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Professora Luciana Marinho
Capítulo 4.1 
Transformações Lineares
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Professora Luciana Marinho
Este capítulo trata de transformações lineares que ocorrem 
entre dois espaços vetoriais.
Esse tipo de transformação cobre uma ampla variedade de 
fenômenos e tem diversas aplicações, servindo também para 
aprofundar o conhecimento sobre espaços vetoriais e as 
relações entre eles.
As transformações lineares, também chamadas aplicações 
lineares
 
ou operações lineares
 
serão o tópico deste e de 
capítulos seguintes.
Para explicar o que é uma transformação linear, vamos voltar à 
definição de função.
4.1.1 – Funções
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Consideremos o caso mais simples de uma função de um 
subconjunto R
 
dos números reais sobre um subconjunto R
 
dos 
números reais (esses subconjuntos podem ser todo o conjunto 
dos números reais).
A função estabelece uma relação entre os elementos do 
primeiro conjunto, que chamaremos de domínio, e os 
elementos do segundo subconjunto, que chamaremos 
contradomínio.
Podemos representar uma função como sendo o conjunto de 
pares ordenados (a,b), onde a pertence ao domínio e b 
pertence ao contradomínio.
4.1.1 – Funções
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Para ser uma função, esse conjunto de pares ordenados deve 
satisfazer a mais duas regras:
Primeira: todos os elementos do domínio devem estar 
associados a algum elemento do contradomínio;
Segunda: cada elemento do domínio deve estar associado a 
somente um elemento do contradomínio.
Observe que nem todos os elementos do contradomínio 
precisam estar associados a algum elemento do domínio.
Denominamos imagem
 
os elementos do contradomínio que 
estão relacionados pela função a elementos do domínio.
4.1.1 – Funções
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:espropriedad seguintes duas às obedece que em de relação uma é
 em de função uma , conjunto um e conjunto um Dados
BA
BAfBA
. elemento único um a associado é elemento todo
função; à pertence de elemento todo
BbAa
A


R
a
b
c
d
e
f
g
h
i
A
B
a
b
c
d
e
f
g
h
i
A
BS
a
b
c
d
e
f
g
h
i
A
B
F
a
b
c
d
e
f
g
h
i
A
BG
Não são funções (R -
 
nem todos os 
elementos do domínio tem uma imagem e 
S - um elemento do domínio tem mais de 
uma imagem).
São funções (em ambos os casos, todos 
os elementos do domínio têm elementos 
correspondentes no contradomínio e 
cada elemento do domínio tem somente 
uma imagem). Observe que na função G, 
dois elementos do domínio têm a mesma 
imagem, o que é permitido.
4.1.1 – Funções
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Domínio, contradomínio e imagem
a
b
c
d
e
f
g
h
i
A
BR
Domínio
Contradomínio
Imagem
4.1.1 – Funções
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4.1.1 – Funções
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4.1.1 – Funções
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4.1.1 – Funções
A função deste exemplo 3 é 
chamada função linear (seu 
gráfico é uma linha reta) e possui 
as seguintes características:
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4.1.1 – Funções
De modo geral, uma função linear é definida como
Ela possui as propriedades
A função não é linear, pois não
obedecem a essas duas condições, embora seus 
gráficos também sejam linhas retas.
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4.1.2 – Transformações lineares
São uma generalização do conceito de funções lineares 
de modo a envolver domínios e imagens que sejam 
espaços vetoriais.
Uma transformação linear será uma função de um 
espaço vetorial V
 
sobre um espaço vetorial W, ambos 
sobre um corpo K, que satisfaça as condições 
semelhantes às condições de funções lineares. 
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4.1.2 – Transformações lineares
Portanto, esta é uma transformação linear.
Lembrando que o conjunto R
 
sobre um corpo R
 
é um espaço vetorial. Por isso, 
funções do tipo f(x) = ax, a ϵ
 
R, são exemplos de transformações lineares.
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Portanto, esta é uma transformação linear.
4.1.2 – Transformações lineares
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É uma transformação linear.
4.1.2 – Transformações lineares
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Professora Luciana Marinho
4.1.2 – Transformações lineares
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É uma transformação linear.
4.1.2 – Transformações lineares
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Professora Luciana Marinho
4.1.2 – Transformações lineares
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Professora Luciana Marinho
É uma transformação linear.
4.1.2 – Transformações lineares
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A transformação linear do exemplo 5, 
4.1.2 – Transformações lineares
Este exemplo mostra que, pelo 
menos para uma transformação 
linear do espaço vetorial v3
 
sobre ele 
mesmo, é possível representar a 
transformação linear por meio de 
uma matriz. Vejamos essa idéia a 
seguir. 
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4.1.3 – Matriz Canônica
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Matriz canônica da transformação linear
4.1.3 – Matriz Canônica
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4.1.3 – Matriz Canônica
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4.1.3 – Matriz Canônica
Matriz canônica da transformação linear
Os efeitos das transformações lineares sobre alguns vetores podem ser 
visualizados utilizando gráficos.
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4.1.3 – Matriz Canônica
A transformação linear deste exemplo, cuja matriz canônica é
Sobre o vetor leva a um vetor no v2
Av
 
= T (v)
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4.1.3 – Matriz Canônica
O Teorema a seguir mostra uma forma simples de calcular a matriz canônica 
de uma transformação linear de vn
 
em vm
 
.
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4.1.3 – Matriz Canônica
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4.1.3 – Matriz Canônica
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4.1.3 – Matriz Canônica
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Resumo
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