mecaica geral

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Biblioteca_1117492.pdf
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
MECÂNICA GERAL 
PROF. PEDRO SANDERSON 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
ASSUNTO: CORPOS RÍGIDOS – PARTE I 
1. Uma força de 90 N é aplicada na barra de controle AB como mostra a figura. Sabendo 
que o comprimento da barra é 225 mm e que α = 22,5º, determine (a) o momento da 
força sobre o ponto B e (b) o ângulo α que produz um momento de 13,5 N.m em 
sentido horário no ponto B. 
2. Determine o momento gerado pela força de 450 N, aplicada no ponto B do sistema 
abaixo, em relação aos pontos A e C. Resolva o problema de forma escalar e vetorial. 
 
Questão 1. 
 
Questão 2. 
3. A barra AB é mantida em equilíbrio pela corda AC. Sabendo que a tração na corda é 
1350 N e que c = 450 mm, determine o momento sobre B da força exercida pela corda 
no ponto A. Resolva o problema de forma escalar e vetorial. 
4. A linha de ação da força P de intensidade 1890 N passa através dos pontos A e B, 
como mostra a figura. Calcule o momento de P sobre O. 
 
Questão 3. 
 
Questão 4. 
5. A força P de intensidade 200 N atua ao longo da diagonal BC da placa dobrada, como 
mostra a figura. Determine o momento de P sobre o ponto E. 
6. Sabendo que a tração no cabo AB é 8100 N, determine o momento da força exercida 
sobre A em relação (a) ao ponto O e (b) ao ponto D. 
7. Sabendo que a tração no cabo BC é 4050 N, determine o momento da força exercida 
sobre A em relação (a) ao ponto O e (b) ao ponto D. 
 
Questão 5. 
 
Questões 6 e 7. 
 
 
 
 
Biblioteca_1036695.pdf
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
M.Sc. Pedro Sanderson Bastos Barros
e-mail: pedrosanderson88@gmail.com
Fortaleza
2017
Objetivos
GERAIS:
• Conhecer os Princípios e Leis Fundamentais da Mecânica.
• Desenvolver conhecimentos básicos de ESTÁTICA dos
corpos rígidos, aplicando-as para a resolução de
problemas concretos na área de engenharia.
ESPECÍFICOS:
• Estudar o equilíbrio de pontos materiais no espaço e de 
corpos rígidos.
• Resolver estruturas isostáticas planas simples.
• Determinar as propriedades geométricas de seções planas.
2
Introdução
• A Mecânica pode ser definida como a ciência que
descreve e prediz as condições de repouso e de movimento
de corpos sujeitos sob a ação de forças.
• Pode ser dividida em:
• Mecânica dos corpos rígidos.
• Mecânica dos corpos deformáveis.
• Mecânica dos fluidos.
3
Introdução
• MECÂNICA DOS CORPOS RÍGIDOS:
• ESTÁTICA, Cinemática e Dinâmica.
• Mecânica dos Corpos Deformáveis:
• Estruturas e Máquinas nunca são absolutamente rígidas.
Elas deformam sob a ação de cargas. Entretanto estas
deformações são, geralmente, pequenas e não alteram as
condições de equilíbrio ou movimento do corpo.
• Essas deformações terão importância quando houver
riscos de ruptura do material, sendo estudadas em
Resistência dos Materiais.
• A Mecânica dos fluidos estuda o comportamento de
fluidos incompressíveis (líquidos) e compressíveis (gases).
4
Conceitos Básicos
• Os conceitos básicos usados na mecânica são os de
espaço, tempo, massa e força.
• O conceito de espaço é associado à noção de posição de
um ponto P.
• A posição de P pode ser definida por três distâncias
medidas a partir de um certo ponto de referência (origem),
segundo 3 direções mutuamente perpendiculares.
• O instante em que o evento ocorre também deve ser
indicado, ou seja, alguma referência de tempo.
5
Conceitos Básicos
• O conceito de massa é usado para caracterizar e comparar
corpos, com base em experimentos mecânicos.
• Por exemplo, dois corpos de mesma massa e sujeitos às
mesmas condições serão atraídos pela Terra da mesma
maneira; eles também oferecerão a mesma resistência a um
movimento de translação.
• A força representa a ação de um corpo sobre outro, seja
por contato direto ou a distância.
• Uma força é caracterizada por seu ponto de aplicação,
intensidade, direção e sentido, sendo assim, representada
por um vetor.
6
Conceitos Básicos
• Estudaremos as condições de repouso ou de movimento de
pontos materiais e de corpos rígidos em termos dos quatro
conceitos básicos introduzidos.
• PONTO MATERIAL: pequena fração de matéria que
ocupa pouco volume no espaço estudado e pode ser
considerada como pontual.
• Um CORPO RÍGIDO é uma combinação de vários pontos
materiais, que ocupam posições fixas, relativamente uns aos
outros.
• O estudo da Mecânica dos Pontos Materiais é um pré-
requisito para o estudo da Mecânica dos Corpos Rígidos.
7
Princípios Básicos
• A Lei do Paralelogramo para adição de forças:
• Duas forças atuantes sobre um ponto material podem ser
substituídas por uma equivalente chamada resultante, obtida
pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às
forças dadas.
• O Princípio da Transmissibilidade:
• Estabelece que as condições de equilíbrio de um corpo
rígido permanecem inalteradas se uma força que atua em
determinado ponto for substituída por outra de mesma
intensidade, direção e sentido, mas em um ponto diferente,
desde que as forças tenham a mesma linha de ação.
8
Princípios Básicos
• 1ª Lei de Newton:
• Se a força resultante que atua sobre um ponto material é
nula, este permanece em repouso ou permanecerá com
velocidade constante e movimento em linha reta (se assim
estava inicialmente).
• 2ª Lei de Newton:
• Se a força resultante que atua sobre um ponto material não
for nula, este corpo terá aceleração proporcional à sua
massa e intensidade da força resultante e em sua direção.
9
amFR 
Princípios Básicos
• 3ª Lei de Newton:
• As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a
mesma intensidade, mesma linha de ação e sentidos
opostos.
10
2r
MmGF 
• Lei da Gravitação de Newton:
• Estabelece que dois pontos materiais de
massas m e M são atraídos por forças
iguais e opostas F e -F de intensidade F,
dada por:
Princípios Básicos
• Lei da Gravitação de Newton:
• Um caso particular de grande importância é o da atração da
Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície.
• A força F exercida pela Terra sobre um ponto é definida
como seu peso P. Fazendo M a massa da Terra e r a
distância do centro do planeta à sua superfície, temos
que:
11
gmP 
2
2 sm 81.9

r
MGg
Sistema de Unidades
12
Sistema de Unidades
13
Ementa
• Estática dos Pontos Materiais.
• Corpos Rígidos: Sistemas Equivalentes de Forças.
• Equilíbrio de Corpos Rígidos.
• Propriedades Geométricas de Seções Planas.
• Centroides
• Momento Estático.
• Momento de Inércia.
• Análise de Estruturas
• Treliças
• Vigas
14
Avaliação
• A nota consiste do resultado de avaliação continuada do
desempenho dos alunos, sendo sistematizada em três
momentos do calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
• A AV1 contemplará o conteúdo da disciplina até a sua
realização.
• As AV2 e AV3 abrangerão todo o conteúdo da disciplina.
Para aprovação na disciplina o aluno deverá:
• Atingir resultado igual ou superior a 6,0, calculado a
partir da média aritmética entre as notas das avaliações,
sendo consideradas apenas as duas maiores dentre as três
etapas de avaliação (AV1, AV2 e AV3).
15
Avaliação
• Notas inferiores a 4,0 são automaticamente descartadas
pelo sistema de avaliação.
• Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas.
16
Bibliografia
17
Biblioteca_1089566.pdf
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS: 
FORÇAS NO ESPAÇO
M.Sc. Pedro Sanderson Bastos Barros
Fortaleza
2017
Introdução
• Até a última aula, foram considerados problemas
mecânicos que envolviam sistemas em duas dimensões e
podiam ser resolvidos no plano.
• Muito problemas de engenharia podem não estar sujeitos a
tais simplificações.
• Na aula de hoje, trabalharemos com problemas mecânicos
envolvendo o equilíbrio de sistemas tridimensionais.
2
Componentes Cartesianas
• Consideremos uma força F aplicada na origem O de um
sistema de coordenadas cartesianas xyz.
• Para definir a direção de F, podemos desenhar o plano
vertical OBAC, que contém F.
3
• Esse plano contém o eixo y, e
sua orientação é definida pelo
ângulo ϕ que forma com o
plano xy, enquanto a direção
de F dentro desse plano é
definida pelo ângulo θy que F
forma com o eixo y.
Componentes Cartesianas
• A força F pode ser decomposta em uma componente
vertical Fy e uma componente horizontal Fh, cujas
componentes escalares são dadas por:
4
yhyy FFFF  sencos 
Componentes Cartesianas
• A força Fh pode ainda ser decomposta em uma
componente ao longo de x, Fx e uma componente ao
longo de z, Fz, cujas componentes escalares são dadas
por:
• Assim, a força F foi decomposta ao longo dos eixos
cartesianos:
5


sensensen
cossencos
yhz
yhx
FFF
FFF





sensen
cos
cossen
yz
yy
yx
FF
FF
FF



Componentes Cartesianas
• Como os eixos são mutuamente ortogonais, temos que:
6
222222
222
zyxhy
zxh
FFFFFF
FFF


Componentes Cartesianas
• Portanto, o módulo da força F pode ser obtido a partir de
suas componentes escalares por:
7
222
zyx FFFF 
Componentes Cartesianas
• A decomposição da força F em relação ao eixo y, Fy, foi
feita a partir da definição de um ângulo θy que F forma
com o eixo y.
8
yy FF cos
Componentes Cartesianas
• A decomposição da força F em relação aos demais eixos
pode ser feita de forma análoga à descrita anteriormente,
desde que se identifiquem ângulos θx e θz que F forma
com os eixos x e z.
9
zzxx FFFF  coscos 
Componentes Cartesianas
• Estes ângulos θx, θy e θz que F forma com os eixos x, y e
z, respectivamente, definem a direção da força F e são
comumente chamados de cossenos diretores de F.
• Introduzindo os vetores unitários i, j e k, orientados ao
longo dos eixos x, y e z, respectivamente, podemos
escrever:
10
kjiFFFF zyx zyx FFF 
  λFkjiF FF zyx  coscoscos 
kjiλ zyx  coscoscos 
Componentes Cartesianas
• O vetor λ é unitário e possui a mesma direção e sentido
de F.
• As componentes deste vetor são os cossenos diretores de
F.
• Levando em consideração que o quadrado do módulo de
um vetor é igual a soma dos quadrados de suas
componentes, temos:
11
zzyyxx
zyx
λλλ
λλλ
 coscoscos 
 kjiλ
1coscoscos 222  zyx 
Componentes Cartesianas
• Quando forem dadas as componentes Fx, Fy e Fz de uma
força F, o seu módulo F pode ser determinado por:
• Com isso, os ângulos θx, θy e θz que apontam a direção de
F podem ser calculados a partir dos cossenos diretores:
12
222
zyx FFFF 
F
F
F
F
F
F z
z
y
y
x
x   coscoscos
Exemplos 1 e 2
1. Uma força que 500 N forma ângulos de 60º, 45º e 120º
com os eixos x, y e z, respectivamente. Determine as
componentes da força segundo os eixos cartesianos.
2. Uma força F tem componentes escalares Fx = 100 N, Fy
= -150 N e Fz = 300 N. Determine o módulo e a direção
desta força.
13
Componentes Cartesianas
• Na maioria das aplicações práticas, a direção da força F é
definida pelas coordenadas de dois pontos M(xM, yM, zM)
e N(xN, yN, zN), localizados sobre sua linha de ação.
• Exemplo: forças de tração em cabos.
14
Componentes Cartesianas
• Consideremos o vetor MN, que liga os pontos M e N e
tem a mesma direção e sentido de F. Representando suas
componentes escalares por dx, dy e dz, temos:
• O vetor unitário λ indica a linha de ação de F, assim
como MN.
• O vetor unitário λ pode ser obtido dividindo-se o vetor
MN por seu módulo MN = d:
15
kjiMN zyx ddd 
 kjiMNλ zyx ddddMN 
1
Componentes Cartesianas
• Foi mostrado anteriormente que F = F λ. Portanto:
• Conclui-se, então, que as componentes escalares de F
são dadas por:
• Os cossenos diretores de F podem ser calculados por:
16
 kjiλF zyx dddd
FF 
d
dFF
d
d
FF
d
dFF zz
y
y
x
x 
d
d
d
d
d
d z
z
y
y
x
x   coscoscos
Componentes Cartesianas
• As equações apresentadas anteriormente simplificam
consideravelmente a determinação das componentes de
uma dada força F, quando sua linha de ação é definida
por dois pontos M e N.
• Subtraindo as coordenadas de N das de M,
determinaremos inicialmente as componentes de MN e a
distância d de M à N.
17
222
zyx
MNzMNyMNx
dddd
zzdyydxxd


Exemplo 3
O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio
de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N.
Determinar: (a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que
atua sobre o parafuso, (b) os ângulos θx, θy e θz que definem
a direção da força.
18
Resultante de Forças no Espaço
• A resultante das forças em um ponto material é obtida de
modo análogo ao caso de forças no plano. Assim:
• Decompondo R em componentes cartesianas, temos que:
19
 FR
     kjiFR   zyx FFF
  zzyyxx FRFRFR
Resultante de Forças no Espaço
• O módulo da resultante R e os ângulos θx, θy e θz que
apontam a direção de R são obtidos por:
20
222
zyx RRRR 
R
R
R
R
R
R z
z
y
y
x
x   coscoscos
Exemplo 4
Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente
sustentada pelos cabos mostrados na figura. Conhecendo as
trações de 4200 N e 6000 N nos cabos AB e AC,
respectivamente, determine o módulo e a direção da força
resultante das forças aplicadas na estaca em A.
21
Equilíbrio de uma Partícula
• Uma partícula está em equilíbrio quando a resultante de
todas as forças atuantes sobre ela é nula. Assim:
• Decompondo R em componentes cartesianas, temos que:
22
  0FR
      0kjiFR   zyx FFF
000   zyx FFF
Exemplo 5
Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB
e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma força P,
horizontal e perpendicular à parede, mantém o peso na posição
indicada. Determinar a intensidade de P e a tração em cada
cabo.
23
Biblioteca_1117418.pdf
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CORPOS RÍGIDOS:
SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS
M.Sc. Pedro Sanderson Bastos Barros
Fortaleza
2017
Introdução
• Até então, considerou-se que cada corpo poderia ser
tratado como um ponto material. Entretanto, nem sempre
isso será possível.
• Muitos corpos necessitam ser considerados como corpos
rígidos e não como pontos materiais por estarem sujeitos à
ação de várias forças com diferentes pontos de aplicação.
2
Introdução
• Nas próximas aulas estudaremos o efeito de forças
aplicadas em um corpo rígido e aprenderemos
a substituir
um dado sistema de forças por um sistema equivalente
mais simples.
• Ao longo das aulas, será necessário revisarmos alguns
conceitos da álgebra vetorial, pois a solução dos
problemas aqui mostrados dependem dela.
3
Forças Externas e Internas
• Forças externas representam a ação de
outros corpos sobre o corpo rígido
considerado.
• São inteiramente responsáveis pelo
comportamento externo do corpo rígido.
• Causarão o movimento ou assegurarão a
permanência em repouso do corpo.
• Forças internas são as forças que
mantém unidos os pontos materiais de um
corpo.
4
Princípio da Transmissibilidade
• As condições de equilíbrio de um corpo rígido
permanecem inalteradas se uma força que atua em
determinado ponto for substituída por outra de mesma
intensidade, direção e sentido, mas em um ponto diferente,
desde que as forças tenham a mesma linha de ação.
5
Princípio da Transmissibilidade
• Veja que a condição de movimento do caminhão abaixo
não é alterada, desde que ele seja considerado um corpo
rígido.
• Entretanto, este princípio tem limitações:
• Barra tracionada: rígida × deformável.
6
• O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido como
sendo um vetor V, que satisfaz as seguintes condições:
1. A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém
P e Q.
2. O módulo de V pode ser obtido a partir dos módulos de P
e Q e do menor ângulo θ formado entre estes.
Produto Vetorial
7
senQPV 
• O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido como
sendo um vetor V, que satisfaz as seguintes condições:
3. O sentido de V é dado pela Regra da Mão Direita.
• A rotação ocorre de P para Q.
Produto Vetorial
8
• O produto vetorial entre dois vetores P e Q é representado
da seguinte forma:
• Da expressão para o cálculo do módulo de V, percebemos
que, quando os vetores P e Q têm a mesma direção e
sentidos iguais ou opostos, seu produto vetorial é nulo.
• Outra observação importante é que o produtos vetoriais
são não comutativos, ou seja:
Produto Vetorial
9
QPV 
PQQP 
senQPV 
• Apesar da propriedade comutativa não se aplicar aos
produtos vetoriais, a propriedade distributiva é mantida:
• Pode-se mostrar que a propriedade associativa também
não se aplica aos produtos vetoriais:
Produto Vetorial
10
  2121 QPQPQQP 
   SQPSQP 
PRODUTO VETORIAL EXPRESSO EM TERMOS DAS
COMPONENTES CARTESIANAS:
• Considere o produto vetorial i×j:
• Ambos os vetores têm módulo unitário e são mutuamente
perpendiculares.
Produto Vetorial
11
• O vetor resultante k é
mutuamente perpendicular
aos dois primeiros e também
tem módulo unitário.
• Pela Regra da Mão Direita,
k aponta na direção positiva
do eixo z.
PRODUTO VETORIAL EXPRESSO EM TERMOS DAS
COMPONENTES CARTESIANAS:
• Considere o produto vetorial j×i:
• Ambos os vetores têm módulo unitário e são mutuamente
perpendiculares.
Produto Vetorial
12
• Pela Regra da Mão Direita,
k aponta na direção negativa
do eixo z.
• O produto vetorial i×i = 0, uma
vez que ambos os vetores têm a
mesma direção.
Produto Vetorial
• Os produtos vetoriais para os possíveis pares de vetores
unitários são:
• O produto de dois vetores unitários será positivo se
seguem um ao outro em ordem anti-horária.
13
+
Produto Vetorial
• Podemos representar o produto vetorial de dois vetores
pelas suas componentes:
• Observa-se que o produto vetorial de P e Q pode ser
reescrito como um determinante:
14
   kjikjiQPV zyxzyx QQQPPP 
     kjiV xyyxxzzxyzzy QPQPQPQPQPQP 
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
QP 
Momento de uma Força
• O momento gerado por uma força
no espaço F, aplicada em um
ponto A, em relação a um ponto O
é definido a partir do vetor
posição rA/O e pode ser escrito,
vetorialmente, como:
• O momento é perpendicular ao
plano que contém o ponto O e a
força F e o seu sentido é definido
pela Regra da Mão Direita.
15
FrM  OAO /
Momento de uma Força
• Denominando θ como o ângulo formado entre a linha de
ação do vetor posição rA/O e da força F, determinamos que
o módulo do momento de F em relação a O é:
• M0 mede a tendência de a força F fazer o corpo girar em
torno de um eixo fixo.
16
 
FdM
rFFrM
O
O

  sensen
onde d representa a menor distância
do ponto O à linha de ação de F.
Momento de uma Força
OBSERVAÇÕES:
• Considere um corpo bidimensional sujeito a uma força F:
• O momento da força F em relação a O é representado por
MO, que é perpendicular ao plano e tem módulo MO = Fd.
• MO aponta para fora do corpo e faz com que este tenha uma
tendência à rotação em sentido anti-horário. 17
Momento de uma Força
OBSERVAÇÕES:
• Considere um corpo bidimensional sujeito a uma força F:
• Neste caso, M0 aponta para dentro do corpo e faz com que
este tenha uma tendência à rotação em sentido horário.
18
• Em problemas bidimensionais é suficiente que se represente o
momento de uma força por seu módulo e sentido de rotação.
Teorema de Varignon
• O momento em relação a um dado ponto O da resultante
de diversas forças concorrentes é igual ao somatório dos
momentos das várias forças em relação à O.
• Se F1, F2... são aplicadas no mesmo ponto A e se
denominarmos r o vetor posição de A, podemos escrever:
19
 
...
...
...
2,1,
21
21




OO
RO
MM
FrFr
FFr
FrM
Componentes Cartesianas
• Vimos anteriores que:
Sendo:
20
  FrrFrM  BABAB /
kjiF
kjir
kjir
zyx
BBBB
AAAA
FFF
zyx
zyx



Componentes Cartesianas
• Fazendo o produto vetorial:
Onde:
e
21
kjiM zyxB MMM 
xyz
zxy
yzx
FyFxM
FxFzM
FzFyM



BABABA zzzyyyxxx 
Componentes Cartesianas
• Em problemas bidimensionais, temos que Δz = 0 e Fz = 0,
assim:
Assim:
22
 kM xyB FyFx 
xyz
zxy
yzx
FyFxM
FxFzM
FzFyM



0
0
xyB FyFxM 
Exemplo 1
Uma força vertical de 100 lb é aplicada à
extremidade de uma manivela fixada a
um eixo O. Determine:
(a) O momento MO da força de 100 lb em
relação a O;
(b) a intensidade da força horizontal que
produz o mesmo momento em relação
a O;
(c) A menor força F que deve ser
aplicada em A para gerar MO.
(d) a distância dPO para que uma força de
240 lb, agindo em um ponto P, gere o
mesmo momento em relação a O. 23
Exemplo 2
Uma força de 800 N atua no sistema mostrado abaixo.
Determine o momento MB que esta força provoca em B.
24
Exemplo 3
Uma placa retangular é sustentada por suportes em A e em B e
por um fio CD. Sabendo que a tração no cabo é 200 N,
determine o momento da força exercida pelo fio na placa, em
relação ao ponto A.
25
Biblioteca_1078038.pdf
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
MECÂNICA GERAL 
PROF. PEDRO SANDERSON 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
ASSUNTO: ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS 
1. As forças P e Q agem sobre o parafuso A. Determine sua resultante e a sua direção. 
 
2. Um tanque de aço é posicionado como mostra a figura. Sabendo que α = 20º, qual a 
magnitude da força P, de modo que a resultante R seja vertical? Determine o módulo 
de R. 
 
 
3. Determine a resultante
das forças que atuam na partícula abaixo e sua direção. 
 
4. Determine a resultante das forças que atuam no suporte abaixo e sua direção. 
 
5. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos 
rebocadores for 5 kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine (a) a tração em 
cada corda, sabendo que α = 45º e (b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja 
mínima. 
 
6. Dois cabos são amarrados em C e carregados como mostrado na figura abaixo. 
Sabendo que α = 20º, determine as trações nos cabos AC e BC. 
 
7. Dois cabos são amarrados em C e carregados como mostrado na figura abaixo. 
Sabendo que P = 500 N α = 60º, determine as trações nos cabos AC e BC. 
 
8. Um modelo de casco de veleiro é colocado em um canal para testes, sendo mantido 
alinhado com o eixo do canal por meio de três cabos presos à sua proa. Se, para uma 
dada velocidade da água, a tração no cabo AB e AE são 200 N e 300 N, 
respectivamente. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 
Considere 1 ft = 30 cm. 
 
 
9. Sabendo que o peso ancorado em C é de 200 kg e que α = 30º, determine as trações 
nos cabos AC e BC. 
 
10. Duas forças P e Q são aplicadas a uma conexão. Sabendo que a conexão está em 
equilíbrio quando P = 2500 N e Q = 3500 N, determine as forças exercidas nas barras 
A e B. 
 
11. Determine a intensidade e a direção da força resultante do sistema abaixo. 
 
12. Calcule a intensidade e a direção da resultante das duas forças abaixo, sabendo que P 
= 300 N e Q = 400 N. 
 
13. Uma placa circular está suspensa por três cabos amarrados no ponto D e formam 
ângulos de 30º com a vertical, conforme a figura abaixo. Sabendo que a tração no cabo 
CD é 300 N, determine as componentes da tração neste cabo e a sua orientação 
segundo o sistema cartesiano mostrado. 
 
14. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e AC são 1425 N e 2130 N, 
respectivamente, determine as componentes das forças, exercidas nos pontos B e C, 
respectivamente. 
 
15. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e AC são de 1600 N e 2000 N, 
respectivamente, determine a intensidade e a direção da força resultante do sistema de 
forças aplicadas em A. Considere 1 in = 25,4 mm. 
 
16. Um caixote de 400 kg é suportado por três cabos, como mostrado. Determine as forças 
de tração desenvolvida em cada cabo. Considere 1 in = 25,4 mm. 
 
17. Três cabos são conectados em A, onde duas forças, P e Q, são aplicadas, conforme a 
figura. Se Q = 0, calcule a intensidade de P que provoca uma força de tração de 305 N 
no cabo AD. 
 
18. O reservatório de peso W = 1165 N é suportado por três cabos, como mostrado. 
Determine as forças de tração em cada cabo. 
 
Biblioteca_1078034.pdf
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS: 
FORÇAS NO PLANO
M.Sc. Pedro Sanderson Bastos Barros
Fortaleza
2017
Introdução
• A utilização do termo ponto material não implica em restringir
o estudo a pequenos corpúsculos, mas que as dimensões e a
forma do corpo estudado não afetam significativamente na
solução do problema o qual está envolvido.
• Como veremos, todo corpo rígido, sujeito à ação de forças
cujas linhas de ação concorram num mesmo ponto, pode ser
tratado como uma partícula.
• Nesta aula, estudaremos o efeito de forças que atuam em
pontos materiais.
• Substituir um sistema de forças pela sua resultante.
• Estudo do equilíbrio.
2
Forças sobre um Ponto
• Uma força representa a ação de um corpo sobre outro.
• Forças de superfície e forças de gravitacão.
3
Forças sobre um Ponto
• Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, magnitude,
direção e sentido.
• Como estudaremos o efeito de forças em pontos materiais,
elas têm, portanto, o mesmo ponto de aplicação.
• A magnitude ou módulo da força indica sua intensidade.
• A direção é indicada pela sua linha de ação.
• Reta ao longo da qual a força atua. É caracterizada pelo
ângulo que forma em relação a algum eixo fixo.
• O sentido é indicado por uma seta.
4
Forças sobre um Ponto
• Constata-se que duas forças P e Q, que atuam sobre um
ponto material A, podem ser substituídas por uma única
força R que tenha o mesmo efeito sobre este ponto.
• R é chamada de resultante das forças P e Q e pode ser
obtida a partir dos lados de um paralelogramo.
• Lei do Paralelogramo para adição de forças.
5
Vetores
• Percebe-se que as forças não obedecem às regras de
adição definidas na aritmética ou na álgebra.
• Duas forças, uma de 4 N e outra de 3 N, não
necessariamente tem uma resultante de 7 N.
• As forças não são as únicas grandezas que seguem a Lei
do Paralelogramo de adição.
• Momentos de força, deslocamentos, velocidades etc.
• Todas essas grandezas são representadas por vetores.
• As grandezas que não necessitam de informações sobre
direção e sentido são chamadas escalares.
6
Vetores
• Vetores são definidos como entes matemáticos que
possuem módulo, direção e sentido e que se somam
segundo a Lei do Paralelogramo.
• É representado por letras em negrito (F) ou com uma seta
acima da letra ( ).
• Seu módulo é representado por uma letra em itálico (F)
• Geometricamente, pode ser descrito por um segmento de
reta, usando uma escala apropriada.
7
F

N 8
N 3
N 5



QP
Q
P
Vetores
• Observações:
• Um vetor utilizado para representar uma força que atua em
dado ponto material tem bem definido o seu ponto de
aplicação. Tal vetor é dito fixo e não pode ser deslocado
sem mudar as condições do problema.
• Como veremos, momentos de forças são representados por
vetores que podem deslocar-se paralelamente a si mesmos,
livremente no espaço. Estes são chamados vetores livres.
• Será mostrado também que forças atuantes em corpos
rígidos são vetores que podem ser deslocados ao longo de
sua linha de ação. Estes são chamados vetores deslizantes.8
Vetores
• Observações:
• Dois vetores de mesmo módulo, direção e sentido são ditos
iguais, mesmo que não tenham o mesmo ponto de
aplicação. Podem ser representados pela mesma letra.
• Dado um vetor P, seu vetor oposto é representado por –P e
indica que o segundo tem o mesmo módulo e direção, mas
sentido oposto.
9
Adição de Vetores
• A soma de dois vetores, P e Q, é obtida aplicando os dois
vetores em um mesmo ponto A e construindo um
paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que
passa por A representa P + Q.
• De modo geral, a soma dos módulos dos vetores é diferente
da soma dos dois vetores.
10PQQP 
Adição de Vetores
• Subtrair um vetor é somar o correspondente vetor oposto.
Assim, o vetor P – Q, que representa a diferença entre os
vetores P e Q, é obtido pela soma do vetor P ao vetor –Q.
11
Adição de Vetores
• A soma de três vetores P, Q e S será, por definição, obtida
pela adição inicial dos vetores P e Q e, então, somando o
vetor S ao vetor P + Q.
12
      PQSPQSSQPSQPSQP 
Adição de Vetores
13
      PQSPQSSQPSQPSQP 
Adição de Vetores
• A soma de quatro vetores seria feita pela adição do quarto
vetor ao resultante dos três primeiros, e assim
sucessivamente.
• Regra do polígono: a soma de três ou mais vetores pode
ser feita pelo arranjo dos vetores, de modo que a origem
de um vetor coincida com a extremidade do anterior e
unindo a origem do primeiro com a extremidade do
último.
14
Produto
de um Escalar por Vetor
• Da mesma forma que é conveniente chamar de 2P a soma
de P + P, representaremos por nP como um vetor que
tenha a mesma direção e sentido de P e módulo igual a nP.
• Se n for positivo, o sentido do vetor resultante permanece
inalterado.
• Se n for negativo, o sentido do vetor resultante é o oposto
do primeiro.
15
Resultante de Várias Forças
• Considere um ponto material A sob a
ação de diversas forças coplanares
(contidas em um só plano). Como todas
as forças passam pelo mesmo ponto, são
chamadas concorrentes.
• Os vetores representativos das forças que
atuam sobre A podem ser somados pela
regra do polígono.
• O vetor R representa a resultante das
forças concorrentes, isto é, a única força
que tem o mesmo efeito sobre o ponto
material A que as forças originais.
16
Decomposição de uma Força
• Como visto, podemos substituir várias forças por uma
resultante de igual efeito.
• Por outro lado, existem situações em que é conveniente
substituir uma força por várias equivalentes.
• Estas forças equivalentes são chamadas componentes da
força.
• O processo de substituição é chamado de decomposição da
força.
17
Decomposição de uma Força
• Para cada força F, existem infinitos conjuntos possíveis de
componentes.
• No plano, é comum se decompor F em duas componentes.
• Dois casos de decomposição são de particular interesse:
• Uma das componentes de F é conhecida.
• A linha de ação de cada componente é conhecida.
• As componentes podem ser obtidas graficamente ou
trigonometricamente.
18
Decomposição de uma Força
• Quando a linha de ação das componentes é conhecida e
estão orientadas segundo um sistema cartesiano xy, estas
componentes são chamadas componentes retangulares
(ou cartesianas) de uma força.
• A força F é decomposta em Fx e Fy, segundo os eixos x e y,
respectivamente.
19
Decomposição de uma Força
• Definiremos dois vetores unitários,
segundo os eixos x e y.
• Da definição de produto escalar por
um vetor, temos que as componentes
Fx e Fy podem ser obtidas
multiplicando o módulo destas
componentes, Fx e Fy, pelo vetor
respectivo vetor unitário:
• Assim:
20
jFiF yx yx FF 
jiFFF yx yx FF 
Decomposição de uma Força
• Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes
escalares de F, enquanto Fx e Fy são chamados de
componentes vetoriais de F.
• Podemos observar que uma componente vetorial de F será
positiva somente se ela estiver na direção do vetor
unitário.
• Denominando F o módulo da força F e θ o ângulo entre
F e o eixo x, medido a partir do eixo e em sentido anti-
horário, podemos escrever as componentes de F como:
21
 sencos FFFF yx 
Exemplo 1
As forças P e Q agem sobre o parafuso A. Determine sua
resultante e a sua direção.
22
Exemplo 2
Duas forças são aplicadas em um suporte. Sabendo que P =
35 N, determine o ângulo α para que a força resultante seja
horizontal. Qual o valor desta resultante?
23
Exemplo 3
Quatro forças atuam no parafuso mostrado na figura.
Determine a resultante das forças e sua direção.
24
Equilíbrio de uma Partícula
• Uma partícula está em equilíbrio quando a resultante de
todas as forças atuantes sobre ela é nula.
• 1ª LEI DE NEWTON: Se a força resultante que atua em
um ponto material é nula, este ponto permanece em
repouso ou à velocidade constante e em linha reta.
• Matematicamente, temos que:
• Decompondo R em componentes cartesianas, temos que:
25
  0FR
      0jijiFR   yxyx FFFF
00   yx FF
Exemplo 4
Um caixote de 75 kg é elevado por roldanas aplicadas entre dois
prédios. Este caixote está sendo colocado em um caminhão para
ser removido. Determine a tração em cada uma das cordas se o
sistema estiver em equilíbrio.
26
Exemplo 5
Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 17.5 kN
é suportado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e
puxada a fim de que o automóvel seja centralizado na posição
desejada. Qual a tração no cabo e na corda se o sistema estiver
em equilíbrio?
27