1ª Lista de exercícios Cálculo III

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DCET - CAMPUS I
CURSO: LICENCIATURA EM FI´SICA
DISCIPLINA: CA´LCULO III APLICADO A` FI´SICA
1ªLISTA DE EXERCI´CIOS
Questa˜o 1. Defina (a) sequeˆncia (b) subsequeˆncia (c) sequeˆncia limitada (d) sequeˆncia
crescente (e) sequeˆncia na˜o-decrescente (f) sequeˆncia decrescente (g) sequeˆncia na˜o-crescente
(h) limite de uma sequeˆncia (i) sequeˆncia convergente (j) sequeˆncia divergente.
Questa˜o 2. Encontre uma fo´rmula para o n-e´simo termo das sequeˆncias abaixo
a) 1,−1, 1,−1, ...
b) 0, 3, 8, 15, 24, ...
c) 1, 5, 9, 13, 17, ...
d) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
Questa˜o 3. Calcule
a) lim
n→∞
−
(
1
n
)
(0)
a) lim
n→∞
(
n− 1
n
)
(1)
c) lim
n→∞
(
5
n2
)
(0)
d) lim
n→∞
−
(
4− 7n6
n6 + 3
)
(−7)
Questa˜o 4. Seja (xn) a sequeˆncia de Fibonacci. Suponha que φ = lim
n→∞
xn+1
xn
exista. Mostre
que φ = 1+
√
5
2
.
Questa˜o 5. Mostre que
√
6 +
√
6 +
√
6 + ... = 3
Questa˜o 6. Mostre que se |x| < 1 enta˜o φ = lim
n→∞
xn = 0.
Questa˜o 7. Calcule
a) lim
n→∞
cos(n)
n
(0)
b) lim
n→∞
1
2n
(0)
1
c) lim
n→∞
(−1)n 1
n
(0)
d) lim
n→∞
21/n (1)
Questa˜o 8. Calcule
a) lim
n→∞
− ln(n)
n
(0)
b) lim
n→∞
2n
5n
(∞)
Questa˜o 9. A sequeˆncia cujo n-e´simo termo e´ an =
(
n+1
n−1
)n
. Em caso afirmativo encontre
lim
n→∞
an (e
2).
Questa˜o 10. Mostre que a sequeˆncia xn =
n−1
n+1
e´ crescente.
Questa˜o 11. Defina se´rie.
Questa˜o 12. A se´rie 3
10
+ 3
100
+ ... 3
10n
+ ... converge? Em caso afirmativo, calcule a soma
(1/3)
Questa˜o 13. Defina se´rie geome´trica, apresentando o intervalo de convergeˆncia
Questa˜o 14. Informe se cada se´rie converge ou diverge. Se converge, calcule a soma
a)
∑∞
n=1 3
(
1
2
)n−1
(6)
b) 1− 1
2
+ 1
4
− 1
8
+ ...+
(−1
2
)n−1
+ ... (2/3)
c)
∑∞
k=0 3
(
3
5
)k
(5/2)
d) pi
2
+ pi
2
4
+ pi
3
8
+ ... (diverge)
Questa˜o 15. Joga-se uma bola de uma altura de a metros sobre uma superf´ıcie plana.
Cada vez que a bola atinge a superf´ıcie depois de cair de uma distaˆncia h, ela rebate a uma
distaˆncia rh, onde r e´ positivo mas menor do que 1. Encontre a distaˆncia vertical total
percorrida pela bola pulando para baixo e para cima se a = 6 e r = 2/3 (30m)
Questa˜o 16. Expresse a d´ızima perio´dica 5, 232323... como a raza˜o de dois inteiros. (518/99)
Questa˜o 17. Encontre a soma da se´rie
∑∞
n=1
1
n(n+1)
(1)
Questa˜o 18. Mostre que as se´ries abaixo sa˜o divergentes:
a)
∑∞
n=1 n
2
2
b)
∑∞
n=1
n+1
n
c)
∑∞
n=1(−1)n+1
d)
∑∞
n=1− n2n+1
Questa˜o 19. Utilizando o teste da integral determine se
∑∞
n=1
1
n
√
n
(1) converge. (sim)
Questa˜o 20. A se´rie 5 + 2
3
+ 1 + 1
7
+ 1
2
+ 1
3!
+ 1
4!
+ ...+ 1
k!
+ ... converge?. (sim)
Questa˜o 21. Investigue a convergeˆncia das se´ries a seguir
a)
∑∞
n=0
2n+5
3n
(converge)
b)
∑∞
n=1
(2n)!
n!n!
(diverge)
Questa˜o 22. Defina (a) se´rie de poteˆncias (b) se´rie de Taylor
Questa˜o 23. Encontre as se´ries para f ′(x) e f ′′(x) se
f(x) =
1
1− x = 1 + x+ x
2 + ...+ xn + ..., 1 < x < 1
f ′(x) =
∑∞
n=1 nx
n−1; f ′′(x) =
∑∞
n=1 n(n− 1)xn−2
Questa˜o 24. Mostre que ex =
∑∞
n=0
xn
n!
para todo x ∈ R.
Questa˜o 25. Encontre a se´rie de Taylor para f(x) = ex em x = 0.
(∑∞
k=0
xk
k!
)
Questa˜o 26. Encontre a se´rie de Taylor para f(x) = cos(x) em x = 0
(∑∞
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
)
Questa˜o 27. Resolva o problema de valor inicial y′ − y = x; y(0) = 1 (y = 2ex − 1− x)
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