série - 20-1

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Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação
Professora: Juliana Chagas Ventura
Disciplina: Cálculo IV
2020-1 – Fase 2
Séries
Uma série infinita é uma expressão da forma
a1+a2+a3+...+an+.. .
ou em notação de somatório,
∑
n=1
∞
an ou ∑ an .
Os números a1 , a2 , a3 ,.. . são chamados termos da série.
Exemplo 1
(a) ∑
n=1
∞
(2n−1)=1+3+5+7+9+…
(b) ∑
n=1
∞
5(0,1)n=0,5+0,05+0,005+0,0005+…
(c) ∑
n=1
∞ 1+n
n
=2+ 3
2
+ 4
3
+ 5
4
+ 6
5
+.. .
Propriedades algébricas das séries infinitas
Sejam ∑
n=1
∞
an e ∑
n=1
∞
bn séries convergentes e k uma constante não nula.
(i) ∑
n=1
∞
(an+bn)=∑
n=1
∞
an+∑
n=1
∞
bn
(ii) ∑
n=1
∞
(an−bn)=∑
n=1
∞
an−∑
n=1
∞
bn
(iii) ∑
n=1
∞
k an=k∑
n=1
∞
an
A soma parcial Sn da série ∑ an é 
Sn=a1+a2+...+an
A sequência das somas parciais é {Sn} = S1, S2, …, Sn, …
Exemplo 2
Na série 
1
2
+ 2
3
+ 3
4
+ 4
5
+.. .
S1=
1
2
, S2=
1
2
+ 2
3
=3+4
6
=7
6
, S3=
7
6
+ 3
4
=14+9
12
=23
12
 
Convergência de uma série
Em uma série ∑
n=1
∞
an , se a sequência de somas parciais {Sn} for convergente, isto é, se
lim
n→∞
Sn=S , S∈ℝ
então a série ∑
n=1
∞
an é dita convergente, e escrevemos 
∑
n=1
∞
an=a1+a2+ ...+an+...=S
1
O número S é a soma da série. Se a sequência {Sn} é divergente, então a série é divergente. Uma série
divergente não tem soma.
Exemplo 3
Verifique se as séries abaixo convergem.
(a) 1−1+1−1+1−1+.. .
(b) 1+3+5+7+ …
(c) ∑
n=1
∞ 1
2n
(d) ∑
n=1
∞ 1
n(n+1)
(e) ∑
n=1
∞ 1
n
SOLUÇÃO
(a) Sn=1−1+...+(−1)
n+1={0 , se n par1 , se n ímpar
 lim
n→∞
Sn diverge . Portanto, a série diverge.
(b) 1+3+5+7+…
A soma dos n primeiros números ímpares corresponde a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) de primeiro termo 1 e razão 2.
A soma dos n primeiros termos de uma PA de primeiro termo a1 e razão r é dada por: Sn=
(a1+an)n
2
.
Assim,
Sn=1+3+5+7+...+2n−1=
(1+2n−1)n
2
=n2
lim
n→∞
Sn=lim
n→∞
n2=∞
E, portanto, a série 1+3+5+7+… diverge.
(c) ∑
n=1
∞ 1
2n
=1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+...+ 1
2n
+.. .
Esta série corresponde a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) de razão 
1
2
. Esta série é
um exemplo de Série Geométrica.
Série Geométrica
A série
a+ar+ar2+ar3+...+arn−1+...=∑
n=1
∞
arn−1 , a , r∈ℝ e a≠0
é chamada série geométrica.
A soma parcial Sn é dada por:
Sn=
a(1−rn)
1−r
Quando |r| <1 e n→∞ , 
S∞=lim
n→∞
Sn=
a
1−r
Assim, ∑
n=1
∞
ar n−1= a
1−r
, |r|<1 .
2
Calculando o limite da soma parcial:
lim
n→∞
Sn=
1
1−1
2
= 1
1
2
=2 .
Logo, a série converge para 2.
(d) A série ∑
n=1
∞ 1
n(n+1)
= 1
1⋅2
+ 1
2⋅3
+ 1
3⋅4
+ ... é chamada Série Telescópica.
Reescrevendo 
1
n(n+1)
, temos:
1
n(n+1)
=1
n
− 1
n+1
Assim, as somas parciais Sn são:
S1=
1
1⋅2
=1−1
2
=1
2
S2=
1
1⋅2
+ 1
2⋅3
=1−1
2
+1
2
−1
3
=1−1
3
=2
3
S3=
1
1⋅2
+ 1
2⋅3
+ 1
3⋅4
=1−1
2
+ 1
2
− 1
3
+ 1
3
−1
4
=1−1
4
= 3
4
Sn=
1
1⋅2
+ 1
2⋅3
+ 1
3⋅4
+...+ 1
n(n+1)
=1−1
2
+1
2
−1
3
+1
3
− 1
4
+...+1
n
− 1
n+1
=1− 1
n+1
= n
n+1
Logo, 
lim
n→∞
Sn=lim
n→∞
n
n+1
=1
Portanto, a série é convergente e 
∑
n=1
∞ 1
n(n+1)
=1 .
(e) A série ∑
n=1
∞ 1
n
=1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+... é chamada Série Harmônica.
Calculando as somas parciais,
S1= 1
S2= 1+
1
2
=3
2
S3 = 1+
1
2
+ 1
3
=3
2
+ 1
3
=9+2
6
=11
6
S4 = 1+
1
2
+ 1
3
+ 1
4
=11
6
+ 1
4
=22+3
12
=25
12
As somas parciais formam uma sequência estritamente crescente. Mas isso é suficiente para
afirmarmos que a série converge?
A seguir veremos alguns testes que nos permitem verificar se uma série é convergente ou não.
Testes de convergência
Teorema 1: Se lim
n→∞
an não existe ou lim
n→∞
an≠0 , então a série ∑
n=1
∞
an é divergente. Se lim
n→∞
an=0 ,
então a série ∑
n=1
∞
an pode convergir ou não.
Exemplo 4
(a) Mostre que a série ∑
n=1
∞ n
n+1
 diverge.
3
(b) Considerando o teorema 1, podemos afirmar que a série harmônica é convergente? Por que?
SOLUÇÃO
(a) lim
n→∞
an=lim
n→∞
n
n+1
=lim
n→∞
n
n
=1≠0
Logo, a série diverge.
(b) Dada a série harmônica ∑
n=1
∞ 1
n
=1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+... ,
lim
n→∞
an=lim
n→∞
1
n
=0
Pelo teorema 1 não é possível concluir sobre a convergência da série.
Teorema 2: Se a série ∑
n=1
∞
an converge, então lim
n→∞
an=0 .
A seguir veremos alguns testes de convergência.
A) Teste da Integral
Considere a série geométrica ∑
n=1
∞ 1
n2
. 
Podemos representá-la geometricamente como a soma das áreas dos retângulos colocados abaixo da
curva f (x)= 1
x2
, sendo a base de cada retângulo de comprimento 1 e altura igual a f (x)= 1
x2
 na
extremidade direita do intervalo.
Stewart, J. Cálculo, v.2, p.645, 7ª ed. 2016.
Excluindo o primeiro retângulo, o somatório das áreas dos retângulos é menor que a área sob a curva,
que é dada por ∫1
∞ 1
x2
dx .
Calculando esta integral,
∫1
∞ 1
x2
dx=lim
b→∞
(−x−1)1
b
=lim
b→∞
(−b−1+1)=1
Assim, 
1
12
+∫1
∞ 1
x2
dx=1+1=2 e, portanto, ∑
n=1
∞ 1
n2
<2 .
A série ∑
n=1
∞ 1
n2
 é convergente.
4
Teorema 3: Seja ∑
n=1
∞
an uma série com termos positivos. Se f é uma função contínua, positiva e
decrescente em [k, ∞) e seja an=f(n) para cada n≥k. A série
(i) ∑
n=1
∞
an é convergente se, e somente se, a integral imprópria ∫k
∞
f (x )dx for convergente.
(ii) ∑
n=1
∞
an é divergente se, e somente se, a integral imprópria ∫k
∞
f (x )dx for divergente.
Exemplo 5
Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
(a) ∑
n=1
∞ 1
√n
 (b) ∑
n=1
∞ n
n2+1
 (c) ∑
n=1
∞ 1
np
 (Série hiper-harmônica ou série p)
SOLUÇÃO
(a) ∫1
∞ 1
√ x
dx=lim
b→∞
∫1
b
x−1/2dx=lim
b→∞
(2 x1 /2|1b)=2 lim
b→∞
(b1/2−1)=∞
A série ∑
n=1
∞ 1
√n
 diverge.
(b) ∫1
∞ x
x2+1
dx=lim
b→∞
∫1
b x
x2+1
dx=lim
b→∞ (12 ln|x2+1||1
b)= 12 limb→∞ (ln|b2+1|−ln2)=∞
A série ∑
n=1
∞ n
n2+1
 diverge.
(c) ∫1
∞ 1
x p
dx= lim
b→∞
∫1
b
x−pdx=lim
b→∞ ( x
1−p
1− p|1
b
)= 11−p limb→∞ (b1−p−1)={ 1p−1 , se p>1∞ , se p<1
∫1
∞ 1
x
dx=lim
b→∞
∫1
b
x−1dx=lim
b→∞
( ln|x||1b)=∞ 
Para p >1 a série converge e para p ≤ 1 ela diverge.
B) Testes de comparação
Teorema 4: Sejam ∑
n=1
∞
an e ∑
n=1
∞
bn séries de termos não-negativos e suponha que
a1≤b1 , a2≤b2 , ... , an≤bn , .. .
(i) Se ∑
n=1
∞
bn for convergente, então ∑
n=1
∞
an também será convergente.
(ii) Se ∑
n=1
∞
an for divergente, então ∑
n=1
∞
bn também será divergente.
Ainda que a condição an≤bn seja válida apenas a partir de um certo termo ak, a conclusão do teorema
continua sendo válida.
Exemplo 6
Use o teste da comparação para verificar se ∑
n=1
∞ ln n
n
.
5
S OLUÇÃO 
Vimos que a série ∑
n=1
∞ 1
n
 diverge. Além disso, 
1
n
< ln n
n
, para n>2 . Então, ∑
n=1
∞ ln n
n
 também diverge.
C) Teste de comparação no limite
Teorema 5: Sejam ∑
n=1
∞
an e ∑
n=1
∞
bn séries de termos positivos. Se
lim
n→∞
an
bn
=c
onde c é um número finito e c >0, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Exemplo 7
Use o teste da comparação no limite para determinar se as séries a seguir convergem ou divergem.
(a) ∑
n=1
∞ 1
2n−1
 (b) ∑
n=1
∞ 1
√n+1
SOLUÇÃO
(a) A série ∑
n=1
∞ 1
2n
 é convergente e
lim
n→∞
1
2n
1
2n−1
=lim
n→∞
2n−1
2n
=1>0 . 
Portanto, ∑
n=1
∞ 1
2n−1
 também converge.
(b) ∑
n=1
∞ 1
√n
 é divergente. Além disso, 
lim
n→∞
1
√n
1
√n+1
=lim
n→∞
√n+1
√n
=1>0 . 
Logo, ∑
n=1
∞ 1
√n+1
também diverge.
 
Séries Alternadas
São aquelas em que os termos alternam entre positivo e negativo. 
De modo geral, uma série alternada pode ser representada de uma das seguintes formas:
∑
n=1
∞
(−1)nbn=−b1+b2−b3+b4+... ou ∑
n=1
∞
(−1)n+1bn=b1−b2+b3−b4+...
Exemplo 8
(a) -1+1-1+1-1+… (b) ∑
n=1
∞ (−1)n
n
6
Teste da Série Alternada 
Uma série da alternada da forma ∑
n=1
∞
(−1)nbn ou ∑
n=1
∞
(−1)n+1bn é convergente se satisfaz as seguintes
condições:(i) bn+1≤bn , para todo n
(ii) lim
n→∞
bn=0
Exemplo 9
Verifique a convergência das séries.
(a) ∑
n=1
∞ (−1)n
n !
 (b) ∑
n=1
∞
(−1)n+1n
SOLUÇÃO
(a) bn=
1
n!
, bn+ 1=
1
(n+1) !
bn+1
bn
=
1
(n+1) !
1
n!
= n!
(n+1)!
<1 ⇒ bn+1<bn
lim
n→∞
1
n!
=0
Logo, a série converge.
(b) bn = n, bn+1 = n+1
bn+1 – bn = n+1– n = 1>0
Portanto, bn+1 > bn e a série diverge.
Convergência absoluta de série
Dizemos que a série infinita ∑ an será absolutamente convergente se a série ∑|an| for convergente.
Teorema 6: Se uma série ∑ an for absolutamente convergente, então ela é convergente.
Exemplo 10
A série ∑
n=1
∞ (−1)n−1
n2
 é absolutamente convergente, pois ∑
n=1
∞ |(−1)n−1n2 |=∑n=1
∞ 1
n2
 é convergente.
Uma série ∑ an é dita condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for
absolutamente convergente.
Dois testes muito utilizados para verificar a convergência absoluta de uma série são: o teste da raiz e o
teste da razão.
7
Teste da raiz
Seja ∑ an uma série de termos não-nulos e suponha que lim
n→+∞
|an|
1
n=L .
(a) Se L<1, então a série ∑ an converge absolutamente e, portanto, converge.
(b) Se L> 1 ou lim
n→+∞
|an|
1
n=∞ , então a série ∑ an diverge.
(c) Se L=l, nenhuma conclusão sobre a convergência ou a convergência absoluta pode ser tirada deste
teste.
Exemplo 11
Verifique se a série ∑
n=1
∞
( −nn+1)
n
 é absolutamente convergente.
SOLUÇÃO
lim
n→∞
|an|
1
n=lim
n→∞ [( nn+1)
n]
1
n
= lim
n→∞
n
n+1
=1
Não é possível, pelo teste da raiz, concluir se a série ∑
n=1
∞ ( −nn+1)
n
 converge ou não.
Teste da razão
Seja ∑ an uma série de termos não-nulos e suponha que lim
n→+∞
|an+1|
|an|
=L .
(a) Se L<1, então a série ∑ an converge absolutamente e, portanto, converge.
(b) Se L> 1 ou se lim
n→+∞
|an+1|
|an|
=∞ , então a série ∑ an diverge.
(c) Se L=1, nenhuma conclusão sobre a convergência ou a convergência absoluta pode ser tirada deste
teste.
Exemplo 12
Verifique se a série ∑
n=1
∞ n
5n
 é absolutamente convergente.
SOLUÇÃO
lim
n→∞
|an+1|
|an|
=lim
n→∞
n+1
5n+1
n
5n
=lim
n→∞
n+1
5n+1
⋅5
n
n
= lim
n→∞
n+1
5n
=1
5
<0
Logo, a série ∑
n=1
∞ n
5n
 converge.
Para estudo, recomendo os livros:
• Cálculo, vol.2. James Stewart. Capítulo 11
• Cálculo, vol.2. Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis. Capítulo 10
8
9
Exercícios
1. Calcule as 4 primeiras somas parciais da sequência.
(a) ∑
n=1
∞ (−1)n
n!
(b) ∑
n=1
∞
cos(nπ3 )
2. Determine se a série geométrica é convergente. Em caso afirmativo, calcule a soma.
(a) ∑
n=1
∞
( 410)
n−1
(b) ∑
n=1
∞ π n
3n+1
(c) 10−2+0,4−0,08+ ...
3. Determine se a série é convergente ou divergente.
(a) 1+1
8
+ 1
27
+ 1
64
+ 1
125
+.. .
(b)
1
2
+ 1
5
+ 1
8
+ 1
11
+ 1
14
+ 1
17
+.. .
(c) ∑
n=1
∞ 1
n !
(d) ∑
n=1
∞ n2
en
(e) ∑
n=1
∞ 1+3n
2n
(f) ∑
n=1
∞ 4+3n
2n
(g) ∑
n=1
∞ (−1)n
√n2+1
(h) ∑
n=1
∞ ncos(nπ )
2n
(i)
2
3
−2
5
+ 2
7
−2
9
+.. .
4. Encontre o valor de p para que a série ∑
n=1
∞
n (1+n2)p seja convergente.
5. Leonard Euler calculou a soma exata da série p, com p=2:
∑
n=1
∞ 1
n2
=π
2
6
Use esse resultado para encontrar a soma de cada série.
(a) ∑
n=1
∞ 1
2n2
(b) ∑
n=1
∞ 1
(n+1)2
6. Encontre os valores de x para os quais a série converge e calcule a soma da série para esses valores.
(a) ∑
n=1
∞ 2n
xn
(b) ∑
n=1
∞
(x+2)n
10