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Matemática Financeira Autor: Prof. Mario Francisco Ferreira Tema 01 Juros simples ou regime de capitalização simples Juros compostos ou regime de capitalização composta seç ões Tema 01 Juros simples ou regime de capitalização simples Juros compostos ou regime de capitalização composta Como citar este material: COELHO, Prof. Antonio Fernando. Matemática Financeira: Juros simples ou regime de capitalização simples. Juros compostos ou regime de capitalização composta. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014. SeçõesSeções Tema 01 Juros simples ou regime de capitalização simples Juros compostos ou regime de capitalização composta 5 Conteúdo Nessa aula você estudará: • O regime de capitalização simples ou juros simples é utilizado em diversas situações cotidianas, tais como desconto de títulos, cobranças de juros em atrasos de pagamentos de faturas etc. • O Método Hamburguês e sua utilização nos cálculos de juros do cheque especial. • O regime de capitalização composta ou juros compostos como base para um grande número de cálculos existentes nas operações financeiras encontradas no nosso cotidiano. • As variáveis que compõem o cálculo de juros compostos, como valor presente, valor futuro, taxa e prazo. CONTEÚDOSEHABILIDADES Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro: “Matemática Financeira”, do autor Cristiano Marchi Gimenes, Editora Pearson Prentice Hall, 2006, Livro-Texto 199. Roteiro de Estudo: Prof. Mario Francisco FerreiraMatemática Financeira 6 • Noções sobre inflação e sua importância para o cálculo das taxas de juros reais, dentre outras, utilizadas em diversos tipos de negociações financeiras. Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Por que os juros simples, presentes em uma grande parcela de operações comerciais, são um regime importante? • Como é possível calcular e avaliar as variáveis constantes do regime de juros simples? • Que cálculos envolvem descontos de títulos? Como realizá-los? • Qual é a metodologia para calcular juros com prazos inferiores a um mês? • De que modo são realizados cálculos de juros compostos? Quais são suas variáveis? • O que são taxas nominais, efetivas e equivalentes? • Qual é a metodologia do cálculo das taxas equivalentes? • Como é realizado o cálculo das taxas de juros reais e taxas compostas? CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA Juros simples ou regime de capitalização simples. Juros compostos ou regime de capitalização composta Na visão de um investidor, o termo “juros” pode ser conceituado como os rendimentos recebidos pela disponibilização de um capital, por um determinado prazo, enquanto na visão de um tomador de empréstimos, como os rendimentos pagos pela utilização de um capital de terceiros, por um determinado prazo. 7 LEITURAOBRIGATÓRIA Há dois regimes de juros: regime de juros simples e regime de juros compostos. No regime de juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicialmente empregado, enquanto no regime de juros compostos, a taxa incide sobre o capital corrigido. Ao se trabalhar com fórmulas para cálculos de juros simples ou compostos, utilize a taxa sempre na forma unitária, isto é, divida a taxa centesimal por 100, exemplificando: 15% é a taxa percentual; 15÷ 100 = 0,15 (taxa unitária). Para calcular juros simples e descontos simples você poderá fazer uso das fórmulas; para realizar cálculos envolvendo juros compostos, o ideal é utilizar uma calculadora financeira, preferencialmente a HP 12C ou a planilha eletrônica MS Excel, que facilitarão consideravelmente seu trabalho em comparação ao uso de fórmulas. Não se esqueça: nos cálculos envolvendo juros simples e compostos, a taxa deve sempre ser compatível com o prazo, isto é: taxa ao mês, prazo em mês; taxa ao ano, prazo em anos; taxa ao dia, prazo em dias, e assim por diante. No regime de juros compostos, ao compatibilizar taxa com prazo, utilize sempre o prazo para fazer a compatibilização, isto é, transforme sempre o prazo em dias, meses ou anos de acordo com a unidade da taxa. Nunca divida a taxa, já que esta deve sempre ser capitalizada ou descapitalizada. Outro ponto bastante importante para você será aprender a calcular taxas equivalentes e taxa de juros real. 8 AGORAÉASUAVEZ Instruções: Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema. Questão 1: Dois capitais de R$ 25.000,00 foram apli- cados da seguinte forma: O primeiro no re- gime de juros simples a uma taxa de 36% ao ano durante 7 meses e o segundo no regime de juros compostos pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 36% ao ano. Qual dos dois regimes foi mais lucrativo para o aplicador? Questão 2: Uma duplicata no valor de R$ 4.500,00 com vencimento para 135 dias foi descon- tada em um banco, com um desconto sim- ples comercial a uma taxa de 4,8% ao mês. Qual o valor atualizado desse título? Questão 3: Determine o valor futuro de uma aplicação de R$ 45.000,00 a uma taxa de 2,75% ao mês pelo prazo de 120 dias, no regime de juros compostos. Questão 4: Um investidor deixou certo capital aplica- do no regime de juros compostos, pelo prazo de 165 dias a uma taxa de 1,99% ao mês e resgatou R$ 9.194,34. Qual o capital aplicado? 9 Questão 5: A que taxa devo aplicar R$ 15.000,00 para que ao final de 8 meses receba o valor de R$ 17.273,92? Questão 6: Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,3% ao mês? Questão 7: O Sr. José deixou de vender um imóvel por R$ 200.000,00 à vista e aplicar todo o ca- pital em uma modalidade de investimento que lhe proporcionaria uma taxa efetiva de juros 1,2% ao mês. Transcorridos 8 meses, se vê obrigado a desfazer-se desse imóvel por R$ 180.000,00, também à vista. Qual o prejuízo do Sr. José? Questão 8: Num certo período de tempo, uma aplica- ção rendeu 18,97%. Nesse mesmo perío- do, ocorreu uma inflação de 12,26%. Qual a taxa de rendimento real dessa aplicação? Questão 9: Um contrato de aluguel comercial prevê que seu reajuste após 12 meses será de 3% mais a variação do IGPM. Consideran- do que a variação do IGPM no ano foi de 8,63%, qual é a porcentagem de reajuste desse aluguel? Questão 10: Paulo aplicou R$ 15.000,00 num fundo de investimento e, posteriormente, verificou que tinha um saldo R$ 16.465,83. Nesse mesmo período, a inflação atingiu 12,015%. Paulo teve lucro ou prejuízo? AGORAÉASUAVEZ 10 A partir do estudo deste tema, você pôde perceber sua importância no cenário financeiro, por meio dos seguintes aspectos: cálculos envolvendo juros simples e compostos, taxas utilizadas para investimentos e financiamentos, noções básicas sobre inflação, taxas de juros reais entre outros. Com isso, você deu o primeiro passo para começar a entender o que acontece no mercado financeiro. Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos! FINALIZANDO Questão 1 Resposta: Dois capitais de R$ 25.000,00 cada um foram aplicados da seguinte forma: O primeiro no regime de juros simples a uma taxa de 36% ao ano durante 6 meses e o segundo no regime de juros compostos também pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 36% ao ano. Qual aplicação foi mais lucrativa para o investidor? Repita essa operação considerando os mesmoscapitais, as mesmas taxas e alterando o prazo para 18 meses. Analise os resultados obtidos e faça uma conclusão. Juros Simples: prazo de 6 meses ou 0,5 anos GABARITO 11 GABARITO FV = PV(1+in) FV = 25.000,00 .[ 1 + 0,36 . 0,5] FV = 25.000,00 .1,18 FV = 29.500,00 Juros Compostos: FV = PV.(1 + i)n FV = 25.000,00 (1 + 0,36)0,5 FV = 29.154,76 JUROS SIMPLES: mesmo capital pelo prazo de 18 meses ou 1,5 anos. FV = PV.( 1 + i.n) FV = 25.000,00 . (1 + 0,36 . 1,5) FV = 38.500,00 JUROS COMPOSTOS: mesmo capital pelo prazo de 18 meses ou 1,5 anos. FV = PV. (1 + i)n FV = 25.000,00 ( 1 + 0,36 )1,5 FV = 25.000,00 ( 1,36 )1,5 CONCLUSÃO: Quando o prazo for inferior a 1, o regime de juros simples apresenta uma opção mais lucrativa. Quando o prazo for maior que 1 o regime de juros compostos é mais lucrativo. Questão 2 Resposta: Uma duplicata no valor de R$ 4.500,00 com vencimento para 135 dias foi descontada em um banco, desconto simples comercial a uma taxa de 4,8% ao mês. Qual o valor atualizado desse título? Observe: 135 dias é igual a 4,5 meses, logo 12 GABARITO PV = FV (1 – i.n) PV = 4.500,00 (1 – 0,048 . 4,5) PV = 3.528,00. Questão 3 Resposta: Determinar o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 45.000,00 a taxa de 2,75% ao mês pelo prazo de 120 dias, no regime de juros compostos? Observe: 120 dias é igual a 4 meses, logo: FV = PV (1 + i)n FV = 45.000,00 . (1 + 0,0275)4 FV = 45.000,00 (1,0275)4 FV = 45.000,00 . 1,114621 FV = 50.157,96 Questão 4 Resposta: Um investidor deixou um certo capital aplicado no regime de juros compostos, pelo prazo de 165 dias a uma taxa de 1,99% ao mês e resgatou R$ 9.194,34. Qual o capital aplicado? OBS: 165 dias = 5,5 meses. FV = PV (1 + i)n 9.194,34 = PV (1 + 0,0199)5.5 PV = 8.250,00. 13 GABARITO Questão 5 Resposta: A que taxa devo aplicar R$ 15.000,00 para que ao final de 8 meses receba o valor de R$ 17.273,92? FV = PV(1 + i)n 17.273,92 = 15.000,00 ( 1 + i)8 i = 1,78% a.m. Questão 6 Resposta: Qual a taxa anual equivalente a taxa de 1,3% ao mês? IEQ = [(1 + 0,013)12 – 1].100 IEQ = 16,77% a.a. Questão 7 Resposta: O Sr. José deixou de vender um imóvel por R$ 200.000,00 a vista e aplicar todo o capital em uma modalidade de investimento que lhe proporcionaria uma taxa efetiva de juros 1,2% ao mês. Transcorridos 8 meses se vê obrigado a desfazer-se desse imóvel por R$ 180.000,00 também a vista. Qual o prejuízo do Sr. José? FV = PV (1 + i)n FV = 200.000,00 (1 + 0,012)8 FV = 220.026,05 220.026,05 – 180.000,00 = 40.026,05. Questão 8 Resposta: Num certo período de tempo uma aplicação rendeu 18,97%. Nesse mesmo período ocorreu uma inflação de 12,26%. Qual a taxa de rendimento real dessa aplicação? Ir = 5,98% 14 GABARITO Questão 9 Resposta: Um contrato de aluguel comercial, prevê que seu reajuste após 12 meses será de 3% mais a variação do IGPM. Considerando que a variação do IGPM no ano foi de 8,63%, em quantos por cento será reajustado esse aluguel. Iac = [(1+i1).(1+i2)- 1].100 Iac = [(1 + 0,03).(1 + 0,0863)- 1].100 Iac = 11,89% Questão 10 Resposta: Paulo aplicou R$ 15.000,00 num fundo de investimento e um certo período depois verificou que tinha de saldo R$ 16.465,83. Nesse mesmo período a inflação atingiu 12,015%. Paulo teve lucro ou prejuízo? 15.000,00 . 1,12015 = 16.802,25. 16.465,83 – 16.802,25 = - Resp. Teve prejuízo no período de 336,42. A inflação superou a taxa do investimento.
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