CDI II Práticas 2007 2008 1º Semestre

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Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Prof. Gabriel Pires
CDI-II
Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 1)
1 Notac¸a˜o
R
n = R× R× · · · ×R
x ∈ Rn : x = (x1, x2, · · · , xn) ; xk ∈ R ; k = 1, 2, . . . , n
Casos importantes:
i) R2 : (x, y)
ii) R3 : (x, y, z)
2 Norma. Distaˆncia. Bola
a) Norma de um vector em Rn: ‖ x ‖=
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x
2
n
Casos importantes:
1. R2 : ‖ (x, y) ‖=
√
x2 + y2
2. R3 : ‖ (x, y, z) ‖=
√
x2 + y2 + z2
b) Distaˆncia entre dois pontos x e y em Rn:
‖ x− y ‖=
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2.
c) Bola de centro num ponto a ∈ Rn e raio R:
BR(a) = {x ∈ R
n :‖ x− a ‖< R}
Na figura(1) esta´ representada uma bola de raio R e centro no ponto (a, b) em R2.
0 x
y
(a, b)
(x, y)
R
Figura 1: R2: Bola centrada em (a, b) e raio R
3 Interior, Exterior e Fronteira
Seja D ⊂ Rn.
i) int(D): a ∈ Rn e´ um ponto do interior de D se ∃R>0 : BR(a) ⊂ D.
ii) ext(D): a ∈ Rn e´ um ponto do exterior de D se ∃R>0 : BR(a) ⊂ D
c.
iii) ∂(D): : a ∈ Rn e´ um ponto da fronteira de D se
∀R>0 : BR(a) ∩D 6= ∅ ∧ BR(a) ∩D
c 6= ∅
Exemplo 3.1 Consideremos o conjunto D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} (ver figura(2)). Enta˜o,
- int(D) = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}
- ext(D) = {(x, y) ∈ R2 : x < 0}
- ∂(D) = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}
a) D ⊂ Rn diz-se aberto se D = int(D).
b) D ⊂ Rn diz-se fechado se D = int(D) ∪ ∂D.
c) Ao conjunto D = int(D) ∪ ∂D chama-se fecho ou adereˆncia do conjunto D.
Note-se que se um ponto pertence a` fronteira de um conjunto D, por definic¸a˜o, tambe´m
pertence a` fronteira do complementar de D.
Note-se tambe´m que Rn = int(D) ∪ ∂D ∪ ext(D).
Portanto, e´ claro que um conjunto e´ aberto se e so´ se o respectivo complementar for fechado.
2
x
y
x > 0
0
Figura 2: Interior, Exterior e Fronteira de D ⊂ R2
4 Sucesso˜es em Rn
Uma sucessa˜o (xk) e´ uma func¸a˜o N ∋ k 7→ xk ∈ R
n, que a cada k ∈ N faz corresponder um
vector xk = (xk1, xk2 , . . . , xkn) ∈ R
n.
Diz-se que uma sucessa˜o (xk) converge para um ponto a se dado δ > 0 existe uma ordem
k0 a partir da qual os termos da sucessa˜o se encontram na bola Bδ(a), ou seja
∀δ>0∃k0 k > k0 ⇒‖ xk − a ‖< δ
Neste caso, escreve-se lim
k→∞
xk = a ou xk → a.
Seja (x, y) ∈ R2. Enta˜o,
(| x | + | y |)2 =| x |2 + | y |2 +2 | x || y | ≥ | x |2 + | y |2≥ | x |2
e, tomando a raiz quadrada nesta sequeˆncia de desigualdades, obtemos,
| x | + | y | ≥
√
| x |2 + | y |2 ≥ | x |,
ou seja,
| x | + | y | ≥ ‖ (x, y) ‖≥ | x | .
Do mesmo modo, obtemos
| x | + | y | ≥ ‖ (x, y) ‖≥ | y | .
3
E´ claro que para x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ R
n teremos
| x1 | + | x2 | + · · ·+ | xn | ≥ ‖ x ‖≥ | xj |, ∀j = 1, 2, . . . , n. (1)
Seja (xk) uma sucessa˜o convergente para a = (a1, a2, · · · , an). Usando a desigualdade (1),
obtemos
| xk1 − a1 | + | xk2 − a2 | + · · ·+ | xkn − an | ≥ ‖ xk − a ‖≥ | xkj − aj |, ∀j = 1, 2, . . . , n.
Assim, conclu´ımos que a sucessa˜o (xk) converge para a se e so´ se cada uma das sucesso˜es,
ditas componentes ou coordenadas, (xk,j), converge par aj , em que j = 1, 2, . . . , n. Ou seja
xk → a⇔ xk,j → aj , j = 1, 2, . . . , n
Note-se que as sucesso˜es componentes sa˜o sucesso˜es de termos em R.
Exemplo 4.1 1. lim
k→∞
(
1
k
, 1 + e−k
)
= (0, 1)
2. lim
k→∞
(
1
k
, 1 + e−k, 3,
2
1 + k2
)
= (0, 1, 3, 0)
3. A sucessa˜o lim
k→∞
(
1
k
, 2k
)
na˜o e´ convergente porque a segunda componente na˜o e´ uma
sucessa˜o convergente.
A adereˆncia de um subconjunto de Rn pode ser caracterizada recorrendo a sucesso˜es con-
vergentes.
Seja D ⊂ Rn e a ∈ int(D). Seja BR1(a) ⊂ D de acordo com a definic¸a˜o de interior de
D e seja x1 ∈ BR1(a). Tome-se R2 <
R1
2
. E´ claro que BR2(a) ⊂ BR1(a). Seja x2 ∈ BR2(a).
Tome-se R3 <
R2
2
. E´ claro que BR3(a) ⊂ BR2(a). Seja x3 ∈ BR3(a). Deste modo, podemos
construir uma sucessa˜o (xk) de termos em D, tal como se ilustra na figura (3).
Note-se que ‖ xk − a ‖<
R1
k
, ou seja, xk → a.
Do mesmo modo se pode construir uma sucessa˜o (xk) de termos em D tal que xk → a
para o caso em que a ∈ ∂D.
Por outro lado, se (xk) for uma sucessa˜o convergente, de termos em D, o respectivo limite
na˜o podera´ encontrar-se no exterior de D, ou seja, so´ podera´ estar na adereˆncia de D. Note-se
que centrada num ponto exterior existe uma bola que na˜o intersecta D.
Assim, a ∈ D se e so´ se for limite de uma sucessa˜o de termos em D.
Portanto, um conjunto D sera´ fechado se e so´ se os limites das suas sucesso˜es
convergentes estiverem em D.
4
0 x
y
Figura 3: Construc¸a˜o de uma sucessa˜o convergente
5 Func¸o˜es em Rn
5.1 Exemplos
i) Campo vectorial: F : R2 \ {(0, 0)} → R2 definido por
F (x, y) =
(
−
y
(x2 + y2)
,
x
(x2 + y2)
)
.
ii) Campo vectorial: F : R3 \ {(0, 0, 0)} → R3 definido por
F (x, y, z) =
(x, y, z)
(x2 + y2 + z2)3/2
.
iii) Campo escalar: φ : R3 \ {(0, 0, 0)} → R definido por
φ(x, y, z) = −
1√
x2 + y2 + z2
.
iv) Campo escalar: φ : R2 \ {(0, 0)} → R dado por
φ(x, y) =
xy
x2 + y2
.
v) Trajecto´ria ou caminho: γ : R → R3 dada por
γ(t) = (cos t, sen t, t).
vi) Parametrizac¸a˜o de um parabolo´ide: g : R2 → R3 definida por
g(x, y) = (x, y, x2 + y2).
5
Em geral, as func¸o˜es sera˜o do tipo f : D ⊂ Rn → Rm em que D designa o respectivo
dom´ınio.
Casos especiais importantes:
a) Campo vectorial: n = m
b) Campo escalar: m = 1
c) Trajecto´ria ou caminho: n = 1 e m = 2 ou m = 3.
d) Parametrizac¸a˜o de superf´ıcies: n = 2 e m = 3.
Usaremos a notac¸a˜o seguinte:
f(x) = f(x1, x2, · · · , xn) = (f1(x), f2(x), · · · , fm(x))
em que cada func¸a˜o componente fj : D ⊂ R
n → R e´ uma func¸a˜o escalar,
fj(x) = fj(x1, x2, · · · , xn) , j = 1, 2, . . . , m.
5.2 Func¸o˜es Cont´ınuas e Sucesso˜es
Uma func¸a˜o f : D ⊂ Rn → Rm e´ cont´ınua em a ∈ D se
∀ǫ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D, ‖ x− a ‖< δ ⇒‖ f(x)− f(a) ‖< ǫ
em que ‖ x− a ‖ e´ calculada em Rn e ‖ f(x)− f(a) ‖ e´ calculada em Rm.
Por outras palavras, dada uma bola de Rm, de raio ǫ centrada em f(a), ou seja, Bǫ(f(a)),
existe uma bola, de Rn, de raio δ centrada em a, Bδ(a) tal que se x ∈ Bδ(a) ∩ D enta˜o
f(x) ∈ Bǫ(f(a)). (ver figura (4))
R
n
R
m
a
f(a)
δ ǫ
f
x
f(x)
Figura 4: Definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua
6
Seja (xk) uma sucessa˜o em D tal que xk → a. Enta˜o existe um inteiro positivo k0 tal que
‖ xk − a ‖< δ para todo k > k0. Sendo f cont´ınua em a, teremos ‖ f(xk) − f(a) ‖< ǫ, ou
seja, f(xk)→ f(a).
Por outro lado, se f na˜o fosse cont´ınua em a existiria um ǫ > 0 tal que, para qualquer
δ > 0 haveria um ponto x ∈ D verificando
‖ x− a ‖< δ e ‖ f(x)− f(a) ‖≥ ǫ
Tomando sucessivamente δ = 1
k
, k ∈ N, ter´ıamos uma sucessa˜o (xk) tal que
‖ xk − a ‖<
1
k
e ‖ f(xk)− f(a) ‖≥ ǫ,
ou seja, xk → a mas a sucessa˜o (f(xk)) na˜o seria convergente para f(a).
Assim, podemos concluir que uma func¸a˜o f : D ⊂ Rn → Rm e´ cont´ınua em a ∈ D se
e so´ se dada uma sucessa˜o (xk) tal que xk → a, enta˜o f(xk)→ f(a).
Note-se que, tendo em conta a desigualdade (1), facilmente se conclui que uma func¸a˜o
f : D ⊂ Rn → Rm e´ cont´ınua em a ∈ D se e so´ se cada uma das func¸o˜es componentes
fj : D ⊂ R
n → R, ∀j = 1, 2, . . . , m, for cont´ınua em a ∈ D.
Portanto, neste contexto, basta estudar as func¸o˜es escalares.
5.3 Continuidade e Limite
Seja f : D ⊂ Rn → R uma func¸a˜o cont´ınua e a ∈ D = int(D) ∪ ∂(D).
Diz-se que f(x) tende para b se e so´ se para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que sempre que
x ∈ D e ‖ x− a ‖< δ se tenha ‖ f(x)− b ‖< ǫ.
Neste caso escrevemos lim
x→a
f(x) = b.
Portanto, a func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a se e so´ se lim
x→a
f(x) = f(a).
Assim, tendo em conta a noc¸a˜o de limite, facilmente se verificam as propriedadesseguintes
das func¸o˜es cont´ınuas.
Sejam f : D ⊂ Rn → R e g : D ⊂ Rn → R duas func¸o˜es cont´ınuas e α ∈ R. Enta˜o,
a) A func¸a˜o αf e´ cont´ınua.
b) A func¸a˜o f + g e´ cont´ınua.
c) A func¸a˜o fg e´ cont´ınua.
d) A func¸a˜o f/g, sendo g 6= 0, e´ cont´ınua.
e) Seja f : A ⊂ Rn → Rm uma func¸a˜o cont´ınua em a ∈ A e g : B ⊂ Rm → Rp uma func¸a˜o
tal que f(A) ⊂ B, cont´ınua em f(a). Enta˜o, a func¸a˜o composta g ◦ f : A ⊂ Rn → Rp e´
cont´ınua em a.
7
Exemplo 5.1 A func¸a˜o definida por f(x, y) = x e´ cont´ınua em R2. De facto,
| f(x, y)− f(a, b) |=| x− a | ≤
√
(x− a)2 + (y − b)2 =‖ (x− a, y − b) ‖
e, portanto, dado ǫ > 0, com δ = ǫ temos
‖ (x− a, y − b) ‖< δ ⇒| f(x, y)− f(a, b) |< ǫ,
ou seja,
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b) = a.
Do mesmo modo se veˆ que a func¸a˜o f(x, y) = y e´ cont´ınua em R2.
Em geral, a func¸a˜o f(x) = kk, k = 1, 2, . . . , n e´ cont´ınua em R
n.
Exemplo 5.2 Seja f(x, y) =
xy
x2 + y2
.
i) Pelas propriedades das func¸o˜es cont´ınuas f e´ cont´ınua no seu domı´nioD = R2\{(0, 0)}.
ii) A fronteira de D e´ o conjunto {(0, 0)}. Vamos ver que f na˜o pode ser prolongada por
continuidade a` origem. De facto,
f(x, x) =
x2
2x2
=
1
2
f(x,−x) = −
x2
2x2
= −
1
2
e, portanto, para y = x temos
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
f(x, x) =
1
2
e para y = −x,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
f(x,−x) = −
1
2
,
ou seja, a func¸a˜o f na˜o pode ser prolongada por continuidade a` origem.
Exemplo 5.3 Seja g(x, y) =
x2y
x2 + y2
.
i) Pelas propriedades das func¸o˜es cont´ınuas g e´ cont´ınua no seu domı´nioD = R2\{(0, 0)}.
8
ii) A fronteira de D e´ o conjunto {(0, 0)}. Vamos ver que g pode ser prolongada por
continuidade a` origem. De facto, para y = mx, temos
lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = lim
x→0
g(x,mx) = lim
x→0
m
1 +m2
x = 0, ∀m ∈ R.
Portanto, lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = 0 desde que este limite seja calculado segundo qualquer
linha recta que passa pela origem. Vamos ver, recorrendo a` definic¸a˜o, que de facto
temos lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = 0.
Usando a desigualdade (1), temos
| g(x, y) |=|
x2y
x2 + y2
| ≤
(x2 + y2)
√
x2 + y2
x2 + y2
≤
√
x2 + y2 =‖ (x, y) ‖,
Portanto,
| g(x, y) | ≤ ‖ (x, y) ‖,
ou seja,
lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = 0.
Exemplo 5.4 Seja h(x, y) =
sen(x2 + y2)
x2 + y2
.
i) Pelas propriedades das func¸o˜es cont´ınuas h e´ cont´ınua no seu domı´nioD = R2\{(0, 0)}.
Note-se que h e´ a composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınuas
R
2 → R → R
(x, y) 7→ x2 + y2 7→
sen(x2 + y2)
x2 + y2
ii) Dado que lim
r→0
sen r
r
= 1, teremos lim
(x,y)→(0,0)
h(x, y) = 1.
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Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Prof. Gabriel Pires
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Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 2)
1 Func¸o˜es Cont´ınuas. Classificac¸a˜o de Conjuntos
Seja f : Rn → R um campo escalar cont´ınuo, α ∈ R e consideremos o conjunto
Aα = {x ∈ R
n : f(x) ≥ α}.
Seja (xk) uma sucessa˜o de termos em Aα e convergente para um ponto a. Dado que f e´
uma func¸a˜o cont´ınua, teremos
lim
k→∞
f(xk) = f(a)
e, sendo f(xk) ≥ α, necessariamente f(a) ≥ α, ou seja a ∈ Aα.
Portanto, o conjunto Aα e´ fechado.
Do mesmo modo se mostra que os conjuntos da forma
{x ∈ Rn : f(x) ≤ α}
sa˜o tambe´m fechados.
Aos conjuntos da forma {x ∈ Rn : f(x) = α} da´-se o nome de conjuntos de n´ıvel α da
func¸a˜o escalar f.
Assim, os conjuntos de n´ıvel de uma func¸a˜o escalar cont´ınua sa˜o fechados.
Sabendo que o complementar de um aberto e´ um fechado, conclu´ımos que os conjuntos da
forma
{x ∈ Rn : f(x) > α}
ou da forma
{x ∈ Rn : f(x) < α}
sa˜o abertos.
1.1 Exemplos de Conjuntos Fechados
a) Um C´ırculo em R2.
i) C´ırculo de raio um e centro na origem de R2. (ver fig. 1).
ii) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.
x
y
0
x2 + y2 ≤ 1
Figura 1: Cı´rculo definido por {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}
b) Uma Esfera em R3.
i) Superf´ıcie esfe´rica de raio um e centro na origem de R3. (ver fig. 2).
ii) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 = 0}, ou seja, conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o
cont´ınua F : R3 → R definida por F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1. Trata-se, portanto,
de um conjunto fechado.
iii) “Pilha” de circunfereˆncias de raio
√
1− z2 e centro em (0, 0, z) em que 0 ≤ z ≤ 1. De
facto temos x2 + y2 = 1− z2.
iv) Pode ser vista como o resultado de uma rotac¸a˜o, em torno do eixo Oz, de uma semi-
circunfereˆncia tal como se ilustra na figura (2).
De facto, definindo ρ =
√
x2 + y2, temos ρ2 + z2 = 1.
Note-se que ρ representa a distaˆncia de um ponto de coordenadas (x, y, z) ao eixo Oz,
ou seja, ao ponto de coordenadas (0, 0, z). Portanto, fazendo rodar a semi-circunfereˆncia
em torno do eixo Oz obtemos a esfera.
c) Um Cilindro em R3.
i) Superf´ıcie cil´ındrica de raio um em R3. (ver fig. 3).
ii) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − 1 = 0}, ou seja, conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o cont´ınua
F : R3 → R definida por F (x, y, z) = x2 + y2− 1. Trata-se, portanto, de um conjunto
fechado.
iii) “Pilha” de circunfereˆncias de raio um e centro em (0, 0, z) em que −1 < z < 1.
iv) Pode ser visto como o resultado de uma rotac¸a˜o, em torno do eixo Oz, de um segmento
de recta vertical tal como se ilustra na figura (3).
De facto, definindo ρ =
√
x2 + y2, temos ρ = 1.
2
x
y
z
0
z
ρ
ρ2 + z2 = 1
Figura 2: Esfera definida por {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}
d) Um Parabolo´ide em R3.
i) {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}, ou seja, conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o cont´ınua
F : R3 → R definida por F (x, y, z) = z− x2− y2. Trata-se, portanto, de um conjunto
fechado.
ii) “Pilha” de circunfereˆncias de raio
√
z e centro em (0, 0, z).
iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotac¸a˜o, em torno do eixo Oz, de uma para´bola
tal como se ilustra na figura (4).
De facto, definindo ρ =
√
x2 + y2, temos z = ρ2.
e) Um Cone em R3.
i) {(x, y, z) ∈ R3 : z =
√
x2 + y2}, ou seja, conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o cont´ınua
F : R3 → R definida por F (x, y, z) = z2− x2− y2, em que z ≥ 0. Trata-se, portanto,
de um conjunto fechado.
ii) “Pilha” de circunfereˆncias de raio z e centro em (0, 0, z).
iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotac¸a˜o, em torno do eixo Oz, de uma recta
tal como se ilustra na figura (5).
De facto, definindo ρ =
√
x2 + y2, temos z = ρ.
f) Um Toro em R3.
3
x
y
z
0
z
ρ
ρ = 1
Figura 3: Cilindro definido por {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 ; −1 < z < 1}
i) {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2− 3)2 + z2 = 1}, ou seja, conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o
cont´ınua F : R3 → R definida por F (x, y, z) = (
√
x2 + y2 − 3)2 + z2 − 1. Trata-se,
portanto, de um conjunto fechado.
ii) Pode ser visto como o resultado de uma rotac¸a˜o, em torno do eixo Oz, de uma circun-
fereˆncia tal como se ilustra na figura (6).
De facto, definindo ρ =
√
x2 + y2, temos (ρ− 3)2 + z2 = 1.
1.2 Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass
Um conjunto A ⊂ Rn diz-se limitado se existir uma bola centrada na origem que o contenha,
ou seja,
∃R > 0 : A ⊂ BR(0) ⇔ ∃R > 0 ∀x ∈ A : ‖ x ‖< R
Um conjunto A ⊂ Rn diz-se compacto se for limitado e fechado.
Exemplo 1.1 i) E´ claro que uma bola em Rn e´ um conjunto limitado.
ii) A superf´ıcie cil´ındrica (3) e´ um conjunto limitado porque, sendo
x2 + y2 = 1 ; −1 < z < 1,
teremos
x2 + y2 + z2 ≤ 2,
ou seja, esta´ contida na bola de raio
√
2 e centro na origem.
4
x y
z
0 x
y
z = ρ2
Figura 4: Parabolo´ide definido por {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}
iii) O toro (6) e´ um conjunto limitado. De facto, sendo
(
√
x2 + y2 − 3)2 + z2 = 1,
e´ claro que
2 ≤
√
x2 + y2 ≤ 4 ; z2 ≤ 1,
e, portanto,
x2 + y2 + z2 < 17.
iv) O parabolo´ide(4) e o cone (5) na˜o sa˜o conjuntos limitados.
E´ sabido que em R uma sucessa˜o limitada tem pelo menos uma subsucessa˜o convergente.
Em Rn acontece o mesmo.
Para vermos que assim e´, consideremos apenas o caso de R2. Seja (xk, yk) uma sucessa˜o
limitada, ou seja,
∃R > 0 ∀k ‖ (xk, yk) ‖≤ R
e, sabendo que
| xk | ≤‖ (xk, yk) ‖,
a sucessa˜o (xk) e´ limitada em R e, portanto, tem uma subsucessa˜o convergente. Seja (xk′)
essa subsucessa˜o.
A sucessa˜o (xk′, yk′) e´ uma subsucessa˜o de (xk, yk) e note-se que (yk′) e´ tambe´m limitada
em R e tem, portanto, pelo menos uma subsucessa˜o (yk′′) convergente.
Assim, a sucessa˜o (xk′′ , yk′′) e´ uma subsucessa˜o convergente da sucessa˜o (xk, yk).
5
x
y
z
0
z
ρ
z = ρ
Figura 5: Cone definido por {(x, y, z) ∈ R3 : z =
√
x2 + y2}
Recorde-se que uma sucessa˜o convergente, com termos num conjunto fechado, tem limite
nesse conjunto.
Portanto, um conjunto A ⊂ R e´ compacto se qualquer sucessa˜o com termos em A tem
pelo menos uma subsucessa˜o convergente com limite em A.
Seja f : Rn → Rm uma func¸a˜o cont´ınua e D ⊂ Rn um conjunto compacto e consideremos
o respectivo conjunto imagem f(D).
Seja (yk) uma sucessa˜o em f(D) e consideremos a sucessa˜o (xk) de termos em D tal que
yk = f(xk).
Sendo D um conjunto compacto, a sucessa˜o (xk) tem uma subsucessa˜o (xk′) convergente
x
y
z
0
z
ρ
(ρ− 3)2 + z2 = 1
Figura 6: Toro definido por {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2 − 3)2 + z2 = 1}
6
com limite a ∈ D e, dado que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, teremos
lim
xk′→a
f(xk′) = f(a)
e, portanto,
lim
k′→∞
yk′ = f(a) ∈ f(D),
ou seja, a sucessa˜o (yk) tem uma subsucessa˜o (yk′) convergente com limite em f(D).
No caso escalar, f(D) sera´ um conjunto compacto em R e, portanto, tera´ ma´ximo e m´ınimo.
Teorema 1.1 (Weierstrass) Seja D ⊂ Rn um conjunto compacto e na˜o vazio. Enta˜o
qualquer func¸a˜o escalar cont´ınua em D tem ma´ximo e mı´nimo nesse conjunto.
7
2 Func¸o˜es Diferencia´veis
Definic¸a˜o 2.1 Uma func¸a˜o f : D ⊂ Rn → Rm diz-se diferencia´vel num ponto a ∈ int(D)
se existir uma aplicac¸a˜o linear Df(a) : Rn → Rm, denominada derivada de f em a, tal que
f(a+ h)− f(a)−Df(a)h = o(h),
ou seja,
lim
h→0
o(h)
‖ h ‖
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)−Df(a)h
‖ h ‖
= 0
Seja {e1, e2, · · · , en} a base cano´nica de R
n. Fazendo h = tek com t ∈ R, teremos
f(a+ tek)− f(a) = Df(a)(tek) + o(tek)
e, sabendo que Df(a) e´ uma aplicac¸a˜o linear, enta˜o
f(a+ tek)− f(a) = tDf(a)ek + o(tek),
ou seja,
f(a+ tek)− f(a)
t
= Df(a)ek +
o(tek)
t
.
Portanto,
lim
t→0
f(a+ tek)− f(a)
t
= Df(a)ek.
Note-se que
a = (a1, a2, . . . , ak, . . . , , an) ; a+ tek = (a1, a2, . . . , ak + t, . . . , , an)
e a raza˜o incremental
f(a+ tek)− f(a)
t
=
f(a1, a2, . . . , ak + t, . . . , , an)− f(a1, a2, . . . , ak, . . . , , an)
t
obtem-se, fixando todas as coordenadas excepto a k-e´sima.
Sendo f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), temos
lim
t→0
f(a+ tek)− f(a)
t
=
(
lim
t→0
f1(a+ tek)− f1(a)
t
, . . . , lim
t→0
fm(a+ tek)− fm(a)
t
)
.
Note-se tambe´m que o conjunto de pontos definido por {a+tek : t ∈ R} e´ a recta que passa
pelo ponto a e com a direcc¸a˜o do vector ek. Assim, a raza˜o incremental
fj(a+ tek)− fj(a)
t
e´
a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o escalar fj na direcc¸a˜o ek.
8
Definic¸a˜o 2.2 Ao limite
∂fj
∂xk
(a) = lim
t→0
fj(a+ tek)− fj(a)
t
chamamos derivada partial de fj , com j = 1, 2, . . . , m, no ponto a em ordem a` varia´vel
xk, com k = 1, 2, . . . , n.
Note-se que para calcular a derivada partial
∂fj
∂xk
(a) devemos fixar todas as varia´veis excepto
xk. Portanto, trata-se de calcular a derivada de uma func¸a˜o de uma varia´vel real xk.
Por outro lado, Df(a)ek e´ a k-e´sima coluna da matriz que representa a derivada Df(a).
Portanto, a matriz que representa a derivada Df(a) sera´
Df(a) =


∂f1
∂x1
(a) ∂f1
∂x2
(a) · · · ∂f1
∂xn
(a)
∂f2
∂x1
(a) ∂f2
∂x2
(a) · · · ∂f2
∂xn
(a)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
∂fm
∂x1
(a) ∂fm
∂x2
(a) · · · ∂fm
∂xn
(a)


A` matriz Df(a) tambe´m se da´ o nome de matriz Jacobiana de f.
No caso em que m = 1, ou seja, f : D ⊂ Rn → R, enta˜o Df(a) tera´ apenas uma linha
Df(a) =
[
∂f
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a)
]
e podemos representa´-la na forma vectorial
Df(a) =
(
∂f
∂x1
(a),
∂f
∂x2
(a), · · · ,
∂f
∂xn
(a)
)
,
a que chamaremos gradiente de f em a.
Passaremos a designar este vector pelo s´ımbolo ∇f(a), ou seja,
∇f(a) =
(
∂f
∂x1
(a),
∂f
∂x2
(a), · · · ,
∂f
∂xn
(a)
)
.
Exemplo 2.1 i) A func¸a˜o f(x, y) = x, definida em R2 e´ diferencia´vel em qualquer ponto
de R2.
Seja (a, b) um ponto qualquer de R2. Fixando y = b e derivando f como func¸a˜o apenas
de x obtemos
∂f
∂x
(a, b) = 1.
9
Fixando x = a e derivando f como func¸a˜o apenas de y obtemos
∂f
∂y
(a, b) = 0.
Portanto,
Df(a, b) =
[
∂f
∂x
(a, b) ∂f
∂y
(a, b)
]
=
[
1 0
]
e
Df(a, b)(h, k) =
[
1 0
] [h
k
]
= h.
Assim,
lim
(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−Df(a, b)(h, k)
‖ (h, k) ‖
= lim
(h,k)→(0,0)
a + h− a− h
‖ (h, k) ‖
= 0
e, portanto f e´ diferencia´vel em (a, b), de acordo com a definic¸a˜o (2.1).
ii) O gradiente da func¸a˜o f(x, y) =
x
y
no ponto (x, y) do respectivo domı´nio e´ o vector
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y)
)
=
(
1
y
,−
x
y2
)
10
Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Prof. Gabriel Pires
CDI-II
Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 3)
1 Derivadas Parciais. Exemplos
Seja f : D ⊂ Rn → Rm uma func¸a˜o diferencia´vel num ponto a ∈ int(D) e consideremos a
matriz que representa a derivada Df(a) dada por
Df(a) =


∂f1
∂x1
(a) ∂f1
∂x2
(a) · · · ∂f1
∂xn
(a)
∂f2
∂x1
(a) ∂f2
∂x2
(a) · · · ∂f2
∂xn
(a)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
∂fm
∂x1
(a) ∂fm
∂x2
(a) · · · ∂fm
∂xn
(a)


Note-se que na j-e´sima linha de Df(a) se encontra o gradiente da func¸a˜o coordenada fj ,
ou seja, para construir a matriz Df(a) basta considerar cada uma das func¸o˜es coordenadas de
f. Assim, iremos apenas tratar func¸o˜es escalares, ou seja, m = 1.
Recordemos que a derivada parcial
∂f
∂xk
(a) e´ calculada fixando todas as varia´veis excepto
xk, o que significa calcular a derivada de uma func¸a˜o real de varia´vel real.
Na figura (1) encontra-se uma representac¸a˜o gra´fica deste procedimento em R2.
Exemplo 1.1 Consideremos a func¸a˜o
f(x, y) =


xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Para (x, y) 6= (0, 0), fixando y e derivando em ordem a x teremos
∂f
∂x
(x, y) =
y3 − x2y
(x2 + y2)2
.
Fixando x e derivando em ordem a y
∂f
∂y
(x, y) =
x3 − xy2
(x2 + y2)2
.
x
y
z
x fixo
y fixo
z = f(x, y)
Figura 1: Procedimento para ca´lculo de derivadas parciais
Na origem deveremos usar a definic¸a˜o de derivada parcial. Assim, teremos
∂f
∂x
(0, 0) = lim
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= 0
porque f(t, 0) = f(0, 0) = 0.
Do mesmo modo
∂f
∂y
(0, 0) = lim
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= 0
porque f(0, t) = f(0, 0) = 0.
Portanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos de R2.
No entanto esta func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem. De facto, se tal sucedesse,
ter´ıamos
lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)− f(0, 0)−∇f(0, 0)(h, k)
‖ (h, k) ‖
= 0.
Mas, sendo f(0, 0) = 0 e ∇f(0, 0) = (0, 0), o limite
lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)
√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
hk
(h2 + k2)
√
h2 + k2
na˜o existe, comofacilmente se verifica fazendo k = h.
Note-se que f na˜o e´ cont´ınua na origem e, portanto, na˜o poder´ıamos esperar que fosse
diferencia´vel nesse ponto.
Na figura (2) encontra-se o gra´fico desta func¸a˜o.
2
x
y
z
Figura 2: Gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = xy
x2+y2
Exemplo 1.2 Consideremos a func¸a˜o
f(x, y) =


xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Na figura (3) encontra-se o gra´fico desta func¸a˜o.
x
y
z
Figura 3: Gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = xy√
x2+y2
Tendo em conta que
|
xy√
x2 + y2
| ≤
x2 + y2√
x2 + y2
=
√
x2 + y2 =‖ (x, y) ‖
e´ claro que esta func¸a˜o e´ cont´ınua na origem.
Para (x, y) 6= (0, 0), fixando y e derivando em ordem a x teremos
∂f
∂x
(x, y) =
y3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
.
Fixando x e derivando em ordem a y
∂f
∂y
(x, y) =
x3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
.
3
Na origem deveremos usar a definic¸a˜o de derivada parcial. Assim, teremos
∂f
∂x
(0, 0) = lim
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= 0
porque f(t, 0) = f(0, 0) = 0.
Do mesmo modo
∂f
∂y
(0, 0) = lim
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= 0
porque f(0, t) = f(0, 0) = 0.
Portanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos de R2.
No entanto esta func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem. De facto, se tal sucedesse,
ter´ıamos
lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)− f(0, 0)−∇f(0, 0)(h, k)
‖ (h, k) ‖
= 0.
Mas, sendo f(0, 0) = 0 e ∇f(0, 0) = (0, 0), teremos
lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)
√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
hk
h2 + k2
6= 0,
como facilmente se verifica fazendo k = h.
Portanto, esta func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Note-se que as derivadas parciais de f na˜o sa˜o cont´ınuas na origem. Basta fazer y = mx
para verificar que os limites lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) e lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y
(x, y) na˜o existem.
2 Derivada Direccional. Gradiente
Seja D ⊂ Rn um conjunto aberto, f : D → R uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em D e
consideremos um vector v ∈ Rn tal que ‖ v ‖= 1.
Seja a ∈ D e, sendo f diferencia´vel teremos
f(a+ h)− f(a) = ∇f(a)h+ o(h).
Fazendo h = tv em que t ∈ R, teremos
f(a+ tv)− f(a) = t∇f(a)v + o(tv),
ou seja,
f(a+ tv)− f(a)
t
= ∇f(a)v +
o(tv)
t
,
e, portanto
lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
= ∇f(a)v. (1)
4
x
y
z
z = f(x, y)
v
Figura 4: Procedimento para calcular a derivada direccional segundo v
Note-se que o vector v determina a recta ou direcc¸a˜o de pontos da forma a + tv, t ∈ R.
Assim, o limite anterior e´ calculado tomando apenas pontos sobre a direcc¸a˜o determinada por
v. Trata-se, portanto da taxa de variac¸a˜o de f na direcc¸a˜o de v como se ilustra na figura (4).
Definic¸a˜o 2.1 Ao limite
Dvf(a) = lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
chamamos derivada direccional de f em a segundo o vector v.
Da equac¸a˜o (1), conclu´ımos que
Dvf(a) = ∇f(a)v. (2)
Portanto, para saber do comportamento de f na direcc¸a˜o determinada por v basta conhecer
o respectivo gradiente.
Note-se que
Dvf(a) = ∇f(a)v =
[
∂f
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a)
]


v1
v2
.
.
.
vn


=
∂f
∂x1
(a)v1 +
∂f
∂x2
(a)v2 + · · ·+
∂f
∂xn
(a)vn.
5
Portanto, na forma vectorial, a derivada direccional Dvf(a) e´ o produto interno dos vectores
∇f(a) e v.
Assim, sendo ‖ v ‖= 1, temos
Dvf(a) = ∇f(a) • v =‖ ∇f(a) ‖‖ v ‖ cosα =‖ ∇f(a) ‖ cosα
em que α e´ o aˆngulo determinado pelos vectores ∇f(a) e v.
Podemos enta˜o concluir que a derivada direccional Dvf(a) sera´ a maior poss´ıvel no caso
em que cosα = 0, ou seja, quando os vectores ∇f(a) e v sa˜o paralelos.
Portanto, o vector gradiente ∇f(a) determina a direcc¸a˜o segundo a qual a derivada direc-
cional de f em a e´ a maior poss´ıvel.
Exemplo 2.1 Consideremos a func¸a˜o f(x, y) = x2 + xy e o ponto (1, 1).
Enta˜o,
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
(x, y) ,
∂f
∂y
(x, y)
)
= (2x+ y , x)
e no ponto (1, 1) teremos
∇f(1, 1) = (3, 1).
Consideremos o vector v = (1, 2). Dado que ‖ (1, 2) ‖=
√
5, para calcular a derivada
direccional de f em (1, 1) na direccc¸a˜o determinada por v deveremos usar, de acordo com
a definic¸a˜o, o vector
v
‖ v ‖
. Assim, teremos
Dvf(1, 1) = ∇f(1, 1)
v
‖ v ‖
= (3, 1) • (
1
√
5
,
2
√
5
) =
5
√
5
=
√
5.
Podemos tambe´m determinar a direcc¸a˜o segundo a qual a derivada de f em (1, 1) e´
nula. Essa direcc¸a˜o sera´ determinada por um vector unita´rio v tal que
Dfv(1, 1) = ∇f(1, 1) • (v1, v2) = 0,
ou seja,
(3, 1) • (v1, v2) = 0 ⇔ v2 = −3v1.
Fazendo v1 = 1 temos v = (
1
√
10
, −
3
√
10
).
6
3 Identificac¸a˜o de Func¸o˜es Diferencia´veis. Propriedades
O uso da definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel pode tornar-se penoso. Esta tarefa pode ser facilitada
recorrendo a`s propriedades das func¸o˜es diferencia´veis. Neste contexto, a propriedade mais
importante e´ a que se refere a` derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es.
Consideremos a seguinte composic¸a˜o de func¸o˜es diferencia´veis
R
n g−→ Rp
f
−→ Rm
x 7→ g(x) 7→ f(g(x))
a 7→ b = g(a) 7→ f(g(a)) = f(b)
e sejam U ∈ Rn e V ∈ Rp conjuntos abertos tais que f(U) ⊂ V.
Sejam a ∈ U e b = g(a) ∈ V. Sendo g diferencia´vel em a teremos
g(a+ h)− g(a) = Dg(a)h+ og(h).
Seja k ∈ Rp tal que g(a+ h) = b+ k. Sendo f diferencia´vel em b = g(a) teremos
f(b+ k)− f(b) = Df(b)k + of(k)
e, portanto,
f(g(a+ h))− f(g(a)) = Df(g(a))k + of(k)
= Df(g(a))(g(a+ h)− g(a)) + of (k)
= Df(g(a))(Dg(a)h+ og(h)) + of(k)
= Df(g(a))Dg(a)h+Df(g(a))og(h) + of(k).
Assim, a func¸a˜o f ◦ g sera´ diferencia´vel em a e a respectiva derivada sera´
D(f ◦ g)(a) = Df(g(a))Dg(a)
desde que se verifique
lim
h→0
Df(g(a))og(h) + of(k)
‖ h ‖
= 0.
Os detalhes desta verificac¸a˜o podem ser vistos na bibliografia da disciplina.
Teorema 3.1 (Func¸a˜o Composta) Se g e´ diferencia´vel no ponto a e f e´ diferencia´vel
no ponto g(a), enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel no ponto a e
D(f ◦ g)(a) = Df(g(a))Dg(a).
7
Note-se que a matriz que representa a derivada Dg(a) tem p linhas e n colunas e a que
representa a derivada Df(g(a)) tem m linhas e p colunas. Assim, a matriz que representa
a derivada da func¸a˜o composta D(f ◦ g)(a) tem m linhas e n colunas por ser o produto
Df(g(a))Dg(a).
Sejam f : D ⊂ Rn → R e g : D ⊂ Rn → R duas func¸o˜es diferencia´veis em a ∈ int(D) e
consideremos a seguinte composic¸a˜o
R
n h−→ R2
s
−→ R
x 7→ (f(x), g(x)) 7→ f(x) + g(x)
(3)
em que h(x) = (f(x), g(x)) e s(u, v) = u+ v.
Pelo teorema da func¸a˜o composta temos
D(s ◦ h)(a) = D(s(h(a))Dh(a)
em que
Ds(h(a)) = Ds(f(a), g(a)) =
[
∂s
∂u
(f(a), g(a)) ∂s
∂v
(f(a), g(a))
]
=
[
1 1
]
e
Dh(a) =


∂f
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a)
∂g
∂x1
(a) ∂g
∂x2
(a) · · · ∂g
∂xn
(a)


e, portanto,
D(s ◦ h)(a) = D(s(h(a))Dh(a) =
=
[
∂s
∂u
(f(a), g(a)) ∂s
∂v
(f(a), g(a))
]


∂f
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a)
∂g
∂x1
(a) ∂g
∂x2
(a) · · · ∂g
∂xn
(a)


=
[
1 1
]


∂f
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a)
∂g
∂x1
(a) ∂g
∂x2
(a) · · · ∂g
∂xn
(a)


=
[
∂f
∂x1
(a) + ∂g
∂x1
(a) ∂f
∂x2
(a) + ∂g
∂x2
(a) · · · ∂f
∂xn
(a) + ∂g
∂xn
(a)
]
= Df(a) +Dg(a)
Se notarmos que s(h(x)) = f(x) + g(x), conclu´ımos a soma de func¸o˜es diferencia´veis e´
uma func¸a˜o diferencia´vel e a respectiva derivada e´ dada por
D(f + g)(a) = Df(a) +Dg(a),
ou seja, a derivada da soma e´ a soma das derivadas.
8
Se na composic¸a˜o (3) fizermos s(u, v) = uv facilmente conclu´ımos que o produto de func¸o˜es
cont´ınuas e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e a respectiva derivada e´ dada por
D(fg)(a) = f(a)Dg(a) + g(a)Df(a).
Do mesmo modo, se em (3) fizermos s(u, v) =
uv
, com v 6= 0, o quociente de func¸o˜es
diferencia´veis e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e teremos
D
(
f
g
)
(a) =
g(a)Df(a)− f(a)Dg(a)
g(a)2
,
desde que g(a) 6= 0.
Exemplo 3.1 A func¸a˜o (ver a figura (3))
f(x, y) =


xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
na˜o e´ diferencia´vel na origem mas e´ diferencia´vel em R2 \ {(0, 0)}.
De facto, f e´ o quociente f(x, y) =
h(x, y)
g(x, y)
em que h(x, y) = xy e g(x, y) =
√
x2 + y2.
A func¸a˜o h e´ diferencia´vel por ser o produto de func¸o˜es diferencia´veis.
A func¸a˜o g e´ a composic¸a˜o r ◦ s,
R
2 s−→ R
r
−→ R
(x, y) 7→ x2 + y2 7→
√
x2 + y2
em que s(x, y) = x2 + y2 e r(u) =
√
u sa˜o func¸o˜es diferencia´veis.
Da definic¸a˜o fica claro que uma func¸a˜o diferencia´vel e´ necessariamente cont´ınua.
E´ tambe´m claro que se f for uma func¸a˜o diferencia´vel e α ∈ R enta˜o αf, e´ diferencia´vel.
Exemplo 3.2 A func¸a˜o (ver a figura (2))
f(x, y) =


xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
na˜o e´ cont´ınua na origem e, portanto, na˜o sera´ diferencia´vel nesse ponto. Em R2 \ {(0, 0)}
e´ diferencia´vel por ser o quociente de func¸o˜es diferencia´veis.
9
Exemplo 3.3 Seja f : R2 → R uma func¸a˜o definida por
f(x, y) = sen(u(x, y)v(x, y))
em que u e v sa˜o func¸o˜es escalares, diferencia´veis em R2, tais que u(1, 0) = 2 e v(1, 0) = π.
E´ uma func¸a˜o diferencia´vel por ser a composic¸a˜o f = g ◦ h de func¸o˜es diferencia´veis
R
2 h−→ R2
g
−→ R
(x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y) 7→ sen(u(x, y)v(x, y))
em que
h(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
e
g(u, v) = sen(uv).
Assim, dado que h(1, 0) = (2, π), teremos
∇f(1, 0) = Dg(h(1, 0))Dh(1, 0) = Dg(2, π)Dh(1, 0) =
=
[
∂g
∂u
(2, π) ∂g
∂v
(2, π)
] 
∂u
∂x
(1, 0) ∂u
∂y
(1, 0)
∂v
∂x
(1, 0) ∂v
∂y
(1, 0)

 =
=
[
∂g
∂u
(2, π) ∂g
∂v
(2, π)
] 
∂u
∂x
(1, 0) ∂u
∂y
(1, 0)
∂v
∂x
(1, 0) ∂v
∂y
(1, 0)


=
[
∂g
∂u
(2, π)∂u
∂x
(1, 0) + ∂g
∂v
(2, π)∂v
∂x
(1, 0) ∂g
∂u
(2, π)∂u
∂y
(1, 0) + ∂g
∂v
(2, π)∂v
∂y
(1, 0)
]
=
[
∂g
∂u
(2, π)∂u
∂x
(1, 0) + ∂g
∂v
(2, π)∂v
∂x
(1, 0) ∂g
∂u
(2, π)∂u
∂y
(1, 0) + ∂g
∂v
(2, π)∂v
∂y
(1, 0)
]
Sabendo que
∂g
∂u
(u, v) = v cos(uv)
∂g
∂v
(u, v) = u cos(uv),
e, portanto,
∂g
∂u
(2, π) = π
∂g
∂v
(2, π) = 2,
10
teremos
∇f(1, 0) =
[
π ∂u
∂x
(1, 0) + 2∂v
∂x
(1, 0) π ∂u
∂y
(1, 0) + 2∂v
∂y
(1, 0)
]
.
Na forma vectorial sera´
∇f(1, 0) =
(
π
∂u
∂x
(1, 0) + 2
∂v
∂x
(1, 0) , π
∂u
∂y
(1, 0) + 2
∂v
∂y
(1, 0)
)
.
Note-se que, num ponto qualquer (x, y), teremos
∂f
∂x
(x, y) =
∂g
∂u
(u(x, y), v(x, y))
∂u
∂x
(x, y) +
∂g
∂v
(u(x, y), v(x, y))
∂v
∂x
(x, y)
∂f
∂x
(x, y) =
∂g
∂u
(u(x, y), v(x, y))
∂u
∂x
(x, y) +
∂g
∂v
(u(x, y), v(x, y))
∂v
∂x
(x, y)
ou duma forma mais concisa,
∂f
∂x
=
∂g
∂u
∂u
∂x
+
∂g
∂v
∂v
∂x
∂f
∂y
=
∂g
∂u
∂u
∂y
+
∂g
∂v
∂v
∂y
A func¸a˜o estudada no exemplo (1.2) e´ cont´ınua na origem mas as respectivas derivadas
parciais na˜o sa˜o e a func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel nesse ponto.
Sera´ que se as derivadas parciais fossem cont´ınuas na origem a func¸a˜o seria diferencia´vel
nesse ponto?
Para vermos que a resposta a esta questa˜o e´ sim vamos considerar apenas o caso em que
temos uma func¸a˜o escalar f : R2 → R com derivadas parciais cont´ınuas numa bola centrada
num ponto (a, b) ∈ R2.
Tendo em conta a definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel deveremos ter
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−∇f(a, b)(h, k) = o((h, k)),
ou seja,
lim
(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− ∂f
∂x
(a, b)h− ∂f
∂y
(a, b)k
√
h2 + k2
= 0.
A variac¸a˜o f(a+ h, b+ k)− f(a, b) pode ser calculada (ver figura (5)) do seguinte modo
f(a+ h, b+ k)− f(a, b) = [f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b)] + [f(a+ h, b)− f(a, b)] .
Note-se que a variac¸a˜o f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b) e´ calculada ao longo do segmento de
recta vertical em que x = a + h e a variac¸a˜o f(a + h, b) − f(a, b) e´ calculada ao longo do
segmento de recta horizontal em que y = b. Portanto, em ambos os casos, uma das varia´veis
esta´ fixa, ou seja, a func¸a˜o f dependera´ apenas de uma das varia´veis.
11
Usando o teorema do valor me´dio para func¸o˜es reais de varia´vel real, existira´ d ∈]b, b + k[
tal que
f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b) =
∂f
∂y
(a + h, d)k
e, do mesmo modo, existira´ c ∈]a, a + h[ tal que
f(a+ h, b)− f(a, b) =
∂f
∂x
(c, b)h.
Assim,
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−
∂f
∂x
(a, b)h−
∂f
∂y
(a, b)k =
=
[
∂f
∂x
(c, b)−
∂f
∂x
(a, b)
]
h+
[
∂f
∂y
(a+ h, d)−
∂f
∂y
(a, b)
]
k
Dado que as derivadas parciais sa˜o cont´ınuas e que
|
h
√
h2 + k2
| ≤ 1 ; |
k
√
h2 + k2
| ≤ 1,
teremos
lim
(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− ∂f
∂x
(a, b)h− ∂f
∂y
(a, b)k
√
h2 + k2
= 0.
0 x
y
b
b+ k
a+ hc
d
a
Figura 5:
Definic¸a˜o 3.1 (Func¸o˜es de classe C1) Diz-se que uma func¸a˜o f : D ⊂ Rn → R, em
que D e´ aberto, e´ de classe C1 se em cada ponto x ∈ D as derivadas parciais
∂f
∂xk
(x) , k =
1, 2, . . . , n existirem e forem cont´ınuas.
12
Teorema 3.2 (Condic¸a˜o Suficiente de Diferenciabilidade) Seja D ⊂ Rn um con-
junto aberto e f : D → R, uma func¸a˜o de classe C1. Enta˜o f e´ diferencia´vel.
Exemplo 3.4 Consideremos a func¸a˜o (ver (3))
f(x, y) =


xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Ja´ sabemos que f e´ cont´ınua em R2, diferencia´vel em R2\{(0, 0)}mas na˜o e´ diferencia´vel
na origem.
Note-se que
∂f
∂x
(0, 0) = 0 ;
∂f
∂y
(0, 0) = 0
E´ fa´cil verificar que as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) =
y3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
∂f
∂y
(x, y) =
x3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
na˜o sa˜o cont´ınuas na origem.
4 Linha. Tangente
Exemplo 4.1 Consideremos a func¸a˜o γ : R → R2 dada por
γ(t) = (cos t, sen t).
Sendo cos2 t + sen2 t = 1 e fazendo (cos t, sen t) = (x(t), y(t)), fica claro que a imagem
da func¸a˜o γ e´ a circunfereˆncia de raio um e centro na origem de R2 que se encontra
representada na figura (6).
Exemplo 4.2 Consideremos a func¸a˜o γ : R → R3 dada por
γ(t) = (cos t, sen t, t).
Sendo cos2 t + sen2 t = 1 e fazendo (cos t, sen t, t) = (x(t), y(t), z(t)), fica claro que a
imagem da func¸a˜o γ e´ uma linha assente sobre a superf´ıcie cil´ındrica vertical de raio um e
que se encontra representada na figura (7).
13
0 x
y
γ(t) = (cos t, sen t) = (x(t), y(t))
γ′(3π/2) = (1, 0)
Figura 6: Uma circunfereˆncia em R2
x y
z
γ′(π/2) = (−1, 0, 1)
γ(t) = (cos t, sen t, t) = (x(t), y(t), z(t))
Figura 7: Uma he´lice cil´ındrica em R3
Dos exemplos anteriores fica claro que func¸o˜es de uma varia´vel real γ : R → Rn descrevem
linhas em Rn.
No caso em que γ e´ uma func¸a˜o de classe C1 a respectiva derivada sera´ dada por
γ′(t) = lim
h→0
γ(t+ h)− γ(t)
h
.
Note-se (ver figura (8)) que, pictoricamente, os vectores secantes
γ(t+ h)− γ(t)
h
trans-
formam-se, a` medida que h→ 0, num vector γ′(t) que e´ tangente a` linha no ponto γ(t). Esta
ideia leva-nos a` definic¸a˜o de vector tangente a uma linha num dado ponto.
Definic¸a˜o 4.1 (Vector Tangente) Seja γ : R → Rn uma func¸a˜o de classe C1 e consi-
14
deremos a linha descrita por γ. Ao vector
γ′(t) = lim
h→0
γ(t+ h)− γ(t)
h
chamamos vector tangente a` linha no ponto γ(t).
γ(t)
γ(t+ h)
γ′(t)
Figura 8: Tangente a uma linha
No exemplo (4.1) temos
γ(t) = (cos t, sen t)
e, portanto,
γ′(t) = (− sen t, cos t).
Na figura (6) esta˜o representados os vectores tangentes γ′(π) = (0,−1) no ponto γ(π) =
(−1,0) e γ′(3π/2) = (1, 0) no ponto γ(3/2π) = (0,−1).
No exemplo (4.2) temos
γ(t) = (cos t, sen t, t)
e, portanto,
γ′(t) = (− sen t, cos t, 1).
Na figura (6) esta´ representado o vector tangente γ′(π/2) = (−1, 0, 1) no ponto γ(π/2) =
(0, 1, π/2).
Seja L uma linha descrita por uma func¸a˜o γ e a um ponto de L tal que a = γ(t0). Seja
~T = γ′(t0) o vector tangente a L em a.
15
A recta que passa em a e com a direcc¸a˜o de ~T , designada por recta tangente a L no
ponto a, e´ o conjunto de pontos definido por
{x ∈ Rn : x− a = λ ~T ; λ ∈ R}
No caso da he´lice cil´ındrica do exemplo (4.2) a recta tangente no ponto (0, 1, π/2) e´ dada
por
(x, y, z)− (0, 1, π/2) = λ (−1, 0, 1) , λ ∈ R,
ou seja,
x = −λ ; y − 1 = 0 ; z −
π
2
= λ
e, portanto, e´ a recta definida pelas duas equac¸o˜es seguintes
y = 1 ; x+ z =
π
2
.
5 Conjunto de N´ıvel. Normal
Dada uma func¸a˜o escalar F : Rn → R de classe C1, consideremos o conjunto de n´ıvel zero de
F dado por
N0 = {x ∈ R
n : F (x) = 0}
e um ponto a ∈ N0.
Seja L ⊂ N0 uma linha (assente em N0) descrita por uma func¸a˜o γ :] − ǫ, ǫ[→ R
n, com
ǫ ∈ R, e tal que
a = γ(0).
Dado que L ⊂ N0, temos
F (γ(t)) = 0 ; −ǫ < t < ǫ
e, pelo teorema da derivada da func¸a˜o composta,
∇F (γ(0))γ′(0) = 0,
ou seja,
∇F (a)γ′(0) = 0.
Assim, os vectores γ′(0) e ∇F (a) sa˜o ortogonais entre si.
Note-se que o vector γ′(0) e´ tangente a L em a. Nesta situac¸a˜o, diz-se que o vector
~T = γ′(0) e´ tangente a N0 no ponto a.
Seja ~N um vector ortogonal a ~T , ou seja ~N • ~T = 0. Ao vector ~N chamamos vector
normal a N0 no ponto a.
Assim, o gradiente da func¸a˜o F no ponto a, ou seja, o vector ∇F (a) e´ um vector normal
ao conjunto de n´ıvel N0 de F.
Portanto, o gradiente de uma func¸a˜o escalar num ponto e´ normal ao respectivo
conjunto de n´ıvel dessa func¸a˜o.
16
Exemplo 5.1 Consideremos o parabolo´ide P definido por
P = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z = 1− x2 + y2}
e que se encontra representado na figura (9).
x y
z
F (x, y, z) = 0
Plano tangente
~N = ∇F (a, b, c)
Figura 9: Normal e plano tangente
Seja F : R3 → R a func¸a˜o escalar definida por
F (x, y, z) = z + x2 + y2 − 1.
Enta˜o o parabolo´ide P e´ o conjunto de n´ıvel zero de F, e em cada ponto (a, b, c) ∈ P
a respectiva normal sera´ dada pelo gradiente de F nesse ponto ∇F (a, b, c) tal como se
representa na figura (9).
O vector normal ~N = ∇F (a, b, c) determina a recta normal a P que passa pelo ponto
(a, b, c) e sera´ o conjunto
{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (a, b, c) + λ∇F (a, b, c)}.
Por definic¸a˜o de vector normal, os vectores ortogonais a ~N sa˜o tangentes a P no ponto
(a, b, c) e constituem um espac¸o linear de dimensa˜o 2.
O plano gerado pelos vectores tangentes e que passa pelo ponto (a, b, c) chama-se plano
tangente a P no ponto (a, b, c) e e´ dado pela equac¸a˜o
(x− a, y − b, z − c) • ∇f(a, b, c) = 0.
Dado que ∇F (x, y, z) = (2x, 2y, 1), no ponto (0, 0, 1) teremos ~N = ∇F (0, 0, 1) =
(0, 0, 1) e, portanto, a recta normal nesse ponto e´ dada por
(x, y, z)− (0, 0, 1) = λ ~N,
ou seja,
(x, y, z − 1) = λ(0, 0, 1)⇔ x = 0 ; y = 0 ; z ∈ R
17
que e´ o eixo Oz.
O plano tangente sera´ dado por
(x, y, z − 1) • ~N = 0⇔ (x, y, z − 1) • (0, 0, 1) = 0⇔ z = 1,
ou seja, e´ o plano horizontal definido por z = 1.
18
Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Prof. Gabriel Pires
CDI-II
Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 4)
1 Derivadas de Ordem Superior
Seja f : D ⊂ Rn → R, definida num aberto D, uma func¸a˜o de classe C1 e consideremos as
respectivas derivadas parciais
∂f
∂xk
; k = 1, 2, . . . , n.
Note-se que estas derivadas sa˜o tambe´m func¸o˜es escalares definidas em D. Portanto, se
forem diferencia´veis podemos considerar as respectivas derivadas parciais.
Assim, teremos as func¸o˜es
∂
∂xj
(
∂
∂xk
)
; j = 1, 2, . . . , n ; k = 1, 2, . . . , n
que sa˜o as derivadas parciais de ordem dois (ou de segunda ordem) de f. Por convenc¸a˜o, sera˜o
designadas por
∂2f
∂xj∂xk
=
∂
∂xj
(
∂
∂xk
)
; se j 6= k,
e por
∂2f
∂xk
2 =
∂
∂xk
(
∂
∂xk
)
; se j 6= k.
Se as derivadas de ordem dois forem func¸o˜es diferencia´veis, podemos tambe´m considerar as
respectivas derivadas parciais
∂
∂xi
(
∂2f
∂xi∂xj∂xk
)
; i = 1, 2, . . . , n ; j = 1, 2, . . . , n ; k = 1, 2, . . . , n,
ou seja, as derivadas parciais de ordem treˆs de f, que sera˜o designadas por
∂3f
∂xi∂xj∂xk
.
Exemplo 1.1 Seja f(x, y) = xy2 + yx3. Enta˜o, as derivadas parciais de ordem um sera˜o
as func¸o˜es
∂f
∂x
(x, y) = y2 + 3yx2
∂f
∂y
(x, y) = 2xy + x3.
As derivadas parciais de ordem dois sera˜o as func¸o˜es
∂2f
∂x2
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
(x, y) = 6xy
∂2f
∂y2
(x, y) =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
(x, y) = 2x
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
(x, y) = 2y + 3x2
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
(x, y) = 2y + 3x2
e algumas de ordem treˆs sera˜o
∂3f
∂x3
(x, y) =
∂
∂x
(
∂2f
∂x2
)
(x, y) = 6y
∂3f
∂y∂x2
(x, y) =
∂
∂y
(
∂2f
∂x2
)
(x, y) = 6x
∂3f
∂y3
(x, y) =
∂
∂y
(
∂2f
∂y2
)
= 0
∂3f
∂x∂y2
(x, y) =
∂
∂x
(
∂2f
∂y2
)
= 2
∂3f
∂x2∂y
(x, y) =
∂
∂x
(
∂2f
∂x∂y
)
= 6x
Diz-se que uma func¸a˜o f e´ de classe Ck se as derivadas parciais de ordem menor ou igual
a k existirem e forem func¸o˜es cont´ınuas.
Diz-se que f e´ de classe C∞ se for de classe Ck para quqlquer k ∈ N.
Note-se que as derivadas parciais de ordem dois da func¸a˜o do exemplo anterior,
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
, sa˜o iguais.
Esta coincideˆncia na˜o acontece por acaso. De facto temos
2
Teorema 1.1 (Schwarz) Seja f : D ⊂ Rn → R uma func¸a˜o de classe C2 no aberto D.
Enta˜o
∂2f
∂xj∂xk
=
∂2f
∂xk∂xj
.
A demonstrac¸a˜o deste teorema pode ser vista na bibliografia da disciplina.
2 Extremos de Func¸o˜es Escalares
Uma forma bastante conveniente de analisar o comportamento de uma func¸a˜o escalar num
ponto e´ a de a restringir a uma linha recta que passe por esse ponto. Foi deste modo que se
introduziu a noc¸a˜o de derivada direccional segundo um vector.
Seja f : D ⊂ Rn → R uma func¸a˜o de classe C1 no aberto D.
Consideremos a recta que passa pelo ponto a e tem a direcc¸a˜o do vector h, ou seja a linha
descrita pela func¸a˜o γ : R → Rn definida por
γ(t) = a+ th.
Note-se que γ(0) = a e γ(1) = a + h.
Seja x = γ(t) um ponto desta recta e tal que o segmento de recta entre a e x esteja contido
em D..
Enta˜o, teremos f(x) = f(γ(t)) e a func¸a˜o f passa a ser analisada apenas na recta que
passa pelo ponto a com a direcc¸a˜o do vector h, recorrendo a` func¸a˜o composta
R
γ
−→ Rn
f
−→ R
t 7→ γ(t) 7→ f(γ(t))
que e´ uma func¸a˜o real de varia´vel real que designaremos por g, ou seja
g(t) = f(γ(t)).
E´ claro que γ e´ de classe C1 e γ′(t) = h. Portanto,
g′(t) = ∇f(γ(t)) • γ′(t) = ∇f(γ(t)) • h,
e para t = 0, teremos
g′(0) = ∇f(γ(0)) • γ′(0),
ou seja,
g′(0) = ∇f(a) • h.
Sendo g de classe C1, pelo teorema de Lagrange para func¸o˜es reais de varia´vel real, existira´
t0 ∈]0, 1[ tal que
g(1)− g(0) = g′(t0),
3
ou seja,
f(a+ h)− f(a) = ∇f(c) • h
em que c = γ(t0) e´ um ponto no segmento de recta entre a e a + h.
Teorema 2.1 (Lagrange) Seja f : D ⊂ Rn → R uma func¸a˜o de classe C1 no aberto D
e sejam a e a+ h dois pontos em D tais que o segmento de recta entre eles esteja contido
em D. Enta˜o existe um ponto c nesse segmento de recta tal que
f(a+ h)− f(a) = ∇f(c) • h,
com c distinto de a e de a+ h.
Seja a ∈ D e consideremos uma bola Bǫ(a) ⊂ D tal que ∇f(x) = 0 para qualquer ponto
x ∈ Bǫ(a).
Pelo teorema de Lagrange, teremos f(a+h) = f(a) para qualquer vectorh tal que a+h ∈
Bǫ(a), ou seja, a func¸a˜o f sera´ constante na bola Bǫ(a).
Portanto, uma func¸a˜o de classe C1 e com gradiente nulo numa bola sera´ contante
nessa bola.
Definic¸a˜o 2.1 (Ponto Cr´ıtico) Diz-se que a ∈ D e´ um ponto cr´ıtico da func¸a˜o f se
∇f(a) = 0.
Seja f : D ∈ Rn → R uma func¸a˜o de classe C2 e seja a ∈ D um ponto cr´ıtico de f.
Consideremos a recta que passa em a e com a direcc¸a˜o de um vector h ∈ Rn, ou seja, o
conjunto de pontos da forma a + th com t ∈ R.
Tal como acima, seja γ(t) = a+ th e consideremos a func¸a˜o composta
R
γ
−→ Rn
f
−→ R
t 7→ γ(t) 7→ f(γ(t)).
Sendo a um ponto cr´ıtico, e´ claro que g′(o) = ∇f(a) = 0.
Pela fo´rmula de Taylor para func¸o˜es reais de varia´vel real teremos
g(t)− g(0) = g′(o) +
1
2!
g′′(0)t2 + o(t2) =
1
2!
g′′(0)t2 + o(t2),
ou seja,
g(t)− g(0)
t2
=
1
2!
g′′(0) +
o(t2)
t2
. (1)
Sabendo que lim
t→0
o(t2)
t2
= 0, para t suficientemente pro´ximo de zero, a diferenc¸a g(t)−g(0)
tem o mesmo sinal da derivada g′′(0).
4
Note-se que
g′(t) = ∇f(γ(t)) • h =
n∑
k=1
∂f
∂xk
(γ(t))hk
e, portanto,
g′′(t) =
n∑
k=1
n∑
j=1
∂2f
∂xj∂xk
(γ(t))hjhk,
ou seja,
g′′(0) =
n∑
k=1
n∑
j=1
∂2f
∂xj∂xk
(a)hjhk.
A` matriz com n linhas e n colunas cujas entradas sa˜o as derivadas parciais de ordem dois,
designada pelo s´ımbolo D2f(a), ou seja,
D2f(a) =


∂2f
∂x21
(a)
∂2f
∂x2∂x1
(a) · · ·
∂2f
∂xn∂x1
(a)
∂2f
∂x1∂x2
(a)
∂2f
∂x22
(a) · · ·
∂2f
∂xn∂x2
(a)
. . · · · .
. . · · · .
. . · · · .
∂2f
∂x1∂xn
(a)
∂2f
∂x2∂xn
(a) · · ·
∂2f
∂x2n
(a)


chama-se matriz Hessiana de f no ponto a.
Assim, a derivada g′′(0) podera´ ser apresentada na forma matricial
g′′(0) = hTD2f(a)h
ou na forma vectorial
g′′(0) = h •D2f(a)h.
Portanto, da fo´rmula de Taylor (1), obtemos
f(a+ th)− f(a)
t2
=
1
2!
h •D2f(a)h+
o(t2)
t2
.
Seja λ ∈ R um valor pro´prio da matriz Hessiana D2f(a) e h 6= 0 um vector pro´prio
associado a λ, ou seja,
D2f(a)h = λh.
Enta˜o, teremos
g′′(0) = h •D2f(a)h = λh • h = λ ‖ h ‖2
e, portanto, o sinal de g′′(0) sera´ o sinal do valor pro´prio λ.
5
Portanto, se a for um ponto cr´ıtico de f na direcc¸a˜o do vector pro´prio h associado ao valor
pro´prio λ da matriz Hessiana D2f(a), teremos
f(a+ th)− f(a)
t2
=
1
2!
λ ‖ h ‖2 +
o(t2)
t2
Note-se que, pelo teorema de Schwarz, a matriz Hessiana e´ sime´trica e, por isso, e´ diagona-
liza´vel, os respectivos valores pro´prios sa˜o nu´meros reais e os correspondentes vectores pro´prios
constituem uma base ortonormada de Rn.
Assim, para classificar os pontos cr´ıticos devemos analisar o comportamento da func¸a˜o nas
linhas rectas determinadas pelos vectores pro´prios atrave´s dos sinais dos correspondentes valores
pro´prios da matriz Hessiana D2f(a).
A uma linha recta determinada por um vector pro´prio chamaremos direcc¸a˜o pro´pria ou
direcc¸a˜o singular.
Podem ocorrer as situac¸o˜es seguintes.
a) Os valores pro´prios de D2f(a) sa˜o todos positivos: a e´ um ponto de m´ınimo de f.
b) Os valores pro´prios de D2f(a) sa˜o todos negativos: a e´ um ponto de ma´ximo de f.
c) A matriz Hessiana D2f(a) tem pelo menos um valor pro´prio positivo e pelo menos um
negativo: a na˜o e´ um extremo de f. (Por vezes chamado ponto de sela)
d) A matriz Hessiana D2f(a) tem pelo menos um valor pro´prio nulo e os restantes teˆm o
mesmo sinal. Neste caso, a func¸a˜o f deve ser analisada nas direcc¸o˜es pro´prias associadas
aos valores pro´prios nulos recorrendo a`s derivadas de ordem superior a dois.
No u´ltimo caso, esta ana´lise pode na˜o ser conclusiva. Enta˜o so´ um estudo directo do
comportamento da func¸a˜o nas vizinhanc¸as de a podera´ esclarecer o problema.
6
Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Prof. Gabriel Pires
CDI-II
Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 5)
1 Extremos de Func¸o˜es Escalares. Exemplos
Nos exemplos seguintes iremos determinar e classificar os pontos cr´ıticos de cada uma das
func¸o˜es.
Exemplo 1.1 Consideremos a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2. E´ claro que f e´, pelo menos, de
classe C2.
a) Pontos Cr´ıticos: ∇f(x, y) = (0, 0).
∇f(x, y) = (2x, 2y) = (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0).
A origem e´ o u´nico ponto cr´ıtico.
b) Classificac¸a˜o do ponto cr´ıtico (0, 0).
A matriz Hessiana
D2f(0, 0) =


∂2f
∂x2
(0, 0)
∂2f
∂y∂x
(0, 0)
∂2f
∂x∂y
(0, 0)
∂2f
∂y2
(0, 0)


(0,0)
=
[
2 0
0 2
]
apresenta dois valores pro´prios positivos λ1 = λ2 = 2 e, portanto, o ponto cr´ıtico (0, 0)
e´ um ponto de mı´nimo de f.
Note-se que esta ana´lise e´ desnecessa´ria dado que f(x, y) = x2 + y2 ≥ 0 e a origem e´ o
u´nico ponto em que f e´ nula. Na figura 1 encontra-se o gra´fico desta func¸a˜o.
Exemplo 1.2 Consideremos a func¸a˜o f(x, y) = x2 − y2. E´ claro que f e´, pelo menos, de
classe C2.
a) Pontos Cr´ıticos: ∇f(x, y) = (0, 0).
∇f(x, y) = (2x,−2y) = (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0).
A origem e´ o u´nico ponto cr´ıtico.
x y
z
Figura 1: Exemplo de ponto de mı´nimo: f(x, y) = x2 + y2
b) Classificac¸a˜o do ponto cr´ıtico (0, 0).
A matriz Hessiana
D2f(0, 0) =


∂2f
∂x2
(0, 0)
∂2f
∂y∂x
(0, 0)
∂2f
∂x∂y
(0, 0)
∂2f
∂y2
(0, 0)


(0,0)
=
[
2 0
0 −2
]
apresenta um valor pro´prio positivo λ1 = 2 e um valor pro´prio negativo λ2 = −2 e,
portanto, o ponto cr´ıtico (0, 0) na˜o e´ um extremo de f.
Neste caso dizemos que e´ um ponto de sela. Na figura 2 encontra-se o gra´fico de f que
ilustra e justifica a designac¸a˜o de ponto de sela.
x
y
z
Figura 2: Exemplo de ponto de sela: f(x, y) = x2 − y2
Note-se que na direcc¸a˜o em que y = 0 a func¸a˜o apresenta um mı´nimo e na direcc¸a˜o
x = 0 a func¸a˜o apresenta um ma´ximo na origem. Trata-se de um ponto de sela.
2
Exemplo 1.3 Consideremos a func¸a˜o f(x, y) = (x− y)2 − x4 − y4.
a) Pontos Cr´ıticos: ∇f(x, y) = (0, 0).
∇f(x, y) = (2(x− y)− 4x3,−2(x− y)− 4y3) = (0, 0)⇔


x− y − 2x3 = 0
− (x− y)− 2y3 = 0
ou seja,


x− y − 2x3 = 0
x3 − y3 = 0
⇔


x− y − 2x3 = 0
y = x
∨


x− y − 2x3 = 0
y = −x = 0
donde se conclui que os pontos cr´ıticos sa˜o: (0, 0) , (−1, 1) , (1,−1).
Para os classificar recorremos a` matriz Hessiana
D2f(x, y) =


∂2f
∂x2
(x, y)
∂2f
∂y∂x
(x, y)
∂2f
∂x∂y
(x, y)
∂2f
∂y2
(x, y)

 =
[
2− 12x2 −2
− 2 2− 12y2
]
b) Classificac¸a˜o dos pontos cr´ıticos (−1, 1) e (1,−1).
As matrizes Hessianas nestes dois pontos sa˜o iguais,
D2f(−1, 1) = D2f(1,−1) =
[
−10 −2
− 2 −10
]
e apresentam dois valores pro´prios negativos, λ1 = −8 e λ2 = −12. Portanto, estes dois
pontos sa˜o pontos de ma´ximo de f.
c) Classificac¸a˜o do ponto cr´ıtico (0, 0).
A matriz Hessiana
D2f(0, 0) =
[
2 −2
− 2 2
]
tem um valor pro´prio nulo λ1 = 0 e outro positivo λ2 = 4.
Portanto, na direcc¸a˜o definida pelo vector pro´prio associado a λ2 = 4, a func¸a˜o f tem
um mı´nimo na origem. Isto quer dizer que se a origem for um extremo de f devera´ ser
um ponto de mı´nimo.
Na direcc¸a˜o singular correspondente ao valor pro´prio nulo λ1 = 0 deveremos passar
a` ana´lise das derivadas de ordem superior a dois. No entanto, podemos analisar o
comportamento de f directamente em torno da origem.
3
Note-se que na direcc¸a˜o definida por y = x temos f(x, x) = −2x4 ≤ 0 e, portanto, a
func¸a˜o f tem um ponto de ma´ximo na origem.
Conclu´ımos assim que a origem na˜o e´ um extremo de f.
Na figura 3 encontra-se o gra´fico de f onde se pode constatar a natureza dos pontos
cr´ıticos.
x y
z
Figura 3: Gra´fico da func¸a˜o: f(x, y) = (x− y)2 − x4 − y4
Exemplo 1.4Consideremos a func¸a˜o f(x, y) = y2 − 4x2y + 3x4.
a) Pontos cr´ıticos: ∇f(x, y) = (0, 0).
∇f(x, y) = (−8xy + 12x3, 2y − 4x2) = (0, 0)⇔


x(−2y + 3x2) = 0
y − 2x2 = 0
donde se conclui que o u´nico ponto cr´ıtico e´ a origem.
b) Classificac¸a˜o do ponto cr´ıtico (0, 0).
A matriz Hessiana
D2f(0, 0) =


∂2f
∂x2
(0, 0)
∂2f
∂y∂x
(0, 0)
∂2f
∂x∂y
(0, 0)
∂2f
∂y2
(0, 0)

 =
[
−8y + 36x2 −8x
− 8x 2
]
(0,0)
=
[
0 0
0 2
]
tem um valor pro´prio nulo λ1 = 0 e outro positivo λ2 = 2. Portanto, se a origem for
extremo sera´ um mı´nimo.
Note-se que a func¸a˜o f pode ser dada de outra forma
f(x, y) = y2 − 4x2y + 3x4 = (y − x2)(y − 3x2).
Em torno da origem teremos:
4
i) f(x, y) > 0 para y > 3x2 ou para y < x2.
ii) f(x, y) < 0 para x2 < y < 3x2.
Assim, em torno da origem, a func¸a˜o f toma valores tanto positivos como negativos,
ou seja, a origem na˜o e´ um extremo de f.
Na figura 4 encontra-se o gra´fico de f onde se pode constatar a natureza da origem
como ponto critico.
x y
z
Figura 4: Gra´fico da func¸a˜o: f(x, y) = (y − x2)(y − 3x2)
5
2 Func¸a˜o Impl´ıcita. Func¸a˜o Inversa
Exemplo 2.1 Consideremos a equac¸a˜o da recta em R2 dada pela equac¸a˜o x+ y = 1. (ver
figura 5).
x
y
1
1
x+ y = 1⇔ y = 1− x
Figura 5: Recta dada por: x + y = 1
Note-se que
x+ y = 1⇔ y = 1− x
e, portanto, a mesma recta pode ser descrita de duas formas diferentes:
i) Como o conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o F : R2 → R definida por F (x, y) = x+y−1,
ou seja, o subconjunto de R2 em que F (x, y) = 0.
ii) Como o gra´fico da func¸a˜o f : R → R dada por f(x) = 1 − x, ou seja, como o
subconjunto de R2 em que y = f(x).
De outra forma, podemos dizer que a equac¸a˜o F (x, y) = 0 define uma das varia´veis
como func¸a˜o da outra y = f(x).
Exemplo 2.2 Consideremos a equac¸a˜o que define a circunfereˆncia de raio um e centro na
origem de R2, ou seja x2 + y2 = 1. (ver figura 6).
E´ claro que temos
x2 + y2 = 1⇔ y =
√
1− x2, se y > 0,
e, portanto, a parte da circunfereˆncia em que y > 0 pode ser descrita de duas formas
diferentes:
i) Como o conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o F : R2 → R definida por F (x, y) = x2+y2−1,
ou seja, o subconjunto de R2 em que F (x, y) = 0.
6
x
y
x2 + y2 = 1⇔ y =
√
1− x2
y = −
√
1− x2
Figura 6: Circunfereˆncia dada por: x2 + y2 = 1
ii) Como o gra´fico da func¸a˜o f : ] − 1, 1[→ R, dada por f(x) =
√
1− x2, ou seja, o
subconjunto de R2 em que y = f(x).
Assim, para y > 0, a equac¸a˜o F (x, y) = 0 define uma das varia´veis como func¸a˜o da
outra y = f(x).
Note-se que em torno dos pontos (−1, 0), (1, 0) a equac¸a˜o F (x, y) = 0 na˜o define y
como func¸a˜o de x, mas define x como func¸a˜o de y. De facto, para x > 0, temos
x2 + y2 = 1⇔ x =
√
1− y2.
Este exemplo mostra que a equivaleˆncia
F (x, y) = 0⇔ y = f(x)
na˜o se verifica globalmente em todo o conjunto definido pela equac¸a˜o F (x, y) = 0 mas
apenas localmente em torno de cada um dos pontos desse conjunto.
Exemplo 2.3 Consideremos o subconjunto de R2 definido pela equac¸a˜o
xy + sin(x+ y) + cos(x+ y) = 5.
Neste caso, na˜o parece fa´cil concluir que a equac¸a˜o dada defina uma das varia´veis como
func¸a˜o da outra, ou seja, descrever localmente este conjunto como o gra´fico de alguma
func¸a˜o.
Na figura 7, encontra-se a representac¸a˜o gra´fica deste conjunto que permite concluir
que se trata de um conjunto que pode ser descrito, localmente, como gra´fico de alguma
func¸a˜o de uma varia´vel.
7
x
y
Figura 7: Conjunto definido por: xy + sin(x + y) + cos(x + y) = 5
Do exemplo 2.3 surge a questa˜o de saber se uma equac¸a˜o do tipo F (x, y) = 0 define uma
das varia´veis como func¸a˜o da outra e se e´ poss´ıvel obter alguma informac¸a˜o sobre a natureza
dessa func¸a˜o. Note-se que pode na˜o ser poss´ıvel estabelecer uma das varia´veis como func¸a˜o da
outra directamente a partir da equac¸a˜o F (x, y) = 0.
Seja F : R2 → R uma func¸a˜o de classe C1 e (a, b) um ponto tal que F (a, b) = 0.
Suponhamos que, em alguma bola centrada no ponto (a, b) se tem
F (x, y) = 0⇔ y = f(x),
sendo f uma func¸a˜o real de varia´vel real de classe C1 e definida em algum intervalo contendo
o ponto a.
Assim, teremos F (x, f(x)) = 0 e derivando obtemos
∂F
∂x
(a, b) +
∂F
∂y
(a, b)f ′(a) = 0
Portanto,
f ′(a) = −
∂F
∂x
(a, b)
∂F
∂y
(a, b)
desde que se verifique a condic¸a˜o
∂F
∂y
(a, b) 6= 0.
Conclu´ımos enta˜o que, em certas condic¸o˜es, e´ poss´ıvel calcular a derivada f ′(a) mesmo na˜o
sendo poss´ıvel determinar f a partir da equac¸a˜o F (x, y) = 0.
Surge, assim, a questa˜o seguinte. Se F : R2 → R for uma func¸a˜o de classe C1 e (a, b) um
ponto tal que
F (a, b) = 0 ;
∂F
∂y
(a, b) 6= 0,
8
existira´ alguma func¸a˜o f, de classe C1, tal que, localmente em torno de (a, b), se tenha
F (x, y) = 0⇔ y = f(x)?
A resposta afirmativa a esta questa˜o e´ dada pelo Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita.
Teorema 2.1 (Func¸a˜o Impl´ıcita em R2) Seja F : R2 → R uma func¸a˜o de classe C1 e
(a, b) um ponto tal que
F (a, b) = 0 ;
∂F
∂y
(a, b) 6= 0.
Enta˜o, existe uma func¸a˜o f, de classe C1, tal que, localmente em torno de (a, b), se tem
F (x, y) = 0⇔ y = f(x).
A equivaleˆncia local deve ser entendida no seguinte sentido. Existe uma bola centrada no
ponto (a, b) em que o conjunto definido pela equac¸a˜o F (x, y) = 0 e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
f : ]a− ǫ, a + ǫ[→ R, com ǫ > 0, ou seja y = f(x). (ver figura 8).
x
y
F (x, y) = 0⇔ y = f(x)
a
b
a− ǫ a + ǫ
Figura 8: Func¸a˜o Impl´ıcita em R2
Seja G : R2 → R2 a func¸a˜o de classe C1 dada por
G(x, y) = (x, F (x, y)).
9
Note-se que G(a, b) = (a, 0) e
detDG(a, b) = det

 1 0∂F
∂x
(a, b)
∂F
∂y
(a, b)

 = ∂F
∂y
(a, b) 6= 0.
Se a func¸a˜o G for invert´ıvel, localmente en torno do ponto (a, b), teremos
G(x, y) = (x, F (x, y)) = (x, 0)⇔ (x, y) = G−1(x, 0),
ou seja, existe uma func¸a˜o f, localmente definida em torno do ponto a, tal que se verifica a
equivaleˆncia
F (x, y) = 0⇔ y = f(x).
Se a func¸a˜o inversa G−1 for de classe C1, enta˜o a func¸a˜o f tambe´m o sera´.
Portanto, o Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita depende do estabelecimento da existeˆncia local
e da regularidade da func¸a˜o inversa G−1. Este e´ o conteu´do do chamado Teorema da Func¸a˜o
Inversa.
Teorema 2.2 (Func¸a˜o Inversa) Seja G : Rn → Rn uma func¸a˜o de classe C1 e a ∈ Rn um
ponto tal que
detDG(a) 6= 0.
Enta˜o, G e´ localmente invert´ıvel em torno do ponto a e a respectiva inversa G−1 e´ uma
func¸a˜o de classe C1.
A existeˆncia e a regularidade locais da func¸a˜o inversa devem ser entendidas da forma se-
guinte. Existe uma bola B(a) centrada no ponto a e uma bola B(b) centrada no ponto
b = G(a) tais que a func¸a˜o G : B(a) → B(b) e´ uma bijecc¸a˜o (injectiva e sobrejectiva) e a
respectiva inversa G−1 : B(b)→ B(a) e´ uma func¸a˜o de classe C1. (ver figura 9).
Note-se que, em geral, na˜o e´ poss´ıvel resolver directamente as equac¸o˜es do tipo G(x) = b,
ou seja, calcular a func¸a˜o inversa G−1. O Teorema da Func¸a˜o Inversa estabelece uma condic¸a˜o
suficiente, detDG(a) 6= 0, para que uma func¸a˜o de classe C1 seja localmente invert´ıvel.
Note-se que por definic¸a˜o de func¸a˜o inversa, temos
x = G−1(G(x)), ∀x ∈ B(a)
e, portanto
DG−1(b) = [DG(a)]−1 ,
ou seja, a matriz Jacobiana da func¸a˜o inversa G−1 no ponto b = G(a) e´ a inversa da matriz
Jacobiana de G no ponto a.
10
x y
R
n
R
n
G
G−1
a
b = G(a)
Figura 9: Func¸a˜o Inversa
Exemplo 2.4 Consideremos a func¸a˜o G : R2 → R2 definida por
G(x, y) = (ex cos y, ex sen y).
E´ claro que G e´ de classe C1 e a respectiva derivada e´ dada pela matriz
DG(x, y) =
[
ex cos y −ex sin y
ex sen y ex cos y
]
e, portanto,
detDG(x,y) = e2x 6= 0, ∀(x, y) ∈ R2.
Assim, a func¸a˜o G tem inversa local em torno de cada um dos pontos de R2.
No entanto, a func¸a˜o G na˜o e´ invert´ıvel (na˜o e´ injectiva) em R2. De facto, temos
G(x, 2kπ) = (ex, 0), ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z,
ou seja, embora G na˜o seja invert´ıvel em R2 possui inversa local em torno de qualquer
ponto de R2.
Exemplo 2.5 Seja f : Rn → Rn uma aplicac¸a˜o linear, ou seja, existe uma matriz An×n
tal que f(x) = Ax. Esta func¸a˜o e´ injectiva desde que detA 6= 0 e a respectiva inversa e´
dada por f−1(y) = A−1y em que A−1 e´ a matriz inversa de A.
Note-se que uma aplicac¸a˜o linear e´ uma func¸a˜o de classe C1 e a respectiva derivada e´
representada pela matriz A , ou seja,
Df(x) = A
Note-se que neste caso se verifica a condic¸a˜o do Teorema da Func¸a˜o Inversa mas na˜o e´
necessa´rio usa´-lo. Para ale´m disso, a func¸a˜o inversa e´ global (esta´ definida em Rn) e na˜o
apenas local.
11
Exemplo 2.6 Consideremos o sistema de equac¸o˜es


u =
x4 + y4
x
v = sen x+ cos y
Facilmente se conclui que a resoluc¸a˜o deste sistema para x e y na˜o e´ fa´cil. No entanto,
recorrendo ao Teorema da Func¸a˜o Inversa podemos determinar os pontos (x, y) para cada
um dos quais o sistema e´ localmente invert´ıvel.
Seja
G(x, y) =
(
x4 + y4
x
, sen x+ cos y
)
a func¸a˜o definida para x 6= 0. Trata-se de uma func¸a˜o de classe C1 no seu domı´nio e a
sua derivada e´ dada por
DG(x, y) =


∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y

 =


3x4 − y4
x2
4y3
x
cosx − sen y


Portanto, para cada ponto (x, y) , com x 6= 0 , tal que
detDG(x, y) =
sen y
x2
(y4 − 3x4)−
4y3
x
cosx 6= 0
existira´ uma vizinhanc¸a em que o sistema pode ser resolvido para x e y como func¸o˜es de
u e v, ou seja x = x(u, v) e y = y(u, v).
Consideremos o ponto (π, π) . Enta˜o G(π, π) = (π3,−1) e
detDG(π, π) = det
[
3π2 4π2
− 1 0
]
= 4π2
e, portanto, a derivada da inversa de G no ponto (π3,−1) e´ dada por
DG−1(π3,−1) = [DG(π, π)]−1 =
1
4π2
[
0 −4π2
1 3π2
]
,
ou seja, 

∂x
∂u
(π3,−1)
∂x
∂v
(π3,−1)
∂y
∂u
(π3,−1)
∂y
∂v
(π3,−1)

 =
[
0 −4π2
1 3π2
]
12
Nota 2.1 1. Nos casos em que detDG(a) = 0 o teorema na˜o se aplica e tudo pode
acontecer.
Considere-se a func¸a˜o G(x) = x2 definida em R. Enta˜o G′(0) = 0 e G na˜o e´
invert´ıvel em nenhuma vizinhanc¸a da origem, porque se trata de uma func¸a˜o par.
A func¸a˜o G(x) = x3 e´ crescente e, portanto, injectiva em R apesar de G′(0) = 0.
2. A demonstrac¸a˜o do Teorema da Func¸a˜o Inversa pode ser vista na bibliografia da
disciplina.
13
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Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
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Resumo das Aulas Teo´ricas (Semana 6)
1 Func¸a˜o Impl´ıcita
Exemplo 1.1 Consideremos o plano em R3 definido pela equac¸a˜o x + y + z = 1, (ver
figura 1).
x
y
z
Figura 1: Plano em R3 dado por x+ y + z = 1
E´ claro que temos
x+ y + z = 1⇔ z = 1− x− y
e, portanto, o mesmo plano pode ser descrito de duas formas diferentes:
i) Como o conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o F : R3 → R definida por F (x, y, z) =
x+ y + z − 1, ou seja, o subconjunto de R3 em que F (x, y, z) = 0.
ii) Como o gra´fico da func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = 1− x − y, ou seja, como o
subconjunto de R3 em que z = f(x, y).
De outra forma, podemos dizer que a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 define uma das varia´veis
como func¸a˜o das outras duas z = f(x, y).
E´ claro que a mesma equac¸a˜o define qualquer uma das varia´veis como func¸a˜o das duas
restantes.
x y
z
z =
√
1− x2 − y2
z = −
√
1− x2 − y2
Figura 2: Esfera em R3 dada por x2 + y2 + z2 = 1
Exemplo 1.2 Consideremos a esfera dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 1. (Ver figura 2).
E´ claro que para z > 0 temos
x2 + y2 + z2 = 1⇔ z =
√
1− x2 − y2
e para z < 0 temos
x2 + y2 + z2 = 1⇔ z = −
√
1− x2 − y2,
ou seja, a equac¸a˜o define a varia´vel z como func¸a˜o de x e de y.
Note-se que em torno dos pontos em que z = 0, a equac¸a˜o na˜o define z como func¸a˜o
de x e de y, mas pode definir y como func¸a˜o de x e de z ou x como func¸a˜o de y e de z.
Portanto, contrariamente ao que se passa com o plano do exemplo anterior, a equac¸a˜o
x2 + y2 + z2 = 1 define uma das varia´veis como func¸a˜o das restantes apenas localmente
em torno de cada um dos pontos da esfera.
Exemplo 1.3 Consideremos a linha recta definida pelo sistema de equac¸o˜es
{
x+ y + z = 1
y = x,
(1)
ou seja, a intersecc¸a˜o do plano em que x + y + z = 1 com o plano dado por y = x. (Ver
figura 3).
E´ claro que temos {
x+ y + z = 1
y = x
⇔
{
z = 1− 2x
y = x,
ou seja, o sistema de duas equac¸o˜es 1 define as varia´veis y e z como func¸o˜es de x.
2
x
y
z
x+ y + z = 1
y = x
Figura 3: Recta em R3 dada por x+ y + z = 1 ; y = x
Exemplo 1.4 Consideremos a circunfereˆncia em R3 que resulta da intersecc¸a˜o de uma
esfera com um plano (ver figura 4), ou seja, definida pelo sistema de duas equac¸o˜es{
x2 + y2 + z2 = 1
y = x.
x
y
z
x2 + y2 + z2 = 1
y = x
Figura 4: Circunfereˆncia em R3 dada por x2 + y2 + z2 = 1 ; y = x
Para z > 0, temos {
x2 + y2 + z2 = 1
y = x
⇔
{
z =
√
1− 2x2
y = x,
3
ou seja, o sistema de equac¸o˜es define, localmente em torno dos pontos em que z > 0, as
varia´veis y e z como func¸o˜es de x.
Estes exemplos ilustram dois tipos de subconjuntos de R3 :
a) Definidos por uma equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 em que F : R3 → R e´ de classe C1.
Em que condic¸o˜es esta equac¸a˜o define, localmente, uma das varia´veis com func¸a˜o das
restantes, por exemplo z = f(x, y)?
Quando na˜o for poss´ıvel por ca´lculo directo explicitar a func¸a˜o f, que informac¸a˜o sobre f
pode ser obtida a partir da equac¸a˜o?
Se, em torno de um ponto (a, b, c) tal que F (a, b, c) = 0, tivermos a equivaleˆncia
F (x, y, z) = 0⇔ z = f(x, y),
enta˜o,
F (x, y, f(x, y)) = 0
e, derivando em ordem a x e a y, obteremos


∂F
∂x
(a, b, c) +
∂F
∂z
(a, b, c)
∂f
∂x
(a, b) = 0
∂F
∂y
(a, b, c) +
∂F
∂z
(a, b, c)
∂f
∂y
(a, b) = 0
e, portanto,
∂f
∂x
(a, b) = −
∂F
∂x
(a, b, c)
∂F
∂z
(a, b, c)
;
∂f
∂y
(a, b) = −
∂F
∂y
(a, b, c)
∂F
∂z
(a, b, c)
,
desde que se verifique,
∂F
∂z
(a, b, c) 6= 0.
b) Definidos por um sistema de duas equac¸o˜es


F1(x, y, z) = 0
F2(x, y, z) = 0
em que as func¸o˜es F1 : R
3 → R e F2 : R
3 → R sa˜o de classe C1. Em que condic¸o˜es este
sistema de equac¸o˜es define duas das varia´veis como func¸o˜es da terceira varia´vel, como por
exemplo y = f(x) e z = g(x)?
Quando na˜o for poss´ıvel por ca´lculo directo explicitar as func¸o˜es f e g que informac¸a˜o sobre
elas pode ser obtida a partir das equac¸o˜es?
4
Se, em torno de um ponto (a, b, c) tal que F1(a, b, c) = 0 e F2(a, b, c) = 0 tivermos a
equivaleˆncia 

F1(x, y, z) = 0
F2(x, y, z) = 0
⇔


y = f(x)
z = g(x)
enta˜o, derivando o sistema 

F1(x, f(x), g(x)) = 0
F2(x, f(x), g(x)) = 0
em ordem a x, teremos


∂F1
∂x
(a, b, c) +
∂F1
∂y
(a, b, c)f ′(a) +
∂F1
∂z
(a, b, c)g′(a) = 0
∂F2
∂x
(a, b, c) +
∂F2
∂y
(a, b, c)f ′(a) +
∂F2
∂z
(a, b, c)g′(a) = 0.
Na forma matricial, sera´


∂F1
∂y
(a, b, c)
∂F1
∂z
(a, b, c)
∂F2
∂y
(a, b, c)
∂F2
∂z
(a, b, c)



f
′(a)
g′(a)

 = −


∂F1
∂x
(a, b, c)
∂F2
∂x
(a, b, c)


e poderemos calcular as derivadas f ′(a) e g′(a), desde que se tenha
det


∂F1
∂y
(a, b, c)
∂F1
∂z
(a, b, c)
∂F2
∂y
(a, b, c)
∂F2
∂z
(a, b, c)

 6= 0.
Neste caso teremos

f
′(a)
g′(a)

 = −

∂F1
∂y
(a, b, c)
∂F1
∂z
(a, b, c)
∂F2
∂y
(a, b, c)
∂F2
∂z
(a, b, c)


−1 

∂F1
∂x
(a, b, c)
∂F2
∂x
(a, b, c)


Tal como em R2 a resposta positiva a`s questo˜es colocadas nos dois casos acima e´ dada pelo
chamado Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita que, em Rn, tem a forma seguinte.
5
Teorema 1.1 (Func¸a˜o Impl´ıcita) Seja F : Rn → Rm, com m < n, uma func¸a˜o de
classe C1. Seja (a, b) ∈ Rn tal que a ∈ Rn−m, b ∈ Rm e
F (a, b) = 0 ; detDFy(a, b) 6= 0. (2)
Enta˜o, existe uma func¸a˜o f, de classe C1, tal que, localmente em torno de (a, b), se
tem
F (x, y) = 0⇔ y = f(x).
Nota 1.1 1. No caso geral, temos um sistema de m equac¸o˜es em Rn que nas condic¸o˜es
2 define implicitamente m varia´veis, designadas por y, em func¸a˜o das restantes n−m
varia´veis, designadas por x.
2. A existeˆncia local da func¸a˜o f em torno de cada um dos pontos do conjunto definido
pelo referido sistema de equac¸o˜es deve ser entendida no seguinte sentido. Existe uma
bola centrada no ponto (a, b) em que o conjunto definido pela equac¸a˜o F (x, y) = 0
e´ o gra´fico da func¸a˜o f : Bǫ(a) → R
m, em que ǫ > 0 e Bǫ(a) ⊂ R
n−m designa uma
bola centrada em a ∈ Rn−m e raio ǫ.
3. Usamos o s´ımbolo DFy(a, b) para designar a matriz das derivadas parciais da func¸a˜o
F em ordem a`s varia´veis designadas por y, no ponto (a, b).
4. A demonstrac¸a˜o do caso geral, com as devidas adaptac¸o˜es, faz-se seguindo a mesma
ideia de R2, recorrendo ao Teorema da Func¸a˜o Inversa.
Seja G : Rn → Rn a func¸a˜o de classe C1 dada por
G(x, y) = (x, F (x, y)).
Note-se que G(a, b) = (a, 0) e
detDG(a, b) = det
[
I 0
DxF (a, b) DyF (a, b)
]
= detDyF (a, b) 6= 0,
em que I designa a matriz identidade com (n−m) linhas e (n−m) colunas.
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, G e´ localmente invert´ıvel em torno do ponto (a, b),
e teremos
G(x, y) = (x, F (x, y)) = (x, 0)⇔ (x, y) = G−1(x, 0),
ou seja, existe uma func¸a˜o f, localmente definida em torno do ponto a, tal que se
verifica a equivaleˆncia
F (x, y) = 0⇔ y = f(x).
Dado que G−1 e´ tambe´m de classe C1, a func¸a˜o f tambe´m o sera´.
6
Exemplo 1.5 Consideremos a equac¸a˜o
x2y + sen(x+ y) = 0 (3)
Note-se que na˜o e´ fa´cil decidir sobre se esta equac¸a˜o define uma das varia´veis como
func¸a˜o da outra.
Seja F : R2 → R a func¸a˜o de classe C1 dada por
F (x, y) = x2y + sen(x+ y)
e consideremos o ponto (0, 0). Enta˜o F (0, 0) = 0 e
DF (0, 0) =
[
2xy + cos(x+ y) x2 + cos(x+ y)
]
x=0,y=0
=
[
1 1
]
Portanto, dado que ∂F
∂y
(0, 0) = 1 , existe uma bola B centrada em (0, 0) e uma func¸a˜o
de classe C1 f : ]− ǫ, ǫ[→ R para algum ǫ > 0, tal que f(0) = 0 e
F (x, y) = 0⇐⇒ y = f(x) ; em B
Para ale´m disso, temos
f ′(0) = −
∂F
∂x
(0, 0)
∂F
∂y
(0, 0)
= −
1
1
= −1
x
y
Figura 5: Subconjunto de R2 dado por x2y + sen(x+ y) = 0
Do mesmo modo, dado que ∂F
∂x
(0, 0) = 1 , a equac¸a˜o 3 define implicitamente, localmente
em torno de (0, 0), a varia´vel x como func¸a˜o de y.
Na figura 5 encontra-se parte do conjunto definido pela equac¸a˜o 3.
7
Exemplo 1.6 A equac¸a˜o
x3z2 − z3yx = 0
define implicitamente z como func¸a˜o de (x, y) localmente em torno do ponto (1, 1, 1).
Seja F : R3 → R a func¸a˜o de classe C1 definida por
F (x, y, z) = x3z2 − z3yx
Note-se que F (1, 1, 1) = 0. Sendo
DF (1, 1, 1) =
[
3x2z2 − z3y −z3x 2x3z − 3z2yx
]
x=1,y=1,z=1
=
[
2 −1 −1
]
e, portanto
∂F
∂z
(1, 1, 1) = −1
concluimos que, localmente em torno do ponto (1, 1, 1), a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 define
implicitamente z como func¸a˜o de (x, y). Designemos por f(x, y) essa func¸a˜o. Enta˜o,
F (x, y, f(x, y)) = 0 e derivando em x , obtemos
∂F
∂x
+
∂F
∂z
∂f
∂x
= 0
e, portanto
∂f
∂x
(1, 1) = −
2
−1
= 2
Note-se que para o ponto (0, 0, 0) temos
DF (0, 0, 0) =
[
0 0 0
]
e, portanto nada podemos concluir atrave´s do Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita.
No entanto, analisando a equac¸a˜o, obtemos
x3z2 − z3yx = 0⇐⇒ xz2(x− zy) = 0⇐⇒ x = 0 ∨ z = 0 ∨ x = zy
e, portanto, em torno da origem na˜o e´ poss´ıvel exprimir nenhuma das varia´veis como func¸a˜o
das outras porque se intersectam treˆs superf´ıcies, como se ilustra na figura 6.
Exemplo 1.7 O sistema de equac¸o˜es{
xu+ yvu2 = 2
xu3 + y2v4 = 2
define implicitamente (u, v) como func¸o˜es de (x, y) em torno do ponto (1, 1, 1, 1).
De facto, consideremos a func¸a˜o F : R4 → R2 definida por
F (x, y, u, v) = (xu+ yvu2 , xu3 + y2v4)
8
x
y
z
z = 0
x = 0
x = yz
Figura 6: Subconjunto de R3 dado por x3z2 − z3yx = 0
Trata-se de uma func¸a˜o de classe C1 tal que F (1, 1, 1, 1) = (2, 2) e a respectiva derivada
no ponto (1, 1, 1, 1) e´ dada por
DF (1, 1, 1, 1) =


u vu2 x+ 2yvu yu2
u3 2yv4 3xu2 4y2v3


x=1,y=1,u=1,v=1
=


1 1 3 1
1 2 3 4


e, portanto
detDuvF (1, 1, 1, 1) = det
[
3 1
3 4
]
= 9
O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita garante que localmente em torno do ponto (1, 1, 1, 1)
temos (u, v) = (u(x, y), v(x, y))
Derivando a func¸a˜o F em x , obtemos

x
∂u
∂x
+ u+ y
∂v
∂x
u2 + 2yvu
∂u
∂x
= 0
3xu2
∂u
∂x
+ u3 + 4y2v3
∂v
∂x
= 0
ou seja, no ponto (1, 1, 1, 1) , temos o sistema

3
∂u
∂x
+
∂v
∂x
= −1
3
∂u
∂x
+ 4
∂v
∂x
= −1
de onde concluimos
∂u
∂x
(1, 1) = −
1
3
.
9
2 Variedades. Parametrizac¸o˜es
Seja F : R2 → R uma func¸a˜o de classe C1 e consideremos o respectivo conjunto de n´ıvel zero,
ou seja, o conjunto
M = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) = 0}.
Seja (a, b) ∈M tal que
∂F
∂y
(a, b) 6= 0.
Pelo Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita, localmente em torno do ponto (a, b) temos
F (x, y) = 0⇔ y = f(x),
em que f : ]a− ǫ, a + ǫ[→ R, com ǫ > 0, e´ uma func¸a˜o de classe C1.
Seja g : ]a− ǫ, a + ǫ[→ R2 a func¸a˜o definida do seguinte modo
g(x) = (x, f(x)).
E´ claro que g e´ de classe C1. Note-se que g(a) = (a, f(a)) = (a, b) e g′(a) = (1, f ′(a)).
Note-se que a func¸a˜o g e´ injectiva. De facto, se x1 6= x2 enta˜o g(x1) 6= g(x2).
Note-se tambe´m que temos
∇F (a, b) 6= (0, 0) ; g′(a) 6= (0, 0).
Suponhamos que, localmente em torno do ponto (a, b), um conjunto M ⊂ R2 pode ser
descrito por uma func¸a˜o injectiva g : ]t0 − ǫ, t0 + ǫ[→ R
2, de classe C1, tal que
g(t0) = (a, b) ; g
′(t0) 6= (0, 0).
Dado que g(t) = (x(t), y(t)), sem perda de generalidade, suponhamos que x′(t0) 6= 0.
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa em R, a func¸a˜o x = x(t) sera´ localmente invert´ıvel, ou seja,
t = h−1(x) para alguma func¸a˜o de classe C1 designada por h.
Portanto, teremos
y = y(t) = y(h−1(x)) = f(x).
Fazendo F (x, y) = y − f(x), conclu´ımos que, localmente em torno do ponto (a, b), o
conjunto M sera´ definido pela equac¸a˜o F (x, y) = 0.
Assim, temos treˆs formas equivalentes de descrever localmente o mesmo conjunto.
i) Como conjunto de n´ıvel zero de uma func¸a˜o F : R2 → R, de classe C1 e tal que∇F (x, y) 6=
(0, 0).
ii) Como gra´fico de uma func¸a˜o f de classe C1, ou seja, y = f(x).
iii) Como a imagem de uma func¸a˜o injectiva g, de classe C1, tal que (x, y) = g(t) com t ∈ R
e g′(t) 6= (0, 0).
10
Um conjunto descrito desta forma designa-se por variedade de dimensa˜o um e dizemos que
a func¸a˜o g e´ uma parametrizac¸a˜o desse conjunto.
Normalmente chamamos variedade-1 a esse conjunto.
Localmente, em torno do ponto (a, b), teremos
F (x, y) = 0⇔ y = f(x)⇔ (x, y) = g(t),
e, portanto
F (g(t)) = 0
e pelo Teorema da Func¸a˜o Composta, obtemos
∇F (g(t0)) · g
′(t0) = 0,
ou seja,
∇F (a, b) · g′(t0) = 0,
Geometricamente, o vector gradiente ∇F (a, b) =
(
∂F
∂x
(a, b),
∂F
∂y
(a, b)
)
e´ um vector nor-
mal ao conjunto M no ponto (a, b) e, portanto, o vector g′(t0) = (x
′(t0), y
′(t0)) e´ um vector
tangente a M