Lista 1 - Matrizes

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Universidade de Bras´ılia
Faculdade do Gama
1a¯ Lista de Exerc´ıcios - IAL
Matrizes
Questa˜o 1. Sejam
A =

 1 3 0
2 4 −2

 , B =


1
3
−1

 , C =
[
1 4
]
, e D =

 2 5 1
−2 −7 1

 .
Determine quais das seguintes expresso˜es matriciais esta˜o definidas. Para as que esta˜o
definidas, efetue a operac¸a˜o:
(a) A+D
(b) D −A
(c) AD
(d) DA
(e) CA
(f) AB
(g) DtB
(h) (At +Dt)C
Questa˜o 2. Se A =

 3 −2
−4 3

, encontre B, de modo que B2 = A.
Questa˜o 3. Mostre que a soma e o produto de matrizes diagonais sa˜o diagonais.
Questa˜o 4. Sejam A, B ∈ Mn(F ). Escreva uma fo´rmula para (A+B)
2, (A−B)2.
Questa˜o 5. Encontre um valor de x tal que ABt = 0 em que A =
[
x 4 −2
]
e
B =
[
2 −3 5
]
.
Questa˜o 6. Mostre que a u´nica matriz sime´trica que tambe´m e´ anti-sime´trica e´ a matriz
nula.
Questa˜o 7. Ache as matrizes quadradas n× n que satisfac¸am Xt = 2X.
Questa˜o 8. Uma matriz quadrada A ∈M2(R) e´ uma matriz ortogonal se A
tA = AAt = 1.
Encontre uma matriz ortogonal 2× 2 que na˜o seja a matriz identidade.
Questa˜o 9. Mostre que o trac¸o de matrizes anti-sime´tricas e´ zero.
Questa˜o 10. Verifique se cada item e´ verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta com
um argumento lo´gico (demonstrac¸a˜o) ou com um contra-exemplo.
(a) Se B possui uma coluna nula, enta˜o AB possui uma coluna nula.
(b) A soma, produto e mu´ltiplo escalar de matrizes triangulares superiores e´ triangular
superior.
(c) As expresso˜es tr(AAt) e tr(AtA) esta˜o sempre definidas, independente do tamanho
de A.
(d) Se A e´ uma matriz quadrada com duas linhas ideˆnticas, enta˜o AA possui duas linhas
ideˆnticas.
(e) Se a soma de matrizes AB +BA esta´ definida, enta˜o A e B sa˜o matrizes quadradas.