2018327 101234 análise+exploratória+dos+dados+de+uma+amostra+v1

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Estatística
Análise Exploratória dos Dados de uma Amostra
Conceitos
Suponhamos que não conheçamos a média de uma população X que desejamos estudar. Retiramos uma amostra de n elementos e estimamos este parâmetro. 
Exemplo:
Determinar a média e a variância da amostra: 10, 20, 30, 40, 50.
- 20
- 10
0
10
20
400
100
0
100
400
1000
Cálculo opcional da Variância
Ou ainda
Exemplo
Considere a amostra formada por 10, 11, 13, 15 e 18. Determinar a média e sua variância.
Dados sujeitos a repetições
Para essa situação vamos considerar:
A média e variância amostrais passam a ser escritas como seguem:
Ou ainda
Exemplo
Considere a tabela de dados ao lado.
Calcule a média e a variância.
1
5
22
24
22
5
1
80
10
100
660
960
1100
300
70
3200
- 30
- 20
- 10
0
10
20
30
900
400
100
0
100
400
900
900
2000
2200
0
2200
2000
900
10200
1
5
22
24
22
5
1
80
10
100
660
960
1100
300
70
3200
1000
2000
19800
38400
55000
18000
4900
138200
Exemplo
110
120
129
141
101
107
107
121
119
115
115
94
101
146
93
103
121
118
122
128
107
105
103
133
121
91
126
127
135
123
109
110
131
111
114
132
104
119
113
116
119
111
124
106
118
102
119
101
101
118
A tabela a seguir representa uma amostra do QI de 50 alunos de uma determinada faculdade.
Escreva o Rol usando a técnica Stem-and-leaf (Ramo e Folha).
Calcule a amplitude do Rol.
Determine a quantidade de classes pelo método de Sturges.
Determine a amplitude da classe.
Construa uma tabela de frequência.
Represente graficamente por um histograma
Determine as medidas de tendência central
Calcule a variância e o desvio padrão
Encontre o Q3 e o D4
110
12
129
141
101
107
107
121
119
115
115
94
101
146
93
103
121
118
122
128
107
105
103
133
121
91
126
127
135
123
109
110
131
111
114
132
104
119
113
116
119
111
124
106
118
102
119
101
101
118
Escreva o Rol usando a técnica Stem-and-leaf (Ramo e Folha).
9
10
11
12
13
14
1, 3, 4
1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9
0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 5
1, 6
b) Calcule a amplitude do Rol.
c) Determine a quantidade de classes pelo método de Sturges.
d) Determine a amplitude da classe.
e) Construa uma tabela de frequência.
91
99
107
115
123
131
139
3
10
10
15
6
4
2
50
99
107
115
123
131
139
147
95
103
111
119
127
135
143
f) Calcule as medidas de tendência central e as medidas de dispersão.
g) Faça uma representação gráfica desses dados através de um histograma.
285
27075
1030
106090
1110
123210
1785
212415
762
96774
540
72900
286
40898
285
1030
1110
1785
762
540
286
27075
106090
123210
212415
96774
72900
40898
O dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela:
Calcule a média de produção de cada funcionário.
Calcule a variância de produção de cada funcionário.
Calcule o desvio padrão de produção de cada funcionário.
Para esse exemplo, ficou fácil concluir que há uma grande variação entre a produção de cada funcionário. Mas e se essa fosse uma grande empresa, com mais de mil funcionários, ou se fosse observada a produção em um ano, será que conseguiríamos definir essa variação com tanta facilidade?
Exemplo: Em um grupo de moradores de determinada região foram analisadas a idade (em anos) e a altura (em metros) das pessoas. Deseja-se comparar a dispersão em termos relativos em torno da média dos dois conjuntos de dados, a fim de verificar qual deles é mais homogêneo. Na coleta dos dados verificou-se que:
Idade das pessoas: média = 41,6 e s = 0,82
Altura das pessoas: média = 1,67 e s = 0,2
O coeficiente de variação é usado para analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio quando duas ou mais séries de valores apresentam unidades de medida diferentes. Dessa forma, podemos dizer que o coeficiente de variação é uma forma de expressar a variabilidade dos dados excluindo a influência da ordem de grandeza da variável.
Como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos relativos, ele será dado em %. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, se o CV:
For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneos
For entre 15 e 30% → média dispersão
For maior que 30% → alta dispersão: dados heterogêneos
Quartis
Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais. 
0%
25%
50%
75%
100%
Q1
Q2=Md
Q3
Quartis
(Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele.
(Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md)
(Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Primeiro Quartil
Segundo Quartil
Terceiro Quartil
Percentil
Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que separam uma série de dados em 100 partes iguais.
Observação: 	P50=Md P25=Q1 P75=Q3
Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	 onde k é o número de ordem do percentil. 
Mediana
Quartis
Percentis
Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: 
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2.
Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } 
Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores.
Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 
Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o quartil 3
Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Exemplo 5: Dados não agrupados
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
A série ordenada.
Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
Quartil 1 = mediana da série à esquerda de	Md : 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md : 
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
Exemplo 5: Dados não agrupados
Exemplo 6: Dados Agrupados
Determine os quartis.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
Dadosfictícios.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
∑=40
Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2015
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
0%
25%
50%
75%
100%
Q1
156,67
Q2=Md
160,54
Q3
165
Exercícios
Exercício 1: Peso dos Bebês
Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médio da classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médio da classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médio da classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
Total
∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Classe mediana: classe correspondente
 a frequência 
 acumulada 
 imediatamente 
 superior a
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a 
 
 a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Classe mediana: classe correspondente
 a frequência 
 acumulada 
 imediatamente 
 superior a
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
total
∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Classe mediana
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe mediana
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe Q1
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe Q3
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
∑=1722
Média
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
∑=1722
Moda
Exercício 2
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Mediana
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Q1
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Q3
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores