Estudo sobre Dinâmica: Forças e Leis de Newton

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
Adaptado de Halliday & Resnick 10ª Edição, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1, LTC, 2016. 
 
ESTUDO SOBRE DINÂMICA 
 
Antes de começar nosso estudo mais específico sobre dinâmica, cabe destacar 
um conceito muito importante para nossos estudos futuros. 
 
Força 
 
Define-se força como um ente físico capaz de modificar a velocidade de um corpo 
ou de deformá-lo. A grandeza força é vetorial e, geralmente, representada pela letra F⃗ . 
 
As três leis de Newton para a mecânica clássica: 
 
1ª lei de Newton (Princípio da Inércia) 
 
“Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo 
uniforme a não ser que sobre o mesmo atue uma força externa.” 
 
 
2ª lei de Newton (Princípio fundamental da Dinâmica) 
 
“A aceleração resultante adquirida por um corpo é igual a razão 
entre a força resultante que atua sobre o mesmo e sua massa.” 
 
Este princípio pode ser escrito matematicamente da seguinte forma: 
 
a⃗ resultante =
F⃗ resultante
m
 
 
Embora muitas vezes ele apareça no seguinte formato: 
 
F⃗ r = m ∙ a⃗ r 
 
3ª lei de Newton (Princípio da ação e reação) 
 
“A toda força de ação corresponde outra força de reação de mesma intensidade, 
mesma direção, porém aplicadas em corpos diferentes e com sentidos opostos.” 
 
Algumas forças especiais: 
 2 
 
Força Peso (�⃗⃗� ): 
Sem entrarmos no estudo mais profundo da gravita-
ção universal, podemos afirmar que a força peso é uma força exercida 
pela Terra sobre qualquer corpo sob a influência do seu campo gravi-
tacional. O peso de um corpo é igual ao módulo da força gravitacional 
que age sobre o corpo. Esta força é exercida sempre verticalmente à 
superfície da Terra e tem sentido do centro da Terra. Como é uma 
força que provoca a aceleração gravitacional nos corpos, pode ser de-
terminada pela segunda lei de Newton, isto é: 
 
P⃗⃗ = m ∙ g⃗ 
 
Como a figura acima sugere, a força de reação ao peso está posta no centro da 
Terra e têm mesmas direção e módulo que a força peso exercida pela Terra sobre o corpo. Isto 
significa dizer que, assim como a Terra está me puxando para baixo (com determinada intensidade), 
eu estou puxando a Terra para cima com a mesma intensidade (3ª lei de Newton). A interação entre 
a minha massa (m) e a massa da Terra (M) geram essas forças de ação e reação. 
 
Força Normal (𝐅 𝐍): 
A força normal é uma força de reação da superfície ao contato de um corpo. 
Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a superfície (ainda que aparentemente 
rígida) se deforma e empurra o corpo em uma força denominada normal que é sempre perpendicular 
à superfície de contato. É muito comum confundirmos a força normal como sendo a força de reação 
ao peso, mas cuidado, a força normal não é uma força de reação ao peso e sim uma força de 
reação à força de pressão que o corpo exerce quando está em contato com uma superfície. Ema 
apenas algumas situações especiais, o módulo da força normal será igual ao módulo da força peso, 
porém, mesmo nestes casos, elas não poderiam ser forças de ação e reação por estarem atuando 
no mesmo corpo (reveja o enunciado da 3ª lei de Newton). Veja alguns exemplos: 
 
 
Força de Atrito (𝐟 𝐚𝐭): 
Quando um corpo é empurrado sobre uma superfície, surge uma força que se 
opõe ao movimento do corpo. Esta força é causada pela rugosidade entre as superfícies que man-
tém o contato (tanto a do corpo como a superfície que ele está apoiado). Denominamos esta força 
de força de atrito ou simplesmente atrito. A força de atrito é paralela à superfície de contato e sempre 
contra à tendência do movimento (mesmo que o movimento não exista, se houver uma tendência 
ao movimento, a força de atrito é contrária). 
P⃗⃗ F⃗
 
reação ao peso 
P⃗⃗ 
F⃗ reação ao peso 
F⃗ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 exercida pelo contato 
do livro com a mesa 
F⃗ N 
P⃗⃗ 
F⃗ N 
F⃗ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 exer-
cida pelo con-
tato da bola de 
boliche com a 
parede 
F⃗ 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 ao peso 
está na Terra F⃗ 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 ao peso 
está na Terra 
P⃗⃗ 
F⃗ N 
Componente P⃗⃗ y 
do peso, man-
tém o contato 
do baú com a 
superfície 
F⃗ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
Componente P⃗⃗ x do peso res-
ponsável pela translação do 
baú sobre a superfície 
 3 
Geralmente dividimos a força de atrito em dois tipos: força de atrito estática e força 
de atrito cinética (ou dinâmica). A força de atrito estática aparece enquanto o corpo estiver em 
repouso até estar na iminência do movimento. Esta força de atrito cresce desde um valor nulo até 
um valor máximo. Já a força de atrito cinética é constante e surge quando o corpo entra em movi-
mento. A força de atrito estática má-
xima é sempre maior que a força de 
atrito cinética. 
A força de atrito 
depende da força normal que apa-
rece devido ao contato entre o corpo 
e a superfície e da rugosidade dos 
materiais que estão em contato. Ma-
tematicamente a força de atrito pode 
ser escrita da seguinte forma: 
 
|f at| = μ ∙ |F⃗ N| 
 
Onde: f at é a força de atrito ;  é o coeficiente de atrito ; F⃗ N é a força normal. 
 
Força de Tração (�⃗⃗� ): 
Quando um corpo está preso a uma corda esticada, a corda aplica ao corpo uma 
força denominada de tração (T⃗⃗ ), orientada sempre na direção da corda. 
 
 
SISTEMAS SEM ATRITO 
 
1. Um homem empurra um trenó, carregado com massa 240 kg, 
por uma distância de 2,3 m, sobre uma superfície sem atrito de 
um lago congelado, como indica a figura ao lado. Ele exerce 
sobre o trenó uma força horizontal constante F, com módulo F 
= 130 N. Se o veículo parte do repouso, qual a sua velocidade 
final? 
 
2. O homem do problema anterior quer reverter o sentido da velocidade do trenó carregado em 
4,5 s. Com que força constante ele deve empurrá-lo para conseguir isso? 
 
3. Um caixote de massa 360 kg está parado sobre a carroceria 
de um caminhão que se move com velocidade Vo = 120 
km/h, conforme mostra a figura ao lado. O motorista freia di-
minuindo sua velocidade para V = 62 km/h em 17 s. Qual a 
força (suposta constante) sobre o caixote durante esse inter-
valo de tempo? Suponha que o caixote não deslize sobre a carroceria do caminhão. 
 
vo 
m 
fat (N) 
Fexterna (N) 
0 
𝑓𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
 
𝑓𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎)⬚
 
Objeto em 
movimento 
Objeto na iminência 
do movimento 
Força de atrito é 
constante durante 
o movimento 
estático  cinético 
T⃗⃗ 
T⃗⃗ 
T⃗⃗ 
T⃗⃗ 
T⃗⃗ T⃗⃗ 
Os módulos das forças de tração (T⃗⃗ ) são sempre 
iguais nas duas extremidades da corda. 
 4 
4. Numa brincadeira de cabo-de-guerra, Alex, Betty e Charles puxam 
um pneu de automóvel, nas direções mostradas na figura ao lado, 
vista do alto. Alex puxa com uma força FA = 220 N e Charles com 
uma força FC = 170 N. Qual a força FB aplicada por Betty para que 
o pneu permaneça parado? O sentido da força de Charles não está 
indicado na figura. 
 
5. John Massis foi um rapaz de 80 kg que puxou um vagão de trem 
de 7,0 x 105 N (cerca de 80 ton), utilizando apenas os seus dentes. 
Supondo que ele aplicou na extremidade da corda uma força cons-
tante igual a 2,5 vezes o peso de seu corpo, fazendo um ângulo de 
30º com a horizontal e que conseguiu que o vagão se deslocasse por cerca de 1,0 m sobre 
os trilhos. Admitindo que não haja atrito entre as rodas do vagão e os trilhos, qual era a velo-
cidade do vagão quando acabou de ser puxado? 
 
6. A figura ao lado mostra um bloco M (bloco deslizante) de massa 3,3 kg. 
Ele se move livremente, sem atrito, sobre uma fina camada de ar na 
superfície horizontal de uma mesa. O bloco deslizante está preso a uma 
corda que passa em volta de uma polia de massa e atrito desprezíveis 
e tem, naoutra extremidade, um segundo bloco m (bloco suspenso) de 
massa 2,1 kg. O bloco suspenso, ao cair, acelera o bloco deslizante 
para a direita. Determine: (a) a aceleração do bloco deslizante; (b) a 
aceleração do bloco suspenso; (c) a tensão na corda. 
 
7. Um bloco de massa M = 33 kg é empurrado sobre uma superfície sem atrito por meio de uma 
haste de massa m = 3,2 kg, conforme mostra a figura ao 
lado. O bloco se desloca (a partir do repouso) por uma dis-
tância d = 77 cm, em 1,7 s, com aceleração constante. (a) 
Identifique todos os pares de forças ação-reação neste 
exemplo; (b) Que força a mão deve exercer sobre a haste? 
(c) Com que força a haste empurra o bloco? (d) Qual a força 
resultante na haste? 
 
 
8. A figura ao lado mostra um bloco de massa 15 kg suspenso 
por três cordas. Quais as tensões em cada uma das cordas? 
 
 
 
9. A figura ao lado mostra um bloco de massa m = 15 kg 
seguro por uma corda, sobre um plano inclinado sem 
atrito. Se  = 27º, qual a tensão na corda? Que força 
é exercida pelo plano sobre o bloco? 
 
10. Suponha que a corda que segura o bloco 
do problema anterior seja cortada. Qual a 
aceleração do bloco? 
 
11. A figura ao lado mostra dois blocos ligados por uma corda, passando por uma 
polia de massa e atrito desprezíveis. Fazendo m = 1,3 kg e M = 2,8 kg, determine 
a tensão na corda e o módulo da aceleração (simultânea) dos dois blocos. 
 
Charles 
137o 
Betty 
Alex 
m 
M 
28o 47o 
A B 
C 
m 
nó 
m 
 
m 
M 
 5 
12. Um passageiro de massa 72,2 kg está em pé sobre uma balança, dentro 
de um elevador, como indica a figura ao lado. Quais as leituras na ba-
lança para as acelerações? 
a) Se o elevador permanecer em repouso ou se movimentar com ve-
locidade constante? 
b) Se o elevador tiver uma aceleração de 3,20 m/s² para cima? 
c) Se o elevador tiver uma aceleração de 3,20 m/s² para baixo? 
d) Se o cabo do elevador romper e ele cair em queda livre? 
e) Se o elevador fosse puxado para baixo com uma aceleração de – 
12,0 m/s²? 
 
SISTEMAS COM ATRITO 
 
13. Uma caixa de 15 kg está apoiada sobre uma superfície horizontal. Para esta situação as duas 
superfícies em contato apresentam coeficientes de atrito estático e cinético, respectivamente 
iguais a e = 0,35 e c = 0,25. Um homem empurra a caixa com determinada força F⃗ , também 
horizontal e paralela à superfície. Considerando g = 9;8 m/s², determine o valor da força de 
atrito que surge entre as superfícies em contato, quando o valor da força F⃗ feita pelo homem 
for: 
a) 40 N 
b) 60 N 
 
14. A figura ao lado mostra uma moeda imóvel sobre um livro 
que foi inclinado de um ângulo  com a horizontal. Por um 
processo de tentativa e erro determinamos que a moeda 
começa a deslizar sobre o livro quando  é igual a 13º. 
Qual o coeficiente de atrito estático e, entre a moeda e o 
livro? 
 
15. Quando as rodas de um carro são “travadas” (impe-
didas de rolar) durante uma freada, o carro desliza 
sobre a pista. Resíduos de pneus e pequenas partes 
derretidas de asfalto formam as “marcas da derrapa-
gem”, que evidenciam a fusão dos dois materiais du-
rante o deslizamento. A maior marca de derrapagem 
em uma rodovia pública foi produzida em 1960 por 
um Jaguar, na Inglaterra – as marcas tinham 290 m de comprimento! Supondo que c = 0,60, 
qual a velocidade escalar do veículo no momento em que as rodas forma bloqueadas? 
 
16. Uma mulher puxa um trenó carregado de massa m = 75 kg 
sobre uma superfície horizontal, com velocidade constante. 
O coeficiente de atrito cinético c entre o trenó e a neve é 
0,10 e o ângulo  mostrado na figura ao lado é 42º. Calcule: 
a) Qual a tensão T na corda? 
b) Qual a força normal que a nve exerce verticalmente 
para cima sobre o trenó? 
 
moeda 
 
d 
h 
 = 0,6 
d 
vo 
a 
T 
 
 6 
17. Na figura ao lado um bloco de massa m1 = 14 kg se move 
sobre um plano com inclinação  = 30º com a horizontal. 
Outro bloco, de massa m2 = 14 kg, está ligado a outra ex-
tremidade de uma corda tensionada, de massa desprezí-
vel, que desliza sem atrito sobre uma polia de massa tam-
bém desprezível. A caixa pendurada desce com veloci-
dade constante. 
a) Qual o módulo e o sentido da força de atrito entre o 
plano e m1? 
b) Qual o valor de c? 
 
FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE TERMINAL 
 
Sempre que existe movimento relativo entre o ar (ou outro fluido qualquer) e um 
corpo, o corpo experimenta uma força de arrasto D⃗⃗ que se opõe ao movimento relativo e aponta na 
diração do movimento do fluido em relação ao corpo. O módulo de D⃗⃗ está relacionado ao módulo 
da velocidade relativa v⃗ por meio da equação: 
 
|D⃗⃗ | =
1
2
∙ C ∙ ρ ∙ A ∙ v2 
 
Onde: |D⃗⃗ | = força de arrasto ; C = é uma constante empírica denominada coeficiente de arrasto 
 = massa específica do fluido ; A = é a secção reta efetiva do corpo (área da secção 
reta do corpo perpendicular a v⃗ ) ; v = velocidade relativa do movimento. 
 
Em um corpo em queda livre, a força de arrasto cresce até se igualar 
ao peso do corpo em queda. Enquanto a força peso do corpo for maior que a força de 
arrasto, o corpo possui aceleração e, consequentemente, sua velocidade cresce con-
tinuamente. No momento em que a força de arrasto se iguala ao peso do corpo, a força 
resultante sobre o corpo torna-se igual a zero e, consequentemente, a aceleração de-
saparece. A partir desse instante o corpo desce em movimento retilíneo uniforme, isto 
é, com velocidade constante. Essa velocidade é denominada de velocidade terminal 
que pode ser expressa pela equação: 
 
𝑣𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = √
2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔
𝐶 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴
 
 
18. Um gato caindo atinge uma primeira velocidade limite de 72 km/h, enquanto está encolhido, 
quando então se estica duplicando sua área de contato com o ar (A). Qual a velocidade es-
calar da queda quando ele atinge uma nova velocidade limite? 
 
19. Com os dados do problema anterior, admitindo g = 9,8 m/s², calcule a partir de que altura o 
gato atinge a velocidade limite. Lembre-se que nosso corpo (assim como o dos animais) fun-
cionam como um acelerômetro, não como um velocímetro. 
 
20. Uma gota de chuva com raio R = 1,5 mm cai de uma nuvem que está a uma altura h = 1 200 
m acima do solo. O coeficiente de viscosidade C para a gota é de 0,60. Suponha que a gota 
seja esférica durante a queda. A densidade da água a é de 1 000 kg/m³, e a densidade do ar 
ar é de 1,2 kg/m³. Determine: 
a) Qual a velocidade limite da gota? 
b) Qual seria a velocidade imediatamente antes do impacto, se não houvesse a força de 
viscosidade? 
 
 
 
F⃗ arrasto 
P⃗⃗ 
 7 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
 
Quando uma partícula está em movimento descrevendo uma trajetória circular de 
raio R com o módulo de sua velocidade v constante, diz-se que esta partícula adquiriu um movi-
mento circular uniforme. No entanto a velocidade, como já vimos, é uma 
grandeza vetorial, logo, mesmo que seu módulo seja constante, para 
que a trajetória seja circular, tanto a direção como o sentido da veloci-
dade estão mudando a cada instante. Como também já vimos, uma mu-
dança de velocidade implica necessariamente em uma aceleração. 
Neste caso denominamos a aceleração adquirida pela partícula de ace-
leração centrípeta e calculamos seu módulo através da expressão: 
 
|a⃗ | =
v2
R
 
 
Pela segunda lei de Newton, sabe-se que uma aceleração deve ser provocada 
pela existência de uma força. A força que provoca o aparecimento da força centrípeta damos o 
nome de força centrípeta. O principal motivo é que esta força aponta sempre para o centro da 
trajetória circular executada pela partícula. Matematicamente o módulo da força centrípeta é calcu-
lada da seguinte forma: 
 
|F⃗ centrípeta|=
m ∙ v2
R
 
 
21. Igor é o físico responsável a bordo da nave espacial Vostok II, orbitando a Terra a uma altitude 
h de 520 km, com uma velocidade escalar de 7,6 km/s. A massa m de Igor é de 79 kg. 
a) Qual a sua aceleração? 
b) Qual a força gravitacional (centrípeta) que a Terra exerce sobre Igor? 
 
22. Em 1901, num espetáculo circense, Allo Diavolo, o “Deste-
mido”, apresentou-se montando uma bicicleta numa pista em 
loop no plano vertical (figura ao lado). Supondo que o loop é 
um circulo de raio R = 2,7 m, qual a menor velocidade escalar 
v que ele deverá ter no topo do loop, para permanecer em 
contato com a pista? 
 
23. A figura ao lado mostra um pêndulo cônico. A massa m de 1,5 kg 
está presa à ponta de um cordão de comprimento L = 1,7 m, me-
dido até o centro de massa que descreve um círculo horizontal 
com velocidade escalar constante V. O cordão faz um ângulo  
= 37º com a vertical. Como a massa descreve um círculo, o cor-
dão varre a superfície de um cone. Determine o período do pên-
dulo, isto é, o tempo  para a massa completar uma volta no cír-
culo. 
 
24. A figura ao lado representa um carro de massa 
1600 kg se movendo com velocidade escalar 
constante V = 20 m/s sobre uma rodovia circular 
de raio R = 190 m. Qual o valor mínimo de c en-
tre os pneus do carro e a rodovia, para evitar a 
derrapagem do carro? 
 
 
 
𝑣 
𝑣 
𝑣 
𝑎 
𝑎 
𝑎 
 
L 
y 
x 
T Ty 
Tx 
P 
 
m 
v⃗ 
R 
F⃗ c F⃗ centrípeta 
F⃗ N 
carro 
P⃗⃗ a⃗ centrípeta 
 8 
25. Não se pode contar sempre com o atrito ao fazer uma curva com um 
carro, principalmente se a estrada estiver molhada. Por isso, as auto-
estradas são inclinadas nas curvas. Então, no problema anterior, su-
ponha que o carro de massa m faça a curva de raio R = 190 m, agora 
inclinada, com velocidade escalar constante V = 20 m/s. Para que 
ângulo de inclinação  o atrito seria desnecessário? 
 
26. Até mesmo alguém que já tenha experimentado a sensação de girar num rotor (essencial-
mente um grande cilindro oco que gira rapidamente ao redor de um eixo central) empalidece 
cada vez que entra num. Certa mulher entra no cilindro por uma porta lateral, antes de come-
çar a girar: fica em pé sobre o piso e se apoia na parede do cilindro, que está coberta por uma 
lona. A porta é fechada e o cilindro começa a girar; a mulher, a 
parede e o piso girando solidariamente. Quando a velocidade do 
conjunto atinge um valor predeterminado, o piso desce, repen-
tina e assustadoramente. A mulher não cai, ao contrário, perma-
nece pregada à parede, como se alguma coisa invisível esti-
vesse pressionando seu corpo. Depois, o piso é novamente le-
vantado até os seus pés, o cilindro diminui a velocidade e a mu-
lher cai alguns centímetros e começa a caminhar pelo piso (Al-
gumas pessoas consideram isso bem divertido.) 
Suponha que o coeficiente de atrito estático e entre a roupa da 
mulher e a lona é 0,40 e que o raio R do cilindro é de 2,1 m. 
a) Qual a velocidade escalar mínima V do cilindro para que a mulher não caia quando o 
piso descer? 
b) Se a massa da mulher for de 49 kg, qual o módulo da força centrípeta que atuará sobre 
ela? 
Gabarito: 
 
1. V = 1,6 m/s 
2. F = – 171 N 
3. F = – 340 N 
4. FB = 241 N 
5. v = 0,22 m/s 
6. a) 3,8 m/s² 
b) 3,8 m/s² 
c) 13 N 
7. a) 
b) F  19,3 N 
c) F  17,6 N 
d) F  1,7 N 
8. TA = 104 N 
TB = 134 N 
TC = 147 N 
9. F = 131 N 
10. a = – 4,4 m/s² 
11. T = 17 N 
a = 3,6 m/s² 
12. a) F = 708 N 
b) F = 939 N 
c) F = 477 N 
d) F = 0 
e) F = – 159 N 
13. a) fat = 40 N 
b) fat = 36,75 N 
14.  = 0,23 
15. v = 210 km/h 
16. a) T = 91 N 
b) FN = 670 N 
17. a) T = 68,6 N 
b) c = 0,58 
18. v = 67 km/h 
19. h = 20,4 m 
( 7 andares) 
20. a) vlim = 7,4 m/s 
b) v = 150 m/s 
21. a) a = 8,38 m/s² 
b) F = 660 N 
22. v = 5,1 m/s 
23.  = 2,3 s 
24. c = 0,21 
25.  = 12º 
26. a) v = 7,17 m/s 
b) FN = 1200 N 
 
 
m 
M 
FHM FHB FBH FMH