Lista Exerc Pre Calculo Sem 1 2018

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1 
 
 
Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 (MA71A) - Profª: Silvana Heidemann Rocha 
Estudante: _________________________________________ Código: ___________ 
 
Lista de Exercícios de Pré-Cálculo - Valor: 0 a 1,5 – Entrega em 05/04/2018 
 
 Observações: 
• Apresentar este trabalho com capa e folha de rosto, conforme normas para trabalhos acadêmicos 
• Caso não saiba alguma questão, deixar o devido espaço em branco, e vá adiante resolvendo as demais. 
• Utilizar softwares matemáticos para conferir os resultados dos exercícios e fazer as representações 
geométricas dos gráficos, sempre que possível (Ex.: Symbolab, Winplot) 
 
 
1) Represente, por enumeração ou por uma propriedade e, ainda, geometricamente, o conjunto 
dos números: 
 
a) Naturais (N) b) Inteiros (Z) c) Racionais (Q) 
d) Irracionais (R Q) e) Reais (R) f) Complexos (C) 
g) N* h) Z+ i) 𝑍−∗ 
j) Q* k) Q+ l) 𝑄−∗ 
m) R* n) R+ o) 𝑅−∗ 
 
 
2) Enuncie as propriedades da adição, da subtração, da multiplicação, da divisão, da 
potenciação e da radiciação nos seguintes universos: 
 
a) Conjunto dos números naturais (N) 
b) Conjunto dos números inteiros (Z) 
c) Conjunto dos números racionais (Q) 
d) Conjunto dos números irracionais (R Q) 
e) Conjunto dos números reais (R) 
f) Conjunto dos números complexos (C) 
 
 
 
2 
 
3) Utilize a definição de logaritmo e as propriedades da logaritmação para efetuar ou simplificar 
as seguintes expressões numéricas: 
 
a) 
log2 25
4 log2 5
= b) 
log 5
log 2 − 1
= c) 
ln 6
ln 8 + ln 27
= 
 
d) 
log0,01 10
log √1000
= e) log 0,00001 + (log0,01 10 − log100 1 )
−5
= 
 
f) 
log3 15
log2 150
= g) 
log5 18
log 18
= 
 
 
4) Considerando que o universo é o conjunto dos números reais, dê o conjunto solução das 
seguintes equações exponenciais: 
 
a) 3𝑥 = 243 b) 7𝑥 =
1
2401
 
 
c) (5𝑥)𝑥 = (252)9 d) 23
4𝑥
= 512 
 
e) 2𝑥
2−3𝑥−10 − 1 = 0 f) 2𝑥+1 − 2𝑥−1 + 2𝑥−3 − 2𝑥−4 = 50 
 
 
5) Sabendo que o log 2 ≅ 0,3010 e log 3 ≅ 0,4771, resolva a equação 5𝑥 = 15 no universo dos 
números reais. 
 
 
6) Dê o conjunto solução (por enumeração ou por uma propriedade) de cada equação do 
exercício 3, bem como o método de raciocínio que você utilizou, considerando que o 
universo é o conjunto dos números: 
 
a) Naturais b) Inteiros c) Racionais d) Irracionais 
 
 
7) Desenvolva os seguintes binômios de Newton, sendo 𝑛 ∈ 𝑁∗, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ∈ 𝑅 : 
 
a) (𝑥 + 𝑎)2 = b) (𝑥 − 𝑎)2 = 
c) (𝑥 + 𝑎)3 = d) (𝑥 − 𝑎)3 = 
e) (𝑥 + 𝑎)4 = f) (𝑥 − 𝑎)4 = 
⋮ (generalização) 
 g) (𝑥 + 𝑎)𝑛 = h) (𝑥 − 𝑎)𝑛 = 
3 
 
8) Fatore, se possível, as seguintes expressões algébricas, no universo dos números reais: 
 
a) 𝑥2 − 4 = b) 𝑥2 − 5 = c) 2𝑥2 − 7 = d) 𝑥2 + 4 = 
e) 𝑥3 − 8 = f) 𝑥3 + 8 = g) 𝑥3 − 𝑎3 = h) 𝑥3 + 𝑎3 = 
i) 𝑥4 − 𝑎4 = j) 𝑥5 − 𝑎5 = k) 𝑥𝑚 − 𝑎𝑚 = 
 
9) Para cada expressão dada, escreva uma expressão equivalente, mas com o denominador 
racionalizado (ou o numerador racionalizado, se for o caso), destacando a(s) condição(ões) 
de existência no universo dos números reais: 
 
a) 
2
√𝑥+3
= b) 
√𝑥−2
3
= c) 
𝑏
√𝑥+√𝑎
= 
 
 
d) 
1
√𝑥
3 −8
= e) 
√𝑥
4 − √𝑎
4
𝑥−𝑎
= f) 
√𝑥
𝑚 − √𝑎
𝑚
𝑎−𝑥
= 
 
 
10) Em cada expressão trigonométrica abaixo, escreva um resultado equivalente, isto é, 
obtenha as respectivas identidades trigonométricas: 
 
a) sen (a + b) = b) cos (a + b) = c) tg (a + b) = 
d) cossec (a + b) = e) sec (a + b) = f) cotg (a + b) = 
g) sen 2𝑎 = h) cos 2𝑎 = i) tg 2𝑎 = 
j) cossec 2a = k) sec 2𝑎 = l) cotg 2𝑎 = 
m) sen
𝑎
2
= n) cos
𝑎
2
= o) tg
𝑎
2
= 
p) 𝑠𝑒𝑛2𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎 = q) 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 = 
r) 𝑡𝑔2𝑎 + 1 = s) 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑎 + 1 = 
t) 
1+cos 2𝑎
2
= u) 
1−cos 2𝑎
2
= 
v) sen a ∙ sen b = w) cos a ∙ cos b = x) sen a ∙ cos b = 
y) sen a + sen b = z) sen a − sen b = 
z1) cos a + cos b = z2) cos a − cos b = 
 
4 
 
11) Em cada item, faça um diagrama como o abaixo e assinale nele os seguintes conjuntos: 
 
 
 a) 
CBA 
 b) 
)( CBA 
 
 c) 
)( CBA 
 d) 
ACB  )(
 
 e) 
)()( CABA 
 f) 
)( CBA 
 
 g) CBA . 
 h) 
CBA )( 
 i) 
)( BAAC 
 
 
 
 
12) Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D, não-vazios, de 
modo que se tenha 
,BA
 
,AB 
 
)( BAC 
 e D 
)( BA
. 
 
 
 
13) Assinale V para verdadeiro e F para falso, no universo dos números reais, isto é, a, b e c são 
números reais. Se a afirmação for verdadeira dê um exemplo, se for falsa dê um contra-
exemplo e explicite a sentença correta: 
 
a) Se a > b e b > c, então a > c b) Se a > b e c > 0, então ac < bc 
c) Se a > b e c < 0, então ac > bc d) Se a > b, então a + c > b +c para todo c real 
e) Se a > b e c > d, então a + c > b + d f) Se a > b> 0 e c > d > 0, então ac < bd 
g) 
,axaax 
 onde a > 0 h) 
,axaax 
 onde a > 0 
i) Se a, b 
,R
 então  ab = ab j) Se a, b 
R
 e b  0, então 
b
a
b
a

 
k) Se a, b 
,R
então 
ba 

 a + b l) Se a, b 
,R
então 
ba 
 

 a + b 
m) Se a, b 
,R
 então a  b 

ba
 
n) Se a, b 
,R
 então 
 ba  ba
 
ba 
 

 a + b 
o) Se a = b , então a = b p) 
aa 2
, para todo a 

 R 
q) a2 = a2, para todo a 

 R 
 
 
 
 
 A B 
U 
 C 
5 
 
14) O produto cartesiano de dois conjuntos quaisquer, não-vazios, 𝐴 e 𝐵, denotado por 𝐴 × 𝐵, 
é definido como 
𝐴 × 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵} 
 
Num plano cartesiano, represente C × D, sabendo que C = { -2, 1, 4} e D =.] -1, 3] 
 
 
15) Considere os conjuntos numéricos N, Z, Q, (RQ) e R. Esboce geometricamente os 
produtos cartesianos abaixo: 
 
a) N2 b) Z2 c) Q2 d) R2 e) NR f) ZR 
 
 
16) Em cada item abaixo, é dada uma relação binária denotada por R. Enumerar os elementos 
de R-1, relação inversa de R. Após, em cada item, representar geometricamente num plano 
cartesiano R e R-1 : 
 
 a) R = {(1, -1), (2, -1), (3,-1), (-2, 1)} b) R = {(-3,-2), (1, 3), (-2,-3), (3,1)} 
 
 
17) Num plano cartesiano, esboce geometricamente o gráfico das relações binárias abaixo e 
verifique se elas representam uma função. Se sim, indique o domínio, o contradomínio e a 
imagem da função, e verifique se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora: 
 
a) A = {(x,y) 2R / y
2 = x} b) B = {(x,y) 2R / y = x
2} 
c) S = {(x,y) 2R / x
2 + y2 = 4} d) T = {(x,y) 2R / x
2 + y2 = 4 e 0
2 x
} 
e) X: 
R
y
R
x

 
, com y =








1 xse ,2
1x2- se 3,
-2 xse ,1
x
2x
 
 
18) Dê o domínio, o contradomínio e a imagem das seguintes relações binárias, de modo que 
elas representem uma função real de uma variável real. Após, verifique se cada uma das 
funções é injetora, sobrejetora ou bijetora. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
 
x
y
6 
 
19) Considere todos os infinitos retângulos cujo comprimento tem 3 cma mais que a largura. 
Dê a lei matemática que relaciona a área y com a largura x desses retângulos. Essa 
relação representa uma função? Justifique. 
 
 
20) Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa R$ 2200,00 para fabricar 
100 cadeiras em um dia e R$ 4800,00 para produzir 300 cadeiras em um dia. 
a) Expresse o custo como uma função do número de cadeiras produzidas, supondo que 
ela é linear. Dê seu domínio e imagem. 
b) Esboce o gráfico da função acima. 
c) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? 
d) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa? 
 
 
21) Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve 
pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por lugar que ficar vago. 
a) Expresse a lei que relaciona a quantia paga pelos passageiros à agência com o número 
de passageiros que compareceram para viagem. Essa lei representa uma função? 
Justifique. 
b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nessas condições? 
 
 
22) Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. 
Dispondo apenas de 30 m de tela, ele decidiu aproveitar um velho muro como uma das 
laterais do galinheiro. Sabendo que o muro tem extensão suficiente para ser lateral de 
qualquer galinheiro construído com essa tela, expresse matematicamente a área do 
galinheiro em função da referida lateral. Dê o domínio, a imagem e o valor da área máxima. 
 
 
23) Em cada item abaixo: 
• represente as relações binárias dadas de modo que expressem uma função real de uma 
variável real, destacando seu domínio, contradomínio e a lei de associação entre eles; 
• represente o gráfico de cada função por meio da notação de conjunto 
Exemplo: Graf(f) = { ( x, f(x) ) / f(x) = ...} ); 
• num mesmo plano cartesiano, represente geometricamente os gráficos das funções 
reais, partindo do gráfico básico dado por f e utilizando um software matemático 
(sugestão: Winplot, Symbolab); 
• dê a imagem de cada função; 
• verifique se cada função é injetora, sobrejetora ou bijetora 
7 
 
i) f(x) = x; g (x) =x + 1; h(x) = x – 2; i(x) =x + 3 
ii) f(x) = x; g(x) = 2x; h(x) =3x; i(x) = x/2; j(x) = x/4 
iii) f(x) = x; g(x) = -x iv) f(x) = x; g(x) = 2x - 3 v) f(x) = x; g(x) = 2 - x; 
vi) f(x) = x ; g(x) = 
4
3

x
 vii) f(x) = x ; g(x) = 4 -
2
x
 
viii) f(x) = x2; g(x) = x2 + 1; h(x) = x2 – 3 ix) f(x) = x2 ; g(x) = -x2; 
x) f(x) = x2 ; j(x) = -3-x2; xi) f(x) = x2 ; g(x) = 3x2 xii) f(x) = x2; h(x) = x2/5 
xiii) f(x) = x2; g(x) = x4; h(x) = x6; j(x) = x8 xiv) f(x) = x3; g(x) = x5; h(x) = x7 
xv) f(x) = 
x
; g(x) = 
1x
; h(x) = 
1x
; j(x) = 
x
 + 1; l(x) = 
x
  1 
xvi) f(x) = sen x ; g(x) = sen 2x ; h(x) = sen 
3
x
 
xvii) f(x) = sen x; g(x) = 2 + sen x; g(x) = -1 – sen x 
xviii) f(x) = cos x; g(x) = cos (x+
)
3

; h(x) = cos (x - 

) 
xix) f(x) = cos x; g(x) = cos (x + 1); h(x) = cos (x – 1); 
xx) f(x) = cos x; g(x) = 2 + cos 3x 
xxi) f(x) = 2x; g(x) = 2x + 3; h(x) = 1 – 2x; xxii) f(x) = 2 + 3.2x ; j(x) = 24x 
xxiii) f(x) = (1/3)x; g(x) = 5-(1/3)2x xxiv) f(x) = ex; g(x) = 2 + ex; h(x) = -2 - ex 
xxv) f(x) = log x; g(x) = 2 + log x; h(x) = -log x; com x 
*
 R
 
xxvi) f(x) = 
x2/1log
; g(x) = 5 - 
x2/1log
 , com x 
*
 R
 
xxvii) f(x) = ln x; g(x) = 3 + 2ln x; h(x) = -2 – 3ln x , com x 
*
 R
 
xxviii) f(x) = 
x
1
; g(x) = 
x
2
; i(x) = 
x
2
 + 3 xxix) f(x) = 
x
1
; g(x) = -
x
1
; 
xxx) f(x) = 
x
1
; g(x) =
1
1
x
; h(x) = 
4
1
x
+2 
xxxi) f(x) = 
x
; g(x) = 
x
 + 3; h(x) = -
x
 xxxiii) f(x) = 
x
; g(x) = 4 + 2
x
 
8 
 
24) Esboce geometricamente o gráfico das seguintes funções reais, dando seu domínio, 
contradomínio e imagem. Os esboços abaixo devem ser manuscritos, a partir do observado 
sobre o comportamento dos gráficos, no exercício 23. 
 
a) f(x) = 








2 xse ,44
2x3- se ,4
 -3 x se ,2
2 xx
x
 b) g(x) = 








8 x se ,4
8x0 se 12,6x 
 0 x se ,32
2
x
x
x
 
 
c) f(w) = 







3 w2- se ,
2- wse ,
1
3w
w
 d) y = 








10x4 se,2
4x1 se , 2)log(x-
 1x 0 se ,log 1,0 x
 
 
e) y = 






 0 x se ,
0 x se ,
x
x
e
e f) y =







2
3
x0 se 2x),-ln(3-
0 x 3- se ),3ln(x 
 
g) h(x) = 








2
- x se ),
2
cos(
2
 x se ,sen2


x
x
 h) y = 






0 x se ,12
0 x se ,26
2x
x 
 
i) y = 






 0 x se 3
0 x se ,3
x
x j) f(t) = 







t0 se sen t,
0t- se ,0 
 
25) Esboce geometricamente o gráfico das seguintes funções reais dando seu domínio, 
contradomínio e imagem: 
 
a) f(x) = sen x b) f(x) = arc sen x 
c) f(x) = cos x d) f(x) = arcos x 
e) f(x) = tg x f) f(x) = arc tg x 
g) f(x) = senh x h) f(x) = arg senh x 
i) f(x) = cosh x j) f(x) = arg cosh x 
k) f(x) = tgh x l) f(x) = arg tghxx 
 
 
 
9 
 
26) Determine o domínio das seguintes relações binárias de modo que elas sejam funções reais: 
 
a) y = 
2
1
372
4 23


x
xx
 b) y = 
1x
x c) f(x) = sen x + tg 2x 
d) y = arc sen x e) g(x) = senh (-x) 
f) h(x) = 
4
2cos3
x
tg
x
 g) y = ln (3x2 + 
2
1
) 
h) f(x) = 
)5(log 2)2( xxx 
 i) y = 
)13(log 2
2


x
e
x
x 
 
27) No universo dos números reais, determine se f é uma função par, função ímpar ou nenhum 
dos dois: 
a) f(x) = 2x5 – 3x2 +2 b) f(x) = x3 – x7 c) f(x) = 2xe
 d) f(x) = 1 + sen x 
 
 
28) Seja f uma função, cujo gráfico para x 

0, tem o aspecto indicado na figura. Completar 
esse gráfico no domínio x < 0, se: 
 
a) f for uma função par b) f for uma função ímpar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Se f(x) = ln x e g(x) = x2 – 9, encontre as funções reais f o g, g o f, f o f, g o g. Dê os 
respectivos domínios. 
 
 
 
30) Sejam f(x) = 








8 x se ,x
8 x 0 se ,
0 x se ,5
x
x
 e g(x) = x3. Calcule f o g e g o f. 
 
 
 
31) Sejam f(x) = 
4x
 e g(x) = 
3. x,1
2
1

x
 Calcule f o g. Dê o domínio e a imagem de das 
funções reais f , g e f o g. 
 
10 
 
32) Considerando que o universo é o conjunto dos números reais, em cada um dos exercícios 
abaixo: 
• determine algebricamente a fórmula da função inversa; 
• indique o domínio e o contradomínio tanto da função direta como da respectiva função inversa; 
• represente geometricamente, lado a lado, os gráficos da função dada e da respectiva função 
inversa; 
• determine a imagem tanto da função direta como da respectiva função inversa; 
• se necessário, restrinja o domínio da função direta a um intervalo em que ela seja bijetora, para 
que admita a função inversa nesse intervalo; 
• apresente sua resposta final, conectando a função direta à respectiva função inversa, e 
explicitando domínio, contradomínio e lei de associação entre eles, tanto para a função direta 
como para a função inversa. 
 Exemplo: 
𝑓: 𝐴
 𝑥
 →
↦ 
𝐵
 𝑦=𝑓(𝑥)=⋯
 e 𝑔=𝑓
−1
: 𝐵
 𝑦 
 →↦
𝐴
 𝑥=𝑔(𝑦)=⋯ 
 ou 
 
 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ⋯ e 𝑔 = 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴, 𝑥 = 𝑔(𝑦) = ⋯ 
 
a) y = 3x + 4 b) y = 
3
1
x
 c) y = 
1x
, se x 
1
 d) y = 8x3 
e) y = x2 – 4, x 
0
 f) y = x2 g) y = sen 2x h) f(x) = cos 
3
x
 
i) y = ex j) y = senh x l) y = log (3x + 1) 
m) y = cotg ( x + 
4

) n) y= cosh x 
 
______________________________________________ 
REFERÊNCIAS 
 
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Makron, 1992. 
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IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções. V 1. 
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____________. Fundamentos de matemática elementar: trigonometria. V. 3. 8 ed. São Paulo: Atual, 1993. 
____________. Fundamentos de matemática elementar: combinatória e probabilidade. V. 5. 8 ed. São 
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11 
 
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RIGHETTO, A.; FARRAUDO, A. S. Cálculo diferencial e integral I. V. 1. São Paulo: Instituto Brasileiro de 
Edições Científicas, 1981. 
SANT’ANNA, A. S. O que é um conjunto. Barueri: Manole (no prelo). 
STEWART, J. Cálculo. V. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. (apêndices) 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. V. 1. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. 
 (apêndices) 
Livros didáticos de matemática para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio.