ANÁLISE DIMENSIONAL DAS TURBOMÁQUINAS

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Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências 
Departamento de Engenharias e Tecnologias 
Curso de Engenharia Mecânica 
 
 
MÁQUINAS DE FLUXO 
 
 
Análise Dimensional das Turbomáquinas 
 
TURMA: EMC7 –Tarde 
4º ano 
Euclides Bande – 20170008 
 
 
 
 
 
 Docente 
______________________________________ 
 Aerobindo Vandúnem 
 
 
 
 
 
Luanda, Dezembro de 2020
II 
 
Índice 
Introdução ......................................................................................................................... 3 
Objectivo geral: ............................................................................................................. 5 
Objectivos específicos: ................................................................................................. 5 
Análise Dimensional ........................................................................................................ 6 
O Teorema pi de Buckingham ...................................................................................... 6 
Determinação dos Grupos Π ......................................................................................... 6 
Grandezas Características do Funcionamento das Turbomáquinas .............................. 8 
Propriedades do fluido .................................................................................................. 8 
Semelhança das Turbomáquinas .................................................................................... 10 
Teoria das máquinas de fluxo semelhantes ................................................................. 10 
Conclusão ....................................................................................................................... 24 
Referências bibliográficas .............................................................................................. 25 
 
3 
 
Introdução 
 
Muitos problemas práticos de escoamento de fluidos são muito complexos, tanto 
geometrica quanto fisicamente, para serem resolvidos de maneira analítica. Eles devem 
ser testados por experimentos ou aproximados pela dinâmica dos fluidos computacional 
(Computational Fluid Dynamics – CFD). Os resultados são tipicamente apresentados 
como dados experimentais ou dados numéricos e curvas ajustadas. Estes têm uma 
generalidade muito maior se forem expressos em forma compacta. Esse é o objetivo da 
análise dimensional. A técnica é um pilar importante das máquinas de fluidos e é também 
amplamente utilizada em todos os campos da engenharia. 
Basicamente, a análise dimensional é um método para reduzir o número e a complexidade 
das variáveis experimentais que afetam um dado fenômeno físico, pela aplicação de um 
tipo de técnica de compactação. Se um fenômeno depende de n variáveis dimensionais, a 
análise dimensional reduzirá o problema a apenas k variáveis adimensionais, em que a 
redução n - k = 1, 2, 3 ou 4, dependendo da complexidade do problema. Geralmente, n 2 
k é igual ao número de dimensões diferentes (às vezes chamadas de dimensões básicas 
ou primárias ou fundamentais) que regem o problema. 
Embora sua finalidade seja reduzir as variáveis e agrupá-las em forma adimensional, a 
análise dimensional tem vários benefícios adicionais. O primeiro deles é uma grande 
economia de tempo e dinheiro. 
Outro benefício adicional da análise dimensional é que ela ajuda nosso raciocínio e 
planejamento para um experimento ou uma teoria. Ela sugere maneiras adimensionais de 
escrever equações antes de gastarmos dinheiro em análises numéricas para encontrar 
soluções. Ela sugere variáveis que podem ser descartadas; às vezes a análise dimensional 
rejeitará imediatamente certas variáveis, ou irá agrupá-las em separado, de modo que 
alguns testes simples mostrarão que elas não são importantes. Por fim, a análise 
dimensional irá fornecer-nos, com frequência, uma excelente visão da forma da relação 
física que estamos tentando estudar. 
Um terceiro benefício é que a análise dimensional fornece as leis de escala que permitem 
converter dados de um modelo pequeno e barato para obter as informações para um 
protótipo maior e caro. 
4 
 
Não precisamos construir um avião de um milhão de dólares para ver se ele tem ou não 
uma força de sustentação suficiente. Medimos a força de sustentação em um pequeno 
modelo e usamos a lei de escala para prever a força de sustentação em um protótipo do 
tamanho natural. Há algumas regras que precisamos explicar para determinar as leis de 
escala, o mesmo aplica-se para as máquinas de fluxo. Quando a lei de escala é válida, 
dizemos que existe uma relação de semelhança entre o modelo e o protótipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Objectivo geral: 
• Fazer a análise dimensional para as Turbomáquinas 
Objectivos específicos: 
• Desenvolver uma melhor compreensão das dimensões; 
• Entender os numerosos benefícios da análise dimensional; 
• Entender os conceitos de semelhança e como aplica-las em modelagem 
experimental das turbomáquinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Análise Dimensional 
 
O Teorema pi de Buckingham 
 
Primeiramente, determina-se um grupo de propriedades julgadas pertinentes ao estudo da 
situação, uma função 𝐹 genérica irá conter essas variáveis. Todas são visualizadas como 
um parâmetro qualquer 𝑞 contido em uma função 𝑔, juntamente a outras propriedades 
contidas na função 𝑞. Logo, para 𝑛 parâmetros: 
 𝑔(𝑞!, 𝑞2, … , 𝑞𝑛) = 0 
Esses parâmetros dimensionais podem ser transformados em parâmetros adimensionais 
Π, em uma quantidade 𝑛 − 𝑚, onde 𝑚 é o número mínimo de dimensões independentes 
associadas, chamados de parâmetros repetentes. Os últimos quando combinados os 
parâmetros restantes do domínio de 𝑔 formam Π, definido formalmente por: 
 𝐺(Π1, Π2, … , Π𝑛−𝑚) = 0 
Em que cada Π pode deduzir-se um conjunto de propriedades em uma função, como para 
Π1 e 𝐺1: 
 Π1 = 𝐺1(Π2, … , Π𝑛−𝑚) 
onde a relação entre 𝐺 e 𝐺1 apenas deve ser obtida por meio experimental; e os Π são 
independentes quando obtidos pelo meio descrito. Quando formando pela combinação 
entre outros parâmetros Π, o parâmetro resultante não é considerado independente. O 
procedimento de escolha dos grupos Π é relativamente simples, no entanto, exige um 
apropriado conhecimento das propriedades físicas e geométricas, alguns problemas 
podem parecer exigir muitas características. 
Determinação dos Grupos Π 
 
• Passo 1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos. 
• Passo 2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) 
• Passo 3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões 
primárias. 
• Passo 4. Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua 
todas as dimensões primárias. 
7 
 
• Passo 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados 
no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a 
fim de formar grupos dimensionais. 
• Passo 6. Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional. 
Exemplo 
A potência P fornecida a uma bomba centrífuga é uma função da vazão volumétrica Q, 
do diâmetro do rotor D, da velocidade de rotação Ω, da massa específica ρ e da 
viscosidade μ do fluido: 
 
Reescreva isso na forma de uma relação adimensional. Usaremos Ω, ρ e D como 
variáveis repetitivas. 
 
 
 
 
 
Resolvendo algebricamente obtemos a = –3, b = –1 e c = –5. Esse primeiro grupo pi, a 
variável adimensional resultante, é chamado de coeficiente de potência de uma bomba, 
CP: 
 
Combinando (Ω, ρ, D) com a vazão Q para encontrar o segundo grupo pi: 
 
Após equacionar os expoentes, encontramos agora a = –1, b = 0 e c = –3. Esse segundo 
grupo pi é chamado de coeficiente de vazão deuma bomba, CQ: 
8 
 
 
Combinando (Ω, ρ, D) com a viscosidade μ para encontrar o terceiro e o último grupo pi: 
 
 
Grandezas Características do Funcionamento das Turbomáquinas 
 
O funcionamento de uma Máquina Hidráulica está diretamente associado a grandezas que 
mantém uma certa dependência entre si. Estas grandezas são denominadas grandezas 
características do funcionamento. Entre elas podemos citar: 
Grandezas geométricas: 
 D ≡ dimensão geométrica característica, escolhida como principal 
 Li ≡ demais dimensões geométricas lineares, i =1, 2, 3, ..., n 
 α≡ ângulos das pás do estator ou a ≡ abertura do estator 
 β≡ ângulos das pás do rotor 
 
 Propriedades do fluido: 
 ρ ≡massa específica 
 μ ≡ viscosidade dinâmica 
Grandezas de controle: 
 Q ≡ vazão ou m 
 n ≡ rotação 
Grandezas de funcionamento dependentes: 
 Y ≡ energia específica 
9 
 
 Ph ≡ potência hidráulica 
 Pef≡ potência de eixo 
 M ≡ momento de eixo ou torque, Me =
𝑃𝑒
𝑤
 
 η ≡ rendimento goba , η=(
𝑃ℎ
𝑃𝑒
)
±1
 
Um grande número de variáveis está envolvido no estudo das máquinas de fluxo. Desta 
forma uma análise dimensional pode ser útil para reduzir esse número de variáveis. Os 
parâmetros adimensionais resultantes de uma análise dimensional são importantes para 
se prever a performance de grupos de máquinas semelhantes com será descrito 
posteriormente. Pode-se, então, no caso de uma turbina hidráulica, definir que a potência 
de saída é função das seguintes variáveis para uma dada abertura das pás do distribuidor 
e um determinado ângulos das pás do rotor, forma: 
𝑃𝑒𝑓 = 𝑓(𝑄, 𝑛, 𝐷, 𝑌, 𝜌, 𝜇) 
Desta forma pode-se escrever que 
𝑃𝑒𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑄𝑎𝑛𝑏𝐷𝑐𝑌𝑑𝜌𝑒𝜇 𝑓 
Se cada variável é expressa em termo de suas dimensões fundamentais, massa M, 
comprimento L e tempo T, então para homogenidade dimensiona cada lado da equação 
acima tende ter a mesma potência, deste modo: 
𝑀L2
𝑇3
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (
L3
𝑇
)
𝑎
(
1
𝑇
)
𝑏
(L)𝑐 (
L2
𝑇2
)
𝑑
(
𝑀
L3
)
𝑒
(
𝑀
LT
)
𝑓
 
 Resolvendo pelo de Buckingham temos os seguintes números adimensional: 
∅ =
𝑄
𝑛𝐷3
≡ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑎𝑜 
ψ =
Y
n2D2
≡ coeficiente de pressão 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢𝐷
𝜇
≡ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜l𝑑𝑠 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑢 
𝜆 =
𝑃𝑒
𝜌𝑛3𝐷5
≡ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
De maneira similar outros grupos dimensionais podem ser obtidos, temos como exemplos: 
 Coeficiente de momento M ∗=
Me
ρn2D5
 
Abertura reativa 𝑎∗ =
𝑎
𝑎𝑜
 
Razões geometricas :
𝐿1
𝐷
 
10 
 
Semelhança das Turbomáquinas 
Testes experimentais de protótipos em tamanho real nem sempre são viáveis, seja por 
restrições técnicas ou de custo. Quando isto ocorre, a única forma de avaliar o 
comportamento do protótipo é através de testes de modelos em laboratório. 
A teoria dos modelos (theory of models) possibilita o estudo de modelos 
reduzidos/aumentados de máquinas de fluxo, com o objetivo de diminuir o risco de 
execução errônea das máquinas de grande/pequeno porte. Pode também ser usada para 
avaliar o comportamento de máquinas de fluxo ditas semelhantes. 
Para garantir que o teste do modelo seja útil para prever o comportamento do protótipo, 
é necessário que alguns requisitos sejam respeitados. Estas regras que garantem a 
similaridade entre o modelo e o protótipo serão vistas nesse trabalho. 
Teoria das máquinas de fluxo semelhantes 
 
A teoria da semelhança diz que duas máquinas de fluxo são semelhantes (ou fisicamente 
similares) se, com diferentes características de projeto (n, D, etc), submetidas a diferentes 
condições operacionais (Q, H, ρ, μ), guardarem entre si semelhanças geométricas, 
cinemáticas e dinâmicas. 
A completa semelhança física de condições operacionais requer: 
1. Semelhança geométrica; 
2. Semelhança cinemática; 
3. Semelhança dinâmica. 
 
Figura 1: Máquinas semelhantes, protótipo e modelo reduzido 
Semelhança Geométrica 
Para ter utilidade, um teste de modelo deve resultar em dados que possam, por meio de 
transposição de escala, fornecer forças, momentos e cargas dinâmicas que existiriam no 
11 
 
protótipo em tamanho real. Das condições exigidas para tal, a mais óbvia é a semelhança 
geométrica. 
A semelhança geométrica requer que modelo e protótipo tenham a mesma forma, que 
suas dimensões lineares respeitem um factor de escala constante, que exista igualdade de 
ângulos, e que não ocorra nenhuma omissão ou adição das partes. 
Considerando duas máquinas de fluxo (MF’ e MF”) geometricamente semelhantes, 
trabalhando sob alturas de queda (ou elevação) H’ e H”, com diâmetros D4’ e D4”, e com 
alturas de pás b’ e b”, a relação de semelhança geométrica, definido pelo factor de escala 
“λ” será: 
 
Desta forma a relação das áreas será: 
 
Além da semelhança geométrica, os ângulos construtivos devem ser iguais. 
 
Semelhança Cinemática 
A condição de semelhança cinemática impõe que as velocidades e acelerações em pontos 
correspondentes devem ser vetores paralelos e devem ter relações constantes entre seus 
módulos. Desta forma os triângulos de velocidades de duas máquinas cinematicamente 
semelhantes devem ser semelhantes em pontos correspondentes (ou homólogos). 
Considerando semelhantes os triângulos de velocidades traçados a partir dos pontos 
homólogos (semelhantes) M” e M’ mostrados na Fig.2, situados sobre as pás de duas 
máquinas de fluxo MF” e MF’ geometricamente semelhantes, tem‐se: 
 
A relação “K” chama‐se razão de semelhança cinemática e é constante para qualquer 
posição homóloga dos pontos M” e M’. Máquinas cinematicamente semelhantes são 
também geometricamente semelhantes. 
12 
 
 
Figura 2: Máquinas geometricamente semelhantes 
Utilizando a equação de Euler (ou equação fundamental das máquinas de fluxo): 
 
Aplicando esta equação à duas máquinas de fluxo semelhantes MF” e MF’, tem‐se: 
 
Multiplicando os dois lados da Eq.(8.6) por K2 e substituindo “K” do lado direito por 
suas respectivas relações dadas pela Eq.(4): 
 
Pode‐se verificar que: 
 
Lembrando que: 
 
O coeficiente “a” é igual para máquinas geometricamente semelhantes, então: 
 
Ou ainda, levando em conta que a energia teórica (Ht) e as perdas internas (“Jh”) estão 
relacionadas à energia hidráulica (H) efetivamente entregue ao fluido por: 
 
Sendo Jh’’ e Jh’ perdas internas de origem hidráulicas, podendo ser proporcionais ao 
quadrado das velocidades, podem ser representadas por: 
 
13 
 
Dividindo uma pela outra, e considerando que as constantes são iguais e usando o 
coeficiente de semelhança cinemática “K” 
 
 
Sabendo que a perda hidráulica está relacionada com a perda de carga (Hp) que é função 
de: 
 
As constantes serão função de: 
 
Desta forma, para que as constantes sejam iguais, é necessário que entre as duas 
máquinas: 
a. Tenham a mesma relação L/D; 
b. As rugosidades relativas (e/D) sejam as mesmas; 
c. Acção da gravidade seja a mesma para ambas as máquinas; e 
d. Os números de Reynolds sejam os mesmos. 
Se as máquinas tiverem semelhança geométrica completa (incluindo rugosidade) os itens 
“a” e “b” são respeitados. Se as máquinas trabalham em regiões onde as variações da 
aceleração da gravidade (g) são desprezíveis, então o ítem “c” é respeitado. O ítem “d” 
será respeitado se as máquinas tiverem o mesmo número de Reynolds, para isto basta que 
se respeite a semelhança dinâmica, que será visto a seguir. 
Semelhança Dinâmica 
14 
 
A condição para obtenção da semelhança dinâmica é que tipos idênticos de força sejam 
vetores paralelos e que a relação entre seus módulos seja constante para pontos 
correspondentes. 
 
Duas máquinas de fluxo hidráulicas são dinamicamente semelhantes se houver 
simultaneamente a igualdade do número de Reynolds e do número de Euler1. 
 
De forma a simplificar o estudo dos modelos e protótipos, busca‐se identificar qual das 
forças é preponderante no fenômeno que se quer estudar, ecom base nisto usar o número 
adequado para cada um dos casos. De um modo geral, para máquinas de fluxo, o número 
de Reynolds é a condição mais importante para semelhança dinâmica. 
Os requisitos para semelhança dinâmica são os mais restritivos. A semelhança cinemática 
requer semelhança geométrica. Já a semelhança cinemática é um requisito necessário, 
mas não suficiente, para semelhança dinâmica. 
A semelhança dinâmica entre máquinas geometricamente semelhantes é algumas vezes 
problemática. A igualdade do número de Reynolds e a semelhança geométrica da 
rugosidade, espessura e folgas nem sempre são realizáveis o que acaba afetando o 
rendimento, fenômeno conhecido por efeito de escala. Com isto, a experiência com os 
modelos não permite prever com precisão o rendimento do protótipo. Em alguns casos o 
modelo deve operar com Re menor que o protótipo, resultando em rendimento menor. 
Suponha que o protótipo (“a”) de uma turbina hidráulica seja investigado pelo uso de um 
modelo (“b”) geometricamente semelhante, e 5 vezes menor. Dessa forma a semelhança 
geométrica diz que: 
 
 
1 A semelhança dinâmica exige que todas as forças que são importantes no escoamento sejam consideradas, ou seja, 
de inércia, viscosas, de pressão, de tensão superficial, de compressibilidade e outras. Nesse caso foram consideradas 
somente as forças de inércia, viscosas e de pressão. 
15 
 
Supondo que o mesmo fluido será usado e que pretenda‐se observar a semelhança 
dinâmica, ou seja, os Re devem ser iguais nos dois casos: 
 
Supondo que o protótipo terá rotação de 600 rpm, o modelo que será usado deverá ter 
uma rotação de: 
 
Valor que é inaceitável para uma turbina. Logo, o modelo que será avaliado deve trabalhar 
com um Re menor que o protótipo, o que implica em rendimento também menor. 
Consideração sobre as diferenças de rendimentos 
Considerando o rendimento hidráulico (ηh) de uma máquina de fluxo dado por, 
 
 
 
Este resultado pode ser estendido aos rendimentos totais das duas máquinas de fluxo. O 
rendimento total é o produto do rendimento hidráulico pelo rendimento mecânico pelo 
rendimento volumétrico. É de se esperar que o rendimento volumétrico das duas 
máquinas sejam iguais, uma vez que depende das vazões, que são função da velocidade 
e da área, ou seja, respeitadas as semelhanças geométrica e cinemática, espera‐se que o 
rendimento volumétrico de máquinas semelhantes sejam os mesmos. Quanto ao 
rendimento mecânico, são valores próximos à unidade, logo pode‐se considerar neste 
caso, 
 
Caso a semelhança geométrica não possa ser seguida a nível de rugosidade (fator de 
escala), ou a semelhança dinâmica não seja uma consideração válida, então: 
 
16 
 
 
Para casos em que não são considerados iguais rendimentos, algumas fórmulas empíricas 
podem ser usadas para corrigir o rendimento. Algumas são dadas a seguir. 
Fórmula de MOODY (para bombas) 
 
• ηt ‐ rendimento total 
• D ‐ diâmetro 
• H ‐ altura de elevação. 
 
Fórmula de HUTTON (turbinas hélice e Kaplan) 
 
• ηt : rendimento total 
• Re: número de Reynolds para as duas máquinas semelhantes, definido por: 
 
• D: diâmetro característico da turbina, normalmente o diâmetro externo, 
• ν: viscosidade cinemática 
• g: aceleração da gravidade e 
• Hn : altura de queda nominal ou de projeto. 
Fórmula de MOODY (turbinas Francis) 
Segundo a NB‐580, 
 
D: diâmetro característico do rotor, normalmente D4. 
17 
 
Igualdade de rendimentos (turbinas Pelton) 
Segundo a NB‐580, para turbinas Pelton o efeito de escala não é considerado resultando: 
 
Fórmula de ACKERET4 (ventiladores) 
De acordo com a AMCA standard, 
 
sendo ηe o rendimento estático ótimo e Re o número de Reynolds para as duas máquinas. 
Com Reynolds dado por: 
 
• n: velocidade de rotação do ventilador em [rps] 
• D: diâmetro característico do ventilador, normalmente “D5” em [m] para 
ventiladores radiais e “De” em [m] para ventiladores axiais, 
• ν: viscosidade cinemática [m2s‐1] 
Fórmula V de CAMMERER 
 
Restrições ao emprego da teoria 
A teoria das máquinas de fluxo mecanicamente semelhantes permite determinar, com 
excelente aproximação, as principais características de uma grande turbina protótipo, por 
exemplo, partindo de resultados de ensaios feitos sobre uma pequena turbina modelo (ou 
padrão). Mas esta teoria não é um rigor absoluto e certamente haverá pequenos desvios 
entre o protótipo e o modelo. Estes desvios podem ser favoráveis (como é o caso dos 
rendimentos), ou preocupantes (como nos fenômenos de cavitação). 
Escalas de Semelhança 
Aplicando as leis aproximadas da semelhança, que ignoram a semelhança dinâmica e 
requerem como condição de semelhança apenas a semelhança geométrica e cinemática, 
a semelhança de duas máquinas de fluxo MF’ e MF” é caracterizada por: 
• Razão de semelhança geométrica (λ) 
• Razão de semelhança cinemática (K) 
18 
 
• Igualdade entre os rendimentos totais 
A razão de semelhança geométrica pode ser fixado arbitrariamente e a razão de 
semelhança cinemática “K” depende das alturas de queda ou elevação sob as quais irão 
funcionar as duas máquinas. Como a queda do modelo, a ser construído, vai ser fixada 
em conformidade com as disponibilidades técnicas do laboratório, fica implícito que o 
coeficiente “K” também pode ser fixado arbitrariamente. 
Este tipo de semelhança em que o projetista tem dois graus de liberdade – fixação dos 
coeficientes λ e K – recebe o nome particular de semelhança de Combes‐Rateau e permite 
a obtenção das seguintes escalas. 
A similaridade Combes‐Rateau (similaridade parcial das turbomáquinas) exige três 
condições: 
• Semelhança geométrica dos dois rotores que se compara 
• Semelhança cinemática para pontos homólogos nos rotores 
• Razão constante entre a pressão e o quadrado da velocidade 
Escala de velocidades (rotações) 
 
 
Escala de vazões 
Genericamente tem‐se que: 
 
 
 
Escala de potências (hidráulica) 
 
Genericamente tem‐se que: 
 
19 
 
 
 
Se os fluidos são os mesmos e se há igualdade de rendimentos, então: 
 
Escala de potências (efetiva) 
 
Genericamente tem‐se que: 
 
Dividindo uma pela outra 
 
Se é o mesmo fluido e se há igualdade de rendimentos então: 
 
Escala de momentos 
Genericamente tem‐se que: 
 
 
20 
 
Leis de Variação 
As leis da variação (similarity laws) relacionam, para uma mesma máquina de fluxo, 
parâmetros como alturas de queda/elevação, vazão e potência em função da variação da 
velocidade de rotação. Para isto são usadas as relações aproximadas de semelhança, que 
consideram a semelhança geométrica e cinemática, desconsiderando a semelhança 
dinâmica, e considerando a igualdade de rendimentos. 
As escalas definidas a seguir consideram que o rendimento hidráulico varia muito pouco, 
mesmo com grandes variações da rotação, podendo ser considerado o rendimento 
constante. 
Aplicando a condição de D”= D’, ou seja λ = 1 
 
Caso o rendimento não seja considerado constante, então: 
 
Rotação Específica 
A rotação específica é um importante parâmetro adimensional usado em máquinas de 
fluxo. Utilizado para agrupar máquinas, de tal forma que, aquelas com mesma rotação 
específica são semelhantes entre si. 
Apesar de o conceito ser o mesmo em todas as literaturas, é importante observar as 
unidades que são apresentadas nas tabelas e diagramas. Seguem as diferentes rotações 
específicas. 
“Máquinas homólogas são aquelas que são semelhantes geometricamente e têm a mesma 
rotação específica. Se não tem o mesmo Re então não terão o mesmo rendimento”. 
Rotação específica relacionada à vazão (nq) 
21 
 
É a velocidade de operação na qual a máquina produz altura unitária a uma vazão 
volumétrica unitária. 
Considerando‐se duas máquinas hidráulicas com similaridade de Combes‐Rateau, e 
considerando que se uma das máquinas hidráulicas trabalhar nas condições de altura de 
queda (H’) de 1,0 [mca] e vazão (Q`) de 1,0 [m3/s],tem‐se: 
 
Substituindo uma em outra com Q’=1 e resolvendo para n’: 
 
Lembrando que K=(H/H)1/2 e H’=1 [mca]: 
 
Suprimindo os índices: 
 
• n – [rpm] 
• Q – [m3s‐1] 
• H – [mca] 
Neste caso, a M.F. que gira com rotação “n” é semelhante à M.F. que gira com rotação 
nq , dando 1,0 mca (H) e 1 m3/s (Q). Todas as M.F. semelhantes a esta M.F. de referência 
pertencem à mesma “família”. 
Para ventiladores: 
 
n – [rpm] 
Q – [m3s‐1] 
ϒ– [N m‐3] 
Δp – [Pa] 
22 
 
Que é a rotação específica a vazão7 cujo conceito é de ser a rotação de uma máquina 
semelhante à original que sob a queda de 1 [mca] é atravessada por uma vazão de 1 
[m3s1]. É muito utilizada no estudo das bombas hidráulicas e ventiladores. 
Rotação específica relacionada a potência (ns) 
É a velocidade de operação na qual a máquina produz potência unitária a uma carga 
unitária. 
Considerando‐se duas máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes cujos 
escoamentos obedecem aos critérios de semelhança de Combes‐Rateau, e considerando 
que se uma das máquinas hidráulicas trabalhar nas condições de altura de queda (H’) de 
1,0 [mca] e potência (Pef`) de 1,0 [CV], tem‐se: 
 
Se uma destas máquinas trabalhar sob uma altura de 1,0 mca (H’) e produzir a potência 
de 1,0 CV (P’) com o mesmo rendimento da MH”, tem‐se: 
 
Resolvendo para n’, resulta: 
 
Como k=(H”/H’)1/2, resulta: 
 
À velocidade de rotação n’, deu‐se a designação de rotação específica8. Sua definição é 
como sendo a rotação de uma máquina semelhante à original, que sob a queda de 1,0 mca 
fornece uma potência de 1,0 CV. Esta é uma grandeza específica que depende do fluido, 
bem como do rendimento total da máquina, permitindo comparar somente máquinas que 
trabalhem com mesmo fluido e mesmo rendimento. 
Se houver uma comparação entre as máquinas de fluxo MF’ e MF”, ou MF’ e MFn, e 
resultar para n’ sempre o mesmo valor, pode‐se concluir que duas máquinas de fluxo em 
semelhança de Combe‐Rateau possuem a mesma rotação específica, cujo símbolo é ns. 
23 
 
 
• n – [rpm] 
• Pef – [CV] 
• H – [mca] 
Suas dimensões no sistema métrico são [rpm.CV1/2.m‐5/4]. Alguns autores consideram 
ns em [rpm], porque a potência e a altura unitária possuem módulo unitário, mas 
dimensão tal que torna ns e n com a mesma dimensão. Outros autores utilizam ns/n e 
chamam‐no de coeficiente de rotação específica (adimensional). 
Relação entre a rotação específica relacionada a vazão e a potência 
Considerando como fluido a água (ρ=1000 kg.m‐3) pode‐se relacionar as duas rotações 
específicas: 
 
Como a premissa inicial considera duas máquinas semelhantes de rendimentos iguais, 
então pode‐se considerar a potência efetiva ou hidráulica para obtenção de ns, desta 
forma, o rendimento é desconsiderado, e: 
 
Coeficiente de forma segundo Addison (nqA) 
Na literatura pode‐se achar outro índice denominado “nqA”, que é o coeficiente de forma 
segundo Addison9, dado por: 
 
Os valores de n, Q e H são os valores de melhor rendimento (projeto). Caso a máquina 
tenha vários estágios (rotores em série) o “H” utilizado corresponde ao salto energético 
de cada rotor. Para o caso de dupla sucção, a vazão será considerada em um dos lados de 
sucção, normalmente sendo a metade da vazão que passa pelo rotor. 
 
 
 
24 
 
Conclusão 
 
Com base na análise dimensional é possível estabelecer diversos parâmetros para diversas 
áreas de conhecimentos afins, obtendo constantes importantes e frequentemente 
empregadas de modo conceitual, como as mais conhecidas, os números de Reynolds, de 
Euler, de Weber, entre outras. Entretanto, a análise dimensional apresentou-se 
esquematizada em um processo por meio da utilização do teorema do pi de Buckingham, 
sendo tanto importante quanto estabelecer relações adimensionais entre as variáveis de 
leis conhecidas, as equações diferenciais básicas do escoamento, por exemplo. Pois, 
fundamentalmente, no teorema são encontradas as relações entre variáveis julgadas 
experimentalmente. 
Ao descrever os procedimentos adoptados nos testes com modelos, percebe-se que esta 
não é uma tarefa simples, que fornece automaticamente resultados facilmente 
interpretáveis, exactos e completos. Como em todo trabalho experimental, laneamento e 
execução criteriosos são requisitos necessários para que os resultados obtidos sejam 
válidos. Os modelos devem ser construídos com cuidado e com precisão, e eles devem 
incluir detalhes suficientes em áreas críticas para o fenómeno avaliado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
 
WHITE, Frank. Mecânica dos Fluídos. 6ª ed. Porto Alegre.AMGH, 2011 
FOX, R.W.; McDonald, A.T.; Pritchard, P.J. Introdução à mecânica dos fluidos. 6ªed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
MACINTYRE, A. J. Bombas e instalações de bombeamento. Rio de Janeiro: LTC, 2013.