Mat. Ap 2

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Responsável pelo Conteúdo: 
Profª. Ms. Adriana D. Freitas 
Profª. Drª. Jussara Maria Marins 
 
Revisão Textual: 
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni 
 
 
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 Conjunto dos Reais 
 Conjunto dos Racionais: Q 
 Conjunto dos Inteiros: Z 
 Aritmética 
Dentro do estudo da Matemática, as disciplinas mais antigas são a Geometria e 
a Aritmética. 
Embora antigas, elas estão sempre sendo atualizadas e necessárias para uma 
série de outras disciplinas mais novas. 
Vamos ter, aqui nessa unidade, uma abordagem que pode ser nova para 
muitos ou já conhecida para outros. Vale a pena rever os conhecimentos, 
uniformizar notações e a linguagem matemática propriamente dita. 
Com os novos conhecimentos você vai compreender que a Aritmética e os 
Conjuntos Numéricos fazem parte das bases da Matemática e vai ter uma nova 
linguagem, mais objetiva e exata para expressar muitos fatos do dia a dia. 
 Intervalos Reais 
 Conjuntos Enumeráveis 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
Contextualizac¸a˜o - Conjuntos Nume´ricos
Profa.Me. Adriana Freitas e Profa.Dra Jussara Maria Marins
Conforme ja´ vimos, a Teoria de Conjuntos e´ uma disciplina fundamental em Matema´tica e
em Cieˆncia da Computac¸a˜o. Em toda a´rea do conhecimento, na qual usaremos nu´meros, de uma
forma ou de outra, precisaremos desses conhecimentos.
Toda o resultado obtido pelo computador e´ resultado de um programa que visa resolver um
problema ou desenvolver uma tarefa. Todo programa, em uma linguagem de programac¸a˜o, comec¸a
com uma entrada de dados para gerar outros dados que sa˜o interpretados como uma informac¸a˜o
de resposta de sa´ıda. Muitas vezes, pode parecer que a entrada de dados e´ uma imagem, por
exemplo de nossa digital, ou de nossa foto, para consultar um banco de dados e permitir nosso
acesso, numa academia de gina´stica ou qualquer outro lugar similar. No entanto, a imagem de
entrada e´ decodificada em s´ımbolos intermedia´rios, que, por sua vez, geram nu´meros que, enta˜o
sa˜o comparados, principalmente, atrave´s de me´dias e desvio-padra˜o aos nu´meros ja´ registrados
pelo armazenamento de outra foto ou imagem nossa que e´ tomada como refereˆncia.
Desde que levantamos e usamos um chuveiro, ou qualquer aparelho ele´trico estamos usando
um computador direta ou indiretamente, para pelo menos armazenar a quantidade de eletricidade
gasta para gerar uma conta no fim do meˆs. Se sa´ımos de casa e passamos num sema´foro, estamos
usando os resultados calculados por um computador, se usamos o metroˆ, temos diversos sistemas
computadorizados para permitir o deslocamento de cada vaga˜o desse trem.
Figura 1: Diferentes Conjuntos Nume´ricos para Diferentes Ma´quinas
Quando a` noite, vamos saber das not´ıcias, estamos conectados em um ou mais computadores.
Enfim, tudo que e´ feito num computador e´ alimentado por nu´meros e cujos resultados tambe´m sa˜o
nu´meros que geram os mais variados tipos de informac¸a˜o.
Em todas estas situac¸o˜es sa˜o usados os diferentes Conjuntos Nume´ricos, suas operac¸o˜es e
propriedades que sera˜o detalhados nesta unidade.
Fazer contas, manualmente, numa calculadora...
ou num supercomputador e´ sempre um desafio!
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Contextualização
Fabio
Typewritten Text
Motivac¸a˜o Inicial - Conjuntos Nume´ricos
Matema´tica Aplicada
Profa.Me. Adriana Freitas e Profa.Dra Jussara Maria Marins
O Estudo da Aritme´tica e Ca´lculo atrave´s dos diversos conjuntos nume´ricos permite uma for-
malizac¸a˜o, objetividade e exatida˜o que sa˜o fundamentais em todas as Cieˆncias Exatas.
Hoje em dia, pode parecer natural o uso do grande nu´mero de operac¸o˜es nume´ricas. Por
exemplo, num telefone mo´vel sa˜o executadas diversas func¸o˜es de localizac¸a˜o, conexa˜o a` internet,
localizac¸a˜o geogra´fica, etc, e para cada uma destas func¸o˜es existe um grande nu´mero de operac¸o˜es
aritme´ticas. Grande nu´mero mesmo! Contudo, em tempos mais remotos, como no in´ıcio do segundo
mileˆnio DC da nossa civilizac¸a˜o ocidental ate´ uma simples multiplicac¸a˜o requeria um conhecimento
espec´ıfico que poucas pessoas detinham. Por exemplo, multiplicar CXXXVIII por XLV requeria
uma habilidade e complexidade fora do comum, ate´ para no´s nos dias de hoje. Ate´ esta e´poca o
sistema de numerac¸a˜o usual ainda era o sistema romano, que ainda e´ usado hoje, por motivos mais
tradicionais do que pra´ticos.
Haviam outros sistemas de numerac¸a˜o. No sistema de numerac¸a˜o eg´ıpcio ate´ que na˜o era ta˜o
dif´ıcil fazer adic¸o˜es e algumas multiplicac¸o˜es, mas no sistema romano era bem mais complexo.
Como os romanos que dominaram quase toda Europa e parte da A´sia Menor nossa escrita ficou
fortemente dependente deles.
Hoje em dia, mesmo manualmente - sem nenhuma ma´quina - multiplicar dois nu´meros, mesmo
com uma quantidade grande de d´ıgitos e´ fa´cil pelo uso que fazemos das propriedades aritme´ticas
dos nu´meros e do sistema de numerac¸a˜o decimal. De fato, mesmo sem nos dar conta aplicamos
a propriedade distributiva da multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a` adic¸a˜o para multiplicar 138 por 45, num
algoritmo simples que tambe´m e´ feito numa certa tabela de forma visual, para facilitar o pro´prio
procedimento em si.
Primeiro Passo:
1 4
1 3 8
× 4 5
6 9 0
Segundo Passo:
1 3
1 3 8
× 4 5
6 9 0
+ 5 5 2
Terceiro Passo:
1
1 Aritme´tica
Fabio
Typewritten Text
1 3 8
× 4 5
6 9 0
+ 5 5 2
6 2 1 0
Porque e´ feito assim?
Lembre-se que:
138 = 1 · 102 + 3 · 10 + 8 = 1 · 100 + 3 · 10 + 8, 45 = 4 · 10 + 5 = 40 + 5
Aplicando as propriedades, como a distributiva, que sera˜o mais detalhadas, temos:
(5 + 4 · 10)× (1 · 100 + 3 · 10 + 8) =
(5 + 4 · 10)× (100 + 30 + 8) = (5 · 100 + 5 · 30 + 5 · 8) + (4 · 100 + 4 · 30 + 4 · 8) · 10 =
(500 + 150 + 40) + (400 + 120 + 32) · 10 = 690 + 552 · 10 = 690 + 5520 = 6210
Com esta unidade voceˆ tera´ mais respostas do por queˆ de certos fatos e principalmente obtera´
um ferramental teo´rico para embasar melhor va´rios discursos te´cnicos, por exemplo, um relato´rio
financeiro ou um cronograma de projetos.
Aquelas pessoas que sabem expor seus argumentos de forma clara, sinte´tica e objetiva, na nossa
a´rea de computac¸a˜o, levam vantagem sobre as outras que na˜o possuem esta capacidade.
A Linguagem matema´tica permite desenvolver esta objetividade, ao mesmo tempo, que tambe´m
leva a uma exatida˜o que tambe´m e´ fundamental em Computac¸a˜o.
Aproveite seu diferencial!
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
1 Aritme´tica
1 Aritme´tica
1.1 Introduc¸a˜o
A Aritme´tica trata do estudo dos conjuntos nume´ricos, das operac¸o˜es entre os diferentes
tipos de nu´meros e suas propriedades. Este estudo abrange desde a aritme´tica elementar
ate´ a Teoria dos Nu´meros, que propicia um bom ferramental para outras a´reas, como, por
exemplo, a Criptografia1.
O entendimento dos diversos tipos de conjuntos nume´ricos variou muito, ao longo do
tempo, e foi sedimentado, inicialmente, por Giuseppe Peano (1858-1932). Embora a aborda-
gem inicial seja axioma´tica, vamos nos concentrar na revisa˜o das propriedades fundamentais
das operac¸o˜es.
1.2 Axiomas de Peano e o Conjunto dos Naturais
Desde muito tempo antes de Cristo, lida´vamos com os nu´meros naturais. A representac¸a˜o
desses variou muito. A Histo´ria da Matema´tica e´ ta˜o antiga quanto a histo´ria da humanidade.
E´ interessantever os v´ıdeos que falam da origem do nu´mero Um, Dois e, principalmente, do
Zero.
A Geometria consolidou-se, razoavelmente, na e´poca de Euclides - se´culo IV AC, que
escreveu os seus livros, nos quais tambe´m incluiu conceitos mais gerais. A A´lgebra consolidou-
se mais tarde, nos se´culos IX e X, com os indu-a´rabes. Foi um grande avanc¸o a notac¸a˜o
decimal e o uso do zero. Isso permitiu grandes mudanc¸as no trato da aritme´tica, que passou
a ser mais fa´cil, e, da´ı, mais difundido.
Ja´ citamos os conjuntos nume´ricos anteriormente. Mas, para definirmos, claramente, um
nu´mero natural, precisamos partir de noc¸o˜es ba´sicas, que sa˜o dadas pelos conjuntos. O
conjunto dos Naturais e´ formado pelas noc¸o˜es de zero, que, em alguns casos, e´ conceituado
como o nu´mero de elementos do conjunto vazio; pela noc¸a˜o de sucessor, que significa o
pro´ximo elemento; e pelo conceito de induc¸a˜o, que e´ muito importante em toda cieˆncia
teo´rica.
Mas foi so´ mais tarde que a Teoria da Aritme´tica consolidou-se, com os axiomas de
Giuseppe Peano em 1889. Ele desenvolveu uma linguagem formalizada que usava a lo´gica
matema´tica. Essa linguagem continha s´ımbolos, tais como: ∈ - pertence a` classe de; ∪:
soma lo´gica ou unia˜o; ∩, produto lo´gico ou intercessa˜o; e ⊃: conte´m. Para fundamentos da
aritme´tica, ele escolheu treˆs conceitos primitivos: o zero, o nu´mero natural e a func¸a˜o e´
sucessor de, satisfazendo a cinco postulados ou axiomas.
Nu´mero e´ uma propriedade de certos conjuntos - os conjuntos-padra˜o. Assim associamos
o zero ao conjunto vazio: ∅ ≡ 0. A noc¸a˜o de sucessor de x, indicado por s(x), e´ dada pela
unia˜o:
s(x)
de f
= x ∪ {x}
1Estudo das transformac¸o˜es de uma informac¸a˜o em outra equivalente, mas codificada de forma ileg´ıvel, a
na˜o ser que o destinata´rio tenha chave de desencriptac¸a˜o.
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Assim temos:
1 = s(0), ou 1 ≡ {∅}
Zero esta´ associado ao conjunto vazio. O conjunto com o conjunto vazio e´ associado ao
nu´mero Um e ele e´ o sucessor de zero. Analogamente, temos os demais nu´meros.
2 = s(1), ou 2 ≡ {0, 1}, . . .
Axiomas de Peano:
1. Zero e´ um nu´mero natural.
2. Se a e´ um nu´mero, o sucessor de a e´ um nu´mero. Se n ∈ N, enta˜o s(n) ∈ N.
3. Zero na˜o e´ o sucessor de nenhum nu´mero.
4. Dois nu´meros cujos sucessores sa˜o iguais, sa˜o eles pro´prios, iguais. Se s(n) = s(m), enta˜o
n = m.
5. Seja S um subconjunto de N tal que:
(a) 0 ∈ S e (b) (∀n ∈ N) se n ∈ S , enta˜o n + 1 ∈ S .
Nestas condic¸o˜es, temos S = N
?
De fato o u´ltimo axioma costuma ser enunciado da seguinte forma: Princ´ıpio da Indu-
c¸a˜o Matema´tica. Se 0 tem uma propriedade e essa propriedade tambe´m e´ possu´ıda pelo
sucessor de todos os nu´meros naturais que a possuem, enta˜o ela e´ possu´ıda por todos os
nu´meros naturais. Esse axioma permite a te´cnica de demonstrac¸a˜o conhecida com induc¸a˜o
matema´tica, cuja te´cnica possui 3 passos: Seja P(x) um predicado sobre N.
1. Base da Induc¸a˜o, BI: P(0) e´ verdade.
2. Hipo´tese de Induc¸a˜o, HI: (∀n) P(n) e´ verdade.
3. Passagem de Induc¸a˜o, PI: Se P(n) e´ verdade, enta˜o P(n + 1) e´ verdade.
Com esses axiomas, e´ “criado” o conjunto dos nu´meros naturais que e´ indicado pelo
s´ımbolo especial N.
Por exemplo, e´ atrave´s da Induc¸a˜o que podemos provar que a soma dos nu´meros de uma
progressa˜o aritme´tica a1, a2, a3, . . . , an sendo a1 o primeiro termo, a2 = a1 + r, em que r e´ a
raza˜o e n e´ o nu´mero total de termos, e´ dada pela fo´rmula:
S = Σnn=1ai =
(a1 + an)n
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1 Aritme´tica
1.3 Operac¸o˜es Nume´ricas em N
As operac¸o˜es nume´ricas mais usadas sa˜o a Adic¸a˜o, Subtrac¸a˜o, Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o. Elas
sa˜o definidas, inicialmente, para o conjunto dos nu´meros Naturais e, depois, estendidas para
os demais conjuntos.
O conjunto dos Naturais e´ infinito e sua representac¸a˜o por extensa˜o e´ simplificadamente:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . . , n − 1, n, n + 1, . . .}
Podemos dizer que:
2 ∈ N, 3345 ∈ N, −5 < N, 3
4
< N
A adic¸a˜o e´ definida a seguir como uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1. Adic¸a˜o
Dados dois conjuntos A e B de intersecc¸a˜o vazia, em que #A = x e #B = y, a Adic¸a˜o em N
e´ dada pela seguinte func¸a˜o:
+ : N × N → N
(x, y) 7→ x + y de f= #(A ∪ B), se A ∩ B = ∅
•
Isso quer dizer que, dados dois nu´meros naturais x e y, que sa˜o, respectivamente, o nu´mero
de elementos de dois conjuntos disjuntos, A e B, enta˜o a adic¸a˜o e´ dada pelo nu´mero total de
elementos da Unia˜o dos conjuntos, o que corresponde ao nosso velho conceito de adic¸a˜o. Ou
seja, vamos definir coisas novas a partir da composic¸a˜o de outras ja´ conhecidas.
Todos no´s ja´ conhecemos como calcular a soma, a partir das tabuadas e dos algoritmos
da adic¸a˜o, desde o ensino ba´sico.
Definic¸a˜o 1.2. Subtrac¸a˜o
A subtrac¸a˜o e´ definida quando o conjunto B e´ subconjunto de A, onde #A = x e #B = y.
A Subtrac¸a˜o em N e´ dada por:
− : N × N → N
(x, y) 7→ x − y de f= #(A − B), se B ⊆ A
•
Logo, em N, a subtrac¸a˜o x− y so´ e´ va´lida quando y < x, caso contra´rio, na˜o esta´ definida.
A partir dessa definic¸a˜o, podemos calcular e definir a Multiplicac¸a˜o, que ja´ foi apreendida ha´
muito tempo, por meio das tabuadas.
A multiplicac¸a˜o pode ser definida a partir da adic¸a˜o e a divisa˜o, a partir da subtrac¸a˜o.
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Definic¸a˜o 1.3. Multiplicac¸a˜o
Dados dois conjuntos A e B, onde #A = x e #B = y, a Multiplicac¸a˜o em N e´ dada pela
func¸a˜o:
× : N × N → N
(x, y) 7→ x · y = y + y + . . . + y︸ ︷︷ ︸
x vezes
Obviamente, 0 · y = 0. 1 · y = y.
•
Os s´ımbolos de × ou ·, que sa˜o usados para a multiplicac¸a˜o, na˜o sa˜o usados nas linguagens
de programac¸a˜o usuais e eles sa˜o substitu´ıdos pelo ∗ que nunca pode ser omitido.
Existem outras maneiras de definir a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o com o uso de func¸o˜es
recursivas, que sa˜o muito usadas em computac¸a˜o.
Novamente, atrave´s da definic¸a˜o ou das tabuadas, calculamos a multiplicac¸a˜o, que hoje
em dia, e´ feita de modo muito diferente do que era feita ha´ um mileˆnio.
Existe uma croˆnica muito interessante sobre o que poderia acontecer se todos esqueceˆs-
semos os algoritmos da adic¸a˜o ou multiplicac¸a˜o de nu´meros maiores e, obviamente, todas as
ma´quinas falhassem ...
Lembre-se de que nem sempre a divisa˜o e´ exata e, da´ı, podemos ter um resto.
Teorema 1.1. Dados dois nu´meros inteiros, x e y na˜o nulo, enta˜o existem os nu´meros z e r
tais que:
x ÷ y = z e x = z · y + r
em que x e´ o dividendo, y e´ o divisor, z e´ quociente e r e´ o resto.
?
1.4 Propriedades das Operac¸o˜es Aritme´ticas em N
Vejamos algumas das propriedades ou caracter´ısticas das operac¸o˜es nume´ricas que, no estudo
completo da aritme´tica, sa˜o teoremas e, como tal, sa˜o provados um a um.
As propriedades mais usadas sa˜o: Fechamento, Comutativa, Associativa, Elemento Neu-
tro, Elemento Oposto, Elemento Inverso e as Distributivas.
Teorema 1.2. Propriedades das Operac¸a˜o de Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o em N
1. Fechamento da Adic¸a˜o
(∀x, y ∈ N)[x + y ∈ N]
A frase significa que, “ para todos os nu´meros naturais, a adic¸a˜o de dois deles quaisquer
x e y, a sua soma: x + y, o resultado da adic¸a˜o, sera´ sempre natural.”
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1 Aritme´tica
O S´ımbolo ∀ significa: para todos, para cada, qualquer que seja, quaisquer que sejam,
cada um, etc. E´ o quantificador universal. O s´ımbolo ∃ significa: existe algum, existe
pelo menos algum, alguns e e´ o quantificador existencial.
Parece o´bvio, mas isso na˜o ocorre para todas as operac¸o˜es, em todos os conjuntos.
Conforme veremos, algumas propriedadesvalem para um conjunto, mas na˜o valem
para outros. Como contra-exemplo, temos que a subtrac¸a˜o em N na˜o e´ fechada, pois
9 − 14 < N, pois o resultado conhecido na˜o existe no conjunto dos naturais, ou seja,
−5 ∈ Z.
Muitas operac¸o˜es matema´ticas sa˜o fechadas dentro de um conjunto, mas nem todas o
sa˜o.
2. Associatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y, z ∈ N)[x + (y + z) = (x + y) + z]
(∀x, y, z ∈ N)[x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z]
Esta forma simbo´lica, sem ambiguidade, serve para dizer que, na adic¸a˜o de treˆs nu´meros
quaisquer: ∀x, y, z, tanto faz somarmos o primeiro ao resultado da adic¸a˜o dos dois
u´ltimos, como o dos dois primeiros ao terceiro, que o resultado e´ o mesmo. O mesmo
vale para a multiplicac¸a˜o.
3. Comutatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y ∈ N)[x + y = y + x]
(∀x, y ∈ N)[x ∗ y = y ∗ x]
Mantemos o mesmo simbolismo dos quantificadores e, agora, dizemos que a ordem
das parcelas ou fatores na˜o muda a soma ou produto, respectivamente, o resultado da
adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o. A ordem das parcelas na˜o altera a soma e a ordem
dos fatores na˜o altera o produto.
4. Distributividade da Multiplicac¸a˜o para Adic¸a˜o
(∀x, y, z ∈ N)[x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z)]
O nome da propriedade remete-nos ao fato de colocarmos o x em evideˆncia na igualdade,
ou seja, distribu´ımos o valor x para a adic¸a˜o.
Aqui cabe uma outra observac¸a˜o que e´ importante, tambe´m, nas linguagens de pro-
gramac¸a˜o, pois, se assumimos a prioridade da multiplicac¸a˜o sobre a adic¸a˜o, podemos
escrever, sem pareˆnteses, apenas o segundo termo:
(∀x, y, z ∈ N)[x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z]
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
5. Elemento Neutro da Adic¸a˜o
(∃n ∈ N)(∀x ∈ N)[n + x = x + n = x]
Existe um nu´mero n que e´ o Zero, n = 0, e para todos os demais naturais ele e´ neutro.
Observe que a relac¸a˜o e´ de um para todos. Existe so´ um neutro para todos naturais.
Isso e´ usado em banco de dados para dizer que temos uma relac¸a˜o de 1 para va´rios, ou
seja, 1-n.
6. Elemento Neutro da Multiplicac¸a˜o
(∃i ∈ N)(∀x ∈ N)[i ∗ x = x ∗ i = x]
Tal nu´mero i e´ o Um, i = 1. Tambe´m e´ um u´nico neutro multiplicativo e tambe´m
chamado de unidade.
?
Nesse conjunto esta´ intrinsicamente firmada a noc¸a˜o de ordem, isto e´, 0 e´ menor que
qualquer nu´mero natural, 1 < 2, 2 < 3, 4 < 5, . . . , 45 < 67, etc.
2 Conjunto dos Inteiros: Z
2.1 Novos Elementos: os Negativos
Observamos que a subtrac¸a˜o nem sempre e´ definida para qualquer par de nu´meros, pois ela
depende da ordem em que sa˜o tomados os nu´meros. Para que seja sempre poss´ıvel subtrair
dois nu´meros quaisquer, ‘aumentamos ’ o conjunto dos Naturais, criando outro conjunto - os
inteiros Z. O s´ımbolo Z vem da palavra inteiro ‘zahl´ na l´ıngua alema˜.
Z = {. . . ,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . .}
Esse conjunto e´ uma extensa˜o dos naturais e, agora, a subtrac¸a˜o e´ fechada.
2 ∈ Z, −33 ∈ Z, −pi < Z, 3
4
< Z
Os conceitos das operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o em Z permanecem
definidas de maneira ana´loga a feita nos naturais, quando os nu´meros sa˜o positivos, para
mantermos o conceito de extensa˜o dos conjuntos.
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2 Conjunto dos Inteiros: Z
2.2 Regras dos Sinais em Z
Os sinais negativo e positivo podem ser associados aos sentidos do eixo da reta numerada,
incluindo, os naturais no sentido positivo. O eixo positivo e´ convencionado ser estabelecido
a partir do ponto com o Zero e da´ı para a direita. Logo, o sentido negativo vai do Zero para
a esquerda.
1. A soma inteiros positivos e´ positiva.
2. A soma de inteiros negativos e´ negativa.
3. Se os nu´meros teˆm sinais diferentes, subtra´ımos o menor do maior, em valor absoluto,
e mantemos o sinal do maior, tambe´m em valor absoluto.
4. O produto de nu´meros inteiros de mesmo sinal e´ positivo.
5. O produto de nu´meros inteiros de sinais diferentes e´ negativo.
Existem va´rias maneiras de justificar essas regras conforme pode ser visto em va´rios livros.
2.3 Propriedades das Operac¸a˜o de Adic¸a˜o, Subtrac¸a˜o e Multipli-
cac¸a˜o em Z
Assumindo as regras anteriores podemos provar as seguintes propriedades.
Teorema 2.1. Propriedades das Operac¸a˜o de Adic¸a˜o, Subtrac¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
em Z
1. Fechamento da Adic¸a˜o, Subtrac¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y ∈ Z)[x + y ∈ Z]
(∀x, y ∈ Z)[x − y ∈ Z]
(∀x, y ∈ Z)[x ∗ y ∈ Z]
2. Associatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y, z ∈ Z)[x + (y + z) = (x + y) + z]
(∀x, y, z ∈ Z)[x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z]
3. Comutatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y ∈ Z)[x + y = y + x]
(∀x, y ∈ Z)[x ∗ y = y ∗ x]
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
4. Distributividade da Multiplicac¸a˜o para Adic¸a˜o
(∀x, y, z ∈ Z)[x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z]
5. Elemento Neutro da Adic¸a˜o
(∃n ∈ Z)(∀x ∈ Z)[n + x = x + n = x]
Existe so´ um neutro para todos inteiros.
6. Elemento Neutro da Multiplicac¸a˜o
(∃i ∈ Z)(∀x ∈ Z)[i ∗ x = x ∗ i = x]
7. Elemento Oposto ou Inverso Aditivo
(∀x ∈ Z)(∃op ∈ Z)[op + x = x + op = 0]
Tal nu´mero op e´ o oposto de x, op(x) = −x. Observe que, agora, para cada nu´mero
inteiro existe um oposto. A soma dos opostos e´ sempre nula.
Mudou o significado e a ordem dos quantificadores. Temos que o oposto de 4
e´ -4, o oposto de -6 e´ 6, etc.
Observe que esta propriedade e´ inexistente nos naturais.
?
A relac¸a˜o de ordem e´, intuitivamente, a mesma dos naturais; um nu´mero x e´ menor que
outro y se o primeiro vem antes do segundo. Como dizer formalmente que x ‘vem antes de’
y?
Podemos fazer isso, usando a definic¸a˜o de adic¸a˜o com a seguinte fo´rmula:
(∀x ∈ Z)[x < y ⇔ (∃k ∈ Z+)|y = x + k]
O s´ımbolo ⇔ significa que o primeiro lado e´ equivalente ao segundo.
Assim, vemos que todos os nu´meros negativos sa˜o menores que os positivos.
−56 < −45,−4 < 5,−4 < 3,−4 < 3,−5 < −3,−1 < 1, 3 < 4, 45 < 56, . . .
Dica para Linguagens de Programac¸a˜o:
Nas linguagens de programac¸a˜o existem co´digos bina´rios para a representac¸a˜o dos carac-
teres alfa-nume´ricos e s´ımbolos dos diferentes tipos de nu´meros inteiros ou racionais. No
caso de nu´meros naturais ou inteiros, a codificac¸a˜o pode ser a mesma, usando o tipo inteiro,
cuja palavra abreviada e´ int, que e´ usada em muitas linguagens, por exemplo, C, C++ e
Java. Para os nu´meros racionais ou reais, temos o tipo float ou double.
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3 Conjunto dos Racionais Q
3 Conjunto dos Racionais Q
3.1 Novos Elementos: As frac¸o˜es ou os Racionais
No conjunto dos inteiros, podemos fazer qualquer adic¸a˜o e subtrac¸a˜o, mas ainda na˜o podemos
fazer a divisa˜o entre qualquer par de nu´meros e, sim, apenas para alguns. Quando a divisa˜o
na˜o e´ inteira, formamos uma frac¸a˜o. Uma frac¸a˜o pro´pria representa a divisa˜o na˜o inteira de
uma certa quantidade, por exemplo, do nu´mero um ou unidade por outro nu´mero inteiro. As
frac¸o˜es tambe´m sa˜o indicadas por razo˜es ou uma barra da divisa˜o. Assim, se na˜o podemos
ter o resultado inteiro da divisa˜o de 3 por 4, o indicamos por 34 . Os nu´meros maiores que 1
tambe´m podem ser indicados por frac¸o˜es. O conjuntos de todas as frac¸o˜es e´ o conjuntos de
todos os quocientes ou Q.
Nos dois conjuntos anteriores, na˜o falamos das propriedades da divisa˜o e, em nenhum
deles, ela e´ fechada. Isto passa a ser verdade no conjunto dos racionais. Tanto que o conjunto
pode ser descrito assim:
Q =
{a
b
| a ∈ Z , b ∈ Z e b , 0
}
Agora a divisa˜o e´ fechada em Q.
Agora, nos racionais, exceto no zero, a divisa˜o e´ fechada. O conjunto tem esse nome,
pois uma divisa˜o ou frac¸a˜o e´ tambe´m chamada de raza˜o e seu adjetivo e´ racional. Palavra
ampla e com va´rios significados. Esseconjunto foi o ma´ximo durante muito tempo para os
gregos do per´ıodo cla´ssico, que abominavam nu´meros como
√
2, que na˜o e´ racional. Alia´s,
eles tinham certo preconceito contra os nu´meros na˜o racionais e infinitos. O infinito tambe´m
era problema´tico para eles. Exemplos de nu´meros racionais:
2 ∈ Q, −33 ∈ Q, 1
3
,
28933
55849
∈ Q, 3
4
∈ Q
Observe que a forma decimal 13 = 0.33333333 . . . tem infinitos d´ıgitos e e´ racional, assim
como outras d´ızimas perio´dicas, por exemplo, 0.34567123456897897897897 . . ., que podem
ser colocadas na forma fraciona´ria.
Exemplos de nu´meros na˜o racionais:
pi < Q, e < Q,
√
2 < Q,
√
5 < Q
pi = 3.14159265359 . . . , e = 271828182846 . . . ,
√
2 = 1.41421356237 . . .
Esses e todos os demais infinitos irracionais na˜o possuem uma expansa˜o decimal que
forme algum tipo de per´ıodo ( sequeˆncia repetitiva). Alia´s isto e´ demonstrado. Por exemplo,
suponha que
√
2 tenha uma forma fraciona´ria e que denominador e numerador sejam primos
entre si, como e´ poss´ıvel colocar qualquer frac¸a˜o. Por exemplo, 3648 =
3
4 .
Um disc´ıpulo de Pita´goras descobriu e provou esse fato, que contrariava a hipo´tese, ge-
ralmente assumida de que todos os nu´meros eram racionais. Isso faz parte da ideia geral
de harmonia da natureza e dos nu´meros a ela correspondentes. Veremos que naturais, intei-
ros e racionais partilham da mesma natureza enumera´vel, ou seja, teˆm o mesmo nu´mero de
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
elementos, sa˜o equipotentes. Pita´goras e sua escola descobriram que as notas musicais sa˜o
representadas por nu´meros racionais, assim como suas harmonias. Logo, pareceu-lhes que
nenhum outro nu´mero seria necessa´rio. Consta, sem provas histo´ricas, que esse disc´ıpulo foi
assassinado, talvez para na˜o difundir ideias perigosas. Na˜o e´ dif´ıcil crer nisso.
De fato, nos computadores so´ temos nu´meros racionais. Ponto para Pita´goras! Mas, para
desenvolver outras teorias matema´ticas e f´ısicas, na˜o bastam os enumera´veis. Precisamos dos
reais.
Vamos usar uma demonstrac¸a˜o por absurdo2, ou seja, vamos supor que
√
2 seja raci-
onal, isto e´, uma frac¸a˜o e tirar algumas outras concluso˜es do fato. Se chegarmos a alguma
contradic¸a˜o intr´ınseca a` suposic¸a˜o, veremos que essa suposic¸a˜o na˜o e´ verdadeira e, da´ı, pela
Lo´gica Cla´ssica, ela e´ falsa, concluindo-se que
√
2 e´ irracional. Em primeiro lugar, lembremos
que
√
2 e´ o nu´mero que elevado ao quadrado, e´ 2 e (
√
2)2 = 2
Teorema 3.1.
√
2 na˜o e´ racional.
Demonstrac¸a˜o: Por absurdo: Seja
√
2 = pq uma frac¸a˜o irredut´ıvel. Podemos eleva´-la
ao quadrado e, da´ı, teremos: (
p
q
)2
=
p2
q2
= 2
E isso nos leva a dizer que p2 = 2q2.
Da´ı, p2 e´ par e tambe´m p deve ser par, pois o quadrado de um nu´mero ı´mpar e´ ı´mpar.
Veremos, depois outra demonstrac¸a˜o envolvendo esses conceitos. Temos, enta˜o, que p e´ um
nu´mero par e, portanto, e´ o dobro de algum nu´mero inteiro, digamos k:
p = 2k ⇒ (2k)2 = 2q2 ⇒ 4k2 = 2q2 ⇒ 2k2 = q2
Enta˜o, q tambe´m e´ par pelo motivo ja´ citado.
Logo, a hipo´tese de que
√
2 era uma frac¸a˜o irredut´ıvel e a nova conclusa˜o de que p e q
sa˜o pares e, da´ı, sa˜o redut´ıveis formam uma contradic¸a˜o, ou seja, um absurdo.
Logo, conclui-se, pela Lo´gica Cla´ssica, que
√
2 e´ irracional.
?
Mas, se na˜o aceitarmos essa prova? Este questionamento e´ fundamental sempre! Podemos
calcular a raiz de outras formas. A pro´pria calculadora nos fornece√
2 ' 1.4142135623730950488016887242097. Na˜o bastaria continuar para encontrarmos
um per´ıodo? Hoje existem computadores que esta˜o sempre calculando mais e mais d´ıgitos de√
2 assim como de pi, outro irracional famoso. Ate´ hoje na˜o se chegou a nenhum candidato a
per´ıodo! Nem chegaremos!
Esse questionamento sempre e´ sauda´vel e muitos matema´ticos e lo´gicos tambe´m se ques-
tionaram. Existem outros tipos de Lo´gica que na˜o a cla´ssica. Basicamente, a Lo´gica Cla´ssica
parte de 3 princ´ıpios ou axiomas e, quando na˜o se admite um deles, temos outro tipo de
Lo´gica. Na Lo´gica intucionista, na˜o se admite esse tipo de prova, ou seja, usar o princ´ıpio da
dupla-negac¸a˜o.
2Veremos que isto e´ um teorema da Lo´gica.
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3 Conjunto dos Racionais Q
3.2 Regras sobre Frac¸o˜es
1. Frac¸o˜es Iguais:
a
b
=
c
d
⇔ a = c e b = d
2. Frac¸o˜es Equivalentes:
a
b
=
c
d
⇔ ad = bc
3. Simplificac¸a˜o:
ax
bx
=
a
b
Exemplo:
56
40
=
7 · 8
5 · 8 =
7
5
4. Adic¸a˜o
a
b
+
c
d
=
ad + cb
bd
5. Multiplicac¸a˜o
a
b
· c
d
=
ac
bd
6. Inverso
(a
b
)−1
=
b
a
se b , 0
Vejamos, agora, as propriedades das operac¸o˜es no conjunto das frac¸o˜es.
3.3 Propriedades das Operac¸a˜o de Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o em Q
Usando as regras anteriores podemos provar as seguintes propriedades.
Teorema 3.2. Propriedades das Operac¸a˜o de Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o em Q
1. Fechamento da Divisa˜o
(∀x, y ∈ Q)[ x
y
∈ Q, e b , 0.]
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
2. Associatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y, z ∈ Q)[x + (y + z) = (x + y) + z]
(∀x, y, z ∈ Q)[x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z]
Dica para Linguagens de Programac¸a˜o:
Conforme dissemos anteriormente, a memo´ria do computador, por maior que seja, e´
finita, assim como tambe´m e´ finito o tamanho da palavra. Portanto, o conjunto de
todos os nu´meros representa´veis num computador e´ muit´ıssimo grande, mas e´ finito.
Ale´m disso, nu´meros com infinitos d´ıgitos na˜o possuem uma representac¸a˜o exata e
sa˜o aproximados, causando uma diferenc¸a entre o valor verdadeiro do nu´mero e sua
representac¸a˜o, que e´ arredondada.
Atenc¸a˜o!!! Uma decorreˆncia disso e´ que a propriedade associativa nem
sempre e´ verdade numa ma´quina digital! Surpreenda-se! Teste para diferentes
reais de sinais diferentes e ordens de grandezas bem diferentes. Veja os efeitos dos erros
de arredondamento, mas so´ em casos especiais.
3. Comutatividade da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
(∀x, y ∈ Q)[x + y = y + x]
(∀x, y ∈ Q)[x ∗ y = y ∗ x]
4. Distributividade da Multiplicac¸a˜o para Adic¸a˜o
(∀x, y, z ∈ Q)[x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z]
5. Elemento Neutro da Adic¸a˜o
(∃n ∈ Q)(∀x ∈ Q)[n + x = x + n = x]
Existe so´ um neutro, que continua sendo o Zero, para todos racionais.
6. Elemento Neutro da Multiplicac¸a˜o
(∃i ∈ Q)(∀x ∈ Q)[i ∗ x = x ∗ i = x]
O Neutro multiplicativo continua a ser a unidade, i = 1.
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4 Conjunto dos Reais
7. Elemento Oposto ou Inverso Aditivo
(∀x ∈ Q)(∃op ∈ Z)[op + x = x + op = 0]
Tal nu´mero op e´ o oposto de x, op(x) = −x. Se x e´ uma frac¸a˜o x = yz , enta˜o seu oposto
e´ a frac¸a˜o com sinal contra´rio −x = −yz = y−z = − yz
8. Elemento Inverso Multiplicativo
(∀x ∈ Q)(∃ei ∈ Q)[x ∗ ei = ei ∗ x = 1]
Tal inverso de x e´ ei = x−1 = 1x e x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = 1
Na˜o t´ınhamos esta propriedade nos inteiros. Cada nu´mero racional tem seu inverso: o
inverso de 5 e´ 1/5, de 3/4 e´ 4/3; de −3/7 = − 37 e´ − 73 e assim por diante.
?
No conjunto dos Racionais, a divisa˜o e´ fechada, mas nem todas as operac¸o˜es que usamos
sa˜o fechadas. Ale´m disso, existem nu´meros que na˜o sa˜o expressos por frac¸o˜es, conforme ja´
vimos.
4 Conjunto dos Reais
4.1 Acabaram os Discretos, temos o Cont´ınuo
Todas os nu´meros possuem um conjuntos de caracter´ısticas teo´ricas, obviamente e um campo
de aplicac¸a˜o. Ate´ agora, todos conjuntos nume´ricos apresentados tinham a caracter´ıstica de
serem aplicados a dados que eram discretos, isto e´, em matema´tica, se refere a uma entidade
com partes em separado, que culminam nas frac¸o˜es. O que na˜o pode ser posto na forma de
frac¸a˜o e´ cont´ınuo.Ja´ os nu´meros reais se referem a dados cont´ınuos, isto e´, na˜o possuem
interrupc¸a˜o, e incluem todos os anteriores, os positivos, negativos, racionais e irracionais
formando um todo cont´ınuo, a reta real.
Unindo o conjunto dos racionais com os nu´meros irracionais, formamos o conjunto dos
Reais R. Existe uma maneira mais formal de construir o conjunto dos Reais atrave´s dos
cortes de Dedekind e das sequeˆncias de Cauchy.
Intuitivamente, podemos associar a cada nu´mero um ponto numa reta. Para isso, mar-
camos, inicialmente, um so´ ponto e a ele associamos o nu´mero natural Zero. A partir da´ı,
marcamos outro ponto a associamos o nu´mero Um. Agora, associamos um sentido positivo
nessa reta que vai do zero ao um. Com essa distaˆncia no sentido positivo, associamos um
outro ponto adiante e marcamos o nu´mero dois e, assim, sucessivamente. Nessa reta temos,
enta˜o, todos os nu´meros naturais. No sentido oposto ao
−→
01, marcamos os nu´mero negativos.
A seguir, na metade da distaˆncia do zero ao um, marcamos 1/2. Na terc¸a parte, marcamos
1/3, etc. Nessa reta havera´ uma posic¸a˜o que corresponde ao
√
2, ao
√
3, etc. e aos demais
irracionais.
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Figura 1: Inclusa˜o entre Conjuntos Nume´ricos
2 ∈ R, −33 ∈ R, √2 ∈ R − pi ∈ R, 3
4
∈ R, √−1 < R
Esse conjunto e´ bem mais novo que os demais e causa muito espanto, pois, de fato, ele
e´ cont´ınuo e na˜o possui os “buracos” dos racionais. Esse infinito e´ de natureza diferente
dos naturais e os conjuntos enumera´veis. Esse infinito e´ mais potente. O conjunto R na˜o
e´ enumera´vel. Essa prova esta´ fora do contexto deste trabalho, pore´m e´ importante para o
curso de Teoria de Computac¸a˜o.
Dizemos que, ale´m de infinito, o conjunto dos reais tem a poteˆncia indicada por ℵ1:
Q / R e n(R) = ℵ1
Ale´m disso,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Podemos ter uma aproximac¸a˜o destas incluso˜es na figura a seguir 4.1.
O conjunto R possui todas as propriedades dos racionais e muitas outras que na˜o veremos
aqui. Pore´m esse na˜o e´ o conjunto final; existe o conjunto dos complexos, no qual ganhamos
outras propriedades, mas perdemos outras. A imaginac¸a˜o e a necessidade, contudo, na˜o tem
limites.
Terminada a revisa˜o dos diferentes tipos de nu´meros, vamos a outra demonstrac¸a˜o que,
talvez, voceˆs nunca tenham feito. Uma demonstrac¸a˜o pode ser linda, simples ou complexa,
fa´cil ou dif´ıcil, mas nunca e´ feia. Infelizmente, a beleza da matema´tica e´ para poucos, na˜o
porque esses sa˜o privilegiados, mas porque poucos se aventuram por caminhos ino´spitos para
depois chegar a belas paisagens. Todos gostamos de belas paisagens de montanhas, mas sa˜o
poucos os alpinistas. Assim e´ em va´rios campos do conhecimento humano. Um exemplo
matema´tico, associado a` beleza, e´ o dos nu´meros binomiais que o poeta A´lvaro de Campos
(heteroˆnimo de Fernando Pessoa) compara com a deusa Veˆnus e sua esta´tua.
O binoˆmio de Newton e´ ta˜o belo como a Veˆnus de Milo.
O que ha´ e´ pouca gente para dar por isso.
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4 Conjunto dos Reais
o´o´o´o´—o´o´o´o´o´o´ o´o´o´—o´o´o´o´o´o´o´ o´o´o´o´o´o´o´o´
(O vento la´ fora.)
Podemos definir alguns nu´meros inteiros ou naturais como par. “Um nu´mero inteiro e´
par se ele e´ mu´ltiplo de 2”. Assim, 10 e´ par, pois 10 = 2 × 5. Zero e´ par, pois 0 = 0 × 2.
Para provar um teorema, temos que separar, na afirmac¸a˜o dada, o que sa˜o os dados
de hipo´tese e os fatos que constituem a conclusa˜o ou tese. A afirmac¸a˜o de um teorema e´
sempre do tipo “Se hipo´tese, enta˜o tese”. A prova consiste em partir dos dados da hipo´tese
e, mediante aplicac¸o˜es de outros fatos ja´ provados, de definic¸o˜es e racioc´ınios lo´gicos va´lidos,
chegar, enta˜o, a` tese. Se esse caminho de fato existir, enta˜o a afirmac¸a˜o esta´ provada e temos
um novo teorema.
Um teorema que expressa uma relac¸a˜o sobre nu´meros pares e´ dado por: “A soma de dois
nu´meros pares e´ tambe´m par”. De fato, podemos ter va´rios exemplos disso: 6 e 12 sa˜o pares e
sua soma e´ 18 que tambe´m e´ par. Mas, por mais exemplos que tenhamos, eles na˜o constituem
uma prova. Podemos enunciar melhor o teorema.
Teorema 4.1. Se x ∈ Z e y ∈ Z sa˜o nu´meros pares, enta˜o sua soma e´ par.
Demonstrac¸a˜o: Se x e´ par enta˜o, pela definic¸a˜o, existe um nu´mero, digamos k, tal que,
x = 2 × k e, analogamente, y = 2 × m. A soma deles sera´:
x + y = 2 × k + 2 × m = 2(k + m)
Logo, usando a propriedade distributiva, vemos que o resultado da soma tambe´m e´ par,
pois e´ mu´ltiplo de 2. c.q.d.
?
Essa demonstrac¸a˜o e´ chamada de direta. Na˜o faz uso da demonstrac¸a˜o por absurdo,
como o exemplo anterior. Nem todos os teoremas sa˜o assim fa´ceis de demonstrar. Mas
todos devem ser demonstrados.
Uma afirmac¸a˜o ana´loga a essa “ a soma de ı´mpares e´ ı´mpar” e´ falsa. Neste caso, basta
mostrar um caso onde ela e´ falsa e, da´ı, na˜o temos teorema, 3 e 9 sa˜o ı´mpares a a soma
3 + 9 = 12 e´ par.
Assim tivemos uma ra´pida revisa˜o sobre a Aritme´tica como um me´todo axioma´tico e for-
mal, embora de uma maneira coloquial, apesar de usarmos simbolismos. Vimos exemplos do
que e´ uma definic¸a˜o, de axiomas e de teoremas. Existem extenso˜es da Aritme´tica e Geome-
tria, pois a usadas aqui podem ser ampliadas ou reduzidas e ainda assim serem importantes
sistemas axioma´ticos. Nenhuma delas e´ menos importante do que a outra, apenas se aplicam
a situac¸o˜es diferentes e resolvem problemas diferentes.
A seguir, temos um resumo dos conjuntos, operac¸o˜es e suas propriedades. O x indica que
o conjunto tem a referida propriedade.
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Conjunto N Z Q R
+ − · ÷ + − · ÷ + − · ÷ + − · ÷
Fechamento x x x x x x x x x x x x x
Associativa x x x x x x x x
Comutativa x x x x x x x x
Neutro x x x x x x x x x x x x x x x x
Inverso x x x x x
Ale´m disso, a multiplicac¸a˜o se distribui para adic¸a˜o. O Conjunto R possui as mesmas pro-
priedades dos racionais, mas possui ainda outras propriedades, que os racionais na˜o possuem,
que sa˜o estudadas no curso de Ca´lculo Diferencial.
Vamos definir outras operac¸o˜es e propriedades entre nu´meros reais, que tambe´m sa˜o
usadas em casos particulares, nos naturais, inteiros, racionais e agora, no conjunto dos Reais.
4.2 Poteˆncias
Vamos definir as poteˆncias em casos particulares.
Definic¸a˜o 4.1. Poteˆncia
Seja a um nu´mero real e n um nu´mero natural, enta˜o a poteˆncia de a elevado a n e´ dada
por
an = a · a · a . . . a︸ ︷︷ ︸
n vezes
O valor de a e´ chamado de base e o de n e´ o expoente, e o resultado e´ a poteˆncia.
•
Teorema 4.2. Regras de Potenciac¸a˜o
Sejam a, b nu´meros reais e n,m nu´meros naturais.
1. an · am = an+m
Para multiplicar poteˆncias de mesma base, no resultado conservamos a base, e o novo
expoente e´ a soma dos expoentes dados.
2. an ÷ am = anam = an−m
Para dividir poteˆncias de mesma base, no resultado conservamos a base, e o novo
expoente e´ a subtrac¸a˜o dos expoentes dados, o numerador menos denominador.
3. (am)n = amn
Poteˆncia de poteˆncia, no resultado conservamos a base, e o novo expoente e´ o produto
dos expoentes dados.
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4 Conjunto dos Reais
4.
(
a
b
)n
= a
n
bn
Poteˆncia de uma frac¸a˜o e´ a frac¸a˜o das poteˆncias, ou seja, o resultado e´ uma nova
frac¸a˜o, na qual os termos sa˜o os mesmos com o expoente repetido no numerador e no
denominador.
?
Definic¸a˜o 4.2. Poteˆncias com expoente negativo
Seja a um nu´mero real e n um nu´mero natural, enta˜o a poteˆncia de a elevado a −n e´ dada
por
a−n =
1
an
•
Teorema 4.3. Seja a um nu´mero real, se o expoente e´ natural e par, n = 2k, enta˜o o resultado
e´ positivo.
(−a)2k = [(−a)2]k = [(−a) · (−a)]k = [a2]k= a2k
?
Exemplo 4.1. Poteˆncias diversas:
1. 45 = 4 · 4 · 4 · 4 = 1024
2. 32 · 34 = 36 = 9 · 81 = 36 = 729
3.
(
3
4
)5
= 3
5
45 =
243
1024 = 0.237304468...
4.
(
2
3
)−3
=
(
1
2
3
)3
=
(
3
2
)3
= 3
3
23 =
27
8 = 3.375
5.
(
1
4
)−2
= 42 = 16
6. (−3)4 = 34 = 81
7. (−3)5 = −243
8. Atenc¸a˜o: −24 , (−2)4. O primeiro e´ de fato −(24) = −16 e o segundo e´ (−2)4 = 16. No
primeiro caso, o uso dos pareˆnteses na˜o e´ necessa´rio e, da´ı, na˜o e´ usado.
Atenc¸a˜o: A potenciac¸a˜o tem prioridade sobre a multiplicac¸a˜o.
q
Definic¸a˜o 4.3. Poteˆncia com expoente racional
Seja a um nu´mero real e nmn uma frac¸a˜o, enta˜o a poteˆncia de a elevado a` frac¸a˜o e´ dada
por
a
m
n =
n√am
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
•
Exemplo 4.2.
a
1
2 =
2√
a1 =
√
a
2
3
2 =
2√
23 =
2√
8 = 2
√
2
2
2
3 =
3√
22 =
3√
4
q
Tanto a potenciac¸a˜o como a radiciac¸a˜o sa˜o func¸o˜es ou operac¸o˜es matema´ticas que podem
ser definidas atrave´s de outras em casos particulares, como vimos, ou atrave´s de outras
fo´rmulas mais gerais, como o uso de limites.
4.3 Radiciac¸a˜o
O ca´lculo a raiz esta´ associado a` operac¸a˜o inversa a` da potenciac¸a˜o. Por exemplo, se sabemos
que um quadrado tem 49m2 de a´rea, enta˜o seu lado tem 7m atrave´s da operac¸a˜o da radiciac¸a˜o,
pois
√
49 = 7.
Definic¸a˜o 4.4. Seja a um nu´mero real positivo e n um nu´mero natural na˜o nulo. A expressa˜o
n
√
a representa o u´nico nu´mero real x que verifica xn = a.
n√a = x ⇔ xn = a
O nu´mero n e´ chamado de ı´ndice, o valor a e´ chamado de radicando e x e´ a raiz.
•
Observac¸o˜es:
1. Em alguns casos, podemos estender o conceito acima para qualquer nu´mero real a e
definir a raiz quando existir o nu´mero x tal que xn = a.
2. Se n for par, havera´ dois nu´meros x tais que xn = a, mas a definic¸a˜o de raiz e´ dada,
somente, ao valor que tem o mesmo sinal de a, quando existe.
Em certos casos, podemos estar interessados nos dois valores e, da´ı, simbolizamos por
± 2√a, quando existe.
3. E´ importante notar que tal nu´mero pode na˜o existir. Se, por exemplo, a e´ negativo e
n = 2, enta˜o na˜o existe nenhum nu´mero x que, elevado ao quadrado, resulte em um
valor negativo.
Se quisermos dar um outro significado a essa possibilidade, criamos o conjunto dos
nu´meros complexos C, que, alia´s, possui aplicac¸o˜es bem interessantes no ca´lculo de
circuitos ele´tricos.
Esse modo de ‘criar ’ conjuntos para permitir certas operac¸o˜es foi feito desde o in´ıcio
com a subtrac¸a˜o em N.
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5 Conjuntos Enumera´veis
Teorema 4.4. Propriedades da Radiciac¸a˜o
Sejam a, b reais e n,m, p inteiros, sendo n,m > 1.
1. A
n√ab = n√a · n√b
2. n
√a
b =
n√a
n√b
3. ( n
√
a)m = n
√
am
4.
p
√
n
√
a = p n
√
a
?
Exemplo 4.3.
3
7√
5 + 2
7√
5 − 7√5 = (3 + 2 − 1) 7√5 = 4 7√5 = 4 · 5 17 = 4 · 1.2584989... = 5.0339958...
Os valores finais foram obtidos via func¸a˜o yx das calculadoras. Antes desta ferramenta,
eram usadas va´rias tabelas ou tabuadas, previamente calculadas via se´rie de poteˆncias e
diferenc¸as finitas.
5√
4 · 5√6 = 5√4 · 6 = 5√24 = 1.888175...
√
200√
2
=
√
200
2
=
√
100 = 10
3
√
4√
2 =
12√
2 = 2
1
12 = 1.059463...
q
5 Conjuntos Enumera´veis
Os conjuntos sa˜o finitos, com um nu´mero determinado de elementos ou infinitos. Se os
conjuntos teˆm o mesmo nu´mero de elementos, eles sa˜o equipotentes.
Definic¸a˜o 5.1. Conjuntos Enumera´veis
Sa˜o os conjuntos finitos ou equipotentes aos Naturais N.
•
Em uma primeira instaˆncia, intuitivamente, podemos supor que o conjunto dos nu´meros
inteiros tem mais elementos que o conjunto dos naturais. Mas na˜o e´ o que ocorre de fato.
O conjunto Z e´ enumera´vel, como podemos ver pela correspondeˆncia evidenciada logo
abaixo. Basta so´ um olhar diferente para verificarmos a enumerabilidade e equipoteˆncia de
ambos, pois uma outra maneira de escrever esses nu´meros ja´ nos da´ uma pista do porqueˆ a
intuic¸a˜o falha neste caso.
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
N = {0, −1, 1 −2, 2, −3, 3, . . .}
Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
Vemos que a cada nu´mero negativo corresponde um nu´mero natural ı´mpar e que a cada
nu´mero inteiro positivo corresponde um nu´mero natural par, logo existe uma correspondeˆncia
“1 − 1′′ entre ambos os conjuntos e eles possuem o mesmo nu´mero infinito de elementos.
Logo, se n(A) ou #A indica o nu´mero de elementos do conjunto A, enta˜o para A = {1, 6, 8, 9}
temos n(A) = #A = 4 e para os naturais e inteiros temos que eles possuem infinitos elementos.
N ∼ Z ∼ Q
n(N) = n(Z) = n(Q) = ∞ = ℵ0
O s´ımbolo ∼ indica equipoteˆncia entre conjuntos e ℵ0 indica a cardinalidade ou nu´mero
de elementos de conjuntos enumera´veis e infinitos.
Em cada um desses conjuntos, temos nu´meros de natureza diferente, mas todos seus
conjuntos sa˜o equipotentes, isto e´, possuem o mesmo nu´mero infinito de elementos. Essa
era uma das dificuldades dos gregos, perceber o qua˜o “grande e dinaˆmico” e´ o infinito.
N ∼ Z :sa˜o equipotentes e n(N) = n(Z) = ∞
Mesmo o conjunto das frac¸o˜es pode ser visto de modo sistema´tico, ordenado para termos
uma sequeˆncia de uma frac¸a˜o depois da outra, como os nu´meros inteiros. Uma maneira
de organiza´-los e´ vermos apenas as frac¸o˜es positivas e vermos mesmo os nu´meros inteiros
como frac¸o˜es. Podemos enumerar as frac¸o˜es nas diagonais da tabela a seguir e teremos
considerado todas as frac¸o˜es, vendo que elas teˆm o mesmo nu´mero infinito de elementos
que os naturais. Comece em 1 = 11 , va´ para
1
2 ,
2
1 ,
3
1 ,
2
2 ,
1
3 ,
1
4 ,
2
3 ,
3
2 ; seguindo em diagonais assim
por diante. Todas as frac¸o˜es esta˜o numa sequeˆncia que pode ser indexada pelos naturais,
mostrando que o nu´mero delas, retirando os repetidos, e´ o mesmo que o nu´mero dos naturais
ou inteiros.
1
1
1
2 ,
2
1 ,
3
1 ,
1
3 ,
1
4 ,
2
3 ,
3
2 ,
4
1 ,
5
1 ,
1
5 ,
1
6 ,
2
5 , . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 . . .
Tabela com uma ordenac¸a˜o das frac¸o˜es positivas
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 ....
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/4 ....
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 ...
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 ...
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 ....
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6 ...
1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 7/7 8/7 ....
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6 Intervalos Reais
Analogamente, podemos enumerar ou ordenar todas as frac¸o˜es negativas. Mas, sempre
existira˜o espac¸os entre frac¸o˜es que na˜o sa˜o racionais, assim como, o
√
2.
√
5,..., pi, e e infinitos
outros. Ha´ mais irracionais do que imagina nossa va˜ intuic¸a˜o nesse caso.
De fato ∞ na˜o e´ um nu´mero e sim uma representac¸a˜o de um limite.
Os conjuntos N,Z,Q sa˜o equipotentes ou enumera´veis.
Sabemos que
N ⊂ Z ⊂ Q,
isto e´, existem elementos em Z que na˜o esta˜o em N e elementos que esta˜o em Q, mas na˜o sa˜o
inteiros; mas todos os 3 conjuntos teˆm o mesmo nu´mero infinito de elementos, o que na˜o e´
intuitivo para a maioria das pessoas.
No computador, todos os conjuntos de qualquer tipo sa˜o finitos, embora a variac¸a˜o de
cada um deles seja diferente. Possu´ımos co´digos diferentes para representar os nu´meros
naturais, os inteiros e os racionais de diversas maneiras, mas a mais comum e´ a norma
IEEE754, para as ma´quinas bina´rias.
O conjunto dos complexos surge quando precisamos expressar nu´meros que correspondem
a`s ra´ızes quadradas de nu´meros negativos.
C = {a + bi |a ∈ R, b ∈ R i = √−1}
Em geral, lidamos com apenas certas partes do conjunto dos Reais, que sa˜o os intervalos.
6 Intervalos ReaisConforme ja´ foi visto, o conjunto dos reais R e´ cont´ınuo, isto e´, a reta real possui todos os
nu´meros: naturais, inteiros, racionais e inclusive os irracionais.
Os subconjuntos dos reais formam intervalos que podem ser fechados, abertos ou mistos.
Definic¸a˜o 6.1. Intervalo Fechado
O intervalo fechado [a, b], com extremidades a e b, e´ aquele que possui todos os elementos
entre as extremidades e inclusive elas. E´ indicado pelos colchetes: [ para iniciar e ] para
fechar.
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
•
Definic¸a˜o 6.2. Intervalo Aberto
O intervalo aberto (a, b), com extremidades a e b, e´ aquele que possui todos os elementos
entre as extremidades e exceto elas pro´prias. E´ indicado pelos pareˆnteses: ( para iniciar e )
para fechar.
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
•
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Unidade: Conjuntos Nume´ricos
Figura 2: Intervalo Fechado [a, b] e intervalo aberto (c, d)
Exemplo 6.1. Intervalos Abertos e Fechados
Os intervalos reais conte´m todos os pontos ou nu´meros reais que esta˜o delimitados. Numa
representac¸a˜o gra´fica na reta real, uma extremidade cheia indica uma extremidade fechada,
ao passo que a oca indica uma extremidade aberta. Na figura 6.1 temos o intervalo fechado
[a, b] e o intervalo aberto (c, d).
q
Os intervalos podem ser mistos, isto e´, possu´ırem uma extremidade aberta e outra fechada
ou vice-versa.
Observac¸o˜es: As notac¸o˜es para intervalos variam entre duas formas mais comuns. A
primeira, como descrevemos anteriormente, e a pro´xima, que tambe´m e´ usada.
1. Intervalo Aberto
Usamos os colchetes em vez de pareˆnteses.
]a, b[= {x ∈ R| a < x < b}
2. Intervalos Mistos
[a, b[= {x ∈ R| a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}
3. Intervalos fechados
Do mesmo modo anterior:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Vejamos, agora, as operac¸o˜es com intervalos, como subconjuntos dos nu´meros reais R.
Exemplo 6.2. Dados os seguintes intervalos reais, no Universo U = [−4, 7].
A = [−2, 2] = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 2} B = (0, 5) = {x ∈ R| 0 < x < 5}
C = [−3, 1) = {x ∈ R| − 3 ≤ x < 1}
Veja um diagrama dos intervalos na figura 3
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6 Intervalos Reais
Figura 3: Intervalos A = [−2, 2], B = (0, 5) C = [−3, 1)
Figura 4: A ∪ B = [−2, 5)
(a) A ∪ B = [−2, 5)
Ver figura 4.
(b) A ∪C = [−3, 2]
(c) A ∪ B ∪C = [−3, 5)
(d) A ∩ B = (0, 2]
Ver figura 5.
Figura 5: A ∩ B = (0, 2]
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(e) A ∩C = [−2, 1)
(f) A ∩ B ∩C = (0, 1)
(g) A = [−4, 2) ∪ (2, 7]
(h) B = [−4, 0] ∪ (5, 7]
Observac¸a˜o: Pelo contexto, devemos diferenciar o par ordenado do produto cartesiano
do intervalo aberto.
q
Com isso encerramos a revisa˜o geral de operac¸o˜es em diferentes conjuntos nume´ricos.
Refereˆncias
[1] Boldrini, J.L. A´lgebra Linear, 3 ed. Sa˜o Paulo, Harbra, 1986.
[2] Iezzi, G.;Dolce, O. Matema´tica, volume u´nico. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
[3] Iezzi, G.Murakami, C. Fundamentos de Matema´tica Elementar: Conjuntos, Func¸o˜es. 8
ed. Sa˜o Paulo: Atual,2004.
[4] Gersting, Judith L. Fundamentos Matema´ticos para a Cieˆncia da Computac¸a˜o.
Rio de Janeiro, 2a ed, 2001.
[5] Costa, N.C.A. Introduc¸a˜o aos Fundamentos da Matema´tica. Porto Alegre, UFRGS, Gra´-
fica da Livraria do Globo, 1962.
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