08 colunas

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16/05/2018
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
Colunas
Flambagem
Propriedades geométricas de superfícies planas;
- momento estático (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos estáticos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento estático;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
Torção
- momento torsor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelástico
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
CCE0330 – Resistência dos Materiais II
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Flexão 
- Ipos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas,
- módulo de resistência;
- material elasto-plásIco perfeito;
- momento elásIco máximo;
- momento úlImo;
Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obIdas pela variação de 
momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
com seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
seções com seções compostas
- centro de cisalhamento
Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de Euler para diferentes condições de 
extremidade
- Determinação de carga crítica de colunas
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Colunas
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• Vigas, barras ou colunas esbeltas sofrendo carga axial 
de compressão podem ficar instáveis.
• Esta instabilidade ocorre como uma deflexão lateral 
destes elementos e é conhecida como flambagem.
• Deve-se prever qual a carga máxima de compressão 
que pode ser aplicada em uma estrutura para que não 
ocorra este efeito.
• Esta carga é chamada de carga críCca Pcr. 
• A estrutura fica instável e pode ocorrer colapso.
! > !#$
Flambagem - Colunas
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• É o fenômeno de instabilidade ligado a 
elementos comprimidos e provoca 
deslocamentos laterais acentuados que 
comprometem a segurança do elemento.
• Como este fenômeno pode reduzir a 
capacidade de carga de compressão, torna-se 
fundamental seu estudo. 
• Os elementos comprimidos mais comuns são 
barras de treliça, estroncas e colunas (pilares).
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Estabilidade de estruturas - Coluna
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• No projeto de colunas a área transversal é 
selecionada de modo que a tensão admissível 
não seja ultrapassada:
• Após estes cálculos, pode descobrir que a 
coluna é instável sob carregamento e que de 
repente se torna acentuadamente curva ou 
flamba.
• Deformação fica dentro das especificações:
M
e
câ
n
ic
a
 d
o
s 
M
a
te
ri
a
is
, 
B
e
e
r
&
 J
o
h
n
st
o
n
 e
t 
a
l.
! =
#
$
≤ !&'(
) =
#*
+$
≤ ),-.,/í12/&
Fórmula de Euler para Colunas Biar3culadas
Condições de análise:
• Coluna ideal;
• Carga aplicada no centroide da 
seção transversal;
• Vínculos que permitem rotação;
• Considerar flambagem no plano 
de menor inércia.
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Fórmula de Euler para Colunas Biar3culadas
• Uma coluna axialmente carregada depois de uma 
pequena perturbação, o sistema a8nge uma 
configuração de equilíbrio de tal forma que:
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• Solução da equação diferencial, para as 
condições de contorno quando x = 0 e x = L:
! = #$
%
&
'
%(&
! = −*'
! = −*' = #$
%
&
'
%(&
%
&
'
%(&
+
*
#$
' = 0
' = -. /01
*
#$
( + -& 23/
*
#$
(
( = 4 → 678 =
9:
;:
<=
( = 0 → -& = 0
678 =
9
:
;:
<=
Carga crítica:
Fórmula de Euler para Colunas Biarticuladas
• A esbeltez do elemento é o fator que determina o 
risco de flambagem de um elemento comprimido. 
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• A esbeltez é uma relação entre o comprimento do 
elemento e uma grandeza associada à seção do 
elemento, denominada raio de giração. Uma peça 
esbelta possui maior risco de flambagem.
I= #$%• Momento de Inércia (raio de giração):
• Índice de esbeltez: l=
&'
(
• Tensão crítica: )*+ =
,$
-.
$
/0
)*+
%
=
,$
l$
/0
12( =
34
l4
5
#$ = ⁄0 %• Raio de giração:
Tensão crí8ca:
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Flambagem - Comprimento efetivo !" = $. !
Ajuste no comprimento efetivo para outros vínculos:
• Bi rotulada: k = 1,0
• Engastada e rotulada: k = 0,7
• Bi engastada: k = 0,5
• Engastada e livre: k = 2
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&'( =
)
*
+,
*
-. &'( =
)
*
/+ *
-.
0'( =
)
*
l*
-l=
+,
(
Comprimento efetivo, Carga e Tensão admissível
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!"#$ =
!&'
()
*"#$ =
*&'
()
Tensão admissível:
Carga admissível:
!&' =
+
,
-.
,
/0
Carga crítica:
*&' =
+
,
l,
/
Tensão crítica:
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Exemplo 01
A coluna uniforme consiste de uma seção de 2,4 m 
de tubos estruturais com a seção transversal 
mostrada. Considere E=200	Gpa.
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Usando a fórmula de Euler e um fator de 
segurança de 2, determinar a carga centrada 
admissível para a coluna e a tensão normal 
admissível.
) = 2284 ,,-
. = 3,3×103 ,,4
5 = 38 ,,
6 = 50 ,,
Exemplo 01 – solução
Comprimento efetivo � viga engastada e livre:
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! = 2284 &&'
( = 3,3×10. &&/
0 = 38 &&
1 = 50 &&
34 = 2. 3 = 2× 2,4 = 4,8& = 4800&&
678 =
9'
34
' :(
: = 200 ;6< = 200×10=6< = 200×10> ?/&&'
1 ? = 10A>[C?]
1 [6<] = 1
?
&'
1
E
FG
= 10A>
E
FFG
Type equation here.
Carga crítica:
678 =
9'×(200×10>)×(3,3×10.)
4800'
= 282723,04 ? = 282,72 C?
6XYF =
678
Z[
=
282,72
2
= 141,36 C?
Tensão crí9ca: ]78 =
9'
l'
:l =
^_
8
]78 =
9'×(200×10>)
4800
38
' = 123,71 C?
]XYF =
]78
Z[
=
123,71
2
= 61,85 C?
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Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante
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• Flexão ocorre para qualquer excentricidade diferente de 
zero. Questão de flambagem é se a deflexão resultante 
é excessiva.
• A deflexão se torna infinita quando P = P
cr
• Tensão máxima:
!"#$ =
&
'
( +
* +
,-
.*+
/*
-,
&
0'
1"#$ = * .*+
2
-
&
&+,
− (
!"#$ =
&
'
( +
* +
,-
.*+
2
-
&
&+,
&+, =
2-
/*
-
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Exemplo 02
A coluna do exemplo 01.
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Supondo que a carga admissível, encontrada 
anteriormente, é aplicada em um ponto 
distante de 19 mm do eixo geométrico da 
coluna, determinar a deflexão horizontal do 
topo da coluna e a tensão normal máxima na 
coluna.
! = 2284 &&'
( = 3,3×10. &&/
0 = 38 &&
1 = 50 &&
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Exemplo 02
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• P = P
adm
:
!"#$ = 19× )*+
,
2
141,36
282,72
− 1
5#6" = 5 = 141,36 78
59: = 282,72 78
• Deflexão final:
• Tensão normal:
!"#$ = * )*+
,
2
5
59:
− 1
!"#$ = 23,79 ;;
<"#$ =
5
=
1 +
* +
?@
)*+
,
2
5
59:
<"#$ =
141,36
2284
1 +
19× 50
38@
)*+
,
2
141,36
282,72
<"#$ = 0,153
78
;;@
1
78
;;@
= 10C D5E <"#$ = 153 D5E
= = 2284 ;;@
F = 3,3×10G ;;H
? = 38 ;;
+ = 50 ;;