Gabarito parcial_Lista de exercícios 1

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Gabarito parcial da Lista de exerc´ıcios 1
Mestrado Profissional em Economia - MPE
Escola de Economia de Sa˜o Paulo - EESP/FGV
Mate´ria Microeconomia
Professor Aˆngelo Gurgel e Lucas Ferraz
Monitor Diego Rodrigues
Conteu´do
1 TEORIA DO CONSUMIDOR - Prefereˆncias e utilidade 2
2 TEORIA DO CONSUMIDOR - Maximizac¸a˜o da utilidade e escolha 4
3 TEORIA DO CONSUMIDOR - Efeitos renda e substituic¸a˜o 7
1
1 TEORIA DO CONSUMIDOR - Prefereˆncias e utilidade
Questa˜o 1
Um indiv´ıduo se auto-considera racional. Ao ser indagado sobre suas prefereˆncias sobre categorias de
comida carnes; verduras; frutas , ele respondeu:
(i) Entre carnes e verduras, prefere carnes;
(ii) Entre carnes e frutas, prefere frutas;
(iii) Entre frutas e verduras, prefere verduras;
E voceˆ, considera que o indiv´ıduo acima tenha prefereˆncias racionais? Caso a resposta seja negativa,
qual dos axiomas sobre prefereˆncias racionais e´ violado?
Na˜o, pois entre frutas e verduras, ele deveria preferir frutas. E´ violado o axioma da transitividade.
Questa˜o 2
Sobre prefereˆncias responda:
(a) Um te´cnico de futebol afirma que, dado dois atacantes A e B, ele sempre prefere o que for mais
ra´pido e mais habilidoso. A relac¸a˜o de prefereˆncias deste te´cnico e´ transitiva? Ela e´ completa?
Explique suas respostas.
A relac¸a˜o sera´ transitiva ja´ que estamos tratando de grandezas f´ısicas. Mas na˜o sera´ completa,
uma vez que a medic¸a˜o de prefereˆncia na˜o pode ser feita em sua totalidade.
Questa˜o 3
Suponha que o sala´rio de equil´ıbrio (w) em determinada economia e´ R$ 10 por hora e que um trabalhador
pode trabalhar ate´ 24 horas por dia. Suponha que o trabalhador aloca as 24 horas do dia entre lazer (L)
e trabalho (T).
(a) Escreva e fac¸a o gra´fico da reta orc¸amenta´ria do trabalhador em termos de lazer e dos demais bem
de consumo dispon´ıveis (bem composto).
A restric¸a˜o orc¸amenta´ria do consumidor sera´ dada por 10L+ px = 240
(b) Suponha que o governo permita no ma´ximo trabalhar 10 horas por dia. Fac¸a o gra´fico da nova
reta orc¸amenta´ria.
(c) Suponha que o governo exija que caso o trabalhador trabalhe mais de 10 horas, o empregador deve
pagar R$15 para as horas adicionais. Fac¸a o gra´fico da nova reta orc¸amenta´ria
Questa˜o 4
Esboce as curvas de indiferenc¸a para as seguintes func¸o˜es de utilidade:
(a) U(x, y) = αx+ βy
2
(b) U(x, y) = min(x, y)
(c) U(x, y) = max(x, y)
(d) U(x, y) = min(x+ 2y, 2x+ y)
Observe que a func¸a˜o acima pode ser reescrita como
U(x, y) =
 x+ 2y se x+ 2y ≤ 2x+ y → x ≥ y2x+ y se x+ 2y ≥ 2x+ y → y ≥ x
Utilizando essa func¸a˜o desenhe as curvas de indiferenc¸a para as duas equac¸o˜es de reta e utilize o
gra´fico de x = y como o fator delimitante.
Questa˜o 5
Ache as taxas marginais de substituic¸a˜o das func¸o˜es abaixo:
(a) U(x, y) = xαyβ
TMS =
αy
βx
(b) U(x, y) = x+ ln y
TMS = y
(c) U(x, y) = αx+ βy
TMS =
α
β
(d) U(x, y) = β(xρ + yρ)
1
ρ para ρ ≤ 1 e ρ 6= 0 (elasticidade de substituic¸a˜o constante).
TMS =
(x
y
)ρ−1
Questa˜o 6
Considere a func¸a˜o Cobb-Douglas y = f(x1, x2) = kx
α
1x
1−α
2 :
(a) Encontre a expressa˜o geral (em termos de todos os paraˆmetros) dos valores de x1 e x2 que maxi-
mizam a func¸a˜o, obedecendo a` restric¸a˜o p1x1 + p2x2 = I .
xm1 =
αI
p1
e xm2 =
(1− α)I
p2
(b) Encontre as expresso˜es para as elasticidades de y com relac¸a˜o a x1 e x2 . Qual e´ a interpretac¸a˜o
destes resultados?
ey,x1 = α e ey,x2 = (1− α). Os valores representam respectivamente a participac¸a˜o de x1 e x2 no
valor de y.
(c) Um me´todo conveniente para o ca´lculo de elasticidades e´ atrave´s da utilizac¸a˜o da diferenciac¸a˜o
logar´ıtmica. Assim, a elasticidade sera´ dada por: �yx =
∂ ln y
∂ ln x . Aplique uma transformac¸a˜o
logar´ıtmica (ln y = ln[f(x1, x2)]) para a equac¸a˜o dada e calcule novamente as elasticidades de y
com relac¸a˜o a x1 e x2.
3
Aplicando a transformac¸a˜o temos que ln y = ln k + αlnx1 + (1 − α)lnx2. Utilizando a derivac¸a˜o
citada chegaremos em ey,x1 = α e ey,x2 = (1− α).
Questa˜o 7
Utilidade CES
(a) Mostre que a func¸a˜o CES:
α
xδ
δ
+ β
yβ
β
e´ homote´tica. Como a TMS depende da raza˜o y/x?
TMS =
α
β
(y
x
)1−δ
(b) Mostre que a TMS e´ estritamente decrescente para todos os valores de δ < 1.
Observe que se δ = 0 o resultado na˜o depende da soma de α + β. Se δ = 1 a TMS e´ constante e
se δ < 1 temos que 1− δ > 0, o que mostra que a TMS e´ decrescente.
(c) Mostre que se x = y, a TMS para essa func¸a˜o depende apenas dos tamanhos relativos de α e β.
Se x = y, enta˜o temos que TMS =
α
β
2 TEORIA DO CONSUMIDOR - Maximizac¸a˜o da utilidade e
escolha
Questa˜o 1
Obtenha as func¸o˜es de demanda marshallianas para as seguintes func¸o˜es de utilidade:
(i) U(x1, x2) = x
α
1x
1−α
2
xm1 =
αM
p1
e xm2 =
(1− α)M
p2
(ii) U(x1, x2) = (x
ρ
1 + x
ρ
2)
1
ρ
xm1 =
Mp
1/(ρ−1)
1
p
ρ/(ρ−1)
1 + p
ρ/(ρ−1)
2
e xm2 =
Mp
1/(ρ−1)
2
p
ρ/(ρ−1)
1 + p
ρ/(ρ−1)
2
Questa˜o 2
Tome as demandas calculadas na Questa˜o 1 e calcule a func¸a˜o V (.) , utilidade indireta, para (i) e (ii).
Mostre como a func¸a˜o V (.) varia conforme mudanc¸as em M (renda) e nos prec¸os de ambos os bens (p1
e p2) para o caso (i) e como varia para mudanc¸as na renda apenas, no caso (ii)
Para o caso (i) temos que a func¸a˜o de utilidade indireta e´ dada por V (p1, p2,M) = M
( α
p1
)α[ (1− α)
p2
]1−α
,
ja´ para o caso (ii) temos que a func¸a˜o de utilidade indireta e´ dada por V (p1, p2,M) = M [p
ρ/(ρ−1)
1 +
p
ρ/(ρ−1)
2 ]
(1−ρ)/ρ.
Observe que para o caso (i) temos que
∂V
∂p1
< 0,
∂V
∂p2
< 0 e
∂V
∂M
> 0. Para o caso (ii) temos que
∂V
∂M
> 0.
4
Questa˜o 3
Todo meˆs o senhor A compra laranjas (l) e mac¸a˜s (m) quando vai a` feira. Suas prefereˆncias sobre esses
bens sa˜o descritas pela func¸a˜o:
U(l,m) = −1
l
− 1
m
(a) Dada a renda de I = 360 por meˆs para gastar na feira, resolva o problema do consumidor aos
prec¸os pl = 25 e pm = 16. Qual e´ o n´ıvel de bem-estar atingido pelo senhor A com as quantidades
encontradas?
U(l,m) = −9/40
(b) A esses prec¸os, se aumentarmos a renda semanal I em R$1,00, em quanto aumentara´ o bem-estar
do senhor A?
U(l,m)final = −1/8, 08− 1/10, 11 > −9/40
(c) Se o prec¸o da mac¸a˜ aumentar para p′m = 25 , quanto o senhor A deve ter de renda se quiser manter
o mesmo n´ıvel de bem-estar da situac¸a˜o inicial ?
Deve ter uma renda final tal que M ′ = 444, 44, ou seja, um acre´scimo de 84,44 na sua renda em
comparac¸a˜o com a renda inicial.
Questa˜o 4
Mostre que se existem apenas dois bens (x e y) cujas quantidades possam ser escolhidas, enta˜o ambos os
bens na˜o podem ser inferiores. Suponha x inferior, como mudanc¸as na renda afetam a demanda por y?
Utilizando a agregac¸a˜o de Engel temos que sxex,M + syey,M = 1. Logo supondo que x e´ um bem inferior
temos que ex,M < 0 e pela agregac¸a˜o de Engel resulta que ey,M > 1. Isto siginifica que y e´ um bem
normal de luxo e, portanto, ambos os bens na˜o podem ser inferiores.
Questa˜o 5
Suponha que um indiv´ıduo tenha prefereˆncias descritas pela seguinte func¸a˜o utilidade Cobb - Douglas:
U(x, y) = x1/4y3/4
e que tenha renda I = 100.
(a) Calcule a demanda dos bens x e y aos prec¸os px = 5 e py = 3.
xm = 5 e ym = 25.
(b) Suponha que o governo estabelec¸a um imposto r sobre a quantidade consumida do bem x de r = 0, 5
unidades moneta´rias para cada unidade consumida do bem x. Nesse caso, quais sera˜o as demandas
por x e y? Qual sera´ o n´ıvel de utilidade atingido pelo consumidor? Quanto o governo arrecadara´
com esse indiv´ıduo ?
xm = 4, 5, ym = 25, U(x, y) ≈ 12, 64 e Imposto = 4, 5.0, 5 = 2, 25.
5
(c) Suponha agoraque o governo retire o imposto anterior e estabelec¸a um novo imposto, de montante
fixo (lump-sum), no qual recolhera´ o mesmo valor que recebia com o imposto anterior (calculado
no item b). Quais sera˜o as novas demandas para x e y? Qual sera´ o novo n´ıvel de utilidade do
consumidor?
I = (100− 2, 25) = 97, 75, xm ≈ 4, 88, ym ≈ 24, 44 e U(x, y) ≈ 16, 33.
Questa˜o 6
Encontre a escolha o´tima de um consumidor que tem prefereˆncias Leontief, ou seja, que tem uma
func¸a˜o utilidade do tipo U(x, y) = min{αx, y}, α constante. Considere como restric¸a˜o orc¸amenta´ria
pxx+ pyy = I. Por que a condic¸a˜o de o´timo px = py na˜o e´ va´lida nesse caso?
Func¸a˜o de Leontieff na˜o e´ diferencia´vel, logo isso na˜o pode ser aplicado.
Questa˜o 7
(a) Um consumidor esta´ disposto a trocar 3 unidades de x por 1 unidade de y quando tem dispon´ıvel
6 unidade de x e 5 unidades de y. Tambe´m esta´ disposto a trocar 6 unidades de x por 2 unidades
de y quando tem dispon´ıvel 12 unidades de x e 3 unidades de y. Este consumidor e´ indiferente
entre as cestas (6,5) e (12,3). Qual func¸a˜o utilidade representa estas prefereˆncias?
U(x, y) = x+ 3y
(b) Um consumidor esta´ disposto a trocar 4 unidades de x por 1 unidade de y quando tem dispon´ıvel
8 unidade de x e 1 unidade de y. Tambe´m esta´ disposto a trocar 1 unidades de x por 2 unidades
de y quando tem dispon´ıvel 4 unidades de x e 4 unidades de y. Sabendo que a utilidade e´ do tipo
Cobb-Douglas, U(x, y) = xαyβ , determine os paraˆmetros α e β que definem estas prefereˆncias.
Observe que o indiv´ıduo e´ indiferente entre as cestas (8, 1) ∼ (4, 2) e (4, 4) ∼ (3, 6). Utilizando
essas cestas na func¸a˜o de Cobb Douglas temos que 8α1β = 4α2β e 4α4β = 3α6β .
Questa˜o 8
A TMS de uma func¸a˜o Cobb-Douglas
U(x, y) = xαyβ
e´ dada por:
TMS =
α
β
y
x
(a) Suponha que um indiv´ıduo apenas obte´m utilidade de quantidades de x e y que excedem o n´ıvel
mı´nimo de subsisteˆnncia dado por x0 e y0. Nesse caso,
U(x, y) = (x− x0)α(y − y0)β .
Essa func¸a˜o e´ homote´tica?
No ponto (x− x0, y − y0) sim, mas no ponto (x, y) na˜o.
6
3 TEORIA DO CONSUMIDOR - Efeitos renda e substituic¸a˜o
Questa˜o 1
Encontre as demandas Marshallianas e Hicksianas (compensadas) do consumidor que tenha prefereˆncias
descritas por U(x, y) = xαyβ enfrenta prec¸os px, py para os bens x e y respectivamente e possua renda
M. Suponha que px = 2, py = 1, α = β = 0, 5 e M = 10, esboce os gra´ficos das demandas Marshallianas
e Hicksianas. Explique porque neste caso a demanda Marshalliana e´ menos inclinada que a demanda
Hicksiana. Em que situac¸a˜o ocorreria o inverso, isto e´, a demanda Marshalliana seria mais inclinada que
a Hickisiana?
Observe que de modo geral temos que as func¸o˜es de demanda sa˜o xm =
αM
(α+ β)px
e
xc =
U∗
1
α+β (α+ β)p
β
α+β
y
α
α+ β
p
−β
α+β
x
α
α
α+β β
β
α+β
. Neste exerc´ıcio os valores em termos de px sa˜o tais que x
m = 50/px
e xc = 25
√
2/(p0,5x ). Desenhando o gra´fico no eixo (x, px) temos que a demanda marshalliana sera´ menos
inclinada, uma vez que ela leva em conta dois efeitos: o efeito renda e o efeito substituic¸a˜o, ao passo,
que a demanda hicksiana leva em conta somente o efeito substituic¸a˜o. Isto e´ va´lido neste caso, pois x e´
um bem normal.
Questa˜o 2
Assuma que a utilidade seja dada por:
U(x, y) = x0,3y0,7
(a) Encontre as func¸o˜es demanda Walrasiana pelos bens x e y e, a partir delas, determine a func¸a˜o
utilidade indireta e a func¸a˜o dispeˆndio.
xm =
0, 3M
px
e ym =
0, 7M
py
. As func¸o˜es de utilidade indireta e de dispeˆndio sa˜o, respectivamente
dadas por V (px, py, U
∗) = M
(0, 3
px
)0,3(0, 7
py
)0,7
e E(px, py, U
∗) = U∗
( px
0, 3
)0,3( py
0, 7
)0,7
.
(b) Use a func¸a˜o dispeˆndio calculada na item (a) junto com o lema de Shephard para encontrar a
func¸a˜o demanda compensada pelo bem x.
xc = U∗
(py
px
)0,7(0, 3
0, 7
)0,7
.
Questa˜o 3
Suponha que o consumidor tenha prefereˆncias descritas pela func¸a˜o utilidade U(x, y) = xαy1−α e que
α = 0, 5,M = 288, px = 1, py = 1 sejam a renda, o prec¸o do bem x e o prec¸o do bem y , respectivamente.
Se o prec¸o do bem y quadruplicar, qual e´ a variac¸a˜o de renda que esse indiv´ıduo deve sofrer de acordo
com a variac¸a˜o compensato´ria? E de acordo com a variac¸a˜o equivalente?
De acordo com a variac¸a˜o compensato´ria ele deve ter um acre´scimo de renda de 288, ja´ de acordo com
a variac¸a˜o equivalente ele deve ter uma diminuic¸a˜o de renda de 144.
7
Questa˜o 4
Os treˆs tipos de relac¸a˜o de agregac¸a˜o entre as elasticidades, presente no cap´ıtulo 5 do Nicholson podem
ser generalizadas para qualquer nu´mero de bens (no livro o autor faz as agregac¸o˜es para dois bens).
Suponha que haja n bens e que a parcela da renda destinada ao gasto desse bem seja si(si =
xpx
I
) e
considere as seguintes definic¸o˜es:
ei,I =
∂xi
∂I
I
xi
ei,j =
∂pj
∂pj
pj
xi
Mostre que:
(a)
∑n
j=i ei,j + ei,I = 0.
(b)
∑n
i=1 siei,I = 1.
(c)
∑n
i=1 siei,j = −sj
Questa˜o 5
(a) Dado um bem inferior, o que ocorre quando, ceteris paribus, a renda do consumidor aumenta e o
prec¸os desse bem cai?
Se o bem e´ inferior , o aumento da renda diminui a demanda e , por conta disso, o efeito substituic¸a˜o
e´ positivo. Se o prec¸o desse bem cai, a demanda aumenta. Ja´ se o prec¸o aumenta faz com que haja
diminuic¸a˜o da demanda pelo bem, logo o efeito prec¸o total sera´ indeterminado.
(b) Qual a relac¸a˜o entre bens de Giffen e bens inferiores? Justifique atrave´s da Equac¸a˜o de Slutsky.
Todo bem de Giffen e´ um bem inferior, mas nem todo bem inferior e´ um bem de Giffen.
Questa˜o 6
Um consumidor tem prefereˆncias de Leotief sobre o consumo de cafe´ e creme, na proporc¸a˜o de 1 unidade
(x´ıcara) de cafe´ para 2 unidades (colheres) de ac¸u´car. Seja pc o prec¸o do cafe´ e pa o prec¸o do ac¸u´car:
(a) Esboce o gra´fico da restric¸a˜o orc¸amenta´ria (para uma renda igual a M) e da curva de indiferenc¸a
que caracterizam a soluc¸a˜o para o problema desse consumidor.
(b) Suponha que o prec¸o do cafe´ aumente para p
′
c. Como seria o efeito substituic¸a˜o nesse caso?
Explique.
Na˜o ha´ efeito substituic¸a˜o, pois os bens sa˜o complementares.
(c) Suponha que compensemos o consumidor com uma variac¸a˜o na sua renda ∆M , de modo que ele
retorne a` sua curva de indiferenc¸a original. Nesse caso, qual sera´ a sua demanda ao novo prec¸o p
′
c
e a` nova renda M ′ = M + ∆M ? Porque esse resultado ocorre?
8
Se fizermos a compensac¸a˜o de renda, iremos levar a reta orc¸amenta´ria de volta a posic¸a˜o que
estava antes de calcularmos o efeito renda. Nesse caso, a nova demanda sera´ igual a demanda
original, sem que houvesse variac¸a˜o de prec¸os. Isso ocorre, pois o efeito substituic¸a˜o e´ nulo para
bens complementares.
Questa˜o 7
Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsa. Justifique a sua resposta.
(a) A curva de prec¸o-consumo e´ representada graficamente pela relac¸a˜o entre o prec¸o do bem (medido
no eixo vertical) e a quantidade consumida daquele bem (medida no eixo horizontal)
Na˜o, ela e´ representada pela relac¸a˜o entre os dois bens e a relac¸a˜o entre os prec¸os e´ a inclinac¸a˜o
dessa relac¸a˜o.
(b) A Curva de Engel possui sempre inclinac¸a˜o positiva
Para bens inferiores a inclinac¸a˜o e´ negativa.
(c) Para bens normais, o efeito-renda e´ sempre menor (em valor absoluto) que o efeito-substituic¸a˜o
Na˜o, os dois efeitos sa˜o negativos, mas na˜o e´ poss´ıvel dizer qual dos dois sera´ menor ou maior.
(d) Para os bens de Giffen, o efeito -renda e´ sempre maior (em valor absoluto) que o efeito substituic¸a˜o.
Sim.
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