Lista de exercicios - funções de duas variaveis

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Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil 
 
 
1 
 
Unidade Curricular: Cálculo B Data: ____/____/____ 
Professora: Melina Lima 
Atividade: Lista de Exercícios – Funções de duas variáveis 
Aluno (a): ....................................................................................... 
 
 
Plotando Gráficos de Funções de Duas Variáveis com o Winplot 
 
 Exceto nos casos mais simples, visualizar gráficos de funções de duas 
variáveis pode ser uma tarefa difícil. Para isso é que utilizamos recursos gráficos. 
Escolhemos utilizar o Winplot devido a quatro fatores: 
 
 É gratuito 
 É leve e compacto 
 É de fácil manuseio 
 Disponível em diversas línguas, incluindo a portuguesa. 
 
Para representar gráficos de funções de duas variáveis (superfícies no 
espaço tridimensional) com o Winplot, basta escolhermos a opção 3-dim na janela 
principal, conforme ilustração: 
 
 
 
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2 
 
 
 
 
Por exemplo, para representar a função 
 
22
1
,
yx
yxf


, em “z=” digitamos: 
1/(x^2+y^2). Obteremos um gráfico ou similar a este: 
 
 
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3 
 
 
Caso queira ver os eixos, basta proceder como na ilustração: 
 
 
Veja a mesma superfície plotada com um intervalo em x e em y de 24: 
 
Com base no exposto, responda as questões a seguir. 
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Curvas de Nível 
 
Vimos algumas representações para funções, como os diagramas de flechas e a 
representação gráfica. Outro método que pode ser utilizado é emprestado da 
cartografia. São os chamados mapas de contorno ou curvas de nível. 
Se um plano 
Cz 
intercepta uma superfície 
 yxfz ,
, isso resulta em uma curva 
no espaço. O conjunto de pontos 
 yx,
 no plano 
xy
 que satisfaz à equação 
  Cyxf ,
é denominado curva de nível de f em C. Ao variarmos o valor de C 
teremos uma família de curvas de nível e, ao plotarmos alguns membros dessa família 
no plano xy, obteremos uma forma aproximada do que seria a superfície 
 yxfz ,
. 
 
 
 
 Na geologia podemos ter as Curvas de Nível para designar uma linha 
imaginária que agrupe dois pontos que possuem a mesma altitude, por exemplo. 
Por meio delas são confeccionados os mapas topográficos, já que a partir da 
observação o técnico pode interpretar suas informações por meio de uma visão 
tridimensional do relevo. 
 Uma curva de nível refere-se a curvas altimétricas ou linhas isoípsas (ligam 
pontos de mesma altitude), essa é a mais eficiente maneira de representar as 
irregularidades da superfície terrestre (relevo). 
 
 
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Como mostra a ilustração, topograficamente, as curvas de nível (ou isolinhas) são 
linhas curvas fechadas formadas a partir da interseção de vários planos horizontais 
com a superfície do terreno. 
Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo plano horizontal tem, 
evidentemente, todos os seus pontos situados na mesma cota altimétrica, ou seja, 
todos os pontos estão no mesmo nível. 
 
Modelo de geração de curvas de nível 
Fonte: ESPARTEL, 1987 
 
Definição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são curvas com 
equação 
  Cyxf ,
, sendo C uma constante (no domínio de f). 
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Exemplo 1: 
 
Seja a função dada por 
  22, yxyxf 
. Determine 
 0,0f
, 
 1,1f
, 
 1,1f
, 
 2,1f
, Dom( f) e Im( f). 
 
Solução: 
    0000,0, 2222  fyxyxf
 
 
      2111,1, 2222  fyxyxf
 
 
        2111,1, 2222  fyxyxf
 
 
    5212,1, 2222  fyxyxf
 
     yxyxfD ,|, 2
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Seja a função dada por 
  22, yxyxf 
. Determine as curvas de nível para 
4 e 3z 2 ,1  zzz
 
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Curvas de nível da função z=f(x,y) = x
2
 + y
2
. No winplot o acesso se dá por: 
Equação > Inventário > Níveis > Ver todas 
 
 
 
Funções de Três Variáveis 
 
Definição: Uma função f com três mais ou mais variáveis é uma regra que associa a 
cada tripla ordenada (x, y, z) em um domínio 
3D
 um único número real 
denotado por f(x, y, z). 
 
Funções de n Variáveis 
 
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Definição: Uma função f com n variáveis é uma regra que associa um número real z = 
f(x1, x2, x3,..., xn) à uma n-upla (x1, x2, x3,..., xn) de números reais. Denotamos por n o 
conjunto de todas as n-uplas. 
 
Por exemplo, a temperatura no ponto T num ponto da superfície terrestre depende 
da latitude y e da longitude x do ponto e do tempo t, de modo que podemos 
escrever T = f(x, y, z). 
 
 
Derivadas Parciais 
 
Para uma função de uma variável, 
 xfy 
, sua derivada 
 
   
x
xfxxf
xf
x 


 0
lim'
 pode ser interpretada como sendo a taxa de variação 
de
y
em relação a x, ou como a declividade da reta tangente ao gráfico de f. 
 Se 
 yxfz ,
 for uma função de duas variáveis, então podemos pensar em 
duas derivadas, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida 
quando x varia e y permanece constante ou o contrário. 
 Notação: 
x
f


 (derivada parcial de f em relação a x) 
 
y
f


(derivada parcial de f em relação a y) 
Assim: 
 
 
   
x
yxfyxxf
yxf
x
x




,,
lim,
0
 e 
 
 
   
y
yxfyyxf
yxf
y
y




,,
lim,
0
 
Exemplo: Seja a função 
  22, yxyxf 
, determine 
x
f


. 
Solução: 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
  xxx
x
xxx
x
xxx
x
yxyxxxx
x
yxyxx
x
yxfyxxf
yxf
xx
xx
xx
x
22lim
2
lim 
2
lim
2
lim 
lim
,,
lim,
00
2
0
22222
0
2222
00





















 
Para 
 
 
   
y
yxfyyxf
yxf
y
y




,,
lim,
0
, teríamos: 
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 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
  yyy
y
yyy
y
yyy
y
yxyyyyx
y
yxyyx
y
yxfyyxf
yxf
yy
yy
yy
y
22lim
2
lim 
2
lim
2
lim 
lim
,,
lim,
00
2
0
22222
0
2222
00





















 
 
 
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Exercícios 
 
1) Seja a função dada por 
  1,  yxyxf
. Determine 
 0,0f
, 
 1,1f
, 
 1,1f
, 
 2,1f
, Dom( f) e represente graficamente a função (com o winplot) e o 
domínio de 
 yxf ,
 (pode ser à mão livre). 
 
2) Seja a função dada por 
  1,  yxyxf
. Determine 
 0,0f
, 
 1,1f
, 
 1,1f
, 
 2,1f
, Dom( f) e represente graficamente a função (com o winplot) e o 
domínio de 
 yxf ,
 (podeser à mão livre). 
 
3) Seja a função 
  )ln(, xxeyxf y 
. Determine 
 2ln,2ef
 e Dom( f). 
 
4) Nos exercícios de a) a f), calcule o valor da função em cada ponto especificado. 
 
a) 
       2,1 ;1,2 ;21, 3 ffxyxyxf 
 
b) 
     2,1 ;6,4 ;
32
23
, ff
yx
yx
yxf 



 
c) 
     2,1 ;5,4 ;, 22  ffxyyxf
 
d) 
     2,1g ;27,16 ;10, 3
2
2
1
 gvuvug
 
e) 
     32 ,9ln ;3, ;
ln
, efef
r
s
srf 
 
f) 
     4ln,3ln ;2ln,1 ;, ffxyeyxf xy
 
 
5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções: 
 
a) 
 
12
1
,


yx
yxf
 b) 
   1ln, 2  yxyxf
 c) 
 
1
ln
,


x
x
yxf
 
6) Uma loja vende apenas dois produtos, o primeiro a 50 u.m. a unidade e o 
segundo, a 60 u.m. a unidade. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois 
produtos. Determine: 
a) A função receita 
b) A representação gráfica dos pontos (x,y) para os quais a receita é 300 u.m. 
 
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7) Esboce as curvas de nível das funções: 
a) 
2 e 1 ,0 para 2  zzzxyz
 
b) 
4 e 2,0 para  zzzxyz
 
c) 
2 e 1 ,0 para ln  zzzxyz
 
 
8) Seja a função 
224 yxz 
. Faça as curvas de nível para 
2 e 1 ,0  zzz
 
 
9) Seja 
  532,  yxyxC
 a função Custo Total para dois produtos de qualidade 
x e y. faça as curvas de nível para 
29C e 26 ,11  CC
. 
 
10) Dadas as funções a seguir, calcule, pela definição, 
x
f


e 
y
f


. 
 
a) 
  xyyxyxf 23, 32 
 b) 
  xxyyxf 34, 2 
 
b) 
 
11) A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é dada por 
  22 4, yxyxT 
graus. 
a) Determine a temperatura no ponto (3, 1). 
b) Determine e represente geometricamente a curva ao longo da qual a 
temperatura tem um valor constante igual a 16 graus. 
 
12) Usando o winplot, desenhe o gráfico de duas variáveis cujas expressões estão 
abaixo. Desenhe também curvas de nível (no winplot). 
 
 
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13) Para cada função numerada de 1 até 9, calcule as derivadas parciais em 
relação a x e em relação a y.