lajes, sendo seu uso regulamentado pela NBR 7481. 
 
4.3 PROPRIEDADES GERAIS 
 
4.3.1 TIPOS DE SUPERFÍCIE – os fios e as barras podem ser lisos ou providos de saliências 
ou mossas. As barras lisas não possuem saliências suficientes em sua superfície, portanto 
elas têm pouca aderência ao concreto quando comparadas com as nervuradas. As 
propriedades mecânicas exigidas para barras e fios de aço destinados para as armaduras de 
concreto armado são especificadas na tabela a seguir: 
 
 
 
Categoria 
Ensaio de tração (valores mínimos) 
Limite de 
Escoamento 
LE (Mpa) 
Limite de 
resistência 
LR (Mpa) 
Alongamento em 
10 φ (%) 
CA-25 
(barra lisa) 
 
250 
 
1,20 LE 
 
18 
CA-50 
(barra de alta 
aderência) 
 
500 
 
1,10 LE 
 
8 
CA-60 
(barra entalhada) 
 
600 
 
1,05 LE 
 
5 
 
Obs.: na tabela anterior, define-se limite de resistência (LR) como sendo a força máxima 
suportada pelo material na qual ele se rompe, ou seja, é o ponto máximo da resistência de uma 
barra, valor este que é obtido pela leitura direta na máquina de tração. 
 Para ensaios de dobramento, os corpos de prova são submetidos a um dobramento de 
180º em pino de diâmetro padronizado, sendo considerado aprovado quando não apresenta 
quebra ou fissura na região dobrada. Este ensaio tenta reproduzir as condições em que os 
 24
materiais serão utilizados nas obras. Os diâmetros dos pinos exigidos pelo ensaio são indicados 
na tabela abaixo, conforme Anexo B da NBR 7480 e são: 
 
 Diâmetro Mínimo do Pino por Categoria 
Bitola a dobrar CA 25 CA 50 CA60 
φ < 20 2φ 4φ 5φ 
φ ≥ 20 4φ 6φ - 
 
 
 Quando da execução de armaduras nas obras, a utilização da Norma NBR 7480 e os 
pinos anteriormente citados não é correta, já que ela só é aplicada para liberação do produto 
nos laboratórios das usinas ou no controle tecnológico de obras. Então, neste caso deve-se 
adotar como referência as recomendações da NBR 6118 onde são determinadas as condições a 
obedecer no projeto, na execução e no controle de obras de concreto armado. De acordo com 
esta norma os diâmetros dos pinos a serem utilizados no dobramento de barras devem ser: 
 
 Diâmetro Mínimo do Pino por Categoria 
Bitola a dobrar CA 25 CA 50 CA60 
φ < 20 4φ 5φ 6φ 
φ ≥ 20 5φ 8φ - 
 
 O dobramento em obra é realizado em uma mesa de dobra, normalmente uma bancada 
de madeira conforme esquematizado abaixo: 
 
 
 
 
 25
 
 
 
 
4.3.2 MASSA ESPECÍFICA – a massa real das barras deve ser igual a sua massa nominal com 
as tolerâncias conforme tabela que segue, considerando-se a massa específica do aço com 
valor de 7850 kg/m 3 . 
 
 
 
BARRAS 
MASSA 
NOMINAL 
(KG/M) 
MÁXIMA VARIAÇÃO 
PERMITIDA PARA 
MASSA NOMINAL ( ± %) 
6,3 0,245 7 
8,0 0,395 7 
10,0 0,617 6 
12,5 0,963 6 
16,0 1,578 5 
20,0 2,466 5 
22,0 2,984 4 
25,0 3,853 4 
32,0 6,313 4 
40,0 9,865 4 
FIOS - - 
2,4 0,036 6 
3,4 0,071 6 
3,8 0,089 6 
4,2 0,109 6 
4,6 0,130 6 
5,0 0,154 6 
5,5 0,187 6 
6,0 0,222 6 
6,4 0,253 6 
7,0 0,302 6 
8,0 0,395 6 
9,5 0,558 6 
10,0 0,617 6 
 
 26
 
 4.3.3 COEFICIENTE DE DILATAÇÃO TÉRMICA – para o coeficiente de dilatação térmica 
do aço pode-se utilizar o mesmo valor utilizado para o concreto, que é de α = 10 5− o C 1−
considerando-se intervalos de temperatura entre –20 graus a 150 graus. 
 
4.3.4 MÓDULO DE ELASTICIDADE – para qualquer tipo de aço admite-se que o módulo de 
elasticidade vale E
s
 = 210 Gpa = 210.000 Mpa. 
 
4.3.5. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA – as características dos 
aços são verificadas mediante ensaios de resistência à tração, dobramento e aderência. Para 
os cálculos no estado limite último e no estado limite de serviço, a normalização recomenda 
que se empregue um diagrama simplificado, considerando-se comportamentos iguais na 
compressão e na tração. O valor ukε representa o valor da deformação na ruptura, e para 
aços sem patamar de escoamento o valor de ykf é o valor da tensão correspondente à 
deformação permanente de 2%o. 
 O valor máximo da deformação à tração é tomado como 10%o (alongamento de 
ruptura), e o valor máximo da deformação à compressãoé de 3,5 %o (encurtamento de 
ruptura), para que desta forma haja coerência com o encurtamento máximo do concreto. 
Assim: 
 Diagrama εσx característico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama εσx de cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f 
f 
 
-3,5% 
10% 
 
 
 
 f 
 
f 
 
-3,5% 
 
10% 
 
 27
 São definidos: 
ykf = resistência característica de escoamento do aço à tração; 
ydf = resistência de cálculo de escoamento do aço à tração; 
sγ = coeficiente de segurança do aço, normalmente tomado como 1,15. Em obras de pequena 
importância, onde não se tem controle rigoroso de qualidade e onde se utiliza o aço CA 25, o 
valor anterior de 1,15 deve ser multiplicado por 1,1. Na disciplina de CAR I o valor a ser 
utilizado será sempre 1,15! 
 
 Tem-se então: 
 
 sykyd ff γ/= 
 
 Sendo ykε a deformação que dá início ao escoamento, tem-se: 
 
 sykyk Ef /=ε . 
 
Considerando-se que para um dimensionamento de armadura, deve-se tomar os valores 
minorados de resistência, ou seja, a favor da segurança, tem-se: 
 
sydyd Ef /=ε 
 
onde 
sE é o módulo de elasticidade longitudinal do aço. 
Na compressão, considera-se que o comportamento é igual à tração, ou seja: 
 
yckyk ff = 
ydf = ycdf 
 
 Pelos diagramas apresentados, observa-se o comportamento elástico (reta inclinada) e 
o comportamento plástico (reta “paralela”) do aço. 
 
 
4.4 PROTEÇÃO DA ARMADURA 
 
 Qualquer barra de armadura deve ter cobrimento nominal de concreto pelo 
menos igual ao seu diâmetro, e de acordo com a agressividade do meio ambiente ao 
qual a estrutura está exposta, referido à superfície da armadura externa, em geral a 
face externa do estribo, devendo-se prever uma espessura de sacrifício ou um 
revestimento protetor em regiões sob condições ambientais muito agressivas. 
 Para garantir o cobrimento mínimo ( minc ) o projeto e a execução devem 
considerar o cobrimento nominal ( nomc ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de 
execução ( c∆ ). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os 
cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela abaixo para c∆ = 10mm , que é o valor 
 28
mínimo de c∆ a ser considerado nas obras correntes. No caso de haver em obra um 
adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas 
durante a execução, pode ser adotado um valor c∆ = 5mm, mas esta exigência deve 
estar bem explicitada nos desenhos de projeto. 
 
 
PEÇA ESTRUTURAL 
 Cobrimento nom. p/ c∆ =10 mm 
Classe de agressividade ambiental 
Classe I Classe II Classe III Classe IV 
 
CONCRETO 
ARMADO 
LAJE 20 25 35 45 
VIGA/PILAR 25 30 40 50 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM 
CONTATO COM O SOLO 30 30 40 50 
CONCRETO 
PROTENDIDO 
LAJE 25 30 40 50 
VIGA/PILAR 30 35 45 55 
 
 Tem-se que o cobrimento nominal (a ser especificado em projeto) é 
 
 cccnom ∆+= min barraφ≥ . 
 
No caso de feixes de barras, além de se considerar os valores acima, deve-se verificar: 
 
 c
nom
 feixeφ≥ = nφ = nφ 
 
onde φ é o diâmetro da barra utilizado e n é o número de barras do feixe. 
 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de 
contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de 
revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos 
asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser simplificadas para 
cobrimento maior ou igual ao diâmetro da barra, com cobrimento mínimo de 15 mm. 
 Para faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento 
de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes 
química e intensamente agressivos o cobrimento nominal deve ser de pelo menos 45 mm. 
 Deve-se lembrar ainda que a dimensão máxima característica do agregado 
graúdo, utilizado no concreto, não pode superar 20% da espessura nominal do cobrimento, ou 
seja, d max ≤ 1,2 c nom . 
Nos casos em que o recobrimento é maior que 6 cm, deve-se dispor uma malha de 
armadura de pele complementar, respeitando os cobrimentos mínimos exigidos pela NBR 6118. 
Para casos em que o concreto esteja em contato com o solo, sendo este não rochoso, deve-se 
prever uma camada de concreto “magro” entre a estrutura e o solo de pelo menos 5 cm com 
consumo de cimento de aproximadamente 250 kg/m3. 
 Quanto à agressividade ambiental, esta pode ser classificada conceitualmente de 
acordo com o apresentado a seguir: 
 
 
 
 29
 CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL (CAA) 
 
AGRESSIVIDADE 
 
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA 
I Fraca Insignificante 
II Média Pequeno 
III Forte Grande 
IV Muito forte Elevado 
 
Esta classificação da agressividade do meio ambiente às estruturas pode ser 
avaliada simplificadamente segundo as seguintes condições: 
 
 
 
Macro clima 
Micro clima 
Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral 
Seco (1) 
com 
UR ≤ 65% 
Úmido ou ciclos 
(2) de molhagem 
e secagem 
Seco (3) com 
UR≤ 65% 
Úmido ou ciclos (4) 
de molhagem e 
secagem 
Rural I I I II 
Urbana I II I II 
Marinha II III III III 
Industrial II III II III 
Especial (5) II III ou IV III III ou IV 
Respingos de 
Maré 
IV IV IV IV 
Submersa ≥3m I I I I 
Solo - - Não agressivo Úmido e agressivo 
II, III ou IV 
Obs.: 
(1) salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos, 
residências e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e 
pintura; 
(2) vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens; 
(3) obras em regiões secas, como o nordeste do país, partes protegidas de chuva em 
ambientes predominantemente secos; 
(4) ambientes com produtos quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, 
branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias 
químicas; 
(5) macro clima especial significa ambiente com agressividades bem conhecida, que 
permitirá definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente 
for seco, a classe de agressividade será sempre II nos ambientes internos e III nos externos. 
Obs.: no caso de alta contaminação por cloretos, a estrutura deve ser enquadrada na 
classe IV. Para projetos no litoral, pode-se de maneira geral utilizar CAA = II para peças no 
interior, e CAA = III para peças expostas às intempéries. 
 Para garantir a qualidade dos componentes e elementos estruturais de concreto 
armado segundo a classe de agressividade, deve-se utilizar o fator água/cimento e classe de 
concreto abaixo relacionado: 
 
 30
Concreto tipo CA Classe de agressividade 
I II III IV 
Fator água/cimento em 
massa 
 
≤0,65 
 
≤0,60 
 
≤ 0,55 
 
≤ 0,45 
Classe de concreto ≥ C20 ≥C25 ≥ C30 ≥C40 
Consumo de cimento por 
metro cúbico de 
concreto (kg/m3) 
 
≥260 
 
≥280 
 
≥320 
 
≥360 
 
Uma outra observação muito importante é que se pode especificar dois recobrimentos 
diferentes para uma peça estrutural, dependendo se esta peça é interna ou externa, ou seja, 
menos ou mais sujeita à agressividade. 
 31
5. COMPORTAMENTO CONJUNTO DO AÇO E DO CONCRETO 
 
5.1 ADERÊNCIA 
 
 O concreto e o aço atuam em conjunto, formando o concreto armado, devido à 
aderência (bond, em inglês) entre estes dois materiais, que impede o deslizamento entre eles, 
permitido assim a transferência de esforços. A verificação da aderência se faz usualmente 
através da tensãode aderência no estado limite último. 
O comportamento da aderência é influenciado pelo diâmetro da barra, tipo e disposição 
das nervuras, posição das barras durante a concretagem, fator água-cimento, adensamento e a 
idade do carregamento. 
 A aderência pode ser de três tipos: 
- aderência por adesão: surge como sendo uma resistência à separação do material concreto 
e do material aço, devido às ligações físico-químicas na interface das barras com a pasta, 
geradas durante as reações de pega do cimento. Para pequenos deslocamentos relativos entre 
a barra e a massa de concreto que a envolve, essa ligação é então destruída. Por exemplo, para 
separar o bloco de concreto de uma placa de aço conforme figura abaixo é necessário que se 
aplique uma força de intensidade 1bF . 
 
- aderência por atrito: quando se tenta arrancar uma barra de um bloco de concreto, a força 
de arrancamento 2bF é maior que a força mobilizada pela aderência à adesão ( 1bF ). Isto ocorre 
devido ao atrito entre a barra e o concreto, surgindo também tensões de aderência ( bτ ) 
distribuídas ao longo da barra, em oposição à força 2bF . 
 
- aderência mecânica: esta aderência surge devido à conformação superficial que existe nas 
barras. Nas barras de alta aderência, por exemplo, as saliências mobilizam forças localizadas, 
aumentando significativamente a aderência. 
 
 
 32
 
 
 
5.2 TENSÃO DE ADERÊNCIA 
 
 A tensão de aderência depende de inúmeros fatores, como rugosidade da barra, 
posição da barra dentro da peça durante a concretagem, diâmetro da barra utilizada, 
resistência do concreto, porosidade do concreto, etc. 
 
 
 Segundo a figura dada anteriormente, a expressão da tensão de aderência pode ser 
determinada como sendo a força dividida pela área de contato, ou seja: 
 
 
b
s
bd l
Rf
..φpi= 
sendo: 
sR - força atuante na barra; 
φ - diâmetro da barra ; 
bl - comprimento de ancoragem. 
 
 
5.3 POSIÇÃO DAS BARRAS DURANTE A CONCRETAGEM 
 
 De acordo com a posição das barras durante a concretagem pode-se dizer que existem 
regiões favoráveis ou desfavoráveis quanto à aderência: 
a) para o caso de concretagens sobre formas fixas considerar-se-á em região de boa 
aderência os trechos onde o concreto é cuidadosamente vibrado e adensado. Segundo a 
norma, consideram-se as seguintes posições das barras: 
- com inclinação maior que 45 graus sobre a horizontal (figura a); 
- horizontais ou com inclinação menor que 45 graus sobre a horizontal, desde que para peças 
com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior da peça ou da junta de 
concretagem mais próxima (figuras b e c), e para peças com h ≥ 60 cm, localizadas no 
 33
mínimo 30 cm abaixo da face superior da peça ou da junta de concretagem mais próxima 
(figura d); 
- são consideradas regiões de má aderência os trechos das barras em posições diferentes 
das citadas. 
 
 
b) no caso de se usar formas deslizantes, considera-se zona de boa aderência apenas os 
trechos de barras com inclinação maior que 45 graus sobre a horizontal. Todos os demais são 
de má aderência. 
 
 
5.4 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA 
 
 A tensão de aderência de ruptura é o valor registrado por ocorrência da macro-
ruptura, identificada no momento em que a armadura perde a capacidade de ancorar-se no 
concreto. 
A resistência de aderência de cálculo entre a armadura passiva e o concreto, deve ser 
obtida segundo a seguinte expressão: 
 
ctdbd ff ... 321 ηηη= 
 
onde: 
- 
ctdf = valor de cálculo da resistência à tração do concreto (igual a inf,ctkf / cγ ) 
- 1η = 1,0 para barras lisas (CA 25); 
- 1η = 1,4 para barras dentadas ou barras entalhadas (CA-60); 
- 1η = 2,25 para barras nervuradas de alta aderência (CA-50); 
- 2η = 1,0 para situação de boa aderência e 2η = 0,7 para má aderência; 
- 3η = (132 -φ )/100 onde φ é dado em mm para φ > 32 mm e 3η = 1,0 para φ ≤ 32 mm. 
 
 
 
 
 34
5.5 ANCORAGEM DAS ARMADURAS 
 
 A ancoragem das armaduras é necessária para que seja feita a transferência de 
esforços para o concreto, e assim seja possível a interrupção da armadura em um determinado 
ponto da peça estrutural. Esta ancoragem pode ser feita por aderência ou por dispositivos 
mecânicos, sendo que estes últimos devem ser usados somente com controle rigoroso. 
 
 
5.5.1 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BASICO PARA BARRAS TRACIONADAS – 
define-se bl como sendo o comprimento mínimo necessário para que a barra não seja 
“arrancada” da peça de concreto, ou seja, o comprimento reto necessário para ancorar a força 
limite ydss fAR .= . Admite-se que ao longo deste comprimento de ancoragem a resistência de 
aderência é uniforme e igual a bdf . 
O comprimento de ancoragem básico pode ser calculado igualando-se a força última de 
aderência: 
 
 ydsbdb fAfl .... =φpi 
 
Como 
 
4/. 2φpi=sA 
 
obtém-se então: 
 
 l b = 
bd
yd
f
f
4
φ
 
 
 Pela versão 2014 da NBR 6118, o valor anterior deve ser maior ou igual a 25 vezes o 
diâmetro da barra utilizada, ou seja: 
 
 l b = φφ 254 ≥bd
yd
f
f
 
 
 
5.5.2 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM NECESSÁRIO PARA BARRAS TRACIONADAS - 
quando da escolha da armadura a ser utilizada em função das bitolas disponíveis no mercado, 
utiliza-se normalmente uma quantidade de armadura diferente (na maior parte dos casos, uma 
armadura ligeiramente superior) àquela efetivamente calculada. Desta forma há uma diminuição 
da tensão nas barras, e o comprimento de ancoragem básico pode ser modificado usando-se o 
comprimento de ancoragem necessário, dado pela expressão: 
 
 l necb, = 1α . bl .
efts
calcs
A
A
,
, ≥ min,bl 
 35
onde: 
1α = 1,0 para barras sem gancho; 
1α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho 
≥ 3φ ; 
A calcs , = área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante; 
eftsA , = área de armadura existente (efetiva). 
 
 O valor mínimo da ancoragem ( min,bl ) deve ser o maior valor entre 0,3 bl , 10φ e 10 cm. 
 O valor de l
necb , pode ser calculado simplificadamente para diversos tipos de concreto. 
Assim, considerando aço CA-50, barras nervuradas ( 1η =2,25), sem gancho ( )11 =α , diâmetros 
não superiores a 32 mm ( 3η =1) tem-se: 
 
 
min,
,
,
,
.. b
efets
cals
necb lA
A
Kl ≥= φ 
 
onde o valor da constante K pode ser obtido pela tabela a seguir: 
 
 VALORES DE K PARA DIVERSOS FCK (MPA) 
Aço CA-50 
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Boa Aderência 53 44 38 34 30 28 25 24 23 22 22 21 20 20 19 19 
Má Aderência 76 62 54 48 43 40 37 34 33 31 31 30 29 29 27 27 
 
Obs.: em casos especiais de redução do comprimento de ancoragem, e no caso de 
utilização de feixes de barras, deverá ser consultada a NBR 6118. 
 
5.5.3 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS – a ancoragem de barras comprimidas 
acontece basicamente no caso de existir armadura dupla em vigas ou no caso de pilares. As 
barras de armadura que estão exclusivamente compridas ou que tenham alternância de 
solicitações (tração e compressão) devem ser ancoradas em trecho reto, sem gancho, 
conforme figura abaixo: 
 
 
 
 36
 
bd
ycd
b f
f
l
4
´
φ
= 
 
 No caso de utilizar armadura diferente da calculada, tem-se: 
 
 
cm
l
l
A
A
K
A
A
ll
b
b
usados
cals
usados
cals
bnecb
20
15
6,0
´
min,'
,
'
,
'
,
'
,´´
,
φφ ≥≥== 
 
Quando se compara o comportamento da ancoragem de barras tracionadas e 
comprimidas, deve-se lembrar que quando o concreto está comprimido numa região de 
ancoragem, o mesmo apresenta maior integridade (menos fissuração), fazendo com que os 
comprimentos de ancoragem de barras comprimidas possam teoricamente ser menores. Um 
segundo aspecto a ser considerado é o efeito deponta (observado na figura anterior), fator 
este que se reduz significativamente com o tempo, por causa do efeito de fluência do 
concreto. Como na prática é possível desprezar estes dois fatores, calcula-se a ancoragem de 
barras comprimidas da mesma forma que para barras tracionadas, porém, não se utilizando 
ganchos, o que não faria o menor sentido. Para as barras comprimidas, considera-se sempre 
zona de boa aderência. 
 
5.5.4 ANCORAGEM NOS APOIOS – este item será melhor estudado no capítulo referente 
ao detalhamento da armadura longitudinal de vigas. 
 
5.5.5 UTILIZAÇÃO DE GANCHOS – a ancoragem por aderência acontece por meio de um 
comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho. O gancho é 
obrigatório no caso de barras lisas, mas no caso de existirem barras que estejam comprimidas 
ou que tenham alternância de esforços (tração e compressão) o uso de ganchos não deve 
existir. Não se recomenda o uso de ganchos para barras em feixes ou com diâmetro superior a 
32 mm, e no caso de barras lisas os ganchos devem ser semi-circulares. 
 Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem 
ser: 
- semi-circulares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (caso a); 
- em ângulo de 45 graus (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ (caso 
b); 
- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (caso c). 
 
 
 
 37
O diâmetro dos pinos de dobramento deve ser pelo menos igual aos valores da tabela a 
seguir: 
 
BITOLA 
(mm) 
CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4φ 5φ 6φ 
≥ 20 5φ 8φ - 
 
No caso de estribos com diâmetro tφ , os ganchos podem ser: 
- semi-circulares ou em ângulo de 45 graus (interno) com ponta reta de comprimento igual a 
5 tφ , porém não inferior a 5 cm; 
- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 tφ , porém não inferior 
a 7 cm (não é permitido para barras ou fios lisos). 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo, igual aos valores abaixo: 
 
BITOLA DO 
ESTRIBO tφ (mm) 
 
CA-25 
 
CA-50 
 
CA-60 
≤10 3 tφ 3 tφ 3 tφ 
10<φ < 20 4 tφ 5 tφ - 
≥20 5 tφ 8 tφ - 
 
Obs.: 
- com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem 
ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este 
caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre as 
barras ancoradas também for maior ou igual a 3φ ; 
- nas regiões situadas sobre apoios diretos, a armadura de confinamento não é necessária 
devido ao aumento da aderência por atrito com a pressão do concreto sobre a barra; 
 - a NBR 6118 permite também a ancoragem de estribos através de barras transversais 
soldadas (vide norma); 
- na disciplina de CAR-I o detalhamento dos estribos será feito com gancho semi-circular, com 
5 cm para cada lado. 
 
 
5.6 EMENDAS DAS BARRAS 
 
 Como as barras de armadura são fornecidas em comprimentos entre 10m e 12m, muitas 
vezes torna-se necessário emendá-las. Estas emendas podem ser de diversos tipos: 
- por traspasse (transferência indireta); 
- por luvas com preenchimento metálico ou rosqueadas (transferência direta, sem 
participação do concreto); 
- por solda (idem); 
- por outros dispositivos devidamente justificados. 
 38
Na disciplina de CAR-I serão somente apresentadas as prescrições referentes às emendas 
de barras tracionadas e comprimidas por traspasse, devendo-se recorrer à norma para as 
outras situações. 
Segundo a NBR 6118/2014, a emenda por traspasse não é permitido para barras isoladas 
de bitola maior que 32 mm e cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na 
armadura de costura dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção 
inteiramente tracionada). Deve-se destacar que a versão anterior da norma proibia o uso de 
emendas por traspasse no caso de tirantes e pendurais!!! No caso de feixes, o diâmetro do 
círculo de mesma área, para cada feixe, não poderá ser superior a 45 mm. 
 As emendas são supostas na mesma seção transversal de acordo com a figura abaixo: 
 
 
 
 A proporção máxima de barras tracionadas emendadas numa mesma seção está indicada 
na tabela a seguir: 
 
TIPO DE BARRA 
 
SITUAÇÃO TIPO DE CARREGAMENTO 
ESTÁTICO DINÂMICO 
 
ALTA ADERÊNCIA 
Em uma camada 100% 100% 
Em mais de uma 
camada 
50% 50% 
BARRA LISA φ < 16 mm 50% 25% 
φ ≥ 16 mm 25% 25% 
 
 
5.6.2 COMPRIMENTO DE TRASPASSE PARA BARRAS TRACIONADAS, ISOLADAS – 
quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4φ , o 
comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser 
 
 
otl = otα . ≥necbl ,
cm
lbot
20
15
..3,0
φ
α
 
 
onde 
otα é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, 
segundo a tabela abaixo: 
 
 39
Porcentagem de barras emendadas na mesma seção – 
valor de 
otα 
≤20 % 25% 33% 50% >50% 
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
 
 Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4φ , ao comprimento 
calculado anteriormente deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas. A 
armadura transversal na emenda deve ser justificada, considerando o comportamento conjunto 
concreto-aço. 
 
5.6.3 COMPRIMENTO POR TRASPASSE DE BARRAS COMPRIMIDAS ISOLADAS – neste 
caso, todas as barras podem ser emendadas numa mesma seção, e em se tratando de barras 
comprimidas, não faz diferença se as mesmas estão posicionadas em zona de boa ou de má 
aderência, podendo-se então adotar: 
 
 
cm
l
ll
b
necbo
20
15
6,0 '
'
,
' φ≥= 
 
ou seja, o comprimento de emenda tem o mesmo valor da ancoragem de compressão, não 
havendo necessidade de majoração. 
 
5.6.4 EMENDAS DE BARRAS CONSTRUTIVAS (CRITÉRIO PRÁTICO) - no caso de se r 
emendar barras que tenham somente funções construtivas, ou seja, que estejam fora de 
regiões de tração ou de compressão, ou seja, uma armadura que não esteja em serviço, pode-se 
adotar: 
 
 l consto, ≥ 15φ ou 20 cm. 
 
Obs.: 
- barras exclusivamente comprimidas ou de distribuição (construtivas), podem ser todas 
emendadas na mesma seção; 
- como exemplo de barras construtivas, tem-se barras de armadura de pele, barras 
superiores de vigas bi-apoiadas sem armadura de compressão (função somente de porta- 
estribos) etc; 
- pilares que estão eventualmente sujeitos a esforços de tração (por exemplo, devido ao 
vento), não podem ter armadura emendada por traspasse. 
 
5.6.5 EMENDAS DE FEIXES DE BARRAS - no caso de se ter que emendar feixes de 
barras, deve-se utilizar as prescrições da norma, tomando-se cuidado com a utilização de 
armadura transversal nas emendas por traspasse. 
 
5.6.6 EMENDAS DE ARMADURA EM TELAS SOLDADAS NERVURADAS - a emenda das 
armaduras em tela soldada nervurada pode ser realizada de duas formas: 
 40
a) com duas malhas ou três fios no caso de armadura principal; 
b) uma malha ou dois fios no caso de armadura secundária. 
Nas emendas de telas retangulares (em L ou T), a emenda na direção da maior dimensão 
da malha pode ser reduzida em relação ao estabelecido acima se respeitar ao menos os 
critérios de emenda de barras isoladas para o caso. 
 
5.6.7 CUIDADOS NA REGIÃO DO TRASPASSE - na região do traspasse deve sempre 
haver uma armadura transversal à emenda. Quando a percentagem de barras emendadas for 
maior ou igual a 25%, esta armadura deverá ser capaz de resistir a uma força igual à de uma 
barra emendada, e deverá ser distribuída nos terços extremos das emendas, com espaçamento 
máximo de 15 cm. No caso de emendas de barras comprimidas, uma das barras transversais, 
em cada lado da emenda, deverá estar posicionada φ4 além de cada extremidade da barra (ver 
item 9.5.2.4 da NBR 6118). 
 
 
 416. ESTADOS LIMITES 
 
 
Diz-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo 
efetivo ou convencional, se torna inutilizável ou quando deixa de satisfazer às condições 
previstas para sua utilização. Os critérios de segurança a serem verificados no projeto 
estrutural são os indicados na NBR 8681 (Ações e Segurança em Estruturas). O método dos 
estados limites é fundamentado em análises estatísticas com relação às ações e às 
resistências. 
 
 
6.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
 
O estado limite último (ELU) está relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de 
ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. Trata-se de uma situação na 
qual espera-se que uma estrutura nunca atinja, tanto é que se faz o uso de diversos 
coeficientes de segurança, sendo as resistências dos materiais minoradas e os esforços 
solicitantes majorados. 
A segurança das estruturas de concreto deve ser verificada em relação aos seguintes 
estados limites últimos: 
- estado limite último de perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou 
em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou 
em parte, considerando os efeitos de segunda ordem (flambagem); 
- estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou 
em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a ABNT NBR 15200; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando 
ações sísmicas, de acordo com a ABNT NBR 15421. 
 
 
6.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
 
É aquele relacionado à durabilidade e aparência da estrutura, conforto do usuário e a 
boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, às máquinas e aos 
equipamentos utilizados. Este assunto será melhor discutido no capítulo final desta apostila. 
De forma geral, no caso de estruturas de concreto armado, devem ser considerados: 
- estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – é atingido quando a tensão de tração 
máxima na seção transversal for igual a fctf , ; 
- estado limite de abertura de fissuras, quando as fissuras se apresentam com aberturas 
iguais aos máximos especificados para a utilização normal da estrutura (ELS-W); 
- estado limite de deformações excessivas, quando as deformações atingem limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção (ELS-DEF); 
- estado limite de vibrações excessivas, quando as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção (ELS-VE); 
 42
7 AÇÕES 
 
 
 Denomina-se ação qualquer influência capaz de produzir estados de tensão em uma 
estrutura. 
 Na análise estrutural devem ser consideradas as influências de todas as ações que 
possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura, levando-se em conta os 
possíveis estados limites últimos e de serviço. Deve-se lembrar que ações são definidas como 
causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas, sendo que, de modo geral, as 
forças são chamadas de ações diretas e as deformações impostas são chamadas de ações 
indiretas. 
 As ações classificam-se em permanentes, variáveis e excepcionais. 
 
 
7.1 AÇÕES PERMANENTES 
 
São as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da 
construção, podendo crescer no tempo tendendo a um valor limite constante. Estas ações 
devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança 
da estrutura, e podem ser: 
 
- ações permanentes diretas – constituídas pelo peso próprio da estrutura, dos elementos 
construtivos fixos (paredes, esquadrias, etc) e das instalações permanentes. Os empuxos de 
terra e outros materiais granulosos quando considerados não removíveis, também devem ser 
considerados como uma ação permanente. 
- ações permanentes indiretas – são constituídas pelas deformações impostas por retração do 
concreto, fluência do concreto, deslocamentos de apoio (para estruturas hiperestáticas e 
muito rígidas), imperfeições geométricas (globais ou locais) ou protensão. 
 
 
7.2 AÇÕES VARIÁVEIS 
 
 Simplificadamente, pode-se definir uma ação variável com sendo aquela que não é 
constante durante a vida da construção. Os valores característicos das ações variáveis, Fqk, 
correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no 
sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Isso significa que o valor característico 
Fqk é o valor com período médio de retorno de 174 anos a 117 anos respectivamente. 
 
 As ações variáveis podem ser classificadas como: 
 
- ações variáveis diretas - são as ações acidentais previstas para o uso da construção (peso 
de equipamentos, depósitos provisórios, de pessoal, etc), pela ação do vento (obrigatório 
segundo a NBR 6123) e da água (chuva). As ações acidentais correspondem a ações verticais 
de uso da construção, ações móveis considerando inclusive o impacto vertical, impacto lateral, 
força longitudinal de frenagem ou aceleração e força centrífuga. Estas forças devem estar 
dispostas nas posições mais desfavoráveis, sem que se esqueça de levar em conta o processo 
 43
construtivo. Nas estruturas em que houver possibilidade de acúmulo/retenção de água, deve 
ser considerada a presença de uma lâmina de água correspondente ao nível de drenagem 
efetivamente garantido pela construção. 
 
- ações variáveis indiretas – são aquelas relativas à variação da temperatura (uniforme ou não 
uniforme), ações dinâmicas. 
 
Observações: 
- as ações dinâmicas devem ser verificadas quando a estrutura está sujeita a choques ou 
vibrações, verificando-se a possibilidade de ressonância e/ou fadiga; 
- para estruturas de edifícios em que a carga variável é de até 5 kN/m2 e que seja no máximo 
igual a 50% da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de 
alternância de cargas. 
 
 
7.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
 São as ações que tem duração extremamente curta e uma probabilidade muito baixa de 
ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas em algumas 
situações, como por exemplo a ocorrência de um terremoto junto à construção de uma represa. 
 
 
7.4 COMBINAÇÕES DE AÇÕES 
 
 As combinações de carregamento devem ser feitas de diferentes maneiras, de forma 
que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação 
quanto à segurança da estrutura deve ser feita em função de combinações últimas e 
combinações de serviço. Em todas as combinações, as ações permanentes devem ser tomadas 
em sua totalidade, e para as ações variáveis devem ser tomadas apenas as parcelas que surtam 
efeitos desfavoráveis para a segurança. 
 As ações incluídas em cada uma das combinações devem ser consideradas com seus 
valores representativos, multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação. 
 
 
7.4.1 COMBINAÇÕES ÚLTIMAS – as combinações últimas podem ser classificadas como: 
 
- combinações últimas normais – aparecem as ações permanentes e as ações variáveis 
principais, admitindo-se que elas atuem com seu valor característico ( kF ) e as demais ações 
variáveis, consideradas como secundárias, atuem com seus valores reduzidos de combinação (
). ko Fψ : 
 
 eqkoeeqqikojkqqegkeggkgd FFFFFF ..)..(.. 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
Onde: 
 
 44
dF – valor de cálculo das ações para combinação última; 
gkF – ações permanentes diretas; 
ekF - ações indiretas permanentes (pode ser a retração ou uma carga permanente como a 
temperatura); 
qkF – ações variáveis diretas, das quais kqF 1 é escolhida como principal (pode ser por exemplouma carga acidental ou a carga devido ao vento); 
ψγ , - definidos no item a seguir. 
 
 Para a disciplina de CAR-I será utilizada simplificadamente a expressão: 
 
 qkqgkgd FFF .. γγ += 
 
Obs.: quando for o caso, deverão ser consideradas combinações onde o efeito favorável das 
cargas permanentes seja reduzido pela consideração de um fator apropriado, conforme será 
visto no próximo item. 
 
- combinações últimas especiais ou de construção – aparecem as ações permanentes e as 
ações variáveis especiais, quando existirem, atuando com valor característico, e as demais 
ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação. A diferença é que 
oψ pode ser substituído por 2ψ , quando a atuação 
da ação principal kqF 1 tiver duração muito curta. 
 
 eqkoeeqqjkojkqqegkeggkgd FFFFFF ..)..(.. 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
- combinações últimas excepcionais – neste caso, também 
oψ pode ser substituído por 2ψ , 
quando a atuação da ação principal 
excqF 1 tiver duração muito curta. Da mesma maneira, sempre 
devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus 
valores representativos, e as demais ações variáveis, com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação. Nesse caso, se enquadram, 
entre outros, sismo, incêndio e colapso progressivo. A combinação é dada por: 
 
 eqkoeeqqikojqexcqegkeggkgd FFFFFF ...... 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
 
7.4.2 COMBINAÇÕES DE SERVIÇO (UTILIZAÇÃO) – as combinações últimas de serviço 
(ou utilização) são classificadas de acordo com seu tempo de permanência na estrutura: 
 
- combinações quase-permanentes – podem atuar durante grande parte do período de vida da 
estrutura, e são mais utilizadas na verificação do estado limite de deformações excessivas. 
Nestas combinações todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase-
permanentes qkF.2ψ : 
 
 45
 ∑∑ += kqjjkgiserd FFF ,2,, .ψ 
 
em que serdF , é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
 
- combinações frequentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura, 
e são mais utilizadas na verificação dos estados limites de compressão excessiva, abertura de 
fissuras e vibrações excessivas. Nestas combinações, a ação variável principal 1qF é tomada 
com seu valor frequente kqF 12 .ψ e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus 
valores quase permanentes qkF.2ψ : 
 
 ∑∑ ++= kqjjkqkgiserd FFFF ,2,11,, .. ψψ 
 
onde kqiF , é o valor característico das ações variáveis principais diretas. 
 
- combinações raras – neste caso, as ações podem atuar no máximo algumas vezes durante o 
período de vida da estrutura, e são mais utilizadas na verificação dos estados limites de 
formação de fissuras e descompressão. Nestas combinações, a ação variável principal 1qF é 
tomada com seu valor característico kqF ,1 e todas as demais ações são tomadas com seus 
valores frequentes qkF.1ψ : 
 
 ∑∑ ++= kqjjkqkgiserd FFFF ,1,1,, .ψ 
 
 
7.5 SOLICITAÇÕES 
 
 Define-se solicitação como sendo qualquer esforço (momento fletor, força normal, força 
cortante, torção) ou um conjunto de esforços decorrente das ações e aplicado a uma ou mais 
seções de um elemento de estrutura. As solicitações de cálculo são obtidas para a combinação 
de ações considerada, de acordo com a análise estrutural e para cada estado-limite a ser 
considerado, ou seja, as ações é que são majoradas, para então serem determinadas as 
solicitações. 
 
7.6 COEFICIENTES DE MAJORAÇÃO E DE MINORAÇÃO 
 
 Numa análise estrutural de dimensionamento, visando a segurança final, costuma-se 
majorar os esforços e minorar as resistências, ou seja, “existe mais carga do que realmente 
existe”, e os materiais “aguentam menos do que realmente aguentam”. Assim: 
 
7.6.1 MAJORAÇÃO DAS AÇÕES - no dimensionamento de uma peça de concreto armado, 
considerando o estado limite último, deve-se trabalhar com cargas majoradas. Assim: 
 
 kFd SS .γ= 
 46
 
onde: 
dS = esforço de cálculo (momento fletor, esforço cortante, esforço normal, etc); 
Fγ = coeficiente de ponderação (segurança) das solicitações ; 
kS = esforço característico (real) atuante na peça (momento fletor, esforço cortante, esforço 
normal, torção, etc) 
 
 O coeficiente de ponderação Fγ de majoração das cargas deve ser tomado como 
 
 Fγ = 1Fγ . 2Fγ . 3Fγ 
 
onde: 
1Fγ - considera a variabilidade das ações; 
2Fγ - considera a simultaneidade de atuação das ações; 
3Fγ - considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do 
ponto de vista das solicitações. 
 Os valores de Fγ = 1Fγ . 3Fγ , podem ser obtidos pela tabela: 
 
Valores do coeficiente Fγ = 1Fγ . 3Fγ 
 
 
Ações 
 
Permanentes 
diretas 
 
Variáveis 
diretas 
 
Protensão 
Recalque de 
apoio e 
retração – 
permanente 
indireta 
D F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
 
 Da tabela anterior, tem-se: 
 
D – ação desfavorável; 
F – ação favorável; 
T – ação devida à temperatura; 
G – ação variável em geral. 
 Por outro lado, o valor de 2Fγ é tomado como: 
 
 2Fγ = 0ψ , 1ψ ou 2ψ 
 
com a seguinte definição: 
 
 47
0ψ - fator de redução de combinação para estado limite último; 
1ψ - fator de redução de combinação frequente para estado limite de serviço; 
2ψ - fator de redução de combinação quase permanente para estado limite de serviço. 
 
 Os valores do coeficiente 2Fγ , isto é, dos fatores de combinação ( 0ψ ) e de redução 
( 1ψ e 2ψ ) para as ações variáveis diretas, estão tabelados abaixo: 
 
Ações 
0ψ 1ψ 2ψ 
Cargas acidentais de edifícios: 
-Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas (edifícios residenciais); 
- Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas (edifícios comerciais e de escritórios); 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; 
 
0,5 
 
 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,4 
 
 
 
0,6 
 
0,7 
 
0,3 
 
 
 
0,4 
 
0,6 
Vento: 
- Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 
 
0,6 
 
0,3 
 
0 
Temperatura: 
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 
 
0,6 
 
0,5 
 
0,3 
 
 Para verificações no estado limite de serviço, o coeficiente de ponderação das ações 
é dado pela expressão: 
 
 Fγ = 1 x 2Fγ 
 
Devendo-se adotar: 
 
2Fγ = 1 para combinações raras; 
2Fγ = 1ψ para combinações frequentes; 
2Fγ = 2ψ para combinações quase permanentes. 
 
 Os valores de 1ψ e 2ψ referentes às combinações de serviço são dados na tabela 
anterior. 
 
7.6.2 MINORAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS - de um modo geral, diz-se que a resistência de 
cálculo df de um material é dada pela expressão: 
 
 f d = 
m
kf
γ
 
 
 48
onde f k é a resistência característica inferior e mγ é o coeficiente de ponderação (minoração) 
da resistência do material, definido como 
 
 
mγ = m321 .. γγγ mm 
 
 Onde: 
1mγ – considera a variabilidade da resistência efetiva dos materiais envolvidos; 
2mγ – considera a diferença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura; 
3mγ – considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do 
ponto de vista das resistências. 
 No caso da resistência de cálculo do concreto, quando a verificação se faz em data t 
igual ou superior a 28 dias, adota-se: 
 
 cdf = ckf / cγ 
 
Obs.: quando o concreto é verificado antes dos 28 dias, cuidados especiaisdevem ser tomados 
(vide norma). 
 No caso da resistência de cálculo do aço (tensão de escoamento), deve-se utilizar: 
 
 ydf = ykf / sγ 
 
 Os valores de cγ e sγ são indicados na tabela abaixo: 
 
COMBINAÇÕES CONCRETO ( cγ ) AÇO ( sγ ) 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
 
 
 No caso de execução de peças em condições desfavoráveis (transporte, adensamento 
manual, concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente cγ deve ser 
multiplicado por 1,1, e nos casos em que se deseja fazer uma verificação em data inferior a 28 
dias, deve-se analisar a norma para outros valores dos coeficientes de segurança. 
 Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados, deve ser consultada a 
NBR 9062. 
 
7.7 CASOS MAIS CORRIQUEIROS DE MAJORAÇÃO 
 
 Usualmente, e na disciplina de CAR I, quando não são levadas em conta as ações 
provenientes da retração e da temperatura, a ponderação dos valores de nγ para as ações nos 
estados limites últimos pode ser feita como: 
 
- para combinações normais, quando as ações são desfavoráveis: 
 49
 qkgkd FFF 4,14,1 += 
 
- para combinações normais ou de construção, quando as ações são favoráveis: 
 
 qkgkd FFF 0,00,1 += 
 
 - para condições de construção, quando as ações são desfavoráveis: 
 
 qkgkd FFF 2,13,1 += 
 
 Para ponderações nos estados limites de serviço, tem-se usualmente: 
 
 qkgkd FFF += 
 
ou seja, nenhuma ação é majorada, utilizando-se então os esforços “reais” atuantes na 
estrutura. 
 
 
7.8 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 
 
 Diz-se que uma estrutura é segura quando ela atende as condições construtivas e 
analíticas de segurança, ou seja, quando existem condições para que a estrutura suporte todas 
as ações possíveis de ocorrer na sua vida útil, e sem que se atinja algum estado limite 
anteriormente descrito. Desta forma, a estrutura deve obedecer aos critérios de 
detalhamento, controle de materiais e execução da obra conforme normas específicas. 
Também se deve estabelecer que as resistências não podem ser menores que as solicitações 
(para todos os estados limites). Assim: 
 
 dR ≥ dS 
 
 Para a verificação da segurança, usam-se métodos probabilísticos (probabilidade de 
ruína) e métodos semi-probabilísticos (utilização de números empíricos e introdução de dados 
estatísticos e probabilísticos), que não serão estudados neste curso. 
 50
8 INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS (FLEXÃO 
SIMPLES) 
 
 
8.1 DENOMINAÇÃO 
 
 Diz-se que viga é um elemento estrutural linear (elemento de barra), com 
comprimento longitudinal de pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, e 
onde o esforço solicitante de flexão é preponderante (momento fletor e força cortante), 
podendo eventualmente ocorrer esforços devido à torção. 
 As vigas têm como finalidade servir de apoio para as lajes, suportar paredes ou 
servir de apoio para outras vigas ou pilares que porventura nela “nasçam”, absorvendo as ações 
a elas transmitidas e distribuindo-as para os seus apoios. A importância das vigas se dá 
também pelo fato de formarem pórticos rígidos juntamente com os pilares, sendo estes 
pórticos importantes para garantir a segurança estrutural do edifício, pois eles, além de 
absorverem a ação do vento, contribuem para garantir a estabilidade global do edifício. 
 Obs.: denomina-se viga parede um elemento de superfície plana sujeito 
principalmente a ações contidas em seu plano, em que o vão é menor que três vezes a maior 
dimensão da seção transversal. 
 
 
8.2 DIMENSÕES DE VIGAS ( hxbw ) 
 
 A seção transversal de uma viga não deve apresentar largura ( wb ) menor que 12 cm 
(15 cm para vigas parede), podendo-se utilizar 10 cm no caso em se verificar adequadamente as 
condições de alojamento das armaduras, interferência com as armaduras de outros elementos 
estruturais e um correto lançamento e vibração do concreto. De preferência, a base da viga 
deve ser definida de modo que fique embutida na parede, considerando-se também o 
revestimento (0,5cm a 1,5cm). Cuidados também devem ser tomados com relação às aberturas 
(janelas, portas) e com a posição das vigas invertidas (para cima da laje). Para vigas em contato 
com o solo (vigas baldrame), sugere-se que a largura das mesmas não seja menor que 15 cm. 
 As paredes podem ser de tijolos cerâmicos ou de blocos de concreto, sendo que 
estes possuem normalmente espessuras de 9 cm, 14 cm ou 19 cm, devendo-se sempre 
consultar o construtor para saber qual o tipo de vedação que vai ser realmente utilizado. 
 Com relação à fixação da altura da viga, pode-se adotar um critério para anteprojeto 
supondo que no caso de vãos internos a altura seja da ordem de L/13 a L/11 do vão livre, e no 
caso de vãos externos L/11 a L/9 do vão livre. Nas vigas contínuas de vãos comparáveis 
(relação entre vãos adjacentes entre 2/3 e 3/2), costuma-se adotar uma altura única estimada 
através de 1/10 do vão médio, e no caso de haver somente cargas distribuídas pode-se utilizar 
1/15 do vão médio. No caso de vãos muito diferentes entre si, pode-se adotar altura própria 
para cada vão como se fossem independentes, tomando-se o cuidado de não se adotar alturas 
muito pequenas para os momentos negativos. No caso de apoios indiretos (viga apoiada em 
outra viga), recomenda-se que a viga apoiada tenha altura menor ou igual ao da viga de apoio. 
Caso contrário, deve-se utilizar uma armadura de suspensão (será visto na disciplina de ESE). 
 51
 Aconselha-se usar valores de alturas múltiplas de 5 cm, com um mínimo usual de 25 cm. 
Esta altura mínima induz a utilização de vãos maiores ou iguais a 2,5 m. Em geral, não devem 
ser utilizados vãos superiores a 6m, face aos valores usuais de pé direito (em torno de 2,8 m) 
que permitem espaço disponível, para a altura da viga, em torno de 60 cm. 
Por causa de problemas de cimbramento, também não se recomenda a utilização de 
valores muito diferentes para a altura das vigas de um determinado pavimento, procurando 
manter as vigas de fachada com uma altura constante. Em vigas com vãos muito grandes ou com 
carregamentos excessivos, recomenda-se a verificação das suas flechas. 
 
 
8.3 AÇÕES EM VIGAS 
 
 Com relação às ações que ocorrem nas vigas, pode-se citar o peso próprio, as reações 
de apoio das lajes e as ações permanentes de alvenarias que eventualmente nelas se apoiam, 
todas consideradas como sendo uniformemente distribuídas. Em alguns casos, quando ocorrer 
viga apoiada em viga ou pilar nascendo em viga, deve-se considerar uma carga concentrada. 
 
parlaje qRppq ++= 
concw hbpp γ..= 
alvparparwpar hbq γ..= 
 
 Observações: 
- no caso das reações devido às lajes que se apoiam nas vigas, deve-se lembrar que 
normalmente o carregamento deve ser separado entre permanente e variável; 
- na consideração da carga devido às paredes, normalmente não se considera nenhum desconto 
quando se tem portas e janelas de pequena dimensão. Porém, quando a área destes “vazios” for 
maior que 1/3 da área total, deve-se fazer o desconto da abertura, porém incluindo-se o peso 
dos caixilhos, vidros, etc; 
- para peso específico das paredes deve-se sempre consultar o fornecedor, podendo-se 
considerar: 
 - alvenaria de tijolo furado e blocos de concreto: 3/13 mkNalv =γ 
 - alvenaria de tijolo maciço: 3/18 mkNalv =γ 
 - blocos de alvenaria estrutural (depende do fabricante): 3/16 mkNalv =γ ; 
- para carregamentos aplicados “fora do eixo” da viga deve-se considerar os efeitos de torção. 
 
8.4 ANÁLISE LINEAR DAS VIGAS 
 
 Para se fazer uma análise simplificada linear de uma viga de concreto armado, 
admite-se que os materiais tenham comportamento elástico-linear, sendo que as 
características geométricas podem ser determinadas pelas seções brutas de concreto. O 
módulo de elasticidade secante e o coeficiente de Poisson devem ser tomados conforme vistoem capítulos anteriores. 
 
 
 52
8.5 VÃO EFETIVO DE UMA VIGA 
 
 O vão efetivo (vão de cálculo, vão teórico) de uma viga pode ser calculado entre eixos 
de apoio, podendo-se no cálculo da viga em si usar os valores abaixo: 
 
 l ef = l 0 + a1 + a 2 
 
onde l 0 é o vão livre da viga (entre apoios). Ainda: 
 
 
h
t
a
3,0
2/1
1 ≤ h
t
a
3,0
2/2
2 ≤ 
 
 
 
 
 No caso de vigas em balanço, considera-se como vão livre a distância entre a 
extremidade livre e a face externa do apoio, e vão teórico como sendo a distância até o centro 
do apoio. 
 Para a análise dos pilares e do equilíbrio conjunto deve considerar que as cargas 
sejam transportadas até o eixo dos apoios, ou seja, a consideração de vão efetivo menor que o 
vão entre eixos de apoios, só se aplica ao cálculo da viga em si. 
 Simplificadamente, na disciplina de CAR-I, será utilizado como vão efetivo a 
distância entre os eixos dos apoios. Porém, quando a medida do pilar na direção da viga for 
grande, e o vão da própria viga também for, é interessante que se comparem os dois valores 
descritos acima, utilizando sempre o valor que possibilite o menor vão para a viga. 
 
 
 
8.6 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS PARA VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS 
USUAIS DE EDIFÍCIOS 
 
 As vigas contínuas podem ser consideradas simplesmente apoiadas nos pilares, para o 
estudo das cargas verticais, com os seguintes cuidados: 
 53
a) não considerar momento fletor positivo menor do que aquele obtido se houvesse 
engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 
b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção 
do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado 
momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio; 
c) quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, 
deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento de engastamento 
perfeito multiplicado por: 
 
- na viga: 
supinf
supinf
rrr
rr
viga ++
+
 
 
- no tramo superior do pilar: 
supinf
sup
rrr
r
viga ++
 
 
 
- no tramo inferior do pilar: 
supinf
inf
rrr
r
viga ++
 
 
 
onde r i é a rigidez do elemento i no nó considerado, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 Quando for o caso, o engastamento perfeito da viga deve ser substituído por uma 
articulação, devendo-se utilizar as fórmulas vistas na disciplina de TES-II, conforme as 
tabelas 28 e 28A. 
 
 Nas fórmulas anteriores, tem-se: 
 
infr - índice de rigidez do pilar inferior: 2/inf
inf
inf L
I
r = 
 
 54
supr - índice de rigidez do pilar superior: 2/sup
sup
sup L
I
r = 
 
vigr - índice de rigidez da viga: 
vig
vig
vig L
I
r = 
 
infsup , II - momento de inércia, na direção considerada, dos pilares superior e inferior; 
vigI - momento de inércia da viga; 
infsup , LL - altura do pilar superior e inferior; 
vigL - vão da viga. 
 
 Seja o seguinte esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observa-se por esta figura que deve haver um “engastamento parcial” tanto na viga 
como no pilar, uma vez que o concreto do nível “i” tem idade diferente do concreto do nível 
“i+1” ou do nível “i-1”, não havendo portanto um engastamento total no nó considerado. 
 
 
 
 
 
 
NIVEL i 
NIVEL i+1 
L 
H
 
H
 
NIVEL i-1 
 
 55
8.7 ESTÁDIOS NO CONCRETO ARMADO 
 
 Considerando que uma determinada viga pode estar mais ou menos solicitada, a 
mesma pode apresentar seções que estejam na fase elástica sem fissuras, ou então, 
apresentar seções que já estejam fissuradas. Seja então um trecho de viga biapoiada, 
considerada em seções próximas ao apoio, e próximas ao centro do vão. Dependendo do 
comportamento elástico ou plástico que a seção transversal apresenta, diz-se que foi atingido 
um determinado estádio. Assim, as fases (ou estádios) que uma seção transversal pode 
apresentar são: 
 
8.7.1 ESTÁDIO I (ESTADO ELÁSTICO) – para peças sujeitas a um momento fletor de 
pequena intensidade, tanto a parte comprimida como a parte tracionada obedecem a lei de 
Hooke (fase elástica), podendo-se trabalhar com uma seção homogeneizada 
),.( cssEsEc EEAA == αα . As solicitações são pequenas, e o dimensionamento não é 
econômico, uma vez que leva a grandes dimensões de seções transversais. Pode ser utilizado no 
caso de dimensionamento de estruturas especiais de blindagem ou reservatórios, onde não se 
admite nenhuma fissura. Nesta situação, o comportamento do concreto pode ser admitido 
elástico-linear, sendo que o concreto resiste às tensões de tração. 
 
 
8.7.2 ESTÁDIO II (ESTADO DE FISSURAÇÃO) – para a atuação de um momento fletor de 
intensidade maior, a resistência do concreto à tração é ultrapassada e aparecem fissuras, 
sendo que a parte comprimida continua obedecendo à lei de Hooke. A resistência do concreto à 
tração deve ser desprezada. Neste estádio são feitas as verificações das peças em serviço, 
como abertura de fissuras e verificação de deformações. Com o aumento do carregamento, o 
estádio II termina com o inicio da plastificação do concreto comprimido. 
 
 56
8.7.3 ESTÁDIO III – esta fase é considerada a fase final de ruptura do concreto, quando 
tanto a parte comprimida como a parte tracionada da peça se encontram na fase plástica, 
sendo que o atual dimensionamento de peças de concreto armado é realizado nestas 
considerações (“cálculo na ruptura” ou “cálculo no estádio III”). No estádio III a ruptura é por 
compressão com desagregação do concreto. Em seções adequadamente dimensionadas, a 
ruptura é precedida por um quadro de deformações que permite detectar a iminência de sua 
ocorrência. Diz-se que a ruptura é dúctil ou com aviso (quando a ruptura é brusca tem-se a 
ruptura frágil ou “sem aviso”). 
 
 Simplificadamente pode-se dizer que os Estádios I e II correspondem às situações 
de serviço, com a atuação de ações reais. Por outro lado, o Estádio III corresponde ao estado 
limite último, com ações majoradas e resistências minoradas. 
 O cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no 
estado limite último (estádio III), pois o objetivo principal é projetar estruturas que resistam 
aos esforços sem chegar ao colapso, e de forma econômica. As situações de serviço são 
importantes, porém muitas vezes o próprio cálculo no estado limite último e o bom 
detalhamento da armadura conduzem às verificações destas, que deverão ser feitas quando 
necessário. 
 
8.8 HIPÓTESES BÁSICAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO 
ARMADO SUJEITAS A FLEXÃO SIMPLES: 
 
a) as seções transversais se mantém planas após a deformação (hipótese de Navier-
Bernoulli); 
b) a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em 
seu entorno, ou seja, garante-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; 
c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; 
d) o dimensionamento para o esforço de momento pode ser feito separadamente do esforço 
cortante, ou seja, será considerado um caso de flexão pura; 
e) considerando-se x como a profundidade da linha neutra, a distribuição de tensões no 
concreto se faz de acordo com um diagrama parábola-retângulo, permitindo-se a 
substituição desse diagrama pelo diagrama retangular de altura xy .λ= , onde: 
 
 8,0=λ para concretos com Mpafck 50≤ 
 400/)50(8,0 −−= ckfλ para concretos com Mpafck 50> 
 57
f) a tensão constante atuante até a profundidade y para Mpafck 50≤ , pode ser tomada 
como: 
 - cdf85,0 no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir destapara a borda comprimida. 
 - 
cdf90,0 no caso contrário. 
 
 
 Para casos em que Mpafck 50> , a tensão deve ser tomada como: 
 
 - [ ] cdck ff .200/)50(0,1.85,0 −− no caso da largura da seção, medida paralelamente à 
linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida 
 
 - 0,90. [ [ ] ].200/)50(0,1.85,0 cdck ff −− em caso contrário. 
 
 Para concretos com Mpafck 50≤ tem-se graficamente: 
 
 
Pela figura anterior, define-se: 
h – altura da viga 
d – altura útil da viga (distância do cg da armadura de tração até a face mais comprimida); 
x – distância da linha neutra; 
y – distância da linha neutra simplificada (y = 0,8x); 
IIIM - momento último, correspondente ao estádio III, doravante chamado de dM ; 
ccR - força resultante de compressão no concreto; 
sR - força resultante de tração na armadura. 
 58
 
g) a tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão deformação, com valores de 
cálculo, definidos no item 4.3.5; 
h) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção 
transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura a seguir, válida para concretos 
de classe até C90: 
 
Versão NBR 6118/2014. 
 
 Para concretos de classe até C50, continua válido o diagrama da versão anterior da 
norma (NBR 6118/2007): 
 
 
 Entende-se que um domínio de deformação é atingido quando o aço e/ou o concreto 
atingem os seus limites de deformação, ou seja: 
 59
- o aço atinge o alongamento último e a ruína é por deformação plástica excessiva (
‰10=sε ). Isto pode ocorrer em casos de tração (uniforme ou não uniforme) e em 
casos de flexão (simples ou composta); 
- o concreto atinge o encurtamento último e a ruína é por ruptura do concreto ( ‰5,3 
na flexão ou ‰0,2 na compressão simples). 
 Pela figura anterior, observa-se que da reta a para os domínios 1 e 2, o diagrama de 
deformações gira em torno do ponto A, o qual corresponde à ruína por deformação plástica 
excessiva da armadura de tração. Nos domínios 3, 4 e 4a, o diagrama de deformações gira em 
torno do ponto B, relativo à ruptura do concreto na borda comprimida, com encurtamento de 
‰5,3 . Finalmente, verifica-se que do domínio 5 para a reta b, o diagrama gira em torno do 
ponto C, correspondente à deformação de ‰0,2 e distante 3/7 h da borda mais comprimida. 
 Com relação a concretos com Mpafck 50≤ , definem-se as retas e os domínios 
apresentados na figura anterior como: 
 
a) Reta “a” - correspondente ao alongamento constante e igual a 1%, o que pode acontecer em 
casos de tração simples com armaduras simétricas, ou em casos de tração excêntrica com 
diferenças de armaduras, mas com alongamentos uniformes da seção. 
 
 
b) Domínio 1 (tração não uniforme, sem compressão): 
• o início se dá com o%10=sε e o%10=cε , com −∞=x => reta “a” (tração 
centrada/uniforme); 
• o término acontece com o%10=sε e 0=cε , com 01 == xx (tração excêntrica); 
• o estado limite último é caracterizado pela deformação plástica excessiva da armadura 
tracionada ( o%10=sε ); 
• a reta da deformação gira em torno do ponto A ( o%10=sε ); 
• a linha neutra é externa à seção transversal; 
• a seção resistente composta pela armadura, sem participação do concreto, uma vez que 
o mesmo encontra-se totalmente tracionado, servindo apenas para “proteger” a 
armadura; 
• casos de tração excêntrica e tração centrada. 
 
 60
 
c) Domínio 2 (flexão simples ou composta): 
• o início se dá com o%10=sε e 0=cε , e com x=0; 
• o término acontece com o%10=sε e o%5,3 =cε , com dxx 259,02 == 
• a linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); 
• o estado limite último é caracterizado pela deformação plástica excessiva da armadura 
tracionada ( o%10=sε ); 
• a reta de deformação gira em torno do ponto A ( o%10=sε ); 
• o concreto não atinge a ruptura na região comprimida ( o%5,3<cε ); 
• a seção resistente é composta pela armadura tracionada e pelo concreto comprimido; 
• casos de flexão simples e flexão composta. 
 
d) Domínio 3 (flexão simples (seção subarmada) ou composta): 
• o início se dá com o%10=sε e o%5,3=cε , e com dxx 259,02 == ; 
• o término acontece com yds εε = e o%5,3=cε , com dxx 628,03 == 
• a linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); 
• o estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido após o 
escoamento da armadura ( o%5,3=cε ); 
• a reta de deformação gira em torno do ponto B ( o%5,3=cε ); 
• a seção resistente é composta pela armadura tracionada e pelo concreto comprimido, 
situação esta que é desejável, porque ambos os materiais atingem o máximo de suas 
resistências; 
• as peças que chegam ao ELU são chamadas de “subarmadas”; 
• casos de flexão simples (seção “subarmada”) e flexão composta; 
• a ruína se dá com aviso prévio (grandes deformações); 
• a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura, 
situação esta ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima, 
ou seja, são aproveitados integralmente. 
 61
 
 
e) Domínio 4 (flexão simples ou composta): 
• o início se dá com yds εε = e o%5,3=cε , e com dxx 628,03 == ; 
• o término acontece com 0=sε e o%5,3=cε ; 
• a linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão) com x variável entre 
dxex =43 ; 
• o estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido, sem que 
haja escoamento da armadura ( yds εε < ), caracterizando uma ruptura frágil, sem 
aviso; 
• a reta de deformação gira em torno do ponto B ( o%5,3=cε ); 
• a seção resistente é composta pela armadura tracionada, pela armadura comprimida e 
pelo concreto comprimido; 
• as peças que chegam ao ELU são chamadas de “superarmadas” e são anti-econômicas, 
pois o aço não é utilizado com a sua capacidade resistente; 
• casos de flexão simples (seção “superarmada”) e flexão composta. 
 
f) Domínio 4a (flexão composta com armaduras comprimidas): 
• o início se dá com 0=sε e ‰5,3=cε , e com dxx == 4 ; 
• o término acontece com 0<sε (compressão) e ‰5,3=cε ; 
• a linha neutra corta a seção transversal na região de cobrimento da armadura, com x 
variável entre d e h; 
• o estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido (
‰5,3=cε ); 
• a reta de deformação gira em torno do ponto B ( ‰5,3=cε ); 
• a seção resistente é composta pela armadura e pelo concreto, ambos comprimidos; 
 62
• casos de flexão composta com pequena excentricidade; 
• a ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura. 
 
g) Domínio 5 (compressão não uniforme, sem tração): 
• o início se dá com 0<sε (compressão) e ‰5,3=cε , com hxx a == 4 ; 
• o término acontece com ‰0,2=sε (compressão) e ‰0,2=cε ; 
• a linha neutra não corta a seção transversal, com +∞≤≤ xx5 => reta “b”; 
• o estado limite último é caracterizado por ‰5,3=cε (flexo-compressão) e 
‰0,2=cε (na compressão uniforme); 
• a ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura; 
• a reta de deformação gira em torno do ponto C, distante (3/7)h da borda comprimida); 
• a seção resistente é composta pela armadura e pelo concreto, ambos comprimidos; 
• casos de flexão composta com pequena excentricidade e de compressão uniforme 
(centrada). 
 
h) reta “b” - esta reta define uma deformação uniforme de compressão, onde o encurtamento 
atinge 0,2%, e a profundidade da linha neutra tende ao infinito. 
 
 
 63
9 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGAS 
 
 O dimensionamento da armadura longitudinal pode ser feito através das tabelas tipo 
“k”, partindo-se do conhecimento dos valores dos momentos fletores calculados, das dimensões 
das vigas e da resistência dos materiais utilizados (concreto e aço). Neste capítulo seráabordado somente o dimensionamento de peças com Mpafck 50≤ , sendo que o 
dimensionamento de peças com Mpafck 50> será visto em anexo a esta apostila. 
 A armadura longitudinal, além de absorver as tensões normais de tração oriundas da 
ação do momento fletor, tem também a função de servir de armadura de montagem para os 
estribos, contribuindo para evitar o surgimento de fissuras nas dobras dos mesmos, pois estes 
pontos apresentam altas concentrações de tensão. 
 Quando o concreto resiste aos esforços de compressão, diz-se que a viga apresenta 
armadura simples (somente armadura longitudinal de tração A s ), mas quando esta compressão 
é excessiva e o concreto não resiste sozinho, deve-se usar uma armadura longitudinal 
suplementar de compressão ( 'sA ) e para este caso tem-se armadura dupla. 
 
 - armadura simples: - armadura dupla: 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 ALTURA ÚTIL (d) 
 Define-se altura útil como sendo a distância do CG (centro de gravidade) da 
armadura de tração até a face mais comprimida da seção considerada, sendo esta a altura a 
ser utilizada no dimensionamento. Assim: 
 
 
2/"
"
ltcd
dhd
φφ ++=
−= 
onde: 
c – recobrimento da viga; 
tφ - diâmetro da armadura transversal (estribo); 
lφ - diâmetro longitudinal. 
A 
 
 
A ’ 
 
A 
 64
 
 
Obs.: no caso de existirem duas camadas ou mais, deve-se cuidar para tomar a distância em 
relação ao centro de gravidade desta composição de armadura. 
 Como a princípio não se tem o valor da armadura longitudinal de tração, e 
consequentemente sua posição dentro da viga, sugere-se que para o dimensionamento sejam 
considerados os seguintes valores, baseados basicamente na classe de agressividade ambiental 
(considerando estribo de 5,0 mm): 
 
 
CAA 
 
c (cm) 
d”(cm) – vigas 
“muito” 
solicitadas 
d”(cm) – vigas 
“pouco” 
solicitadas 
I 2,5 4 3,5 
II 3,0 4,5 4,0 
III 4,0 5,5 5,0 
IV 5,0 6,5 6,0 
 
 
9.2 DOMÍNIOS PARA DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO 
 
 Uma vez que o concreto tem sua resistência à tração desprezada e este esforço é 
resistido pela armadura, para o dimensionamento à flexão deve-se garantir que a posição da 
linha neutra deve estar entre 0 e d, ou seja, o dimensionamento é feito nos domínios 2, 3 e 4, 
uma vez que no domínio 1 tem-se uma seção totalmente tracionada, e nos domínios 4a e 5 tem-
se uma seção totalmente comprimida, o que não é o caso de uma flexão. 
 
 
9.3 FORMULÁRIO TIPO k (SEÇÃO RETANGULAR) 
 
 
9.3.1 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA SIMPLES PARA 
CONCRETO COM Mpafck 50≤ : 
 
Seja a figura: 
 
 65
%
%
 
 
a) Cálculo da posição da LN (x) e linha neutra simplificada (y): 
x
scd
cd
scd
cd
x
scd
cd
scdcdscd
xy
dkxdx
dx
 
ε
xd
ε
x
k8,08,0k sendo .d ky.d0,8.ky .8,0
k sendo . .
 
yyx
x
=
+
==∴=∴=
+
==∴
+
=
+
=→
−
=
εε
ε
εε
ε
εε
ε
εεε
 
 
b) Cálculo do braço de alavanca: 
 
2
8,01
2
1 sendo ..
2
1
22
Xy
zz
yy kkkdkd
kdk
dydz −=−==






−=−=−= 
 
c) Cálculo da altura útil (d) e do fator k m : 
 
ydsst
wcdcc
fAR
ybfR
.
...85,0
=
=
 
 
Das equações de equilíbrio: 
 
 
stcc
stdccd
RRF
zRMzRMM
=→=Σ
=→=→=Σ
0
..0
 
 
cdwzycdzywcdwd fdbkkfdkdkbfzybM .....85,0......85,0....85,0 2=== 
 
Sendo 
mk = 
zycd kkf ...85,0
1
 
 
 66
Sendo 
m
w
d k
db
M
2
.
= então: 
 
 
d
w
m M
dbk
2
.
= 
 
e 
w
md
b
kMd .= . 
 
d) Cálculo da área da seção da armadura ( sA ): 
 
 
.
ou 
 
A ..
.
.
s d
Mk
Afz
M
zfAM
fAR
zRM
da
s
yd
d
ydsd
ydsst
std
==∴=
=
=
 
onde 
 
ydz
a fkk .
1
= 
 
 
e) Deformações: 
 





<≤=
≤≤=
=<≤
yds
syd
s
εεε
εεε
εε
0,‰5,3: 4 Domínio
‰10‰,5,3:3 Domínio
‰10‰,5,30:2 Domínio
cd
cd
cd
 
 
Observações: 
 
1) A situação ideal de dimensionamento corresponde à peça trabalhando com o máximo de 
aproveitamento da capacidade dos materiais (aço e concreto), ou seja, eles atingem 
simultaneamente o estado limite último: 
 
259,0
105,3
5,3
‰10
‰5,3
=
+
=
=
=
x
s
cd
k
ε
ε
 
 
Neste caso, a peça se encontra no limite dos domínios 2 e 3; 
 67
 
2) Para kx ≤ 0,259 (peças subarmadas) a ruptura se iniciará pelo aço (Domínio 2); 
 
3) Para 0,259 ≤ kx ≤0,625, aço CA50, a peça será normalmente armada (Domínio 3); 
 
4) O Domínio 4 (peças superarmadas) corresponde a ruptura sem aviso prévio (ruptura pelo 
concreto) e temos neste caso um dimensionamento bastante antieconômico, uma vez que o aço 
estará trabalhando aquém de seu limite de cálculo (fyd). Nestes casos, é muito mais 
conveniente, não somente sob o prisma teórico como pelo prático, adotar uma armadura na 
zona comprimida e passar a trabalhar no domínio 3. 
 
5) Uma característica largamente utilizada nas estruturas de concreto armado, é a 
redistribuição de momentos negativos. Segundo os calculistas que se utilizam desta prática, o 
fato de se redistribuir os momentos torna a estrutura mais econômica e com melhores 
condições de exequibilidade (menos ferros negativos nos apoios deixam a estrutura de 
execução mais fácil nas ligações com os pilares). Esta redistribuição, que nada mais é do que a 
redução dos momentos negativos das vigas junto aos apoios, e a devida compatibilização dos 
momentos positivos e momentos dos pilares, tem um tratamento especial na NBR 6118, sendo 
que: 
- existem limites para esta redistribuição; 
- a redistribuição nas vigas, tem que, obrigatoriamente, se refletir nos pilares. 
A norma obriga que sejam verificadas as condições de ductilidade da viga em função do 
valor da redistribuição de momentos, sendo este um ponto bastante polêmico, porque inúmeras 
empresas de projeto, tradicionais, praticam esta redistribuição livremente, conforme a 
sensibilidade do engenheiro estrutural, e sem nenhuma consequência aparente. Para dar 
condições à redistribuição de momentos negativos é preciso assegurar a capacidade de rotação 
da viga naquela seção onde foi feita a redistribuição (ductilidade). Para isto, são impostas 
condições de ductilidade à viga cuja consequência imediata é a limitação da profundidade da 
linha neutra (x) na seção de altura (d). 
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no 
ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado 
comportamento dutil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos 
seguintes limites: 
 
 45,0/ ≤= dxkx para concretos com Mpafck 50≤ ; 
 35,0/ ≤= dxkx para concretos com MpafMpa ck 9050 ≤< 
 
O limite da relação x/d objetiva: 
- aumentar a ductilidade da seção, e consequentemente, manter afastada a possibilidade da 
ruptura frágil; 
- melhorar a capacidade da estrutura em redistribuir esforços para suportar esforços 
extraordinários, através da formação de rótulas plásticas; 
- diminuir possíveis flechas no ELS. 
 
 
 68
Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM, 
em uma seção transversal, a profundidade da linha neutra, para o momento reduzido δM, deve 
ser limitada a: 
 
x/d ≤ (δ - 0,44)/1,25 para fck ≤ 50 MPa; 
x/d ≤ (δ - 0,56)/1,25 para 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. 
 
O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer aos seguintes limites: 
 
δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; 
δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso. 
 
 
Fonte: Prof. Sergio Hampshire de C. Santos (UFRJ). 
 
 
9.3.2 DIMENSIONAMENTO NO DOMÍNIO 3 COM ARMADURA DE COMPRESSÃO 
(ARMADURADADUPLA): 
 
Seja a figura: 
 
 69
%
 
 
 
Da figura anterior, define-se: 
 
R sc = força resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal; 
 
R st = força resultante das tensões de tração na armadura longitudinal. 
 
 
a) Encurtamento Relativo na Armadura Comprimida: 
 
scds
cd
s
x
dx
x
dx
'
deformação x tensãoDiag.
.
'
'
''
σεε
ε
ε
 →
−
=⇒
−
= 
 
b) Posição da LN: 
 
Da tabela: limlimlim ,, zyx kkk , correspondendo aos limites dos domínios 3 e 4 (momentos 
positivos) ou ao limite x/d = 0,5 ou 0,4 para momentos negativos: 
 
d
d
d
.kz 
.ky 
.k x :Logo
zl
yl
xl
=
=
=
 
 
c) Momentos: 
 
21 ddd MMM += 
 
ml
w
d k
dbM
2
1
.
= → momento máximo que a peça resiste com armadura simples (“o concreto 
resiste sozinho”), observando a relação máxima de x/d prescrita na norma; 
 
 
zlylcd
ml kkfk 85,0
1
= e 
2
1 ylzl
k
k −= 
 70
 
Logo, 
 
 12 ddd MMM −= → momento que exige a introdução de armadura dupla. 
 
 
Armadura tracionada: 
 
21 ststst RRR += 
ydsydsyds fAfAfA ... 21 += � 21 sss AAA += 
 
ml
w
d k
db
M
2
1
.
= 
 
d
Mk
A dals
1
1
.
= 
 
)'.(.)'.( 22 ddfAddRM ydsscd −=−= � )'.(
2
2 ddf
M
A
yd
d
s
−
= 
 
)'.(''
 )'.(''
'.' )'.(
:Comprimida Armadura
2
2
2
dd
M
A
ddAM
A RcomoddRM
s
d
s
ssd
ssscscd
−
=
−=
=−=
σ
σ
σ
 
O valor da tensão de compressão do aço s'σ corresponde à deformação 
,
sε , de acordo 
com os diagramas tensão x deformação do aço utilizado. Assim, da expressão 
 
 
cds
x
dx
εε .
'
,
−
= 
e com 
 
 dKx xl .= 
 
determina-se o valor de 'sσ pelas relações 
 71
 
 Se ''' . sssycds E εσεε =⇒< 
 
 Se ycdsycds f=⇒≥ '' σεε 
 
ydycd ff = 
 
Obs.: considerando que o valor de 'sA é menor do que o valor de sA , os valores de d’ podem ser 
tomados como sendo iguais aos de d” na condição de vigas “pouco solicitadas”. 
 
 
9.4 VERIFICAÇÕES PARA A ARMADURA LONGITUDINAL DE FLEXÃO 
 
Depois de calculada e escolhida a armadura longitudinal para os momentos extremos 
(positivos e negativos) de cada tramo, deve-se verificar os seguintes parâmetros: 
 
 
9.4.1 ARMADURA MINIMA DE FLEXÃO (TRAÇÃO) - a armadura mínima de tração para 
vigas deve ser determinada pelo dimensionamento da seção sujeita a um momento fletor 
mínimo, respeitando-se uma taxa mínima absoluta de 0,15%. Considerando-se aço CA50, 
4,1=cγ , 15,1=sγ e 8,0/ =hd , as taxas mínimas )/( min,min cs AA=ρ a serem verificadas 
para uma seção de formato retangular são: 
 
 Para concretos usuais de classe até C50: 
 
Fck (Mpa) 20 25 30 35 40 45 50 
minρ (%) 0,150 0,15 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 
 
 Para concretos de alto desempenho (C55 a C90): 
 
Fck (Mpa) 55 60 65 70 75 80 85 90 
minρ (%) 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
 
Obs.: considerando-se os valores para concretos convencionais, estes valores são menores 
daqueles estipulados na versão da NBR 6118/2007, sendo que a tabela não contempla mais 
seções de formato T ou circular. 
 
Assim, tem-se para armadura longitudinal mínima: 
 
 cs AA .minmin ρ= , com hbA wc = 
 
- a NBR 6118 não prevê a consideração de armadura mínima de compressão ( 'sA ), devendo-
se tomar o cuidado de verificar a quantidade mínima de armadura para servir de porta-
 72
estribo (no mínimo duas barras quando se tem estribo simples, e no mínimo quatro barras 
quando se tem estribo duplo, com diâmetro pelo menos igual ao do estribo); 
- como consideração para armadura principal é aconselhável que se use pelo menos duas 
barras de 8,0 mm. 
 
9.4.2 ARMADURA MÁXIMA DE FLEXÃO - para assegurar condições de ductilidade e evitar 
possíveis nichos de concretagem devido a um acúmulo de armadura, não se deve tolerar que a 
área total da armadura longitudinal (armadura tracionada + armadura comprimida) numa seção 
de concreto fora da zona de emendas ultrapasse 4% desta, ou seja: 
 
dbA ws .%.4max ≤ 
9.4.3 ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS LONGITUDINAIS (DISTÂNCIA ENTRE FACES) 
 
 O espaçamento mínimo entre faces de barras longitudinais deve ser garantido para 
atender boas condições de execução do concreto (lançamento, adensamento, vibração, etc), e 
seus valores são: 
- espaçamento horizontal (e h ): o maior valor entre 2 cm, diâmetro da barra, do feixe ou da 
luva ou 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado; 
- espaçamento vertical (e v ): o maior valor entre 20 mm, diâmetro da barra, do feixe ou da 
luva ou 0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado. 
 
Observações: 
a) para feixes de n barras deve-se considerar o diâmetro do feixe ( nn φφ = ), e no caso 
de emendas por traspasse pode-se também aplicar os valores acima, garantindo o 
espaçamento mínimo ao longo de todo o trecho; 
 
b) quando existirem mais de 2 camadas de armadura, deve-se lembrar de deixar espaço 
para o posicionamento do vibrador (largura maior ou igual ao diâmetro do vibrador + 2 
cm). Os vibradores existentes no mercado nacional possuem diâmetros de 25, 35, 45 e 
60 mm; 
 
c) de acordo com o tamanho da brita empregada no concreto, tem-se o diâmetro máximo 
do agregado segundo a tabela abaixo, lembrando-se que o diâmetro mais utilizado 
corresponde à brita 1: 
 
BRITA 0 1 2 3 
agred max, (mm) 4,8 a 9.5 9,5 a 19 19 a 25 25 a 38 
 
d) os valores mínimos de espaçamentos devem ser obedecidos também nas regiões em que 
houver emendas por transpasse de barras. 
 
 73
9.4.4 NÚMERO DE BARRAS POR CAMADA: conhecidos os valores mínimos exigidos para o 
espaçamento vertical e horizontal entre as barras que compõem a armadura, pode-se estipular 
o número máximo de ferros por camada: 
 
 )(
)(
h
h
e
ea
n
+
+
≤ φ 
 
onde a representa a distância interna entre os ramos dos estribos, φ o diâmetro da armadura 
longitudinal usada, c o recobrimento (da armadura da viga, e tφ o diâmetro da armadura 
transversal (estribo simples), devendo-se analisar convenientemente no caso de se usar estribo 
duplo ou triplo: 
 
 a = b w – 2.(c + tφ ) 
 
9.4.5 CONSIDERAÇÃO DO CG DA ARMADURA: os esforços na armadura de tração ou de 
compressão podem ser considerados concentrados no centro de gravidade das armaduras 
correspondentes se a distância deste centro à face interna do estribo, medida normalmente a 
esta, for menor que 10% de h. Desta forma, admite-se que o valor de “d” anteriormente 
arbitrado corresponde ao valor real de “d” obtido com a armadura calculada e escolhida. 
 
 
9.5 VIGAS “T” 
 
 Em um pavimento formado por lajes e vigas interligadas (estrutura monolítica), pode-
se afirmar que esses elementos trabalham de modo dependente, ou seja, em conjunto. 
Portanto, quando a viga apresenta deformação, uma parte da laje se deforma juntamente com a 
viga, havendo uma distribuição de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na 
estrutura, de uma forma mais realista. Pode-se então afirmar que uma viga T constituída de 
alma (parte vertical) e mesa (parte horizontal) resiste a esforços maiores que as vigas de 
seção retangular, pois há um aumento considerável da rigidez. 
 Ao se analisar um corte feito em qualquer seção de uma laje com diversas vigas, vê-
se que este piso pode ser associado a um conjunto de vigas T, trabalhando lado a lado. Vale 
ressaltar que não é toda a superfície da laje que trabalha em conjunto com a viga, mas sim 
apenas uma faixa de laje denominada de largura colaborante. 
 A largura colaborante b f , onde se pode considerar uma distribuição uniforme de 
tensões, deve ser dada pela largura da viga b
w
 acrescidade no máximo 10% da distância “a” 
entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante 
(somente para lajes maciças). 
 A distância “a” (distância entre pontos de momento fletor nulo) pode ser estimada, 
em função do comprimento L do tramo da viga considerado, como se apresenta a seguir: 
 - viga simplesmente apoiada .......................................... a = 1,00 L 
 - tramo com momento em uma só extremidade......... a = 0,75 L 
 - tramo com momentos nas duas extremidades ....... a = 0,60 L 
 - tramo em balanço .......................................................... a = 2,00 L 
 74
 
 No cálculo da largura colaborante b f é necessário também definir os limites b 1 e b 3
, conforme figura a seguir: 
 
 
 
Onde: 
b w - largura real da nervura da viga; 
b a - largura fictícia da nervura (se tiver mísula); 
b 2 - largura entre duas nervuras fictícias sucessivas; 
b 1 - largura de contribuição da laje quando existir uma outra viga com a mesma laje 
contribuindo; 
b 3 - largura de contribuição da laje quando a mesma termina em balanço; 
b 4 - comprimento do balanço. 
 
Obs.: cuidados especiais devem ser tomados quando a laje apresentar aberturas ou 
interrupções na região da mesa colaborante. 
 
 
9.4.1 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES – uma viga de 
concreto armado, composta por uma alma e uma mesa, só será considerada seção “T” quando a 
mesa ou parte da alma estiverem comprimidas, caso que ocorre por exemplo com momentos 
“positivos”. Consequentemente, nos trechos de momentos junto aos apoios, provavelmente a 
seção da viga será considerada como retangular. Por isto, num dimensionamento da armadura 
longitudinal com contribuição das lajes, é importante saber onde a LN está posicionada 
(cortando a mesa, ou cortando a alma). Assim, o momento máximo resistido pelas abas com 
largura de contribuição b f será: 
 75
 
 )
2
.(...85,0 fffdl
h
dhbfcdM −= 
 
• caso em que a LN corta a mesa (y ≤ h f ): neste caso, o momento atuante M d é menor 
que o momento limite anteriormente calculado ( dlM ), e o dimensionamento pode ser 
feito com as fórmulas de seção retangular, porém com seção resistente igual a dxb f . 
 
• caso em a LN corta a alma (y > h f ): neste caso, o momento atuante M d é maior que o 
momento limite anteriormente calculado ( dlM ), e deve-se calcular separadamente a 
contribuição da mesa e da alma da seção T. Ou seja, é possível utilizar as tabelas tipo 
“k” para seções retangulares calculando-se inicialmente o momento resistido pela mesa, 
e o restante do momento sendo resistido pela alma. 
 
= 
 
 76
 
 
+ 
 
 
 
 
Da figura anterior tem-se que: 
 
 21 ddd MMM += 
 
 21 sss AAA += 
 
 )2/.(85,0.).(. 111 fcdfwfccd hdfhbbzRM −−== 
 
 )2/.(.. 1111 fydsstd hdfAzRM −== 
 
 
 77
Desta forma: 
 
 )2/.(
1
1
fyd
d
s hdf
M
A
−
= , que é a armadura referente às abas da mesa comprimida. 
 
 
 12 ddd MMM −= 
 
 
 Com o valor de 2dM , calcula-se uma armadura 2sA com uma seção retangular xdbw , 
sendo que a armadura total de tração será a soma das parcelas anteriores: 
 
 21 sss AAA += 
 
podendo-se ainda assim determinar uma armadura dupla, com certeza muito menor do que 
aquela calculada somente para a seção retangular original. 
 
9.4.2 OBSERVAÇÕES PARA VIGA T: nas vigas de seção T ou seção caixão, as partes das 
mesas tracionadas ou comprimidas situadas fora da alma devem ser ligadas a ela através de 
uma armadura de costura para garantir o cisalhamento e uma maior solidariedade entre a mesa 
e a nervura. Esta armadura horizontal é determinada com o auxílio da analogia de treliça, 
admitindo-se bielas de compressão inclinadas a 45 graus devendo se constituir em armadura 
com área mínima de 1,5 cm2/m. Quando a armadura da laje for posicionada na face inferior e 
superior da mesa, esta substitui o fechamento do estribo, na região de momentos negativos. A 
armadura de costura é distribuída uniformemente na parte superior e inferior da laje. Caso 
exista uma armadura de tração na laje, superior a 50% da armadura de costura necessária, ela 
é suficiente como armadura de costura, na zona tracionada, bastando colocar na zona 
comprimida da laje, a parcela restante da armadura de costura. 
 No caso da mesa estar tracionada, caso frequente em momentos negativos, não se 
considera a colaboração da mesa e calcula-se a viga como retangular xhbw . 
 78
10 ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGAS 
 
Obs.: o dimensionamento da armadura transversal de vigas será visto somente para concretos 
com Mpafck 50≤ . Para concretos de alto desempenho, o dimensionamento será visto em 
capítulo a ser anexado a esta apostila. 
 
 
10.1 TIPOS DE RUPTURA 
 
 Como as vigas de concreto armado possuem um comportamento bastante complexo 
em vista de não serem de material homogêneo e isótropo, deve-se fazer uma análise dos 
diversos tipos de ruptura que podem acontecer: 
 
a) ruptura por flexão - é uma ruptura dúctil, com as fissuras originando-se 
aproximadamente ortogonais à armadura de flexão, numa região em que a tensão de 
tração atinge seu máximo, superando a resistência à tração do concreto. Nas vigas 
dimensionadas nos domínios 2 ou 3, a ruína ocorre após o escoamento da armadura, 
ocorrendo abertura de fissuras e deslocamentos excessivos (flechas), que servem 
como “aviso” da ruína. Nas vigas dimensionadas no domínio 4, a ruína se dá pelo 
esmagamento do concreto comprimido, não ocorrendo escoamento da armadura nem 
grandes deslocamentos, o que caracteriza uma “ruína sem aviso”; 
 
b) ruptura por falha de ancoragem no apoio - em decorrência do efeito de arco, a 
armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio. No caso de ancoragem 
insuficiente, pode ocorrer o colapso na junção da diagonal comprimida com o banzo 
tracionado, junto ao apoio. A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente, 
usualmente se propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da 
viga; 
c) ruptura por esmagamento da biela – quando a tensão principal de compressão supera a 
resistência à compressão do concreto em uma determinada seção, principalmente no 
caso de seções muito pequenas, pode ocorrer uma ruptura por esmagamento do 
concreto. A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior da capacidade 
resistente da viga à força cortante; 
 
d) ruptura da armadura transversal – a ruptura da armadura transversal equivale a uma 
ruína por cisalhamento, quando existe deficiência da armadura transversal. Nesta 
situação a peça tende a se dividir em duas partes; 
 79
 
 
e) ruptura do banzo comprimido devido ao cisalhamento – este tipo de ruptura acontece 
por ineficiência da armadura transversal, fazendo com que ela entre em escoamento 
provocando fissuras inclinadas, que podem invadir a região que está sujeita à 
compressão por flexão. Com o surgimento destas fissuras, há uma diminuição da altura 
comprimida e consequentemente da seção a ser resistida pelo concreto, a qual pode 
então sofrer esmagamento; 
 
 
 
f) ruína por flexão localizada da armadura longitudinal - quando existem grandes 
aberturas de fissuras de cisalhamento, a armadura transversal pode sofrer 
deformações bastante significativas. O deslocamento relativo das seções adjacentes 
pode então acarretar uma flexão localizada da armadura longitudinal, provocando mais 
um tipo de ruína devido ao cisalhamento; 
 
 
 
 
 80
10.2 MODELOS DE TRELIÇA 
 
 
 Os modelos de treliça (bielas e tirantes) servem para a análise, dimensionamento e 
detalhamento das vigas de concreto estrutural, baseando-se no equilíbrio estático e nas 
tensões de escoamento (aço) e ruptura (concreto). O modelo de treliça generalizada foi 
aperfeiçoado por Fritz Leonhardta partir do modelo simplificado da treliça de Ritter-Mörsch, 
considerando-se que: 
- o elemento é linear de material homogêneo, trabalhando em regime elástico, estendendo-
se até o concreto fissurado; 
- o comportamento da viga é análogo ao de uma treliça isostática; 
- o banzo inferior tracionado corresponde à armadura longitudinal de flexão As; 
- o banzo superior comprimido representa a zona comprimida de concreto situada acima da 
linha neutra (LN); 
- os montantes tracionados representam os estribos que formam a armadura transversal 
para resistir a força cortante; 
- as diagonais de concreto inclinadas de 45 graus são as bielas comprimidas. 
 
 
 
 
 Seja um trecho de viga fissurada, onde é mostrada uma seção através de fissura: 
 
 
 
 Da figura anterior, tem-se: 
 
θ - ângulo de inclinação das bielas de concreto; 
 81
α - ângulo de inclinação das barras transversais de aço, em relação ao eixo longitudinal da 
peça ( oo 9045 ≤≤ α ); 
s – espaçamento entre as barras transversais; 
αα σ,A - área e tensão de uma barra transversal; 
z – braço de alavanca interna (z d9,0≅ ); 
sV - força cortante solicitante. 
 Ainda da figura anterior, e analisando-se o equilíbrio estático das forças verticais, 
tem-se que a força cortante resistida pela armadura transversal é: 
 
 ασαθ αα sen)cot(cot Agg
s
zVs += 
 
 A partir desta equação, serão definidas todas as equações relativas ao 
dimensionamento e às verificações da armadura transversal. 
 
 
10.3 VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA 
 
 A resistência de uma peça numa determinada seção transversal é verificada para um 
determinado esforço cortante )( sdV através da verificação simultânea da condição de 
integridade da biela comprimida ( 2RdV ) e da verificação da armadura ser capaz de absorver o 
esforço considerado ( 3RdV ), ou seja, deve-se verificar a integridade das diagonais tracionadas. 
Assim: 
 
 2Rdsd VV ≤ 
e 
 swcRdsd VVVV +=≤ 3 
 
onde: 
sdV - força cortante solicitante de cálculo, na seção considerada; 
V 2Rd - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de 
concreto, de acordo com o modelo adotado (I ou II); 
3RdV - é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; 
cV - é a parcela correspondente aos mecanismos internos resistentes, ou seja, é a parcela da 
força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça sem consideração da 
armadura transversal. Esta parcela é considerada devido ao fato de que regiões onde as 
fissuras não existem podem contribuir na resistência ao esforço cortante, aliviando os 
esforços a serem resistidos pela armadura transversa. 
swV - é a parcela absorvida exclusivamente pela armadura transversal (não resistida pelo 
mecanismo complementar de treliça), de acordo com o modelo adotado (I ou II). 
 
 82
- modelo de cálculo I – adota o modelo da treliça clássica, com bielas comprimidas a 45 
graus, e a parcela da força cortante resistida pelos mecanismos complementares da treliça 
(
cV ) é tomada constante e independente de sdV ; 
- modelo de cálculo II – adota o modelo de treliça generalizada, com bielas comprimidas 
variando entre 30 e 45 graus, e a parcela de força cortante resistida pelos mecanismos 
complementares da treliça ( cV ) sofrendo redução com o aumento de sdV . 
 
 Na disciplina de CAR-I será utilizado o modelo de cálculo I, segundo o qual: 
 
 dbfV wcdVRd ....27,02 α= 
e 
 
250
1 ckV
f
−=α , com f ck dado em Mpa. 
 
 O termo anterior ( Vα ) é o coeficiente de efetividade do concreto. 
 
 Ainda para o modelo I aqui adotado, tem-se: 
 
 dbfV wctdc ...6,0= 
 
Sendo 
 
 cctkctd ff γ/inf,= 
 
 Para facilitar os cálculos, pode-se utilizar os valores da tabela abaixo: 
 
ckf (Mpa) 20 25 30 35 40 45 50 
Vα 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84 0,82 0,80 
ctdf (Mpa) 1,11 1,29 1,47 1,62 1,78 1,92 2,06 
 
Obs.: para concretos de alto desempenho, deve-se montar tabela segundo as fórmulas vistas 
em capítulo anterior. 
 
10.4 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL 
 
 Considerando o modelo I de cálculo da armadura transversal e tomando sdRd VV =3 , 
pode-se dizer que a parcela do esforço cortante a ser resistida pela armadura, descontando-se 
a parcela correspondente aos mecanismos complementares ao de treliça é: 
 
 csdsw VVV −= (valor de cálculo, majorado pelos fatores de segurança) 
e ainda: 
 
 83
 )cos.(sen.9,0).( αα += ywdswsw fd
s
A
V 
 
 Para combater as tensões inclinadas de tração que surgem numa viga devido à parcela 
que não pode ser resistida pelos mecanismos complementares de treliça (fissura inclinada), 
deve-se usar uma armadura transversal, composta por estribos retos e/ou inclinados, 
combinados ou não com barras dobradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra dobrada Estribo reto Estribo inclinado 
 
 Então, no caso de se usar estribos verticais, a armadura transversal pode ser 
calculada através da expressão 
 
 
ywd
swse
fd
V
s
A
.9,0
= 
 
 Para barras dobradas com ângulo de inclinação de 45 o , a armadura transversal é 
dada por 
 
 
2..9,0 ywd
swsd
fd
V
s
A
= 
 
 Pela fórmula anterior, observa-se que a utilização de estribos inclinados é mais 
eficaz que na utilização de estribos retos, porém exigindo um pouco mais de trabalho em 
termos de mão-de-obra. 
 Nas fórmulas anteriores ywdf é a tensão de escoamento de cálculo no aço da 
armadura transversal, limitada a 70% de seu valor no caso de barras dobradas resistindo à 
força cortante, tendo-se para limite máximo dessa tensão o valor de 435 MPa, valor este 
correspondente à tensão de escoamento de cálculo do aço CA 50. O valor de 0,9d equivale 
 84
aproximadamente à distância entre o banzo superior e inferior da treliça generalizada e swV 
corresponde à parcela (de cálculo) a ser combatida pela armadura transversal. 
 Na escolha entre estribos verticais e barras dobradas, deve-se ainda levar em 
conta: 
 
a) barras dobradas: 
- a execução é mais difícil; 
- não podem ser utilizados sem a presença de estribos verticais; 
- o controle de fissuração fica prejudicado, porque os diâmetros das barras normalmente são 
grandes. 
 
b) estribos verticais: 
- a execução e a montagem são mais fáceis; 
- a aderência e o controle de fissuração são mais favorecidos, por causa da melhor distribuição 
e dos menores diâmetros envolvidos; 
- os estribos auxiliam na montagem da armadura longitudinal; 
- os estribos podem reduzir sozinhos a todo o esforço cortante. 
 
 
10.5 ARMADURA TRANSVERSAL MÍNIMA 
 
 Mesmo para solicitações muito pequenas de cisalhamento, deve-se prever uma 
armadura transversal mínima, dada pela taxa geométrica 
 
 
ywk
ctm
w
sw
sw f
f
bs
A
2,0
sen..
≥=
α
ρ 
 
onde: 
swA - representa a área da seção transversal dos estribos; 
 S - espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da peça; 
α - inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural 
)9045( oo ≤≤ α ; 
b
w
- largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção; 
ctmf - resistência do concreto à tração direta média: 
 
 3/23,0 ckctm ff = (para concretos com Mpafck 50≤ ); 
 
ywkf - tensão característica de escoamento da armadura transversal, limitada a 500 Mpa. 
 
 No caso de se usar somente estribos verticais ( o90=α , sen o90 = 1), tem-se 
 
w
ywk
ctmse bf
f
s
A
.2,0
min
≥
 85
 
 Considerando-se ainda que a expressão acima pode ser escrita em função de um 
termo constante K, pode-se utilizar a seguinte tabela: 
 
 w
se bK
s
A
.
min
≥ ( mcm /2 ) 
 
fck (Mpa) 15 20 25 30 35 40 45 50 
K 0,073 0,088 0,103 0,116 0,128 0,14 0,1520,163 
 
Obs.: para concretos de alto desempenho, deve-se montar a tabela segundo as fórmulas vistas 
em capítulo anterior. 
 
10.6 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL AO LONGO DE UM VÃO DE 
VIGA 
 
 Como existe uma variação de esforço cortante ao longo do vão de uma viga, pode-se 
também variar a armadura transversal no vão de acordo com a intensidade destes esforços. 
Depois de se localizar no diagrama o esforço minkV correspondente à armadura transversal 
mínima e a cV (cuidado que este valor é de cálculo, e o diagrama de esforço cortante é 
característico !!), pode-se dividir o “restante” do vão da viga em trechos de comprimento ia 
entre 50 cm a 100 cm (ou L/10, onde L é comprimento do trecho considerado), e calcular para 
cada trecho um cortante ikV médio e uma armadura transversal correspondente. 
 Usando-se somente estribos retos, tem-se que o esforço cortante último capaz de 
ser absorvido pela armadura transversal mínima é 
 
 ywd
se
d fd
s
A
V .9,0.
min
min
= 
 
 Este último valor calculado corresponde ao cortante mínimo de cálculo, portanto, para 
localizar o valor correspondente característico, deve-se dividir pelo coeficiente de segurança. 
Assim: 
 
 4,1/minmin dk VV = 
 
 Obs.: deve-se observar ainda o esforço 
cV , capaz de ser resistido pelos mecanismos 
internos, e localizar este esforço no diagrama quando necessário. 
 A armadura correspondente a cada esforço cortante médio dos trechos (para 
esforços cortantes majorados) pode ser calculada como 
 
 
ywd
i
sw
i
se
fd
V
s
A
.9,0
= 
 86
 Observa-se que o trecho “s” é considerado como um trecho unitário (1m = 100 cm), 
fornecendo assim uma armadura transversal dada em cm 2 /m. 
 
Obs.: nas regiões dos apoios, deve-se considerar as forças cortantes atuantes nas faces, mas a 
favor da segurança e para simplificar os cálculos, serão utilizados os valores relativos aos 
eixos dos apoios. 
 
 
10.7 PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES PARA A ARMADURA TRANSVERSAL 
 
 Tendo sido calculada a armadura transversal juntamente com a verificação da 
resistência da peça, deve-se escolher uma bitola e um espaçamento correspondentes. Os 
estribos que são calculados para resistir aos esforços cortantes devem ser fechados através 
de ramos horizontais envolvendo a barra da armadura longitudinal de tração. Para o 
fechamento, pode-se considerar que o gancho é semi-circular com 5 cm para cada lado, e o 
detalhamento pode ser numa escala 1:20 ou 1:25, devendo incluir a numeração, o diâmetro e o 
comprimento do estribo. Por exemplo, para uma viga 15x50, com recobrimento de 3 cm, o 
detalhamento de um estribo simples (dois ramos) pode ser feito como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No arranjo das armaduras, não se deve esquecer que a armadura, além de atender a 
sua função estrutural, deve também ser verificada quanto às condições de execução, 
principalmente quanto ao lançamento e adensamento do concreto, evitando-se o acúmulo de 
armadura, e consequentemente evitando a segregação dos agregados e ocorrência de vazios no 
interior da peça. 
 Os aspectos a serem verificados são: 
 
10.7.1 DIÂMETRO DO ESTRIBO: o diâmetro do estribo a ser utilizado deve atender: 
 
 mme 5≥φ (barras) 
 
 mme 2,4≥φ (telas, com precauções contra a corrosão da armadura) 
 
 10/we b≤φ 
 
Obs.: estribos de barras lisas não poderão ter diâmetro superior a 12 mm. 
 
N34 (116) 5,0 44 
9 
 87
10.7.2 ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL ENTRE OS ESTRIBOS: o espaçamento 
longitudinal entre estribos deve permitir a penetração do vibrador para um adequado 
adensamento do concreto, obedecendo-se aos seguintes limites máximos, tendo-se em conta a 
magnitude da força cortante dV comparada a 0,67 2RdV : 
- se 267,0 Rdd VV ≤ � 
cm
d
s
30
6,0
max ≤ 
 
- se 267,0 Rdd VV > � 
cm
d
s
20
3,0
max ≤ 
 
 Para valores práticos, muitos calculistas preferem trabalhar com espaçamentos 
múltiplos de 2,5 cm ou 5 cm, ou seja, espaçamentos de 10, 12,5, 15, 17,5 .... ou 10, 15, 20, 
25...preferencialmente. 
 No caso de usar barras dobradas, o espaçamento máximo longitudinal é de 
 
 )cot1(6,0max αgds += , onde α é a inclinação da barra dobrada. 
 
10.7.3 ESPAÇAMENTO TRANSVERSAL ENTRE RAMOS SUCESSIVOS DE ESTRIBOS: o 
espaçamento transversal entre ramos sucessivos dos estribos vai determinar a utilização de 
estribos simples, duplos ou triplos. Assim, deve-se obedecer: 
 
- se 22,0 Rdd VV ≤ � 
cm
d
s t 80max,
≤ 
 
- se 22,0 Rdd VV > �
cm
d
st 35
6,0
max, ≤ 
 
Obs.: pela NBR 6118:1980 utilizava-se estribo duplo para cmbw 40≥ , estribo triplo para 
cmbw 60≥ , e assim por diante, independentemente do valor do esforço cortante na seção em 
questão. 
 Como exemplo de detalhamento de estribo duplo, para uma viga com dimensões 
45x70cm, recobrimento de 3 cm, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
64 
(2x)N23(190)
 88
10.7.4 OBSERVAÇÕES GERAIS PARA O DETALHAMENTO – quando se faz o detalhamento 
da armadura transversal, deve-se observar que para não haver sobreposição de armadura os 
estribos devem estar dispostos entre faces (internas) de apoios, e que no caso de aplicação de 
uma carga concentrada, esta posição deve estar conveniente armada com estribos, pelo lado do 
diagrama de esforço cortante que possui maior valor. 
 
10.8 SEQUÊNCIA PARA DETERMINAÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL DAS VIGAS 
 
a) traçado do diagrama de esforço cortante (característico); 
b) verificação dos critérios de resistência, e caso não satisfaça, alterar a seção transversal 
da peça; 
c) cálculo da armadura mínima correspondente a minseA ; 
d) cálculo do esforço cortante característico mínimo, capaz de ser absorvido pela armadura 
mínima ( minkV ) e do esforço relacionado aos mecanismos internos de treliça ( cV /1,4), e 
localização destes esforços no diagrama de esforço cortante; 
e) divisão do diagrama de esforços cortantes para cortantes maiores que o mínimo em 
trechos de 50 a 100 cm, podendo-se desprezar trechos menores que 50 cm; 
f) determinação de c
i
d
i
sw VVV −= para cada trecho determinado anteriormente; 
g) cálculo da armadura transversal correspondente ( mcm /2 ) para cada trecho; 
h) escolha da bitola e espaçamento, com verificações dos espaçamentos transversais e 
longitudinais máximos; 
i) detalhamento da armadura transversal. 
 
 
10.9 CONSIDERAÇÃO DAS CARGAS PRÓXIMAS AOS APOIOS 
 
 Quando tivermos um apoio direto (carga e reação de apoio aplicadas em faces 
opostas de uma viga, comprimindo-a) pode-se fazer uma redução de esforço cortante, nos 
casos em a carga concentrada estiver aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio. 
Pode-se também reduzir a força cortante oriunda de carga distribuída, como sendo o valor do 
cortante numa seção situada a uma distância d/2 da face do apoio. A redução só é válida para o 
cálculo da armadura transversal, não podendo ser feita para verificação da tensão (verificação 
da resistência à compressão na biela de concreto). Para apoios indiretos essas reduções não 
são permitidas. 
 Redução devido à carga concentrada: este tipo de redução é bastante 
utilizado no caso de vigas de transição em edifícios, onde, para melhorar a questão do número 
de vagas da garagem e espaço para manobras, torna-se necessário mudar o posicionamento de 
algum pilar, fazendo-o “nascer” na viga em questão e próximo a um pilar “que morre”. Na 
disciplina de CAR-I permite-se considerar hd ≅ . 
 89
 
 
rkk
red
k Vh
aVV ).
2
1( −−= 
 
 Na expressão acima rkV é a parcela do esforço cortante no apoio considerado, 
devido somente à carga concentrada kR . 
 
 Redução devido à carga distribuída: esta redução só se justifica para alturas deviga e valores de carga distribuída relativamente grande, sendo dificilmente usada em 
situações normais de carregamentos em edifícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d/2 
d 
 90
10.10 CONSIDERAÇÃO DE ESTRIBOS E BARRAS DOBRADAS 
 
 Já vimos que a armadura transversal (A
sw ) pode ser constituída por estribos (retos 
ou inclinados, com ângulo maior ou igual a 45 graus, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela 
composição de estribos e barras dobradas. No caso de se utilizar uma composição de estribos 
e barras dobradas, estas últimas não poderão absorver mais do que 60% do esforço total 
resistido pela armadura. 
 
 dddesw VVV += 
 
 ⇒≤ swdd VV .6,0 esforço transversal (cortante) de cálculo resistido por barras 
dobradas; 
 
 ⇒−= ddswde VVV esforço transversal (cortante) de cálculo resistido por estribos. 
 91
11 DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGAS 
 
 
 Para se detalhar a armadura longitudinal (tração ou compressão) de uma viga, deve-se 
seguir uma sequência baseada em conceitos anteriormente vistos, e em conceitos a serem 
explicados neste capítulo. O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função 
estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao 
lançamento e adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do 
vibrador de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do 
elemento estrutural. 
 
11.1 DESLOCAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR 
 
 Segundo o modelo I de cálculo, a NBR 6118 indica que quando a armadura longitudinal 
de tração for obtida considerando o equilíbrio de forças na seção normal ao eixo do elemento 
estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo 
pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, e que pode ser substituída 
aproximadamente pela decalagem do diagrama de momentos fletores: 
 
 dgg
VV
V
da
csd
sd
l ≤








−+
−
= αα cot)cot1().(2 max,
max, 
 
E também: 
 dal 5,0≥ nos casos gerais; 
 dal 2,0≥ nos casos de se usar estribos inclinados a 45 graus. 
 
 Na fórmula anterior, α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação 
ao eixo longitudinal da peça (45o ≤≤ α 90o ), sendo que cV corresponde à parcela dos 
mecanismos internos resistentes, conforme visto no capítulo anterior: 
 
 dbfV wctdc ...6,0= 
 
No caso de se usar armadura transversal (estribos) normal ao eixo peça, a fórmula 
anterior é simplificada para: 
 
d
VV
V
da
csd
sd
l ≥








−
= ).(2 max,
max, 
 
O deslocamento do diagrama de momento fletor é fundamentado no comportamento 
previsto para resistência da viga à força cortante, em que se considera que a viga funcione 
como uma treliça, com banzo comprimido e diagonais (bielas) formadas pelo concreto, e banzo 
tracionado e montantes constituídos respectivamente pela armadura longitudinal e pelos 
 92
estribos. Nesse modelo há um acréscimo de esforço na armadura longitudinal de tração, que é 
considerado através de um deslocamento la do diagrama de momentos fletores de cálculo. 
 
 Na disciplina de CAR I, considerando vigas de altura e carregamento “normal”, será 
considerado o valor de dal = . 
 
11.2 ANCORAGEM DAS BARRAS 
 
 Para se determinar o comprimento das barras longitudinais tracionadas nas vigas, 
deve-se, após se ter traçado o diagrama de momento fletor e tê-lo deslocado de um valor a l , 
dividir os pontos correspondentes aos máximos momentos positivos e negativos do diagrama em 
tantos segmentos quantos forem as barras necessárias para absorver o momento fletor. A 
partir da extremidade da barra de tração considerando o diagrama deslocado (ponto onde a 
barra não é teoricamente mais necessária, podendo transferir esforços para o concreto), 
considera-se a ancoragem l b , lembrando-se que a ancoragem pode ser diminuída na relação 
susadoscal AA / . 
 93
 
 
Em outras palavras, o trecho da extremidade da barra de tração, considerado como de 
ancoragem, tem início na seção teórica onde sua tensão 
sσ começa a diminuir, ou seja, o 
esforço da armadura começa a ser transferido para o concreto. A barra deve prolongar-se pelo 
menos 10φ além do ponto teórico de tensão sσ nula, não podendo em nenhum caso ser inferior 
ao comprimento de ancoragem necessário. 
Assim, na armadura longitudinal de tração das peças fletidas, o trecho de ancoragem 
da barra terá início no ponto A do diagrama de forças dMR dsT = deslocado. Se a barra não 
for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10φ . Se a barra 
for dobrada, o início do dobramento poderá coincidir com o ponto B da figura anterior. 
 
Observações: 
- em vigas de um só vão, em que L/d ≥8, isto é, vigas de grandes vãos e pequena altura, 
submetidas a cargas uniformemente distribuídas, em geral não compensa o escalonamento da 
armadura longitudinal, pois praticamente todas as barras estão muito próximas do apoio, não 
havendo então necessidade de escalonamento, pois neste caso não há economia significativa de 
aço. A armadura longitudinal deve ser distribuída uniformemente ao longo do comprimento da 
viga. 
- o uso de barras dobradas não é viável economicamente, devendo ser utilizadas somente 
quando o espaçamento entre os estribos for muito pequeno (e ≤ 7 cm). Por outro lado, sua 
utilização é uma boa alternativa no caso de vigas bastante solicitadas, como é o caso de vigas 
de pontes de concreto armado: 
 94
 
 
11.3 ANCORAGEM NOS APOIOS EXTREMOS 
 
De acordo com a NBR 6118, a armadura longitudinal de tração junto aos apoios deve ser 
calculada para satisfazer a mais severa das seguintes condições: 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, a armadura obtida através do 
dimensionamento da seção; 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, deve-se ter uma 
armadura capaz de resistir a uma força de tração 
stR dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
Va
R dlst
.
= 
 
onde V d é a força cortante a ser ancorada no apoio. 
 A armadura necessária para resistir a esse esforço, com tensão yds f=σ , é dada por: 
V 
R 
 95
 
yd
st
necs f
RA =
,
 
 
Então, o valor da ancoragem no apoio é 
 
 
efs
necs
bnecb A
A
ll
,
,
1, ..α= 
 
onde efsA , é a quantidade de armadura efetivamente existente no apoio considerado, levando-
se em conta o diagrama de momento fletor deslocado; 
c) mesmo que através do diagrama deslocado algumas barras não cheguem até a linha de apoio, 
deve-se prolongar para os apoios extremos e intermediários uma parte da armadura de tração 
calculada no vão ( vaosA , ), a saber: 
A ≥apoios, vaosA ,3/1 se M apoio for nulo ou negativo e de valor absoluto apoioM vaoM5,0≤ 
vaosapoios AA ,, 4/1≥ se M apoio for negativo e de valor absoluto apoioM > 0,5M vao . 
 
 De modo geral, isto significa que obrigatoriamente deve-se levar 1/3 da armadura 
calculada no vão para os apoios externos, e 1/4 da armadura calculada no vão para os apoios 
internos. 
 Além de se verificar a armadura mínima que se deve levar até o apoio, deve-se cuidar 
para que se leve o número mínimo de “ferros porta-estribos”. Assim, para estribo simples 
deve-se ter no mínimo dois ferros em todo o comprimento da viga. Para estribo duplo, deve-se 
ter pelo menos quatro ferros servindo de porta-estribo em todo o comprimento considerado. 
 As barras de armadura calculadas segundo a equação anterior, e verificando os 
valores de taxa mínima (lembrando-se que no caso de estribos simples deve-se levar até o 
apoio pelo menos duas barras para servirem de porta-estribos, no caso de estribos duplos pelo 
menos quatro barras, e assim por diante), devem ser ancoradasa partir da face do apoio, com 
comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores: 
 
 - min
, bnecb ll ≥ 
 - )5,5( φ+r (r é o raio de curvatura interno do gancho) 
 - 6 cm. 
 
 
 96
 
 Quando existir uma ligação viga-pilar de extremidade, o momento existente deve ser 
resistido por uma armadura devidamente ancorada: 
 
 
 
 Segundo a NBR 6118, quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, 
medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 7 cm e as ações acidentais não 
ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo, o valor de necbl , pode ser 
desconsiderado, prevalecendo as duas últimas condições ( cmr 6,5,5 φ+ ). 
 Conforme já visto nos itens anteriores, pode-se utilizar ganchos nas extremidades 
das barras da armadura longitudinal de tração, quando por exemplo não houver distância 
disponível para ancorar a armadura e com as seguintes opções: 
 
 
efet
s
nec
s
bb A
All
nec
..1α= 
 97
 
 
 
 Também conforme visto anteriormente, o diâmetro dos pinos de dobramento deve 
obedecer: 
 
 
11.4 ANCORAGEM NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS 
 
 De acordo com a figura geral do deslocamento do diagrama de momento fletor e da 
ancoragem das barras visto no item 11.2, tem-se que se o ponto A de início de ancoragem 
estiver na face do apoio interno (viga ou pilar) ou além dele e a força 
stR diminuir em direção 
ao centro do apoio, o trecho de ancoragem deve ser medido a partir dessa face, com a força 
stR dada no item 11.3. Quando o prolongamento das barras a partir do diagrama de momentos 
fletores não atingir a face do apoio, as barras prolongadas até o apoio devem ter o 
comprimento de ancoragem marcado a partir do ponto A e, obrigatoriamente, devem 
ultrapassar um valor de 10φ da face de apoio. 
Quando houver qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa 
região, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeitos de vento e eventuais 
recalques, as barras deverão ser contínuas ou emendadas sobre o apoio. 
 98
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Também se deve tomar muito cuidado no caso de existir armadura dupla (fibras 
inferiores excessivamente comprimidas), situação em que a armadura não pode apresentar 
nenhuma descontinuidade, preferindo-se então passar barras de forma contínua neste apoio. 
Na prática, em edifícios residenciais é comum que se faça o detalhamento abaixo, 
suficiente para a maioria dos casos de ancoragem no meio do vão (medidas em cm): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.5 ARMADURA DE PELE (ARMADURA DE COSTELA, ARMADURA LATERAL) 
 
 Deve-se usar uma armadura de pele para todas as vigas com altura superior a 60 cm. 
A armadura de pele evita a formação de fissuras ao longo da altura da viga, o desprendimento 
do cobrimento de concreto e minimiza os problemas decorrentes da retração e da variação da 
temperatura. Em cada face da alma da viga deve-se usar uma armadura lateral de 
 
 facecmAA almacpeles /5%.10,0 2,, ≤= . 
 
10 10 
 
 99
 Esta armadura deve ser composta por barras de aço CA-50 ou CA-60 (a versão 
anterior da norma considerava somente barras de aço CA-50), com espaçamentos não maiores 
que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios. As armaduras principais de tração e de 
compressão não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele, e na disciplina de CAR-
I será considerada a obrigatoriedade de se usar armadura de pele para alturas de vigas de 60 
cm inclusive! 
 
11.6 DETALHAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES - BARRAS CURVADAS E NÓS DE 
PÓRTICO 
 
 O raio interno de curvatura de uma barra da armadura longitudinal dobrada, para 
resistir à força cortante ou em nó de pórtico, não deve ser menor que 5φ para aços CA25, 7,5
φ para CA50 e 9φ para CA60. Se houverem barras de tração curvadas no mesmo plano e o 
espaçamento entre elas for inferior ao dobro do mínimo permitido, o valor mínimo do diâmetro 
da curvatura será multiplicado pelo número de barras nessas condições. 
 Quando houver tendência à retificação de barra tracionada em regiões em que a 
resistência a esses deslocamentos seja proporcionada por cobrimento insuficiente de 
concreto, a permanência da barra em sua posição deve ser garantida por meio de estribos ou 
grampos convenientemente distribuídos. Deve ser dada preferência à substituição da barra 
por outras conforme a figura a seguir: 
 
 
11.7 MODELO DE DESENHO DA VIGA E DA ARMADURA 
 
 Em geral, as vigas devem ser desenhadas numa escala horizontal 1:50 e numa escala 
vertical adequada (1:20 ou 1:25), num traço 0,4. As linhas de chamada podem ser desenhadas 
num traço 0,2 e a armadura num traço 0,6. A armadura deve ser desenhada dentro da viga, e 
“tirada” para que se possa detalhá-la adequadamente. 
Obs.: 
- alguns escritórios de cálculo “preferem” desenhar tanto os ferros superiores quanto 
inferiores numa posição logo abaixo do desenho da viga. Outros escritórios costumam 
desenhar os ferros superiores acima da viga, e os ferros inferiores abaixo da viga; 
- não é necessário colocar as cotas horizontais, uma vez que as mesmas são redundantes, 
por já terem sido apresentadas na folha de forma; 
- é comum que se comece a numeração pelos estribos das vigas, para depois se numerar 
sequencialmente a armadura longitudinal (para cada viga, da esquerda para a direita, de 
cima para baixo). 
 100
11.8 CONSIDERAÇÃO DE FUROS E ABERTURAS EM VIGAS 
 
 Na construção dos edifícios podem ser necessárias aberturas em vigas com o 
objetivo de permitir a passagem de tubulações e dutos de instalações elétrica, hidráulica ou de 
climatização. A presença de aberturas nas vigas de concreto armado requer atenção especial, 
devido à redução de resistência e da rigidez da viga e ao surgimento de fissuração excessiva 
na região da abertura em função das altas concentrações de tensões, devendo-se fazer 
arranjo especial de armadura na região da abertura. 
 Normalmente os furos têm dimensões pequenas em relação às peças, enquanto as 
aberturas apresentam dimensões relativamente grandes. Furos muito próximos um do outro 
devem ser tratados como aberturas. Para reforço, deve-se usar armadura complementar 
disposta no contorno e nos cantos das aberturas. 
 No caso em que os furos atravessam as vigas na direção da altura, tem-se que: 
 - as aberturas, como furos para passagem de tubulação vertical nas edificações, não 
devem ser superiores a 1/3 da largura dessas vigas nas regiões desses furos; 
 - deve ser verificada a redução da capacidade portante ao cisalhamento e à flexão na 
região da abertura; 
 - a distância mínima de um furo à face mais próxima da viga deve ser no mínimo igual 
a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto para esta face. A seção remanescente nessa 
região, tendo sido descontada a área ocupada pelo furo, deve ser capaz de resistir aos 
esforços previstos no cálculo, além de permitir uma boa concretagem; 
 - no caso de ser necessário um conjunto de furos, os furos devem ser alinhados e a 
distância entre suas faces deve ser de no mínimo 5 cm ou o diâmetro do furo e cada intervalo 
deve conter pelo menos um estribo; 
 - no caso de peças submetidas à torção, esses limites devem ser ajustados de forma 
a permitir um funcionamento adequado. 
 
 No caso de furos que atravessam vigas na direção de sua largura, deve-se 
preferencialmente posicioná-los no trecho em que a viga está tracionada (por exemplo, na 
parte inferior e no meio do vão de vigas biapoiadas), uma vez que qualquer redução na 
 101
quantidade de concreto não haverá influência, pois o concreto em si não contribui para os 
esforços de tração. Também não será necessário verificar os furos quando forem respeitadas 
simultaneamente as seguintes condições: 
- a abertura em zona de tração deve ficar a uma distância da face do apoio de no mínimo 
2h, onde h é a altura da viga; 
 - a dimensãoda abertura deve ser no máximo 12 cm e h/3; 
 - a distância entre as faces de aberturas, em um mesmo tramo, deve ser no mínimo 2h; 
 - os cobrimentos devem ser suficientes e não deve haver seccionamentos das armaduras. 
 Deve-se lembrar que as aberturas circulares são mais favoráveis que as retangulares, 
sendo que os vértices dessas devem ser o mais arredondado possível para evitar efeitos de 
concentração de tensões. Para o dimensionamento de vigas com aberturas maiores que as 
estipuladas por norma, e para canalizações embutidas segundo o eixo longitudinal de um 
elemento linear, deve-se verificar literatura apropriada. 
 No caso de aberturas em vigas, contidas no seu plano principal, como furos para 
passagem de tubulação vertical nas edificações, estes não devem ser superiores a 1/3 da 
largura dessas vigas nas regiões desses furos. l 
 
 102
12 LAJES 
 
 
12.1 DENOMINAÇÃO 
 
 Lajes são elementos de superfície plana (espessura relativamente menor que as 
demais dimensões), que estão sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano, tendo como 
função principal transmitir as cargas de utilização, aplicadas diretamente nos pisos, para as 
vigas, paredes ou pilares que as suportam. Servem também como contraventamento das 
estruturas (diafragmas) e como mesa de compressão em seção T de vigas. Além de serem 
utilizadas em edificações residenciais e comercias, tem utilidade também em galpões 
industriais, pontes, reservatórios, estruturas de contenção de terras, pistas de rodovias e 
aeroportos, etc. Quanto ao material constituinte, as lajes podem ser de concreto armado ou 
protendido. 
 O dimensionamento e o detalhamento das lajes são feitos de forma simplificada como 
se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e impedidas ao 
movimento de translação, levando-se em conta a continuidade entre lajes adjacentes. Os 
esforços que devem ser considerados são momento fletor e esforço cortante, e eventualmente 
esforço normal. 
 A NBR 6118 estabelece que uma peça pode ser tratada como laje se a altura da seção 
for inferior a cinco vezes a sua largura. 
 
 
12.2 CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
 
 As lajes podem ser classificadas de diversas maneiras: 
 
Classificação quanto à forma: as lajes podem assumir formas poligonais (retangulares, 
quadradas, triangulares, etc), elípticas (circulares, anelares), etc; 
 
Classificação quanto à natureza: quanto à natureza, os tipos mais comuns de lajes são: 
 
a) lajes maciças - são constituídas por uma placa maciça de concreto armado ou de concreto 
protendido, sendo as mais utilizadas nas edificações e pontes. São recomendadas para vãos de 
até 5m ou 6m, sendo que para vãos maiores elas se tornam antieconômicas devido ao aumento 
da espessura e consequentemente aumento do peso próprio. Quando é possível usar o mesmo 
jogo de formas e escoramentos várias vezes, a utilização deste tipo de laje se torna bastante 
viável, e será o principal escopo deste capítulo, juntamente com as lajes nervuradas. 
 
 
 
 
 
h 
 103
 
 
b) lajes nervuradas moldadas no local – são formadas por nervuras que concentram as 
armaduras para resistir à tração, e por um material inerte colocado entre as nervuras, 
possuindo também uma mesa de concreto na região comprimida. É utilizada para vencer vãos 
relativamente grandes. 
 
 
 104
 
 
c) lajes com nervuras pré-fabricadas – nesta alternativa, as nervuras são compostas de 
vigotas pré-moldadas, que dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional. Essas vigotas são 
capazes de suportar seu peso próprio e as ações de construção, necessitando apenas de 
cimbramentos intermediários. Além das vigotas, essas lajes são constituídas de elementos de 
enchimento, que são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto 
moldado no local. Há três tipos de vigotas, a saber: 
 
 
 
 
 concreto armado concreto protendido laje tre 
 
 
 
 105
 
 Dentre as lajes citadas, pode-se afirmar que as lajes treliçadas estão sendo 
bastante utilizadas atualmente. Pelo fato das armaduras em treliça não possuírem barras 
transversais, como no caso de telas soldadas, suas extremidades podem ser facilmente 
encaixadas dentro da armadura das vigas de suporte das lajes, obtendo-se assim condições 
eficientes de ancoragem. As normas brasileiras que fazem referência às lajes treliçadas são 
NBR 14859-1, NBR 14859-2, NBR 14860-1, NBR 14860-2, NBR 14861-1 e NBR 14862-2. 
Programas de dimensionamento e especificação de lajes treliçadas podem ser encontrados nos 
sites de empresas como Gerdau, Belgo Mineira, Puma, etc. 
 
d) lajes nervuradas com capitéis e vigas-faixa - nas regiões de apoio tem-se normalmente 
uma concentração de tensões transversais bastante significativa, podendo então ocorrer ruína 
por punção ou por cisalhamento, e que por serem ruínas bastante frágeis devem ser evitadas, 
garantindo-se que a ruína, caso ocorra, seja por flexão. Além disso, de acordo com o esquema 
estático adotado, pode ser que apareçam esforços solicitantes elevados, que necessitem de 
uma estrutura mais robusta. Nesses casos, entre as alternativas possíveis, pode-se adotar uma 
região maciça em volta do pilar, formando um capitel ou usar faixas maciças em uma ou em duas 
direções, constituindo vigas-faixa. 
 
 
 
e) lajes mistas – as lajes mistas são semelhantes às lajes nervuradas, sem a necessidade de 
mesa de concreto de compressão, mas com a obrigatoriedade de material de enchimento 
cerâmico capaz de resistir aos esforços de flexão. Pelas exigências quanto ao material de 
 106
enchimento (resistência à compressão adequada), este tipo de laje acaba não sendo muito 
utilizado. 
 
f) lajes em grelha – estas lajes também são semelhantes às lajes nervuradas moldadas no 
local, mas com espaçamento entre nervuras superior a 1,10m. Este vigamento formado pelas 
nervuras é calculado como grelha, e a parte superior calculada como laje maciça contínua. 
 
g) lajes em painéis – muito utilizadas em obras industriais, sendo as mais conhecidas as lajes 
planas alveolares e as lajes tipo pi . 
 
 
 
 
 
Exemplos de lajes alveolares – fonte: CASSOL 
 
 
 
Placa tipo “PI” – fonte Premold 
 
 
 107
Observação: as lajes pré-moldadas devem ser calculadas conforme a NBR 9062, e no caso do 
uso de lajes alveolares protendidas, deve ser obedecido o que estabelece a NBR 14861. 
 
 
Classificação quanto ao tipo de apoio: 
 
 Quanto ao tipo de apoio, as lajes podem ter: 
- apoio contínuo sobre uma linha (alvenaria, viga, parede de concreto); 
- apoio discreto (lajes cogumelo ou planas, diretamente apoiadas nos pilares); 
- apoio no solo (radier). 
 
Classificação quanto ao comportamento à flexão ou tipo de armação: em relação ao tipo de 
armação, as lajes podem ser de dois tipos: 
 
a) lajes armadas em uma só direção: as solicitações são predominantes segundo o menor vão, 
e esta situação acontece quando a relação entre o maior e o menor vão é superior a 2 (dois). 
Estas lajes são então calculadas como vigas, para uma largura de contribuição unitária (1m). 
Excepcionalmente, nos casos em que não houver apoios na direção menor, podem também ser 
armadas na direção maior. 
 
b) lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: neste caso, as solicitações 
acontecem em ambas as direções, e a relação entre o maior vão e o menor vão é menor ou igual 
a 2 (dois). 
 Resumidamente: 
 
 
vãomenor
vãomaior
=λ 
 
Se →> 2λ laje armada em uma única direção; 
 
Se →≤ 2λ laje armada em cruz ou em duas direções. 
 
 
 
 
 
 108
12.3 CONDIÇÕES DE APOIO EM LAJES 
 
 Segundo hipóteses simplificadoras, uma determinada laje pode ser 
perfeitamente ou elasticamente engastada, ou pode ser simplesmente apoiada ao longo de um 
determinado bordo.Em estruturas usuais (edifícios residenciais ou comerciais) estas 
condições de apoio são de engastamento perfeito (quando existir continuidade entre lajes 
adjacentes) ou de apoio simples (se não existir continuidade com outra laje). Pode também 
acontecer de haver um bordo livre, e isto acontece quando não há ligação física com outro 
elemento estrutural, e os esforços (flexão, torção e cisalhamento) são nulos, existindo 
entretanto deslocamentos verticais. Para as lajes de contorno, com vigas de pequena largura 
(pouca inércia à torção), pode-se considerar a concepção de apoio simples, mas deve-se cuidar 
quando a viga de bordo tem grande rigidez à torção, pois podem surgir fissuras significativas 
nas lajes na região de ligação com as vigas, em virtude da ausência de armadura negativa. 
 Quando um bordo de uma laje tiver parte considerada engastada e parte considerada 
simplesmente apoiada, caso por exemplo que pode ocorrer quando existirem rebaixos ou vazios, 
deve-se considerar uma dessas duas situações para o bordo como um todo: o bordo será 
engastado se o trecho com engaste )( 1yl for maior ou igual a 2/3 do comprimento total do 
bordo em questão )( yl , ou, caso contrário, o bordo será considerado simplesmente apoiado. 
 
 
 No caso de existirem rebaixos entre lajes adjacentes, pode-se fazer as seguintes 
considerações: 
a) se a laje estiver rebaixada (para qualquer rebaixo) e apoiada sobre alvenaria, o apoio será 
considerado simples; 
b) se a laje estiver rebaixada e apoiada sobre viga: se o rebaixo for menor ou igual à 
espessura da laje, o apoio poderá ser considerado engaste, caso contrário, considera-se 
como apoio simples. 
 A notação utilizada para os diversos tipos de apoio é: 
 
 
 
 109
12.4 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES 
 
 Vãos efetivos, também conhecidos como vãos teóricos ou de cálculo, são aqueles que 
efetivamente vão ser considerados para a análise da laje, e são obtidos através dos vãos livres 
( 0l ). Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação 
vertical, o vão efetivo (aquele que vai ser usado nos cálculos) deve ser calculado pela 
expressão: 
 
 21 aall oef ++= 
 
sendo: 
 ≤1a h
t
3,0
2/1 e 
h
t
a
3,0
2/2
2 ≤ 
 
 
Observação: na disciplina de CAR-I, em função das diferenças serem relativamente pequenas, 
será sempre adotado como vão efetivo a distância entre eixos de apoios. 
 
 
12.5 ESPESSURA MÍNIMA DAS LAJES 
 
 As espessuras finais das lajes devem respeitar os valores mínimos de espessura, e 
serem suficientemente rígidas para garantir um dimensionamento adequado e respeitar os 
estados limites de serviço (fissuração e deformação), procurando-se não utilizar armadura 
dupla e nem uma concentração exagerada de barras de armação. 
 Pelo critério de utilização, as lajes maciças devem obedecer às espessuras mínimas 
dadas pela nova versão da NBR 6118: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço (a versão anterior considerava 5 cm!); 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
 110
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 42/l para lajes de piso 
biapoiadas e 50/l para lajes de piso contínuas. 
 
Obs.: apesar de serem estes os valores estipulados pela norma, deve-se tomar cuidados 
principalmente com relação aos itens “a” e “b” fornecidos anteriormente, basicamente por não 
se levar em conta a grandeza do carregamento aplicado e a classe de agressividade ambiental 
a ser considerada, o que poderia levar a grandes recobrimentos da armadura. Outro fator que 
deve ser levado em conta é o fato de se não ser desejável que se tenha armadura dupla numa 
laje, preferindo-se então aumentar a espessura da mesma. 
 
12.5.1 ALTURA UTIL 
 
 Define-se altura útil (d) como sendo a distância do centro de gravidade da armadura 
tracionada até o bordo comprimido: 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim: 
 
 2/φ−−= chd 
 
 Na estimativa da altura de uma laje considerando valores práticos para lajes de 
edifícios de nível 1 sem carregamento direto de alvenaria, pode-se usar as seguintes fórmulas: 
 
 ).006,0028,0.(
u
L
Ld eng
∑
−= 
 
onde: 
L – menor valor entre o menor vão e 0,67 do maior vão; 
engL∑ - somatória dos comprimentos dos lados engastados; 
u – perímetro da laje. 
 
 Ou ainda, segundo apostila do prof. Libânio (USP – São Carlos): 
 
 
100
*).1,05,2( Lnd −= 
 
onde n é o número de bordos engastados e *.L é o menor valor entre o menor vão e 0,7 do 
maior vão. 
h d 
 111
 No caso de lajes em balanço, pode-se usar: 
 
 028,0).2( balLd = 
 
e no caso de lajes nervuradas, pode-se usar as mesmas fórmulas anteriores, mas multiplicadas 
por 1,5. 
 Um outro critério prático considera tomar a espessura da laje como 
aproximadamente 2,5% do menor vão. 
 
Obs.: o critério considerado pela NBR 6118/80 considerava 
 
 
32 .ωω
xld = 
 
onde os coeficientes 2ω e 3ω dependem da vinculação da laje e do tipo de aço, conforme pode 
ser visto no anexo no final da apostila. Como esta expressão não leva em conta o carregamento 
atuante nas lajes, deve-se tomar cuidado com sua aplicação. Os valores de 2ω e 3ω 
encontram-se no anexo V. 
 
12.6. CARREGAMENTO DAS LAJES 
 
 
a) PESO PRÓPRIO (pp) – é a carga proveniente do peso próprio da estrutura: 
 
 hpp conc .γ= 
 
onde 
concγ representa o peso específico do concreto (25 kN/ 3m ), e h representa a espessura 
da laje. 
 
b) PESO DE REVESTIMENTO (rev) – composto pelo revestimento superior (contra piso + 
acabamento) e pelo revestimento inferior. No caso de pisos de madeira pode-se adotar um 
valor de 2/6,0 mkN e para pisos cerâmicos um valor de 2/7,0 mkN Quando não se sabe a priori 
esta informação, pode-se adotar o valor de 2/1 mkN . Para lajes de forro (sem 
impermeabilização) pode-se considerar a carga de revestimento como sendo de 2/3,0 mkN . 
 
c) PESO DE ENCHIMENTO ( encpp ) – a utilização de enchimento é comum no caso de lajes 
em rebaixo ou com pisos elevados. O seu peso é calculado como 
 
 encencenc hpp .γ= 
 
onde: 
encγ - peso próprio do enchimento; 
 112
ench - espessura do enchimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O peso específico de diversos materiais de construção que podem ser utilizados como 
revestimento ou enchimento de uma laje pode ser obtido pela tabela do anexo IV. 
 
d) CARREGAMENTO DEVIDO ÀS PAREDES (q par ) – como é permitido dispor paredes 
diretamente sobre as lajes (isto não é válido para lajes pré-moldadas com vigotas), deve-se 
calcular seu efeito, distinguindo-se várias situações. Como este item não consta da versão atual 
da NBR 6118, o mesmo será aqui abordado segundo critérios da NBR 6118/1980. 
 
- parede isolada em laje armada em cruz – a carga pode ser disposta uniformemente 
distribuída, e calculada como 
 
 2/12,1 mkNx
ll
Vq
yx
aa
par ≥=
γ
(sugestão!) 
 
onde: 
aV - volume da alvenaria; 
aγ - peso específico da alvenaria; 
yx ll , - vãos teóricos da laje nas direções x e y; 
1,2 - coeficiente majorador para efeitos desfavoráveis de concentração de esforços na região 
da parede. 
 
- várias paredes dispostas em lajes armadas em cruz – a carga será considerada 
uniformemente distribuída, e calculada como 
 
 2/1 mkN
ll
Vq
yx
aa
par ≥=
γ
(sugestão!) 
 
- paredes dispostas segundo a menor dimensão em laje armada numa só direção – 
considera-se que as cargas concentradas ou parcialmente distribuídas se distribuem a 45 
graus até o plano médio de uma laje, segundo a figura abaixo: 
 113
 
 
 A largura útil ( wb ) onde a parede “exerce influência” pode ser considerada como 
sendo igual àlargura b da carga se b não for menor que o vão teórico L ou que o comprimento 
teórico (balanço) e, em caso contrário, igual a b acrescido de b∆ : 
 
- para momentos fletores positivos: )1()(2 11
L
b
L
aLab −−=∆ 
 
- para momentos fletores negativos: )1()2( 11
L
b
L
aLab −−=∆ 
 
- para forças cortantes: )1(1 L
b
ab −=∆ 
 
- para momentos fletores em lajes em balanço: )1(5,1 1 L
b
ab −=∆ 
 
- para forças cortantes em lajes em balanço: )1(5,0 1 L
b
ab −=∆ 
 
 Nas fórmulas anteriores, 
1
a representa a distância do centro da carga ao apoio para 
cujo lado está a seção que está sendo estudada. 
 
- paredes dispostas segundo a maior dimensão em laje armada numa só direção – neste 
caso a carga é suposta concentrada no trecho onde a parede exerce influência. 
 Resumidamente: 
 114
b
w
 
 
 Pela figura anterior, tem-se: 
 
 parparparparpar heqP ..γ== 
 
onde: 
 pare - espessura da parede; 
 parγ - peso específico do material da parede; 
 parh - altura da parede (descontada a espessura da laje). 
 
Obs.: 
- deve-se tomar cuidado com a compatibilização das unidades, uma vez que a carga q é dada 
para uma faixa unitária, e a carga devido às paredes é dada para uma faixa qualquer (
wb ) a 
ser calculada; 
- cuidados também devem ser verificados com relação à espessura efetiva da parede e a 
espessura do revestimento (argamassa de cal, cimento e areia), que possui peso específico de 
3/19 mkN . 
 
Exemplo: 
- parede de alvenaria de tijolo furado com espessura de 10 cm e revestimento de 5 cm: 
 
 0,10 x 13 + 0,05 x 19 = 2,25 2/ mkN 
 
 
e) CARGA ACIDENTAL (sc) 
 
 As cargas acidentais, também chamadas de cargas de utilização ou sobrecarga, são 
definidas pela NBR 6120 de acordo com a utilização da edificação (móveis, pessoas, materiais 
diversos, etc), conforme anexo no final da apostila. Assim, uma sala de um edifício residencial 
deve ser calculada para uma carga de utilização de 1,5 kN/m 2 , e uma laje destinada a um palco 
de teatro, deve ser calculada para uma carga de utilização de 5 kN/m 2 . 
 115
 
f) CARGAS ESPECIAIS 
 
- casa de máquinas e poço dos elevadores: a carga a ser utilizada depende da velocidade dos 
elevadores, sendo que o fabricante deve ser sempre consultado com relação às especificações. 
A NBR 6120 estipula uma carga mínima de 7,5 kN/mn2Como sugestão, podem ser utilizados os 
seguintes valores: 
 
 laje sobre a caixa dos elevadores (casa de máquinas): v ≤ 1m/s: sc = 30 kN/m 2 
 v > 1m/s: sc = 50 kN/m 2 
 
 laje adjacente à casa de máquinas: v ≤1m/s: sc = 5kN/m 2 
 v > 1m/s: sc = 7kN/m 2 
 
 forro da casa de máquinas: sc = 10 kN/m 2 
 
 poço de molas dos elevadores (laje inferior): sc = 20 kN/m 2 
 
- heliponto: segundo a norma alemã DIN 1055, deve-se considerar uma carga uniformemente 
variável, em toda a área de pouso de pelo menos 5 kN/m 2 . Também, na posição mais 
desfavorável, deve-se considerar uma carga concentrada com intensidade entre 20 kN e 
60 kN, distribuída em uma área quadrada de 0,2 a 0,3 m de lado, respectivamente. Esta 
carga deve ser aplicada com um coeficiente de impacto igual a 1,4, lembrando que os dois 
carregamentos não são superpostos, devendo-se considerar o caso mais desfavorável; 
- equipamentos em obras industriais: a carga deve ser posicionada na posição mais 
desfavorável e o fabricante deve ser sempre consultado; 
- cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas de pedestres: vide NBR 7188; 
- cargas móveis em pontes ferroviárias: vide NBR 7189; 
- terremotos: consultar a NBR 15421; 
 
- para previsão de cargas devido a estruturas metálicas pode-se considerar 1 kN/m2 para 
estruturas “pesadas” e 0,4 kN/m2 para estruturas “leves”. 
 
 
g) CARGA TOTAL 
 
 A carga total atuante nas lajes de uma edificação, é a soma das cargas permanentes 
e da sobrecarga, podendo-se escrever 
 
 q = pp + rev + sc 
 
 Quando da existência de paredes ou equipamentos especiais, deve-se considerar 
também estes efeitos. 
 116
13. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES 
 
 Existem vários métodos para se determinar os esforços em lajes (reações de apoio, 
momento fletor, esforço cortante, etc), sendo que os mais usuais são: 
- teoria das placas (teoria da elasticidade); 
- processos aproximados, obtidos da teoria das placas, que fornecem tabelas e gráficos 
práticos; 
- método das linhas de ruptura (método das charneiras plásticas); 
- métodos numéricos em geral (método dos elementos finitos, método das diferenças finitas, 
etc). 
 Os esforços são determinados para uma faixa unitária de laje, considerando-a isolada 
das demais. 
 
 
13.1 LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO 
 
 As lajes armadas em uma só direção são aquelas em que a relação entre o maior e o 
menor vão é maior que 2, ou quando se tem uma laje em balanço (o apoio é um engaste). Para as 
diversas situações de apoio, as lajes armadas em uma só direção são calculadas para uma faixa 
de largura unitária, como sendo uma viga. Assim, tem-se como calcular as reações de apoio 
(kN/m) ou os momentos fletores (kNm/m) para cada faixa: 
 
²
²
²
²
²
²
 
 
Observação: na realidade, as lajes armadas em uma só direção possuem armaduras nas duas 
direções. A armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir o momento 
fletor através de vigas-faixa, sendo que na outra direção (maior vão) utiliza-se somente uma 
armadura construtiva (ou de distribuição), com o objetivo de solidarizar as faixas de laje da 
 117
direção principal, prevendo-se uma eventual concentração de esforços. O dimensionamento e o 
detalhamento destas armaduras serão visto nos próximos capítulos. 
 
13.2 LAJES RETANGULARES ARMADAS EM CRUZ (OU EM DUAS DIREÇÕES) 
 
 Como já foi visto no item anterior, uma laje é armada em cruz quando: 
 
 2≤
vãomenor
vãomaior
 
 
 Nestes casos as armaduras das duas direções são calculadas para resistir aos 
momentos fletores atuantes nestas direções. 
 
13.2.1 TIPOS DE LAJES RETANGULARES ARMADAS EM CRUZ - antes de se calcular os 
esforços atuantes nas lajes armadas em cruz, é necessário definir os tipos mais comuns de 
lajes retangulares armadas em cruz, em função de suas condições de apoio. Tem-se então: 
 
Laje tipo 1 – possui todas as bordas simplesmente apoiadas: 
 
 
 
Laje tipo 2 – possui um único bordo engastado: 
 
 
 
Laje tipo 3 – possui dois bordos “consecutivos” engastados: 
 
 
 
Laje tipo 4 - possui dois bordos “opostos” engastados: 
 
 118
 
 
Laje tipo 5 – possui cinco bordos engastados: 
 
 
Laje tipo 6 – possui todos os bordos engastados: 
 
 
 
 Nas figuras anteriores, é importante definir o que vem a ser o lado xl . Inicialmente 
xl é definido como sendo o lado que contém o maior número de engastes. Caso o número de 
engastes seja igual nas duas direções, xl é definido como sendo o lado de menor dimensão. 
 
13.2.2 PROCESSO DAS GRELHAS – é o processo mais antigo e simples servindo de base 
para o processo de Marcus. Este método considera que se pode isolar duas faixas, na direção x 
e na direção y, e calcular a flecha no seu centro geométrico. Cada faixa “recebe” um quinhão de 
carga (
xq ou yq ), em função da flecha, e que depende basicamente de sua condição de apoio 
nos bordos. Como o ponto médio das duas faixas, x e y, é único, indivisível, deve-se ter, no 
cruzamento da faixa x com o cruzamento da faixa y a igualdade das flechas: 
 
 yx ff = 
 
 Definindo-se também para os diversos tipos de lajes armadas em cruz ostermos: 
xM - momento fletor positivo (inferior) na direção x; 
yM - momento fletor positivo (inferior) na direção y; 
xX - momento fletor negativo (superior) na direção x; 
yX - momento fletor negativo (superior) na direção y; 
tem-se a seguinte tabela: 
 
 
 119
TIPO Xf yf xq xM yM xX yX 
 
1 EI
lq xx
4
384
5 
EI
lq yy
4
384
5 
q
ll
l
yx
y
44
4
+
 8
2
xxlq 
8
2
yy lq 
 
0 
 
0 
 
2 EI
lq xx
4
384
2 
EI
lq yy
4
384
5 
q
ll
l
yx
y
44
4
52
5
+
 
22,14
2
xxlq 
8
2
yy lq 8
2
xxlq 
 
0 
 
3 EI
lq xx
4
384
2 
EI
lq yy
4
384
2 
q
ll
l
yx
y
44
4
+
 
22,14
2
xxlq 
22,14
2
yy lq 8
2
xxlq 
8
2
yy lq 
 
4 EI
lq xx
4
384
1 
EI
lq yy
4
384
5 
q
ll
l
yx
y
44
4
5
5
+
 24
2
xxlq 
8
2
yy lq 12
2
xxlq 
 
0 
 
5 EI
lq xx
4
384
1 
EI
lq yy
4
384
2 
q
ll
l
yx
y
44
4
2
2
+
 24
2
xxlq 
22,14
2
yy lq 12
2
xxlq 
8
2
yy lq 
 
6 EI
lq xx
4
384
1 
EI
lq yy
4
384
1 
q
ll
l
yx
y
44
4
+
 24
2
xxlq 
24
2
yy lq 12
2
xxlq 
12
2
yy lq 
 
 Tem-se também: 
 
 qkq xx .= qkq yy .= 1=+ yx kk qqq yx =+ 
 
13.2.3 PROCESSO DE MARCUS – as fórmulas conhecidas pelo processo de Marcus são 
baseadas nas equações do método das grelhas, e mesmo fornecendo valores aproximados, são 
largamente aplicadas. Este processo é válido para lajes maciças de espessura constante (ou 
para lajes nervuradas), com formato retangular, e que possuem apoios contínuos ao longo dos 
quatro bordos e estão submetidas à carga uniformemente distribuídas por unidade de área. A 
diferença entre este método e o método das grelhas é a introdução de um fator de correção 
xV e yV para os momentos positivos xM e yM , fator este que é função das condições de 
apoio e da relação entre os vãos. Assim: 
 
 2
.3
.20
1
λα x
x
x
k
V −= ⇒ xgrelhaxx VMM .,= 
 
 2
3
.20
1 λ
α y
y
y
k
V −= ⇒ ygrelhayy VMM .,= 
onde 
 
 
x
y
l
l
=λ 
q
qk xx = q
q
k yy = 
 
 120
 Os fatores xα e yα dependem da condição de apoio nas direções x e y 
respectivamente e valem: 
 
 
 
 
 
 
 A partir da formulação de Marcus e de manipulações matemáticas, é possível obter 
as tabelas encontradas no anexo desta apostila, que dependem somente da relação entre os 
vãos ( xy ll /=λ ) e do tipo de laje. Deve-se observar que o numerador de todas as fórmulas, 
tanto para momento positivo como para momento negativo, possuem o mesmo termo ( 2. xlq ). 
Assim: 
 
 
x
x
x
m
ql
M
2
= 
y
x
y
m
ql
M
2
= 
x
x
x
n
ql
X
2
= 
y
x
y
n
ql
X
2
= 
 
 Deve-se lembrar que na determinação destes esforços, a unidade obtida é de 
momento por metro linear ( kN.m/m). 
 Obs.: as fórmulas vistas anteriormente atendem somente às lajes retangulares 
apoiadas ou engastadas no seu contorno e submetidas a uma carga uniforme. Para situações 
especiais, deve-se consultar outras tabelas como as tabelas de Czerny, Stiglat/Wippel,Barès, 
Szilard, Kalmanoch, Timoshencko, Bruckner, e outras, que deverão ser vistas em literatura 
apropriada. Particularmente, as tabelas de Czerny são úteis em edificações onde a carga 
predominante é uniformemente distribuída, podendo ser usadas para lajes com um bordo livre 
e para carregamento triangular, sendo também bastante utilizadas para caixas d’água. 
 
 
13.3 REAÇÕES DE APOIO 
 
 As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio, sendo que o 
procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118 pode se basear no método dos quinhões de 
carga (processo das áreas). 
 Como já foi visto anteriormente, para se calcular as reações de apoio de lajes 
apoiadas numa única direção basta considerá-las como sendo vigas com uma faixa unitária, e 
com a devida condição de apoio 
 Para lajes armadas em cruz sujeitas a cargas uniformemente distribuídas, pode-se 
criar simplificadamente “linhas” ou retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes 
ângulos: 
- 45 graus entre dois apoios do mesmo tipo; 
- 60 graus a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente 
apoiado; 
- 90 graus a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 
 
 
 121
 As reações obtidas podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre os 
elementos estruturais que servem de apoio para as lajes, que normalmente são as vigas, na 
unidade de força por unidade de comprimento. Na verdade, as reações têm uma distribuição 
não uniforme, em geral com valores máximos na parte central das bordas, diminuindo nas 
extremidades. 
 Tem-se então as seguintes fórmulas para os diversos tipos de lajes: 
 
Laje tipo 1: 
 
ya
y
xy
xa
x
ya
R
l
ll
R
ql
R
−
=
=
2
4
 
 
Laje tipo 2: 
 
xya
xexa
x
y
xy
xe
yx
qlR
RR
ql
l
ll
R
ll
183,0
577,0
634,0
366,0
:366,1
=
=
−
=
≤
 
y
x
yx
xexa
yxe
yx
ql
l
ll
R
RR
qlR
ll
ya 2
683,0
577,0
433,0
:366,1
−
=
=
=
>
 
 122
Laje tipo 3: 
 
yeya
xye
xexa
x
y
xy
xe
RR
qlR
RR
ql
l
ll
R
575,0
317,0
577,0
634,0
2
2
=
=
=
−
=
 
Laje tipo 4: 
 
xya
x
y
xy
xe
yx
qlR
ql
l
ll
R
ll
144,0
2
289,0
732,1
=
−
=
≤
 
y
x
yx
ya
yxe
yx
ql
l
ll
R
qlR
ll
2
866,0
433,0
:732,1
−
=
=
>
 
 
 
 
 
 123
Laje tipo 5: 
 
 
yeya
x
ye
x
y
xy
xe
yx
RR
ql
R
ql
l
ll
R
ll
577,0
4
4
789,02
:268,1
=
=
−
=
≤
 
yeya
y
yx
ye
yxe
yx
RR
ql
l
ll
R
qlR
ll
x
577,0
634,0
634,0
317,0
:268,1
=
−
=
=
>
 
 
 
Laje tipo 6: 
 
ye
y
xy
xe
x
ye
R
l
ll
R
ql
R
−
=
=
2
4
 
 
 
 124
13.4 LAJES POLIGONAIS 
 
 Para se calcular as reações de apoio de uma laje poligonal, pode-se usar os conceitos 
de linhas de ruptura ou dividi-la em trechos retangulares. Assim, para o exemplo abaixo, tem-
se para o cálculo das reações de apoio: 
 
 
 Ainda, dividindo esta laje em trechos retangulares tem-se: 
 
 
Ou: 
 
 
 125
 Nos dois casos anteriores, a intersecção dos dois trechos de lajes retangulares 
funciona como se fosse uma viga imaginária “embutida”, de dimensões b (da experiência do 
projetista) x h (altura da laje), que deve ser convenientemente armada. Comparativamente, na 
hipótese de se dividir em trechos retangulares, a primeira solução é melhor porque conduz a 
uma viga “embutida” com menor vão. Para evitar acúmulo de armadura nesta viga, é 
interessante que as lajes adjacentes a ela sejam apoiadas e não engastadas! 
 
14. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DA ARMADURA DAS 
LAJES MACIÇAS 
 
 
14.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
 
 O dimensionamento da armadura de flexão (superior e inferior) é feito 
considerando-se flexão simples para armadura positiva (inferior) e para armadura negativa 
(superior), e levando-se em conta as combinações de carregamento do ELU. 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma vez que os momentos fletores são calculados por unidadede comprimento, a 
seção para dimensionamento terá altura útil (d) e largura unitária, sendo que não é usual 
considerar-se armadura dupla, devendo-se aumentar a altura da laje para evitar esta situação. 
A altura útil d pode ser tomada como 
 
 2/princchd φ−−= (momento principal) 
 
 2/secφφ −−−= princchd (momento secundário) 
 
onde princφ é a bitola escolhida para combater o momento principal e secφ é a bitola escolhida 
para combater o momento secundário .Por questões práticas, recomenda-se adotar secφφ ≥princ 
 
 Como não se conhece a priori a quantidade de armadura necessária e nem a bitola a 
ser utilizada, pode-se adotar simplificadamente para lajes maciças revestidas: 
 
 
Armadura positiva 
Armadura negativa 
 126
 
Agressividade 
Ambiental 
Recobrimento (c) - 
cm 
Altura útil principal ( )princd 
Altura útil secundária ( )secd 
CAA-I 2,0 h – 2,5 h – 3,5 
CAA-II 2,5 h – 3,0 h – 4,0 
CAA-III 3,5 h – 4,0 h – 5,0 
CAA-IV 4,5 h – 5,0 h – 6,0 
 
 Para a elaboração da tabela anterior, considerou-se um diâmetro de 10,0 mm tanto 
para a armadura principal como para a armadura secundária, o que é bastante a favor da 
segurança. Então, nos casos em que se tem previsão de diâmetros menores (5,0 ou 6,3 mm), 
pode-se utilizar um valor menos conservador. 
 Já no caso de dimensionamento da armadura negativa, e conforme prescrições da 
norma que recomenda recobrimento de 1,5 cm para lajes convenientemente revestidas, pode-se 
utilizar para qualquer classe de agressividade ambiental: 
 
 2−= hd 
 
 Então, para wb = 100 cm, e utilizando-se as unidades em KN e cm, determinam-se os 
termos de dimensionamento à flexão simples, através das tabelas apropriadas: 
 
 )/( 2
2
mcm
d
Mk
Aktabela
M
dbk dasa
d
w
m =⇒⇒⇒= 
 
 Obtida a seção de aço necessária (em cm 2 /m), pode-se utilizar as tabelas que 
fornecem bitolas e espaçamentos adequados, como a tabela encontrada no anexo. Quando da 
determinação do diâmetro da armadura de flexão, torna-se necessário levar em conta a 
necessidade de se evitar fissuração excessiva da peça, sendo conveniente usar barras de 
pequeno diâmetro pouco espaçadas entre si. Também não se deve usar armadura dupla para 
lajes, aumentando-se a sua espessura quando for necessário. 
No cálculo dos momentos fletores negativos, consideram-se os apoios internos de lajes 
contínuas como perfeitamente engastados. Na realidade, isto pode não ocorrer. Em geral, as 
lajes adjacentes de um determinado pavimento diferem nas condições de apoio, nos vãos 
teóricos ou nos carregamentos, gerando no apoio comum, dois valores diferentes para o 
momento negativo. Daí a necessidade de se promover a compatibilização desses momentos. Na 
compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor 
entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável 
aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza. Assim, para o 
dimensionamento da armadura negativa entre as lajes 1 e 2 da figura a seguir, tem-se: 
 127
 
 
 
 






 +
≥
Xmaiordo
XX
X
%80
2
21
 
sendo X a nomenclatura utilizada para denominar o momento negativo, e cujo dimensionamento 
segue os mesmos procedimentos vistos anteriormente. 
 
Obs.: 
- quando, na seção crítica adotada para dimensionamento, a direção das armaduras diferir das 
direções das tensões principais em mais de 15 graus, esse fato deve ser considerado no cálculo 
estrutural; 
 128
- a compatibilização dos momentos negativos só é possível quando as cargas acidentais são 
pequenas quando comparadas com as cargas permanentes; 
- no caso de se ter valores muito grandes de sobrecarga, o que pode ocorrer por exemplo em 
estruturas industriais, deve-se avaliar a sobrecarga sendo aplicada não simultaneamente em 
toda a laje, e dispondo-a de forma a fornecer os maiores valores de momentos positivos e 
negativos; 
- para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kN/m2, e que seja no 
máximo igual a 50% da carga total da laje, não há necessidade de se considerar a alternância 
de carga. Nos casos em que a sobrecarga seja superior a 5 kN/m2 o coeficiente de majoração 
de carga para a parcela permanente deve ser de 1,35 e a para a carga acidental deve ser de 
1,5; 
- cuidados especiais devem ser tomados no caso de lajes em balanço, conforme será visto num 
item posterior. 
 
 
14.1.1 REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS NEGATIVOS 
 
 Nas regiões de apoio das lajes devem ser garantidas boas condições de ductilidade, 
deve-se limitar a posição da linha neutra aos seguintes valores: 
 
 ⇒≤ 45,0/ dx MPafck 50≤ 
 ⇒≤ 35,0/ dx MPafMpa ck 9050 ≤< 
 
 
14.1.2 MÉTODO DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS 
 
 A NBR 6118 permite uma análise plástica das lajes pelo método das charneiras 
plásticas, desde que sejam atendidas as seguintes condições: 
- na ausência de uma verificação explícita da capacidade de rotação plástica das charneiras, a 
profundidade da linha neutra é limitada em: 
 
 25,0/ ≤= dxkx para Mpafck 50≤ 
 15,0/ ≤= dxkx para Mpafck 50> 
 
- nas regiões das bordas com momentos negativos, estes devem ser pelo menos iguais a 1,5 
vezes os valores dos momentos positivos no vão; 
- cuidados especiais devem ser tomados nas verificações nos estados limites de serviço 
(abertura de fissuras e deformação excessiva), principalmente quando a relação adotada entre 
os momentos divergir muita da resultante de uma análise elástica. 
 
 
 
 
 
 
 129
 
14.2 TABELA RESUMO DE CÁLCULO DAS LAJES 
 
 Para facilitar o cálculo dos esforços e do dimensionamento das lajes, pode-se utilizar 
como exemplo o modelo de tabela abaixo: 
 
LAJE Lx Ly h q TIPO Rxa Rxe Rya Rye Mx My Xx Xy Asx Asy φ
c/ 
φ
c/ 
1= 6 
2 
3 
.... 
 
 
14.3 VERIFICAÇÃO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO 
 
 Dificilmente há a necessidade de se utilizar armadura transversal nas lajes usuais de 
edifícios, apoiadas ao longo do seu contorno, para resistir aos esforços de tração que surgem 
em função da força cortante. No estado limite último, é feita a comparação entre o esforço 
cortante máximo de cálculo e a resistência de cálculo das seções transversais, sem a adição de 
armadura transversal. Se a resistência é superior à solicitação, está garantida a segurança no 
ELU. Esta verificação é feita conforme equação abaixo: 
 
 Se →≤ 1Rdsd VV não há necessidade de armadura de cisalhamento 
onde: 
sdV - esforço cortante solicitante de cálculo, que normalmente é a máxima reação de apoio da 
laje por largura de referência (geralmente 1 metro), e que é determinada com a combinação de 
Estado Limite Último crítica. 
1RdV - esforço cortante resistente de cálculo (para lajes sem protensão): 
 
 dbkV wRdRd ).402,1.(. 11 ρτ += 
onde: 
Rdτ - tensão resistente de calculo do concreto ao cisalhamento que vale: 
 
 
ctdRd f25,0=τ e cctkctd ff γ/inf,= 
k – coeficiente que tem os seguintes valores: 
- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: 1=k ; 
- para os demais casos: dk −= 6,1 , não menor que 1 , com d em metros. 
dbA ws /11 =ρ , não maior que 0,02, sendo que 1sA é a armadura de tração que se estende até 
não menos que ( )necbld ,+ além da seção considerada, com necbl , definido anteriormente. A 
distribuição desta armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito na NBR 6118, 
considerando para la o valor 1,5d; 
 130
wb - largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 
 
 
 Caso se verifique a necessidade de se usar armadura para força cortante, usam-se os 
modelos já estudados no capítulo de cisalhamento visto anteriormente (modelo I ou II), 
tomando-se o cuidado de se limitar a resistência dos estribos para lajes com espessura até 15cm em 250 Mpa. Somente para lajes com espessura superior a 35 cm pode ser usada a 
resistência dos estribos Mpaf ywd 435≤ , interpolando-se linearmente este valor para lajes 
com espessura entre 15 e 35 cm. 
 
 
14.4 DETALHAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO E PRESCRIÇÕES 
REGULAMENTARES 
 
 O arranjo das armaduras deve atender tanto a função estrutural como também as 
condições de execução, como o lançamento e o adensamento do concreto, tendo-se o cuidado 
de garantir o correto posicionamento da mesma. 
 Para uma determinada laje existem dois tipos básicos de armadura: as armaduras 
positivas (principal e secundária), que são colocadas na face inferior, e as armaduras negativas, 
que são colocadas na face superior da laje. Para estes dois tipos de armadura devem ser 
verificados alguns itens com vista a um bom detalhamento: 
 
 - recobrimento – o recobrimento da armadura de uma laje deve atender as especificações da 
NBR 6118, conforme visto anteriormente, e usando-se no mínimo um valor igual ao diâmetro das 
barras. 
 
Valor do cobrimento nominal (mm) para diversas classes de agressividade 
ambiental 
Classe I Classe II Classe III Classe IV 
20 25 35 45 
 
 Para a face superior das lajes que serão revestidas com argamassa de contrapiso, 
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e 
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros 
tantos, as exigências desta tabela podem ser simplificadas para cobrimento maior ou igual ao 
diâmetro da barra, com cobrimento mínimo de 1,5cm. 
 Para garantir o cobrimento previsto em norma, utilizam-se dispositivos especiais 
(espaçadores de forma) que devem ser fixados às barras de armadura, os quais podem ser 
plásticos, de argamassa, ou outros materiais, conforme figurado a seguir. 
 131
 
 
 
 
- bitola – a NBR 6118 estipula que no detalhamento da armadura de lajes não se deve utilizar 
diâmetros maiores que h/8, onde h é a espessura da laje, sendo que nada é citado com relação 
ao diâmetro mínimo. Por razões construtivas, mesmo que se possam utilizar bitolas de 4,2 mm 
(CA 60), recomenda-se utilizar para armadura positiva um diâmetro mínimo de 5,0 mm. Para o 
caso de momentos negativos, a experiência mostra que se deve usar pelo menos uma bitola de 
6,3 mm, uma vez que esta armadura é colocada na face superior e está sujeita a ficar em 
posição inferior devido ao intenso movimento dos trabalhadores durante a colocação da 
armadura e durante a concretagem. 
 
- taxa de armadura mínima – como as lajes armadas nas duas direções têm outros 
mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos 
em relação aos dados para peças lineares, devendo a armadura ser constituída 
preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas: 
 
- para armadura negativa: minρρ ≥s 
- para armadura negativa de bordas sem continuidade: min67,0 ρρ ≥s 
- para armadura positiva de lajes armadas nas duas direções: min67,0 ρρ ≥s 
- para armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: minρρ ≥s 
- para armadura positiva (secundária ou construtiva) de lajes armadas em uma direção: 
 
 
mcm
A princs
s
/9,0
5,0
%20
2
minρρ ≥ 
 
Nas situações citadas anteriormente tem-se que: 
 
hb
A
w
s
s =ρ 
 
com b w =100 cm, h = espessura da laje (cm) e A s a armadura de tração dada em mcm /
2 . 
Os valores de minρ dependem do ckf adotado e já foram definidos no item 9.4.1 
desta apostila. 
 Como exemplo, para uma laje armada em uma direção com espessura 15 cm, com 
concreto classe C25, a armadura mínima positiva a ser adotada seria: 
 132
 
 mcmhAs /25,2.15,0
2min
== 
 
 No caso de uma laje armada em cruz, o valor seria: 
 
 mcmhAs /5,1.15,0.67,0 2min == 
 
- taxa de armadura máxima – o valor máximo de armadura de flexão deve respeitar o valor 
de 
 
 crs A%4
max ≤ρ 
 
- espaçamento entre as barras: o espaçamento máximo entre as barras da armadura, visando 
garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos, deve obedecer: 
 
- na região dos momentos máximos (positivo e negativo de lajes em cruz e momento segundo 
o menor vão para lajes apoiadas em uma única direção): 
 
 
cm
h
e
20
2
≤ 
 
- para armadura de distribuição em lajes armadas em uma única direção: 
 
 cme 33≤ , sendo aconselhável não se adotar espaçamentos superiores a 25 cm. 
 
 Como critério prático de espaçamento mínimo entre as barras da armadura pode-se 
considerar o valor de 8 cm, valor este que facilita a execução (concretagem) da laje. 
 
- ancoragem nos apoios – nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, em que seja 
dispensada armadura transversal, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das 
armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura 
positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura (as 
versões anteriores permitiam escalonamento!), devendo ser prolongada no mínimo 4 cm além 
do eixo teórico do apoio, respeitando-se o cobrimento da armadura. 
 
- representação – o detalhamento da armadura de uma laje deve ser feito isoladamente para 
a armadura positiva (inferior) e negativa (superior), a menos que a quantidade de lajes a serem 
detalhadas seja pequena. Estas armaduras devem obedecer a planta de forma já fornecida, e 
conter tabela de armadura e resumo do aço (peso) envolvido para o detalhamento em questão. 
As armaduras são representadas esquematicamente, de modo a facilitar a compreensão do 
desenho na obra. A representação da barra deve conter a quantidade, a identificação do ferro, 
a bitola utilizada, o comprimento das barras e o espaçamento entre as mesmas, e são 
usualmente estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da laje. 
 
 133
- detalhamento usual da armadura positiva: inicialmente, com o objetivo de se ter 
detalhamentos que não gerem dúvidas, costuma-se fazer um desenho para a armadura positiva 
e outro para armadura negativa, não se esquecendo dos diversos detalhes envolvidos. 
 A quantidade de ferros numa determinada direção pode ser obtida dividindo-se o vão 
livre correspondente pelo espaçamento e arredondando-se para um valor inferior. 
 Para numeração das barras, começa-se pelas barras horizontais, da esquerda para a 
direita e de cima para baixo. Numeradas todas as barras horizontais, numeram-se as barras 
verticais, girando-se o desenho de 90 graus no sentido horário, o que equivale a posicionar o 
observador à direita do desenho. Continua-se a numeração seguindo o mesmo critério adotado 
para as barras horizontais. 
 
- detalhamento usual da armadura negativa nos apoios internos: as armaduras resistentes 
calculadas junto aos apoios internos da laje, chamada também de armadura negativa, são 
estendidas de modo a “cobrir” o diagrama de momento fletor, numa extensão para cada lado de 
0,25 do maior dos menores vãos adjacentes considerados. 
 
Obs.: segundo recomendações do IBRACON, pode-se também fazer uso de armadura negativa 
intercalada. 
 
 134
 
 Também é necessária a utilização de uma armadura de montagem, para que se 
mantenha a posição correta da armadura negativa, que é costumeiramente colocada antes da 
concretagem. Um detalhe típico deste tipo de armadura (caranguejo) é mostrado na figura a 
seguir: 
 
 
- detalhamento da armadura de canto: nos cantos de lajes retangulares, formados por duas 
bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de 
momentos volventes (momentos torçores). Quando não for calculada armadura específica para 
resistir a esses momentos, deve ser disposta uma armadura especial, denominada armadura de 
canto. Esta armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelasà bissetriz 
do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Tanto a armadura superior quanto 
a inferior deve ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da armadura 
no centro da laje, na direção mais armada. As barras deverão se estender até a distância igual 
a 1/5 do menor vão da laje, sendo que deverão ser medidas a partir das faces dos apoios. A 
 135
armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta por duas armaduras 
perpendiculares, conforme indicado na figura abaixo. 
Como em geral as barras da armadura inferior são adotadas constantes em toda a laje, 
não é necessária armadura adicional inferior de canto. Já a armadura superior se faz 
necessária e, para facilitar a execução, recomenda-se adotar malha ortogonal superior com 
seção transversal, em cada direção, não inferior à metade da outra armadura. 
 
 
 
- detalhamento usual da armadura de bordo – nas bordas da laje sem continuidade com as 
adjacentes, deve-se uma armadura mínima com min67,0 ρρ ≥s junto às vigas de apoio, sendo 
que esta armadura deve se estender até pelo menos 0,15 do vão menor da laje a partir da face 
do apoio. Esta ação visa atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial 
da laje nestas vigas, lembrando-se que esta armadura torna-se importante quando existe uma 
grande rigidez à torção das vigas de bordo. Porém, em situações “normais”, muitos calculistas 
não consideram esta armadura. 
 
 
- armadura em balanços: as lajes em balanço são bastante utilizadas em sacadas de edifícios 
ou residências, devendo ser convenientemente dimensionadas e detalhadas. 
 136
 Uma laje em balanço será sempre considerada engastada na laje adjacente, 
independente da laje (em balanço) estar rebaixada ou não, devendo-se cuidar para que a laje 
adjacente tenha espessura maior ou igual à laje que está em balanço. 
 A armadura de flexão superior para balanços deve ser calculada para a seguinte 
condição: 
 
 















 +
≥
bal
baladj
X
Xmaiordo
XX
X %80
2
 
considerando-se para o momento do balanço ( balX ) uma faixa unitária com carga distribuída 
“g” (peso próprio + revestimento) e uma sobrecarga devido à utilização “q”. Na ponta do 
balanço, considera-se uma carga concentrada devido ao peso próprio da extremidade “g1” (que 
pode ser uma mureta ou uma grade metálica) sendo que esta carga deve ter valor mínimo de 2 
kN/m. Na disciplina de CAR I esta carga de 2 kN/m deverá ser somada à carga permanente, 
visto os grandes problemas oriundos quando do dimensionamento/execução de lajes em 
balanço. Também é necessário considerar uma carga de 0,8 kN/m atuando na altura do 
corrimão (vide NBR 6120). 
 
 
 
 
 
(?)parscrevppq +++=
 
 mkNPPP scperm /2≥+= 
 
 137
 
hPlqlM 8,0
2
2
++=
 
 PqlR += 
 
 Visto que muitos problemas de “acidentes” ocorrem com lajes em balanço, ou por erro 
de projeto, ou por erro de execução, a NBR 6118/2014 passa a considerar que no 
dimensionamento destas lajes, os esforços solicitantes finais de cálculo a serem considerados 
devem ser multiplicadas por um coeficiente adicional γn, de acordo com a tabela a seguir: 
 
H(cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 
 
 Os valores fornecidos na tabela anterior consideram que hn 05,095,1 −=γ , onde h 
é a altura da laje em centímetros. 
 O detalhamento da armadura de lajes em balanço pode ser feito de acordo com a figura 
abaixo, podendo-se utilizar somente os ferros N1 ou intercalar a armadura encontrada para 
comprimentos totais (N1) e metade do comprimento do balanço (N2). Em CAR I o 
detalhamento a ser utilizado será somente com N1! 
 
 
Obs.: 
a) quando a laje em balanço for rebaixada, deve-se considerar um detalhamento especial da 
armadura; 
b) quando da construção de uma laje em balanço, deve-se lembrar que ela possui um 
escoramento provisório que faz com que também a face inferior esteja tracionada exigindo 
uma armadura devidamente calculada e posicionada; 
 138
c) quando existir uma laje em balanço adjacente a uma laje pré-moldada ou nervurada, para 
que não haja esforço de torção na viga de apoio, é conveniente que se coloque uma faixa 
maciça nestas lajes com comprimento suficiente para se posicionar a armadura; 
d) toda armadura negativa (superior) deve possuir uma armadura de distribuição por questões 
construtivas. Esta armadura pode ser especificada através de um detalhe genérico na 
folha de armação, podendo-se utilizar uma bitola pequena (4,2 mm, 5 mm) num espaçamento 
de 20 a 30 cm. O peso desta armadura deve constar no resumo geral da folha; 
e) seguem alguns exemplos de problemas recentes envolvendo lajes em balanço, possivelmente 
por dimensionamento e/ou detalhamento mal feito: 
 
 
 
 
Todas as sacadas (15 andares) do edifício Dom Gerônimo que desabaram em outubro/2008 
em Maringá/PR. 
 139
 
 
Marquise da Universidade Estadual de Londrina (fev/2006) 
 
 Tendo em vista o grande número de acidentes envolvendo marquises, inclusive com vítimas, 
sugerimos a leitura do texto que se encontra em www.joinville.udesc.br/professores/sandra, 
que aborda cuidados que devem ser tomados com relação a armaduras, drenagem e concreto. 
 
- armadura em bordos livres e aberturas: as bordas livres e as faces das lajes maciças 
junto a aberturas devem ser adequadamente protegidas por armaduras transversais e 
longitudinais. Os detalhes típicos sugeridos para reforço mostrados são indicativos e devem 
ser adequados em cada situação. 
 
- armadura de tela soldada: a NBR 6118 permite o uso de telas soldadas que podem 
proporcionar maior facilidade na execução. Estas telas são formadas por malhas com fios 
transversais e longitudinais sobrepostos, com diâmetro entre 3,4 mm e 10 mm, normalmente 
com aço CA-60, sendo que os espaçamentos variam a cada 10, 15 ou até 30 cm Os tipos mais 
comuns são as malhas quadradas (tipo Q), retangulares longitudinais (tipo L), retangulares 
transversais (tipo T) ou especiais (tipo E), que são fabricadas somente por encomenda. 
 140
Maiores informações podem ser obtidas por exemplo com o Instituto Brasileiro de Telas 
Soldadas (IBTS - http://www.ibts.org.br). 
 
 
 Elementos da Tela 
 
 
 
 
 
 
Fonte: IBTS 
- consideração de furos e aberturas em lajes: normalmente os furos têm dimensões 
pequenas em relação às peças, enquanto as aberturas apresentam dimensões relativamente 
grandes, sendo que furos muito próximos um do outro devem ser tratados como aberturas. 
Para estes casos, não são permitidas lajes lisas ou cogumelo. As lajes devem ser armadas em 
duas direções e para aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura, as seguintes 
condições devem ser simultaneamente verificadas, para que não se precise fazer nenhum 
reforço extra e nem verificar a influência na resistência e na deformação da laje: 
a) as aberturas devem apresentar dimensão de no máximo 1/10 do menor vão; 
b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser no mínimo ¼ do 
vão, na direção considerada; 
c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser pelo menos a metade do menor 
vão. 
 141
 
 
 Quando estes itens não são respeitados, deve-se verificar o efeito das aberturas na 
resistência e deformação das lajes, fazendo-se os devidos reforços. 
 142
15. LAJES NERVURADAS 
 
15.1 DEFINIÇÃO E VANTAGENS 
 
 Quando se tem vãos relativamente grandes, as lajes maciças podem atingir 
espessuras tão grandes que a maior parte de sua capacidade resistente seria utilizada no 
combate às solicitações devidas ao peso próprio, tornando a estrutura antieconômica. Surge 
então a necessidadede se reduzir o peso próprio, o que pode ser feito suprimindo-se uma 
parte do concreto que “não trabalha”, na zona tracionada da laje, e agrupando-se as armaduras 
de tração em faixas, chamadas de nervuras, entre as quais pode ser colocado material inerte 
como tijolos de argila, blocos de concreto poroso, placa de gesso, isopor, etc. 
 
 
Detalhe geral. 
 
 
Laje nervurada bidirecional. 
 
 
 
 
 
 
 
 143
 
 
 
Laje nervurada unidirecional. 
 
 
Laje nervurada com cubetas 
 
 
Laje nervurada treliçada. 
 
 Entre as vantagens das lajes nervuradas, pode-se relacionar: 
- obtenção de estruturas mais leves no caso de lajes que vencem grandes vãos; 
- o material de enchimento pode servir como isolante térmico e acústico, com qualidades 
superiores ao do concreto utilizado; 
 A utilização de lajes nervuradas também apresenta algumas desvantagens, tais como: 
 144
- absorção da água do concreto, quando se utilizam tijolos não suficientemente molhados 
como material de enchimento, o que, por falta de orientação adequada, faz com que muitas 
vezes se acrescente água ao concreto, e consequentemente se reduz a resistência do 
mesmo; 
- a distribuição de cargas concentradas não é feita de forma tão eficiente quanto nas lajes 
maciças; 
- quando da utilização de dutos embutidos, estes devem ser sempre colocados na região da 
nervura (caso “a”) para que não se diminua a pequena espessura da mesa de concreto, 
evitando-se passar o duto na capa de concreto (caso “b”), para que não haja 
comprometimento de sua resistência à compressão. 
 
 Para as lajes nervuradas moldadas no local, todas as etapas de execução são 
realizadas "in loco". Portanto, é necessário o uso de fôrmas e de escoramentos, além do 
material de enchimento. Pode-se utilizar fôrmas apropriadas para substituir os materiais 
inertes, feitas normalmente em polipropileno ou em metal, com dimensões moduladas, sendo 
necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças. 
 
 
15.2 DIMENSÕES MÍNIMAS – as dimensões mínimas de uma laje nervurada devem atender: 
 
- a espessura da mesa ( )fh deve ser maior ou igual a 1/15 da distância “a” entre nervuras 
ou 3 cm (aconselha-se utilizar pelo menos um valor de 4 cm, quando não houver tubulações 
embutidas; 
 145
- a largura das nervuras ( )wb deve ser maior ou igual a 5 cm; 
- se houver armadura de compressão, as nervuras não podem ter largura inferior a 8 cm. 
 No caso de existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo de 12,5 mm, a 
espessura da mesa deve ser de no mínimo 4 cm. 
 
 
15.3 MATERIAL DE ENCHIMENTO 
 
 Para material de enchimento são utilizados diversos materiais, com a condição de que 
sejam “leves”, mas com resistência suficiente para suportar as operações de execução, 
lembrando-se que a resistência do material de enchimento não é considerada no cálculo das 
lajes. Os materiais de enchimento mais utilizados são blocos cerâmicos, blocos vazados de 
concreto e blocos de EPS (poliestireno expandido), também conhecido como isopor. Esses 
blocos podem ser substituídos por vazios, obtidos com fôrmas constituídas por caixotes 
reaproveitáveis. 
 Os blocos cerâmicos ou de concreto são mais usados nas lajes com vigotas pré-
moldadas, devido à facilidade de execução, sendo bons isolantes térmicos, porém apresentam 
peso específico relativamente elevado. 
 
 Por sua vez, os blocos de EPS são bastante utilizados, tanto em lajes nervuradas 
concretadas no local, como em lajes treliçadas pré-moldadas. A utilização de EPS garante um 
bom isolamento térmico e acústico, permite a execução de teto plano, apresenta facilidade de 
corte, é resistente às operações de montagem das armaduras e de concretagem, permite uma 
adequada distribuição de cargas devido ao seu baixo módulo de elasticidade, e finalmente, 
favorece a cura do concreto por ter um coeficiente de absorção bastante baixo. 
 
 
 146
 Uma outra opção é a utilização de caixotes reaproveitáveis, que em sua maioria são de 
polipropileno ou de metal, propiciando uma redução significativa do peso próprio da laje em 
função dos vazios que resultam na sua utilização. Estas formas podem ser utilizadas dezenas 
de vezes, sendo que para a sua retirada pode-se injetar ar comprimido ou utilizar 
desmoldantes, dispensando também o uso de tabuleiro tradicional, necessitando-se somente de 
pranchas colocadas na região das nervuras. 
 
 
 
 
 
 Independentemente do material de enchimento a ser utilizado, aconselha-se sempre 
verificar os catálogos próprios dos fabricantes, para correta utilização do peso específico e 
dimensões dos blocos. Como sugestão de peso próprio pode-se utilizar: 
 
 Blocos Sikal: γ = 4 KN/m 3 
 Blocos de argamassa: γ = 8 KN/m 3 
 Blocos de EPS: γ = 0 KN/m 3 
 
 
15.4 CRITÉRIOS DE PROJETOS 
 
 Para critérios de projetos, deve-se verificar: 
a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser 
dispensada a verificação da flexão da mesa, ou seja, pode-se calcular a laje nervurada 
 147
como se fosse uma laje maciça, com as devidas adaptações. Para a verificação do 
cisalhamento da região das nervuras permite-se usar os critérios de laje maciça; 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110 cm, exige-se a 
verificação da flexão da mesa e as nervuras serão verificadas ao cisalhamento como sendo 
vigas. Permite-se essa verificação como laje se o espaçamento entre eixos de nervuras for 
até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm. 
c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa 
deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus 
valores mínimos de espessura. 
 Obs.: Nas lajes nervuradas, atuando numa só direção, é importante que existam 
nervuras transversais convenientemente distribuídas quando existirem cargas concentradas ou 
necessidade de suavização da variação das flechas ao longo da direção transversal às nervuras 
principais. Como valor prático, sugere-se o uso de uma nervura transversal para vãos maiores 
que 4m, e duas nervuras transversais para vãos maiores que 6m. Também é conveniente que o 
apoio das lajes seja feito ao longo de uma nervura. Caso seja necessária a utilização de 
estribos nas lajes nervuradas, o espaçamento entre eles não deve ser maior que 20 cm. 
 
 
15.5 MÉTODO DE CÁLCULO 
 
Nesta disciplina será somente estudado o caso em que as nervuras distem no máximo 65 
cm. No dimensionamento de uma laje nervurada, a resistência à tração é concentrada na 
armadura das nervuras, e os materiais de enchimento têm como função única substituir o 
concreto, sem colaborar na resistência. Por isto, para as lajes nervuradas, procura-se evitar 
engastes e balanços, visto que, nesses casos aparecem esforços de compressão na face 
inferior, região em que a área de concreto é reduzida. Então, considera-se que as lajes estão 
simplesmente apoiadas (tipo 1). 
 O método de cálculo para as lajes nervuradas pode ser então resumido em: 
a) determinação da geometria que define a estrutura, lembrando-se que para os limites 
impostos pela NBR 6118 a laje nervurada pode ser calculada como uma laje maciça, com uma 
espessura equivalente, por qualquer procedimento clássico simplificado e plenamente 
justificado. Considera-se a laje como sendo do tipo 1, com vãos yx ll ≤ . 
b) cálculo do carregamento: o carregamento em uma laje nervurada consiste de peso próprio, 
sobrecarga devido à utilização, revestimento e eventuais paredes, sendo estes últimos 
idênticos ao já visto para lajes maciças. Assim: 
 
 parscrevppq +++= 
 
- determinação do peso próprio para laje nervurada em duas direções (maior vão/menor vão 
≤ 2): 
 148
 
 
 
 )).(.(..)(
100
.)(
100
.
'' encconcfyx
yxconc hhttbtbt
hpp γγγ −−
++
−= 
 
- determinação do peso próprio para lajes nervuradas em uma só direção (vão maior/vão 
menor > 2): 
´ ´ ´ ´
´
 
 149
 )).(.(..)(
100
.
' encconcfx
x
conc hhtbt
hpp γγγ −−
+
−= 
 
c) determinação dos momentos fletores e reações de apoio por metro de laje, considerando 
as fórmulas para laje tipo 1 ou laje apoiada em uma só direção; 
 
d) determinação da armadura (cm2/m), tomando-se o cuidado de se verificar a armadura 
mínima de flexão, e posterior transformação desta para armadura por nervura: 
 
 nervcmnervurasdeeixosentredistxmcmAs /.)/( 22 →→ 
 
e) detalhamento da armadura (feito por nervura). 
 
Obs.: quando existir uma laje maciça em balanço adjacente a uma laje nervurada, deve-se 
utilizar uma faixa maciça (mostrada na planta de forma) ao longo do balanço com largura 
equivalente ao vão do balanço, para que a armadura negativa deste último possa ser 
considerada engastada. Caso isto não seja feito, deve-se prever o efeito de torção na viga 
entre a laje nervurada e a laje em balanço. 
 
15.6 VERIFICAÇÕES 
 
Para as lajes nervuradas, pode ser necessário fazer as seguintes verificações: flexão 
nas nervuras, cisalhamento nas nervuras, flexão na mesa, cisalhamento na mesa e flecha da 
laje. Alguns destes itens não serão abordados na disciplina de CAR-I, devendo-se procurar 
bibliografia apropriada. 
 
15.7 LAJES MISTAS 
 
 As lajes mistas são semelhantes às lajes nervuradas, tendo como diferenças básicas 
a não obrigatoriedade da existência de capa superior de concreto e o fato de os tijolos, 
colocados entre as nervuras, trabalharem à compressão, contribuindo para a resistência total 
da laje. Como estes tijolos devem possuir elevada resistência, devem também passar por 
rigoroso controle de qualidade elevando os custos de produção. No Brasil, onde praticamente 
só se encontram os tijolos comuns, para os quais não há garantia de valor mínimo e nem de 
uniformidade na resistência à compressão, a utilização de lajes mistas caiu em desuso, sendo 
então somente citadas nesta apostila. 
 
 150
16. CUIDADOS GERAIS NO PROJETO E NA EXECUÇAO DE LAJES 
 
 Um dos cuidados essenciais para se evitarem flechas excessivas em lajes é quanto à 
retirada de formas e escoramento. A experiência tem mostrado que a retirada prematura do 
escoramento leva muitas vezes à fissuração e flechas excessivas, comprometendo de forma 
praticamente irreversível a obra. 
 Sendo as lajes elementos com elevada superfície específica, a perda de água no 
concreto fresco efetua-se de modo muito rápido, principalmente nas regiões tropicais. Torna-
se necessária então uma cuidadosa cura, mantendo a superfície superior das lajes coberta por 
película de água, principalmente durante os primeiros sete dias de idade. 
 Podem ocorrer fissuras, inclusive no sentido transversal, de lajes armadas em uma só 
direção devido aos fenômenos de retração e variação de temperatura, e as armaduras de 
distribuição contribuem para minorar esta ocorrência. 
 Em lajes com grandes vãos, especialmente em balanço, deve-se especificar no projeto 
contra-flechas, as quais têm como finalidade compensar as deflexões que irão ocorrer quando 
do carregamento da laje. No cálculo desta contra-flecha deve-se levar em conta inclusive o 
fenômeno da deformação lenta. 
 Nas lajes rebaixadas, ou quando se usam vigas invertidas, deve-se ter o cuidado de 
detalhar as armaduras d laje como indicado na figura abaixo, de modo a garantir que a viga dê 
efetivo apoio à laje. Além disto, a armadura transversal da viga deve prever a suspensão da 
reação de laje (armadura somada à de cisalhamento), que é um carregamento inferior para a 
viga. 
 
 151
17 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO 
 
 Como visto em itens anteriores, deve-se verificar basicamente duas condições de 
estado limite de serviço: deformação e fissuração (formação e aberturas). Esta verificação se 
deve ao fato de que o projeto estrutural, além de oferecer segurança contra a ruína, deve 
também prever um bom desempenho em serviço e uma durabilidade adequada. 
 Para retratar melhor a realidade, é aconselhável que seja realizada uma análise que 
leve em consideração o comportamento não-linear dos materiais empregados, uma vez que o 
concreto e o aço possuem comportamentos diferentes. 
 Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I 
(sem fissuras) e parcialmente no estádio II (com fissuras). Desta forma, considerar toda a 
estrutura apenas no estádio I (mais rígida) pode resultar em valores contra a segurança. Ao 
contrário, considerar toda a estrutura apenas no estádio II pode resultar em valores 
exagerados. Esta questão será levada em conta na formulação a ser vista nos próximos itens, 
válida para vigas e para lajes. 
 
 
17.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES 
 
 Segundo a NBR 6118, na verificação das deformações de uma estrutura deve-se 
considerar uma combinação quase-permanente de ações e rigidez efetiva das seções, uma vez 
que se têm materiais de diferentes características. 
 A combinação quase-permanente (peça trabalhando em serviço) é dada por: 
 
 ∑∑ += kqjjkgiserd FFF ,2,, .ψ 
 
Onde 
serdF , - valor de cálculo das ações para combinações de serviço; 
gikF - valor característico das ações permanentes de serviço; 
2ψ - fator de redução de combinações quase permanente para ELS; 
qikF - valor característico das ações variáveis principais diretas. 
 Usualmente, deve-se tomar 30% do valor das cargas variáveis em edifícios 
residências (ψ2 = 0,3), 40% em edifícios comerciais, escritórios e edifícios públicos (ψ2 = 0,4) 
e 60% no caso de bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens (ψ2 = 0,6). 
 
17.1.1 FLECHAS MÁXIMAS ADMISSÍVEIS 
 
 Deformações ou flechas excessivas podem ser responsáveis por sensações 
desagradáveis para os usuários de uma estrutura e causar outros problemas. Por isto, deve-se 
considerar os valores limites dados pela NBR 6118, para as combinações de carregamento mais 
desfavoráveis: 
 
 152
 
 
 153
 De forma geral, considerando-se aceitabilidade sensorial, tem-se: 
 
 Flecha total (devido ao carregamento total com efeito do tempo) ≤ L/250 
 Flecha devida somente às cargas acidentais ≤ L/350 
 
 Nas fórmulas anteriores L é o vão do elemento considerado, supondo-o suportado nas 
extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a 
ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. No caso de lajes, L é o menor 
vão. 
 Se por acaso estes limites são ultrapassados, algumas alternativas de solução podem 
ser utilizadas: 
- aumentar a idade para aplicação da carga (aumentar 0t ), mantendo o escoramento por mais 
tempo ou retardando a execução de revestimentos, paredes, etc. 
- adotar uma contra flecha, com valor aproximado da flecha imediata mais metade da flecha 
diferida ao longo do tempo: 
 
 
2
tempo
ohacontraflec
a
aa += 
 
 Porém, esta solução ocasiona problemas de regularização de pisos, devendo ser 
utilizada com bastante cuidado, não podendo também ocasionar um desvio do plano maior que 
L/350. 
 O cálculo das deformações poderá ser feito no Estádio I para lajes, considerando sua 
seção não fissurada, usando-se o módulo de deformação secante (
csE ). O efeito da fluência 
pode ser considerado de maneira simplificada, multiplicando-se as flechas calculadas 
elasticamente por um fator K a saber: 
 - K=3 quando as cargas são aplicadas antes de decorrerem quatro meses de 
construção; 
 - K = 2 quando as cargas são aplicadas quatro meses após a construção. 
 Para lajes armadas em uma única direção, pode-se determinar as flechas da mesma 
maneira que vigas, considerando-se a laje como uma viga de largura igual a um metro. Para lajes 
armadas em duas direções, e no caso de lajes armadas em cruz pode ser aplicada a propostade 
Czerny, onde 
 3
4
0 Eh
qlf xα= 
 
α - parâmetro de Czerny encontrado no anexo VII 
h – espessura da laje 
xl - menor vão da laje 
 
17.1.2 DETERMINAÇÃO DAS FLECHAS IMEDIATAS 
 
 O cálculo das flechas imediatas ( 0f ) é feito de acordo com as fórmulas da 
resistência dos materiais (comportamento elástico), e considerando separadamente o 
 154
carregamento permanente ( permof , ) e o carregamento devido à sobrecarga ( scof , ), e adaptadas 
para uma rigidez equivalente eqEI )( . Dependendo das condições de apoio e do tipo de 
carregamento atuante, tem-se: 
 
 - Viga bi-apoiada com carregamento uniformemente distribuído: 
 
 
eqEI
qlf )(384
5 4
0 = 
 
- Viga bi-apoiada com carregamento concentrado único no centro: 
 
 
eqEI
Plf )(48
3
0 = 
 
 - Viga contínua (engastada-apoiada) com carregamento uniformemente distribuído: 
 
 
eqEI
qlf )(384
2 4
0 = 
 
 - Viga bi-engastada com carregamento uniformemente distribuído: 
 
 
eqEI
qlf )(384
4
0 = 
 
 - Viga em balanço com carga uniformemente distribuída e carga concentrada na 
extremidade: 
 
 
eqeq EI
ql
EI
Plf )(8)(3
43
0 += 
 
 
17.1.3 RIGIDEZ EQUIVALENTE 
 
 Ao contrário dos ensinamentos da resistência dos materiais clássica onde a seção 
transversal de uma estrutura em estudo é composta por um material homogêneo, tem-se que 
em estruturas de concreto armado a seção é formada por dois materiais com características 
bem diferentes: concreto com boa resistência à compressão e aço com boa resistência tanto à 
compressão e à tração. É importante salientar que as flechas não são calculadas, mas sim 
estimadas, devendo-se evitar análises puramente elásticas. Por esta razão, no cálculo das 
flechas deve ser considerada a rigidez efetiva das seções da peça estrutural, ou seja, deve-se 
considerar a presença da armadura, a existência de fissuras e as deformações ao longo do 
tempo. 
 155
 Para o cálculo da flecha imediata em vigas de concreto armado pode-se utilizar a 
aproximação da fórmula de Branson (termo entre colchetes, referente a eqI ), na qual é feita 
uma interpolação direta das rigidezes entre os estádios I e II puro (totalmente fissurado), 
resultando numa rigidez equivalente: 
 
 (
ccsII
a
fis
c
a
fis
cseq IEIM
M
I
M
M
EEI ≤






















−+





=
33
1.) 
onde se tem: 
csE - o módulo de elasticidade secante do concreto ( ckcics fxxEE .560085,085,0 == ); 
fisM - momento de fissuração da peça, que define a separação entre o Estádio I (quando não 
existem fissuras) e o Estádio II (quando aparecem fissuras), devendo seu valor ser reduzido à 
metade no caso de utilização de barras lisas: 
 
 
t
cct
fis y
IfM ..α= 
sendo: 
 
α - fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência 
à tração direta, assumindo os valores: 
 
 2,1=α para seções T ou duplo T; 
 5,1=α para seção retangular. 
 
 Para lajes, os valores de α são:: 
 
 2,1=α para lajes nervuradas; 
 5,1=α para lajes maciças. 
 
Obs.: No caso de se utilizar barras lisas em lajes, o fisM deve ser reduzido à metade. 
 
ctf - resistência à tração direta do concreto, sendo que no estado limite de deformação 
excessiva pode ser tomado o valor de ctmf , e no estado limite de formação de fissuras, a ser 
estudado no próximo item, deve-se usar o valor de inf,ctkf , ou seja: 
 
 3/23,0 ckctmct fff == (Mpa) para deformações excessivas; 
 
 ctmctkct fff 7,0inf, == (MPa) para formação de fissuras. 
 
cI - o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
ty - a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada: 
 156
 2
hdyt −= 
 
aM - momento fletor na seção crítica do vão considerado, para a combinação quase 
permanente de ações; 
III - momento de inércia da seção fissurada no Estádio II, calculado com cssE EE /=α . O 
fator Eα considera a homogeneização da seção, pela substituição da área de aço por uma área 
correspondente de concreto, uma vez que os dois materiais possuem propriedades diferentes; 
 
 Se fisser MM ≤ , a flecha imediata pode ser obtida no Estádio I (sem fissuração): 
 
 
Ics
ser
o IE
Lp
a
.
.
.
4
β= 
 
onde: 
- L é o vão de cálculo da laje; 
- 
csE é o módulo de elasticidade secante do concreto; 
- II é a inércia no estádio I 
- β depende da vinculação e do tipo de carga, valendo para os casos mais simples: 
 
 apoio-apoio apoio-engaste engaste-engaste 
Carga uniformemente distribuída 5/384 2/384 1/384 
 
 
 Se yserfis MMM << determina-se a flecha imediata, que considera a rigidez 
equivalente, ou seja, a seção encontra-se fissurada: 
 
 
eq
ser
o EI
Lp
a )(
.
.
4
β= 
 
17.1.3 LINHA NEUTRA E INÉRCIA NO ESTÁDIO II 
 
 No estádio II o concreto tracionado pode ser desprezado, pois ele está fissurado, 
conforme pode ser visto na figura a seguir, que retrata o caso de uma seção retangular com 
armadura simples: 
 
 
 157
 
 Neste capítulo serão vistas somente as fórmulas de III para os casos de seção 
retangular, onde IIx representa a distância da linha neutra no referido estádio: 
 
- para seção retangular com armadura simples: 
 
 








++−=
sE
w
w
sE
II A
db
b
A
x
.
..211.
α
α
 
 
 2
3
).(.
3
.
IIsE
IIw xdAxbI
II
−+= α 
 
- para seção retangular com armadura dupla: 
 
 )..(2)()( '
2''
ss
w
E
w
ssE
w
ssE
II AtAdbb
AA
b
AA
x ++




 +
+
+
−=
ααα
 
 
 2'2
3
).(.).(.
3
.
txAxdAxbI IIsEIIsEIIwII −+−+= αα 
 
onde t representa a distância do cg da armadura de compressão até a face mais comprimida. 
 
Obs.: 
- os casos de seção T, com ou sem armadura dupla, não serão aqui abordados, devendo-se 
procurar a bibliografia adequada; 
- nas fórmulas anteriores, em se tratando de uma situação em serviço, o valor de “d” 
corresponde ao valor real da altura útil. 
 
17.1.4 CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO 
 
 Na consideração da flecha em vigas e lajes de concreto armado, percebe-se que há 
um aumento nas deformações do concreto quando as mesmas estão submetidas a cargas de 
longa duração, como as cargas permanentes. A flecha adicional diferida no tempo pode ser 
 158
calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator fα dado pela 
expressão: 
 
 
'.501 ρ
ξ
α
+
∆
=f 
 
Onde: 
 
)501( 'ρ+ - fator que considera a redução da deformação pela presença de armadura de 
compressão; 
 
db
A
w
s
.
'
'
=ρ - taxa geométrica da armadura de compressão no trecho considerado; 
 
ξ - coeficiente que leva em conta o aumento da deformação e é função da duração da carga 
dado pela expressão aproximada: 
 
 )()( 0tt ξξξ −=∆ 
 
 32,0).996,0.(68,0)( tt t=ξ para t ≤ 70 meses 
 
 )(tξ = 2 para t > 70 meses. 
 
 O quadro a seguir indica a correspondência entre t , dado em meses e )(tξ : 
 
t 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥70 
)(tξ 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
t - tempo, em meses, quando se deseja calcular o valor da flecha diferida; 
0t - idade, em meses, quando se aplicou a carga de longa duração. 
 
 O valor da flecha total pode então ser obtido através da expressão: 
 
 0).1( faf ftotal += 
 
sendo que este valor deve respeitar os limites impostos anteriormente. Deve-se lembrar 
também, que no cálculo da parcela relativa à sobrecarga, deve-se utilizar os valores dados em 
norma relativos à incidência deste carregamento (é um carregamento que ora está atuando, ora 
não ...). 
 
 
 
 
 159
17.2 ESTADO LIMITE DE FISSURAÇÃONormalmente todas as estruturas de concreto armado apresentam fissuras, e estas 
aberturas devem ficar dentro de limites que não comprometam as condições de serviço e 
durabilidade das mesmas, sendo basicamente importante para as questões de estética e 
estanqueidade. As fissuras são praticamente inevitáveis em estruturas de concreto onde 
existam tensões de tração, e sofrem influências difíceis de serem consideradas, recebendo 
influência direta da forma de execução da obra e da proteção da armadura (recobrimento). 
Para evitar problemas de fissuração o projetista deve detalhar corretamente a armadura de 
flexão, e se for o caso, deve inclusive aumentá-la. 
 Para a fissuração, deve-se considerar dois estados-limites: estado limite de 
formação de fissuras (ELS-F) e estado limite de abertura de fissuras (ELS-W), que tem 
interesse maior no cálculo de estruturas usuais. 
 
17.2.1 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS (ELS-F) 
 
 O estado limite de formação de fissuras é a situação em que se inicia a formação de 
fissuras, correspondendo ao momento de fissuração calculado com inf,ctkct ff = . Tendo sido 
calculado o valor de fisM , compara-se com o momento fletor obtido para combinação rara de 
serviço: 
 
 kqjjkqkgiserd FFFF ,1,1,, .ψ∑++∑= 
Onde: 
 
serdF , - valor de cálculo das ações para combinações de serviço; 
gikF - valor característico das ações permanentes de serviço; 
kqF 1 - valor característico das ações variáveis principais diretas; 
1ψ - fator de redução de combinação freqüente para ELS. 
 
 Para edifícios, onde em geral a única ação variável atuante é a carga de uso, tem-se: 
 
 kqkgkserd FFFF =+=, 
 
 Portanto 
 
 fisrarad MM =, 
 
 No caso de se ter fisrarad MM >, , diz-se que há formação de fissuras, e em caso 
contrário, não. 
 
 
 
 
 160
17.2.2 ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS (ELS-W) 
 
 Este estado limite corresponde à situação em que as fissuras se apresentam com 
aberturas iguais aos máximos especificados, sendo que em estruturas usuais, este é o estado 
limite de maior interesse. 
 Na verificação de abertura de fissuras deve ser considerada combinação freqüente 
de ações: 
 
 ∑∑ ++= kqjjkqkgiserd FFFF ,2,11,, .. ψψ 
 
 Para edifícios em geral, em que a carga de uso é a única ação variável, tem-se: 
 
 qkgkserd FFF .1, ψ+= com 1ψ =0,4. 
 
 A abertura máxima característica kω das fissuras, desde que não exceda valores da 
ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, sob a ação das combinações freqüentes, não tem importância 
significativa na corrosão das armaduras passivas. 
 Como a fissuração é um processo nocivo às armaduras, deve-se verificar a segurança 
em relação aos estados limites de aberturas através do cálculo da grandeza da abertura das 
fissuras (ω ) para cada parte da região de envolvimento crA de um elemento (armadura).
 Para efeito de estimativa, a grandeza da abertura da fissura kω , determinada para 
cada parte da região de envolvimento, pode ser considerada como sendo o menor valor entre as 
duas expressões abaixo: 
 
 
ctm
si
si
si
i
i
k fE
σσ
η
φ
ω
.3
..
.5,12
= 
 
 





+= 454..
.5,12 risi
si
i
i
k E ρ
σ
η
φ
ω 
 
sendo riisi ρφσ ,, , siE definidos para cada área de envolvimento em exame. 
 
 São definidos: 
criA - área da região de envolvimento protegida pela barra iφ ,sendo constituída por um 
retângulo cujos lados não distam mais do que φ5,7 do eixo da barra da armadura; 
siE - módulo de elasticidade do aço da barra iφ considerada; 
riρ - taxa de armadura passiva em relação a área da região de envolvimento dada por 
 
 
cri
si
ri A
A
=ρ 
 
 161
siσ - tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio 
II, que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do 
concreto, podendo ser usada a relação Eα entre os módulos de elasticidade do aço e do 
concreto igual a 15 ( cssE EE /=α ); 
iη - coeficiente de conformação superficial da armadura considerada ( 1ηη =i para armadura 
passiva) 
 1η = 1,0 para barras lisas (CA 25); 
 1η = 1,4 para barras dentadas (CA 60); 
 1η = 2,25 para barras nervuradas (CA 50). 
ctmf - resistência média do concreto à tração ( ctmf 3/23,0 ckf= , em Mpa). 
 
 Como desenho esquemático do concreto de envolvimento da armadura tem-se: 
 
 
 
 
 Para se calcular o valor de siσ , pode-se utilizar: 
 
- pelo cálculo refinado: 
 
 
II
IIfreqdE
sII
II
freqd
E
s
cs I
xdM
xd
I
M ).(.).( ,, −=⇒−== ασ
α
σ
σ 
 
- para um cálculo aproximado pode-se adotar z=0,80d, com IIxx =2 . 
 162
 
 
 
s
freqd
s Ad
M
..80,0
,
=σ 
 
 
17.2.3 ABERTURA MÁXIMA DE FISSURAS 
 
 Os valores limites de abertura característica das fissuras são definidos na NBR 
6118, e são função da classe de agressividade ambiental segundo a tabela a seguir: 
 
 
 Os valores fornecidos na tabela anterior referem-se a valores limites 
característicos para garantir uma proteção adequada das armaduras quanto à corrosão, sendo 
que fissuras reais podem eventualmente ultrapassar estes valores. 
 
17.2.4 SOLUÇÕES DE PROBLEMAS DEVIDO À FISSURAÇÃO 
 
 Caso haja problemas de fissuração, pode-se adotar as seguintes providências: 
- diminuir o diâmetro da barra (melhor escolher uma maior quantidade de barras de “pequeno” 
diâmetro do que uma menor quantidade de barras de “grande” diâmetro); 
- aumentar o número de barras mantendo o diâmetro, o que vai fazer com que a tensão diminua; 
- aumentar a seção transversal da peça. 
 Segundo a NBR 6118, pode-se dispensar a avaliação da grandeza da abertura de 
fissuras, e considerar atendidas as condições de estado limite de fissuração (aberturas 
máximas da ordem de 0,3 mm para peças de concreto armado), se um elemento estrutural 
respeitar as condições de recobrimento, de armadura mínima e as restrições de 
dimensionamento da tabela abaixo. Considerando-se que a tensão sσ deve ser determinada no 
estádio II, e que maxφ é o diâmetro máximo da armadura considerada e maxs é o espaçamento 
 163
máximo da mesma, os valores máximos de diâmetro e espaçamento para barras de alta 
aderência devem ser verificados pela tabela a seguir: 
 
Tensão de 
barra 
Valores máximos – caso 
de concreto armado 
)(Mpasσ )(max mmφ )(max cms 
160 32 30 
200 25 25 
240 20 20 
280 16 15 
320 12,5 10 
360 10 5 
400 8 - 
 
Observações: 
- nos componentes e elementos estruturais sob classes de agressividade muito forte (IV), a 
limitação de abertura de fissuras em valores menores que 0,3 mm não se constitui medida 
suficiente para prevenir a deterioração da estrutura, pois a penetração de agentes agressivos 
ao concreto até atingir a armadura, se dá por outros mecanismos que não exclusivamente 
através de fissuras; 
- deve-se lembrar ainda que o revestimento da superfície de concreto com chapisco, emboço e 
reboco de argamassa de cimento, ou revestimento cerâmico, não atua necessariamente como 
barreira protetora da armadura, uma vez que na tradição brasileira, costuma-se lavar as 
fachadas e pisos com ácido muriático (ácido clorídrico comercial), que é altamente agressivo às 
armaduras; 
- é conveniente que toda a armadura de pele iφ de uma viga, na sua zona tracionada, limite a 
abertura de fissuras na região 
criA correspondente, e que seja mantido um espaçamento 
menor ou igual a 15φ ; 
- na maioria dos casos, as lajes usuais de edifícios não apresentam problemas de fissuração, já 
que geralmente possuem tensões na armadura em serviço abaixo de 240 Mpa e espaçamento 
abaixo de 20 cm, mas mesmo assim, e principalmente para lajes de grandes vãos e 
carregamentos, é interessante se verificar a fissuração conforme fórmulas anteriores. 
 
 
 164
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS165
ANEXO I – TABELA DE DIMENSIONAMENTO PARA SEÇÃO RETANGULAR (KN, cm) 
PARA CONCRETOS COM Mpafck 50≤ 
 
Ky Kx Kz Km Ka 
fck50 fck45 fck40 fck35 fck30 fck25 fck20 fck15 CA25 CA50 CA60 
0,010 0,013 0,995 33,107 36,785 41,383 47,295 55,178 66,213 82,767 110,356 0,046 0,023 0,019 
0,020 0,025 0,990 16,637 18,486 20,796 23,767 27,728 33,274 41,592 55,457 0,046 0,023 0,019 
0,030 0,038 0,985 11,148 12,386 13,935 15,925 18,579 22,295 27,869 37,159 0,047 0,023 0,019 
0,040 0,050 0,980 8,403 9,337 10,504 12,005 14,006 16,807 21,008 28,011 0,047 0,023 0,020 
0,050 0,063 0,975 6,757 7,508 8,446 9,653 11,262 13,514 16,893 22,524 0,047 0,024 0,020 
0,060 0,075 0,970 5,660 6,289 7,075 8,086 9,433 11,320 14,150 18,867 0,047 0,024 0,020 
0,070 0,088 0,965 4,877 5,418 6,096 6,967 8,128 9,753 12,191 16,255 0,048 0,024 0,020 
0,080 0,100 0,960 4,289 4,766 5,362 6,127 7,149 8,578 10,723 14,297 0,048 0,024 0,020 
0,090 0,113 0,955 3,833 4,258 4,791 5,475 6,388 7,665 9,581 12,775 0,048 0,024 0,020 
0,100 0,125 0,950 3,467 3,853 4,334 4,954 5,779 6,935 8,669 11,558 0,048 0,024 0,020 
0,110 0,138 0,945 3,169 3,521 3,961 4,527 5,282 6,338 7,922 10,563 0,049 0,024 0,020 
0,120 0,150 0,940 2,920 3,245 3,650 4,172 4,867 5,841 7,301 9,734 0,049 0,024 0,020 
0,130 0,163 0,935 2,710 3,011 3,388 3,872 4,517 5,420 6,775 9,034 0,049 0,025 0,020 
0,140 0,175 0,930 2,530 2,811 3,163 3,614 4,217 5,060 6,325 8,433 0,049 0,025 0,021 
0,150 0,188 0,925 2,374 2,638 2,968 3,392 3,957 4,748 5,935 7,914 0,050 0,025 0,021 
0,160 0,200 0,920 2,238 2,487 2,797 3,197 3,730 4,476 5,595 7,460 0,050 0,025 0,021 
0,170 0,213 0,915 2,118 2,353 2,647 3,025 3,530 4,235 5,294 7,059 0,050 0,025 0,021 
0,180 0,225 0,910 2,011 2,235 2,514 2,873 3,352 4,022 5,028 6,704 0,051 0,025 0,021 
0,190 0,238 0,905 1,916 2,129 2,395 2,737 3,193 3,831 4,789 6,386 0,051 0,025 0,021 
0,200 0,250 0,900 1,830 2,033 2,288 2,614 3,050 3,660 4,575 6,100 0,051 0,026 0,021 
0,210 0,263 0,895 1,753 1,947 2,191 2,504 2,921 3,505 4,382 5,842 0,051 0,026 0,021 
0,220 0,275 0,890 1,682 1,869 2,103 2,403 2,804 3,365 4,206 5,608 0,052 0,026 0,022 
0,230 0,288 0,885 1,618 1,798 2,023 2,312 2,697 3,237 4,046 5,394 0,052 0,026 0,022 
0,240 0,300 0,880 1,560 1,733 1,950 2,228 2,600 3,119 3,899 5,199 0,052 0,026 0,022 
0,250 0,313 0,875 1,506 1,673 1,882 2,151 2,510 3,012 3,765 5,020 0,053 0,026 0,022 
0,260 0,325 0,870 1,456 1,618 1,820 2,080 2,427 2,913 3,641 4,854 0,053 0,026 0,022 
0,270 0,338 0,865 1,410 1,567 1,763 2,015 2,351 2,821 3,526 4,702 0,053 0,027 0,022 
0,280 0,350 0,860 1,368 1,520 1,710 1,954 2,280 2,736 3,420 4,560 0,053 0,027 0,022 
0,290 0,363 0,855 1,329 1,476 1,661 1,898 2,214 2,657 3,321 4,428 0,054 0,027 0,022 
0,300 0,375 0,850 1,292 1,435 1,615 1,845 2,153 2,584 3,230 4,306 0,054 0,027 0,023 
0,310 0,388 0,845 1,258 1,397 1,572 1,796 2,096 2,515 3,144 4,192 0,054 0,027 0,023 
0,320 0,400 0,840 1,225 1,362 1,532 1,751 2,042 2,451 3,064 4,085 0,055 0,027 0,023 
0,330 0,413 0,835 1,195 1,328 1,494 1,708 1,992 2,391 2,989 3,985 0,055 0,028 0,023 
0,340 0,425 0,830 1,167 1,297 1,459 1,668 1,945 2,335 2,918 3,891 0,055 0,028 0,023 
0,350 0,438 0,825 1,141 1,268 1,426 1,630 1,901 2,282 2,852 3,803 0,056 0,028 0,023 
0,360 0,450 0,820 1,116 1,240 1,395 1,594 1,860 2,232 2,790 3,720 0,056 0,028 0,023 
0,370 0,463 0,815 1,092 1,214 1,365 1,561 1,821 2,185 2,731 3,641 0,056 0,028 0,024 
0,380 0,475 0,810 1,070 1,189 1,338 1,529 1,784 2,140 2,676 3,567 0,057 0,028 0,024 
0,390 0,488 0,805 1,049 1,166 1,312 1,499 1,749 2,098 2,623 3,497 0,057 0,029 0,024 
0,400 0,500 0,800 1,029 1,144 1,287 1,471 1,716 2,059 2,574 3,431 0,058 0,029 0,024 
0,410 0,513 0,795 1,011 1,123 1,263 1,444 1,684 2,021 2,527 3,369 0,058 0,029 0,024 
0,420 0,525 0,790 0,993 1,103 1,241 1,418 1,655 1,986 2,482 3,309 0,058 0,029 0,024 
0,430 0,538 0,785 0,976 1,084 1,220 1,394 1,626 1,952 2,440 3,253 0,059 0,029 0,024 
0,440 0,550 0,780 0,960 1,066 1,200 1,371 1,600 1,920 2,400 3,199 0,059 0,029 0,025 
0,450 0,563 0,775 0,945 1,049 1,181 1,349 1,574 1,889 2,361 3,148 0,059 0,030 0,025 
0,460 0,575 0,770 0,930 1,033 1,163 1,329 1,550 1,860 2,325 3,100 0,060 0,030 0,025 
0,470 0,588 0,765 0,916 1,018 1,145 1,309 1,527 1,832 2,290 3,054 0,060 0,030 0,025 
0,480 0,600 0,760 0,903 1,003 1,129 1,290 1,505 1,806 2,257 3,010 0,061 0,030 
 166
0,490 0,613 0,755 0,890 0,989 1,113 1,272 1,484 1,781 2,226 2,968 0,061 0,030 
0,500 0,625 0,750 0,878 0,976 1,098 1,255 1,464 1,757 2,196 2,928 0,061 0,031 
0,510 0,638 0,745 0,867 0,963 1,084 1,239 1,445 1,734 2,167 2,890 0,062 
0,520 0,650 0,740 0,856 0,951 1,070 1,223 1,427 1,712 2,140 2,854 0,062 
0,530 0,663 0,735 0,846 0,940 1,057 1,208 1,409 1,691 2,114 2,819 0,063 
0,540 0,675 0,730 0,836 0,928 1,045 1,194 1,393 1,671 2,089 2,785 0,063 
0,550 0,688 0,725 0,826 0,918 1,033 1,180 1,377 1,652 2,065 2,754 0,063 
0,560 0,700 0,720 0,817 0,908 1,021 1,167 1,362 1,634 2,042 2,723 0,064 
0,570 0,713 0,715 0,808 0,898 1,010 1,155 1,347 1,617 2,021 2,694 0,064 
0,580 0,725 0,710 0,800 0,889 1,000 1,143 1,333 1,600 2,000 2,666 0,065 
0,590 0,738 0,705 0,792 0,880 0,990 1,131 1,320 1,584 1,980 2,640 0,065 
0,600 0,750 0,700 0,784 0,871 0,980 1,120 1,307 1,569 1,961 2,614 0,066 
0,610 0,763 0,695 0,777 0,863 0,971 1,110 1,295 1,554 1,943 2,590 0,066 
0,620 0,775 0,690 0,770 0,856 0,963 1,100 1,283 1,540 1,925 2,567 0,067 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
Kx = 0,4 situação limite entre armadura simples e dupla para momento negativo com fck maior que 35 Mpa 
 
Kx = 0,5 situação limite entre armadura simples e dupla para momento negativo com fck menor ou igual a 35 Mpa 
 
Kx = 0,625 situação limite entre armadura simples e dupla para momento positivo para qualquer fck 
 
 167
ANEXO II– TABELA DE ARMADURA (cm2)Fonte: apostila prof. Libânio (São Carlos/SP)Obs.: 
verificar sempre o recobrimento da armadura em função da classe de agressividade 
 
 168
ANEXO III– TABELA DE ARMADURA (cm2/m) Fonte: apostila Prof. Libânio – São 
Carlos/SP 
 
 
 169
ANEXO IV - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações (NBR 6120) 
 
 
 170
 
 
 171
 
 
 172
 
 
 
 
 173
 
 
 
 174
ANEXO V - DEFINIÇÃO DA ESPESSURA ÚTIL DE UMA LAJE SEGUNDO A NBR 
6118/80 (FONTE: APOSTILA PROF. LIBANIO – SÃO CARLOS/SP) 
 
 
 175
 
 
 
 176
 
 
 177
ANEXO VI – TABELAS DE MARCUS PARA O CÁLCULO DE MOMENTOS PARA LAJES 
ARMADAS EM CRUZ 
 
 
LAJE TIPO 1: 
 
 
 
xx
yx
x qqqk
m
xq
m
xqM −==== yx
2
y
2
q q M ll 
 
 
 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xk 
1,00 27,4 27,4 0,500 1,50 13,9 31,3 0,838 
1,01 27,0 27,4 0,509 1,51 13,8 31,4 0,838 
1,02 26,5 27,4 0,519 1,52 13,7 31,6 0,842 
1,03 26,0 27,4 0,528 1,53 13,6 31,8 0,845 
1,04 25,6 27,5 0,538 1,54 13,5 31,9 0,848 
1,05 25,1 27,5 0,547 1,55 13,4 32,1 0,851 
1,06 24,6 27,5 0,556 1,56 13,3 32,3 0,855 
1,07 24,2 27,5 0,566 1,57 13,2 32,4 0,858 
1,08 23,7 27,5 0,575 1,58 13,1 32,6 0,861 
1,09 23,2 27,6 0,585 1,59 13,0 32,8 0,865 
1,10 22,8 27,6 0,594 1,60 12,9 33,0 0,868 
1,11 22,4 27,6 0,602 1,61 12,8 33,2 0,870 
1,12 22,1 27,7 0,610 1,61 12,7 33,4 0,873 
1,13 21,8 27,7 0,618 1,63 12,6 33,6 0,875 
1,14 21,4 27,8 0,626 1,64 12,5 33,8 0,878 
1,15 21,1 27,8 0,634 1,65 12,4 34,0 0,80 
1,16 20,8 27,8 0,643 1,60 12,4 34,2 0,883 
1,17 20,4 27,9 0,651 1,67 12,3 34,4 0,885 
1,18 20,1 27,9 0,659 1,68 12,2 34,6 0,888 
1,19 19,8 27,9 0,667 1,69 12,1 34,8 0,890 
1,20 19,4 28,0 0,675 1,70 12,0 35,0 0,893 
1,21 19,2 28,1 0,682 1,71 12,0 35,2 0,895 
1,22 19,0 28,2 0,688 1,72 11,8 35,5 0,897 
1,23 18,7 28,3 0,695 1,73 11,8 35,70,899 
1,24 18,5 28,4 0,701 1,74 11,7 35,9 0,901 
1,25 18,2 28,4 0,708 1,75 11,7 36,2 0,903 
1,26 18,0 28,5 0,715 1,76 11,6 36,4 0,905 
1,27 17,7 28,6 0,721 1,77 11,5 36,7 0,907 
1,28 17,5 28,7 0,728 1,78 11,5 36,9 0,909 
1,29 17,2 28,8 0,734 1,79 11,4 37,1 0,911 
1,30 17,0 28,8 0,741 1,80 11,4 37,4 0,913 
xm xm
 178
1,31 16,8 28,9 0,746 1,81 11,4 37,6 0,915 
1,32 16,7 29,0 0,752 1,82 11,3 37,8 0,916 
1,34 16,3 29,2 0,762 1,84 11,2 38,3 0,919 
1,35 16,1 29,3 0,767 1,85 11,2 38,5 0,921 
1,36 16,0 29,5 0,773 1,86 11,1 38,8 0,923 
1,37 15,8 29,76 0,778 1,87 11,1 39,0 0,924 
1,38 15,6 29,7 0,783 1,88 11,0 39,2 0,926 
1,39 15,4 29,8 0,789 1,89 11,0 39,5 0,927 
1,40 15,2 29,9 0,794 1,90 11,0 39,7 0,929 
1,41 15,1 30,0 0,798 1,91 10,9 40,0 0,930 
1,42 14,9 30,2 0,802 1,92 10,9 40,2 0,932 
1,43 14,8 30,3 0,806 1,93 10,8 40,5 0,933 
1,4 14,7 30,5 0,810 1,94 10,8 40,8 0,934 
1,45 14,5 30,6 0,814 1,95 10,8 40,0 0,935 
1,46 14,4 30,7 0,819 1,96 10,7 41,3 0,936 
1,47 14,3 30,9 0,823 1,97 10,7 41,6 0,937 
1,48 14,1 31,0 0,827 1,98 10,6 41,8 0,939 
1,49 14,0 31,2 0,831 1,99 10,6 42,1 0,940 
1,50 13,9 31,3 0,835 2,00 10,6 42,3 0,941 
 
 179
LAJE TIPO 2 
 
 
x
x
x
xx
x
n
xqX
qqqk
m
xq
m
xqM
2
yx
2
y
2
q q M 
l
ll
=
−====
 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
xk 
0,50 140,0 45,1 59,2 0,135 1,00 29,9 36,7 11,2 0,714 
0,51 134,2 44,3 55,2 0,145 1,02 29,1 37,2 11,0 0,728 
0,52 127,5 43,4 51,6 0,155 1,04 28,3 37,7 10,8 0,742 
0,53 120,8 42,6 28,2 0,16 1,06 27,5 38,2 10,6 0,756 
0,54 114,1 41,8 45,5 0,176 1,08 26,7 38,7 10,4 0,770 
0,55 107,4 40,9 43,0 0,186 1,10 26,0 39,3 10,2 0,785 
0,56 103,0 40,4 40,4 0,198 1,12 25,5 39,9 10,1 0,795 
0,57 98,5 39,8 38,1 0,210 1,14 25,0 40,5 9,9 0,806 
0,58 94,1 39,3 36,2 0,221 1,16 24,4 41,2 9,8 0,817 
0,59 89,7 38,7 34,5 0,232 1,18 23,8 41,8 9,6 0,827 
0,60 85,3 38,1 32,7 0,245 1,20 23,4 42,6 9,5 0,838 
0,61 82,3 37,7 31,1 0,257 1,22 23,0 43,3 9,4 0,846 
0,62 79,4 37,3 29,6 0,270 1,24 22,6 44,1 9,3 0,853 
0,63 76,4 36,9 28,3 0,283 1,26 22,2 44,9 9,3 0,861 
0,64 73,5 36,5 27,1 0,296 1,28 21,8 45,7 9,2 0,869 
0,65 70,6 36,1 25,9 0,309 1,30 21,4 46,6 9,1 0,877 
0,66 63,3 35,9 24,8 0,322 1,32 21,1 47,6 9,1 0,883 
0,67 6,0 35,7 23,9 0,335 1,34 20,8 48,5 9,0 0,889 
0,68 63,8 35,5 23,0 0,348 1,36 20,5 49,5 8,9 0,895 
0,69 61,6 35,3 22,1 0,362 1,38 20,2 50,4 8,9 0,901 
0,70 59,3 35,1 21,3 0,375 1,40 20,0 51,2 8,8 0,906 
0,71 57,6 34,9 20,6 0,38 1,42 19,6 52,2 8,8 0,910 
0,72 56,0 34,9 20,0 0,401 1,46 19,4 53,2 8,8 0,914 
0,73 54,3 34,7 19,3 0,415 1,44 19,6 54,2 8,7 0,918 
0,74 52,6 34,6 18,7 0,428 1,48 19,2 55,2 8,7 0,922 
0,75 50,9 34,5 18,1 0,442 1,50 19,0 56,3 8,6 0,926 
0,76 49,7 34,5 17,6 0,455 1,52 18,8 57,2 8,6 0,929 
0,77 48,4 34,5 17,1 0,468 1,54 18,7 58,3 8,6 0,932 
0,78 47,2 34,4 16,6 0,481 1,56 18,6 59,4 8,6 0,935 
0,79 45,9 34,4 16,2 0,494 1,58 18,5 60,6 8,5 0,938 
0,80 44,6 34,3 15,8 0,506 1,60 18,3 61,9 8,5 0,943 
0,81 43,6 34,3 15,4 0,518 1,62 18,2 63,1 8,5 0,945 
0,82 42,6 34,4 15,1 0,530 1,64 18,0 64,3 8,4 0,947 
0,83 41,7 34,4 14,8 0,542 1,6 17,8 65,6 8,4 0,949 
0,84 40,7 34,5 14,4 0,554 1,68 17,7 66,9 8,4 0,952 
0,85 39,7 34,5 14,1 0,566 1,70 17,6 68,1 8,4 0,954 
0,86 38,9 34,6 13,9 0,577 1,72 17,5 69,3 8,4 0,956 
0,87 38,1 34,7 13,6 0,588 1,74 17,4 70,5 8,4 0,958 
0,88 37,3 34,8 13,4 0,599 1,76 17,3 71,7 8,3 0,959 
0,89 36,5 34,8 13,1 0,610 1,78 17,2 72,8 8,3 0,961 
0,90 35,7 35,0 12,9 0,621 1,80 17,0 74,0 8,3 0,963 
xm xm
 180
0,91 35,1 35,1 12,7 0,631 1,82 16,9 75,5 8,3 0,964 
0,92 34,5 35,3 12,5 0,641 1,84 16,8 77,0 8,3 0,966 
0,93 33,9 35,5 12,3 0,651 1,86 16,8 78,5 8,3 0,967 
0,94 33,3 35,5 12,1 0,661 1,88 16,7 80,1 8,2 0,968 
0,95 32,7 35,8 11,9 0,671 1,90 16,6 81,7 8,2 0,970 
0,96 32,2 36,0 11,8 0,680 1,92 16,6 83,2 8,2 0,971 
0,97 31,6 36,2 11,6 0,68 1,94 16,6 84,7 8,2 0,972 
0,98 31,0 36,3 11,5 0,697 1,96 16,5 86,2 8,2 0,973 
0,99 30,4 36,5 11,3 0,706 1,98 16,5 87,7 8,2 0,974 
1,00 29,9 36,7 11,2 0,714 2,00 16,5 89,2 8,2 0,976 
 
 181
LAJE TIPO 3 
 
 
y
y
x
x
xyx
yx
x
n
xqX
n
xqX
qqqqk
m
xq
m
xqM
22
x
2
y
2
 
 q M 
ll
ll
==
−====
 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
yn 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
yn 
 
xk 
1,00 37,1 37,1 16,1 16,1 0,500 1,50 20,6 46,4 9,6 21,6 0,835 
1,01 36,5 37,2 15,7 15,7 0,509 1,51 20,5 46,8 9,5 21,8 0,838 
1,02 35,9 37,2 15,4 16,0 0,519 1,52 20,4 47,1 9,5 22,0 0,842 
1,03 35,1 37,3 15,1 16,1 0,528 1,53 20,3 47,5 9,4 22,2 0,845 
1,04 34,7 37,3 14,9 16,1 0,538 1,54 20,2 47,8 9,4 22,4 0,848 
1,05 34,1 37,4 14,6 16,1 0,547 1,55 20,0 48,2 9,4 22,6 0,851 
1,06 33,5 37,4 14,4 16,2 0,556 1,56 19,9 48,5 9,3 22,8 0,855 
1,07 32,9 37,5 14,1 16,2 0,566 1,57 19,8 48,9 9,3 23,0 0,858 
1,08 32,3 37,5 13,9 16,2 0,575 1,58 19,7 49,2 9,2 23,2 0,861 
1,09 31,7 37,6 13,7 16,3 0,585 1,59 19,7 49,2 9,2 23,2 0,865 
1,10 31,1 37,6 13,3 16,3 0,602 1,61 19,4 50,3 9,2 23,9 0,870 
1,12 30,2 37,8 13,1 16,4 0,610 1,62 19,3 50,7 9,1 24,1 0,873 
1,13 29,8 38,0 12,9 16,5 0,618 1,63 19,2 51,0 9,1 24,3 0,875 
1,14 29,4 38,1 12,8 16,6 0,626 1,64 19,1 51,4 9,1 24,5 0,878 
1,15 29,0 38,2 12,6 16,7 0,634 1,65 19,0 51,8 9,1 24,8 0,880 
1,16 28,6 38,4 12,4 16,7 0,643 1,6 19,0 52,2 9,0 25,0 0,883 
1,17 28,2 38,5 12,3 16,8 0,651 1,67 18,9 52,6 9,0 25,2 0,885 
1,18 27,8 38,6 12,2 16,9 0,659 1,68 18,8 53,0 9,0 25,4 0,88 
1,19 27,4 38,8 12,0 17,0 0,667 1,69 18,7 53,4 9,0 25,6 0,890 
1,20 27,0 38,9 11,9 17,1 0,675 1,70 18,6 53,8 8,9 25,9 0,893 
1,21 26,7 39,1 11,8 17,2 0,682 1,71 18,5 54,2 8,9 26,1 0,985 
1,22 26,4 39,3 11,6 17,3 0,688 1,72 18,4 54,7 8,9 26,4 0,897 
1,23 26,1 39,5 11,5 17,4 0,695 1,73 18,4 55,1 8,9 26,6 0,899 
1,24 25,9 39,7 11,4 17,6 0,701 1,74 18,3 56,6 8,9 26,9 0,901 
1,25 25,7 39,9 11,3 17,7 0,708 1,75 18,2 56,0 8,8 27,1 0,903 
1,26 25,4 40,0 11,2 17,8 0,715 1,76 18,2 56,5 8,8 27,4 0,905 
1,27 25,1 40,2 11,1 17,9 0,721 1,77 18,1 56,9 8,8 27,6 0,907 
1,28 24,8 40,4 11,0 18,0 0,728 1,78 18,0 57,4 8,8 27,9 0,909 
1,29 24,5 40,6 10,9 18,1 0,734 1,79 18,0 57,8 8,8 28,1 0,911 
1,30 24,2 40,8 10,8 18,3 0,741 1,80 17,9 58,2 8,8 28,4 0,913 
1,31 24,0 41,0 10,7 18,4 0,746 1,81 17,8 58,7 8,8 28,6 0,915 
1,32 23,0 41,3 10,6 18,6 0,752 1,82 17,8 59,2 8,7 28,9 0,916 
1,33 23,6 41,5 10,6 18,7 0,757 1,83 17,7 59,6 8,7 29,2 0,918 
1,34 23,4 41,8 10,5 18,9 0,762 1,84 17,7 60,1 8,7 29,5 0,919 
1,35 23,2 42,0 10,4 19,0 0,767 1,85 17,6 60,6 8,7 29,7 0,921 
1,36 23,0 42,3 10,4 19,2 0,733 1,86 17,6 61,0 8,7 30,0 0,923 
xm xm
 182
1,37 22,8 42,5 10,3 19,3 0,778 1,87 17,5 61,5 8,7 30,3 0,924 
1,38 22,6 42,8 10,2 19,5 0,893 1,88 17,5 62,0 8,6 30,6 0,926 
1,39 22,3 43,0 10,1 19,6 0,789 1,80 17,4 62,4 8,6 30,9 0,927 
1,40 22,1 43,3 10,1 19,8 0,794 1,90 17,4 62,9 8,6 31,2 0,929 
1,41 22,0 43,6 10,0 19,9 0,790 1,91 17,3 63,4 8,6 31,4 0,930 
1,42 21,9 43,9 10,0 20,1 0,802 1,92 17,3 63,9 8,6 31,7 0,932 
1,43 21,7 44,2 9,9 20,3 0,806 1,93 17,3 64,4 8,6 32,0 0,933 
1,44 21,5 44,5 9,9 20,5 0,810 1,94 17,2 64,9 8,6 32,2 0,934 
1,45 21,4 44,8 9,8 20,6 0,814 1,95 17,2 65,4 8,6 32,5 0,935 
1,46 21,2 45,1 9,8 20,8 0,819 1,96 17,1 65,9 8,5 32,8 0,936 
1,47 21,1 45,7 9,7 21,0 0,823 1,97 17,1 66,4 8,5 33,0 0,937 
1,48 20,9 45,7 9,7 21,2 0,827 1,98 17,0 66,9 8,5 33,3 0,939 
1,49 20,8 46,0 9,6 21,4 0,831 1,99 17,0 67,4 8,5 33,6 0,940 
1,50 20,6 46,4 9,6 21,6 0,835 2,00 17,0 67,9 8,5 33,9 0,941 
 
 183
 LAJE TIPO 4 
 
 
x
x
xx
yx
x
n
xqX
qqqk
m
xq
m
xqM
2
yx
2
y
2
q qM 
l
ll
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−====
 
 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
xk 
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0,56 103,4 46,3 36,4 0,330 1,12 33,7 63,9 13,5 0,86 
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0,84 46,9 47,6 16,8 0,713 1,68 27,2 122,9 12,3 0,976 
xm xm
 184
0,85 46,0 48,0 16,6 0,723 1,70 27,1 125,4 12,3 0,977 
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0,92 41,4 51,2 15,4 0,780 1,84 26,5 145,9 12,2 0,983 
0,93 440,9 51,7 15,2 0,788 1,86 26,5 148,8 12,2 0,983 
0,94 40,3 52,2 15,1 0,795 1,88 26,4 151,7 12,2 0,984 
0,95 39,7 52,8 14,9 0,803 1,90 26,4 153,6 12,2 0,985 
0,96 39,2 53,3 14,3 0,809 1,92 26,3 156,7 12,2 0,986 
0,97 38,8 53,9 14,7 0,815 1,94 26,3 159,7 12,2 0,986 
0,98 38,1 54,6 14,6 0,821 1,96 26,2 162,8 12,2 0,987 
0,99 37,9 55,1 14,5 0,827 1,98 26,1 165,8 12,2 0,988 
1,00 37,5 55,7 14,4 0,833 2,00 26,1 168,9 12,1 0,988 
 
 185
LAJE TIPO 5 
 
y
y
x
x
xx
yx
x
n
xqX
n
xqX
qqqk
m
xq
m
xqM
22
yx
2
y
2
 
q q M 
ll
ll
==
−====
 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
yn 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
ym 
 
xn 
 
yn 
 
xk 
0,50 246,4 71,5 108,1 35,6 0,111 1,00 44,2 50,6 18,0 24,0 0,667 
0,51 234,5 69,8 100,8 34,7 0,119 1,02 43,1 51,3 17,6 24,3 0,693 
0,52 222,6 68,1 94,4 33,8 0,127 1,04 42,0 52,0 17,2 24,7 0,699 
0,53 210,7 66,4 85,2 32,9 0,136 1,06 40,9 52,7 16,8 25,1 0,741 
0,54 193,8 64,7 82,7 32,1 0,145 1,08 39,9 53,4 16,4 25,5 0,730 
0,55 187,0 63,0 77,3 31,2 0,155 1,10 38,9 54,0 16,1 25,9 0,745 
0,56 177,3 61,8 72,6 30,6 0,165 1,12 38,1 54,9 15,9 26,4 0,757 
0,57 167,6 60,6 68,5 29,9 0,175 1,14 36,4 55,8 15,6 26,9 0,770 
0,58 157,9 59,4 64,8 29,2 0,185 1,16 36,7 56,7 15,4 27,4 0,782 
0,59 148,2 58,2 61,5 28,6 0,195 1,18 36,0 57,6 15,1 28,0 0,794 
0,60 138,6 57,1 58,2 28,0 0,206 1,20 35,3 58,5 14,9 28,6 0,806 
0,61 132,9 56,4 55,3 27,5 0,217 1,22 34,8 59,7 14,7 29,2 0,815 
0,62 127,2 55,8 52,3 27,0 0,229 1,24 34,3 60,8 14,5 29,8 0,824 
0,63 121,5 55,1 49,9 26,5 0,240 1,26 33,8 61,9 14,4 30,4 0,833 
0,64 115,9 54,3 47,6 26,1 0,252 1,28 33,3 63,1 14,1 31,1 0,842 
0,65 110,3 53,5 45,6 25,7 0,263 1,30 32,8 64,3 14,1 31,8 0,851 
0,66 106,3 52,9 43,6 25,3 0,275 1,32 32,4 65,4 14,0 32,5 0,858 
0,67 102,3 52,4 41,7 25,0 0,287 1,34 32,0 66,7 13,9 33,2 0,865 
0,68 98,4 52,0 40,0 24,7 0,300 1,36 31,6 68,0 13,8 34,0 0,872 
0,69 94,5 51,4 38,5 24,4 0,312 1,38 31,3 69,3 13,7 34,7 0,879 
0,70 90,6 50,9 37,0 24,1 0,324 1,40 31,0 70,5 13,6 35,5 0,885 
0,71 87,8 50,6 35,7 23,0 0,336 1,42 30,7 71,9 13,5 36,3 0,890 
0,72 85,0 50,2 34,4 23,7 0,349 1,4 30,4 73,3 13,4 37,1 0,895 
0,73 82,2 49,9 33,2 23,5 0,361 1,46 30,1 74,8 13,3 37,9 0,900 
0,74 79,4 49,5 32,0 23,3 0,375 1,48 29,0 76,2 13,3 38,7 0,905 
0,75 76,6 49,2 30,9 23,2 0,388 1,50 29,7 77,7 13,2 39,5 0,910 
0,76 74,5 49,1 30,0 23,1 0,400 1,52 29,5 79,3 13,1 40,4 0,914 
0,77 72,4 48,9 29,0 23,0 0,413 1,54 29,3 80,9 13,1 41,3 0,918 
0,78 70,3 48,8 28,2 22,9 0,425 1,56 29,1 82,5 13,0 42,2 0,921 
0,79 68,2 48,6 27,4 22,8 0,438 1,58 28,9 84,1 13,0 43,1 0,925 
0,80 66,2 48,4 26,7 22,7 0,450 1,60 28,7 85,7 12,9 4,0 0,929 
0,81 64,6 48,4 26,0 22,6 0,462 1,62 28,5 87,4 12,9 44,9 0,932 
0,82 63,0 48,3 25,2 22,6 0,474 1,64 28,3 89,1 12,8 47,8 0,935 
0,83 61,5 48,3 24,7 22,6 0,486 1,66 28,2 90,8 12,8 46,7 0,938 
0,84 60,0 48,2 24,6 22,6 0,498 1,68 28,1 92,5 12,8 47,6 0,940 
0,85 58,5 48,2 23,5 22,6 0,511 1,70 28,0 94,3 12,7 48,5 0,943 
xm xm
 186
0,86 57,3 48,3 23,0 22,7 0,522 1,72 27,8 96,5 12,7 49,5 0,945 
0,87 56,1 48,3 22,5 22,7 0,534 1,74 27,7 98,1 12,7 50,5 0,947 
0,88 54,9 48,4 22,0 22,8 0,545 1,76 27,6 100,0 12,7 51,5 0,949 
0,89 53,7 48,4 21,6 22,8 0,597 1,78 27,5 101,9 12,6 52,6 0,952 
0,90 52,5 48,5 21,1 22,8 0,568 1,80 27,4 103,7 12,6 53,7 0,954 
0,91 51,5 48,7 20,7 22,9 0,578 1,82 27,3 105,0 12,5 54,9 0,956 
0,92 50,6 48,9 20,4 23,0 0,589 1,84 27,2 107,7 12,5 56,1 0,958 
0,93 49,7 49,0 20,2 23,1 0,599 1,86 27,1 109,7 12,5 57,3 0,960 
0,94 48,8 49,2 19,7 23,2 0,611 1,88 27,0 111,7 12,5 58,5 0,961 
0,95 47,9 49,4 19,4 23,3 0,620 1,90 26,9 113,7 12,5 59,8 0,963 
0,96 47,1 49,6 19,1 23,5 0,630 1,92 26,8 115,9 12,4 61,1 0,965 
0,97 46,3 49,9 18,8 23,6 0,639 1,94 26,7 118,1 12,4 62,5 0,966 
0,98 45,6 50,1 18,5 23,8 0,649 1,96 26,6 120,2 12,4 63,9 0,967 
0,99 44,9 50,4 18,2 23,9 0,650 1,99 26,5 124,4 12,4 66,7 0,969 
1,00 44,2 50,6 18,0 24,0 0,667 2,00 26,5 124,4 12,4 6,7 0,970 
 
 187
LAJE TIPO 6 
 
 
y
2
y
x
2
x
x
y
2
x
2
x
n
xqX
n
xqX
qk
m
xq
m
xqM
ll
ll
==
===
 
q M xy
 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
 
 
ym 
 
 
xn 
 
 
yn 
 
 
xk 
 
x
y
l
l
=λ
 
 
 
 
 
 
ym 
 
 
xn 
 
 
yn 
 
 
xk 
1,00 55,7 55,7 24,0 24,0 0,500 1,50 32,0 72,2 14,4 32,3 0,835 
1,01 54,8 55,8 23,6 24,0 0,509 1,51 31,9 72,8 14,3 32,6 0,838 
1,02 53,9 55,9 23,1 24,0 0,519 1,52 31,7 73,4 14,3 32,0 0,842 
1,03 53,0 55,9 22,7 24,1 0,528 1,53 31,6 74,0 14,2 33,2 0,845 
1,04 52,1 56,0 22,3 24,1 0,538 1,54 31,4 74,6 14,2 33,6 0,848 
1,05 51,2 56,1 21,9 24,2 0,547 1,55 31,3 75,2 14,1 33,9 0,851 
1,06 50,3 56,2 21,7 24,2 0,566 1,56 31,1 75,8 14,0 34,2 0,855 
1,07 49,4 56,3 21,2 24,3 0,566 1,57 31,0 76,4 14,0 34,5 0,858 
1,08 48,5 56,4 20,9 24,3 0,575 1,58 30,8 77,0 14,0 34,9 0,861 
1,09 47,6 56,5 20,5 24,4 0,585 1,59 30,6 77,6 13,9 35,2 0,865 
1,10 46,8 56,6 20,2 24,4 0,594 1,60 30,5 78,2 13,8 35,5 0,868 
1,11 46,2 56,8 20,0 24,5 0,602 1,61 30,4 78,8 13,8 35,8 0,870 
1,12 45,6 57,0 19,7 24,6 0,610 1,62 30,379,5 13,7 36,1 0,873 
1,13 45,0 57,3 19,4 24,7 0,618 1,63 30,2 80,2 13,7 36,5 0,875 
1,14 4,4 57,5 19,2 24,8 0,626 1,64 30,1 80,8 13,7 36,8 0,878 
1,15 43,8 57,7 18,9 25,0 0,634 1,65 30,0 81,5 13,6 37,1 0,80 
1,16 43,2 58,0 18,7 25,1 0,643 1,66 29,9 82,2 13,6 37,5 0,883 
1,17 42,6 58,2 18,4 25,2 0,651 1,67 29,8 82,8 13,6 37,8 0,885 
1,18 42,0 58,4 18,2 25,3 0,659 1,68 29,7 83,5 13,5 38,1 0,888 
1,19 41,4 58,7 18,0 25,4 0,667 1,69 29,6 84,2 13,5 38,5 0,890 
1,20 40,9 58,9 17,8 25,6 0,675 1,70 29,4 84,9 13,5 38,8 0,893 
1,21 40,5 59,2 17,6 25,7 0,682 1,71 29,3 85,6 13,4 39,1 0,895 
1,22 40,1 59,6 17,4 25,9 0,688 1,72 29,2 86,4 13,4 39,5 0,897 
1,23 39,7 59,9 17,3 26,0 0,695 1,73 29,1 87,1 13,4 39,9 0,899 
1,24 39,8 60,3 17,1 26,2 0,701 1,74 29,0 87,9 13,3 40,2 0,901 
1,25 38,9 60,6 16,9 26,4 0,708 1,75 29,0 8,6 13,3 40,6 0,903 
1,26 38,5 61,0 16,8 26,6 0,715 1,76 28,9 89,4 13,3 41,0 0,905 
1,27 38,1 61,3 16,6 26,8 0,721 1,77 28,8 90,1 13,2 41,3 0,907 
1,28 37,7 61,7 16,5 27,0 0,728 1,78 28,7 90,9 13,2 41,7 0,909 
1,29 37,3 62,0 16,4 27,2 0,734 1,79 28,6 91,6 13,2 42,1 0,911 
1,30 36,9 62,4 16,2 27,4 0,741 1,80 28,5 92,5 13,1 42,5 0,913 
1,31 36,6 62,8 16,1 27,6 0,746 1,81 28,4 93,2 13,1 42,9 0,915 
1,32 36,3 63,3 16,0 27,8 0,752 1,82 28,3 94,0 13,1 43,3 0,916 
1,33 36,0 63,7 15,9 28,5 0,757 1,83 28,2 94,7 13,1 43,8 0,918 
1,34 35,2 65,0 15,5 28,7 0,762 1,84 28,21 95,5 13,0 44,2 0,919 
1,35 35,5 64,6 15,6 28,5 0,767 1,85 28,0 96,2 13,0 44,6 0,921 
xm xm
 188
1,36 35,2 65,0 15,5 28,7 0,773 1,86 28,0 97,0 13,0 45,1 0,921 
1,37 34,9 65,5 15,4 29,0 0,788 1,87 27,9 97,7 13,0 45,5 0,924 
1,38 34,6 65,9 15,3 29,3 0,783 1,88 27,8 98,5 13,0 45,9 0,926 
1,39 34,3 66,4 15,2 29,5 0,789 1,89 27,7 99,2 12,9 46,4 0,927 
1,40 34,1 66,8 15,1 29,7 0,797 1,90 27,7 100,0 12,9 46,8 0,929 
1,41 33,9 67,3 15,0 30,0 0,798 1,91 27,6 100,9 12,9 47,2 0,930 
1,42 33,7 67,9 15,0 30,2 0,802 1,92 27,6 101,8 12,9 47,6 0,932 
1,43 33,5 68,4 14,9 30,5 0,806 1,93 27,5 102,7 12,9 48,0 0,933 
1,44 33,3 69,0 14,8 30,7 0,810 1,94 27,5 103,6 12,8 48,4 0,934 
1,45 33,1 69,5 14,8 31,0 0,814 1,95 27,5 104,5 12,8 48,8 0,935 
1,46 32,9 70,0 14,7 31,3 0,819 1,96 27,4 105,4 12,8 49,2 0,936 
1,47 32,7 70,6 14,6 31,5 0,823 1,97 27,4 106,3 12,8 49,6 0,937 
1,48 32,5 71,1 14,5 31,8 0,827 1,98 27,3 107,3 12,8 50,0 0,939 
1,49 32,0 71,7 14,5 32,0 0,831 1,99 27,3 108,1 12,8 50,4 0,940 
1,50 32,0 72,2 14,4 32,3 0,835 2,00 27,3 109,1 12,7 50,8 0,941 
 
 
 189
ANEXO VII – TABELAS DE CZERNY (FONTE: apostila de Concreto 
Armado I – prof. Sergio Hampshire Santos – UFRJ) 
 
 
 
 
 
lx – é sempre o menor vão, independentemente do tipo de apoio 
 
Momento positivo no vão menor: 
x
x
x
m
ql
M
2
= 
 
 
Momento positivo no vão maior: 
y
x
y
m
ql
M
2
= 
 
 
Momento negativo no vão menor: 
x
x
x
m
ql
X
−
=
2
 
 
 
Momento negativo no vão maior: 
y
x
y
m
ql
X
−
=
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 190
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 191
 
 192
 
 
 
 
 
 
 193
ANEXO VIII– TABELAS PARA CASOS ESPECIAIS DE LAJES 
 
 
REAÇÃO NAS LAJES COM UM BORDO LIVRE 
 
 
 
222
111
VxqlxRxqlyVyRy
VxqlxRxqlxVxRx
==
==
 
lx
ly
=λ 
 
 
CASO λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
A Vx 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,41 0,39 0,37 0,34 0,31 0,28 0,22 0,16 0,13 
Vy 0,28 0,20 0,32 0,34 0,36 0,40 0,44 0,49 0,54 0,59 0,64 0,72 0,80 0,84 
B Vx 0,34 0,32 0,30 0,28 0,27 0,26 0,24 0,21 0,19 0,18 0,15 0,14 0,12 0,10 
Vy 0,30 0,34 0,38 0,40 0,42 0,42 0,44 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,62 0,68 
 
C 
Vx1 0,54 0,53 0,53 0,52 0,51 0,51 0,50 0,48 0,47 0,45 0,43 0,39 0,36 0,34 
Vx2 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,31 0,28 0,26 0,23 0,21 0,18 0,15 
Vy 0,15 0,18 0,20 0,21 0,23 0,24 0,26 0,29 0,35 0,36 0,40 0,46 0,51 0,56 
D Vx 0,43 0,42 0,42 0,41 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,37 0,35 0,32 0,29 0,27 
Vy 0,14 0,16 0,16 0,18 0,18 0,20 0,20 0,22 0,24 0,26 0,30 0,36 0,42 0,46 
 
E 
Vx1 0,50 0,50 0,49 0,48 0,46 0,46 0,41 0,38 0,34 0,32 0,28 0,23 0,18 0,14 
Vx2 0,28 0,27 0,27 0,26 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,18 0,15 0,12 0,10 0,10 
Vy 0,22 0,23 0,24 0,26 0,29 0,32 0,35 0,38 0,42 0,45 0,51 0,57 0,63 0,66 
F Vx 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,35 0,34 0,32 0,30 0,27 0,23 0,19 0,17 
Vy 0,16 0,16 0,20 0,22 0,24 0,26 0,30 0,32 0,36 0,40 0,46 0,54 0,62 0,66 
 
 194
MOMENTO NAS LAJES COM BORDO LIVRE: 
 
 
 
SITUAÇÃO 1: 
 lx
ly
=λ 
mxy
pMxy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
==
==
 
 
Carga λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 12,60 11,90 11,30 10,70 10,20 9,80 9,40 9,10 9,10 9,20 9,80 11,00 13,70 16,20 
mx 15,30 14,90 14,50 14,10 13,80 13,70 13,60 13,80 14,20 15,20 17,00 20,20 26,30 31,50 
my 62,40 58,40 54,20 50,00 45,90 41,70 37,10 33,20 29,90 27,40 25,90 26,30 29,70 33,70 
mxy 22,30 20,60 19,30 17,90 16,70 15,40 14,10 12,90 11,80 10,80 10,10 9,40 8,80 8,60 
2 
mr 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,20 4,30 4,50 4,90 5,60 6,90 8,10 
mx 18,00 16,10 14,30 13,10 11,90 18,00 10,20 9,60 9,40 9,30 9,70 10,80 13,10 16,10 
-my 36,20 33,00 30,80 29,20 27,90 27,20 27,20 29,30 32,80 39,40 52,50 91,00 220,0 500,0 
mxy 65,00 51,50 40,50 32,40 25,60 20,40 16,00 12,60 10,20 8,30 6,90 5,80 5,20 4,90 
3 
mr 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,90 2,85 2,80 2,74 2,65 2,50 2,35 2,20 2,08 
mx -18,20 -18,40 -18,80 -20,50 -23,20 -31,00 -69,00 105,0 30,00 12,50 7,89 5,70 4,60 4,20 
-my 32,10 22,40 16,50 12,80 9,80 7,60 6,10 4,80 3,40 3,10 2,50 2,20 2,10 2,00 
 
 195
SITUAÇÃO 2: 
 lx
ly
=λ 
ny
pXy
mxy
pMxy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
=
==
==
 
 
Carga Λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 13,10 12,50 12,10 11,70 11,50 11,40 11,50 12,00 13,00 15,20 19,40 29,40 60,20 105,0 
mx 18,10 18,10 18,10 18,30 18,80 19,70 21,00 23,30 27,00 34,20 48,00 79,00 174,0 293,0 
my 84,00 77,00 70,00 64,00 59,00 55,00 52,00 54,00 57,00 63,00 72,00 85,00 107,0 124,0 
-ny 12,10 11,30 10,50 9,80 9,10 8,50 7,90 7,40 7,10 6,80 6,80 7,10 8,10 9,00 
mxy 262,0 195,0 146,0 110,0 84,0 64,0 48,0 40,0 33,0 29,0 26,0 26,0 30,0 35,0 
 Β 0,20 0,22 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,40 0,43 0,46 0,49 0,53 0,57 0,60 
2 
mr 4,30 4,30 4,30 4,30 4,40 4,60 4,80 5,20 5,70 6,40 8,00 11,60 21,0 26,0 
mx 21,70 19,80 17,50 15,20 14,20 13,70 12,50 12,60 13,50 16,10 22,20 33,00 52,00 70,00 
-my 39,80 35,70 32,50 29,60 27,00 24,50 22,10 20,80 18,60 16,20 14,10 12,50 11,50 11,80 
-ny 35,30 29,90 21,30 16,50 12,90 10,30 8,40 7,0 5,90 5,10 4,50 4,20 4,30 4,50 
mxy 7,50 7,30 7,00 6,80 6,60 6,50 6,40 6,40 6,50 6,60 6,80 7,40 9,10 10,70 
 
 196
SITUAÇÃO 3: 
 lx
ly
=λ 
nr
PXr
nx
pXx
mxy
pMxy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
==
==
==
 
 
Carga Λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 21,30 20,40 19,00 17,70 16,60 15,30 14,30 12,90 12,40 11,70 11,40 11,60 13,50 16,4 
mx 25,20 23,90 22,80 21,80 20,90 20,10 19,40 18,90 18,70 18,60 19,50 21,60 26,6 31,8 
my 76,00 71,00 66,00 61,00 57,00 53,00 49,00 43,00 37,00 31,00 30,00 31,00 32,0 35,0 
-nr 11,60 10,70 9,80 9,00 8,30 7,60 6,90 6,30 5,70 5,10 4,50 4,00 3,80 3,30 
-nx 12,4 11,6 11,1 10,6 10,2 9,8 9,3 8,9 8,6 8,3 8,2 8,2 8,1 8,0 
mxy 34,00 31,40 29,20 27,00 24,80 22,60 20,40 18,40 16,40 14,60 12,90 11,50 10,40 9,90 
2 
mr 51,00 5,10 5,10 5,20 5,20 5,50 5,60 5,60 5,60 5,70 5,80 6,10 7,0 8,4 
mx 78,00 60,00 46,00 34,70 25,80 21,80 17,70 14,00 11,00 9,10 7,90 7,50 7,30 8,00 
-my 24,00 23,00 22,00 22,00 22,00 23,00 23,00 24,00 24,00 25,00 30,00 43,00 72,00 138,0 
-nr 1,80 1,70 1,70 1,70 1,70 1,80 1,80 1,8 1,80 1,80 1,80 1,90 2,00 2,00 
-nx 208,0 134,0 83,00 56,00 38,0029,00 21,40 16,20 12,00 9,30 7,70 6,30 5,30 5,20 
 
 197
SITUAÇÃO 4: 
 lx
ly
=λ 
nr
PXr
nx
pXx
mxy
pMxy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
==
==
==
 
 
Carga Λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 35,30 33,10 30,70 28,20 25,90 36,60 21,40 19,30 17,50 16,00 14,80 14,50 15,40 17,2 
mx 37,10 35,10 33,30 31,40 29,90 28,40 26,90 25,70 24,70 23,80 23,80 24,80 28,2 32,3 
my 108,0 102,0 96,00 90,00 83,00 76,00 68,00 60,00 53,00 48,00 42,40 38,20 37,5 37,5 
-nr 17,30 16,00 14,80 13,60 12,40 11,20 10,00 8,80 7,60 6,50 5,50 4,80 4,30 4,10 
-nx 17,2 16,5 15,5 14,5 13,5 12,6 11,8 11,0 10,2 9,6 9,1 8,7 8,4 8,3 
2 
Mr 7,20 7,20 7,20 7,20 7,20 7,20 7,10 7,10 7,10 7,00 7,00 7,20 7,80 8,80 
Mx 140,0 105,0 77,00 56,00 42,00 33,00 27,00 21,00 17,00 15,00 14,00 14,00 14,0 15,0 
-my 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 22,00 26,00 35,00 65,00 120,0 
-nr 2,30 2,30 2,30 2,30 2,20 2,20 2,20 2,20 2,10 2,10 2,10 2,10 2,10 2,0 
-nx 275,0 174,0 106,0 70,00 46,10 34,60 25,00 18,6 13,50 10,10 7,90 6,30 5,30 5,20 
 
 198
SITUAÇÃO 5: 
 lx
ly
=λ 
nr
PXr
nx
pXx
mxy
pMxy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
==
==
==
 
 
 
Carga λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 22,50 21,00 19,80 18,60 17,40 16,40 15,60 15,10 15,40 16,00 19,10 25,20 41,00 54,00 
mx 27,60 27,00 26,50 26,00 25,90 26,00 26,50 27,90 30,50 34,90 44,00 63,50 118,0 196,0 
my 130,00 123,00 115,00 106,00 95,00 83,00 73,00 67,00 66,00 71,00 80,00 105,00 247,0 550,0 
-nr 11,20 10,30 9,60 9,00 8,40 7,80 7,20 6,70 6,30 6,00 5,90 6,00 6,90 7,60 
-nx 14,10 13,40 13,00 12,60 12,30 12,10 12,20 12,30 12,90 13,60 15,10 17,40 22,30 26,10 
-ny 19,30 18,00 16,70 15,40 14,10 12,80 11,50 10,30 9,20 8,40 8,00 7,90 8,40 9,10 
2 
mr 5,60 5,60 5,60 5,60 5,60 5,70 5,70 5,80 5,90 6,60 7,20 9,80 14,0 18,5 
mx 55,00 47,00 39,00 32,00 26,00 21,00 19,10 17,10 18,30 20,10 23,50 29,10 45,00 58,00 
-my 22,80 23,40 23,50 24,00 23,80 23,20 22,00 20,20 18,30 16,40 14,40 12,80 11,80 11,4 
-nr 2,60 2,60 2,60 2,50 2,40 2,40 2,30 2,30 2,20 2,30 2,40 2,90 3,60 4,25 
-nx 140,0 100,0 68,00 44,00 33,00 22,00 16,10 12,80 11,00 10,40 10,80 11,80 13,70 14,70 
-ny 230,0 152,0 105,0 70,00 48,00 34,00 24,00 14,10 10,10 7,60 6,10 5,50 5,20 5,10 
 
 199
SITUAÇÃO 6: 
 lx
ly
=λ 
nr
PXr
nx
pXx
ny
pXy
my
pMy
mx
pMx
mr
pMr
==
==
==
 
 
 
Carga λ 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25 
1 
mr 35,80 23,40 31,00 28,60 26,40 24,30 22,40 20,90 19,90 19,80 21,30 26,80 46,40 77,00 
mx 39,80 38,30 37,00 35,80 34,90 34,30 34,00 34,30 35,60 38,60 45,60 63,60 126. 228,00 
my 163,00 152,00 141,00 130,00 119,00 109,00 99,50 91,00 83,40 80,00 83,40 108,00 208,00 417,00 
-nr 17,80 16,60 15,30 14,10 12,80 11,60 10,40 9,30 8,20 7,40 6,80 6,80 7,60 8,60 
-nx 18,70 17,80 17,00 16,20 15,60 15,00 14,50 14,30 14,20 14,70 15,80 18,10 23,00 27,20 
-ny 26,40 24,60 22,80 21,10 19,30 17,60 15,80 14,20 12,60 11,10 9,80 9,00 9,00 9,60 
2 
mr 7,00 7,00 7,10 7,10 7,20 7,20 7,30 7,30 7,40 7,90 9,20 13,00 21,20 33,50 
mx 143,00 112,00 85,00 63,00 47,50 35,50 28,20 24,00 22,10 23,30 27,10 34,30 54,00 84,00 
-my 22,00 22,00 22,00 22,00 22,00 22,00 22,00 21,00 21,00 19,00 17,00 15,00 13,00 12,00 
-nr 2,30 2,30 2,30 2,20 2,20 2,20 2,10 2,10 2,10 2,20 2,20 2,60 3,30 4,10 
-nx 262,00 165,00 102,00 68,00 47,10 35,80 27,00 20,50 15,80 13,20 12,10 12,50 13,90 15,60 
-ny ∞ - - - 250,00 120,00 59,00 35,00 20,00 12,40 8,60 5,90 5,30 5,20 
 
 200
ANEXO IX – DETALHES GERAIS PARA ARMADURA DE CANTOS DE LAJES EM 
BALANÇO (CRITÉRIOS PRÁTICOS) 
 
 
 201
ANEXO X – DETALHES GERAIS PARA ARMADURA DE ABERTURAS (CRITÉRIOS 
PRÁTICOS) 
 
 
 
 202
ANEXO XI – DETALHES GERAIS PARA ARMADURA DE LAJES COM VIGA INCLINADA 
(SUGESTÕES PRÁTICAS)