fundamentos_matematica_estatistica

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e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes
Escola Técnica Aberta do Brasil 
Comércio
Fundamentos de 
Matemática e Estatística
Maria Waldete Pimenta Maciel
Ministério da
Educação
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes
Escola Técnica Aberta do Brasil
Comércio
Fundamentos de 
Matemática e Estatística
Maria Waldete Pimenta Maciel
Montes Claros - MG
2010
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância
Carlos Eduardo Bielschowsky
Coordenadora Geral do e-Tec Brasil 
Iracy de Almeida Gallo Ritzmann
Governador do Estado de Minas Gerais
Antônio Augusto Junho Anastasia
Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia 
e Ensino Superior
Alberto Duque Portugal
Reitor
João dos Reis Canela
Vice-Reitora
Maria Ivete Soares de Almeida
Pró-Reitora de Ensino
Anete Marília Pereira
Diretor de Documentação e Informações
Huagner Cardoso da Silva
Coordenador do Ensino Profissionalizante
Edson Crisóstomo dos Santos
Diretor do Centro de Educação Profissonal e 
Tecnólogica - CEPT
Juventino Ruas de Abreu Júnior
Diretor do Centro de Educação à Distância 
- CEAD
Jânio Marques Dias
Coordenador do e-Tec Brasil/Unimontes
Rita Tavares de Mello
Coordenadora Adjunta do e-Tec Brasil/
CEMF/Unimontes
Eliana Soares Barbosa Santos
Coordenadores de Cursos:
Coordenador do Curso Técnico em Agronegócio
Augusto Guilherme Dias
 
Coordenador do Curso Técnico em Comércio
Carlos Alberto Meira
 
Coordenador do Curso Técnico em Meio 
Ambiente
Edna Helenice Almeida
Coordenador do Curso Técnico em Informática
Frederico Bida de Oliveira
Coordenador do Curso Técnico em 
Vigilância em Saúde
Simária de Jesus Soares
Coordenador do Curso Técnico em Gestão 
em Saúde
Zaida Ângela Marinho de Paiva Crispim
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes 
Elaboração
Maria Waldete Pimenta Maciel
Projeto Gráfico
e-Tec/MEC
Supervisão 
Wendell Brito Mineiro
Diagramação
Hugo Daniel Duarte Silva
Marcos Aurélio de Almeda e Maia
Impressão
Gráfica RB Digital
Designer Instrucional
Angélica de Souza Coimbra Franco
Kátia Vanelli Leonardo Guedes Oliveira
Revisão
Maria Ieda Almeida Muniz
Patrícia Goulart Tondineli
Rita de Cássia Silva Dionísio
Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
3
Prezado estudante,
Bem-vindo ao e-Tec Brasil/Unimontes!
Você faz parte de uma rede nacional pública de ensino, a Escola 
Técnica Aberta do Brasil, instituída pelo Decreto nº 6.301, de 12 de dezem-
bro 2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino técnico público, 
na modalidade a distância. O programa é resultado de uma parceria entre 
o Ministério da Educação, por meio das Secretarias de Educação a Distancia 
(SEED) e de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC), as universidades e 
escola técnicas estaduais e federais.
A educação a distância no nosso país, de dimensões continentais e 
grande diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pes-
soas ao garantir acesso à educação de qualidade, e promover o fortalecimen-
to da formação de jovens moradores de regiões distantes, geograficamente 
ou economicamente, dos grandes centros.
O e-Tec Brasil/Unimontes leva os cursos técnicos a locais distantes 
das instituições de ensino e para a periferia das grandes cidades, incenti-
vando os jovens a concluir o ensino médio. Os cursos são ofertados pelas 
instituições públicas de ensino e o atendimento ao estudante é realizado em 
escolas-polo integrantes das redes públicas municipais e estaduais.
O Ministério da Educação, as instituições públicas de ensino téc-
nico, seus servidores técnicos e professores acreditam que uma educação 
profissional qualificada – integradora do ensino médio e educação técnica, 
– não só é capaz de promover o cidadão com capacidades para produzir, mas 
também com autonomia diante das diferentes dimensões da realidade: cul-
tural, social, familiar, esportiva, política e ética.
Nós acreditamos em você!
Desejamos sucesso na sua formação profissional!
Ministério da Educação
Janeiro de 2010
Apresentação e-Tec Brasil/Unimontes
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
5
Indicação de ícones
Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas 
de linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual.
Atenção: indica pontos de maior relevância no texto.
Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou 
“curiosidades” e notícias recentes relacionadas ao tema estudado.
Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão utilizada 
no texto.
Mídias integradas: possibilita que os estudantes desenvolvam atividades 
empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, ambiente AVEA e 
outras.
Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis 
de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu 
domínio do tema estudado.
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
Sumário
7
Palavra do professor conteudista .............................................9
Projeto instrucional ........................................................... 11
ESTATÍSTICA
Aula 1 - Estatística aplicada: noções preliminares ........................ 13
 1.1 O que é Estatística? ................................................. 13
 1.2 População - Dados Estatísticos – Amostra - Conceitos Preliminares ..15
 Resumo ................................................................... 16
 Atividade de aprendizagem ............................................ 16
Aula 2 - Como organizar dados em tabelas ................................ 19
 2.1 Organização de dados .............................................. 19
 2.2 Como organizar os dados em tabelas ............................ 20
 Resumo ................................................................... 22
 Atividades de aprendizagem ........................................... 22
Aula 3 - Representação gráfica .............................................. 25
 3.1 Representação gráfica .............................................. 25
 3.2 Veja um exemplo do mau uso da Estatística .................... 34
 Resumo ................................................................... 35
 Atividades de aprendizagem ........................................... 35
Aula 4 – Medidas Estatísticas ................................................ 39
 4.1. Medidas de posição ................................................ 40
 Resumo ................................................................... 50
 Atividades de aprendizagem ........................................... 50
Aula 5 – Medidas de dispersão ............................................... 53
 5.1. Introdução ........................................................... 54
 5.2 Desvio absoluto médio (Dam) .................................... 55
 5.3 Variância ( σ2) ..................................................... 57
 5.4 Desvio padrão (σ) ................................................... 58
 Resumo .................................................................. 59
 Atividades de aprendizagem ........................................... 59
 Referências Estatística.................................................. 60
MATEMÁTICA
Palavra do professor conteudista ........................................... 61
Aula 1 - Proporcionalidade, razões e proporções ......................... 63
 1.1 Proporcionalidade, razão e proporção: conceitos básicos ..... 63
 1.2 Razões ............................................................... 65
 1.3 Proporções .......................................................... 66
 Resumo ................................................................... 70
 Atividades de Aprendizagem ........................................... 70
Aula 2 - Grandezas proporcionais ...........................................73
 2.1. Introdução .......................................................... 73
 2.2. Proporcionalidade direta e inversa .............................. 74
 2.3 Divisão proporcional e regra de sociedade ...................... 77
 2.4. Regra de sociedade ................................................ 80
 Resumo ................................................................... 82
 Atividades de aprendizagem ........................................... 82
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio8
Aula 3 – Regra de três ........................................................ 85
 3.1. Regra de três simples .............................................. 85
 3.2 Regra de três composta .......................................... 87
 Resumo ................................................................... 88
 Atividades de aprendizagem ........................................... 88
Aula 4 – Porcentagem ......................................................... 89
 4.1 O que é porcentagem? ............................................. 91
 4.2 Usando o símbolo % ................................................. 92
 Resumo ................................................................... 92
 Atividades de aprendizagem ........................................... 93
Aula 5 – Operações sobre mercadorias ..................................... 95
 5.1 Vendas com lucro ................................................... 95
 5.2 Vendas com prejuízo ............................................... 97
 5.3 Abatimentos e aumentos sucessivos ............................100
 Resumo .................................................................101
 Atividades de aprendizagem ..........................................101
Aula 6 - Juros simples .......................................................103
 6.1 Juro, capital, taxa e tempo ......................................104
 6.2 Regime de capitalização ..........................................105
 6.3 Taxas proporcionais ...............................................106
 6.4 Taxas equivalentes.................................................106
 6.5 Juro comercial e juro exato .....................................107
 6.6 Determinação do número exato de dias entre duas datas ...107
 6.7 Montante ........................................................... 110
 Resumo .................................................................. 111
 Atividades de Aprendizagem .......................................... 111
Aula 7 – Descontos simples .................................................. 113
 7.1 Títulos de crédito ................................................. 114
 7.2 Desconto ............................................................ 115
 7.3 Taxa de juro efetiva ............................................... 117
 7.4 Equivalência de capitais ........................................... 118
 7.5 Valor do desconto racional em função do valor nominal .....120
 Resumo .................................................................. 121
 Atividades de aprendizagem .......................................... 121
Aula 8 - Juros compostos ....................................................123
 8.1 Conceito de juros compostos ..................................... 124
 8.2 Cálculo do montante .............................................. 124
 8.3 Determinação do fator de capitalização ........................125
 8.4 Cálculo do capital .................................................. 126
 8.5 Taxas proporcionais ............................................... 127
 8.6 Taxas equivalentes ................................................ 127
 8.7 Cálculo de taxas equivalentes ...................................128
 8.8 Montante para períodos não inteiros ...........................128
 8.9 Taxa nominal .......................................................129
 8.10 Taxa efetiva .......................................................130
 8.11 Taxa real e taxa aparente ....................................... 131
 Resumo .................................................................. 133
 Atividades de aprendizagem ......................................... 133
Referências Matemática .....................................................134
Referências Estatística ...................................................... 135
Currículo do professor conteudista ........................................ 136
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
9
Palavra do professor conteudista
Prezados estudantes, 
Depois de muita luta, muito esforço, idas e vindas, nasce o Curso 
Técnico do Comércio na modalidade a distância. 
Este é um projeto para o qual não se mediram esforços para vê-lo 
concretizado. Sua meta: levar cursos de capacitação profissional às cidades 
do Norte de Minas e Vale do Jequitinhonha. Neste curso, entre outros conte-
údos, as noções básicas da Matemática Comercial/Financeira e da Estatística 
são fundamentais. 
Certamente você deve estar se perguntando: o que é Estatística? O 
que se estuda nesta matéria? E a Matemática Comercial e Financeira? Será 
que vou utilizá-la na prática? 
Não fique preocupado (a). Essas dúvidas sempre aparecem diante 
do novo. Você terá as respostas no decorrer do nosso curso. 
A Estatística, assim como a Matemática, sempre existiu. Temos con-
tato com ela desde o despertar de cada manhã, durante o dia e em várias 
situações do nosso quotidiano. 
Ela nasceu da necessidade de o homem registrar o número do seu 
rebanho, de sua produção agrícola, nas trocas de mercadorias, e continua a 
evoluir até nossos dias. 
Você convive com esta Ciência desde o manusear de uma revista, ao 
assistir um noticiário e até mesmo nas visitas ao supermercado ou à padaria. 
Somos bombardeados com uma grande quantidade de informações, 
como, por exemplo: do número de brasileiros que leem pelo menos dois 
livros por mês; da posição de um candidato na preferência dos eleitores; 
nas cotações do dólar; da audiência de um programa de TV ou de rádio; do 
número de brasileiros que se encontram ou que saíram da linha de pobreza; 
dos índices de emprego e desemprego; de perspectiva de vida; de IDH( índi-
ce de desenvolvimento humano); da previsão do PIB( produto interno bruto); 
do número de analfabetos no Brasil, enfim,em uma infinidade de situações. 
É através da Estatística, ramo da Matemática, que obtemos respos-
tas para estas indagações. 
 Como a Matemática, ela existe desde os primórdios. A própria Bí-
blia já faz referência a ela, quando o imperador romano Otávio Augusto 
mandou fazer o recenseamento de todo o império romano. 
Não podemos excluí-la de nossas vidas. Quem nunca fez uma com-
pra depois de perguntar a um amigo onde encontrar o melhor preço? Ou 
depois de ouvir uma propaganda? Quem não gosta de um desconto? Como 
colocar o preço numa mercadoria para obter uma razoável margem de lucro? 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio10
E nas aplicações financeiras? E no cálculo dos juros nos empréstimos? Per-
cebeu como a Matemática e a Estatística caminham juntas? Como elas são 
fantásticas! Sempre nos dando respostas ou nos apontando um caminho para 
obtê-las. 
Mas, preste atenção: lembre-se disto: “só se aprende Matemática 
fazendo Matemática”. E para isto é preciso ter muita dedicação. Estabeleça 
um horário para seus estudos. Cumpra-o. Nunca desista. Siga sempre em 
frente. Não fique com dúvidas. Pergunte sempre. Não se sinta constrangido 
por não entender determinado assunto. Ninguém nasce sabendo. Tente re-
solver todas as questões propostas. Refaça-as quantas vezes se fizer neces-
sário. Faça. Apague. Faça de novo. São nestas tentativas recheadas de erros 
e acertos que aprendemos. No final, você se surpreenderá interpretando 
gráficos e resolvendo situações, que antes julgava impossíveis, com a maior 
facilidade. 
Vamos começar nosso trabalho? Animado (a) para adentrar neste 
fantástico mundo dos números e dos gráficos?Vamos viajar por ele? Acom-
panhe-me...
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
11
Projeto instrucional
Disciplina: Estatística (carga horária: 14h).
1. Pesquisas 
1.1 Métodos e técnicas de em diversas fontes e pesquisas de campo.
1.2 Construção de sistemas de informação: coleta e arquivamento 
de dados; montagem de bases de dados; tratamento e análise de dados.
1.3 Elaboração de relatórios de conclusão sobre dados analisados.
Aula Objetivos de aprendizagem Materiais Carga horária
1. O que é estatís-
tica?
Apresentar os conceitos da 
Estatística, sua origem e sua 
aplicação.
Caderno 
didático 2h/aula
2. Organização de 
dados e construção 
de tabelas
Apresentar os elementos de 
uma tabela e construí-la.
Caderno 
didático 3h/aula
3. Representação 
gráfica
Identificar, ler, interpretar 
e construir os gráficos mais 
utilizados.
Caderno 
didático 3h/aula
4. Medidas estatís-
ticas
Identificar e calcular corre-
tamente algumas medidas de 
posição: a média aritmética,a 
moda e a mediana.
Caderno 
didático 3h/aula
5. Medidas de Dis-
persão
Apresentar as medidas de 
dispersão mais utilizadas, le-
vando o aluno a calculá-las e a 
interpretá-las corretamente.
Caderno 
didático 3h/aula
Disciplina: Fundamentos da Matemática (carga horária: 40 h).
Ementa: Neste espaço o professor deve registrar a ementa de sua 
disciplina, conforme consta no projeto pedagógico do curso.
AULA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM MATE-RIAIS
CARGA 
HORÁRIA
1. Proporcionalida-
de, razões e propor-
ções.
Levar o aluno a conceituar 
razão e proporção. 
Nomear e distinguir seus ter-
mos.
Calcular corretamente uma 
razão.
Reconhecer uma proporção.
Aplicar corretamente as pro-
priedades das proporções no 
cálculo do termo desconhecido.
Caderno 
didático 4h/aula
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio12
2. Grandezas pro-
porcionais
Distinguir proporcionalidade 
direta e inversa.
Resolver a divisão em partes 
diretamente proporcionais, 
inversamente proporcionais e 
compostas.
Aplicar a regra de sociedade 
corretamente.
Caderno 
didático 4h/aula
3. Regra de três 
Resolver corretamente situa-
ções que envolvam a aplicação 
da regra de três simples e 
composta.
Caderno 
didático 5h/aula
4. Porcentagem 
Calcular porcentagens e re-
solver situações-problema que 
envolvam este assunto. 
Caderno 
didático 4h/aula
5. Operações sobre 
mercadorias.
Resolver situações que envol-
vam operações de compra e 
venda de mercadorias com lu-
cro sobre o preço de custo e de 
venda; prejuízo sobre o preço 
de custo e de venda; descontos 
e abatimentos sucessivos.
Caderno 
didático 5h/aula
6. Juros simples 
Solucionar situações que en-
volvam operações financeiras 
levando em conta o valor do 
dinheiro no tempo, através da 
capitalização simples.
 Conceituar o regime de capita-
lização simples, montante.
 Conceituar e calcular taxas de 
juros, prazo da aplicação finan-
ceira, capital e montante.
Caderno 
didático 6 h/aula
7. Desconto simples.
Descrever e identificar os 
títulos de crédito estudados 
(nota promissória, duplicata, 
letra de câmbio) e a calcular 
corretamente os descontos em 
operações financeiras.
Caderno 
didático 6 h/aula
8. Juros compostos 
Conceituar e diferenciar capi-
talização composta. 
Resolver situações que en-
volvam o cálculo dos juros no 
regime de capitalização com-
posta, assim como conceituar 
e calcular corretamente taxas 
de juros, prazo da aplicação, 
capital e montante.
Caderno 
didático 6 h/aula 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
13
Aula 1 - Estatística aplicada: noções 
preliminares
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• descrever a origem da Estatística e de seu nome;
• conceituar os ramos da Estatística; 
• construir uma tabela, identificando seus elementos;
• identificar, construir e interpretar gráficos;
• identificar uma distribuição de frequências;
• representar e interpretar uma distribuição de frequência, atra-
vés de tabelas e de gráficos;
• reconhecer as aplicações da Estatística; 
• Identificar o uso inadequado da Estatística.
1.1 O que é Estatística?
Figura 1: Apresentação da Estatística. 
Fonte: O Estado de São Paulo, 11 de maio de 2000.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio14
O nome Estatística provém do latim (status – o estado) e do grego 
(Statizeim – enumeração). É uma ciência que existe desde o início da huma-
nidade. Surgiu na antiguidade, quando os governantes utilizavam da contagem 
da população para obter informações a respeito da riqueza e do poderio militar 
de seus impérios. Temos relatos na Bíblia sobre o recenseamento de todo o 
império romano feito no governo do imperador César Augusto. Também Con-
fúcio, mais ou menos no ano 500 aC., referia-se ao recenseamento feito pelo 
imperador Yu, no ano 2366 a.C., para investigar o número da população e ter 
conhecimento das condições econômicas e do poderio militar de seu império.
Hoje, as previsões são fundamentadas em dados numéricos colhidos 
no presente ou no passado. A Estatística é, então, a ciência que estuda as 
relações entre os dados numéricos e prováveis acontecimentos futuros. Além 
de fundamentar previsões, ensina a representar esses dados numéricos em 
tabelas e gráficos, estabelece processos de análise e ajuda na tomada de 
decisões com base em métodos científicos. 
Atualmente é utilizada pela engenharia, em pesquisas científicas, 
eleitorais, de opinião, na Biologia, na engenharia Genética, no Comércio, na 
Educação, na Física, na Medicina, na Psicologia, na Indústria, na Meteorolo-
gia e em muitas outras áreas.
Você está sempre em contato com essa ciência, principalmente ao 
assistir aos noticiários. Vivemos em um mundo de números, por isso é neces-
sário que saibamos compará-los com os fatos, sob pena de não acompanhar 
as rápidas transformações do dia -adia ou até mesmo de sermos enganados 
por resultados manipulados.
A parte da Estatística que utiliza números para descrever os fatos é 
chamada Estatística Descritiva. Compreende a organização, o resumo e, em 
geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas. Ela 
estuda o fato pesquisado, ou seja, a amostra. A finalidade é tornar os fatos 
mais fáceis de entender, de relatar e discutir. A Inferência estuda, analisa e 
interpreta as características da população amostrada. E a partir deste estu-
do, procura inferir para todo o universo. 
A amostra apresenta as características de uma pequena parcela e, uti-
lizando estas informações, estende a toda a população o resultado deste estudo.
Veja alguns exemplos:
• Basta mergulhar a mão na água para avaliar a temperatura da 
água da piscina;
• Não é preciso comer uma torta inteira para saber se é gostosa;
• É possível analisar um programa de TV por alguns minutos para 
ver se vale a pena assistir até o final;
• Folhear um novo livro e concluir se é interessante;
• Fazer um “test drive” num carro novo;
• Um diretor faz um teste dos candidatos a ator para ver qual pa-
pel distribuir a cada um;
• A fábricas produzem um certo número de peças (lote piloto),antes 
de lançarem a fabricação em larga escala.
A Estatística compreende a Estatística Descritiva (descrição e resu-
mo dos dados), a Teoria das probabilidades ( proporciona uma base racional 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 15
para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados ao acaso) e a 
Inferência ou amostragem (análise e interpretação e a projeção dos dados).
Os três ramos da Estatística utilizam o método científico, em suas 
pesquisas, que consiste das etapas: 
• Definição do problema: Certificar-se de que é clara a finalidade 
de um estudo ou análise.
• Planejamento: nesta etapa é que se estabelece o cronograma 
geral, o tamanho da amostra e qual o recurso a ser utilizado na 
coleta de dados.
• Coleta de dados: aqui são coletados os dados.
• Crítica dos dados: deve-se observar os dados, sesão coerentes, 
se deverão ou não ser descartados (e neste caso, realizar uma 
nova coleta) ou se é necessário apenas complementá-los.
• Apuração dos dados: os dados coletados deverão ser enumera-
dos por tipo.
• Organização e apresentação dos dados: os dados serão organi-
zados e apresentados em tabelas e/ou gráficos.
• Análise dos dados ou Inferência: nesta etapa é que são feitas as 
deduções e/ou induções e conclusões a respeito das informações 
obtidas, de maneira que sejam facilmente entendidas por quem as 
for usar na tomada de decisões. 
Como você pode observar, a Estatística é largamente utilizada por outras 
Ciências, e a cada dia evolui mais para atender as necessidades da vida moderna.
 
1.2 População - Dados Estatísticos – Amostra - 
Conceitos Preliminares
Figura 2: Personagens do Sítio do pica-pau amarelo.
Fonte: <http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQUCFMUtxexNSvTEPoUg2SHT1TFpDiY_GCMjONxBk93-
TKSNhE&t=1&h=162&w=229&usg=__qSq7bjuHYNJ3ESh51WSgyTWM6MU= >. Acesso em 01/10/10. 
Grandeza é tudo aquilo 
que pode ser medido ou 
pesado.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio16
Resumo
Nesta aula, você viu o que é Estatística, seus ramos, sua origem. 
Aprendeu os conceitos importantes da Estatística: população, amostra, da-
dos estatísticos e como coletá-los e organizá-los em tabelas. Aprendeu a 
identificar as variáveis estatísticas em quantitativas e qualitativas. Percebeu 
quanta coisa você já sabe? Vai aprender muito mais. Na próxima aula você 
vai aprender a representar os dados em tabelas, a calcular frequências ab-
solutas, relativas e percentuais. Este é um assunto muito interessante. Mas 
antes de prosseguirmos, vamos exercitar um pouco resolvendo as atividades 
propostas a seguir.
Atividade de aprendizagem
1. O que você entende por Estatística?
2. Uma loja de esportes pretende abrir uma seção para atender jovens de 12 
aos 18 anos. Para ter uma idéia de quantos pares de tênis de cada medida e 
cor deve encomendar, fez um estudo de mercado perguntando a 100 jovens 
qual o número calçavam e qual a cor preferida: preto, azul ou vermelho. 
Indique: 
a) Qual a população do estudo?
b) Qual a dimensão da amostra?
c) A dimensão da amostra
d) Qual a variável estatística?
e) O tipo de variável
f) O tipo de estudo 
3. Em uma fábrica, uma máquina enche pacotes de 1 kg de café. Com 
intervalos regulares, retira-se um pacote e pesa-se com aproximação de 
menos 10 g. As massas observadas, em kg, em um dia, foram: 
1,00 0,98 1,02 1,03 1,00 1,01 1,00 0,98 1,00 1,01 1,00 1.01
0,99 1,02 0,99 1,00 0,99 1,02 1,00 1,02 1,00 1,01 1,03 1,01
0,99 0,97 0,98 1,01 1,00 1,00 1,01 0,99 1,02 0,99 1,01 0,99
0,99 0,99 0,99 0,97 1,02 1,01 1,00 0,99 1,00 1,01 1,01 0.98
a) Qual a população em estudo? 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 17
b) Qual a dimensão da amostra?
c) Qual a variável estatística? 
4. Em Estatística, população é:
a) Um conjunto de indivíduos do mesmo bairro, mesma cidade ou mesmo 
estado. 
b) Um conjunto de elementos com, no mínimo, uma característica uma comum.
c) Um conjunto de elementos quaisquer.
d) Um conjunto de pessoas.
5. Quando se estuda uma parte da população, dizemos que esse estudo é:
a) um censo 
b) uma amostra 
c) uma população 
d)uma amostragem 
6. A parte da Estatística que se preocupa apenas com a descrição de deter-
minadas características de uma população ou amostra, sem tirar conclusões 
sobre as informações coletadas, é denominada: 
a) Amostragem
b) Probabilística
c) Estatística Descritiva
d) Inferência Estatística
7. Fator RH é uma variável:
a) quantitativa
b) qualitativa
c) quantitativa discreta
d) quantitativa contínua 
8. Cor dos cabelos é uma variável:
a) qualitativa 
b) quantitativa 
c) quantitativa discreta 
d) quantitativa contínua
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
19
Aula 2 - Como organizar dados em ta-
belas
 
Nesta aula você aprenderá a construir uma tabela com seus ele-
mentos, a fazer os arredondamentos, a classificar as variáveis quantitativas 
em discretas e contínuas e a calcular as frequências absoluta, relativa e 
percentual. 
Objetivos
• Organizar com facilidade os dados coletados numa pesquisa.
• Construir corretamente uma tabela com as frequências absolu-
tas, relativas e percentuais. 
• Classificar corretamente as variáveis quantitativas em discretas 
ou contínuas.
• Fazer os arredondamentos dos números quando necessário.
2.1 Organização de dados
Ao realizar uma pesquisa, primeiramente é necessário escolher o 
processo que o pesquisador irá utilizar. Ele poderá usar de observação, da 
aplicação de um questionário, de entrevistas ou de estudos de documentos. 
Em seguida, é definida a amostra que será utilizada nesta pesquisa. Faz-se 
a coleta dos dados que deverão ser organizados em tabelas chamadas dis-
tribuição de frequência. Esta tabela será complementada pelas frequências 
absolutas (que expressam o número de vezes que o valor da variável foi 
observado), pelas frequências relativas (que expressam o quociente entre a 
frequência absoluta do valor da variável e o número total de dados obser-
vados) e também pela frequência percentual, % que é a frequência relativa 
multiplicada por cem. 
TABELA 1
Distribuição das idades dos alunos da ESCOLA X do período da tarde
 Idade Frequência absoluta Frequência relativa
 11 70 0,291 = 29%
 12 60 0,25 = 25%
 13 54 0,225 = 22,5%
 14 50 0,208 = 21%
 15 6 0,025 = 2,5%
Total 240
Não se podem delimitar 
as tabelas em suas 
laterais esquerda e 
direita, somente nas 
bordas superior e 
inferior.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio20
Ao organizar os dados obtidos num levantamento estatístico, é im-
portante distinguir o tipo de variável com o qual se está trabalhando.
As variáveis quantitativas são classificadas em discretas ou contí-
nuas. As variáveis discretas são as que podem assumir um número finito ou 
infinito numerável de valores. Por exemplo, o número de sócios de um clube, 
de pares de sapatos vendidos por uma loja, a quantidade de cestas básicas 
distribuídas por uma empresa, etc. 
 As variáveis quantitativas contínuas são as que podem assumir 
qualquer valor de um intervalo de números reais. Por exemplo, as notas obti-
das numa prova por uma turma de alunos, as estaturas dos jogadores de um 
time de futebol, os pesos de algumas latas de azeitonas, etc. 
Veja o exemplo: 
TABELA 2
Acesso à internet nos finais de semana
Dia 2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira Sábado Domingo
% 13,44%=
13%
15,98%=
16% 
15,91%=
16%
 
15,32%=
15%
16,72%=
17%
11,96% =
12%
10,67%=
11%
Fonte: Veja, março de 1999. 
2.2 Como organizar os dados em tabelas
Como já temos os dados e estes foram tabulados (colocados em 
ordem e contados), vamos aprender a representá-los numa tabela. Observe 
os exemplos, e veja como é fácil:
Exemplo 1- Para saber a preferência por determinada marca de 
sabão em pó, um pesquisador entrevistou 50 donas de casa. O resultado foi: 
15 preferem o sabão da marca A e 35 preferem a marca B. Para representar 
este resultado em uma tabela, você deverá seguir os seguintes passos:
1. Dar um título à tabela dizendo o que ela está representan-
do. Ele deverá responder as três perguntas: O que? Onde? 
Quando?
2. Construir a tabela com o número de linhas e colunas que você 
vai precisar.
3. Cada coluna deve conter a informação do que ela representa. 
4. Na primeira coluna, escrever as marcas do sabão em pó. 
5. Na segunda coluna, coloca-se a frequência absoluta (fi), ou seja, 
o número de vezes que cada marca aparece na contagem. 
6. Na terceira coluna escrever a frequência relativa (fr), que é o va-
lor de cada frequência simples (fi) dividido pelo total de dados. 
Neste exemplo, temos: 15: 50 = 0,3 e 35 : 50 = 0,7. 
7. Finalmente, multiplicar a frequência relativa (fr) por 100 e obter 
a frequência percentual %, ( 0,3X100=30%e 0,7x100=70%). 
Sempre que for 
necessário, devemos 
fazer o arredondamento 
para obtermos números 
inteiros. Os decimais 
maiores ou iguais a 0,50 
são arredondados para 
cima e a partir de 0,49 
são arredondados para 
baixo.
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 21
Veja a tabela pronta: 
TABELA 3
Preferência pela marca do sabão em pó: A ou B
Marca fi fr %
A 15 0,3 30 %
B 35 0,7 70 %
Fonte: Próprio autor.
2º exemplo: Para decidir pela cor da nova embalagem de certo 
produto, os diretores de uma pequena indústria se reuniram. Mas, mesmo 
após várias discussões, não chegaram a uma conclusão. Resolveram, então, 
convocar os 40 funcionários para decidir através do voto. 
Na apuração dos votos, a secretária colocou no quadro as três opções 
de cores: vermelha, azul e amarela. Em seguida, ela assinalava com um traço o 
voto apurado. No final, ela construiu a seguinte tabela – sequindo os passos que 
você já aprendeu no exemplo anterior – e colocou no quadro de avisos. 
Veja qual foi o resultado: 
 
TABELA 4
Cor da nova embalagem do produto X – Empresa Y-19
CORES Nº de Votos Freq. relativa e %
Vermelha 12 0,3 ou 30%
Azul 18 0,45 ou 45%
Amarela 10 0,24 ou 25%
Fonte: Dados fictícios.
Um pouco sobre a história da Estatística 
Figura 3: História da Estatística.
Fonte: <http://www.google.com.br/imegres?imugurl=http://www.capag.info/userfiles/image/
historia.jpg&imgrefurl=http://www.capag.info/wq/webgu>. Acesso em 04/10/2010.
De acordo com a 
resolução 886 do IBGE 
(Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística), 
nas cédulas ou casas de 
uma tabela, devemos 
colocar:
• Um traço horizontal 
(-) quando o valor for 
zero;
• Três pontos (...) quando 
não temos dados; 
• Zero (0) quando o valor 
é muito pequeno para 
ser representado na 
unidade utilizada. Se os 
valores são expressos 
em numerais decimais, 
precisamos acrescentar à 
parte decimal o número 
correspondente de zeros 
(0,0; 0,00; 0,000; ...); 
• Parágrafo (§) quando 
o dado indicado 
retira informação 
anteriormente 
publicada; 
• Letra X (x) quando 
o dado for omitido, 
a fim de evitar 
individualização de 
informações. 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio22
As primeiras estatísticas foram realizadas para governantes das 
grandes civilizações antigas, com a finalidade de registrar os bens que o 
Estado possuía.
Três séculos antes do nascimento de Cristo já se faziam censos, 
mas a palavra Estatística apareceu pela primeira vez somente no século 
XVIII, sugerida pelo alemão Gottfried Achemmel (1719-1772). Alguns autores 
consideram quatro períodos na história da Estatística:
Primeiro período: desde a queda do Império Romano, em 476, pas-
sou praticamente um milênio sem que se conhecessem estatísticas impor-
tantes, a não ser as realizadas por Pipino em 758, e por Carlos Magno, em 
762, sobre as terras que eram propriedades da igreja. 
• Segundo período: no século XVII, na Inglaterra, já se analisavam 
grupos de observações numéricas relativas à saúde pública, a 
nascimentos, a mortes e ao comércio.
• Terceiro período: o desenvolvimento do Cálculo das Probabili-
dades, também no século XVII, veio dar uma nova dimensão à 
Estatística. Três nomes importantes estão ligados a esse perí-
odo: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens (1629-
1695).
• Quarto período: No início do século XlX, inicia-se a intensa fase 
do desenvolvimento da estatística, alargando e interligando os 
conhecimentos adquiridos nas três fases anteriores. Com esta 
fase dá-se início a uma relativa dependência dos diferentes 
ramos do saber à Estatística. Dois nomes estão relacionados a 
esse desenvolvimento: Ronald Fisher (1890-1962) e Karl Pear-
son (1857-1936). 
Hoje, a Estatística ampliou seu campo de atuação e tornou-se fun-
damental em estudos de Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Co-
mércio, Educação, etc.
Então, como primeira ideia, podemos apresentar a Estatística como 
sendo um método de estudo de comportamentos coletivos, cujas conclusões 
são traduzidas em resultados numéricos. 
Fonte: <www.estatísticapr.hpg.com.br/história.html>. Acesso em 30/08/10.
Resumo
Nesta aula você aprendeu muita coisa interessante, como: classifi-
car as variáveis em discretas e contínuas, calcular corretamente as frequên-
cias absolutas, relativas e percentuais e, ainda, a representar os dados numa 
tabela. 
Atividades de aprendizagem
1) Com a mudança da moeda brasileira para o real, em 1994, houve certa 
euforia nos primeiros momentos. Esta matéria acompanhou o fato durante 
um ano. Veja:
- A EUFORIA DIMINUIU -
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 23
Esta tabela que mede o nível de confiança do consumidor mostra um esfria-
mento no ânimo do consumo nos últimos meses.
TABELA 5
A Euforia do Povo
Mês/Ano Jun./94 Ago./94 Out./94 Dez./94 Fev./95 Abr./95 Jun./95
Estão confian-
tes (%)
50,2 69,0 74,0 76,1 75,6 65,4 61,9
Fonte: Veja 28 jun.1995. MORI, Iracema. Matemática: ideias e desafios, 8a série, p. 223.
Arredonde os dados da tabela acima para inteiros.
2. Identifique nas situações abaixo, quais são as variáveis discretas (D) e as 
variáveis contínuas (C): 
a) O número de ações vendidas pela Bovespa em um dia.
b) O tempo de vida útil das pilhas produzidas por uma determinada fábrica.
c) O número de crianças em cada família. 
 
d) O comprimento de cada um dos parafusos produzidos numa fábrica. 
e) A altura de cada pessoa. 
f) O número de idosos por distrito. 
 
g) A medida do diâmetro das bolas em uma loja de brinquedos.
3. Observe o número de faltas justificadas, com atestado médico, pelos fun-
cionários de uma empresa: 
1- 1- 1- 1- 2- 2- 2- 2- 2- 3- 3- 3- 3- 3- 3- 3- 3- 3- 3-3- 4- 4- 4- 4 -5. 
 
Organize estes dados numa tabela, que deverá conter a frequência simples, 
a frequência relativa e a frequência percentual. 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
25
Aula 3 - Representação gráfica
Caro (a) aluno (a),
Nesta terceira aula, você vai aprender a construir, ler e interpretar 
gráficos. Verá como é interessante este assunto. Às vezes, até achamos meio 
complicado ler um gráfico, mas, no final desta aula, você se surpreenderá ao 
construir, ler e interpretar gráficos com muita facilidade. Este é um assunto 
muito prazeroso, principalmente para quem gosta de desenhar. 
Objetivos
• Identificar os diferentes tipos de gráficos.
• Construir, ler e interpretar gráficos corretamente. 
3.1 Representação gráfica
Os gráficos são importantes meios de comunicação. Através deles 
são feitos os estudos, análise e interpretação de um determinado fato 
pesquisado. Você pode notar que eles aparecem nos mais diversos meios 
de comunicação como revistas, jornais, TV, livros, pesquisas de opinião 
pública, pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde, pesquisas 
científicas e até em quadros de avisos de escolas, empresas, hospitais 
e em mais uma infinidade de situações. Os gráficos devem ser simples, 
objetivos, coloridos e esteticamente bonitos para chamar a atenção do 
leitor, já que as informações são transmitidas através deles. O título deve 
responder às três perguntas: O quê (o fato representado)? Onde (o lugar 
em que o fato ocorreu)? Quando (a data em que o fato ocorreu)? A fonte 
(de onde foram coletados os dados) é muito importante e deve vir sem-
pre embaixo, no rodapé. Ela transmite confiança ao leitor, porque atra-
vés dela ele vai saber se aqueles dados são verdadeiros e não fictícios 
(inventados). As legendas, quando necessárias, ajudam a esclarecer na 
interpretação do fato representado, pois elas indicam qual o elemento 
está associado à coluna, barra ou setor angular. 
Nesta aula, nós vamos estudar apenas alguns gráficos – aqueles que 
são os mais utilizados. Veja agora.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio26
3.1.1 Gráfico de setores 
 
Jovens profissionais no espelho
A Santille, Schochauer e Jucá Cursos e Seminários,empresa ba-
seada em São Paulo, realizou no fim do ano passado uma pesquisa com 
300 profissionais recém formados ou em via de se formar. O objetivo era 
apurar como os jovens que estão chegando ao mercado de trabalho se 
auto avaliam.
Fonte: Revista Exame, 26/01/2000. 
Uma das perguntas dirigidas a esses profissionais foi: “Você aceita-
ria uma redução substancial em seu salário em troca de um aumento em sua 
qualidade de vida?” A análise das respostas revelou que 62,6 % deles disse-
ram que sim e 37,4 % disseram que não. 
Para representar graficamente esta situação, vamos dividir o círcu-
lo (que mede 360º), em dois setores correspondentes às respostas encontra-
das (Sim e Não). Veja como fazemos o cálculo para determinar cada setor 
do gráfico: 
QUADRO 1
 Cálculo dos Graus.
SIM 
100% -------------- 360º 
62,6% -------------- X 
X = 62,6 × 360º
 100% 
X = 225º
NÃO 
100% ------------ 360º 
37,4% ------------- X 
X = 37,4% × 360º
 100%
X = 135º
Fonte: Próprio autor.
Atenção!!!
Com o auxílio de um transferidor (régua para medir ângulos), cons-
truímos o gráfico de setores, comumente chamado de gráfico de “pizza”. 
“Você aceitaria uma redução substancial em seu salário em tro-
ca de um aumento em sua qualidade de vida?”
Santille, Schochauer e Jucá Cursos e Seminários, São Paulo – 300 
profissionais (recém formados ou via de se formar).
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 27
Gráfico 1: Redução de salário
 
Fonte: Revista Exame, 26/01/2000.
Para calcular a medida de um setor, usamos a seguinte proporção: 
Total ------ 360º ou 100% ------ 360º
Valor ------- X % ---------- X 
 
Veja: Numa turma de 60 operários, 40% são solteiros. Represente 
estes dados no gráfico de setores. 
360º ------- 100% 
 X ------- 40% 
X = 360º × 40%
 100%
X = 144º
Temos que 40% = 144º 
Este é o setor que você vai representar no gráfico para operários 
solteiros (144º). O restante, 360º - 144º = 216º, corresponde aos operários 
casados.
3.1.2 Gráfico de barras
São gráficos representados por retângulos dispostos horizontalmen-
te. Ilustram comparações entre dados individuais. As distâncias entre os re-
tângulos devem ser iguais e a altura proporcional aos dados ou frequência. 
Este tipo de gráfico 
não deve ser utilizado 
quando o fenômeno se 
apresenta com mais de 
6 partições.
Você sabe o que é 
setor? Esqueceu-se? 
Vamos lá. Setor é 
a região interna do 
círculo correspondente 
ao ângulo dado. É como 
uma fatia de pizza, por 
isto este gráfico recebe 
popularmente este 
nome (gráfico de pizza). 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio28
Devem ser utilizados quando os eixos forem longos ou quando os dados re-
presentados forem durações. 
Figura 4: Bill Gates. 
Fonte: <http://acertodecontas.blog.br/wp-content/uploads/2008/06/bill-gates.jpg>. Acesso em 06/10/10
Veja o exemplo:
Gráfico 2: Causas do sucesso de uma empresa. 
Fonte: <http://www.lugli.org./2008/02/gráfico-de-barras/.SEBRAE, MG, 1999>. Acesso em 06/10/10. 
3.1.3 Gráfico em colunas
Os gráficos em colunas são representados por meio de retângulos 
em posições verticais. Estes precisam ter a mesma base e as alturas propor-
cionais às frequências, para manter a proporcionalidade entre suas áreas e 
os dados representados. Deve-se manter sempre a mesma distância entre 
os retângulos e estes devem ser coloridos ou sombreados, a fim de se des-
tacarem de maneira conveniente. Não se pode esquecer de que quando o 
primeiro dado a ser representado a partir da origem dos eixos não for o zero 
(0), deixar sempre o espaço entre este e o primeiro dado.
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 29
Veja o exemplo:
Figura 5: Expansão de filiais.
Fonte: <http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQKgGJ-Dlh8BEbHrQi8yI9ikMwiNJ6jfdO1DFxL
0b_zmlaRvF0&t=1&h=180&w=154&usg=__uiQ9o0tHiVveOFvq6vCC4uniLQE=>. Acesso 06/10/10.
Um grande magazine X precisa decidir se este é o melhor momento 
ou não de expandir seus negócios, abrindo filiais pelo país. Necessita, por-
tanto, avaliar as tendências estatísticas do seu crescimento para os próximos 
meses. Com base nesta informação, e, com os dados atuais já impostos em 
um gráfico terão a condição de estudar seu caso e avaliar a melhor decisão 
a ser tomada. Observe o gráfico utilizado:
Gráfico 3: Últimas vendas numa empresa.
Fonte: <http://www.google.com.br/imgres?imugurl=http://expresstraining.com.br/files/aaaa_ac8.
gif&imegrefeil=http://expresstraining.com.br/index.ph>. Acesso em 06/10/10.
3.1.4 Gráfico de linhas (Poligonal)
Este gráfico é muito útil quando se deseja representar uma variável 
cujos valores diminuem ou aumentam no decorrer do tempo.
O gráfico abaixo representa a evolução dos investimentos estran-
geiros no Brasil de 1994 a 2003. Observe que a cada ano corresponde certa 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio30
quantia de bilhões de dólares. Unindo tais pontos por segmentos de reta, 
obtemos o chamado gráfico de linhas ou curva poligonal.
Analisando o gráfico abaixo, publicado pela Revista Veja de 
06/08/2003, notamos que o investimento estrangeiro no Brasil, cresceu até o 
ano 2000 (um recorde histórico – entraram 32,7 bilhões de dólares).
Neste caso, as empresas estrangeiras devem colocar no Brasil 8 
bilhões de dólares, uma queda de 50% em relação ao ano anterior. Embora 
o problema seja global, o Brasil proporcionalmente perdeu mais que outros 
países emergentes. 
Gráfico 4: Investimentos
2,1 4,4
10,8
18,9
28,8 28,5
32,7
22,4
16,5
8
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
O investimento Estrangeiro no 
Brasil
Fonte: Banco Central e Sobeet.
3.1.5 Pictograma
Os pictogramas são representações gráficas pouco rigorosas, mas 
permitem visualizar com relativa facilidade as diferenças e semelhanças en-
tre as frequências das características observadas. Como são muito atrativos, 
são largamente utilizados em publicidade.
Existem algumas regras que são fundamentais para a sua constru-
ção. Preste bastante atenção a elas. Veja quais são:
a. Os símbolos devem explicar-se por si próprios; 
b. Os símbolos comparam quantidades aproximadas, não detalhes 
minuciosos; 
c. Os gráficos pictóricos só devem ser usados para comparações, 
nunca para afirmações isoladas. 
Vejamos estes exemplos: 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 31
Gráfico 5: Custo do saber. 
Fonte: Revista Veja, 18/05/1990. 
Gráfico 6: Clube dos Magnatas. 
Fonte: Veja, 13 Julho, 1994.
As legendas são 
utilizadas para 
distinguir qual elemento 
deverá ser associado a 
uma coluna, barra ou 
setor angular do gráfico. 
Elas facilitam muito 
a interpretação dos 
gráficos.
Os quadros e as tabelas 
têm aparência quase 
idêntica, causando 
alguma confusão, 
mas existem algumas 
diferenças.
 Os quadros podem 
ser apresentados 
de maneira mais 
simples e representam 
informações , sem 
relacionar esses dados 
entre si e apresentam 
todas as bordas. Os 
dados apresentados 
neles não foram obtidos 
por um inquérito 
estatístico.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio32
3.1.6 Histogramas
Os histogramas de frequências são utilizados para representar vari-
áveis quantitativas/contínuas agrupadas em classes. Podemos representar 
também as variáveis discretas quando aparecem em grande quantidade. 
Estes gráficos são formados por retângulos justapostos (um ao lado do outro 
sem intervalo), representando-se as classes no eixo dos x ou eixo horizontal 
e as frequências absolutas, relativas ou percentuais no eixo vertical, ou eixo 
dos y.
 Exemplo: O Instituto Brasileiro de Pesos e Medidas fiscalizando uma 
indústria de torrefação e moagem de café constatou as seguintes massas, em 
gramas, nos conteúdos de 20 pacotes de café: 
QUADRO 2
Massas dos pacotes de café
495 490 500 506 485
510 480 520 515 490
500 495 508 498 485
506 510 483 505 494
Fonte: Instituto Brasileiro de Pesos e Medidas.Observe os passos a seguir: 
1º) Organizar o rol (colocar os dados em ordem crescente ou de-
crescente):
480 483 485 485 490 490 494 495 495 498 500 500 505 506 506 508 510 
510 515 520
2º) Calcular o número de classes. Pode-se usar a expressão K = √n +1 (n 
é o número de dados e k, o número de classes). Neste exemplo, temos: k 
= √20+ 1; k = 4.47 + 1; K = 5,47. Fazendo o arredondamento, temos k = 5. 
O número de classes encontrado foi 5. 
3º) Calcular a amplitude de classe, que é o intervalo entre os limites 
inferior e superior. Mas, para isso, primeiro calcula-se a amplitude total, que 
é a diferença entre o maior e o menor dado do rol: 520 – 480 = 40. Em segui-
da, dividimos este resultado pelo número de classes encontrado que é cinco; 
veja: 40 : 5 = 8. Então, o intervalo de classe ou amplitude de classe será 8.
4º) Construímos uma tabela com as três colunas e as sete linhas. 
5º) Escrevemos, na primeira coluna, o que ela vai representar; nes-
te caso, as classes. Na segunda coluna, escrevemos a frequência simples (fi) 
e, na terceira coluna, colocamos a frequência percentual (para calcular a 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 33
frequência percentual, dividimos cada frequência simples pela sua soma (20) 
e o resultado multiplicamos por 100, lembrou-se?). Veja como: 4 : 20 = 0,2; 
0,2 x 100 = 20%; 5 : 20 = 0,25; 0,25 x 100 = 25%; 3 : 20 = 0,15; 0,15 x 100 = 
15% e assim por diante. Viu como é simples? É só você seguir estes passos.
TABELA 6
Massas dos pacotes de café
Classes (massa em gramas) fi F%
480 Ⱶ 488 4 20
488 Ⱶ 496 5 25
496 Ⱶ 504 3 15
504 Ⱶ 512 6 30
512 Ⱶ 520 2 10
∑ = 20 100%
Fonte: Instituto Brasileiro de Pesos e Medidas.
Você notou que todas as classes têm a mesma amplitude? E que 
esta amplitude é sempre 8? Pois é, mas isto não é necessário; podemos ter 
classes com amplitudes diferentes. Também os extremos dos intervalos de 
cada classe não precisam ser, necessariamente, dados da amostra; podemos 
escolher, de acordo com a conveniência, dados que não pertençam à amos-
tra. Temos, no entanto, que tomar o cuidado de não deixar aparecer um 
dado em duas classes ao mesmo tempo. Para que isto não aconteça, usamos 
o intervalo fechado e aberto. Você se lembra o que é intervalo aberto e 
fechado? Esqueceu-se? Vamos recapitular?
Para o intervalo aberto, podemos usar o colchete aberto, ], ou, 
então, um traço horizontal. 
Isto significa que o dado que se encontra no intervalo aberto,] não 
vai aparecer na contagem dos dados. Mas, o dado que se encontra ao lado 
do intervalo fechado, [ ou Ⱶ , vai ser incluído na contagem. 
Para ficar claro, é bom que em duas classes consecutivas, o extremo à 
direita (aberto) da primeira classe coincida com o extremo à esquerda (fechado) 
da segunda classe. 
 Veja no exemplo dado que a classe 480 Ⱶ 488 indica que o intervalo 
é fechado à esquerda e aberto à direita. Poderiam ser utilizados os colche-
tes: [ 480, 488[, intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.
Isto significa que o 480 é incluído na contagem, mas o 488 só será 
incluído na contagem do segundo intervalo. É isto que representa o intervalo 
aberto e fechado. Você entendeu?
Vamos usar outro exemplo. Observe a segunda classe: 488 Ⱶ 496. É 
um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Temos que o 488 entra 
na contagem dos dados da segunda classe e que o 496 vai pertencer à classe 
seguinte, ou seja, a terceira.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio34
Os extremos 480 e 488 são os limites de classe. O menor extre-
mo corresponde ao limite inferior e o maior extremo ao limite superior 
da classe. 
A diferença entre o maior e o menor limite de uma classe, nessa 
ordem, é chamada de amplitude de classe. Por exemplo, a amplitude da 
classe [480, 488] é dada por 488 – 480 = 8, ou seja, é oito. 
Veja agora estes dados representados através do Histograma: 
 Massas, em gramas, de vinte pacotes de café
Gráfico 7: Pacotes de café.
Fonte: Instituto Brasileiro de Pesos e Medidas.
3.2 Veja um exemplo do mau uso da Estatística
Quando não se usa corretamente a Estatística, os erros compro-
metem os resultados da pesquisa. Eles não corresponderão com a realidade 
verdadeira e, portanto, não serão confiáveis.
Devem-se utilizar amostras que retratem fielmente a população 
que representam. Assim, o resultado será coerente com a amostra. 
Uma sondagem que entrou para a História Americana:
“Em 1936, a revista Literaty Digest, querendo prever o resulta-
do da eleição presidencial, realizou uma sondagem junto aos 2.300.000 de 
americanos, selecionados a partir das linhas telefônicas ou das listas de pro-
prietários de automóveis.
A revista indicou o republicano Alfred Landon como vencedor, mas 
quem venceu foi o democrata Roosevelt.
Por que você acha que a sondagem apresentou resultado errado? 
Justifique. 
O símbolo [ significa 
intervalo fechado 
a esquerda; e ], 
intervalo aberto a 
direita, Ⱶ indica 
intervalo fechado à 
esquerda e aberto à 
direita.
Os histogramas 
são utilizados 
para representar 
distribuições de 
frequência.
A fonte é muito 
importante por 
apresentar o 
responsável pela 
publicação original dos 
dados.
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 35
Porque, embora o número de elementos da amostra fosse grande, 
as pessoas entrevistadas foram selecionadas a partir de listas telefônicas ou 
listas de proprietários de automóveis e este critério não foi adequado, pois 
naquela época muitas pessoas de poder aquisitivo não possuíam automóveis 
nem telefone. 
 
Fonte: NETO, Scipione Di Pierro ; SOARES, Elizabeth. Matemática em Atividades. São Paulo: 
Scipione; 2002, p. 280. 
Resumo
Você acabou de estudar os gráficos mais utilizados. Aprendeu a ler, 
a interpretar e a construí-los. Aprendeu a construir uma distribuição de fre-
quência com todos os seus elementos: as frequências absoluta, relativa e 
percentual, a calcular o número de classes e o intervalo entre elas, a colocar 
os limites inferiores e superiores e, também, a representar os intervalos 
abertos e fechados.
Atividades de aprendizagem
Figura 6: Resolvendo tarefas.
Fonte: <http://4.bp.blogspot.com/_kc1OzkcbGQ4/R9wIY-DeFPI/AAAAAAAAAIQ/OSNybJVTR_s/
s400/julia-livros_1024x768.jpg>. Acesso em 15/01/2011.
Os conteúdos de vinte latas de chocolate em pó apresentaram as seguintes 
massas, em kg: 
QUADRO 3
Peso de 20 latas de chocolate em pó
0,48 0,50 0,51 0,48 0,49
0,49 0,51 0,51 0,50 0,49
0,50 0,52 0,48 0,49 0,50
0,49 0,50 0,51 0,48 0,49
Fonte: Próprio autor.
Frequência absoluta 
acumulada (Fi) 
corresponde ao total 
de elementos do 
conjunto de dados 
enquadrados até 
a referida linha. 
Servem para sabermos 
quantos elementos 
têm características 
“inferior a”.
*( ∑ ) Somatório é o 
símbolo que representa 
a soma dos elementos 
de uma coluna.
Atenção aos erros que 
você não pode cometer 
na construção de um 
gráfico: 
* Não começar pelo zero 
ou não o indicar;
* Colocar as escalas com 
intervalos diferentes;
* Esquecer de colocar a 
fonte; 
* Eliminar dados 
importantes;
* O título não responder 
às três perguntas: 
O que? Onde? Quando? 
* Omitir a legenda, 
quando importante 
na interpretação dos 
dados.
O uso de amostras 
inadequadas pode 
resultar em erros na 
realização do estudo e 
nas possíveis conclusões 
que serão tiradas 
dos experimentos 
realizados.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio36
TABELA 7
Peso de 20 latas de chocolate em pó
Classe (massa em kg) frequência absoluta frequência relativa
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
∑=
Fonte: Próprio autor.
Organize o rol e os dados na tabela:
Gráfico 8: Pares de sapatos vendidos num shopping center da cidade X – 
Dezembro/2008
Fonte: NETO, Scipione Di Pierro; SOARES, Elizabeth. Matemática em Atividades. São Paulo: 
Scipione; 2002, p. 276.
2. Analisando o gráfico, responda:
a) Quantos pares de tênis foram vendidos nesse mês?
b) Qual a frequênciarelativa da classe 40, isto é, da numeração 40 dos tênis?
3. Em uma amostra de alunos de uma escola, verificaram-se as seguintes 
estaturas, em centímetros: 
168; 169; 178; 181; 170; 180; 173; 166; 165; 162; 164; 168; 177; 171; 172; 170.
Organize esses dados na tabela abaixo.
É formado pelos 
dados organizados em 
ordem crescente ou 
decrescente.
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 37
TABELA 8
Estaturas de alunos de uma escola
Classe (em cm) frequência simples Frequência relativa
[161,5; 166,5[
[166,5; 171,5[
[171,5; 176,5[
[ 176,5 ; 181]
∑ =
Fonte: Próprio autor.
 
4. O gráfico a seguir mostra os números da violência (taxa de homicídio por 
100 mil habitantes). Analisando-o, marque V ou F nas alternativas seguintes, 
justificando as falsas:
 
Gráfico 9: Taxas de Homicídios
Fonte: O Estado de São Paulo, 17/08/2001. In: IEZZI, Gelson [et. al]. Matemática. Vol. único.p. 422.
a) ( ) No período considerado, a taxa de homicídios no Rio sempre superou 
a taxa de São Paulo.
b) ( ) Em nenhum ano a taxa gaúcha superou a taxa nacional. 
c) ( ) De 1999 a 2000, as taxas de homicídios diminuíram nos três estados. 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística
AULA 1
Alfabetização Digital
39
Aula 4 – Medidas Estatísticas
Na aula anterior, estudamos alguns conceitos da Estatística. Apren-
demos representar os dados coletados através de tabelas e gráficos. Apren-
demos, também, ler e interpretar um gráfico. Vimos como eles tornam a 
leitura fácil e interessante, não é? Por isso, eles precisam ser bonitos, cha-
mativos e de fácil interpretação. 
Nesta aula 4, vamos aprender a calcular algumas medidas de posi-
ção. Estudaremos três medidas de posição: a média aritmética, a moda e a 
mediana. Como geralmente os dados tendem a se agrupar em torno de um 
valor central, estas três medidas de posição são chamadas de medidas de 
centralidade ou de tendência central. Elas são utilizadas para representar 
uma série de dados através de um só valor central ou médio. 
A média aritmética é uma medida muito conhecida e utilizada. A 
moda, como o nome sugere, representa, numa série de dados ordenados, o 
elemento que aparece o maior número de vezes; já a mediana é a medida 
que divide uma série de elementos ao meio. 
Vamos, então, iniciar nossa aula.
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Conceituar uma medida de tendência central;
• Diferenciar as medidas de tendência central;
• Calcular corretamente algumas medidas de tendência central 
em um conjunto de dados ou de distribuições de frequências.
Figura 7: Medidas estatísticas.
Fonte: <http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQRfuLzWfcCxphXxth4KQeio5e34TwKJxVMvnM
FztgAPKtsMSI&t=1&usg=__n_QklAtu7xlXUWBoQQVPD3wbdS4=>. Acesso em 07/10/10.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio40
4.1. Medidas de posição
Você já observou quantas vezes ouvimos expressões como: “Paulo 
fez o percurso de 420 km, de Belo Horizonte a Montes Claros, em 5 horas, 
desenvolvendo uma velocidade de 84 km/h”.
O que isto significa? Será que ele manteve esta velocidade durante 
todo o percurso? O que você acha? 
Sabemos que não. Pois, em alguns trechos da estrada, ele pode ter 
desenvolvido uma velocidade de 120 km/h, em outros 80 km/h ou, ainda, 
60km/h e, mesmo que em momento algum ele tenha feito 84 km/h, a velo-
cidade média desenvolvida foi de 84 km/h. 
Quando falamos na média de 84 km/h, estamos dizendo que se ele 
tivesse mantido a mesma velocidade durante toda a viagem, esta seria de 
84km/h. Chega-se a este resultado calculando velocidade média, que é o 
espaço percorrido dividido tempo. Assim: 420 : 5 = 84 km/h. 
Você percebeu que precisamos de mais de uma medida para enten-
der como os valores de uma amostra se distribuem? É por isso que estudare-
mos algumas medidas de posição que nos ajudarão a interpretar de maneira 
mais segura a distribuição dos dados de uma amostra. As medidas de posi-
ção mostram o posicionamento dos elementos de uma amostra de números 
quando esta é disposta em rol. 
4.1.1 Média aritmética simples
Figura 8: Média aritmética. 
Fonte: <http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTO3dLxoxnx5uH_Rmdz4Fo- ALfTU3axfVZDHJLkyLKGX_
I8Ic8&t=1&usg=__qNS9GteNAGMXSWbgjasQSnkWpSk= >. Acesso em 01/10/2010. 
Para calcular a média aritmética simples de dados não agrupados e 
sem valores repetidos é só somar todos os valores e dividir o resultado pelo 
número total de elementos da amostra. 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 41
Veja como é simples, acompanhando o exemplo seguinte: 
Uma pequena confecção produz o seguinte número de peças em 
uma semana: 15, 18, 14, 20, 18. A produção média da semana será: 
Ma = 15 + 18 + 14 + 20 +18 Ma = 85 Ma = 17 
 5 5
Como você observou a média aritmética de dois ou mais valores, 
sem repetição, é o resultado da soma destes valores dividido pelo número 
total deles. Isto significa, no exemplo visto, que, se a produção em cada 
dia fosse a mesma (em todos os dias da semana), esta seria de 17 peças 
por dia.
A média aritmética dos números x1,x2 ,x3 ,..., xn , onde “n” repre-
senta o número total de dados, é representada pela fórmula:
 x1 + x2 + x3 + ... + xn
x = 
 n
4.1.2 Média aritmética ponderada
Para entender a média aritmética ponderada, vamos observar um 
exemplo bem prático. Veja:
 Os dados abaixo se referem às porcentagens de aprovação, por 
parte das populações de sete cidades, de certo projeto governamental: 6%, 
12%, 12%, 12%, 12%, 15%, 15%.
A média percentual de aprovação pela população ao projeto foi de 
12%. Para se chegar a este resultado foi feito o cálculo abaixo: 
Ma = 1 × 6 + 4 × 12 + 2 × 15 Ma = 6 + 48 + 30 Ma = 84 
 1 + 4 + 2 7 7
Ma = 12%
Este valor encontrado de 12% é chamado de média aritmética 
ponderada dos valores 6, 12, 12, 12, 12, 15, 15. O número de vezes em 
que cada um deles aparece na série 1, 4 e 2, é chamado “fator de ponde-
ração” ou “peso”. (Você percebeu que o 6% apareceu só uma vez; o 12% 
apareceu quatro vezes e o 15% apareceu duas vezes? Estes números; 1, 4 
e 2 são os pesos.)
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3 ...,xn, com pe-
sos P1, P2, P3, ...Pn, respectivamente, é o número x, tal que:
 x1P1 + x2 P2 + x3 P3 + ... + xnPn
X = 
 P1 + P2 + P3 + ... + Pn
Veja que xn representa cada elemento da amostra e “P” representa 
o número de vezes que cada elemento aparece. 
O ponto médio é obtido 
através da média 
aritmética dos extremos 
de cada classe. Veja: 
limite inferior da classe 
+ limite superior da 
classe, dividido por 2.
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio42
Exercícios resolvidos 
Exemplo 1: Uma aplicação financeira rendeu, em três dias, R$58,50; 
R$61,10 e R$57,10, respectivamente. Calcular o rendimento médio dessa 
aplicação, em reais, em cada um desses dias.
Resolução:
Calculando a média aritmética entre essas três quantias, temos: 
Ma
 
= 58,50 + 61,10 + 57,10
 
 Ma = 176,70 Ma = R$ 58,90 
 3 3
 Logo, o rendimento médio foi R$58,90.
 Exemplo 2: Uma companhia aérea, a pedido de um engenheiro da 
aeronáutica, registrou os tempos de dez novos vôos (até a parada total) en-
tre São Paulo e Rio de Janeiro. Os tempos registrados, depois de ordenados, 
foram os seguintes: 48, 48, 49, 50, 50, 50, 51, 51, 52, 53. 
Vamos calcular a média aritmética ponderada para estes dados. 
Para isso, vamos determinar os fatores de ponderação para cada valor. O 
peso (ou fator de ponderação) é representado pelo número de vezes que 
cada valor aparece na série. Assim: 
Para o valor 48, o peso é 2; para o valor 49, o peso é 1; para o valor 
50, o peso é 3; para o valor 51, o peso é 2; para o valor 52, o peso é 1 e para 
o valor 53, o peso tambémé 1. 
Primeiramente, vamos multiplicar cada tempo registrado pelo seu 
respectivo peso. Assim: 2 × 48 + 1 × 49 + 3 × 50 + 2 × 51 + 1 × 52 + 1 × 53. 
Multiplicando estes valores e somando os resultados, temos: 96 + 49 + 150 
+ 102 + 52 + 53 = 520. Em seguida, somamos os valores dos pesos: 2 + 1 + 3 
+ 2 + 1 + 1 = 10. E, finalmente, dividimos a soma dos tempos pela soma dos 
pesos: 520 : 10 = 52. Temos, então, a média aritmética ponderada para estes 
tempos, que é 52.
4.1.3 Média aritmética para dados agrupados
Observe o exemplo: A tabela abaixo mostra a distribuição, em 
centímetros, de uma amostra de estudantes do ensino fundamental. Qual é 
a estatura média dos estudantes dessa amostra? 
 
TABELA 9
Estaturas de estudantes do ensino fundamental. 
Classe (estatura em cm) frequência simples 
(número de alunos)
[150,5 ; 156,5[ 4
[156,5 ; 160,5[ 5
[160,5 ; 168,5[ 8
[168,5 ; 178,5[ 3
Fonte: PAIVA, Manoel. Matemática.SP.: Moderna,1999,vol. único, p.126. 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 43
Resolução:
Quando as classes não são unitárias, como nesse caso, para calcular 
a média tomamos o ponto médio XM de cada classe. Você se lembra como 
calcular o ponto médio de cada classe? Vamos recordar: somamos o limite 
inferior ao limite superior de cada classe e dividimos este resultado por 2. 
Veja estes cálculos na tabela abaixo. Em seguida, multiplicamos cada ponto 
médio pela sua respectiva frequência. Somamos este resultado e dividimos 
pela quantidade de valores somados (neste exemplo, a soma é 20). Você no-
tou que. neste exemplo, as amplitudes são diferentes? Pois é, isto pode acon-
tecer. Mas a maneira de calcular a média aritmética não muda. Acompanhe: 
TABELA 10
Estaturas dos alunos do ensino fundamental
Classes ( estaturas em cm) Ponto médio ( XM) frequência
[150,5 ; 156,5[ 150,5 + 156,5 = 153,5 2 4
[156,5 ; 160,5[ 156,5 + 160,5 = 158,5 2 5
[160,5 ; 168,5[ 160,5 + 168,5 = 164,5 2 8
[168,5 ; 178,5[
 
168,5 + 178,5 = 173,5
 2
3
Fonte: PAIVA, Manoel. Matemática, S.P.: Moderna, 1999, vol. único, p.126.
Vamos multiplicar cada ponto médio encontrado acima por sua res-
pectiva frequência simples. Os pontos médios encontrados são: 153,5; 158,5; 
164,5 e 173,5, e as respectivamenta frequências simples são: a 4, 5, 8 e 3. 
Veja que vamos multiplicar cada ponto médio por sua respectiva 
frequência (153,5x4)(158,5x5+164,5x8+173,5x3) 
X = 153,5 × 4 + 158,5 × 5 + 164,5 × 8 + 173,5 × 3 X = 162,15
 4 + 5 + 8 + 3
Logo, a média aritmética das estaturas dos estudantes é 162,15 cm. 
Viu como fica fácil, quando seguimos cada passo direitinho? 
 
4.1.4 A Moda (Mo)
A moda, como o próprio nome sugere, é representada pelo elemen-
to da variável que aparece com mais frequência. Por exemplo, se observar-
mos os gráficos de linhas, o ponto mais alto, por representar a variável que 
mais se repete, ou seja, a que tem maior frequência, representa a moda. 
Veja outro exemplo: 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio44
O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte nú-
mero de peças defeituosas (por lote de 100 unidades): 
1 – 3 – 4 – 4 – 4 - 5 – 8 – 8 - 9 – 10. 
Como você está vendo, o valor que mais aparece é o 4. Dizemos que 
ele representa a moda destes valores. Isto significa que o número de peças 
defeituosas que apareceu mais vezes foi 4. 
Veja mais alguns exemplos:
a. Na amostra 3, 4, 7, 3, 7, 9, 9, 9, temos: Mo = 9. 
b. Na amostra 9, 9, 5, 7, 10, 2, 1, 12, 12, temos duas modas (amos-
tra bimodal): Mo = 9 e Mo = 12.
c. A amostra 1, 3, 8, 6, 15, 2, 0, 9 não apresenta um valor para a 
moda, pois todos os seus elementos têm a mesma frequência.
Figura 9: Moda. 
Fonte: <http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTzHlg0A8oUpsdO9rmD3uecvHCKYU1xzWkB0b
OiARpPwMgHQzk&t=1&usg=__GcpFz_b3-5sg8PefDDRsMKsv9yI=>. Acesso 07/10/10.
4.1.5 A mediana 
A mediana, como já foi falada no início da aula, é o termo central 
de uma série de dados, ou seja, é o termo que divide a série ao meio. 
Figura 10: Mediana.
Fonte: <http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSZHoWxLC0Ea4jdvHfP8D5wulDsZXNfCwkb0ri7
BQLoXf7NkBM&t=1&usg=__Xw_82BODiyEpQecUYpnNWege8Tc=>. Acesso em 30/09/10.
Acompanhe o exemplo: 
Observe as estaturas, em centímetros, dos cinco jogadores da equi-
pe de nosso colégio: 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 45
190; 180; 195; 178; 182
 Vamos colocar estes dados em ordem, organizando o rol: 
178; 180; 182; 190; 195. 
O termo central deste rol é chamado de mediana da amostra. 
Representamos a mediana por Md. 
Assim: Md = 182 cm
Veja outro exemplo: Dispondo em rol as notas da prova de Estatís-
tica dos alunos do segundo módulo do Curso Técnico do Comércio, temos:
 4,0 ; 4,0 ; 4,0 ; 4,5 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,5 ; 5,5 ; 6,0; 6,0 6,5 ; 6,5 ; 7,0 ; 7,5 ; 8,0 ; 
8,0 ; 8,0 ; 8,0 
Como n número de termos do rol é par, define-se a mediana da 
amostra como a média aritmética entre os termos centrais do rol, isto é:
Md = 6,0 + 6,0
 2
Md = 12,0 
 2
Md = 6,0 
Consideremos n números dispostos em rol x1, x2, x3, ..., xn
Sendo “n” par (neste exemplo, n =18), chama-se mediana (Md) o 
termo central deste rol: i = n / 2. Para obtermos este termo central, dividi-
mos 18 por 2, obtendo 9. Como, nesta série, temos dois termos centrais, 6,0 
e 6,0, a mediana será a média aritmética entre eles.
i = n/2 (posição da mediana)
Veja o exemplo em que o número de termos da série é ímpar:
Os números abaixo se referem aos gols marcados nas 11 
i = n/2 (posição da mediana)
partidas da primeira rodada de um campeonato brasileiro de fute-
bol: 0 – 0 - 0 – 0 – 1 – 1 – 1 - 2 – 2 – 3 – 5 
Como o número de elementos desta série é ímpar, 11, somamos 
uma unidade a este número de elementos, assim: 11 + 1 = 12. Em seguida, 
dividimos o 12 por 2, assim: 12 : 2 = 6. Com este resultado, temos que o ter-
mo médio que representa a mediana é o sexto termo, que, neste exemplo 
corresponde ao número 1. Temos, então: Md = 1. 
Então, a posição da mediana será dada por: 
n + 1
 2
Vamos revisar?
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio46
Quando o número de termos for par, dividimos este número de 
termos por dois, para obtermos a posição da mediana. Em seguida, so-
mamos os dois valores centrais da série e dividimos esta soma por 2. A 
mediana (Md) será, portanto, a média aritmética entre os termos centrais 
desse rol. Observe o exemplo: com o objetivo de verificar o comporta-
mento do consumidor, um órgão de defesa do consumidor registrou o 
seguinte número de queixas: 39 – 48 – 56 – 58 – 60 – 63 – 72 – 75 – 80 – 
95. Vamos determinar a posição da mediana nesta série com número par 
de termos, dividindo 10 por 2, assim: 10 : 2 = 5. Temos que a posição da 
mediana é o quinto termo. Mas, como você pode ver, existe outro termo 
que também ocupa a quinta posição se você contar da direita para a es-
querda. Veja: da esquerda para a direita o quinto termo é 60, e da direita 
para a esquerda, o quinto termo é 63. E agora? Qual dos dois representa 
a mediana? Nenhum dos dois. Para determinarmos a mediana, somamos 
estes dois valores e dividimos o resultado por 2. Observe: 60 + 63 = 123; 
123: 2 = 61,5. Temos, então, que, Md = 62,5.
Figura11: moda, média, mediana 
Fonte: <http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRAIIY5UjanvQSE4l4-Zl0DUMgp4FMBt4YKCKyZrj
KzJIzWh8R8>. Acesso em: 10/01/2011.
4.1.6 A moda para dados agrupados 
Figura 12: A ilha que está na moda.
Fonte: <http://bi.gave.min-edu.pt/files/2147/7_68.png>. Acesso em 20/12/2010. 
Para se determinar a 
mediana, a amostra 
pode ser colocada em 
rol do menor número 
para o maior, ou do 
maior para o menor. 
Nos dois róis o termo 
médio é o mesmo.
Utilizamos a mediana 
quando:
Desejamos obter o 
ponto que divide 
as distribuições de 
frequências em partes 
iguais;
Há valores extremos 
que afetam a média de 
forma marcante;A variável em estudo é 
o salário. 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 47
Com intervalo de classe
Para calcularmos a moda para os dados agrupados com intervalo de 
classe, usamos a fórmula:
Mo = li + Δ1 × h 
 Δ1 + Δ2
Onde: Mo - Moda 
li - limite inferior da classe modal (classe de maior frequência)
Δ1 - frequência simples da classe modal – frequência simples da 
classe anterior à classe modal
Δ2 - frequência simples da classe modal – frequência simples da 
classe posterior à classe modal 
h - amplitude (diferença entre os limites superior e inferior da clas-
se modal).
Exemplo: vamos calcular a moda para os dados da tabela abaixo:
TABELA 11
Estaturas dos alunos da 6ª série de uma escola X - Nov./2000
Classe modal (maior frequência)
Estaturas ( em cm ) frequência
150 |——— 154 4
154 |——— 158 9
158 |——— 162 11
162 |——— 166 8
166 |——— 170 5
170 |——— 174 3
∑ = 40
Fonte: Dados fictícios. 
Temos:
Δ1 = 11 – 9 → Δ1 = 2 
Δ2 = 11 – 8 → Δ2 = 3 
h= 4
li= 158
Então, aplicando a fórmula, temos: 
Mo= 158 + 2 × 4
 2 - 3
Mo= 158 + 8
 5
Mo = 158 + 1,6 
Mo = 159,6 
e-Tec Brasil/CEMF/Unimontes Comércio48
Figura 13: Mediana. 
Fonte: <http://1.bp.blogspot.com/_YM-eQHCMiU0/S8zIEYCBYII/AAAAAAAAAP8/QtVgjIU0Flo/s200/
estatistica4.bmp>. Acesso em 20/12/2010. 
Com intervalo de classe
Para calcularmos a moda para os dados agrupados com intervalo de 
classe, usamos a fórmula:
Onde: Mo --- Moda 
li --- limite inferior da classe modal (classe de maior frequência)
Δ1 --- frequência simples da classe modal – frequência simples da 
classe anterior à classe modal
Δ2 --- frequência simples da classe modal – frequência simples da 
classe posterior à classe modal 
h --- amplitude (diferença entre os limites superior e inferior da 
classe modal)
Exemplo: vamos calcular a moda para os dados da tabela abaixo:
Temos:
Δ1 = 11 – 9 → Δ1 = 2 
Δ2 = 11 – 8 → Δ2 = 3 
h = 4
li = 158
Então, aplicando a fórmula, temos: 
Mo = 158 + 2 x 4
 2+3 
Mo = 158 + 8 
 5
Mo = 158 + 1,6 
Mo = 159,6 
4.1.7 Cálculo da mediana para dados agrupados
Sem intervalo de classe
Para obtermos a mediana, precisamos, antes, calcular a frequên-
cia acumulada crescente. Observe a tabela e veja como foram calculadas 
e-Tec Brasil/CEMF/UnimontesFundamentos de Matemática e Estatística 49
as frequências acumuladas crescentes: conservamos a primeira frequência 
simples, que é 2; em seguida, somamos 2 + 6, que é a segunda frequência 
simples, e obtemos 8; continuando, somamos 8 + 10, obtemos 18, somamos 
18 + 12 = 30, depois, 30 + 4 = 34, que é a última frequência acumulada e, 
também, a soma das frequências simples. 
Em seguida, vamos determinar a posição da mediana, dividindo a 
soma das frequências simples, 34, por 2. A mediana está localizada no meio 
da distribuição, por isso, dividimos por 2. Neste exemplo, temos: 34 dividido 
por 2 é 17. Então, 17 é a posição da mediana, ela é o décimo sétimo termo 
da distribuição. 
Vamos, agora, observar a coluna das frequências acumuladas para 
localizar a posição da mediana. Verificamos que ela está localizada na ter-
ceira linha.
A mediana será o valor da variável, que corresponde à tal frequên-
cia acumulada crescente que, no caso, corresponde ao valor 2.
Veja o exemplo:
Vamos determinar a mediana desta tabela em que os dados estão 
agrupados, mas, sem intervalo de classe: 
Nº de meninos fi Fac
0 2 2
1 6 8
2 10 18 ←
 3 12 30
4 4 34
∑ = 34
A posição da mediana será o 17º termo. A Md = 2.
Vejamos outro exemplo: 
Xi fi Fac
12 1 1
14 2 3
15 1 4 ←
16 2 6
17 1 7
20 1 8
∑ = 8
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Primeiramente, vamos determinar a posição da mediana que será o 
quarto termo. Este coincidiu com a Fac = 4. Quando isso acontece, devemos, 
então, achar a média aritmética entre o valor correspondente a esta Fac (15) 
e o termo imediatamente posterior a ela (16), assim : 
Md = (15+16) : 2 , Md = 31 : 2, logo a mediana será: Md = 15,5
Resumo
Nessa aula você aprendeu a conceituar medida de tendência cen-
tral, distinguir as diferentes medidas de tendência central e a calcular al-
gumas dessas medidas em um conjunto de dados ou numa distribuição de 
frequências .Aprendeu que a média aritmética de um conjunto de elementos 
é o quociente entre a soma de todos estes elementos e o número total de 
elementos; que moda é o valor que aparece com maior frequência, ou seja, 
o que mais se repete, e que mediana é o valor que divide a distribuição em 
duas partes com o mesmo número de dados, não sendo influenciada por va-
lores extremamente altos ou baixos (então, a mediana refere-se a um valor 
abaixo do qual se situam 50% dos dados observados). 
Atividades de aprendizagem
1. A tabela mostra distribuição de frequência da carga, em toneladas, dos 
caminhões que passaram por uma estrada num certo período. 
 
TABELA 12
Carga dos caminhões. 
Carga (em toneladas) Número de caminhões 
9,5 |——— 14,5 20
14,5 |——— 19,5 35
19,5 |——— 25,5 8
Fonte: Dados fictícios.
Calcule a carga média deste caminhão e a moda. 
2. Para certo produto, em cinco revendedores consultados, foram dados os 
seguintes preços, em reais, na ordem em que foram sendo informados:
180; 190; 175; 195; 190. 
Calcule a média destes valores. 
Calcule a mediana e a moda dos preços observados.
Todas as vezes 
que a posição da 
mediana coincidir 
exatamente com o 
valor da frequência 
acumulada, ela será 
sempre igual à soma do 
valor correspondente 
à frequência 
acumulada com o 
termo imediatamente 
posterior a ele e 
dividido por 2, como no 
exemplo dado: 15+16: 
2= 15,5.
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3. Pesquisa realizada recentemente revela que nos últimos anos o consumo 
de cigarro vem crescendo entre as mulheres. Parte desse estudo permitiu 
a montagem de uma tabela de frequência, que relaciona a quantidade de 
cigarros consumidos diariamente, entre 1 000 mulheres fumantes. Calcule a 
média aritmética e a moda para estes dados. 
TABELA 13
Cigarros consumidos pelas mulheres. 
Cigarros consumidos diariamente Frequência absoluta
15 |——— 20 150
20 |——— 25 300
25 |——— 30 250
30 |——— 35 200
35 |——— 40 100
Total 1 000
 
Fonte: BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. S.P.: 
FTD,1998, vol.3, p. 262.
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AULA 1
Alfabetização Digital
53
Aula 5 – Medidas de dispersão
Figura 14: Medidas de dispersão em relação a variável idade.
Fonte: <http://portfolio.med.up.pt/psmm/imageFCP.JPG>. Acesso em 10/01/2011.
Na aula anterior, estudamos três medidas de posição: a média arit-
mética, a moda e a mediana, também chamadas medidas de centralidade 
ou de tendência central. E, como você estudou, elas recebem esses nomes 
pelo fato de ocuparem posição central numa distribuição.
Mas, quando queremos analisar o comportamento dos dados de 
uma amostra em torno de um valor central, usamos as medidas de disper-
são. Essas medidas indicam o afastamento ou dispersão dos elementos de 
uma amostra em torno de um valor central tomado como elemento de com-
paração.
Quanto maior o valor desta medida, maior será a dispersão dos da-
dos analisados. Da mesma forma, quanto menor este valor, menos dispersos 
estarão estes dados, ou seja, quanto mais próxima esta medida se encontrar 
da média, menor será a dispersão dos dados da amostra.
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Calcular corretamente algumas das medidas de dispersão: o des-
vio absoluto médio, a variância e o desvio- padrão. 
• Interpretar corretamente as medidas de dispersão. 
• Reconhecer a importância da aplicação destas medidas no nosso 
cotidiano.