AED Unidade I parte II

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2ª Unidade 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 Vimos anteriormente a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, 
gráficos e distribuições de frequências. Aqui, vamos aprender o cálculo de 
medidas que possibilitem representar um conjunto de dados (valores de uma 
variável quantitativa, isto é, informações numéricas), relativos à observação de 
determinado fenômeno de forma reduzida. 
Estes índices estatísticos são conhecidos como MEDIDAS DE POSIÇÃO 
e, dentre as mais importantes, citamos as Medidas de Tendência Central, 
que recebem tal denominação pelo fato dos dados observados tenderem, em 
geral, a se concentrar em torno de valores centrais. Dentre as medidas de 
tendência central, destacam-se: 
 
] a Média aritmética ou Média; 
] a Moda; 
] a Mediana. 
 
 As outras medidas de posição são as SEPARATRIZES, que englobam: 
 
] a própria Mediana; 
] os Quartis; 
] os Decis 
] os Percentis ou Centis. 
 
 
Medidas de posição 
 
São estatísticas que representam um conjunto de dados orientando-nos 
quanto a posição da distribuição em relação ao eixo horizontal. As medidas de 
posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem 
esse nome pelo fato dos dados tenderem, em geral, a se concentrar em torno 
de valores centrais. Dentre as medidas de tendência central destacam-se: a 
média, a moda e a mediana; Ainda, dentre as medidas de posição as outras 
medidas de tendência central são as separatrizes, que englobam: a própria 
mediana, os decis, os quartis, e os percentis. 
 
 
Média 
Em poucas palavras, a média aritmética, ou simplesmente média, de um 
conjunto de dados numéricos é a razão entre a soma dos elementos pelo total 
de elementos, ou seja: 
 
Média = 
soma de todos os dados (valores)
total de dados 
 
 
 
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#Definição: 
 
Dada uma população constituída de N elementos, x1, x2 , ..., xN sua média, 
denotada por , mede o valor médio do conjunto de dados, sendo expressa na 
mesma unidade, e definida por: 
 
N
x...xx μ N21  
 
PARA OS CASOS AMOSTRAIS (vistos em sala de aula) 
 
n
x...xx x n21  
 
Caso 1: Dados não agrupados 
 É representado pela média aritmética dos elementos 
 
 
 
xi → valor observado 
n → Nº total de observações 
 
 
Exercício resolvido 
 
Calcule o tempo médio de vida útil de 10 smartphones, sabendo que o tempo 
de vida útil de cada aparelho, em meses é: 10-29-26- 28-15-23-25-17-0-20. 
xത = (10+29+...+20) / 10 = 19.3 meses 
 
 
 
Caso 2: Dados agrupados por valores 
 Obtida através de uma média ponderada, ou seja, da i-ésima classe, 
 
 
 
fi → Frequência absoluta 
k → categorias 
 
 
Exercício resolvido 
Suponha que a distribuição do nº de computadores por residência é 
representada na tabela a seguir, determine o nº médio de PC's por residência. 
 
Tabela 11. Distribuição do número de PC’s por residência 
da Rua A no Santa Lúcia em 2016 
 
Nº PCs 0 1 2 3 4 Total 
fi 2 6 10 12 4 34 
 
xത = (1x6 + 2x10+3x12+4x4)/34 = 2,3 
 
Observação: verificar conclusão, dado que um computador não existe fração a 
conclusão deve ser, em média tem-se 02 computadores por residência. 
xത = 
∑ xini=1
n 
xത = 
∑ xifiki=1
n 
Caso 3: Dados agrupados por classe/com intervalo de classes 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classes coincidem com o seu ponto médio 
(pi), e determinamos a média pela fórmula: 
 
 
 
 
Em que, pi = (Li + Ls)/2 é o ponto médio da i-ésima classe. 
 
 
Exercício resolvido 
Supondo que se tem a distribuição de frequência das idades dos professores 
de uma instituição apresentada na tabela a seguir, determine a idade média. 
 
Tabela 12. Distribuição das idades dos professores 
de uma instituição em 2016 
 
Classes de idade fi 
20 |-- 40 50 
40 |-- 60 90 
69 |-- 80 60 
Total 200 
 
Vantagens 
 É uma medida simples de ser obtida; 
 A unidade de medida é a mesma dos dados originais; 
 É de fácil interpretação; 
 Serve para comparar conjuntos semelhantes. 
 
 Desvantagens 
 Pode ser influenciada por valores extremos 
 Seja o Salário da Empresa A = {2,1,2,3,5,4,1,2,3}  xഥ = 2,7 
 Seja o Salário da Empresa B = {2,1,3,5,4,1,22,4,50}  xഥ = 70 
 Não pode ser calculada para distribuição de frequência com limites 
indeterminados (indefinidos) 
 
 
Exemplo: 
Calcule a média dos dados apresentados na tabela a seguir: 
 
Tabela 13. Distribuição etária dos netos de D. Maria 
em 2015, Aquidabã/SE. 
 
Idade fi pi 
<10 20 ? 
10 |-- 20 30 15 
>20 30 ? 
 
x ഥ= 
∑ pifi
k
i=1
n 
 
24 
 
Moda 
É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. 
 
Classificação 
1. Amodal → sem valor mais frequente. 
 Ex1: 18 25 32 14 
 Ex2: 18 18 32 32 
 
2. Unimodal/Modal → quando um único valor ou classe apresenta 
maior frequência. 
 Ex3: 18 25 25 14 
 
3. Bi/Tri/Polimodal → mais de 01 elemento, classe ou categoria 
apresenta maior frequência. 
 Ex4: 18 18 25 25 32  Bimodal 
 Ex5: 18 18 25 25 32 32 41  Trimodal 
 Ex6: 18 18 25 25 32 32 41 
41 49  Polimodal 
 
 
ATENÇÃO 
O que classifica a moda como Amodal, Modal, Bimodal, Trimodal ou 
Polimodal, não é o número de vezes que o número aparece mas o(s) número(s) 
que aparece mais que o(s) outro(s). Ou seja: 
 
18 18 18 25 31  Trimodal (Modal) 
18 18 25 25 31 31 41  Trimodal 
 
 
 
Caso 1: Dados não agrupados 
 Refere-se a categoria que mais se repete 
 
Exemplo: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9 – Polimodal 
 
Caso 2: Dados agrupados por valores 
 Refere-se a categoria com maior frequência. 
 
Exemplo: Bimodal 
 
Tabela 14. Distribuição etária dos vizinhos de D. Maria 
em 2015, Aquidabã/SE. 
 
Idades fi 
12 30 
15 20 
25 30 
33 15 
 
Caso 3: Dados agrupados por classe/com intervalo de classes 
Neste caso, a moda é o valor dominante que está compreendido entre 
os limites da casse modal que apresenta a maior frequência. 
 
 
 
 
 
Li* = limite inferior da classe modal (CM) 
D'' = fi – fi' 
D' = fi – 'fi 
h* = amplitude da CM 
fi = frequência absoluta 
'fi = frequência da classe anterior do CM 
fi' =frequência da classe posterior do CM 
 
 
Exercício 
Calcular a moda para a tabela da distribuição das estaturas de 40 alunos da 
UFS 
 
Tabela 15. Estaturas dos alunos de I.E. em 2016.1, UFS. 
 
Estaturas (cm) fi 
150 |-- 158 13 
158 |-- 166 19 
166 |-- 174 8 
Total 40 
 
 
Mediana 
É o valor situado em um conjunto de tal forma que separa em 2 subconjuntos 
com o mesmo nº de elementos. 
 
 
 
 
 
X0 = Li + 
1
1+ 2
 × h 
 
26 
 
 
Med = Li *+ 
(n 2 + 'Fi) ⁄
fi *
× h 
Caso 1: Dados não agrupados 
É um valor central de hall crescente dos dados. 
 
 Posição 
 
Se n é ímpar: Med = X(n+1)/2 
Se n é par: Med = [ X(n +1)/2 + X(n/2) ] /2 
 
 Posição Posição 
 
Exercício 
Seja A = {2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21} e B = {6, 8, 10, 12, 14}. Obter a mediana 
do conjunto de dados A e B. 
 
Med = (X4 + X5)/2 = (10 + 12)/2 = 11 
 
 Posições 
 
 
Caso 2: Dados agrupados 
 
1º passo  Determinar as frequências acumuladas 
2º passo  Calcular a classe mediana ∑ 𝑛 2ൗ
௡
௜ୀଵ 
3º passo  Marca-se a classe correspondente a frequência acumulada superior 
 imediatamente a classe mediana e aplica a formula abaixo. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcular a mediana para a tabela de distribuição das estaturas de 40 alunos 
da UFS 
 
Tabela 16. Estaturas dos alunos de I.E. em 2016.1, UFS. 
 
Estaturas (cm) fi Fi 
150 |-- 158 13 13 
158 |-- 166 19 42 
166 |-- 174 08 50 
Total 50 - 
 
Classe mediana  40/2 = 20 observar em Fi até onde se acumula e verificar 
qual é a classemediana. 
 
Med = 158 + {[(20 – 13)*8]/19} = 160,95 
 
 
SEPARATRIZES 
 
 
 São medidas que dividem o rol ou a distribuição de frequências em 
partes iguais. Podem ser divididas em 04, 10 ou 100 partes iguais, sendo tais 
partições chamadas de quartis, decis ou percentis/centis, respectivamente. 
 
 
QUaRTiS 
 Na Estatística, um quartil é qualquer um dos três valores que divide o 
conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte 
representa 1/4 da amostra ou população. Assim, para determinar os quartis 
vamos colocar os dados por ordem crescente: 
 
Qi =Li*+ 
[(i × n) 4 - 'Fi] ⁄
fi *
× h 
 
1º Quartil (designado por Q1/4 ou quartil inferior) 
É o valor aos 25% da amostra ordenada = 25º percentil 
 
2º Quartil (designado por Q2/4 ou mediana) 
É o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada = 50º percentil, ou 
5º decil. 
 
3º Quartil (designado por Q3/4 ou quartil superior) 
É o valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados ou os 
75% da amostra ordenada = 75º percentil 
 
Exemplo: 
A diferença entre os quartis superior e inferior chama-se amplitude 
interquartil. 
 
Idade 22 26 27 28 29 30 
 fi 2 2 1 1 2 3 
 
Amplitude interquartil = 30 – 26 = 4 
 
 
deCiS 
 Na Estatística, um decil é qualquer um dos nove valores que divide o 
conjunto ordenado de dados em dez partes iguais, e assim cada parte 
representa 1/10 da amostra ou população. Assim, para determinar os decis 
vamos colocar os dados por ordem crescente: 
 
Di =Li*+ 
[(i × n) 10 - 'Fi] ⁄
fi *
× h 
 
 
 
 
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PeRCenTiS/CenTiS 
 Na Estatística, um percentil/centil é qualquer um dos noventa e nove 
valores que divide o conjunto ordenado de dados em cem partes iguais, e 
assim cada parte representa 1/100 da amostra ou população. Assim, para 
determinar os percentis/centis vamos colocar os dados por ordem crescente: 
 
Pi =Li*+ 
[(i × n) 100 - 'Fi] ⁄
fi *
× h 
 
 
Exercício: 
Na tabela abaixo estão apresentados dados referentes ao consumo médio 
mensal de eletricidade (em kw = h) de uma amostra de 80 residências de 
Sergipe. Encontrar o terceiro quartil, o sétimo decil e o vigésimo quinto 
percentil. 
 
Tabela 17. Consumo médio mensal/residência em Sergipe, 2016. 
 
Consumo fi Fi 
 5|-- 15 4 4 
25|-- 45 6 10 
45|-- 65 14 24 
65|-- 85 26 50 
 85|-- 105 14 64 
105|-- 125 8 72 
125|-- 145 6 78 
145|-- 165 2 80 
Total 80 -