Captulo 4

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UNILA MÁQUINAS DE FLUXO Capítulo 4: Semelhança Aplicada às Máquinas de Fluxo 
 
Capítulo 4 
 
SEMELHANÇA APLICADA ÀS 
MÁQUINAS DE FLUXO 
 
 
4.1 GENERALIDADES 
 
 Do ponto de vista da utilização e da operação das má-
quinas de fluxo, interessa relatar as características de cada 
máquina de modo a estabelecer o seu comportamento sob 
as mais diversas condições de operação. As características 
reais das máquinas de fluxo (em todo o campo de funcio-
namento) são obtidas de modo mais preciso através de 
ensaios em laboratório. 
 Do ensaio de uma máquina de fluxo, por exemplo de 
uma bomba centrífuga, as suas características (dependên-
cia entre as diversas grandezas de funcionamento) podem 
ser obtidas e plotadas convenientemente em um gráfico, 
como mostra a Figura 4.1. 
 
 
Figura 4.1 Curvas características de uma bomba 
 centrífuga com rotação, n, constante. 
 
 A análise dimensional permite substituir um determi-
nado grupo de n variáveis dimensionais (dependentes e 
independentes), que caracterizam um fenômeno físico, por 
um outro grupo de j variáveis adimensionais, sendo j  n. 
 Para exemplificar, considera-se um grupo de três vari-
áveis dimensionais dependentes, 
321 yey,y
, e um grupo 
de cinco variáveis dimensionais independentes, 
54321 xex,x,x,x
, num total de n = 8 variáveis dimen-
sionais. As relações de dependência entre essas grandezas 
podem ser estabelecidas por 
 
 
)xex,x,x,x(fy,y,y 543213,2,1321 
. 
(4.1) 
 
 Considerando as grandezas primárias (básicas), m, 
como sendo M (massa), L (comprimento) e T (tempo), 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, m = 3, obtém-se, da análise dimensional, o nú-
mero de variáveis adimensionais
538mnj 
. 
 Do teorema dos Pi, , atribuído a Edgar Buckinham 
(1867-1940), as relações de dependência em (4.1) tornam-
se, por exemplo, nas seguintes relações de dependência na 
forma adimensional: 
 
 
),,(F, 5432,121 
. (4.2) 
 
4.2 GRANDEZAS DE FUNCIONAMENTO 
 
 As grandezas de funcionamento de uma MF podem ser 
divididas em grandezas independentes e em grandezas 
dependentes. Neste capítulo, serão abordadas somente as 
grandezas relacionadas às máquinas de fluxo hidráulicas. 
 
4.2.1 GRANDEZAS INDEPENDENTES 
 
 As grandezas independentes podem ser divididas em 
grandezas geométricas, grandezas características do fluido 
e grandezas (variáveis) de controle da máquina de fluxo. 
 
 a) Grandezas geométricas 
 As grandezas geométricas determinam a geometria 
completa da máquina de fluxo e, de uma maneira geral, 
podem ser listadas como segue: 
D: comprimento característico (por exemplo, o diâmetro 
 externo do rotor da máquina de fluxo), 
iL
: outros comprimentos, 
M
: ângulos de montagem das aletas, e 
M
: ângulos de montagem das pás. 
 Os ângulos de montagem, 
M
 e 
M
, podem ser alte-
rados (controlados) para certos tipos de máquinas de flu-
xo, por exemplo, turbina Kaplan de dupla regulagem (re-
gulagens no distribuidor, 
M
, e no rotor, 
M
). Nesses 
casos, as máquinas são denominadas de máquinas de fluxo 
de geometria variável. 
 
 b) Grandezas características do fluido 
 Essas grandezas caracterizam o fluido em escoamento 
no interior da máquina de fluxo. No caso de máquinas de 
fluxo hidráulicas, são: 
: massa específica do fluido e 
: viscosidade absoluta (dinâmica) do fluido. 
 
 c) Grandezas de controle 
 As grandezas (ou variáveis) de controle permitem alte-
rar as condições de funcionamento da máquina de fluxo, 
isto é, alterando-se as grandezas de controle, as grandezas 
de funcionamento dependentes são também alteradas. No 
NPSHreq 
 UNILA MÁQUINAS DE FLUXO Capítulo 4: Semelhança Aplicada às Máquinas de Fluxo 
 
caso de máquinas de fluxo hidráulicas geradoras, as gran-
dezas de controle são: 
Q: vazão volumétrica de fluido em escoamento na MF, e 
n: rotação do rotor. 
 
4.2.2 GRANDEZAS DEPENDENTES 
 
 No caso de MF hidráulicas, essas grandezas são: 
 
Y: trabalho específico, 
Ph
: potência útil (potência hidráulica), 
P: potência de eixo e 
: rendimento total (global) da máquina de fluxo. 
 
 
4.3 DETERMINAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS 
 ADIMENSIONAIS DA MÁQUINA DE FLUXO 
 
 Normalmente, em se tratando de MF hidráulicas, as 
variáveis dependentes são o trabalho específico, 
 /pgHY
, a potência de eixo, Pe, a potência útil 
(hidráulica), Ph, e o rendimento total, . Essas variáveis 
são funções das seguintes variáveis, no caso de MF hi-
dráulicas geradoras: 
 
D: diâmetro externo do rotor, 
:...,
D
t
,
D
e
,
D
b
relações de largura, b, de espessura, e, de 
passo, t, ..., 
: massa específica do fluido em escoamento, 
: viscosidade absoluta do fluido em escoamento. 
Q: vazão volumétrica de fluido em escoamento e 
n: rotação do rotor. 
 
 Então, tem-se as seguintes relações de dependência: 
 
 
Y,P,
b e t
Y,P, f D, , , , ..., , ,Q,n
D D D

 
    
 
. (4.3) 
 
 As grandezas , b/D, e/D, t/D, ..., são adimensionais, 
portanto, existem n = 7 variáveis dimensionais. Sendo m 
= 3 (grandezas primárias), resulta j = n - m = 7 - 3 = 4 
variáveis (grandezas) adimensionais (4 parâmetros adi-
mensionais 
j
, sendo j = 1, 2, 3 e 4). 
 As relações de dependência em (4.3) tornam-se em 
 
 






 ...,
D
t
,
D
e
,
D
b
,,F,, 4321
. (4.4) 
 
 Empregando-se os procedimentos usuais da análise 
dimensional, obtém-se os seguintes parâmetros adimensi-
onais, 
j
: 
 
21 )Dn(
Y

, (4.5) 
 
532 Dn
P


, (4.6) 
 
33 Dn
Q

 (4.7) 
e 
 



2
4
Dn
. (4.8) 
 Sendo 
Dn
 proporcional à u, 
uDn 
, onde 
nDu 
 é a velocidade circunferencial do rotor , obtém-
se, de (4.8), o chamado número de Reynolds, Re, utilizado 
em máquinas de fluxo, ou seja, 
 
 



Du
Re
. (4.9) 
 
 Geralmente, u e D estão relacionados ao diâmetro mais 
externo do rotor. Como exemplo, se a MF é motora e radi-
al, (4.9) torna-se em 
 /DuRe 44
. Nos coeficientes 
(parâmetros) adimensionais que seguem, u e D também 
estão relacionados ao diâmetro mais externo do rotor. 
 
4.3.1 COEFICIENTES ADIMENSIONAIS IMPORTANTES 
 
 a) Coeficiente de pressão, 

 
 Sendo 
uDn 
, 
1
 dado em (4.5) torna-se em 
 
 
21 u
Y

, 
 
onde 
TY Hg p /   
. 
 Define-se, na literatura, o coeficiente de pressão, 

, 
por 
 
 
2u
Y2

 (4.10.a) 
ou 
 
T
2
2 p
u

 

. (4.10.b) 
 
 b) Coeficiente de vazão, 

 
 Sendo 
AcQ m
 e 
2DA
, obtém-se 
2
mDcQ
. 
Como 
23 D)Dn(Dn 
 e 
uDn 
, resulta 
23 DuDn 
. 
Logo, (4.7) torna-se em 
 
 
u
cm
3 
 . (4.11) 
 
 O coeficiente de vazão, 

, é definido por 
 
 
u
cm

. (4.12) 
 
 c) Coeficiente de volume, 

 
 O coeficiente de volume, 

, é definido como sendo a 
relação entre a vazão, Q, da máquina de fluxo e uma va-
zão fictícia, 
AuQf 
, isto é, 
 
 
)4/D(u
Q
Au
Q
Q
Q
2
f 

. (4.13) 
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 O coeficiente de volume, 

, dado em (4.13), assume 
as seguintes formas: 
 
 
322 Dn
Q4
Du
Q4




. (4.14) 
 
 d) Coeficiente de potência, 

 
 Considerando o parâmetro adimensional,2
, e a po-
tência útil (potência hidráulica), 
YQPh 
, pode-se es-
crever (4.6) da seguinte forma: 
 
 





 3132532 Dn
Q
)Dn(
Y
Dn
P
. (4.15) 
 
 Define-se o coeficiente de potência útil, 

, por 
 
 

. (4.16) 
 
 Para MF geradora (MFG) e MF motora (MFM), tem-
se, respectivamente, 
 /PhPe
 e 
 PhPe
. 
 Considerando (4.16), obtém-se os seguintes coeficien-
tes de potência (coeficientes de potência de eixo): 
 
 



 (MFG) (4.17.a) 
e 
 

 (MFM). (4.17.b) 
 
 e) Coeficiente de diâmetro, 

 
 Os parâmetros adimensionais 
1
 e 
3
 podem ser 
combinados de modo que o diâmetro, D, apareça elevado 
ao expoente 1 (um), resultando o coeficiente de diâmetro, 

, ou seja, 
 
 
2/1
4/1



. (4.18) 
 
 Substituindo (4.10.a) e (4.14) em (4.18), resulta 
 
 D
Q
Y
054,1D
Q
Y
4
2
Du
Q4
u
Y2
2/1
4/1
2/1
4/1
2/1
2/14/1
2/1
2
4/1
2
















 
 (4.19) 
 
 f) Coeficiente de ligeireza, 

 
 Combinando, novamente, os parâmetros adimensionais 
1
 e 
3
, de modo que a rotação, n, apareça elevada ao 
expoente 1 (um), resulta o coeficiente de ligeireza, 

, 
dado por 
 
 
4/3
2/1



. (4.20) 
 
 Substituindo (4.10.a) e (4.14) em (4.20), resulta 
 

qn
4/3
2/1
4/3
2/1
4/3
2/12/1
4/3
2
2/1
2
n
Y
Q
108,2n
Y
Q
2
4
u
Y2
Du
Q4
















 . 
 (4.21) 
 
 Em (4.21), 
qn
 representa a rotação específica referen-
te `a vazão. Essa grandeza adimensional será abordada no 
Item 4.4. 
 Cordier (1955) plotou os pares de pontos 
),( 
 de 
diversas modalidades de máquinas de fluxo construídas 
por diversos fabricantes. Verificou que tais pontos se loca-
lizam sobre uma curva (ou faixa) de otimização. De posse 
do diagrama de Cordier, Figura 4.2, pode-se construir 
máquinas de fluxo otimizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 Diagrama de Cordier (Dietzel, 1980). 
 
 
 No caso de máquinas de fluxo geometricamente seme-
lhantes, as relações 
D/L i
 têm um fator de escala cons-
tante. Desta forma, a dependência entre os coeficientes 
adimensionais é dada por 
 
 
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 )geométricasemelhança(
Re),(
Re),(
Re),(











. (4.22) 
 
 Na prática, devido, principalmente, ao efeito da rugo-
sidade, não é possível obter semelhança geométrica perfei-
ta. No entanto, esse efeito pode ser desprezado dentro de 
certos limites, e a dependência entre os coeficientes adi-
mensionais, estabelecida em (4.22), pode ser utilizada 
para caracterizar a semelhança geométrica. 
 
 Para máquinas de fluxo geometricamente semelhantes, 
 os efeitos do número de Reynolds são considerados efeitos 
de escala, e podem ser desprezados numa primeira apro-
ximação. Nesse caso, (4.22) assume a seguinte forma: 
 
 











)(
)(
)(
. (4.23) 
 
4.3.2 LEIS DE AFINIDADE 
 
 As relações funcionais em (4.23) fornecem as bases 
para o estabelecimento das leis de semelhança das máqui-
nas de fluxo. Além disso, servem para avaliar as condições 
de funcionamento de uma determinada máquina de fluxo 
na região próxima ao rendimento total máximo. 
 Ocorre semelhança dinâmica entre duas situações físi-
cas geometricamente semelhantes, quando todos os parâ-
metros (coeficientes) adimensionais são os mesmos nessas 
duas situações. Considerando (4.23), as leis de semelhan-
ça dinâmica para as máquinas de fluxo são dadas por 
 
 
,dinâmicae
geométricassemelhança
21
21
21
21















 (4.24) 
 
onde os índices 1 e 2 representam duas situações distintas. 
 Na prática, os efeitos de escala afetam mais o rendi-
mento, , do que propriamente a vazão, Q (obtida do coe-
ficiente de vazão, ), e o trabalho específico, Y (obtido do 
coeficiente de pressão, ). 
 Considerando os coeficientes adimensionais dados em 
(4.10.a), (4.12) e (4.17), e as leis de semelhança dadas em 
(4.24), obtém-se as relações de semelhança conhecidas 
como Leis de Afinidade, isto é, 
 
 3
2
1
2
1
2
1
D
D
n
n
Q
Q









, (4.25.a) 
 
 2
2
1
2
2
1
2
1
D
D
n
n
Y
Y

















, (4.25.b) 
 
 5
2
1
3
2
1
2
1
2
1
D
D
n
n
P
P



















 (4.25.c) 
e 
 
1
2
1 


 

 
21 
. (4.25.d) 
 
 As leis de afinidade em (4.25) são válidas para máqui-
nas de fluxo geometricamente semelhantes, desde que as 
variações do número de Reynolds, Re, não sejam signifi-
cativas. A relação (4.25.d) indica que, para pontos corres-
pondentes, o rendimento total da máquina de fluxo é o 
mesmo, o que só se verifica como aproximação, já que os 
efeitos das variações de Re podem ser significativos, como 
salientado anteriormente. 
 
 CASOS PARTICULARES DAS LEIS DE AFINIDADE: 
 
 a) Situação de uma mesma máquina de fluxo 
 operando em diversas rotações 
 
 Nesse caso, tem-se 
21 DD 
 e as leis de afinidade em 
(4.25) tornam-se em 
 
 
2
1
2
1
n
n
Q
Q

, (4.26.a) 
 2
2
1
2
1
n
n
Y
Y









 (4.26.b)
 
 3
2
1
2
1
2
1
n
n
P
P











. (4.26.c) 
 
 Eliminando a relação de rotações, 
21 n/n
, em (4.26.a) 
e (4.26-b), resulta 
 
 2/1
2
1
2
1
Y
Y
Q
Q









 (4.27.a) 
e 
 
2
12
2
2
1 Q
Q
Y
Y 
 ou 
2
1D1 QkY 
. (4.27.b) 
 
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 A constante dimensional 
Dk
 é determinada pelos va-
lores fixos de referência estabelecidos, por exemplo, 
2Q
 e 
2Y
 indicados na Figura 4.5. De um modo geral, tem-se a 
seguinte dependência: 
 
 
2
D QkY 
. (4.28) 
 
 A equação (4.28) representa o lugar geométrico (em 
formato de parábola) de pares de pontos, (Q, Y), corres-
pondentes às situações de diferentes rotações, conforme a 
Figura 4.3. 
 
 
 b) Situação de máquinas de fluxo geometricamente 
 semelhantes operando com a mesma rotação 
 
 Nesse caso, tem-se 
21 nn 
 e as leis de afinidade em 
(4.25) tornam-se em 
0
0 Q
Y
Y = k
D 
Q
2
n
3
n
2
n
1
 Figura 4.3 Características de uma bomba centrífuga 
 operando em diversas rotações. 
 
 
 3
2
1
2
1
D
D
Q
Q









, (4.29.a) 
 2
2
1
2
1
D
D
Y
Y









 (4.29.b) 
e 
 5
2
1
2
1
2
1
D
D
P
P











. (4.29.c) 
 
 Eliminando a relação de diâmetros, 
21 D/D
, em 
(4.29.a-b), resulta 
 
 2/3
2
1
2
1
Y
YQ
Q









 (4.30.a) 
e 
 
 
3/2
13/2
2
2
1 Q
Q
Y
Y 
 ou 
3/2
1n1 QkY 
. (4.30.b) 
 
 A constante dimensional 
nk
 é determinada pelos valo-
res fixos de referência estabelecidos, por exemplo 
2Q
 e 
2Y
 indicados na Figura 4.4. De um modo geral, tem-se a 
seguinte dependência: 
 
 
3/2
n QkY 
. (4.31) 
 
 A equação (4.31) representa o lugar geométrico, Figu-
ra 4.4, de pares de pontos, (Q, Y), correspondentes às si-
tuações de diferentes diâmetros, porém com a mesma ro-
tação. 
Q
Y
0
0
Y = k
n 
Q
2/3
D
3
D
2
D
1
 Figura 4.4 Características de uma bomba centrífuga 
 operando a mesma rotação. 
 
 
 As equações (4.29), (4.30) e (4.31) podem ser utiliza-
das para prever o comportamento de uma máquina de flu-
xo na qual se efetue reduções de diâmetro (em geral, o 
diâmetro externo do rotor de máquinas de fluxo radiais). 
Esta técnica é bastante utilizada na fabricação em série de 
bombas radiais (centrífugas). Reduções no diâmetro exter-
no inferiores a 10% conservam, aproximadamente, os ân-
gulos do escoamento na saída do rotor, de tal modo que se 
possa admitir condições de semelhança geométrica manti-
das. 
 
 
4.4 ROTAÇÕES ESPECÍFICAS 
 
 Como mencionado anteriormente, mais coeficientes 
adimensionais podem ser obtidos da combinação dos pa-
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râmetros  já determinados. Estabelecendo uma combina-
ção entre os parâmetros 
1
 e 
3
, dados, respectivamente, 
em (4.5) e (4.7), obtém-se um novo parâmetro adimensio-
nal. Considera-se que esse parâmetro não dependa do di-
âmetro, D, e que a rotação, n, do rotor tenha como expo-
ente o valor 1 (um). Desta forma, tem-se 
 
 
0ba
b
3
a
2
b
3
a
15 DQYn
Dn
Q
)Dn(
Y













 
ou 
 
 
0baa2b3baa2b DQYnDQYn 
, 
 
resultando a = - 3/4 e b = 1/2. 
 Então, o parâmetro adimensional 
5
 torna-se em 
 
 
q4/3
2/1
5 n
Y
Q
n 
. (4.32) 
 
 Esse novo parâmetro, denominado rotação específica 
referente à vazão ou simplesmente rotação específica, 
é muito útil no estudo das máquinas de fluxo. Como pode 
ser observado, tal parâmetro não está relacionado com as 
dimensões físicas da máquina de fluxo, mas sim com as 
suas grandezas de funcionamento: rotação, n, vazão, Q, e 
trabalho específico, Y. O valor desse parâmetro pode ser 
determinado sem que se conheça o tamanho da MF. 
 Se diz que a rotação específica, 
qn
, é a razão de seme-
lhança entre as máquinas de fluxo, ou seja, para que duas 
máquinas de fluxo sejam semelhantes, basta que apresen-
tem semelhança geométrica e que operem com a mesma 
rotação específica. 
 Vale observar que os valores de n, Q e Y, em (4.32), 
são os correspondentes à situação de rendimento total má-
ximo da máquina de fluxo. Para se obter a rotação especí-
fica de máquinas de fluxo com mais de um estágio, o tra-
balho específico total, Y*, deve ser dividido pelo número 
de estágios, N, isto é, Y = Y*/N. Para máquinas de fluxo 
de duas entradas (duplas), a vazão total, Q*, deve ser di-
vidida por 2, ou seja, Q = Q*/2. 
 
 
 Significado físico da rotação específica 
 
 O significado físico da rotação específica pode ser en-
tendido tomando-se uma máquina de fluxo específica, de 
diâmetro 
qD
, semelhante a uma máquina de fluxo gené-
rica de diâmetro D, Figura 4.5. Quando pela máquina de 
fluxo específica estiver escoando um fluido com vazão de 
1 m3/s e ela estiver trocando com o fluido um trabalho 
(energia) específico de 1 J/kg, o valor numérico da sua 
rotação, em rps, será igual ao valor numérico de 
qn
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 Esquemas de máquinas de fluxo semelhantes. 
 
 
 Como o valor da rotação específica, 
qn
, obtido de 
(4.32), conduz a resultados muito pequenos para qualquer 
tipo de máquina de fluxo, Addison (1955) propôs o fator 
multiplicativo 
310
, ou seja, 
 
4/3
2/1
3
q
3
qA
Y
Q
n10n10n 
. (4.33) 
 No SI (Sistema Internacional de Unidades), tem-se 
)rps(n
, 
)s/m(Q 3
 e 
)kg/J(Y
. 
 As Figuras 4.8.a-e mostram a importância da rotação 
específica no pré-dimensionamento de diversos tipos de 
máquinas de fluxo hidráulicas. 
 
 Outras rotações específicas: 
 
 1) Rotação específica referente à vazão 
 A rotação específica em (4.32) pode ser escrita na se-
guinte forma: 
 
 
4/3
2/1
q
)gH(
Q
nn 
 (grandeza adimensional). 
 
 Considerando a aceleração da gravidade, g, constante 
para duas máquinas de fluxo geometricamente semelhan-
tes, pode-se eliminá-la da expressão acima, resultando 
 
 
4/3
2/1
tq
H
Q
nn 
 (grandeza dimensional). (4.34) 
 
 Vale observar que, quando elimina-se g de (4.32), 
(4.34) deixa de ser adimensional. 
 Normalmente, a rotação específica, 
tqn
, estabelecida 
em (4.34), é utilizada na literatura quando se adota o Sis-
tema Técnico de Unidades. As unidades empregadas são 
)rpm(n
, 
)s/m(Q 3
 e 
)m(H
. 
 
 2) Rotação específica referente à potência 
 Combinado os parâmetros adimensionais 
1
 e 
2
, 
dados, respectivamente, em (4.5) e (4.6), obtém-se 
 
 
4/5
2/1
4/52/14/5
2
2/1
53
4/5
1
2/1
2
6
H
P
n
g
1
)Dn(
gH
Dn
P


















 
 
 Eliminando o termo 
4/52/1 g/1 
, resulta 
 
 
4/5
2/1
ts
H
P
nn 
 (grandeza dimensional). (4.35) 
 
 Novamente, quando elimina-se 
4/52/1 g/1 
, (4.35) 
deixa de ser adimensional. 
Dq 
Y = 1 J/kg 
Q = 1 m3/s nq 
D 
Y 
Q n 
 UNILA MÁQUINAS DE FLUXO Capítulo 4: Semelhança Aplicada às Máquinas de Fluxo 
 
 A expressão (4.35) é a rotação específica referente à 
potência, 
tqn
, e é, normalmente, utilizada com as unida-
des do Sistema Técnico, isto é, 
)rpm(n
, 
)CV(P
 e 
)m(H
. 
 
 
4.5 GRANDEZAS UNITÁRIAS 
 
 Considera-se a existência de uma máquina de fluxo 
com características adimensionais de diâmetro, trabalho 
específico e massa específica iguais a 1. As grandezas 
operacionais dessa máquina de fluxo  denominada de 
máquina unitária  são chamadas de grandezas unitárias e 
designadas pelo índice 11 (um-um). Se a máquina de flu-
xo as- 
 
 
 
sim concebida manter condições de semelhança com a 
máquina de fluxo original, suas grandezas podem ser de-
terminadas utilizando-se as leis de afinidade. 
 
Máquina Original Máquina Unitária 
 n (rps) n11 ( - ) 
 Q (m3/s) Q11 ( - ) 
 Y (J/kg) Y11 = 1 
 P (W) P11 ( - ) 
  (kg/m3) 11 = 1 
 D (m) D11 = 1 
 
 Considerando as leis de afinidade dadas em (4.25), 
obtém-se 
 
2
11
2
1111 D
D
n
n
Y
Y

















 

 
2/111 Y
Dn
n 
, (4.36.a) 
3
111111 D
D
n
n
Q
Q









 

 
22/111 DY
Q
Q 
 (4.36.b) 
e 
5
11
3
111111 D
D
n
n
P
P



















 

 
22/311 DY
P
P


 (4.36.c)Observa-se, de (4.36. a-c), que 
11n
, 
11Q
 e 
11P
 são 
grandezas adimensionais. 
 A rotação específica da máquina de fluxo unitária, 
11qn
, é 
 
1/ 21/ 2 1/ 2
11
q11 11 q3/ 4 1/ 2 1/ 2 2 3/ 4 3/ 4
11
Q n D Q 1 Q
n n n n
Y Y Y D 1 Y
 
    
 
 
 
 Portanto, a rotação específica da MF unitária é igual 
àquela da MF original, como é de se esperar, visto que 
ambas são MF geometricamente semelhantes. 
 
 
4.6 RENDIMENTO DO MODELO E DO 
 PROTÓTIPO (PARA A PROVA 2) 
 
 O estudo feito no Item 2.3.2, Eqs. (2.25.a-d), não leva 
em consideração a viscosidade e, portanto, o número de 
Reynolds, para que, além da semelhança geométrica, fosse 
obtida a semelhança dinâmica perfeita. Em conseqüência, 
a Eq. (2.25.d) não é válida para duas máquinas de fluxo 
geometricamente semelhantes, típicas de protótipos e mo-
delos, ou seja, rendimentos de protótipos têm rendimentos 
maiores que os seus respectivos modelos (modelos reduzi-
dos). 
 Para a previsão do rendimento do protótipo (P), obtido 
do rendimento do ensaio do modelo (M), utiliza-se fórmu-
las empíricas disponíveis na literatura técnica, Vivier 
(1966). Essas fórmulas são conhecidas como fórmulas de 
transposição e têm a seguinte forma geral: 
 
 



























n
P
M
m
P
M
M
P
H
H
D
D
1k1
1
1
, (4.37) 
 
onde k, m e n são constantes, e D e H representam o diâ-
metro característico (normalmente, o maior diâmetro ex-
terno do rotor ou o diâmetro médio externo do rotor) e a 
altura efetiva (altura de energia). 
 Considerando (4.37), tem-se as seguintes fórmulas de 
transposição clássicas: 
 
Moody I: 
1k 
, 
25,0m 
 e 
0n 
, resultando 
 
 25,0
P
M
M
P
D
D
1
1











. (4.38) 
 
Moody II: 
1k 
, 
25,0m 
 e 
01,0n 
, resultando 
 
 01,0
P
M
25,0
P
M
M
P
H
H
D
D
1
1



















. (4.39) 
 
Medici: 
1k 
, 
25,0m 
 e 
1,0n 
, resultando 
 
 1,0
P
M
25,0
P
M
M
P
H
H
D
D
1
1



















. (4.40) 
 
Ackeret: 
5,0k 
, 
2,0m 
 e 
1,0n 
, resultando 
 
 



























1,0
P
M
2,0
P
M
M
P
H
H
D
D
15,01
1
1
 
 

















2,0
P
M
Re
Re
15,01
. (4.41) 
E 
user
Riscado
 UNILA MÁQUINAS DE FLUXO Capítulo 4: Semelhança Aplicada às Máquinas de Fluxo 
 
 
 
4.7 APLICAÇÕES 
 
 1) Se um ventilador com diâmetro externo de 200 mm 
fornece uma vazão de 
min/m22 3
 a 2400 rpm, que vazão 
em 
min/m3
 poderia ser esperada para um ventilador ge-
ometricamente semelhante com diâmetro externo de 400 
mm a 1760 rpm? 
 
 Solução: 
 
 Considerando (2.25.a): 
 
 3
2
1
2
1
2
1
D
D
n
n
Q
Q









 
 
obtém-se 
 
min
m
067,129
200
400
2400
1760
22
D
D
n
n
QQ
33
3
1
2
1
2
12 














. 
 
 2) Um ventilador apresenta as seguintes característi-
cas: De = 400 mm, n = 3495 rpm,  = 2,9 e  = 1,2. De-
termine: (a) o tipo de ventilador quanto à configuração do 
escoamento, (b) os coeficientes de pressão e de volume e 
(c) o trabalho específico e a vazão do ventilador. 
 
 Solução: 
 
 (a) O coeficiente de ligeireza, , dado em (4.21), for-
nece 
 
 
376,1
108,2
9,2
108,2
n q 


. 
 
 Considerando (4.33), obtém-se 
 
 
1376376,110n10n 3q
3
qA 
. 
 
 Como o valor da rotação específica, 
1376nqA 
, e o 
gráfico da Figura 4.8.g, o ventilador é de fluxo axial. 
 
 (b) Combinado (4.18) e (4.20), tem-se 
 
 
083,0
)2,19,2(
1
)(
1
22





. 
 
 Utilizando, por exemplo, (4.18), obtém-se 
 
 
2,0
2,1
083,0
2
2/1
2
2/1




. 
 
 (c) Utilizando (2.10.a) com D = De (diâmetro externo 
do rotor), e sendo u =  D n, tem-se 
 
 
 
kg/J2,221
2
)60/34944,0(083,0
2
u
Y
22
e 




. 
 
 Utilizando (4.14), obtém-se 
 
s
m
836,1
4
)60/34954,0(4,0
2,0
4
uD
Q
32
2
2





 
 3) Uma turbina Francis deverá apresentar as seguintes 
condições: 
kg/J1090Y 
, 
rpm250n 
, D = 2350 
mm, Pe = 37500 kW e  = 90 %. Para os ensaios foi 
construído um modelo com 
mm320DM 
 que, quando 
ensaiado 
com 
kg/J147YM 
, apresentou 
%80M 
. Determi-
ne: (a) as grandezas unitárias da turbina protótipo (P) e 
(b) a vazão e a potência de eixo da turbina modelo (M). 
 
 Solução: 
 
 (a) Conforme (2.36.a): 
 
297,0
1090
35,2
)60/250(
Y
Dn
n
2/12/111

. 
 
 Sendo 
 YQPhPe
, tem-se 
 
 
s/m23,38
9,0109010
1037500
Y
Pe
Q 3
3
3






 . 
 
 Conforme (4.36.b): 
 
 
210,0
35,21090
23,38
DY
Q
Q
22/122/111



. 
 
 Conforme (4.26.c): 
 
 
3
11 11 3/ 2 2 3 3/ 2 2
Pe / 37500 10 / 0,90
P Ph 0,210
Y D 10 1090 2,35
 
   
  
. 
 
 O valor numérico da potência hidráulica unitária (P11 
= Ph11 = 0,210) igual ao valor numérico da vazão unitária 
(Q11 = 0,210) é um resultado esperado, visto que o traba-
lho específico unitário, Y11, e a massa específica unitária, 
11, por definição, são iguais a 1. 
 
 (b) Considerando (4.36.b), obtém-se 
 
 
1/ 2 2 1/ 2 2 3
M 11 M MQ Q Y D 0,210 147 0,32 0,260 m /s    
. 
 
 A potência de eixo do modelo é 
 
3
M M M M MPe Q Y 10 0,260 147 0,80 30611 W       
.