Apostila Estatísitica FAcens

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NOME:______________________________Nº_______ 
Turma:________________ Data _____/fevereiro/2014 
e-mail:______________________________ 
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0 
21 2 2014 
 
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Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho 
humano, deve – é evidente – conter falhas e imperfeições. 
 
Não devemos, porém, temer o erro. O escritor suíço Henri-
Frédéric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro só é perigoso 
quando contém grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim 
Lessing, filósofo alemão (1729-1781), um século antes do 
judicioso Amiel, já havia exarado esta sentença notável: Aquele 
que teme o erro é o primeiro a errar. 
 
Tudo que merece estudo não se lê facilmente, tudo que 
adianta alguma coisa exige esforço e meditação. 
 Malba Tahan 
 
“Agrada-me mais a dúvida do que o saber”, dizia Dante. E 
esta é a essência da Matemática. Completa, séculos depois, 
Benjamin Franklin: “Muita gente lamenta ter estudado isso ou 
aquilo. Consideram tempo perdido ou esforço inútil. Em relação a 
matemática, porém, não houve, até hoje, quem lastimasse o 
tempo empregado em seu estudo. O arrependimento só brotou no 
espírito daqueles que não poderiam ter levado, em adiantamento, 
os estudos da Matemática”. 
 
Salientando a importância do ensino da parte histórica da 
Matemática opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes 
didátas na matéria: “O professor que ensina a Matemática 
desligada de sua parte histórica comete verdadeiro atentado 
contra a Ciência e contra a cultura em geral”. 
 
"Faça as coisas o mais simples que puder, porém não 
simplifique demais." Albert Einstein 
 
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PLANO DE ENSINO RESUMIDO 2014 
 
DISCIPLINA: E S T A T Í S T I C A – TURMA : ESTTEI1(7149) SALA A27 
PROFESSOR: MARCOS VINÍCIUS RIBEIRO mvinicius@facens.br 
 
1. EMENTA 
Serão abordados os tópicos principais de Estatística Descritiva e Probabilidades. 
 
2. OBJETIVOS 
Despertar o interesse do aluno relacionando a estatística com problemas do cotidiano. Familiarização com a linguagem e 
conceitos estatísticos. Capacitar a analisar e interpretar dados experimentais e levantamentos estatísticos. Capacitar a 
representar dados estatísticos. Habilitar o aluno na compreensão e identificação de problemas onde devem ser aplicados 
conceitos estatísticos. 
3. CONTEÚDO: 1°°°° SEMESTRE - 2014 
Módulo 1 Módulo 2 
Conceitos População e Amostra. Estatística 
Descritiva e Indutiva,-Rol. Apuração dos Dados. 
Distribuição de Frequência para variáveis discreta e 
Contínua. Análise dos Dados. Medidas de Tendência 
Central para Variáveis Contínuas e Discretas, Médias. 
Mediana, Modas. Medidas de Dispersão para variáveis 
discreta e Contínua.: Variância , Desvio Médio absoluto, 
Desvio padrão, Coeficiente de Variação. Medidas de 
Separatrizes. Interpolação Linear Análise Gráfica: 
Histogramas, Polígonos de Frequência. Determinação 
Gráfica das Modas, Mediana. 
Probabilidade: definição, árvore de probabilidades, eventos 
independentes e variáveis, exercícios. Regra da soma, regra do 
produto. Média, variância: definição e propriedades. Distribuição 
binomial e de Poisson, exercícios. 
Regressão Linear – Método dos Mínimos Quadrados. Análise de 
Correlação, O coeficiente r de Pearson, Características de r, 
Interpretação de r e o Coeficiente de Determinação r² Processo 
prático para o cálculo de r. 
Distribuições contínuas – definição e exemplos 
Distribuições contínuas: Distribuição Normal, uso de tabelas. 
Probabilidade condicional, probabilidade de eventos 
independentes. Teorema de BAYES 
4. SISTEMA DE AVALIAÇÃO: 
 
A Avaliação do rendimento escolar é feita por disciplina, incidindo sobre a frequência e o rendimento. O rendimento escolar 
semestral anual é composto por dois módulos e pela frequência semestral. 
A nota de cada módulo é composta por exercícios, provas, trabalhos e outras atividades, duas avaliações escritas. Uma PROVA 
SUBSTITUTIVA NO FINAL DO SEMESTRE, CUJO CONTEÚDO SERÁ SOMENTE DO MÓDULO 2. A nota obtida na prova Substitutiva é usada para 
substituir a menor das notas obtidas nos módulos. As notas serão compostas da seguinte forma: MF= 0,4*M1+0,6*M2 � Se MF ≥ 5,0 
então o aluno está APROVADO, onde M1: Nota do módulo1 e M2 : Nota do módulo2, MF: Nota final do semestre. Caso contrário, 
MF=0,5*M+0,5*SUB, onde SUB: Nota da prova substitutiva referente a menor nota entre os módulos, ou ainda, referente ao módulo em 
que o aluno não compareceu, M é o máximo entre M1 e M2. Se MF ≥ 5,0 então o aluno está APROVADO. Se MF < 5,0 então o aluno 
NÃO está APROVADO. 
A Avaliação substitutiva é opcional, mas se realizada, irá substituir necessariamente (independente da nota) a menor nota entre 
os módulos. A partir dela fará a média aritmética para composição da média final do semestre. Critério de arredondamento, o aluno será 
aprovado se conseguir nota igual ou superior a 4,90. Frisando, o aluno que obter nota igual ou menor que 4,89 não será aprovado. Para 
avaliações o aluno deve ter o próprio material como, lápis, caneta, borracha, apontador, régua, calculadora científica convencional (não 
será permitido calculadora dos celulares), Não serão permitidos empréstimos desses materiais. É proibido uso de quaisquer dispositivos 
eletrônicos durante a aula e prova, aplicam-se também aos fones de ouvido. Todo e qualquer outro material deverá estar fora do alcance 
do aluno, principalmente celulares. Caso seja detectada cola, mesmo que no início da avaliação, mesmo que ainda não tenha sido 
entregue a avaliação será atribuído zero ao aluno, portanto analise bem antes de fazê-lo. Obrigatório a entrega da folha de questões 
(tabelas e fórmulas) e da folha de resolução (exemplo, o almaço). Pede-se que o aluno procure ir ao banheiro antes da avaliação. Ao 
término da avaliação, entregar nas mãos do professor. Acréscimos concedidos “bônus” ao longo dos módulos, listas de exercícios, 
simulado da FACENS, não serão computados, considerados quando da realização da avaliação substitutiva. O professor valoriza o 
cálculo mental ou cálculo SEM uso de calculadoras. 
5. BIBLIOGRAFIA Básica 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade, 7a. ed., São Paulo: Makron Books, 1999. 
BARBETTA, P.A.;REIS, M. M.;BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática. 
São Paulo, SP: Atlas 2004. 410 p. 
FONSECA, J.S. da; MARTINS, G. de A.. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo, SP: Atlas 1996. 320 p. 
 
6. BIBLIOGRAFIA Complementar 
RIBEIRO, M. V. Apostila de Estatística, 2014. (disponível no site da FACENS, terminal do aluno). 
VIEIRA, Sonia. Princípios de estatística. São Paulo, SP: Pioneira Thomson Learning 1999. 144 p. 
CRESPO, A. A. Estatística Fácil, 17a. ed., São Paulo: Editora Saraiva,1999. 
TOLEDO, G.L.; OVALLE, I.I.. Estatística básica. 2. ed. São Paulo, SP: Atlas, 1995. 459 p. 
TRIOLA, Introdução à Estatística, 10a. ed., São Paulo, LTC, 2008. 
WALPOLE, R. E. [et al] Probabilidade & Estatística para engenharia e ciências, 8ªed, Pearson, 2009 
 
7. Avaliações de E S T A T Í S T I C A 
 
 
 Substitutivas Dia Em Abril Feriados 
Módulo 1 27/03(quinta-feira) 1º Semestre 12/06 14 a 16 – Sem.da Engenharia 29,30 - Simulado FACENS 
3 - 4/03 18,19,21/04 
1 - 3/05 e 19 - 21/06 Módulo 2 05/06 (quinta-feira) 16 a 27 de junho 
 
O calendário de avaliações está sujeito a alterações pelo professor 
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LUTE!!! 
 
 
Diga em voz alta: Insisto! Persisto! Não Desisto! 
 
Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!! 
 
“Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece” 
Filipenses 4.13 
 
“Os VENCEDORES não são os que nunca sofrem derrotas, 
mas sim os que nunca desistem” Edwin Louis Cole 
 
 
 
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ABRAHAM LINCOLN 
12/02/1809 a 15/04/1865 
 
16º Presidentedos Estados Unidos da América 
Republicano(1861-1865) 
 
P E R S E V E R A N Ç A 
 
Ele fracassou nos negócios em 1831. 
Tentou um outro negócio em 33. Fracassou. 
Sua noiva morreu em 35. 
Teve um colapso nervoso em 36. 
Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derrotado. 
Tentou em 48 e foi derrotado novamente. 
Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu. 
No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu. 
Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derrotado. 
Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln foi eleito o 
16° presidente dos Estados Unidos. 
A diferença entre as realizações mais ousadas da história e seus mais assombrosos 
fracassos está simplesmente em sua 
 FORTE VONTADE DE PERSISTIR. 
 
“A probabilidade de fracassarmos na luta não nos deve deter no impulso de combater 
por uma causa justa.” 
 
"é melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que você é um idiota do 
que falar e acabar com a dúvida." (Abraham Lincoln) 
 
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PARA REFLEXÃO 
 
Para que haja crescimento o sacrifício é necessário 
 
Negar a necessidade de mudanças não elimina o problema! 
 
Ficar remoendo o passado, lamentando o que poderia ter sido feito e não foi, apenas desvia a 
atenção do presente, onde realmente as coisas acontecem. 
 
O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário – Albert Einstein 
 
“Não espere benefício sem haver conquistado mérito”. Não espere o mérito sem esforço!!!! 
 
“Eu não me envergonho de corrigir os meus erros e mudar as minhas opiniões 
porque, não me envergonho de raciocinar e aprender” Alexandre Herculano 
 
Não Adianta ficar lamentando, (coitadinho de mim, autocomiseração). 
Cresça!!! Não jogue a culpa nos outros!!! 
Diga não a preguiça!!! Seja um guerreiro Diga em voz alta: - Eu sou capaz!!! 
A Bíblia diz Esforça-te e Eu te ajudarei!!! 
Isaías 35.4 e Isaías41.10,13 
 
E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertará. João 8.32 
 
Não sabendo que era impossível, ele foi lá e fez!! Jean Cocteau 
Não faça da sua vida um rascunho, pois pode não dar tempo de passá-la a limpo!!! 
 
A força não provêm da capacidade física e sim de uma vontade indomável – GANDHI 
 
Mudança – Movimento (novos conhecimentos, Novas experiências, novas oportunidades) estas três 
desencadeiam crescimento – Vitórias – Realizações. 
Dê uma cotovelada de leve no seu vizinho e fale: - ei!! Movimente-se!!! 
 
Os quatro “D” 
Determinação – é aquela força interior capaz de levar alguém a afirmar com convicção: “Este é o meu 
sonho. Não morro sem realizá-lo, mesmo que demore vinte, trinta anos”. 
Dedicação é a capacidade de se entregar à realização de um objetivo. 
Disciplina é a capacidade de seguir um método. Quando se fala em disciplina, a primeira coisa que 
vem á mente é o conceito de rigidez. Mas disciplina, na verdade, está associado à palavra discípulo, 
que é aquele que tem capacidade de aprender com um mestre, segundo seu método. 
Desprendimento é a capacidade de abandonar o que não esta funcionando para aprender o novo. É 
desapegar-se de certa maneira de fazer algo para conseguir um resultado melhor. E mesmo após um 
tombo, consegue erguer-se e levantar a cabeça, começando tudo de novo! 
 
A diferença entre o sábio e o ignorante é que o 1º sabe aproveitar suas dificuldades para evoluir, 
enquanto o ignorante se sente vítima de seus problemas. 
 
Cresça! Não lamente seus erros e dificuldades!!! 
Quem reconhece suas fraquezas já deu o primeiro passo para superá-las. 
 
Lembre-se: A sua vida deve ser uma oferta a Deus ao invés 
de um monumento aos homens. 
 
Os problemas para matemática não são problemas, são a razão de sua existência. 
Um problema é um desafio a ser solucionado, uma questão a ser resolvida. A matemática 
tem um caso de amor com os problemas 
 
"QUANDO O TRABALHO É PRAZER, A VIDA É UMA GRANDE ALEGRIA. QUANDO O TRABALHO É 
DEVER, A VIDA É UMA ESCRAVIDÃO." (MÁXIMO GORKI) 
 
Lembra-te que o silencio, é às vezes, a melhor resposta. Em disputas com teus 
queridos, trata só do caso corrente. NÃO VÁS BUSCAR QUEIXAS DO PASSADO. 
 
Quando perderes, pelo menos não percas a lição! 
 
Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que podemos cometer a respeito 
deles, mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire 
 
PACIÊNCIA E PERSEVERANÇA!! Aprenda que a PACIÊNCIA requer muita prática! 
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Só o tempo e o esforço trazem a competência. 
Alcançado o sucesso deve-se manter o que foi conseguido, e não exaltá-lo! 
 
Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realização implicam grandes riscos 
 
“ ...os físicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta certa é 
freqüentemente mais do que a metade do caminho que conduz a solução do problema” 
Werner Heisenberg(1901-1976) 
 
“DEUS NÃO JOGA DADOS” Albert Einstein 
 
O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador 
 
PARTILHE O TEU SABER, É UMA FORMA DE ALCANÇAR A IMORTALIDADE!!! 
 
Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renunciar para alcançar! 
 
“Deus nos fez para atingirmos, como águias, elevadas alturas, mas nos 
contentamos com vôos rasantes dos pardais.” 
 
 
O músculo mais potente do corpo humano é a LÍNGUA. A MORTE e a VIDA estão 
no poder da LÍNGUA, e aquele que a ama comerá do seu fruto. Provérbios.18.21 
A saber: SE COM TUA BOCA CONFESSARES AO SENHOR JESUS, e em teu coração 
creres que Deus o ressuscitou dos mortos, SERÁS SALVO. Visto que com o 
coração se crê para a justiça, e com a boca se faz confissão para a salvação. 
Romanos 10.9-10 significa Terás a vida eterna, sua alma viverá! 
 
Tudo tem uma razão. As vezes as coisas acontecem por uma razão. Algo ruim força uma 
coisa boa, ou para um bem maior 
 
TRABALHE como se você não precisasse do dinheiro. AME como se você nunca tivesse sido 
magoado. DANCE como se ninguém estivesse observando. 
O maior risco da vida é não fazer nada!!! 
 
Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck 
 
Segue os três Rs: Respeito por ti, Respeito pelos outros e Responsabilidade por todos os teus 
atos 
 
Lembra-te que não ter tudo o que se deseja é por vezes um magnífico golpe de sorte. 
 
“Existe um vazio do tamanho de Deus no coração de cada homem, que não pode ser 
preenchido por criatura alguma, senão somente por Deus, através de Jesus Cristo.” 
( Blaise Pascal – Século XVII) 
 
O tempo entre o início de um sonho e sua concretização é sempre um PROCESSO. Esse 
período é cheio de dúvidas, adversidades, mudanças e surpresas. Durante o processo, 
vocês experimentarão dias bons e maus. E frequentemente se verão diante de um dilema: 
desistir ou continuar? John C. Maxwell 
 
“Suba o primeiro degrau com fé. Não é necessário que você veja toda a 
escada. Apenas dê o primeiro passo.” (Martin Luther King) 
 
QUANDO NÃO VENCER PELO TALENTO, VENÇA PELO ESFORÇO! SAIA DA IDEIA E TOME UMA 
ATITUDE 
Nunca permita que o medo de perder alguma experiência o impeça de viver a alegria do inesperado.Emo Philips) 
 
DEUS NÃO CHAMA AQUELES QUE SÃO EQUIPADOS. ELE EQUIPA AQUELES QUE SÃO 
CHAMADOS, E ELE SEMPRE ESTARÁ LÁ PARA AMAR E GUIAR VOCÊ A GRANDES COISAS! 
 
F E L I C I D A D E S ! ! ! 
Marcos Vinícius Ribeiro 07 de agosto de 2013. 
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DO MEU TELESCÓPIO, EU VIA DEUS CAMINHAR! A MARAVILHOSA DISPOSIÇÃO E HARMONIA DO 
UNIVERSO SÓ PODE TER TIDO ORIGEM SEGUNDO O PLANO DE UM SER QUE TUDO SABE E TUDO PODE. ISTO 
FICA SENDO A MINHA ÚLTIMA E MAIS ELEVADA DESCOBERTA. ISAAC NEWTON 
 
Quanto mais alto alguém está, mais dificuldade tem em manter o equilíbrio. Provérbio popular 
 
Ninguém é bom por acaso;a virtude deve ser aprendida.(Sêneca, filósofo latino, (4 a.C. até 65 d.C) 
 
"Os verdadeiros sábios se dão a conhecer pelos bons princípios de seus atos, pela 
intocável moral de suas atitudes e, pelo fato de servirem de exemplo dos ensinamentos que transmitem". 
 
"Só quem entende a beleza do perdão pode julgar seus semelhantes" (Sócrates) 
 
"Muitos homens iniciaram uma nova era na sua vida a partir da leitura de um livro" 
(Henry David Thoreau) 
 
"Bom mesmo é ir a luta com determinação, abraçar a vida com paixão e vencer com ousadia, 
pois o triunfo pertence a quem se atreve... A vida é muita pra ser insignificante!" (Andréa Aoki) 
 
"Os obstáculos que surgem em seu caminho, não são para impedir seus passos, 
são desafios para serem superados" 
 
"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles estão no lugar certo; 
agora construa os alicerces" 
 
"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina. 
Mas sorria com a alma, não apenas com os lábios" (Léa Waider) 
 
 "Ideais são como estrelas. Você nunca as alcança, mas como os marinheiros, 
nós definimos nosso curso por elas" (Carl Schurz) 
 
"Um homem que quer reger a orquestra precisa dar as costas à platéia" (James Crook) 
 
"A alegria e o amor são as duas grandes asas para os grandes feitos". (Goethe) 
 
"A experiência é uma coisa maravilhosa. Ajuda-o a reconhecer um erro quando você comete de novo". 
(Stephen R. Covey) 
 
"Só há duas maneiras de viver a vida: 
A primeira é vivê-la como se os milagres não existissem. 
A segunda é vive-la como se tudo fosse um milagre". (Albert Einstein) 
 
"Às vezes, é fácil abrir mão da realidade, mas não é fácil abrir mão de um sonho... 
Acredite no seu sonho! E seja feliz" 
 
"A maior parte de nossa felicidade depende de nossa atitude e não das circunstâncias".(Martha Washington) 
 
"Gestos são mais importantes que palavras". 
 
"Uma coletânea de pensamentos são uma farmácia moral onde se encontram 
remédios para todos os males". (Voltaire) 
 
"Não existe grandeza quando a simplicidade, bondade e a verdade estão ausentes". Leon Tolstoi 
 
"A vida feliz consiste na tranqüilidade da mente". (Cícero) 
 
Aquele que deseja construir torres altas deveria permanecer longos tempos nos fundamentos. (Anton Bruckner) 
 
"Deus nos dá as nozes. Mas não as quebras". (Provérbio Alemão) 
 
"Não desanimes com as quedas: elas nos mostram que o chão está longe de ser o nosso lugar". 
(Horivaldo Gomes) 
 
"Jamais desista daquilo que você realmente quer fazer. A pessoa que tem grandes sonhos é mais forte 
do que possui todos os fatos". ( H.J. Brown) 
 
"Um grande artista pode pintar um quadro maravilhoso em uma pequena tela". (Warner) 
 
Nunca decidas antes de ouvir ambas as partes.(Aristóteles) 
 
Prefiro uma gota de sabedoria a toneladas de Riquezas – Anaxágoras 
 
O desejo mede os obstáculos; a vontade os vence – Alexandre Herculano, escritor português 1810-1877 
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Começai por admirar o que Deus nos mostra, e não terás tempo de procurar o que Ele nos oculta 
 (Alexandre Dumas, romancista Frances, 1803-1870) 
 
Uma noitada em que todos os presentes estão absolutamente de acordo é uma noitada perdida. Albert Einstein 
 
Grande parte da vitalidade de uma amizade reside no respeito pelas diferenças, e não apenas em 
desfrutar das semelhanças.(James Fredericks) 
 
A derrota é uma força destruidora apenas quando é aceita como um fracasso. Porém, quando a vemos 
e a aceitamos como uma lição necessária, sempre é uma benção! (Napoleon Hill) 
 
Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso ir mais 
longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho no silêncio e a verdade me é 
revelada.(Albert Einstein) 
"Sejamos como o sol que não usa nenhuma recompensa, não espera lucros, nem elogios, nenhuma fama, 
simplesmente brilha". (Jens Bringwatt) 
"Jamais se desespere em meio as sombrias aflições de sua vida, pois das nuvens mais negras cai água 
límpida e fecunda." 
"A verdadeira liberdade é um ato puramente interior, como a verdadeira solidão: devemos aprender a sentir-
nos livres até num cárcere, a estar sozinhos até no meio da multidão." Maximo Bontempelli 
"O destino não é uma questão de sorte; é uma questão de escolha. Não é algo pelo qual se espera, mas algo 
a alcançar." Willian Jennings Bryan 
"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina. Mas sorria com a alma, não apenas 
com os lábios" Léa Waider 
"Nunca permita que o medo de perder alguma experiência o impeça de viver a alegria do inesperado." (Emo 
Philips) 
 
“Existem muitos motivos para não se amar uma pessoa, mas apenas um para amá-la." (Carlos Drummond 
Andrade) 
 
"Obstáculos são aquelas coisas medonhas que você vê quando tira os olhos do seu objetivo". (Henry Ford) 
 
"Qualquer um pode zangar-se – isso é fácil. Mas zangar-se com a pessoa certa, na medida certa, na medida 
certa, pelo motivo certo, na hora certa, pelo motivo certo e da maneira certa-não é fácil." (Aristóteles) 
 
"O segredo do vencedor não é trabalhar duro, e sim amar o que faz a ponto de preferir fazer aquilo a qualquer 
outra coisa." (Jerome K.) 
 
"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles esão no lugar certo; agora construa os 
alicerces." 
 
Muito freqüentemente, nós subestimamos o poder do carinho, de um sorriso, uma palavra amável, um ombro 
amigo, dar ouvidos, um elogio honesto, ou o menor ato de dedicação, pois todos têm o poder de transformar 
uma vida." 
(Leo Buscaglia) 
 
"Todas as pessoas alimentam ideais. Mas esses se concretizam só se forem acompanhados de força de 
vontade e coragem. A força de vontade é como semente jogada em terra fértil. Ela germina, cresce e dá 
muitos frutos. Ela ajuda a lutar e a vencer as adversidades da vida. A coragem, por sua vez, tem em si a força. 
Pode operar maravilhas. É impossível falhar se viver sempre com atitude valente e disposta de mente e 
coração." 
 
“Somente peixes mortos nadam com a corrente” (Malcolm Muggeridge). 
 
A única diferença entre nós e os animais do ZOO é que nós não vemos as barras que nos 
aprisionam 
 
Atinja o ego dos seus funcionários e terá bons trabalhadores 
 
As perguntas são combustíveis da mente " 
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"Uma máxima admirável: nunca mais falar das coisas depois de elas já estarem feitas." 
Barão de Montesquieu 
 
"Todos nós sofremos, mas o falar nos dá alívio" Voltaire 
 
"Tem idéia de quanto mal nos fazemos por essa maldita necessidade de falar?" 
( Luigi Pirandello ) 
 
"Se os homens quisessem falar só daquilo que entendem, quase não falariam." 
 ( Arturo Graf ) 
 
"Se eu for falar por dez minutos, eu preciso de uma semana de preparação; se quinze 
minutos, três dias; se meia hora, dois dias; se uma hora, estou pronto agora." 
( Woodrow Wilson ) 
 
"Quando estiver zangado, conte até dez antes de falar; se estiver muito zangado, conte até 
cem. " ( Thomas Jefferson ) 
 
"Pensar antes de falar é o lema do crítico. Falar antes de pensar é o lema do criador." 
( E. M. Forster ) 
 
"Para falar ao vento bastam palavras, para falar ao coração são necessárias obras." 
( António Vieira ) 
 
"Os mais arrojados em falar são ordinariamente os menos profundos em saber. 
( Marquês de Maricá ) 
 
"O sábio, para falar, antes medita o que dizer, ou a quem dizer, em que lugar e tempo." 
( Santo Ambrósio ) 
 
"Nunca falar de si mesmo aos outros, e falar-lhes sempre deles mesmos, é a essência da 
arte de agradar. Cada um o sabe e todos o esquecem." ( Jules Goncourt ) 
 
"No falar, a discrição importa mais do que a eloqüência."( Baltasar Gracian ) 
 
"Não falar para o seu século é falar com surdos. " ( Jean de La Fontaine ) 
 
"Hoje, não se sabe falar porque já não se sabe ouvir. " ( Jules Renard ) 
 
"Há quem prefira falar mal de si mesmo a não falar." ( François de La Rochefoucauld ) 
 
"Fala-se pouco quando a vaidade não faz falar." ( François de La Rochefoucauld ) 
 
"Falar sem se empenhar é nada." ( Mary W. Stewart ) 
 
"Falar sem pensar é atirar sem alvejar." ( Thomas Fuller ) 
 
"Falar obscuramente, qualquer um sabe; com clareza, raríssimos." ( Galileu Galilei ) 
 
"Falar muito sobre si próprio pode também ser um meio de se ocultar." 
( Friedrich Nietzsche ) 
 
"Falar é uma necessidade, escutar é uma arte. " ( Johan Wolfgang Von Goethe ) 
 
"Falar é bom, calar é melhor, mas ambos são desagradáveis quando levados ao exagero. " 
Jean de La Fontaine ) 
 
"Falar bem e proceder mal não é outra coisa senão condenar-se cada um pela própria voz." 
( Iacopo Passavanti ) 
 
"Esteja certo de ter terminado de falar antes que seu público tenha terminado de ouvir." 
( Dorothy Sarnoff ) 
 
"É preciso ter espírito para falar bem; para ouvir bem basta a inteligência." ( André Gide ) 
 
"É extremamente difícil falar muito sem dizer algo a mais." 
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( Luís XIV de França ) 
 
"Cada um só porque fala, julga também saber falar da linguagem. " 
( Johan Wolfgang Von Goethe ) 
 
"Arrependemo-nos raramente de falar pouco, e muito frequentemente de falar demais: 
máxima usada e trivial, que todo o mundo sabe e que ninguém pratica. " ( Jean de La 
Bruyère ) 
 
"Abençoado quem se abstém de falar, nos poupando da evidência de que não tem nada a 
dizer." ( George Eliot ) 
 
"A necessidade obrigatória de falar e o embaraço de nada ter para falar são duas coisas 
capazes de tornar ridículo ainda mesmo o maior homem." ( Voltaire ) 
 
Http://www.rivalcir.com.br/frases/falar.html 
 
 
O ACUSADO 
Conta uma antiga lenda que, na Idade Média, um homem muito religioso foi 
injustamente acusado de ter assassinado uma mulher. 
Na verdade, o autor do crime era uma pessoa influente do reino. 
Por isso, desde o primeiro momento, se procurou um bode expiatório para 
acobertar o verdadeiro assassino. 
O homem foi levado a julgamento, já temendo o resultado: a forca. Ele sabia que 
tudo iria ser feito para condená-lo e que teria poucas chances de sair vivo desta história. 
O juiz, que também estava combinado de levar o pobre homem à morte, simulou 
um julgamento justo, propondo ao acusado que provasse sua inocência. Disse o juiz: - 
Sou de uma profunda religiosidade e por isso vou deixar sua sorte nas mãos do Senhor. 
Vou escrever em um pedaço de papel a palavra "inocente" e no outro pedaço a palavra 
"culpado". Você vai sortear um dos papéis e aquele que sair será o veredicto. O senhor 
decidirá seu destino - determinou o juiz. Sem que o acusado percebesse, o juiz 
preparou os dois papéis. Mas em ambos escreveu "culpado", de maneira que, naquele 
instante, não existia nenhuma chance do acusado se livrar da forca. Não havia saída. 
Não havia alternativas para o pobre homem. 
O juiz colocou os dois papéis em uma mesa e mandou o acusado escolher um. O 
homem pensou alguns segundos e aproximou-se confiante da mesa. Pegou um dos 
papéis, rapidamente colocou-o na boca e o engoliu. 
Os presentes ao julgamento reagiram surpresos e indignados com a atitude do homem. 
- Mas o que você fez? E agora? Como vamos saber qual será o seu veredicto? - É 
muito fácil - respondeu o homem. - Basta olhar o outro pedaço que sobrou e saberemos 
que acabei engolindo o seu contrário. 
Imediatamente o homem foi libertado. 
 
Por mais difícil que seja uma situação, não deixe de acreditar até o último momento. 
Saiba que para qualquer problema há sempre uma saída. 
Não desista, não entregue os pontos, não se deixe derrotar. 
Persista, vá em frente apesar de tudo e de todos. 
Creia que você pode conseguir. 
 
Romanos 8:28 "E sabemos que todas as coisas contribuem para o bem daqueles que 
amam a Deus, daqueles que são chamados segundo o seu propósito." 
Esta confiança que Deus nos deu de que no fim tudo vai dar certo, se ainda não deu 
certo é porque ainda não chegou ao fim. 
 - 10 -
 
A H I S T Ó R I A D O B U R R O 
 Um dia, o burro de um camponês caiu num poço. Não chegou a se ferir, 
mas não podia sair dali por conta própria. Por isso o animal chorou fortemente 
durante horas, enquanto o camponês pensava no que fazer. Finalmente, o 
camponês tomou uma decisão cruel: concluiu que o burro já estava muito velho e 
que o poço já estava mesmo seco, precisaria ser tapado de alguma forma. 
Portanto, não valia a pena se esforçar para tirar o burro de dentro do poço. Ao 
contrário, chamou seus vizinhos para ajudá-lo a enterrar vivo o burro. Cada um 
deles pegou uma pá e começou a jogar terra dentro do poço. O burro não tardou 
a se dar conta do que estavam fazendo com ele, e chorou desesperadamente. 
Porém, para surpresa de todos, o burro quietou-se depois de umas quantas pás 
de terra que levou. O camponês finalmente olhou para o fundo do poço e se 
surpreendeu com o que viu. A cada pá de terra que caía sobre suas costas o burro 
a sacudia, dando um passo sobre esta mesma terra que caía ao chão. Assim, em 
pouco tempo, todos viram como o burro conseguiu chegar até a boca do poço, 
passar por cima da borda e sair dali trotando. A vida vai lhe jogar muita terra, 
todo o tipo de terra. Principalmente se você já estiver dentro de um poço. O 
segredo para sair do poço é sacudir a terra que se leva nas costas e dar um passo 
sobre ela. Cada um de nossos problemas é um degrau que nos conduz para cima. 
Podemos sair dos mais profundos buracos se não nos dermos por vencidos. 
USE A TERRA QUE TE JOGAM PARA SEGUIR ADIANTE! 
RECORDE AS 5 REGRAS PARA SER FELIZ: 
 
1. Liberte o seu coração do ódio. 
2. Liberte a sua mente das preocupações. 
3. Simplifique a sua vida. 
4. Dê mais e espere menos. 
5. Ame mais e... aceite a terra que lhe jogam, pois ela pode 
ser a solução, não o problema. 
 
 
 
 - 11 -
 
O PEIXE 
Somos o que fazemos mas somos principalmente o que fazemos para mudar o que 
somos. Os japoneses sempre adoraram peixe fresco. Porém as águas perto do Japão não 
produzem muitos peixes há décadas. Assim, para alimentar a sua população, os japoneses 
aumentaram o tamanho dos navios pesqueiros e começaram a pescar mais longe do que 
nunca. Quanto mais longe os pescadores iam, mais tempo levava para o peixe chegar. Se a 
viagem de volta levasse mais do que alguns dias, o peixe já não era mais fresco. E os 
japoneses não gostaram do gosto destes peixes. Para resolver este problema as empresas 
de pesca instalaram congeladores em seus barcos. Eles pescavam e congelavam os peixes 
em alto-mar. Os congeladores permitiram que os pesqueiros fossem mais longe e ficassem 
em alto mar por muito mais tempo. Entretanto, os japoneses conseguiram notar a diferença 
entre peixe fresco e peixe congelado, e é claro, eles não gostaram do peixe congelado. 
Entretanto, o peixe congelado tornou os preços mais baixos. Então as empresas de pesca 
instalaram tanques de peixe nos navios pesqueiros. Eles podiam pescar e enfiar esses 
peixes nos tanques, "como sardinhas". Depois de certo tempo, pela falta de espaço, eles 
paravam de se debater e não se moviam mais. Eles chegavam cansados e abatidos, porém, 
vivos. Infelizmente,os japoneses ainda podiam notar a diferença do gosto. Por não se 
mexerem por dias, os peixes perdiam o gosto de frescor. Os japoneses preferiam o gosto de 
peixe fresco e não o gosto de peixe apático. Então, como os japoneses resolveram este 
problema? Como eles conseguiram trazer ao Japão peixes com gosto de puro frescor ? Se 
você estivesse dando consultoriapara a empresa de pesca, o que você recomendaria ? 
Quando as pessoas atingem seus objetivos tais como, quando começam com sucesso 
numa empresa nova, pagam todas suas dívidas ou o que quer que seja, elas podem perder 
as suas paixões. Elas podem começar a pensar que não precisam mais trabalhar tanto, 
então relaxam. Elas passam pelo mesmo problema que os ganhadores de loteria que 
gastam todo seu dinheiro, o mesmo problema de herdeiros que nunca crescem de donas de 
casa, entediadas, que fcam dependentes de remédios de tarja preta. Para esses problemas, 
inclusive no caso dos peixes dos japoneses, a solução é bem simples. L. Ron Hubbard 
observou no começo dos anos 50. O homem progride, estranhamente, somente perante a 
um ambiente desafiador. Quanto mais inteligente, persistente e competitivo você é, mais 
você gosta de um bom problema. Se seus desafios estão de um tamanho correto e você 
consegue, passo a passo, conquistar esses desafios, você fica muito feliz. Você pensa em 
seus desafios e se sente com mais energia. Você fica excitado em tentar novas soluções. 
Você se diverte. Você fica vivo! Para conservar o gosto de peixe fresco, as empresas de 
pesca japonesas ainda colocam os peixes dentro de tanques. Mas, eles também adicionam 
um pequeno tubarão em cada tanque. O tubarão come alguns peixes, mas a maioria dos 
peixes chega "muito vivo". Os peixes são desafiados. Portanto, ao invés de evitar desafios, 
pule dentro deles. Massacre-os. Curta o jogo. Se seus desafios são muito grandes e 
numerosos, não desista. Se reorganize! Busque mais determinação, mais conhecimento e 
mais ajuda. Se você alcançou seus objetivos, coloque objetivos maiores. Uma vez que suas 
necessidades pessoais ou familiares forem atingidas, vá de encontro aos objetivos do seu 
grupo, da sociedade e até mesmo da humanidade.Crie seu sucesso pessoal e não se 
acomode nele. Você tem recursos, habilidades e destrezas para fazer diferença !!!! Então, 
ponha um tubarão no seu tanque e veja quão longe você realmente pode chegar. 
Ponha você mesmo o tubarão, 
Antes que alguém o faça e você não esteja preparado 
 
 
 
 
 - 12 -
L E I A 
Sua mente é capaz de decodificar a mensagem! 
 
M473M471C0 (53N54C1ON4L) 
 
4S V3235 3U 4C0RD0 
M310 M473M471C0. 
D31X0 70D4 4 4857R4Ç40 N47UR4L D3 L4D0 
3 M3 P0NH0 4 P3N54R 3M NUM3R05, 
C0M0 53 F0553 UM4 P35504 R4C10N4L. 
540 5373 D1550, N0V3 D4QU1L0... 
QU1N23 PR45 0NZ3... 
7R323N705 6R4M45 D3 PR35UNT0... 
M45 L060 C410 N4 R34L 
3 C0M3Ç0 4 F423R V3R505 
H1NDU-4R481C05 
 
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0 15/02/2008 
"De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, nao 
ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etaso, a uncia csioa 
iprotmatne e que a piremria e utmlia lrteas etejasm no lgaur crteo. O 
rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoe pdoe anida ler sem 
pobrlmea. Itso e poqrue nos nao lmeos cdaa lrtea isladoa, mas a 
plravaa cmoo um tdoo. Vdaerde!" 
Colaboração: FABIO EDUARDO CARVALHO DE OLIVEIRA nº 70528 
 Aluno do 2ºI Computação – 2007. 
 
3M D14 D3 V3R40, 3574V4 N4 PR414, 
0853RV4ND0 DU45 CR14NC45 
8R1NC4ND0 N4 4R314. 
3L45 7R484LH4V4M MU170 C0N57RU1ND0 
UM C4573L0 D3 4R314, C0M 70RR35, 
P4554R3L45 3 P4554G3NS 1N73RN45. 
QU4ND0 3574V4M QU453 4C484ND0, 
V310 UM4 0ND4 3 D357RU1U 7UD0, 
R3DU21ND0 0 C4573L0 
4 UM M0N73 D3 4R314 3 35PUM4. 
4CH31 QU3, D3P015 D3 74N70 35F0RC0 3 CU1D4D0, 
45 CR14NC45 C41R14M N0 CH0R0, 
C0RR3R4M P3L4 PR414, FUG1ND0 D4 4GU4, 
R1ND0 D3 M405 D4D45 3 C0M3C4R4M 
 - 13 -
4 C0N57RU1R 0U7R0 C4573L0. 
C0MPR33ND1 QU3 H4V14 4PR3ND1D0 
UM4 GR4ND3 L1C40; 
G4574M05 MU170 73MP0 D4 N0554 V1D4 
C0N57RU1ND0 4LGUM4 C0154 
3 M415 C3D0 0U M415 74RD3, 
UM4 0ND4 P0D3R4 V1R 3 D357RU1R 7UD0 
0 QU3 L3V4M05 74N70 73MP0 P4R4 C0N57RU1R. 
M45 QU4ND0 1550 4C0N73C3R 
50M3N73 4QU3L3 QU3 73M 45 M405 D3 4LGU3M 
P4R4 53GUR4R, 53R4 C4P42 D3 50RR1R! 
S0 0 QU3 P3RM4N3C3, 3 4 4M124D3, 0 4M0R 3 C4R1NH0. 
0 R3570 3 F3170 D3 4R314. 
 
Piadas Matemáticas infames: 
Sabe o que o Zero(0) disse para o Oito(8)? Uau! Que cinto bonito!!! 
O que o MMC estava fazendo embaixo da escada?. .. Esperando o MDC 
 
Conte, quantas letras "F" tem no texto abaixo 
 
FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY 
COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS 
 
Contou? Somente leia abaixo após ter contado os "F". OK? 
Quantos??? 3??? Talvez 4??? 
 
Errado, são 6 (seis) - não e piada! Volte para cima e leia mais uma vez! A explicação está mais abaixo ... O cerebro não consegue processar a palavra 
"OF". Loucura, não? Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "gênio". 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, 6 quase ninguém. 
 
A INSPIRAÇÃO QUE FALTAVA - POESIA MATEMÁTICA 
 
Um Quociente apaixonou-se 
Um dia Doidamente 
Por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável .E viu-a, do Ápice à Base.. 
Uma Figura Ímpar; Olhos rombóides, boca trapezóide,] 
Corpo ortogonal, seios esferóides. 
Fez da sua vida Paralela a dela. 
Até que se encontraram No Infinito. 
"Quem és tu?" indagou ele Com ânsia radical. 
"Sou a soma do quadrado dos catetos. 
Mas pode me chamar de Hipotenusa." 
E de falarem descobriram que eram 
- O que, em aritmética, corresponde 
A alma irmãs Primos entre si. 
E assim se amaram Ao quadrado da velocidade da luz. 
Numa sexta potenciação 
Traçando Ao sabor do momento E da paixão 
Retas, curvas, círculos e linhas senoidais. 
Escandalizaram os ortodoxos 
das fórmulas euclideanas 
E os exegetas do Universo Finito. 
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. 
E, enfim, resolveram se casar 
 
Constituir um lar. Mais que um lar. 
Uma Perpendicular. Convidaram para padrinhos 
O Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, 
equações diagramas para o futuro Sonhando com 
uma felicidade Integral E diferencial. 
(olha o CÁLCULO aí !!) 
E se casaram e tiveram uma secante e três cones 
Muito engraçadinhos. E foram felizes Até aquele 
dia Em que tudo, afinal, Vira monotonia. Foi 
então que surgiu O Máximo Divisor 
Comum...Freqüentador de Círculos 
Concêntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, 
Uma Grandeza Absoluta, E reduziu-a a um 
Denominador Comum. 
Ele, Quociente, percebeu Que com ela não 
formava mais Um Todo. Uma Unidade. Era o 
Triângulo, Tanto chamado amoroso. 
esse problema ela era a fração Mais ordinária. 
Mas foi então que Einstein descobriu a 
Relatividade. E tudo que era expúrio passou a ser 
Moralidade Como aliás, em qualquer 
Sociedade. 
 
 - 14 -
O Q U E A S E S C O L A S N Ã O E N S I N A M : 
 
Aqui estão alguns conselhos que BILL GATES recentemente ditou em uma 
conferência em uma escola secundária sobre 11 coisas que estudantes não aprenderiam na 
escola. Ele fala sobre como a "política educacional de vida fácil para as crianças" tem criado 
uma geração sem conceito da realidade, e como esta política tem levado as pessoas a 
falharem em suas vidas posteriores à escola.Muito conciso, todos esperavam que ele fosse 
fazer um discurso de uma hora ou mais, ele falou por menos de 5 minutos, foi aplaudido por 
mais de 10 minutos sem parar, agradeceu e foi embora em seu helicóptero a jato... 
 
Regra 1: A vida não é fácil - acostume-se com isso. 
 
Regra 2: O mundo não está preocupado com a sua auto-estima. O mundo espera que você 
faça alguma coisa útil por ele ANTES de sentir-se bem com você mesmo. 
 
Regra 3: Você não ganhará R$ 20.000 por mês assim que sair da escola.Você não será 
vice-presidente de uma empresa com carro e telefone à disposição antes que você tenha 
conseguido comprar seu próprio carro e telefone. 
 
Regra 4: Se você acha seu professor rude, espere até ter um Chefe. Ele não terá pena de 
você. 
 
Regra 5: Vender jornal velho ou trabalhardurante as férias não está abaixo da sua posição 
social. Seus avós têm uma palavra diferente para isso: eles chamam de oportunidade. 
 
Regra 6: Se você fracassar, não é culpa de seus pais. Então não lamente seus erros, 
aprenda com eles. 
 
Regra 7: Antes de você nascer, seus pais não eram tão críticos como agora. Eles só 
ficaram assim por pagar as suas contas, lavar suas roupas e ouvir você dizer que eles são 
"ridículos". Então antes de salvar o planeta para próxima geração querendo consertar os 
erros da geração dos seus pais, tente limpar seu próprio quarto. 
 
Regra 8: Sua escola pode ter eliminado a distinção entre vencedores e perdedores, mas a 
vida não é assim. Em algumas escolas você não repete mais de ano e tem quantas chances 
precisar até acertar. Isto não se parece com absolutamente NADA na vida real. Se pisar na 
bola, está despedido, RUA!!!!! Faça certo da primeira vez. 
 
Regra 9: A vida não é dividida em semestres. Você não terá sempre os verões livres e é 
pouco provável que outros empregados o ajudem a cumprir suas tarefas no fim de cada 
período. 
 
Regra 10: Televisão NÃO é vida real. Na vida real, as pessoas têm que deixar o barzinho 
ou a boite e ir trabalhar. 
 
Regra 11: Seja legal com os CDFs (aqueles estudantes que os demais julgam que são uns 
babacas, nerds). Existe uma grande probabilidade de você vir a trabalhar PARA um deles 
Bill Gates, dono da maior fortuna pessoal do mundo, e da Microsoft, a única empresa que 
enfrentou e venceu a Big Blues (IBM) desde de sua fundação em meados de 1900....A 
empresa que construiu o primeiro Cérebro Eletrônico (computador) do mundo. Copie, 
repasse, releia, e mostre a todos que você considera... 
 
 
 - 15 -
 
E S T A T Í S T I C A 
Definição de alguns termos: 
• Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, 
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos 
mesmos na tomada de decisões. 
• Uma população é uma coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, 
medidas etc. ) a serem estudados. 
• Um censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma 
população. 
• ·Uma amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população.Um 
parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma 
população. 
• Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma 
amostraExemplo 
 Em uma pesquisa com 1.015 pessoas escolhidas aleatoriamente, 269 (ou 26,5%) 
possuíam computador. 
 Como a cifra de 26,5 % se baseia em uma amostra, e não em toda população, trata-
se de uma estatística (e não um parâmetro). 
 
Natureza dos dados 
 
Alguns conjuntos de dados (como altura, peso, número de filhos, salário, etc.) 
constituem em números, enquanto outros são não-numéricos (estado civil, sexo, religião, 
nível de educação, etc. ). Aplica-se as expressões dados qualitativos e dados quantitativos 
para distinguir esses dois tipos. 
Definições 
Os dados quantitativos constituem em números que representam contagens ou medidas.Os 
dados qualitativos (ou dados categóricos, ou atributos) podem ser separados em diferentes 
categorias que se distinguem por alguma característica não-numérica. 
Podemos ainda descrever os dados quantitativos entre os tipos discreto e contínuo. 
Variáveis quantitativas discretas, cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou 
enumerável de números que resultam, freqüentemente, de uma contagem, como por exemplo 
números de filhos. 
Variáveis quantitativas contínuas, cujos possíveis valores formam um intervalo de números 
reais e que resultam, normalmente, de uma mensuração, como por exemplo estatura ou peso de um 
indivíduo. 
Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos: 
variável qualitativa nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis 
realizações, e variável qualitativa ordinal, para a qual existe uma certa ordem nos possíveis 
resultados. 
Exemplo 
Variável qualitativa nominal : sexo, religião, times de futebol etc. 
Variável qualitativa ordinal : grau de instrução (Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II, ensino 
Médio, Ensino Superior, Pór-graduação, Mestrado, Doutorado, Pós-Doutorado; classe social (baixa, média ou 
alta). 
 - 16 -
 
Resumindo 
Discreta 
Quantitativa 
Contínua 
Variável 
 Nominal 
Qualitativa 
Ordinal 
 
Tabela 1 – Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (expresso com fração do 
salário mínimo), idade e procedência de 36 funcionários da seção de orçamentos da Companhia Milsa. 
Nº Estado civil Grau de instrução Nº de filhos Salário ( x Sal. Min.) Idade Região de procedência 
1 solteiro 1º grau - 4 26 Interior 
2 casado 1º grau 1 4,56 32 Capital 
3 casado 1º grau 2 5,25 36 Capital 
4 solteiro 2º grau - 5,73 20 Outro 
5 solteiro 1º grau - 6,26 40 Outro 
6 casado 1º grau 0 6,66 28 Interior 
7 solteiro 1º grau - 6,86 41 Interior 
8 solteiro 1º grau - 7,39 43 Capital 
9 casado 2º grau 1 7,59 34 Capital 
10 solteiro 2º grau - 7,44 23 Outro 
11 casado 2º grau 2 8,12 33 Interior 
12 solteiro 1º grau - 8,46 27 Capital 
13 solteiro 2º grau - 8,74 37 Outro 
14 casado 1º grau 3 8,95 44 Outro 
15 casado 2º grau 0 9,13 30 Interior 
16 solteiro 2º grau - 9,35 38 Outro 
17 casado 2º grau 1 9,77 31 Capital 
18 casado 1º grau 2 9,8 39 Outro 
19 solteiro superior - 10,53 25 Interior 
20 solteiro 2º grau - 10,76 37 Interior 
21 casado 2º grau 1 11,06 30 Outro 
22 solteiro 2º grau - 11,59 34 Capital 
23 solteiro 1º grau - 12 41 Outro 
24 casado superior 0 12,79 26 Outro 
25 casado 2º grau 2 13,23 32 Interior 
26 casado 2º grau 2 13,6 35 Outro 
27 solteiro 1º grau - 13,85 46 Outro 
28 casado 2º grau 0 14,69 29 Interior 
29 casado 2º grau 5 14,71 40 Interior 
30 casado 2º grau 2 15,99 35 Capital 
31 solteiro superior - 16,22 31 Outro 
32 casado 2º grau 1 16,61 36 Interior 
33 casado superior 3 17,27 43 Capital 
34 solteiro superior - 18,75 33 Capital 
35 casado 2º grau 2 19,4 48 Capital 
36 casado superior 3 23,3 42 Interior 
 
 - 17 -
Distribuição de Frequências 
 
 Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a 
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma. O objetivo 
da distribuição de frequência é dispor um conjunto de valores, de modo a se ter uma idéia 
global sobre estes valores, ou seja, de sua distribuição.
Grau de instrução Frequência Proporção Porcentagem 
1º grau 12 0,3333 33,33 
2º grau 18 0,50000 50,00 
Superior 6 0,1667 16,67 
Total 36 1,0000 100,00 
 
Tabela 2 – Distribuição de frequências da variável grau de instrução, usando-se os dados da tabela 1. 
 A construção de tabelas de frequências para variáveis contínuas necessita de certo 
cuidado. Por exemplo, a construção da tabela de frequências da variável salário não 
resumirá as 36 observações num grupo menor, pois não existem observações semelhantes. 
A solução empregada é agrupar os dados por faixas de salário. 
 
Classe de salários Frequência ( fi ) Porcentagem 
4,00 | 8,00 10 27,78 
8,00 | 12,00 12 33,33 
12,00 | 16,00 8 22,22 
16,00 | 20,00 5 13,89 
20,00 | 24,00 1 2,78 
Total 36 100,00 
Tabela 3 – Frequências e porcentagens dos 36 empregados da seção de 
orçamentos da Companhia Milsa, por faixa de salário 
 
Representação Gráfica da Variáveis 
 
 A representação gráfica da distribuição de frequências de uma variável tem a 
vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma. 
 
Exemplo 
 Estamos interessados em estudar a distribuição do número de filhos dos empregados 
casados da seção de orçamentos da Cia. Milsa. 
 - 18 -
0
2
4
6
8
0 1 2 3 5
nº de filhos
Fr
eqüê
n
ci
a
 
 
Nº de filhos Frequência (fi) Porcentagem (100.fi) 
0 4 20% 
1 5 25% 
2 7 35% 
3 3 15% 
5 1 5% 
Total 20 100% 
Tabela 4 – Frequências e porcentagens dos empregados 
da seção de orçamento da Companhia Milsa, segundo o 
número de filhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para variáveis quantitativas contínuas necessita-se de alguma adaptação, como no 
exemplo a seguir. 
Queremos representar graficamente a distribuição da variável S (salário dos 
empregados) da seção de orçamentos da Cia. Milsa. 
Classe de salários 
PONTO MÉDIO 
Pm (xi) 
FREQUÊNCIA 
fi 
Porcentagem 
100. fi 
4,00 |||| 8,00 6,00 10 27,78 
8,00 |||| 12,00 10,00 12 33,33 
12,00 |||| 16,00 14,00 8 22,22 
16,00 |||| 20,00 18,00 5 13,89 
20,00 |||| 24,00 22,00 1 2,78 
Total __ 36 100,00 
 
 - 19 -
0%
10%
20%
30%
40%
6 10 14 18 22
Salários
Po
rc
en
ta
ge
m
0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
 
Fr
e
qü
ên
ci
a
Tabela 5 –Distribuição de frequência da variável S = salário dos empregados 
da seção de orçamento da Cia. Milsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O artifício usado para representar a variável contínua faz com que se perca muito das 
informações nela contidas. Uma alternativa a ser usada nestes casos é o gráfico 
conhecido como histograma. 
Um histograma consiste em uma escala horizontal para os valores dos dados a serem 
representados, uma escala vertical para as frequências e barras para representar os 
valores das frequências das diversas classes. Em geral, a construção de um histograma 
para representar um conjunto de valores é precedida de uma tabela completa de 
frequências daqueles valores. Cada barra é delimitada pela fronteira inferior de classe à 
esquerda e pela fronteira superior de classe à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 20 -
 
Tipos de Frequências 
 
 Frequências simples ou absolutas ( fi ) são os valores que realmente representam 
o número de dados de cada classe. 
obs: a soma das frequências simples é igual ao número total dos dados ( n ): 
∑ = nfi 
 Frequências relativas ( fri ) são os valores das razões entre as frequências simples 
e a frequência total: 
n
f
f
ffr i
i
i
i == ∑ 
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de todos os valores inferiores 
ao limite superior do intervalo de uma dada classe: 
iii fffF +++= ...2 ou ∑
=
=
k
i
ik fF
1
 
 Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a frequência acumulada da 
classe, dividida pela frequência total da distribuição. 
n
F
f
FFr i
i
i
i == ∑ 
Considere a distribuição de frequência com intervalos de classe abaixo: 
 
 Estaturas de 40 alunos do colégio A. 
Estaturas (cm) Frequência ( fi ) 
150 | 154 4 
154 | 158 9 
158 | 162 11 
162 | 166 8 
166 | 170 5 
170 | 174 3 
Total 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 21 -
 
 Considerando a tabela anterior, podemos montar a seguinte tabela com as 
frequências estudadas: 
 
 
i 
 
Estaturas 
 (cm) 
 
Frequência 
( fi ) 
 
Ponto médio 
( Pm ) Xi 
 
Frequência 
Relativa (fri) 
 
Frequência 
Acumulada 
(Fi ) 
 
Frequência 
Acumulada 
relativa (Fri ) 
1 150 | 154 4 152 0,100 4 0,100 
2 154 | 158 9 156 0,225 13 0,325 
3 158 | 1 62 11 160 0,275 24 0,600 
4 162 | 166 8 164 0,200 32 0,800 
5 166 | 170 5 168 0,125 37 0,925 
6 170 | 174 3 172 0,075 40 1,000 
 n=ΣΣΣΣfi=40 ΣΣΣΣfri= 1,000 
 
O conhecimento dos vários tipos de frequências ajuda-nos a responder a muitas 
questões com relativa facilidade, como as seguintes: 
a) Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm ? 
Esses são os valores da variável que formam a segunda classe. Como f2 = 9, a resposta é : nove 
alunos. 
 
b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm ? 
 Esses valores são os que formam a primeira classe. Como fr1=0,100, obtemos a resposta 
multiplicando a frequência relativa por 100: 
0,100 x 100 = 10 
 Logo, a percentagem de alunos é 10%. 
 
c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm ? 
É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as classes de ordem 
1,2 e 3. Assim, o número de alunos é dado por: 
243
3
1
321 ===++ ∑
=
Fffff
i
i 
Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 cm. 
 
d) Quantos alunos têm estatura não inferior a 158 cm ? 
 O número de alunos é dado por: 
27358116543
6
3
=+++=+++=∑
=
fffff
i
i 
Ou então: 
27134022
6
1
=−=−=−∑
=
FnFf
i
i 
 
 - 22 -
 
Polígono de Frequências 
 Um polígono de frequência é um gráfico de linha em que as frequências são 
colocadas sobre perpendiculares levantadas nos pontos médios. Pode-se também obtê-los, 
ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de Frequência Acumulada 
 O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-se as frequências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos 
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As formas das curvas de frequência 
 As curvas de frequências aparecem, na prática, sob diversas formas características: 
 a) Curvas de frequência simétrica ou em forma de sino. Caracterizam-se pelo fato de 
as observações eqüidistantes do ponto central máximo terem a mesma frequência. 
 b) Nas curvas de frequência moderadamente assimétrica ou desviadas, a cauda da 
curva de um lado da ordenada máxima é mais longa do que do outro. Se o ramo mais 
alongado fica à direita, a curva é dita desviada para a direita, ou de assimetria positiva, 
enquanto, se ocorre o inverso, diz-se que a curva é desviada para a esquerda ou de 
assimetria negativa. 
 c) Na curva em forma de J, ou J invertido, o ponto de ordenada máxima ocorre em 
uma das extremidades. 
148 152 156 160 164 168 172 176
0
2
4
6
8
10
12
14
 
Fr
e
qü
ên
ci
a
 Estatura ( cm )
152 156 160 164 168 172
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
 
Fr
e
qü
ên
ci
a
 Estatura ( cm )
 - 23 -
 d) Uma curva de frequência em forma de U tem ordenadas máximas em ambas as 
extremidades. 
 e) Uma curva de frequência bimodal tem dois máximos. 
 f) Uma curva de frequência multimodal tem mais de dois máximos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A R R E D O N D A M E N T O 
 
Regra I: para saber quantos algarismos significativos existem em um número, temos as seguintes 
regras: O algarismo que fica mais à esquerda (diferente de zero) é o mais significativo. Se não há 
vírgula, o algarismo que fica mais à direita (diferente de zero) é o menos significativo. Se há vírgula o 
último algarismo da direita é o menos significativo, mesmo que ele seja zero. 
Regra II: os critérios para arredondamento de um número devem ser os seguintes, se o algarismo a 
ser cortado for: 
 
 > 5 soma-se 1 ao algarismo anterior. 
 Ex.: 47,37 Ô 47,4 
 
 < 5 o algarismo anterior não se altera 
 Ex.: 47,34 Ô 47,3 
 
 se o algarismo anterior for par, não se altera. 
 Ex.: 47,25 Ô 47,2 
= 5 
 se o algarismo anterior for ímpar, soma-se 1. 
 
 Ex.: 47,35 Ô 47,4 
 - 24 -
 
1ª Lista de Exercícios – Distribuição de Frequência 
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreasde 400 lotes. 
Áreas (m2) Nº de Lotes 
300 | 400 14 
400 | 500 46 
500 | 600 58 
600 | 700 76 
700 | 800 68 
800 | 900 62 
 900 | 1000 48 
1000 | 1100 22 
1100 | 1200 6 
Com referência a essa tabela, determine: 
 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) a amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) a frequência da quarta classe; 
g) a frequência relativa da sexta classe; 
h) a frequência acumulada da quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2; nº de lotes abaixo de 700 m2 
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; nº de lotes acima de 800 m2 
k) a percentagem dos lotes cuja área é inferior a 600 m2; 
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1000 m2; 
n) a classe do 72º lote; 
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 
 
2) Conhecidas as notas de 50 alunos: 
Dados Brutos Rol (ordem crescente) 
 
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 X 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 X 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 X 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 X 
94 98 66 73 42 65 94 66 88 89 X 
 
 
determine: 
 
a) a distribuição de frequência começando por 30 e 
adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10. 
b) as frequências acumuladas; 
c) as frequências relativas; 
d) o histograma e o polígono de frequência simples; e depois de frequência acumulada 
e) Gráfico Ramo-e-folhas(adotar idades a partir de 30, com amplitude de 10) 
Como variável quantitativa discreta temos: Média(65,34), mediana(66) e a moda(65) 
Como variável quantitativa contínua temos: Média da distribuição de frequência(65,6) 
Mediana(65,83) Moda Czuber(65,71) 
 - 25 -
 
Medidas de Tendência Central 
(Variáveis Quantitativas Discretas) 
 As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a 
tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números. As três mais usadas são a 
média, a mediana e a moda. 
Média Aritmética ( )x 
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: 
n
xxxx
x n
++++
=
...321
 , como 
n
x
n
i
ix∑
=
=
1
 ou simplesmente como 
n
x
x
∑
=
 
Sendo: 
x - a média aritmética simples xi – os valores da variável n – o número de valores 
 
Desvio em relação à média 
 Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um 
conjunto de valores e a média aritmética. Assim 
di = xi - x ou ainda tomando em módulo temos xxd ii −= 
Média Aritmética Ponderada ( )x 
 A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha 
a mesma importância. Conquanto este caso seja o mais geral, há exceções. O cálculo da 
média pode levar em conta “pesos” desiguais para cada variável. 
n
nn
pppp
pxpxpxpx
x
++++
++++
=
...
...
321
332211
 ou 
∑
∑
=
=
i
n
i
ii
p
px
x 1
)(
 como os “pesos” serão dados pela 
frequência , trocaremos pi por fi, logo temos ∑
∑
=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
 
 
Emprego da média 
A média é utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui a maior 
estabilidade e quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior (situado 
além, que sucede ou que chega depois). 
 
A Mediana (Md) 
 Uma segunda medida do meio de um conjunto de números é a mediana. Sua 
característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a 
metade terá valores inferiores à mediana, a outra terá valores superiores à mediana. 
O processo para determinar a mediana é o seguinte: 
 1)Ordenar os valores 
 2)Verificar se há um número ímpar ou par de valores 
3)Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor do meio. Para um número 
par de valores, a mediana é a média dos dois valores do meio, ou seja, 
 - 26 -
 
 quando IMPAR – o termo de ordem 
2
1+n
 
 quando PAR a média aritmética dos termos de ordem 1
22
+
n
e
n
 
Emprego da mediana 
Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais, e quando 
há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média, ou ainda quando a 
variável em estudo é salário. 
A Moda (Mo) 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de 
valores. Um exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais 
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. 
 Quando tratarmos com intervalos de classe, a classe que apresenta a maior 
frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste 
caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. 
 O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da 
classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Ou 
2
** LlMo += , onde 
l* e L* são respectivamente os limites inferior e superior da classe modal 
Emprego da moda 
 A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de 
posição e quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
Média Geométrica 
 Consiste em multiplicar os elementos e extrair a raiz do produto encontrado, 
utilizando como índice da raiz o número de elementos multiplicados. Para n termos ou 
valores temos: 
n
n
g xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ...321 ou ainda n
n
i
ig xx ∏
=
=
1
 onde ∏ é o produtório 
Média Harmônica 
 A média harmônica é representada por Hx ou H e corresponde ao quociente do 
número de elementos da seqüência (n) pela soma do inverso desses elementos, ou o 
inverso da média aritmética dos inversos de n elementos 
xxxx
x
n
H
n
1
...
111
321
++++
=
 ou 
∑
=
=
n
i i
H
x
x
n
1
1 
A relação entre as médias é: Hg xxx ≥≥ 
Somente a título de curiosidade existem ainda a média geométrica ponderada e a 
média harmônica ponderada.. 
 
 
 
 - 27 -
Medidas de Tendência Central 
Valores Tabulados – Agrupados em Classes – Variáveis Quantitativas Contínuas 
 
Para a construção de uma distribuição de frequência é necessário: 
1) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados. 
Onde AT = Maior valor – menor valor 
2) Decidir quanto ao número de classes(k). É aconselhável tomar entre 5 a 15 classes. 
Menos de 5 classes pode ocultar detalhes importantes dos dados. Mais de 15 torna a 
apresentação demasiado detalhada. Para determinar o número de classes há diversos 
métodos. 
2.1) Tomar a raiz quadrada de n ou ∑ if , ou seja do número de dados. 
Chamando de k o número de classes, nk = . 
2.2) A regra de Sturges. k = 1 + 3,3.log n 
3) Determinar a amplitude do intervalo de classe(h). 
k
ATh =
 
4) Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, números inteiros 
5) Construir a tabela de frequências, conforme sugerido, 
MÉDIA 
Para dados tabulados a média, nada mais é que a média ponderada, para isto 
temos a fórmula 
∑
∑
=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
 
M E D I A N A 
Passos: 1º) Determinamos o Elemento mediano , onde EMd 2
∑
=
if
, que determinará 
a classe em que se encontra a mediana, ou a classe mediana. 
 2º) A seguir empregamos a fórmula: 
Md
Md
antMd
Md hf
FEMd ⋅





−
+=l
 
Onde: 
Mdl – limite inferior da classe mediana 
fMd- frequência da classe mediana 
Fant- frequência acumulada anterior à classe mediana 
hMd- amplitude do intervalo da classe mediana 
M O D A 
 
Quando tratamos com intervalos de classe, a classe que apresenta a maior 
frequênciaé denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, 
neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. 
 - 28 -
 O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da 
classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Assim
2
MoMo LMo += l , 
onde Mol e LMo são respectivamente os limites inferior e superior da classe modal 
“ Q U E M E S T Á N A M O D A A P A R E C E M A I S !!! ” 
 
1º) Método de King 
 King levou em consideração, em sua fórmula, a frequência simples da classe anterior 
e a frequência simples da classe posterior à classe moda. 
hff
f
Mo
postant
post
Mo
Mo ⋅
+
+= l Onde: 
Mol - limite inferior da classe modal 
fpost – frequência simples da classe posterior à classe modal 
fant - frequência simples da classe anterior à classe modal 
hMo - amplitude do intervalo de classe 
 
2º) Método de Czuber 
 Czuber levou em consideração, em sua fórmula a frequência simples da classe 
anterior, a frequência simples da classe posterior, além da frequência simples da classe 
modal. É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King. 
 
Moda - Czuber Moda - Czuber Moda - Czuber 
hfff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2l hMoMoMo ⋅∆+∆
∆
+=
21
1
l 
Onde: 
ff
antMo
−=∆1 e 
ff
postMo
−=∆ 2 
Onde fMo – frequência simples da classe modal , e os demais seguem a nomenclatura acima 
 
3º) Método de Pearson 
 Karl Pearson desenvolveu uma fórmula empírica de relação entre a média, a moda e 
a mediana. xMdMo 23 −= , onde x é a média aritmética ponderada 
Resumindo: 
Média Mediana Moda Bruta 
∑
∑
=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
 Md
Md
antMd
Md hf
FEMd ⋅





−
+= l
 2
MoMo LMo += l
 
Moda - King Moda - Czuber Moda -Pearson 
hff
f
Mo
postant
post
Mo
Mo ⋅
+
+=l hfff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2l xMdMo 23 −= 
 
Moda - Czuber Moda - Czuber Moda - Czuber 
hfff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2l hMoMoMo ⋅∆+∆
∆
+=
21
1
l 
Onde: 
ff
antMo
−=∆1 e 
ff postMo −=∆ 2 
 
 - 29 -
 
 
Exercícios 
 
Diversão 
 
Dado as idades(Xi) em anos de um 
grupo de pessoas com : 
1) 7, 4, 8, 6, 6, 5, 2 
2) 2, 5, 5, 5, 9, 7, 10, 11 
 
Para cada exercício acima determine a: 
a) média aritmética 
b) mediana 
c) moda 
d) média geométrica 
e) média harmônica 
 
Respostas: 
1a) 5,43 anos 1b) 6 anos 1c) 6 anos 
1d) 5,02 anos 1e) 4,51 anos 
 
2a) 6,75 anos 2b) 6 anos 2c) 5 anos 
 2d) 6,02 anos 2e) 5,18 anos 
Lista de Medidas de Tendência Central 
Respostas 
1a) 715,5 m2 
1b)708,82 m2 
1c) 650 m2 
1d) 653,97 m2 
1e) 669,23 m2 
1f) Moda Pearson = 695,46 m2 
 
2a) 65,34 pontos 
2b) 66 pontos 
2e) 65,6 pontos 
2f) 65,83 pontos 
2g) MoK = 65,29 pontos 
MoC = 65,71 pontos 
MoP = 66,29 pontos 
 
 
Favor conferir com seus próprios apontamentos, verificando sua assimilação do conteúdo. 
 
 
Lista de Exercícios – Medidas de Tendência Central 
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes. 
Áreas (m2) Nº de Lotes 
300 | 400 14 
400 | 500 46 
500 | 600 58 
600 | 700 76 
700 | 800 68 
800 | 900 62 
900 | 1000 48 
1000 | 1100 22 
1100 | 1200 6 
 
Com referência a tabela anterior, determine: 
 
a) a média aritmética; b) a mediana; c) a moda bruta; d) a moda King; 
e) a moda Czuber f) a moda Pearson ...(depois)... g) Variância h)Desvio-Padrão 
i) o coeficiente de variação j) P12 k) Q1 l) D4 m) P54 
n) D9 o) Q3 e interpretação p) K3 
 
 
 
 
 - 30 -
 
2) Conhecidas as notas de 50 alunos: 
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 
59 60 61 64 65 65 65 66 66 67 68 68 69 71 73 73 74 
74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 
determine: 
 
a) a média aritmética; b) a mediana; c) moda(variável quantitativa discreta) 
d) a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10. 
e) a média aritmética(contínua) desta distribuição de frequências; 
f) a mediana da distribuição de frequências; g) Moda Bruta, a moda de King, a Moda de 
Czuber e a Moda Pearson (depois) h) Variância i) Desvio-Padrão j) o coeficiente de 
variação k) D4 l) P82 m) Q3 n) K3 
M E D I D A S DE D I S P E R S Ã O 
 
Alexandre(160 cm) Marcos(180 cm) DUTRA(198 cm) 
ALUNOS DE ESTATÍSTICA EM 2008. 
 
 
 
BRUNO, LUCAS E FÁBIO 
1,42 m– 1,75 m– 1,98m 
DANILO, RENAN, MURILO e FÁBIO 
1,86m – 1,88m – 1,90 m– 1,98m 
 
 Veremos as medidas de Dispersão que tem a média como ponto de referência 
 Vejamos a seguinte situação. Uma pessoa é encarregada de organizar atividades 
de lazer para um grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do 
grupo é de 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para 
 - 31 -
planejar as atividades, pois podemos ter grupo com média de idade de 20 anos e 
características totalmente diferentes. Observemos alguns grupos possíveis. 
 
Grupo A- idade das pessoas (em anos): 20 20 20 20 20 20. Observe que 
temos a média igual a 20. Pois (20+20+20+20+20+20): 6 = 20. 
 
Grupo B – idade das pessoas (em anos): 22 23 18 19 20 18. 
Observe que temos a média igual a 20.Pois (22+23+18+19+20+18): 6 = 20. 
 
Grupo C – idade das pessoas (em anos): 6 62 39 4 8 1. 
Observe que temos a média igual a 20. (6+62+39+4+8+1): 6 = 20. 
 
 No grupo A não houve dispersão. A dispersão no grupo B é menor que no grupo C. 
Dizemos que o grupo B é mais homogêneo que o C ou que o grupo C é mais heterogêneo 
que o B. 
 Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é 
conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. 
As mais usadas são a variância e o desvio padrão. 
 
Variância (S2) 
 
 A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores Xi em relação à média. 
(xi - x ). Mas a soma desses desvios é igual a 0. Uma opção possível, então é considerar o 
total dos quadrados dos desvios ∑
=
−
n
i
i xx
1
2)(
 e expressar a variância como a média dos 
quadrados dos desvios, ou seja 
n
xx
n
i
i
s
∑
=
−
=
1
2
2
)(
. Faremos o cálculo para os três grupos: 
A;B;C. 
Grupo A Grupo B Grupo C 
 
 
 
Xi 
 
)( xxi −
 
= 
2)( xxi −
 
 
)( xxi − 
 
 
= 
 
2)( xxi −
 
 
)( xxi − 
= 
2)( xxi − 
20 22 6 
20 23 62 
20 18 39 
20 19 4 
20 20 8 
20 18 1 
 
=−∑
A
i xx
2)(
 
∑ =−
B
i xx
2)(
 
∑ =−
C
i xx
2)(
 
logo =S A2 _________ =S B2 _________ =SC2 ___________ 
 A variância é suficiente para diferenciar a dispersão dos grupos: O grupo A não tem 
dispersão(S2 = 0) e o grupo C tem uma dispersão maior que a do grupo B(513,6>3,6). 
Porém, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, 
uma vez que os desvios são elevados ao quadrado. Então, definiu-se a medida de 
dispersão chamada desvio padrão. 
 
 - 32 -
Desvio Padrão (S) 
 
 O desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos 
dados, pois é expressa na mesma unidade dos valores observados(do conjunto de dados). 
Assim temos: 
Grupo A: anosS 00 == Grupo B: anosS 9,16,3 == Grupo C: anosS 6,226,513 == . 
 
Resumindo, se x1, x2, x3, . . . , xn são os n valores de uma variável quantitativa x, temos: 
A média aritmética dos 
 valores de x:n
x
n
i
ix∑
=
=
1
 
A variância de x: 
n
xx
n
i
i
s
∑
=
−
=
1
2
2
)(
 
 
O desvio padrão de x: 
 
2SS =
 
 
Observações: 
1ª) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0 (zero) 
2ª) Quanto mais próximo de 0(zero) é o desvio padrão, mais homogêneo é a distribuição dos 
valores da variável. 
 3ª) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Variância (S2) e Desvio Padrão (S) 
 
Variância(S2) Desvio-padrão(S) 
 
Dados Brutos 
(variáveis discretas) 
Dados Tabulados 
(variáveis contínuas) VariânciaãoDesvioPadr = 
n
xx
n
i
i
s
∑
=
−
=
1
2
2
)(
 
n
xxf
k
i
ii
s
∑
=
−⋅
=
1
2
2
])([
 
2SS =
 
Lembrando que n = ∑ if 
 
Quando o desvio-padrão representar uma descrição da amostra e não da população, caso 
mais freqüente em estatística, o denominador será igual a (n – 1), em vez de n. A razão desses 
procedimentos reside no fato de que, utilizando o divisor (n – 1), obtém-se uma estimativa melhor do 
parâmetro de população. Além do mais, apenas (n – 1) das discrepâncias(xi – x) são independentes, 
uma vez que essas (n – 1) discrepâncias determinam automaticamente a n-ésima(última). Para 
valores grandes de n (n > 30) não há grande diferença entre resultados proporcionados pela 
utilização de qualquer dos dois divisores, n ou (n – 1). ENTRETANTO DAREMOS PREFERÊNCIA PARA A 
FÓRMULA QUE PROPORCIONA UMA ESTIMATIVA MAIS JUSTA DO DESVIO-PADRÃO DA POPULAÇÃO, OU SEJA, 
 
 
Variância(S2) Desvio-padrão(S) 
 
Dados Brutos Dados Tabulados VariânciaãoDesvioPadr = 
)1(
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
n
i
i
s 1
])([
1
2
2
−
−⋅
=
∑
=
n
xxf
n
i
ii
s 
2SS =
 
 
 
População 
Amostra 
 - 33 -
 
Coeficiente de Variação 
 O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas 
unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; 
no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. Além disso, o fato de o 
desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando 
desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou 
variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 
 Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou 
variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada 
coeficiente de variação(CV): 
100*
Média
Padrão Desvio
 Variação de eCoeficient = 100*
x
sCV =
 
 
Lista de Exercícios – Medidas de Dispersão 
 
 
 
1) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da população 
De pessoas cuja idade em anos são representados por Xi: 2, 3, 7, 9, 11, 13. 
2) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da amostra 
De pessoas cuja idade em anos são representados por Yi: 14, 16, 19, 20, 22, 23. 
3) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da população de um 
 grupo de pessoas onde existem 7 pessoas com 14 anos, 14 pessoas com 18 anos, 11 
 pessoas com 20 anos, 10 pessoas com 23 anos e 8 pessoas com 25 anos : 
 
Idade (anos) Nº de Alunos 
 
 
 
4) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes. (amostra) 
Áreas (m2) Nº de Lotes 
300 | 400 14 
400 | 500 46 
500 | 600 58 
600 | 700 76 
700 | 800 68 
800 | 900 62 
900 | 1000 48 
1000 | 1100 22 
1100 | 1200 6 
Com referência a essa tabela, determine: 
a) a variância; b) o desvio padrão. c) o coeficiente de variação 
Respostas: 36250,38 (m2)2 190,40 m2 26,61% 
 
5) 2ª Tabela – Exercício das Notas (amostra) : 
Respostas: 287,39(pontos)2 16,95 pontos 25,84% 
 - 34 -
Posição Relativa da Média, Mediana e Moda 
 Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém a assimetria 
torna-se diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em 
uma distribuição em forma de sino, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas Separatrizes 
 São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que 
contêm a mesma quantidade de elementos da série. 
 Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um 
deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz. 
 Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são : quartis, 
quintis, decis e percentis. 
 Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma ficará com 25% de seus 
elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados quartis. 
 Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a seqüência ordenada, 
deixando 25% de seus elementos, à esquerda e 75% de seus elementos à direita. 
 O segundo quartil, que indicaremos por Q2. separa a seqüência ordenada, deixando 
50% de seus elementos à esquerda e 50% de seus elementos à direita. (note que Q2 é a 
mediana). 
 O terceiro quartil, que indicaremos por Q3, separa a seqüência ordenada deixando à 
esquerda 75% de seus elementos e 25% de seus elementos à direita. 
 Se dividirmos a seqüência ordenada em cinco partes, cada um ficará com 20% de 
seus elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados quintis. 
 - 35 -
 Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1, separa a seqüência ordenada, 
deixando 20% de seus elementos à esquerda(ou abaixo) e 80% de seus elementos à 
direita(ou acima) 
 Se dividirmos a seqüência ordenada em dez partes, cada uma ficará com 10% de 
seus valores. Os elementos que separam este grupos são chamados decis. 
 Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1 separa a seqüência ordenada, 
deixando à sua esquerda 10% de seus elementos e 90% de seus elementos à direita. 
 De modo análogo são definidos os outros decis. 
 Se dividirmos a seqüência em 100 partes, cada uma ficará com 1% de seus 
elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados centis ou percentis. 
 Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por P1, separa a seqüência ordenada 
deixando à sua esquerda 1% de seus valores e 99% de seus valores à direita. De modo 
análogo são definidos os outros percentis. 
 Se observarmos que os quartis e decis são múltiplos dos percentis, então basta 
estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser 
identificadas como percentis. Desta forma: 
Q1 = P25 D1 = P10 D6 = K3 = P60 
Q2 = P50 D2 = K1 = P20 D7 = P70 
Q3 = P75 D3 = P30 D8 = K4 = P80 
 
D4 = K2 = P40 D9 = P90 
 
D5 = P50 
Observe que Q2 = D5 = P50 = Md (mediana) 
 
Cálculo das Medidas Separatrizes 
1º Caso – Dados Brutos ou Rol 
 Devemos ordenar os elementos, caso sejam dados brutos obtendo o rol. 
Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi. 
 Calculamos 
100
inE iP = de n, ou seja,para localizar a posição do percentil i no rol. 
 Lembrando que ∑= ifn 
 Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição. 
 Note que se
100
ni × for um número inteiro, então Pi que estamos procurando identificar é 
um dos elementos da seqüência ordenada. 
 Se não for um número inteiro, isto significa que o Pi é um elemento 
intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta e por 
excesso do valor Neste caso, o Pi é definido como sendo a média dos valores que ocupam 
esta posições aproximadas. 
Exemplo 1 
 Calcule o Q1 da seqüência X = 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15 
Solução: Ordenando a seqüência obtemos o rol: 
X : 1, 2, 5, 5,