Exercícios Sequências e Séries

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Sequências e Séries
Trabalho 2
Juan Garutti
1
∣∣∣ Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique, em cada caso, sua
resposta.
(a) Se uma sequência (an) é decrescente e an > 0 para todo n, então (an) é
convergente.
(b) Se (an) e (bn) são divergentes, então (anbn) é divergente.
(c) Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são séries convergentes, então a série
∞∑
n=1
anbn é conver-
gente.
(d) Se
∞∑
n=1
an é uma série convergente de números não negativos, então a série
∞∑
n=1
an
n
é convergente.
2
∣∣∣ Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente
ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n n
2 + 1
n3
(b)
∞∑
n=1
sen (nα)
(ln 10)n
(c)
∞∑
k=3
k2 + 5
k2(ln k)3
3
∣∣∣ Dê um exemplo de uma série convergente ∞∑
n=1
an e de uma sequência limitada
(xn) tais que a série
∞∑
n=1
anxn seja divergente. Analise o que ocorre se uma das
hipóteses seguintes for verificada:
(a) (xn) é convergente;
(b)
∞∑
n=1
an é absolutamente convergente.
1
4
∣∣∣ Utilize algum software para resolução desse exercício. Siga os passos indicados
abaixo para as sequências (A), (B) e (C).
(A) an = n
√
n
(B) a1 = 1, an+1 = an + 15n
(C) a1 = 1, an+1 = an + (−2)n
Passo 1 : Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da
sequência. A sequência parece ser limitada superiormente ou inferiormente?
Parece convergir ou divergir? Se a sequência for convergente, determine o
limite L.
Passo 2 : Se a sequência for convergente, encontre um número natural N tal
que |an − L| < 0,01 para n > N . Quão longe na sequência você deve chegar
para que os termos estejam a menos de 0,0001 de L?
Resolução
1
∣∣∣ (a) Verdadeiro. Uma sequência decrescente de termos positivos é limitada
inferiormente por zero. Sendo monótona e limitada, podemos afirmar que
é convergente.
(b) Falso. Podemos ter duas sequências divergentes (an) e (bn), tal que o
produto de cada termo resulta sempre num mesmo valor. Exemplo:
an = cos2
(
πn
2
)
bn = sen2
(
πn
2
)
O produto anbn é sempre igual a 0. Portanto, (anbn) é convergente.
(c) Falso. Um contra-exemplo é a série ∑ (−1)n√
n
, que é convergente (pelo Teste
de Leibniz), mas
∞∑
n=1
(
(−1)n√
n
)2
=
∞∑
n=1
1
n
é a série harmônica, que diverge.
(d) Verdadeiro. Uma vez que n ∈ N∗, certamente temos an
n
≤ an. Logo, pelo
teste da comparação, se ∑ an converge, então ∑ ann também converge.
2
2
∣∣∣ (a) Trata-se de uma série alternada que satisfaz o Teste de Leibniz. Seja
f(x) = x2+1
x3
. Temos:
i. f ′(x) = −x2+3
x4
< 0, logo os termos são decrescentes;
ii. lim
x→∞
f(x) = 0.
Portanto, a série converge.
(b) Analisemos o comportamento da série ∑ 1(ln 10)n . Pelo teste da raiz, temos:
lim
n→∞
n
√
1
(ln 10)n = limn→∞
n
√
1
ln 10 =
1
ln 10 limn→∞
n√1 = 1ln 10 < 1
Ou seja, ∑ 1(ln 10)n converge.
Além disso, sabemos que
|sen(nα)| ≤ 1
|sen(nα)|
(ln 10)n ≤
1
(ln 10)n
Uma vez que ∑ 1(ln 10)n converge, conclui-se que a série ∑∣∣∣ sen(nα)(ln 10)n ∣∣∣ converge.
Portanto, ∑ sen(nα)(ln 10)n é absolutamente convergente.
(c) Primeiro, podemos manipular algebricamente o termo geral da série:
∞∑
k=3
k2 + 5
k2(ln k)3
=
∞∑
k=3
(
k2
k2(ln k)3
+ 5
k2(ln k)3
)
=
∞∑
k=3
1
(ln k)3
+
∞∑
k=3
5
k2(ln k)3
Se qualquer uma das duas séries acima for divergente, podemos concluir
que a série original diverge. Vejamos o comportamento de∑ 1(ln k)3 . Usando
o Teste da Comparação no Limite, e sabendo que a série harmônica ∑ 1
k
diverge, temos:
lim
k→∞
1
(ln k)3
1
k
= lim
k→∞
k
(ln k)3
Podemos usar L’Hôpital repetidas vezes, chegando em
lim
k→∞
k
(ln k)3 =
1
6 limk→∞ k = +∞
Portanto, a série ∑ 1(ln k)3 diverge, o que por sua vez nos diz que ∑ k2+5k2(ln k)3
também diverge.
3
3
∣∣∣ Para o primeiro exemplo, temos a sequência an = (−1)n, limitada superiormente
por 1 e inferiormente por −1, e a série convergente ∑ (−1)n+1
n
. O produto nos
dá a série
∞∑
n=1
(−1)2n+1
n
que é divergente.
(a) Verdadeiro, pelo Critério de Dirichlet. Suponhamos que a sequência (xn)
converge para um valor X e que ela seja crescente. (Em caso decrescente,
usaríamos −xn em vez de xn a seguir) Então,
∑
an(xn − X) satisfaz o
Critério de Dirichlet e converge. Isso nos permite concluir que ∑ anxn
converge, uma vez que
∑
anxn =
∑
an(xn − X) + X
∑
an
(b) Se a sequência (xn) é limitada e a série
∑
an é absolutamente convergente,
então ∑ anxn converge.
Demonstração. Como xn é uma sequência limitada, então existe X ∈ R
tal que X ≥ |xn|. Além disso, a série
∑
an é absolutamente convergente,
então ∑ |an| = A, para algum A ∈ R. Temos então
∑
|anxn| =
∑
|an · X| = X
∑
|an| = X · A
A série ∑ |anxn| é limitada e crescente. Portanto, é convergente. Portanto,∑
anxn é absolutamente convergente. ■
4
∣∣∣ i. A tabela 1 contém os 25 primeiros valores de cada sequência e foi calculada
no Python (arquivo ex4.py). A sequência A parece convergir para 1; a
sequência B parece convergir para 1,25 e a sequência C diverge.
Cálculo de lim
n→∞
n
√
n:
lim
n→∞
n
√
n = lim
n→∞
n
1
n
= lim
n→∞
eln n
1
n
= lim
n→∞
e
1
n
(ln n)
= e limn→∞
1
n
(ln n) L’H= e0
lim
n→∞
n
√
n = 1
4
n An Bn Cn
1 1,0000 1,0000 1
2 1,4142 1,2000 5
3 1,4422 1,2400 -3
4 1,4142 1,2480 13
5 1,3797 1,2496 -19
6 1,3480 1,2499 45
7 1,3205 1,2500 -83
8 1,2968 1,2500 173
9 1,2765 1,2500 -339
10 1,2589 1,2500 685
11 1,2436 1,2500 -1363
12 1,2301 1,2500 2733
13 1,2181 1,2500 -5459
14 1,2074 1,2500 10925
15 1,1979 1,2500 -21843
16 1,1892 1,2500 43693
17 1,1814 1,2500 -87379
18 1,1742 1,2500 174765
19 1,1676 1,2500 -349523
20 1,1616 1,2500 699053
21 1,1560 1,2500 -1398099
22 1,1509 1,2500 2796205
23 1,1461 1,2500 -5592403
24 1,1416 1,2500 11184813
25 1,1374 1,2500 -22369619
Tabela 1: Primeiros 25 valores de cada sequência.
Para a sequência (B), notemos que
a1 = 1
a2 = 1 +
1
5
a3 = 1 +
1
5 +
1
25
a4 = 1 +
1
5 +
1
25 +
1
125
...
an =
n∑
k=1
1
5k−1
Ou seja, o valor de lim
n→∞
an é a soma de uma série geométrica com a = 1 e
r = 1/5, que nos dá ∑ 15n−1 = 11−1/5 = 54 = 1,25.
5
ii. Para a sequência A, temos que | n
√
n − 1| < 0,01, ou n
√
n < 1,01, cuja
solução é n > 651. Para uma distância menor do que 0,0001 de L = 1,
temos n > 9 123.
Para a sequência B, temos que calcular
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
1
5k−1 − 1,25
∣∣∣∣∣ < 0,01
Da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, temos que
n∑
k=1
1
5k−1 =
5
4
(
1 − 5−n
)
Então
∣∣∣∣54
(
1 − 5−n
)
− 54
∣∣∣∣ < 0,01∣∣∣∣54
(
− 55n
)∣∣∣∣ < 0,01
1
5n < 0,008
5n > 125
n > 3
Para obtermos uma distância menor do que 0,0001 de L = 1,25, precisamos
de ao menos sete termos:
1
5n < 0,00008
5n > 12 500
n > 6
6