Exercícios de revisão G1

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1 
 
CÁLCULO III - EXERCÍCIOS DE REVISÃO – CAPÍTULOS 1 a 5 
CAPÍTULO 1: Questões: 1, 8 e 13. 
CAPÍTULO 2: Questões: 2, 9 e 14. 
CAPÍTULO 3: Questões: 3 a 7, 10 a 12, 15 a 18 e 40 
CAPÍTULO 4: Questões: 19, 20, 26 a 28. 
CAPÍTULO 5: Questões: 21 a 25, 29 a 39. 
 
1. Calcule os limites, quando existirem: 
a) 



 34
133
lim
2
23
1 xx
xxx
x
 f) 


 x
x
x tan
tan1
lim
2

 k) 







x
xx
tan.
1
lim
0
 
 
b) 



 x
xx
x 2
6
lim
2
 g) 

 x
x
x 2
tan
lim
0
 l) 







 xxx ln
1
1
1
lim
1
 
c) 



 4
45
lim
2
4 x
xx
x
 h) 


 xsen
x
x 
cos1
lim
0
 m) 
  

xx
x
2
1
21lim
0
 
 
d) 



 182
3
lim
23 x
x
x
 i) 

 x
x
x
ln
lim
 n) 








x
x x2
1
1lim
 
e) 



 1
1
lim
2
2
2
5
0 x
x
x e
e
 j) 


)seccos. ( lim
9
xxsenarc
x
 o) 








2
1
1lim
x
x x
 
 
 
2. Verifique a convergência das seguintes integrais: 
 
a) 



1 2
1
dx
x
 b) 



1
1
dx
x
 c) 
  
0
. dxex x
 d) 
 

5
2 2
1
dx
x
 e) 
 
3
0 1
1
dx
x
 
f) 



1 3
4
1
dx
x
 g) 


 
0
2 dxe x
 h)
 
3
1 2
1
dx
x
 i) 



dx
x3
1
 j) 
  
0
2
1
dx
x
 
 
2 
 
3. Dada a função 
)(25),( 22 yxyxf 
, determine: 
a) 
)0 ,0(f
 b) 
)4 ,3(f
 c) 
 )3 ,0(f
 d) 
 )3 ,2(f
 e) 
 )5 ,4(f
 
 
4. Determine o domínio das seguintes funções na forma algébrica e na forma geométrica (representação gráfica no plano xy): 
a) 
)(25
1
),(
22 yx
yxf


 f) 
yx
yxf


1
),(
 
b) 
yx
yx
yxf


),(
 g) 
22 416
1
),(
xy
yxf


 
c) 
2236),( yxyxf 
 h) 
22 936),( xyyxf 
 
d) 
yxyxf 1),(
 i) 
)ln(),( 2 yxyxf 
 
e) 
xyyxf ),(
 j) 
4
1
),(
2 

x
yxf
 
5. Esboce o mapa de contorno de cada função a seguir, usando as curvas de nível de alturas k indicadas: 
a) 
16),( 22  yxyxf
, k = 0, 3, 5 c) 
224),( yxyxf 
, k = 0, 1, 4 
b) 
22
1
),(
yx
yxf


, k = 0, 1, 2 d) 
yxyxf 482),( 
, k = –2, 0, 4 
6. Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas 
porque todos os pontos desta curva têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por 
22 21
100
),(
yx
yxT


 . 
7. Se 
),( yxV
 é o potencial elétrico de um ponto (x, y) do plano xy, as curvas de nível de 
V
são chamadas de curvas equipotenciais, porque nelas 
todos os pontos (x, y) têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais se 
.
4
10
),(
22 yx
yxV


 
3 
 
8. Calculando o limite: 
)]1ln().1[(lim
1


xx
x
, encontramos: 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) ∞ 
 
9. A área da região limitada pelo gráfico da função 
xexxf .)( 
, o eixo das abscissas, desde menos infinito até x = 0 vale, em unidades de área: 
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 
 
 
10. Considerando a função 
yx
yx
yxf



22
),(
, então 
)7,2(f
 é igual a: 
a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 3 
 
11. O domínio da função 
3 22 63
2
),(


yx
yxf
é o conjunto: 
a) 






 1
26
/),(
22
2 yxRyxD
 b) 






 1
26
/),(
22
2 yxRyxD
 c) 






 1
26
/),(
22
2 yxRyxD
. 
d) 






 1
26
/),(
22
2 yxRyxD
 e) 






 1
26
/),(
22
2 yxRyxD
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
12. Dado o gráfico a seguir: 
 
Ele representa geometricamente o domínio da função: 
a) 
1234),( 22  yxyxf
 b) 
1234
1
),(
22 

yx
yxf
 c) 
1243
1
),(
22 

yx
yxf
 
 d) 
1234),( 22  yxyxf
 e) 
1243),( 22  yxyxf
 
 
13. Calculando 
x
x
x
1
)(ln lim

 encontramos: 
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 
 
14. Sobre a integral 

 
0
2 .dxe
x
 podemos dizer que: 
a) Converge para 1/2 b) Converge para –1/2 c) Converge para 2 d) Diverge e) Converge para –2 
5 
 
15. O domínio da função 
 8 ln),( yxyxf 
 é o conjunto: 
a) 
}8/),{( 2 xyRyx 
 b) 
}8/),{( 2 xyRyx 
 c) 
}8/),{( 2 xyRyx 
 
 d) 
}8/),{( 2 xyRyx 
 e) 
}8/),{( 2 xyRyx 
 
 
16. Calculando o valor da função 
yxyxyxf  ln),(
 no ponto 
)0 ,(eP
encontramos: 
a) 
e1
 b) 
e
 c) 1 d) 0 e) –1 
 
17. Dada a função 
22
),(
yx
yx
yxf



. Então 
)12 ,5( ttf
 é igual a: 
a) 
13
7
 b) 
13
7

 c) 
13
17t
 d) 
13
7t
 e) 
t13
7

 
 
18. Dado o gráfico: 
 
6 
 
Ele representa o domínio na forma geométrica da função: 
a) 
12),( 22  yxyxf
 b) 
yx
yxf


1
),(
 c) 
12
1
),(
22 

yx
yxf
 d) 
yx
yxf


1
),(
 e) 
124),( 22  yxyxf
 
19. Calcule o limite de cada função a seguir: 
a) 
 

122lim 23
)4,1(),(
yx
yx
 b) 
 

xyyx
yx
23lim 2
)1,2(),(
 c) 



 22
2
)4,3(),(
34
lim
yx
yx
yx
 
 
20. Mostre que o limite não existe considerando os limites ao longo do eixo x e ao longo do eixo y: 
a) 



 22)0,0(),(
lim
yx
yx
yx
 b) 



 22)0,0(),( 2
lim
yx
yx
yx
 c) 



 22
22
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx
 
 
21. Calcule as primeiras derivadas parciais (
xf
 e 
yf
 ) das funções a seguir: 
a) 
10075245),( 334363 yxyxxyyxyxf
 f) 
)cos(.),( xyxyxf 
 
b) 
)( .),( xysenxyxf 
 g) 
432),( 234  tsttstsf
 
c) 
)( .),( xseneyxf y
 h) 
 423),( srxrf 
 
d) 
22),( yxyxf 
 i) 
xeyyxf .),( 
 
e) 
yx
yx
yxf


),(
 j) 
)cos(),( 43 yxyxf 
 
22. Calcule as segundas derivadas parciais (
xxf
, 
xyf
, 
yyf
 e 
yxf
) das funções a seguir: 
a) 
xyyxyxyxf 3547),( 3223 
 b) 
)cos(.),( 3 xyxyxf 
 c) 
yeyxf x ln.),( 
 
7 
 
23. Seja 
)6( 2 xxsenZ 
 e o ponto P(3, 1). 
a) Determine a taxa de variação de Z em relação a 
x
 no ponto P, considerando y constante. 
b) Determine a taxa de variação de Z em relação a 
y
no ponto P, considerando 
x
constante. 
24. Dada a função 
yxyxyxf 233),( 2 
. 
a) Calcule 
)1,2( xf
 e 
)1,2( yf
. b) O que significa cada valor calculado no item a? 
25. Calcule os valores de x e de y para os quais 
0 yx ff
, para a função 
yyxyxyxf 222),( 22 
. 
26. Calculando o limite: 
  yx
yx
yx 


22
)1,2(),
lim
, encontramos: 
a) 
5
 b) 
1
 c) 
3/5
 d) 
5
 e) 
3/5
 
 
27. Resolvendo o limite 
12
lim
22)3,2(),( 

 yx
yx
yx
, encontramos: 
a) –5 b) 5 c) –1/5 d) 1/5 e) 1 
 
28. Resolvendo o limite 
22)3,3(),( 2
3
lim
yx
yx
yx 


, encontramos: 
a) 1 b) 1/3 c) 1/2 d) 3 e) 2 
29. Dada a função 
)1( ln),(  xyyxf
. Então o valor de 
)1 ,1(
yx
2

 f
 é igual a: 
a) 4 b) ¼ c) 1/2 d) 2 e) 1 
8 
 
30. Considere a seguinte função de produção 
5,0).(2),( yxyxP 
, onde 
P
 é a quantidade colhida de um produto (em toneladas), 
x
 é o número de 
homens-hora empregados (em milhares) e 
y
 é o número de hectares plantados. Então a 
)4 ,1(
x
P
é igual a: 
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 3 
31. Dada a função 
x
y
y
x
yxf
22
),( 
. Então 
y
f


 é igual a: 
a) 
2
32 2
xy
yx 
 b) 
2
22
xy
xy 
 c) 
2
2 2
xy
yx 
 d) 
2
332
xy
xy 
 e) 
2
2332
xy
yxxy 
 
32. A inclinação da reta tangente ao gráfico da função 
)(.),( xyseneyxf y
 no ponto 






1 ,
3

P
e que pertence ao plano paralelo ao plano xz é igual a: 
a) 
2
e
 b) 
e
 c) 
e2
 d) 
e
2
3
 e) 
e3
 
33. A taxa de variação da função 
x
yx
yxf
22
),(


, em relação à variável 
x
, no ponto P(1, 1) é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
34. Dada a função 
xy
xyyxf
1
),( 
. Então 
2
2
y
f


 é igual a: 
a) 
3
2
xy
 b) 
3
2
xy

 c) 
3
2
1
xy

 d) 
3
2
1
xy

 e) 
2
2
xy
 
 
35. Dada a função 
)ln(.),( xyeyxf x
. Então a derivada parcial desta função, em relação a y, no ponto (0, 1): 
a) É igual a 1 b) É igual a 2 c) É igual a 3 d) É igual a 4 e) É igual a 5. 
9 
 
36. Uma empresa fabrica dois tipos de queimadores de lenha: um modelo de fogão a lenha e um modelo para lareiras. A função custo para a 
produção de 
x
 unidades de fogão e de 
y
modelos para lareiras é 
050.120517532),(  yxxyyxC
. O custo marginal em relação a 
x








x
C
 quando 
80x
 e 
20y
é igual a: 
a) 237 b) 198 c) 205 d) 183 e) 136 
 
37. Dada a função 
).cos(.)cos(. xyyxz 
 Então 
yx
z

 2
 é: 
a) 
)()( xsenysen 
 b) 
)()( xsenysen 
 c) 
)()( xsenysen 
 d) 
)()( xsenysen 
 e) 
)cos()cos( xy 
 
 
38. Dada a função 
).cos(),( 2yxyxf 
 Então 
yyf
 é igual a: 
a) 
)cos(. 2 yxx
 b) 
)cos(. 24 yxx
 c) 
)cos(. 2yxx
 d) 
)cos(. 24 yxx
 e) 
)cos(. 22 yxx
 
 
39. A taxa de variação da função 
x
y
y
x
yxf
22
),( 
, em relação à variável x, no ponto P(1, 1) é: 
a) 0,5 b) –1 c) 3 d) 2 e) 1 
 
40. Dada a função 
22
),(
yx
yx
yxf



. Então 
)12 ,5( ttf
 é igual a: 
a) 
13
7
 b) 
13
7

 c) 
13
17t
 d) 
13
7t
 e) 
t13
7

 
 
 
10 
 
RESPOSTAS 
 
1. a) 0 b) -5/4 c) 3 d) 

 e) 5/2 f) 1 g) 1/2 h) 0 i) 0 j) anulada k) 1 l) ½ m) e n) 
2/1e
 o) 

 
 
2. a) 1 (converge) b) diverge c) – 1 (converge) d) 
32
 (converge) e) diverge f) 3 (converge) g) 1/2 (converge) h) diverge i) diverge j) diverge 
 
3. a) 5 b) 0 c) 4 d) 
32
 e) Não existe 
 
4. a) 
 25/),( 222  yxRyxD
 b) 
 xyRyxD  /),( 2
 
 
11 
 
c) 
 36/),( 222  yxRyxD
 d) 
 2),( RyxD 
 
 
e) 
 xyRyxD  /),( 2
 f) 
 xyRyxD  /),( 2
 
 
12 
 
g) 
 164/),( 222  yxRyxD
 h) 
 369/),( 222  yxRyxD
 
 
i) 
 22 /),( xyRyxD 
 j) 
 4/),( 22  xRyxD
 
 
13 
 
5. a) 
16),( 22  yxyxf
, k = 0, k = 3, k = 5 b) 
22
1
),(
yx
yxf


, k = 0 (não existe) , k = 1, k = 2 
 
c) 
224),( yxyxf , k = 0 , k = 1 , k = 4 d) 
yxyxf 482),( 
, k = - 2 , k = 0 , k = 4 
 
14 
 
6. 
221
100
),(
yx
yxT


, k = 10 , k = 20 , k = 40 , k = 50 7. 
224
10
),(
yx
yxV


, k = 10 , k = 20 , k = 50 
 
 
8. c 9. b 10. e 11. a 12. b 13. c 14. c 15. d 16. a 17. b 18. e 
19. a) 20 b) 8 c) 24/5 
 
 
21. a) 
10075245),( 334363  yxyxxyyxyxf
 b) 
)(.),( xysenxyxf 
 
 
23362 158415 xyxyyxf x 
 
)cos(
)()cos(
2 xyxf
xysenxyxyf
y
x

 
 
24253 2121230 yxxyyxf y 
 
 
15 
 
c) 
)(.),( xseneyxf y
 d) 
22),( yxyxf 
 
 
)(
)cos(.
xsenef
xef
y
y
y
x



 
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x




 
e) 
yx
yx
yxf


),(
 f) 
)cos(.),( xyxyxf 
 
 
2
2
)(
2
)(
2
yx
x
f
yx
y
f
y
x





 
)(
)cos()(
2 xysenxf
xyxyxysenf
y
x

 
 
g) 
432),( 234  tsttstsf
 h) 
423 )(),( srsrf 
 
 
326
8
24
233


sttsf
ttsf
t
s
 
323
3232
)(8
)(12
srsf
srrf
s
r

 
 
i) 
xeyyxf .),( 
 j) 
)cos(),( 43yxyxf 
 
x
y
x
x
ef
yef

 
)(
)(3
4333
4342
yxsenyxf
yxsenyxf
y
x

 
 
22. a) 
xyyxyxyxf 3547),( 3223 
 b) 
)cos(),( 3 xyxyxf 
 
342
3014
42
2
3
2



yxff
yxf
xyf
yxxy
yy
xx
 
)(4)cos(
)cos(
)cos(6)(6)(
34
5
223
xysenxxyyxff
xyxf
xyxxyysenxxycoxyxf
yxxy
yy
xx



 
 
16 
 
 c) 
)ln(),( yeyxf x
 
 
y
e
ff
y
e
f
yef
x
yxxy
x
yy
x
xx



2
)ln(
 
 
23. a) 
0xZ
 b) 
0yZ
 
 
24. 
yxyxyxf 233),( 2 
 
a) 
9)1,2( xf
 e 
10)1,2( yf
 
b) – 9 é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (2, -1, -4) e paralela ao plano xz. 
10 é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (2, -1, -4) e paralela ao plano yz. 
25. 
1 yx
 
 
26. d 27. d 28. e 29. b 30. c 31. d 32. a 33. c 34. a 
 
35. a. 36. d 37. c 38. d 39. e 40. b