Determinação da constante elástica de molas - Lei de Hooke

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Universidade Federal de São Paulo 
Instituto de Ciência e Tecnologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da constante elástica de molas - 
Lei de Hooke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alunos 
Andressa Morais Vieira 
Carlos Alberto P. de Souza 
Gabriela Ferrão Capelli 
Jean-Lucas Silva 
Matheus Tavares Santos 
Samir Ribeiro Salim 
Thamires Carvalho Torres 
RA 
120191 
120222 
102181 
120443 
102084 
120608 
102233 
 
 
 
 
 
Fenômenos Mecânicos Experimental 
Professora Dra. Thaciana Malaspina 
São José dos Campos, SP 
Março de 2018 
 
thaciana
Nota
Capa: 0.25nullÍndice: 0.25nullResumo: 0.40nullIntrodução: 0.85nullObjetivos: 0.25nullMateriais: 0.20nullProcedimento: 0.25nullResultados e Discussões: 3.5nullConclusão: 0.50nullReferências: 0.25nullnullNOTA: 6.70
 
ÍNDICE 
 
1. RESUMO 3 
2. ABSTRACT 3 
3. INTRODUÇÃO 4 
3.1. Lei de Hooke 4 
3.2. Molas e realização de trabalho 5 
3.3. Associação de molas 7 
3.3.1. Associação de molas em série 7 
3.3.2. Associação de molas em paralelo 9 
3.4. Incerteza, propagação da incerteza e desvio padrão médio 10 
4. OBJETIVOS 1​2 
5. MATERIAIS 1​3 
6. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1​5 
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES 1​5 
8. CONCLUSÃO 1​8 
9. REFERÊNCIAS 2​1 
 
 
 
 
 
 
1.RESUMO 
A Lei de Hook, relação formulada em 1678 por Robert Hook, evidencia que as 
forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas. O 
experimento teve o intuito de confrontar o modelo ideal através da determinação da 
constante elástica de molas reais, utilizando a Lei de Hooke, a partir do 
acoplamento, na extremidade de tais molas, de pesos previamente aferidos e da 
medição do comprimento deformado. Após a análise de dados a interpretação foi 
que as molas reais não obedecem a Lei de Hook de modo exato, contudo ela é um 
modelo idealizado bastante útil quando o deslocamento da mola não é muito grande. 
A relação é válida experimentalmente apenas em um intervalo limitado de 
deformação. 
 
Palavras-chave:​ Lei de Hook, Molas,Elasticidade, Constante elástica. 
 
 
2.ABSTRACT 
The Law of Hook, a relationship formulated in 1678 by Robert Hook, shows 
that the deforming forces are proportional to the elastic deformations produced. The 
experiment aimed to compare the ideal model by determining the elastic constant of 
real springs, using Hooke 's Law, from the coupling, at the end of such springs, of 
previously measured weights and measurement of deformed length. After analyzing 
the data the interpretation was that the actual springs do not obey Hook's Law 
exactly, yet it is an idealized model quite useful when the spring displacement is not 
very large. The ratio is valid experimentally only in a limited range of deformation. 
 
Keywords: ​Hook’s Law,Pressure Springs, Elasticity, Elastic Constant. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
thaciana
Realce
thaciana
Realce
thaciana
Realce
 
3.INTRODUÇÃO 
3.1. Lei de Hooke 
O processo onde um corpo deformável, que neste experimento é a mola, 
armazena energia é descrito pela energia potencial elástica. Um corpo pode ser 
chamado de elástico quando ele volta a mesma forma e tamanho depois de sofrer 
deformação. [1] 
Para mantermos uma mola ideal deformada é necessário aplicar uma força, 
que é chamada de força elástica. A força elástica é proporcional ao deslocamento da 
extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado 
relaxado e é conhecida como a lei de Hooke, podendo ser matematicamente 
expressa através da equação abaixo: [2] 
 
xF x = − k 
Equação 1: ​Lei de Hooke [2] 
 
Na lei de Hooke o sinal negativo significa que o sentido da força elástica é 
sempre oposto ao sentido do deslocamento da extremidade livre da mola. A 
constante elástica é representada pela letra ​k ​sendo sua unidade no SI N/m, mede a 
rigidez da mola. Quanto maior o valor de ​k ​, maior é a força elástica da mola. [2] 
A variável x significa o deslocamento da mola através de um eixo paralelo à 
maior dimensão da mola, se x for positivo, a mola está alongada para a direita e a 
força elástica é negativa, no contrário, x é negativo e a mola está comprimida para a 
esquerda e a força elástica é positiva. [2] 
 
 
 
 
Figura 1: ​Exemplificação da Lei de Hooke [2] 
 
 
3.2. Molas e realização de trabalho 
Para esticar uma mola é necessário realizar um trabalho. Mantém-se a 
extremidade esquerda da mola em repouso, sendo que a força que atua nessa 
extremidade não realiza trabalho. A força atuante na extremidade móvel realiza 
trabalho. O trabalho realizado pela força F quando o alongamento varia de 0 a um 
valor máximo X é representado pela integral abaixo, na Figura 2:[1] 
 
 
 
Figura 2: ​Trabalho realizado pela força F na mol [1] 
 
 
 
Esse resultado também pode ser representado graficamente como na Figura 
3, que representa o trabalho total realizado pela força, que correspondente ao 
produto da base pela altura dividido por dois que corresponde à Equação 2:[1] 
W = (X) (kX) =​ kX²2
1
2
1 
Equação 2: ​Trabalho realizado [1] 
 
 
 
Figura 3: ​Trabalho realizado para esticar a mola em uma distância X (representação 
gráfica) [1] 
A equação apresentada é apresentada apenas quando a mola estava 
inicialmente sem nenhuma deformação. Quando a mola já está deformada 
inicialmente e sofre mais um alongamento, há um deslocamento de X​1 para X​2​. O 
trabalho realizado será então uma integral de X​1 a X​2​, como está representado na 
Figura 4:[1] 
 
 
Figura 4: ​Trabalho realizado quando há deslocamento inicial X​1 ​[1] 
 
 
3.3. Associação de molas 
3.3.1. Associação de molas em série 
Consideremos duas molas: uma mola 1 com constante elástica k1 e uma 
mola 2 com constante elástica k2. Assim, aplicando-se uma força F à mola 1 ela 
sofrerá uma elongação tal que:[3] 
 
F = k​1 x1Δ 
Equação 3: ​ Força na mola.[3] 
 
=x1Δ Fk1 
Equação 4: ​Elongação na mola[3]. 
 
Caso a mesma força seja aplicada à mola 2, ter-se-á:[3] 
 
F = k​2 x2Δ 
Equação 5​: Força na segunda mola [3] 
 
=x2Δ Fk2 
Equação 6: ​Elongação na mola. [3] 
 
 
Quando se tem a associação em série dessas molas e aplicando uma força 
F ao conjunto, tem-se que esse conjunto irá se comportar como uma mola de 
constante elástica k​E ​ e sofrerá um alongamento xE​, conforme a figura 4 abaixo: [3]Δ 
 
 
 
 
Figura 4: ​Associação de duas molas em série. Disponível em: 
<http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lfis/I_a_P/lab_fisica_II/aula_02-8569/imagen
s/02/img04.gif> Acesso em 15 de abril de 2018. 
 
 
Quando uma força F é aplicada à mola inferior da associação em série, essa 
força F é transmitida para a mola superior. Sendo assim, cada mola individualmente 
está sujeita à mesma força F. Dessa forma, a elongação será dada pela equação 7 
abaixo: [3] 
xE ​= + Δ x1Δ x2Δ 
Equação 7: ​Elongação nas molas. [3]
 
Para a associação, temos que: 
F = k​E xEΔ 
Equação 8: ​Força nas molas [3] 
 xE​ = Δ
F
kE 
 ​Equação 9: ​Elongação nas molas [3] 
 
Substituindo os resultados das equações 4, 6 e 9 na equação 7 e dividindo 
ambos os lados por F, temos a equação 10 resultante, que é aequação da 
associação em série de duas molas: 
 
 
 
= + 1kE
1
k1
1
k2 ​Equação (10) 
Para a associação de n molas, iria haver um somatório de ​até .[3]1k1
1
kn 
3.3.2. Associação de molas em paralelo 
Considera-se o sistema representado na Figura 5, em que as duas 
extremidades das molas estão ligadas por uma barra rígida que está suspendendo 
um peso P. Sendo assim, as duas molas sofrerão deformações iguais.[3]xΔ 
 
 
Figura 5: ​Associação de duas molas em paralelo. Disponível em: 
<http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lfis/I_a_P/lab_fisica_II/aula_02-8569/imagen
s/02/img09.gif> Acesso em 15 de abril de 2018. 
 
Aplica-se a lei de Hooke para cada uma das molas, obtendo-se as equações 
11 e 12:[3] 
 
F​1​ = k​1 xΔ 
Equação 11: ​Lei de Hooke para a Mola 1 [3] 
F​2​ = k​2 xΔ 
Equação 12: ​Lei de Hooke para a Mola 2 [3] 
 
As duas forças somadas equivalem a uma força F​E​, equivalente ao peso P. 
Aplicando-se a lei de Hooke a esse sistema equivalente, tem-se:[3] 
 
 
 
F​E ​= k​E xΔ 
Equação 13:​ Força Equivalente [3] 
 
Tem-se a relação expressa na equação 14, abaixo: [x] 
F​E ​= F​1 ​+ F​2 
 ​Equação 14: ​Força Equivalente [3] 
 
 
Substituindo F​E​, F​1 ​e F​2 pelos resultados das equações 11, 12 e 14 e 
dividindo ambos os lados por , temos a equação 15 resultante, que fornece a xΔ 
constante elástica para uma associação em paralelo de duas molas.[3] 
 
k​E​ = k​1 ​+ k​2 
Equação 15: ​Constante elástica para associação de molas [3] 
Para a associação de n molas, iria haver um somatório de k​1​ ​até​ ​k​2 . ​[3] 
3.4. Incerteza, propagação da incerteza e desvio padrão médio 
As grandezas que temos conhecimento são chamadas de grandezas de 
entrada e as grandezas obtidas a partir das grandezas de entrada são denominadas 
grandezas de saída. Os valores que são obtidos experimentalmente possuem uma 
incerteza associada, assim as grandezas de entrada (obtidas experimentalmente) 
possuem incerteza associada. Consequentemente, a grandeza de saída também 
terá uma incerteza e a repercussão da incerteza das grandezas de entrada sobre a 
da grandeza de saída é chamada de propagação da incerteza. [4] 
Uma grandeza x pode ser expressada através da média dos valores 
mensurados num conjunto de N medidas. O valor médio da grandeza x é mostrado 
na equação:[5] 
 
 
 
x = 1N ∑
N
i=1
xi 
Equação 16: ​Valor Médio das grandezas [5] 
 
A incerteza associada às medições da grandeza x, pode ser medida a partir 
do cálculo da variância ( ) do conjunto das N medidas:[5]σ2 
 
(x ) σ2x = 1N−1 ∑
N
i=1
i − x
2 
Equação 17: ​Equação da variância [5] 
 
A variância não tem a mesma dimensão física que a grandeza x, de modo 
que a incerteza associada pode ser definida pelo desvio-padrão:[5] 
 
 σ = √σ2x 
Equação 18: ​Equação do desvio padrão. [5] 
A incerteza pode ser expressa matematicamente pela fórmula de propagação de 
incertezas:[5] 
 
) σ .. ) σσf
2 = ( δfδa
2 2
a + . + ( δz
δf 2 2
z 
Equação 19: ​Propagação de incertezas. [5] 
 
A partir da equação 19, é possível apresentar as aplicações comuns da propagação 
de incertezas ( Tabela 1). 
Tabela 1: ​Aplicações Comuns [6] 
f = f (x, y, ...) Expressões para f 
soma e subtração σf
2 = σ2x + σ2y 
divisão e divisão ( fσf ) 2 = ( xσx) 2 + ( yσy) 2 
 
 
 
4. OBJETIVOS 
O experimento teve como finalidade a determinação da constante elástica de 
molas, utilizando a Lei de Hooke, a partir do acoplamento, na extremidade de tais 
molas, de pesos previamente aferidos e da medição do comprimento deformado. 
Objetivou-se, também, aplicar a Lei de Hooke à associação de molas em 
série e em paralelo e estipular o trabalho realizado por uma força ao deformar uma 
mola. 
 
 
5.MATERIAIS 
 ​ Para a realização do procedimento experimental, foram previstas as utilizações dos 
seguintes itens: 
- ​Régua: 
 ​-> Marca: Cidepe; 
 -> Faixa de indicação: 350 - 0 - 350 milímetros; 
 -> Resolução: 1 milímetro; 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
- ​Painel de Força: 
 -> Marca: Cidepe; 
 
Fonte:​ Elaborada​ pelo autor 
 
 
 
 
- ​Massas acopláveis: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
- ​Dinamômetro: 
 
Fonte:​ Elaborado​ pelo autor 
 
 
thaciana
Nota
faltaram as especificações do dinamômetro
 
- ​Molas helicoidais; 
- ​Ganchos, parafusos e suporte para molas; 
 
6.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
1. ​ ​No início do experimento, foram analisadas as incertezas da régua 
milimetrada e do dinamômetro, e foram medidos os pesos das massas acopláveis 
com o auxílio deste. 
2. Montou-se o painel com a marcação da régua no zero e o conjunto 
mola-suporte-massa: 
- Fixar uma extremidade superior da mola no parafuso contido no painel; 
- Acoplar o suporte de massas na extremidade inferior da mola; 
- Utilizando a régua milimetrada, definir qual o tamanho da mola em repouso 
com a presença do suporte de massas. 
 3. Realizou-se 5 medidas da distensão da mola para 5 massas diferentes. 
 4. Coletou-se os dados para discussão. 
7.RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Os resultados obtidos com as três configurações de molas estão agrupados nas 
Tabelas 1-3 a seguir: 
 
Tabela 1: ​ Força e alongamento em uma mola 
i Força [F ± �](N) 
Alongamento [d ± �](m) 
1 0,58 ± 0,01 0,036 ± 0,005 
2 0,78 ± 0,01 0,044 ± 0,005 
3 1,28 ± 0,01 0,074 ± 0,005 
4 1,48 ± 0,01 0,088 ± 0,005 
5 1,98 ± 0,01 0,116 ± 0,005 
 
thaciana
Realce
thaciana
Realce
 
 
Através da Lei de Hooke (equação 1), podemos encontrar a constante 
elástica da mola, em que: 
 
 k = d
F 
 
Dessa forma, foi encontrada a constante de elasticidade para cada um dos 
cinco pesos. 
 
Tabela 1.1:​ Constante elástica para o primeiro sistema 
Sistema de Peso Constante Elástica (k) 
[N/m] 
1 16,111± 0,561 
2 17,727 ± 0,481 
3 17,297 ± 0,282 
4 16,828 ± 0,234 
5 17,096 ± 0,179 
Média 17,004 
 
Graficamente, pode-se observar que a constante k pode ser obtida através 
da inclinação da reta Força x Alongamento, que é de ​17,100 N/m​. 
 
 
Gráfico 1: ​Força x Alongamento em uma mola 
 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e o erro?null
thaciana
Nota
e o erro experimental?null
 
O trabalho realizado pela mola submetida ao maior peso pode ser calculado 
pela fórmula que é: F .d W = 
 
 , 8 0, 16W = 1 9 * 1 
 
 0, 29 JW = 2 
 
Podemos afirmar então, que o trabalho nessa situação é de ​0,229 J​. 
O trabalho também pode ser calculado como a área sob a curva de tendência 
do gráfico Força x Alongamento: 
 
7, x 3, 3 0 dxW = ∫
0,116
0,036
1 1 − 9 * 1
−3 
, 03W = 0 1 
 
O trabalho é igual a ​0,103 J​. 
 
Podemos observar que o resultado 
 
 
Tabela 2:​ Força e alongamento em três molas em paralelo 
Sistema de 
Pesos 
Força 
[F ± �](N) 
Alongamento 
[d ± �](m) 
1 0,70 ± 0,01 0,009 ± 0,005 
2 0,90 ± 0,01 0,016 ± 0,005 
3 1,40 ± 0,01 0,027 ± 0,005 
4 1,60 ± 0,01 0,032 ± 0,005 
5 2,10 ± 0,01 0,041 ± 0,005 
 
Analogamente ao método utilizado acima, foi encontrada a constante de 
elasticidade para cada um dos cinco pesos. 
 
Tabela 2.1:​ Constante elástica para o segundo sistema 
Sistema de Peso Constante Elástica (k) 
[N/m] 
1 77,778 ± 4,903 
2 56,250 ± 3,752 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e a incerteza propagadano trabalho?
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e a incerteza propagada no trabalho?
thaciana
Realce
thaciana
Realce
 
3 51,852 ± 3,601 
4 50,000 ± 1,105 
5 51,220 ± 0,873 
Média 57,419 ± 2,835 
 
Graficamente, pode-se observar que a constante k pode ser obtida através 
da inclinação da reta Força x Alongamento, que é de ​43,800 N/m​. 
 
 
Gráfico 2: ​Força x Alongamento em três molas em paralelo 
 
O trabalho realizado pela mola submetida ao maior peso pode ser calculado 
pela fórmula que é: F .d W = 
 
 , 0 0, 41W = 2 1 * 0 
 
 0, 86 JW = 0 
 
Podemos afirmar então, que o trabalho nessa situação é de ​0,086 J​. 
O trabalho também pode ser calculado como a área sob a curva de tendência 
do gráfico Força x Alongamento: 
 
3, x 0, 45 dxW = ∫
0,041
0,009
4 8 + 2 
, 42W = 0 0 
 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e a incerteza propagada na constate da mola, não tem?
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e a incerteza propagada no trabalho?
 
O trabalho é igual a ​0,042 J​. 
 
Tabela 3:​ Força e alongamento para duas molas em série 
Sistema de 
Pesos 
Força 
[F ± �](N) 
Alongamento 
[d ± �](m) 
1 0,58 ± 0,01 0,062 ± 0,005 
2 0,78 ± 0,01 0,094 ± 0,005 
3 1,28 ± 0,01 0,155 ± 0,005 
4 1,48 ± 0,01 0,183 ± 0,005 
5 1,98 ± 0,01 0,242 ± 0,005 
 
Analogamente ao método utilizado acima, foi encontrada a constante de 
elasticidade para cada um dos cinco pesos. 
 
Tabela 3.1:​ Constante elástica para o terceiro sistema 
Sistema de Peso Constante Elástica (k) 
[N/m] 
1 9,355 ±0,252 
2 8,298 ± 0,1576 
3 8,258 ± 0,095 
4 8,087 ± 0,080 
5 8,182 ± 0,060 
Média 8,436 ± 0,195 
 
Graficamente, pode-se observar que a constante k pode ser obtida através 
da inclinação da reta Força x Alongamento, que é de ​7,820 N/m​. 
 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
e a incerteza propagada no trabalho?
thaciana
Realce
thaciana
Realce
thaciana
Realce
thaciana
Nota
não tem incerteza propagada?
 
 
Gráfico 3: ​Força x Alongamento em duas molas em série 
 
O trabalho realizado pela mola submetida ao maior peso pode ser calculado 
pela fórmula que é: F .d W = 
 
 , 8 0, 42W = 1 9 * 2 
 
 0, 79 JW = 4 
 
Podemos afirmar então, que o trabalho nessa situação é de ​0,479 J​. 
O trabalho também pode ser calculado como a área sob a curva de tendência 
do gráfico Força x Alongamento: 
 
, 2x 0, 683 dxW = ∫
0,242
0,062
7 8 + 0 
.226 W = 0 
 
O trabalho é igual a ​0,226 J​. 
 
7.1. Discussões 
 
No sistema com uma mola pudemos observar que o valor da constante 
elástica k calculado através da média das constante ponto a ponto muito se 
assemelha com o valor encontrado através a inclinação da reta do gráfico 1. Isso se 
dá porque nesse sistema mais simples, há poucas fontes de erro. 
As diferenças encontradas entre o cálculo da constante da mola através da 
equação e através da inclinação da reta podem ser explicadas com a propagação de 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
sem erro experimental
thaciana
Realce
thaciana
Nota
cadê a incerteza propagada?
thaciana
Realce
thaciana
Nota
cadê a incerteza propagada?
 
erros que equação carrega, enquanto a inclinação da reta leva em conta a natureza 
infinitesimal da mola, trazendo mais precisão ao resultado. 
8.CONCLUSÃO 
 
Apesar de pequenas divergências de valores, é possível utilizar a lei de hook 
da molas com precisão, uma vez que os valores experimentais se aproximaram 
muito do teórico. Podemos concluir também, que quando analisada a constante de 
elasticidade em apenas uma mola, assim como o trabalho executado pela mola, o 
valor calculado ponto a ponto e o teórico são bastante parecidos, contudo, quanto 
mais molas nos sistema, maior quantidade de erros que influenciam o resultado final. 
 
 
9.REFERÊNCIAS 
 
[1] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A., Física I - Mecânica, 12a ed., Addison 
Wesley, 2008. 
[2] HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física: Mecânica. Vol. 1. 8 ed. 
Editora LTC, 2009. 
 
[3] Laboratório de Física II - Aula 02: Lei de Hooke e Associação de Molas. 
Disponível: 
<http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lfis/I_a_P/lab_fisica_II/aula_02-8569/02.html
> Acesso em 15 de abril de 2018. 
[4]LIMA JUNIOR, P. et al. O laboratório de mecânica. Porto Alegre: IF-UFRGS, 
2012. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_arquivos/TXT_06.pdf> 
Acesso em 05 de abril de 2018. 
[5] FEP - USP. Roteiro de Cálculo de Incertezas Análise de Experimentos Virtuais. 
Disponível em: < http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf > 
Acesso em 5 de abril de 2018. 
[6] E-física - USP. Resumo de fórmulas para propagação de incertezas. Disponível 
em: < http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/incertezas/formulas/> Acesso em 
5 de abril de 2018. 
 
 
thaciana
Realce