2012 Guia de aulas de Geometria Analítica

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NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA - 40h 
PROF. JULIERME GOMES CORREIA DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
GUIA DE AULAS DE GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
RECIFE/2012 
 
ATENÇÃO 
Este material não deve ser utilizado como material de estudo, ele é apenas um guia para o 
acompanhamento das aulas. É imprescindível que o aluno utilize a bibliografia sugerida. 
 
1. PROFESSOR NA NET: julierme.oliveira@mauriciodenassau.edu.br 
2. EMENTA: Vetores. A reta. Estudo do plano. Estudo das cônicas. 
3. COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS: 
• Operação com Vetores; 
• Análise e operação com Retas; 
• Análise e operação com Planos; 
• Análise e operação com as Cônicas; 
4. ATIVIDADES DE COMPLEMENTAÇÃO DE CARGA-HORÁRIA: 
Os alunos deverão apresentar, no final da disciplina, um único trabalho apresentando todos os 
exercícios propostos nas listas de exercícios entregues no início de cada aula. 
5. BIBLIOGRAFIA 
Livros-Textos: 
1. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.. Geometria Analítica, 2a ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1987. 
2. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 1a ed. São Paulo: PEARSON 
EDUCATION DO BRASIL, 2000. 
3. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica , 2a ed. São Paulo: PEARSON EDUCATION DO 
BRASIL, 2005. 
Livros Complementares: 
1. CAMARGO, I.; BOULOS, P.. Geometria Analítica, um tratamento vetorial, 3a ed. São 
Paulo: Prentice Hall, 2005. 
2. CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no espaço. São Paulo: Prentice 
Hall, 1997. 
3. BOULOS, P. Introdução à Geometria Analítica no espaço. São Paulo: PEARSON 
EDUCATION DO BRASIL, 1997. 
4. BOULOS, P. Geometria Analítica, um tratamento vetorial , 2a ed. São Paulo: PEARSON 
EDUCATION DO BRASIL, 2003. 
5. BASSO, Delmar. Geometria analítica Plana. MAKRON BOOKS, 1991. 
INTRODUÇÃO 
 
A Geometria Analítica e a Álgebra Linear são áreas de estudo da Matemática que institui as 
relações existentes entre a geometria e a álgebra de vetores e matrizes. Estes estudos são 
fundamentados nos espaços vetoriais e nas transformações lineares. Existe uma infinidade de 
situações na Matemática onde estes casos podem ocorrer daí a importância destas no ensino 
da Matemática. 
Ao longo da história foram muitos os casos em que ilustres matemáticos dedicaram parte 
de suas vidas para estudar conceitos que aparentemente não demonstravam utilidade prática, 
porém, com o passar dos anos, aqueles conceitos investigados por mero entretimento, na 
verdade, apresentavam uma grande utilidade para a ciência. 
Os estudos da Geometria Analítica, como uma área bem estabelecida da matemática, se 
deram com as pesquisas do matemático francês René Descartes (1596 – 1650). A sua principal 
contribuição foi a proposição das coordenadas cartesianas que permitiram a representação 
gráfica dos estudos numéricos e geométricos. Por sua vez, o fato histórico que deu 
sustentação para o surgimento da Álgebra Linear compreendeu os estudos do matemático 
alemão Carl Friedrich Gauss (1977 – 1885). Este desenvolveu os mais importantes métodos de 
resolução sistemas de equações lineares (Boyer, 1996; Howard, 2004). 
Apesar de apresentar conceitos primordiais para o desenvolvimento da Geometria 
Analítica e da Álgebra Linear, estes ilustres matemáticos não foram os pioneiros nos estudos 
destes temas. O matemático grego Apolônio de Pergamo (262 aC. - 190 a.C) é o autor do mais 
importante trabalho da antiguidade dedicado às relações existentes entre as retas, planos, e 
algumas curvas que despertavam bastante interesse na época. Ele mostrou que ao seccionar 
cones por meio de planos davam origem às famosas seções cônicas, o círculo, a elipse, a 
parábola e a hipérbole (Boyer, 1996; Howard, 2004). 
Por muitas vezes o estudo da Geometria Analítica e da Álgebra Linear revelam um lado 
abstrato da Matemática, porém, trazem consigo, um grande número de aplicações dentro e 
fora dela. Por exemplo, o famoso físico e matemático Italiano Galileu Galilei (1564 – 1642) 
propôs que a trajetória de qualquer corpo em lançamento livre descrevia a forma de parábola. 
Já o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571 – 1630), propôs que a orbita dos astros 
descrevia a forma de uma elipse em torno do sol. No fim do século XVII, o matemático inglês 
Isaac Newton (1643 – 1727) viu sua lei da gravitação universal ser aceita pela comunidade 
científica, dando embasamento consistente às teorias de Kepler e Galileu, e assim, explicando 
matematicamente a trajetória dos astros e corpos em movimento livre (Boyer, 1996; Howard, 
2004). 
 Tanto a Geometria Analítica como a Álgebra Linear aplicam-se a várias áreas, em especial 
às engenharias. O estudo delas costuma despertar um grande desafio. Contribui de maneira 
notável no progresso intelectual e no aprendizado dos teoremas fundamentais do cálculo. 
Suas aplicações na física e na engenharia estão além da nossa imaginação. Estes 
conhecimentos deram a possibilidade do homem pisar na Lua, de ter lançado sondas a Marte e 
Júpiter, e o mais importante, de explicar os movimentos dos astros no universo. 
 
1. Boyer, Carl B. História da matemática. 2ª Edição. São Paulo (1996). Edgard Blücher 
ltda. 
2. Eves, Howard. Introdução à História da Matemática (2004). São Paulo. Unicamp. 
 
 
VETORES 
 
O que é um Vetor? 
É um segmento de reta orientado que possui módulo direção e sentido”. 
 
 
Representação de vetores: 
Seja um segmento orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B: 
 
Este vetor é representado por AB ou AB ou v: 
      , , ,B B A A B A B A
v AB B A
x y x y x x y y
  
    
 
O módulo de AB é representado por AB ou | v | e calculado por: 
     
2 2
,B A B A B A B Av x x y y x x y y      
 
Exemplo: Dados os pontos A( 2 , 3 ) e B( 5 , 7 ), obtenha um vetor v formado por AB. Calcule o 
módulo de v. ( 2 , 3 ) ( 5 , 7 )
( 5 , 7 ) ( 2 , 3 ) ( 5 2 , 7 3 )
( 3 , 4 )
A B
v AB B A
v
v
  
    

 
2 2
( 3 , 4 )
3 4
9 16
25
5 
v
v
v
v
v

 
 


 
Soma Vetorial (método algébrico): 
Sejam dois vetores u = (xu , yu) e v = (xv , yv), a operação da soma e da subtração está definida 
algebricamente por: 
   
 
   
 
:
, ,
 ,
Subtração:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
u u v v
u v u v
Soma
u v x y x y
x x y y
u v x y x y
x x y y
  
  
  
  
 
Soma Vetorial (método gráfico): 
Exemplo: Dados os vetores u, v e w, e sabendo que: 
 u = (4 , 0); 
 v = (4 , 4); 
 w = (4 ,-8); 
Obtenha graficamente o vetor S, onde: S = u + v + w 
 
Multiplicação por Escalar: 
Seja um vetor v = (xv , yv), é possível obter um vetor w, múltiplo de v, usando a propriedade da 
multiplicação por escalar: 
 
 
 
Seja n R:
 
 , onde:
 ,
 ,
w v
w w
w vv v
v v
w n v x n x
w x y
y n yn x y
n x n y

   
  
   
  
 
Propriedades da Multiplicação por escalar: 
Seja w, um vetor múltiplo de v, ou seja, w = n·v (n R), então: 
1) Módulo: O módulo de w necessariamente será um múltiplo do módulo de v, ou seja, 
|w| = n·|v|; 
2) Direção: A direção de w é a mesma direção de v; 
3) Sentido: O sentido de w será determinado pelo sinal de n. 
Ângulo Entre Vetores: 
O ângulo entre dois vetores u e v , não nulos, é o ângulo formado pelas semi-retas que dão 
direção aos mesmos 
 
Vetores Colineares: 
 
 
Vetores Ortogonais 
 
Propriedadesdos Vetores Ortogonais: 
1. | u + v |2 = |u|2 + |v|2 
2. Se u é ortogonal a v, u também é ortogonal a um múltiplo de v; 
 
Decomposição de um Vetor no Plano (R²): 
“Qualquer vetor v contido em um plano poderá ser decomposto em qualquer conjunto de dois 
vetores não colineares contidos no mesmo plano ”. 
 
Base para o Plano (R²): 
“Qualquer conjunto de dois vetores não colineares, são uma base para o plano.” 
 
Base Canônica do Plano (R²): 
“A partir de agora, quando falarmos em base do plano (R²), estaremos nos referindo à base 
canônica.” 
 
 
Expressão Analítica de um vetor no Plano: 
 
   
   
 
 
 
 , 
 , 0 0 , 
1 , 0
 1 , 0 0 , 1 :
0 , 1
 , 
v a b
a b
i
a b mas
j
v a b a i b j

 
 
    

    
 
Dois vetores u = (a1, b1) e v = (a2, b2) são iguais se e somente se a1 = a2 e b1 = b2, e escreve-se 
que u = v; 
Exemplo: 
Sejam os vetores u = ( x+1 , 4 ) e v = ( 5 , 2y-6 ), de acordo com a definição de igualdade de 
vetores, encontre o valor de x e y na qual u = v. 
   
 
1 , 4 5 , 2 6
1 5 4
 
2 6 4 5
u v
x y
x x
y y

  
  

  
 
Decomposição de um Vetor no Espaço (R³): 
“Todos os estudos feitos no espaço (R³) é análogo ao estudo realizando no plano (R²), 
considerando as devidas adequações”. 
 
 
Base Canônica do Espaço (R³): 
 
Expressão Analítica de um vetor no Espaço: 
 
     
     
 
 
 
 
 , , 
 ,0,0 0, ,0 0,0, 
1,0,0
 1,0,0 0,1,0 0,0,1 : 0,1,0
0,0,1
 , , 
v a b c
a b c
i
a b c mas j
k
v a b c a i b j c k

  
 

      


      
 
No espaço (R³), dois vetores u = (a1, b1 , c1) e v = (a2, b2 , c2) são paralelos entre si, se e 
somente se: 
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
 
Operações com vetores: 
1. u + v = v + u; 
2. (u + v) + w = u + (v + w) 
3. u + 0 = u 
4. u + (-u) = 0 
5. m·(n·v) = (m·n)·v (n e m ε R) 
6. (m+n)·v = n·v + m·v (n e m ε R) 
7. n·(u + v) = n·u + n·v (n ε R) 
 
Exemplo: Determine o vetor w = (a , b , c) para que a igualdade 3w + 2u = 4 v – w seja 
satisfeita, sabendo que u = (3, -1,0) e v = (-2, 4,1). 
 
 
 
 
   
 
 
3 , 1 , 0 2 6 , 2 , 0
 
4 8 , 16 , 42 , 4 , 1
 3 2 4
 3 4 2
4 8 , 16 , 4 6 , 2 , 0
4 14 , 18 , 4
1
14 , 18 , 4
4
7 9
 , 
2 2
u u
vv
w u v w
w w v u
w
w
w
w
   
 
   
  
  
   
 
 

 , 1 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os valores de m e n para que os vetores sejam paralelos: 
u = ( m+1 , 3 , 1 ) e v = ( 4 , 2 , 2n-1 ) 
 // :
1 3 1
4 2 2 1
1 3
1 6 5
4 2
 2 5
1 3 2 1 
3 6
2 1 2
Se u v
m
n
m
m m
n n
n

 


   

    
 
 
 
 
 
 
PRODUTO ENTRE VETORES 
Produto Interno (Escalar): 
“ Chama-se produto escalar, ou produto interno, a operação na qual se obtêm um número real 
a partir de dois vetores.” 
 
Propriedades do Produto Escalar: 
 
Produto Vetorial: 
“ Chama-se produto vetorial a operação entre dois vetores na qual se obtêm um terceiro vetor 
ortogonal a estes dois 
vetores.” 
 
 
Propriedades do Produto Vetorial: 
 
 
 
 
 
Produto Misto: 
 
Propriedades do Produto Misto: 
1. A única maneira do produto misto entre três vetores ser nulo é se um destes vetores é 
o próprio vetor nulo, se dois destes vetores são colineares, ou se os três vetores são 
coplanares. 
2. Ordem cíclica: ( u , v , w ) = ( v , w , u ) = ( w , u , v ) 
3. Ordem acíclica: ( u , v , w ) = ─ ( v , u , w ) 
4. ( u, v , w1 + w2) = ( u, v , w1) + ( u , v , w2 ) 
5. ( nu , v , w ) = ( u , nv , w ) = ( u , v , nw ) 
6. Geometricamente, o valor absoluto produto misto de três vetores é igual ao volume 
do paralelepípedo formado por eles. 
 
Exercício: Dados os vetores u e v, e os pontos A e B, determine o valor de n tal que: u · ( v + BA) 
= 5 
(4 , 1 , 2) (3 , 2 , 1) (4 , , 1) ( , 2 , 3)A B u n v n    
 
 
     
 (4 , 1 , 2) (3 , 2 , 1)
 (1 , 3 , 3)
 ( , 2 , 3) (1 , 3 , 3)
 ( 1 , 1 , 6)
 (4 , , 1) ( 1 , 1 , 6)
 4 1 1 1 6
 
BA
v BA n
n
u v BA n n
n n
    
 
    
  
       
        
 4 4 6
 3 2
3 2 5
7
3 7 n
3
n n
n
n
n
   
 
 
  
 
Exercício: Calcule o ângulo entre os vetores u=(1 , 1 , 4) e v=(-1 , 2 , 2) 
 
 
  
2 2 2
2 2 2
 (1 , 1 , 4) 
 1 1 4 18 3 2
 ( 1 , 2 , 2)
 1 2 2 9 3
 (1 , 1 , 4) ( 1 , 2 , 2)
 1 1 1 2 4 2
 9
9
cos
3 2 3
9
 
9 2
1
 
2
 
u
u
v
v
u v
u v
u v

 
    
  
     
    
      


 


2
 45 
2
o  
 
Exercício: Calcule um vetor w simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1 , 1,4) e v=(-1 , 2, 2). 
     
     
 
det 1 1 4
1 2 2
 1 2 2 4 1 2 ( 1) 4 1 2 ( 1) 1
 2 8 2 4 2 1
 6 6 3
 6 , 6, 3 
i j k
w u v
i j k
i j k
i j k
w
  

             
     
   
  
 
Exercício: Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(1 , 1 , 4) e v=(-1 , 2 , 2) 
 
   
,
2 2 2
,
Do exercício anterior: 6 , 6, 3
 6 6 3
 36 36 9
 81
 9 
u v
u v
u v
A u v
A
   
 
    
  


 
Exercício: Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(1 , 1, 4) , v=(-1 , 2, 2) 
e w=(-2 ,-2, 3) 
 
           
     
1 1 4
, , det 1 2 2
2 2 3
 1 2 3 ( 2) 2 1 ( 1) 3 ( 2) 2 4 ( 1) ( 2) ( 2) 2
 6 4 3 4 4 2 4
 10 1 4 6
 10 1 24
 33
 
u v w  
 
                    
       
   
  

 , , , , , , 33 u v w u v wV u v w V  
 
 
A RETA 
 
Equação Vetorial da Reta: 
 
 
 
Exercício: a)Determine a Equação Vetorial da Reta que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a 
direção do vetor v = 2i + 2j – k; b) O Ponto P(7, 4, -7) pertence a esta reta? 
) ( , , )
 (3,0,5)
 (2, 2,1)
 
 
 
( , , ) (3,0,5) (2,2,1)
a P x y z
A
v
AP t v
P A t v
P A t v
x y z t


 
 
 
 
) (7,4, 7)
 r: ( , , ) (3,0,5) (2,2,1)
 r ?
(7,4, 7) (3,0,5) (2,2,1)
(7,4, 7) (3,0,5) (2,2,1)
(4,4, 12) (2 ,2 , )
2 4 2 
 2 4 2 FALSO!
12 12
b P
x y z t
P
t
t
t t t
t t
t t
t t

 

  
  
 
  

  
     
 
 
 
Equação Paramétrica da Reta: 
 
Exercício: a) Determine a Equação paramétrica da Reta que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e 
paralela ao vetor v=–3i–2j+k; b) O Ponto Q(0, 3, 1) pertencem a esta reta? 
) ( , , ) (3, 1, 2) (3, 2,1)
. Vetorial: ( , , ) (3, 1, 2) (3, 2,1)
 ( , , ) (3, 1, 2) (3 , 2 , )( , , ) (3 3 , 1 2 , 2 )
3 3 
. Paramétrica:
a P x y z A v
Eq x y z t
x y z t t t
x y z t t t
x t
Eq y
  
   
   
    
 
 1 2
2 
t
z t


 
  
 
) (0,3,1)
3 3 
 r: 1 2
2 
 r ?
0 3 3 1
3 1 2 1 ok, Q r!
1 2 1
b Q
x t
y t
z t
P
t t
t t
t t
 

  
  

   

      
    
 
 
 
 
 
Equação Simétrica da Reta: 
 
 
Exercício: Determine a Equação simétrica da Reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a 
direção do vetor v = 2i + 2j - k. 
( , , ) (3,0, 5) (2, 2, 1)
3
23 2 3 2 
. Paramétrica: 2 2 
2
5 5 
5
1
3
. Simétrica: 
2
P x y z A v
x
t
x t x t
y
Eq y t y t t
z t z t
z
t
x
Eq t
  


     
  
      
         
 


5
 
2 1
y z 
 

 
 
Equação Reduzida da Reta: 
 
Exercício: Determine as Equações Reduzidas da Reta que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e B(4, 
0, -2). 
(2,1, 3) (4,0, 2)
(2, 1,1) 
2 1 3
 . Simétrica: 
2 1 1
2 1
2 1
 
2 3
2 1
A B
AB
x y z
Eq
x y
x z
 
 
  
 

 
 

  

2 2 2 2 4
 
2 2 6 2 8
4
2
 . Reduzida: 
8
 
2
x y y x
x z z x
x
y
Eq
x
z
       
  
     
 


 
 
Propriedades das Retas: 
1. Retas podem ser paralelas aos planos e aos eixos coordenados; 
 
2. É possível Calcular o ângulo entre duas retas usando o produto escalar; 
3. Duas retas são paralelas quando quaisquer dois vetores pertencentes às mesmas 
obedecem a regra de paralelismo entre dois vetores. 
4. Duas retas são ortogonais entre si quando quaisquer dois vetores pertencentes às 
mesmas são ortogonais; 
5. Condição de coplanaridade de duas retas: 
 
 
O PLANO 
Equação Cartesiana do Plano 
 
Exercício: Determine a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, -1, 3), sendo n = 3i 
+ 2j – 4k um vetor normal a π. 
( , , ) (2, 1,3) (3,2, 4)
( 2, 1, 3)
0
(3,2, 4) ( 2, 1, 3) 0
3( 2) 2( 1) 4( 3) 0
3 6 2 2 4 12 0 : 3 2 4 16 0 
P x y z A n
AP x y z
n AP
x y z
x y z
x y z x y z
  
   
 
     
     
          
 
Equação Paramétrica do Plano 
 
Exercício: Determine a equação paramétrica do plano π que passa pelo ponto A(2, -1, 3), e que 
contém os vetores u = -3i - 3j + k e v = (2, 1, -2) 
( , , ) (2, 1,3) ( 3, 3,1) (2,1, 2)
 ( , , ) (2, 1,3) ( 3, 3,1) (2,1, 2) 
 ( , , ) (2 3 2 , 1 3 , 3
P x y z A u v
AP hu tv
P A hu tv
P A hu tv x y z h t
x y z h t h t h
     
 
  
          
       2 )
 
2 3 2
 : 1 3 Equação Paramétrica
3 2
t
x h t
y h t
z h t


  

   
   
 
Ângulo entre uma Reta e um Plano 
 
Ângulo entre dois planos 
 
Paralelismo entre uma Reta e um Plano 
 
 
Paralelismo Entre Planos 
 
 
 
 
Perpendicularismo entre uma Reta e um Plano 
 
 
 
Perpendicularismo Entre Planos 
 
 
 
INTERSEÇÕES 
 
Interseção Entre Duas Retas Reversas 
 
 
Interseção Entre Duas Retas Coplanares 
 
 
Interseção Entre Dois Planos 
 
 
 
 
Interseção Uma Reta e um Plano 
 
DISTÂNCIAS 
 
Distância Entre Dois Pontos no Plano (R²) 
 
Distância Entre Dois Pontos no Espaço (R³) 
 
Distância de um Ponto e uma Reta 
 
Distância de um Ponto e um Plano 
 
Distância Entre Duas Retas Paralelas 
 
Distância Entre Duas Retas Reversas 
 
 
Distância Entre Planos Paralelos 
 
Exercício: Calcule a distância entre os pontos P1(7,3,4) e P2(1,0,6).  
 
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2
1 2
(7,3, 4) (1,0,6)
( 6, 3,2)
, ( 6, 3, 2)
 ( 6) ( 3) 2
 36 9 4
 49 , 7
P P
PP
d P P PP
d P P
  
   
    
  
  
 
Exercício: Calcule a distância entre o ponto P(2,0,7) e a reta r: 
2 7
: 
2 2 1
x y z
r
 
 
 
     
2 2 2
2 2 2
(2,0,7) (0, 2,7) (2, 2,1)
 ( 2, 2,0)
 2 2 1 3
 det 2 2 1 2 2 8
2 2 0
 2 2 8 6 2
rr
r
r
r r
r r
P P v
PP
v
i j k
v PP i j k
v PP

  
    
 
 
       
  
      
 
 ,
6 2
 
3
 2 2
r r
r
v PP
d P r
v




 
 
CÔNICAS 
A Parábola 
É o lugar geométrico dos pontos de um plano na qual a distância entre estes pontos e a reta 
geratriz é igual a distância destes pontos ao foco da parábola. 
 
Desenvolvimento Matemático da Parábola 
 
A equação x² = 2py é conhecida como equação reduzida da parábola e constitui a forma 
padrão da equação da parábola. Analisando a equação, conclui-se que o tremo 2py é sempre 
positivo, pois x² ≥ 0, então p e y sempre terão o mesmo sinal. Consequentemente se p > 0, a 
parábola terá concavidade para cima, enquanto que p < 0, a parábola terá concavidade para 
baixo. 
 
A Elipse 
É o lugar geométrico dos pontos de um plano na qual soma das distâncias a dois pontos fixos 
desse plano é constante, ou seja: 
dF1P + dF2P = dA1A2
 
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, e, A1, A2, B1 e B2, são os vértices 
da elipse. 
 
Desenvolvimento Matemático da Elípse 
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
1 2 2 1
,
,
2 ,0
FP P F x c y
F P P F x c y
A A A A a
   
   
  
 
 
     
   
    
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 22 2
2 22 2
2
2 22 2
2
 
 
2
 2
 2
 
 
F P F P A Ad d d
F P F P A A
x c y x c y a
x c y a x c y
x c y a x c y
x
 
 
     
     
     
    
2 22 2 2 2 2
2
2 4 4cx c y a a x c y x c y
x
        
22cx c  2y  
22 2 24 4a a x c y x     22cx c  2y
 
 
 
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
4 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
 4 4 4
 
 
2
 2
2
a x c y a cx
a cx
x c y
a
a cx
x c y
a
a a cx c x
x cx c y
a
a x a cx
   

  
 
    
 
 
   
 2 2 2 2 4 22a c a y a a cx   
   
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
 
 
 
 1
 1
c x
a x c x a y a a c
a c x a y a a c
b x a y a b
b x a y
a b
x y
a b

   
   
 


 
 
 
A Hipérbole 
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja a diferença das distâncias, em valor 
absoluto, a dois pontos fixos deste plano é constante: |dF1P - dF2P|= dA1A2 
 
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, A1 e A2, os vértices dahipérbole, e a distância entre F1 e F2, é dita distância focal. 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
1 2 2 1
,
,
2 ,0
FP P F x c y
F P P F x c y
A A A A a
   
   
  
 
     
   
   
    
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 22 2
2 22 2
2 22 2
2 22 2
 
2
 2
 2
 2
F P F P A Ad d d
F P F P A A
x c y x c y a
x c y x c y a
x c y a x c y
x c y a x c y
 
 
     
      
      
      
   
2
2 22 2 2 2 2 2
2
 
 2 4 4x cx c y a a x c y x c y
x
         
22cx c  2y  
22 2 24 4a a x c y x     22cx c  2y
 
 
 
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
4 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
 4 4 4
 
2
 2
2
a x c y a cx
a cx
x c y
a
a cx
x c y
a
a a cx c x
x cx c y
a
a x a cx
    
 
    
 
 
    
 
 
   
 2 2 2 2 4 22a c a y a a cx   
   
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
 
 
 
 1
 1
c x
a x c x a y a a c
a c x a y a a c
b x a y a b
b x a y
a b
x y
a b

   
   
   


 
 
 
 
Translação de Eixos 
 
Então, com a ajuda da figura, temos que: 
x = x’ + h e y = y’ + k 
Ou então: 
x' = x - h e y’ = y - k 
Equação geral da Parábola 
 
   
2`
 ` 2 `
`
x x h
x p y
y y k
 
 
 
 
 
 
Equação geral da elipse 
 
   
2 2
2 2
` ` `
 1
`
x x h x y
y y k a b
 
  
 
 
 
 
Equação geral da Hipérbole 
 
   
2 2
2 2
` ` `
 1
`
x x h x y
y y k a b
 
  
 
 
 
 
 
Exercícios 
Primeira Parte: VETORES 
1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-2,3), E(4,-5) e F(-3,-3). Obtenha os seguintes 
vetores pela forma algébrica: 
) AB ) BA )CA ) DA ) EA ) FA
) AC ) BC )CB ) DB ) EB ) FB 
) AD ) BD )CD ) DC 
a f k p u z
b g l q v ab
c h m r ) ) 
) AE ) BE )CE ) DE ) ED ) FD 
) AF ) BF )CF ) DF ) DF ) FE 
w EC ac FC
d i n s x ad
e j o t y ae
 
2. Calcule o módulo para todos os vetores da primeira questão. 
3. Sejam os vetores 
        5,3 , 4,0 , 2, 1 , 0, 2 .v v v v      1 2 3 4
 Obtenha os 
seguintes vetores pelo método gráfico, e depois, confirme o resultado utilizando o método 
algébrico: 
     
1 2 2 3 1 2 4 1 2 3 4
1 2 4 1 4 3 2 1 3 2 4
2 1 4 3
) ) ) ) 
) ) ) ) 
) ) 
a a v v d d v v g g v v v j n v v v v
b b v v e e v v h h v v v k o v v v v
c c v v f f v v i
          
          
       2 1 3 1 2 3 4) ) m v v v l p v v v v        
 
4. Calcule o módulo para cada um dos vetores calculados no exercício anterior. 
5. Assumindo que m e n são dois números Reais, e que 
 u e v
 são dois vetores pertencentes 
ao R², realize as seguintes demonstrações: 
   ) ) a m n v mv nv b n u v nu nv     
 
6. Demonstre que a lei necessária para que dois vetores do R3, 
u
= (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), 
sejam paralelos é: 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
 
 
7. Determine os valores de m e n para que os vetores u e v sejam paralelos. 
   u m 1 i 3j k 4 , 2 , 2n 1v     
 
8. Sendo AB um seguimento de reta formado entre os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2). Seja 
M(x, y, z) um ponto médio entre este A e B. Mostre que: 
 
1 2
1 2
1 2
2
2
2
x x
x
y y
y
z z
z






 
9. Dados os vetores 
u
 =(1, a, 2a-1), 
v
=(a, a-1, 1) e 
w
=(a, -1, 1), determine o valor de “a” 
para que 
 u v u v w   
 
10. Seja o vetor 
v
 = (m+7)
i
 + (m + 2)
j
 + 5
k
. Calcule m para que 
 v = 38
. 
11. Calcule o ângulo formado entre os vetores 
u
 = (1, 1, 4) e o vetor 
v
 = (-1, 2, 2). 
12. Determine um vetor 
w
 que seja simultaneamente ortogonal aos vetores 
u
 = (2, -3, -12) 
e 
v
= (-6, 4, -2). 
13. Calcule um vetor 
w
ortogonal aos vetores 
u
= (1, 1, 4) e o vetor 
v
 = (-1, 2, 2). Após obter 
o vetor
w
, calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores 
w
 e
u
, depois calcule a 
área do paralelogramo formado por 
w
e 
v
, e por fim a área do paralelogramo formado 
por 
u
 e 
v
. Calcule o volume do paralelepípedo gerado por 
u
, 
v
 e
w
. 
 
Segunda Parte: A Reta 
14. Verifique se os Pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem a reta r: 3 1 2
1 2 2
x y z  
 
 
 
15. Determine o ponto da reta r que tem o valor da abscissa igual a 4: 
2
: 3
1 2
x t
r y t
z t
 

 
  
 
16. Determine o valor de m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença a reta r: 
1 2
: 3
4
x t
r y t
z t
 

  
   
 
17. O ponto P(2, a, b) pertence a uma reta r. Esta reta r passa pelos pontos C(3, -1, 4) e D(4, 
-3, -1). Calcule o valor de a e b. 
18. Mostre que os pontos A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) são colineares. 
19. Qual o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à 
mesma reta? 
 
20. A reta 
1 2
: 
3 
x t
r y t
z t
 


  
 forma um ângulo de 60° com a reta que passa pelos pontos A(3, 
1, -2) e B(4, 0, m). Calcule o valor de m. 
 
21. Calcule o valor de m para que as retas r e s sejam paralelas. 
3 
5 1
: 3 : ; z = 6
6
4 
x t
x y
r y t s
m
z
 
 
  
  
22. Sejam os pontos A(2,0,5), B(4,3,9), C(-1,0,3), D(2,-1,3), E(-1,2,1), F(3,8,9), G(5,8,-7), H(5,2,-
3), I(-5,-3,6) e J(-6,-2,9): 
a) Obtenha a equação vetorial da reta r, que passa pelos pontos A e B, e da reta 
s, que passa pelos pontos C e D. 
b) Obtenha a equação paramétrica da reta r e da reta s. 
c) Obtenha a equação simétrica da reta r e da reta s. 
d) Obtenha a equação reduzida da reta r e da reta s. 
e) Calcule o ângulo formado entre as retas r e s. 
f) Seja t a reta que passa pelos pontos E e F, verifique se a mesma é paralela à r e 
s. 
g) Seja u a reta que passa pelos pontos G e H, esta reta é ortogonal a r ou s? 
h) Seja q a reta que passa pelos pontos I e J. Esta reta é coplanar às retas r e s? 
 
Terceira Parte: O Plano 
23. Seja o plano π: 2x – y + 3z + 1 = 0. Calcule: 
a) Um ponto deste plano que tem abscissa 4 e ordenada 3; 
b) Um ponto deste plano que tem abscissa 1 e cota 2; 
c) O valor de k para que o ponto P(2 , k+1 , k) pertença ao plano; 
d) O valor da abscissa do ponto deste plano onde a ordenada vale o dobro da cota. 
24. Determine a equação geral do plano para os seguintes casos: 
a) Paralelo ao plano π: 2x – 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto P(4 , -1 , 2); 
b) Que contém o ponto A(1, 2, 3) e que é perpendicular a reta 
2 3
:
1
x y
r
z y
 

  
 
c) Do plano que corta perpendicularmente o seguimento de reta de extremidades A(1, 
-2, 6) e B(3, 0, 0) ao meio; 
d) Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1). 
25. Determine a equaçãogeral do plano determinado pelos pontos: 
a) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C (1, 1, -1); 
b) A(2,1, 0), B(-4, -2, -1) e C (0, 0, 1); 
c) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C (0, 2, 5); 
d) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C (4, 2, 3); 
26. Determine a equação geral do plano que contém: 
a) O ponto A(3, -1, 2) e a reta r: (x, y, z) = (0, 2, 3) + t(1, -1, 2); 
b) As retas 1 12 3
: e : 3 5
2
1 
x z
y x
r s
z x
y
 
   
 
     
 
27. Estabeleça as equações paramétricas do plano que contém os pontos A(1, 1, 0), B(2, 
1, 3) e C(-1, -2, 4). 
28. Dada a equação geral do plano π: 3x – 2y – z – 6 = 0, determine um sistema de equações 
paramétricas deste plano. 
29. Calcule: 
a) O ângulo entre os planos: 
π1: x + 2y + z – 10 = 0 e π2: 2x + y - z + 1 = 0 
b) O ângulo entre os planos: 
π1: 3x + 2y – 6 = 0 e π2: plano yOz 
c) O valor de m para que o ângulo entre os planos seja de 30°: 
π1: x + my + 2z – 7 = 0 e π2: 4x + 5y + 3z - 2 = 0 
d) O valor de a e b para que os planos sejam paralelos: 
π1: ax + by + 4z – 1 = 0 e π2: 3x – 5y – 2z + 5 = 0 
e) O valor de m para que os planos sejam perpendiculares: 
π1: 2mx + 2y – z = 0 e π2: 3x – my + 2z – 1 = 0 
f) O ângulo entre o plano π e a reta r: 
π: 2x – y + 7z – 1 = 0 e r: (x, y, z) = (2, 0, -1) + t(3, -4, 5) 
g) A equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P(-1,0,0), e que seja 
simultaneamente paralela aos planos: 
π1: 2x – y – z + 1 = 0 e π2: x + 3y + z – 5 = 0 
 
 
Quarta Parte: Interseções e Distâncias 
30. Mostre que o ponto P1(2,2,3) é eqüidistante aos pontos P2(1,4,-2) e P1(3,7,5). 
31. Determine um ponto sobre o eixo das ordenadas que é eqüidistante aos pontos A(1,1,4) e 
B(-6,6,4). 
32. Calcule a distância entre o ponto P(1,2,3) e: 
a) A reta: 
1 2
: 2 
2
x t
r y t
z t
 


  
 
 
b) Ao eixo da abscissa, ao e da ordenada e ao eixo da cota. 
33. Descubra a relação existente em cada par de retas dadas e depois calcule a distância 
entre elas: 
a) 
0 3
: : 
2
x y
r s
y z z x
  
 
  
 
b) A reta r passa pelos pontos A(1,0,1) e B(-1, -1, 0) e a reta S passa pelos pontos C(0,1,-
2) e D(1,1,1); 
c) 
3 1
: : 
2 4
x x
r s
y y
  
 
  
 
d) 
12 5 2
: : 
42 5 1
xx y z
r s
y
  
  
  
 
e) 
1
: 2 3 : Eixo do x 
 
x t
r y t s
z t
 

 
  
 
 
 
Quinta Parte: Cônicas 
34. Em cada um dos problemas a seguir, estabeleça a equação da parábola sabendo que: 
a) Vetrice em V(0,0) e diretriz em d: y=−2; 
b) Vetrice em V(0,0) e foco em F(0,-3); 
c) Vetrice em V(0,0), simetria em relação ao eixo dos y e que passa pelo ponto P(2,-3). 
35. Em cada um dos problemas a seguir, determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola. 
Esboce o gráfico. 
a) x² = -12y 
b) y² = -100x 
c) y² -x = 0 
36. Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices A1 e A2, os focos da elípse. 
Esboce o gráfico. 
a) 2 2
1
100 36
x y
 
 
b) 2 2
1
36 100
x y
 
 
c) 
2 225 25x y 
 
d) 
2 29 5 45 0x y  
 
e) 
2 24 9 25x y 
 
 
37. Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices, os focos da hipérbole. Esboce 
o gráfico. 
a) 2 2
1
100 64
x y
 
 
b) 2 2
1
100 64
y x
 
 
c) 
2 29 16 144x y 
 
d) 
2 24 5 20 0x y  
 
e) 
2 2 1x y 
 
 
RESPOSTAS 
         
         
       
1. a) AB 1,0 ) BC 1,1 )CD 2,2 ) DE 6, 8 ) DF 1,2
 ) AC 0,1 ) BD 3,3 )CE 4, 6 ) DF 1, 6 ) FA 3,3
 ) AD 2,3 ) BE 3, 5 )CF 3, 4 ) EA 4,5 ) F
g m s y
b h n t z
c i o u ab
        
        
          
         
         
       
B 4,3
 ) AE 4, 5 ) BF 4, 3 ) DA 2, 3 ) EB 3,5 ) 3,4
 ) AF 3, 3 )CA 0, 1 ) DB 3, 3 ) 4,6 ) FD 1,6
 ) BA 1,0 )CB 1, 1 ) DC 2, 2 ) ED 6,8
d j p v ac FC
e k q w EC ad
f l r x

         
         
         ) FE 7, 2ae  
 
2. a) AB 1 ) BC 2 ) CD 2 2 ) DE 10 ) DF 5 
 ) AC 1 ) BD 3 2 ) CE 2 13 ) DF 37 ) FA 3 2
 ) AD 13 ) BE 34 ) CF 5 ) EA 41 ) FB
g m s y
b h n t z
c i o u ab
    
    
    5 
 ) AE 41 ) BF 5 ) DA 13 ) EB 34 ) 5 
 ) AF 3 2 ) CA 1 ) DB 3 2 ) 2 13 ) FD 37 
 ) BA 1 ) CB 2 ) DC 2 2 ) ED
d j p v ac FC
e k q w EC ad
f l r x

    
    
   10 ) FE 53 ae  
       
       
 
3. ) 9,3 ) 6,1 ) 9,5 ) 7,0 
 ) 1,3 ) 5,1 ) 2, 1 ) 1,4
 ) 1, 3 ) 
a a d d g g j n
b b e e h h k o
c c f f
   
      
         2, 3 ) 3, 3 ) 1,0i m l p     
 
 
 
4. ) 3 10 ) 37 ) 106 ) 7 
 ) 10 ) 26 ) 5 ) 17
 ) 10 ) 13 
a a d d g g j n
b b e e h h k o
c c f f i
   
   
  ) 3 2 ) 1 m l p 
 
5. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 
6. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 
7. m = 5 e n = 5/6 
8. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 
9. a = −2 
10. m = −4 
11. θ = 45° 
12. Qualquer múltiplo de 
w
= (54, 76, −10). 
13. 
w
= (−6, −6, 3); 
w e uA 27 2 u.d.a
; 
w e vA 27 u.d.a
; 
u e vA 9 u.d.a
; 
V 81 u.d.v . 
14. P1 ∈ r e P2 ∉ r 
15. P(4 , 1 , 5) 
16. m = ─2 e n = ─5 
17. a = 1 e b = 9 
18. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 
19. m = ─5 
20. m = ─4 
21. m = ─2 
     
     
22. a) r : , , 2,0,5 2,3,4
 s : , , 1,0,3 3, 1,0
2 2 1 3
 ) r : 3 s : 
5 4 3 
2 5
 ) r :
2 3 4
1
 s : ; 3
3
3
3
 ) r : 2
x y z t
x y z t
x t x t
b y t y t
z t z
x y z
c
x
y z
x
y
d
z
 
   
     
 
   
    
 
 

  
  3 1
 s :
3 
2 1
 e) = 79,85
 ) 
 ) 
 ) 
o
x y
z
x
f É paralela apenas à reta r
g Não é ortogonal a nenhuma das duas
h Não é coplanar


  
 
  
 
23. a) P1(4,3,-2) b) P2(-3,1,2) c) k= ─ 2 d) 1
 2
2
z
x e y z
 
 
 
24. a) π1: 2x – 3y – z – 9 = 0 b) π2: 2x + y – z – 1 = 0 
 c) π3: 2x + y – 3z + 8 = 0 d) π4: y – 4 = 0 
25. a) π1: 4x + 5y + 3z – 6 = 0 b) π2: x + 2z – 2 = 0 
 c) π3: x = 0 d) π4: z – 3 = 0 
26. a) π1: x + y – 2 = 0 b) π2: 5x – 3y – z – 7 = 0 
27. 
1 2
: 1 3 
3 4 
x t h
y h
z t h

  

 
  
 
 
28. 
1 
: 1 
5 3 2
x t
y h
z t h

 

 
    
 
29. a) θ = 24,5° b) θ = 64,6° c) m = 1 ou m = 7 d) a = ─ 6 e b = 10 
 e) m = 0,5 f) θ = 60° g) 
1 2
: 3 
7 
x t
r y t
z t
  

 
 
 
30. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 
31. b = 7 
32. a)
 
2 2
3
d 
 
 b)
 
13 ; 10 ; 5x y zd d d  
 
 
33. a) Retas reversas, 6
2
d 
 b) Retas reversas,35
7
d 
 
 c) Retas reversas, 
2 2d 
 d) Retas reversas, 3 2
2
d 
 
 e) Retas reversas, 10
5
d 
 
34. a) 2
8
x
y 
 
 
 b) 2
12
x
y


 
 
 c) 23
4
x
y


 
 
35. a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
36. a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
37. a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e)