ADM05004 - Matematica I

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Matemática I – Versão 1 
 
 
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Matemática I – Versão 1 
 
Fundação Getulio Vargas 
Programa de Certificação de Qualidade 
 
Curso: 
 
Graduação em Administração 
 
Matemática I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor elaborador: 
 
Walter Wagner Carvalho Sande é Doutor em Administração pela Ebape/FGV, mestre em 
Administração pelo COPPEAD/UFRJ, graduado em Engenharia Mecânica pelo IME e em 
Matemática/Informática pela UERJ. Carreira profissional em diversas empresas nacionais 
e multinacionais. Atualmente, é professor e pesquisador da Escola de Matemática 
Aplicada (EMAp/FGV). 
 
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Matemática I – Versão 1 
Sumário 
Capítulo 1 – Lógica .............................................................................................................. 9 
1.1. Proposições e valor lógico ........................................................................................ 9 
1.2. Operadores lógicos e proposições compostas ........................................................ 11 
1.2.1. Conectivo de conjunção: ˄ (e) .......................................................................... 11 
1.2.2. Conectivo de disjunção: ∨ (ou) ......................................................................... 12 
1.2.3. Conectivo de disjunção exclusiva: ⩡ (ou... ou...) .............................................. 13 
1.2.4. Condicional simples: → (se... então...) ............................................................. 14 
1.2.5. Bicondicional: ↔ (... se e somente se...) .......................................................... 15 
1.3. Cálculo proposicional: precedência de operadores ................................................. 16 
1.4. Tipos de proposições compostas ............................................................................ 19 
1.4.1. Contradições ..................................................................................................... 19 
1.4.2. Tautologias ....................................................................................................... 19 
1.4.3. Contingências ................................................................................................... 20 
1.5. Implicações e equivalências .................................................................................... 20 
1.5.1. Implicações lógicas ........................................................................................... 20 
1.5.2. Relação de equivalência ................................................................................... 21 
1.6. Negação de proposições compostas ...................................................................... 22 
1.6.1. Negação da conjunção p ˄ q ............................................................................. 22 
1.6.2. Negação da disjunção p ˅ q .............................................................................. 22 
1.6.3. Negação da disjunção exclusiva p ⩡ q ............................................................. 22 
1.6.4. Negação da condicional simples p → q ............................................................ 22 
1.6.5. Negação da bicondicional p ↔ q ....................................................................... 22 
1.7. Sentenças abertas e quantificadores ...................................................................... 23 
1.8. Negação de proposições quantificadas ................................................................... 24 
Capítulo 2 – Teoria dos conjuntos ..................................................................................... 25 
2.1. Conceitos básicos ................................................................................................... 25 
2.1.1. Subconjuntos .................................................................................................... 27 
2.1.2. Igualdade entre conjuntos ................................................................................ 29 
2.1.3. Conjunto universo (U) ....................................................................................... 29 
2.1.4. Conjunto complementar .................................................................................... 30 
2.2. Operações com conjuntos ....................................................................................... 30 
2.2.1. União entre conjuntos ....................................................................................... 30 
2.2.2. Interseção entre conjuntos ............................................................................... 31 
2.2.3. Diferença entre conjuntos ................................................................................. 34 
2.2.4. Cardinalidade de um conjunto .......................................................................... 35 
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Matemática I – Versão 1 
2.3. Tabelas de contingência ......................................................................................... 36 
Capítulo 3 – Análise combinatória ..................................................................................... 38 
3.1 Princípio fundamental da contagem ......................................................................... 38 
3.1.1. Contando pares ordenados .............................................................................. 40 
3.1.2. Contando sequências maiores ......................................................................... 40 
3.1.3. Fatorial .............................................................................................................. 40 
3.2. Arranjos com repetição ........................................................................................... 42 
3.3. Arranjos (sem repetição) ......................................................................................... 43 
3.3.1. Fórmula do arranjo usando a notação recursiva de fatorial .............................. 44 
3.4. Permutação ............................................................................................................. 44 
3.4.1. Fórmula da permutação usando a notação recursiva de fatorial ...................... 45 
3.4.2. Permutação com elementos repetidos ............................................................. 45 
3.4.3. Permutação circular .......................................................................................... 47 
3.5. Combinação ............................................................................................................ 47 
3.6. Combinação completa ou combinação com repetição ............................................ 48 
3.6.1. Equação de coeficientes unitários em ℕ ........................................................... 49 
Capítulo 4 – Conjuntos numéricos e operações matemáticas ........................................... 50 
4.1. O conjunto dos números naturais – ℕ ..................................................................... 50 
4.1.1. Operações com números naturais .................................................................... 50 
4.2. O conjunto dos números inteiros – ℤ ....................................................................... 51 
4.3. O conjunto dos números racionais – ℚ ................................................................... 52 
4.3.1. Dízimas periódicas e frações equivalentes ....................................................... 53 
4.4. Conjunto dos números irracionais – 𝕀 ..................................................................... 55 
4.5. Conjunto dos números reais – ℝ ............................................................................. 56 
4.5.1. Intervalos numéricos ......................................................................................... 56 
4.6. Potência de expoente natural .................................................................................. 58 
4.6.1. Propriedades da potenciação ........................................................................... 58 
4.7. Radiciação ..............................................................................................................60 
4.7.1. Propriedades da radiciação .............................................................................. 61 
4.7.2. Racionalização de denominadores ................................................................... 62 
4.7.3. Exemplos de racionalização ............................................................................. 62 
Capítulo 5 – Sequências e séries ...................................................................................... 64 
5.1. Sequências ............................................................................................................. 64 
5.1.1. Sequências infinitas .......................................................................................... 64 
5.2. Progressão aritmética ............................................................................................. 65 
5.2.1. Regra geral da PA ............................................................................................ 65 
5.2.2. Gráfico da progressão aritmética ...................................................................... 66 
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Matemática I – Versão 1 
5.2.3. Regra geral ampliada da PA ............................................................................. 66 
5.2.4. Interpolação aritmética ..................................................................................... 67 
5.2.5. Soma dos termos de uma PA finita .................................................................. 67 
5.3. Progressão geométrica ........................................................................................... 68 
5.3.1. Regra geral da PG ............................................................................................ 68 
5.3.2. Gráfico da progressão geométrica .................................................................... 69 
5.3.3. Regra geral ampliada da PG ............................................................................ 70 
5.3.4. Interpolação geométrica ................................................................................... 70 
5.3.5. Soma dos termos de uma PG finita .................................................................. 70 
Capítulo 6 – Polinômios e equações ................................................................................. 71 
6.1. Introdução à álgebra ............................................................................................... 71 
6.1.1. Termo algébrico ................................................................................................ 72 
6.2. Monômios ................................................................................................................ 73 
6.2.1. Adição e subtração de monômios ..................................................................... 73 
6.2.2. Multiplicação e divisão de monômios ............................................................... 73 
6.3. Polinômios ............................................................................................................... 74 
6.3.1. Adição e subtração de polinômios .................................................................... 75 
6.3.2. Multiplicação e divisão de polinômio por monômio ........................................... 75 
6.3.3. Multiplicação de polinômio por polinômio ......................................................... 76 
6.3.4. Divisão de polinômio por polinômio .................................................................. 77 
6.4. Produtos notáveis .................................................................................................... 78 
6.5. Fatoração ................................................................................................................ 79 
Capítulo 7 – Identidades e equações ................................................................................ 82 
7.1. Definições ............................................................................................................... 82 
7.2. Princípios gerais para achar raízes de uma equação ............................................. 82 
7.3. Equação do primeiro grau ....................................................................................... 83 
7.4. Equação do segundo grau ...................................................................................... 83 
7.4.1. Fatoração de uma equação do segundo grau com as raízes ........................... 83 
7.5. Sistema de duas equações lineares e duas incógnitas ........................................... 84 
7.5.1. Métodos para solução de um sistema de equações lineares com duas variáveis
.................................................................................................................................... 84 
7.6. Equações irracionais ............................................................................................... 88 
Capítulo 8 – Funções ......................................................................................................... 90 
8.1. Definição e conceitos básicos ................................................................................. 90 
8.1.1. Notação ............................................................................................................ 90 
8.1.2. Domínio, contradomínio e imagem ................................................................... 91 
8.2. Sistema cartesiano .................................................................................................. 94 
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Matemática I – Versão 1 
8.2.1. Funções crescentes e decrescentes ................................................................ 95 
8.3. Função inversa ........................................................................................................ 97 
8.4. Funções compostas ................................................................................................ 98 
8.5. Dependência entre variáveis ................................................................................... 99 
Capítulo 9 – Função polinomial do primeiro grau ............................................................ 100 
9.1. Definição e elementos fundamentais .................................................................... 100 
9.2. Representação gráfica .......................................................................................... 100 
9.2.1. Interpretação dos coeficientes ........................................................................ 101 
9.2.2. Possíveis representações gráficas ................................................................. 102 
9.2.3. Alterações nos coeficientes – resultados gráficos .......................................... 103 
Capítulo 10 – Função polinomial do segundo grau .......................................................... 106 
10.1. Definição e elementos fundamentais .................................................................. 106 
10.2. Representação gráfica e elementos fundamentais ............................................. 106 
10.2.1. Raízes da função quadrática ........................................................................ 107 
10.2.2. Número de raízes ......................................................................................... 107 
10.2.3. Vértice da função quadrática ........................................................................ 108 
10.2.4. Concavidade, máximo e mínimo da função quadrática ................................ 108 
10.2.5. Efeitos dos coeficientes – resultados gráficos e interpretações .................... 109 
Capítulo 11 – Outras funções algébricas ......................................................................... 112 
11.1. Funções polinomiais de grau superior a dois ...................................................... 112 
11.2. Função potência .................................................................................................. 113 
11.2.1. Expoente natural ...........................................................................................113 
11.2.2. Expoente inteiro negativo ............................................................................. 114 
11.2.3. Expoente fracionário ..................................................................................... 115 
11.3. Função racional ................................................................................................... 115 
11.4. Função irracional ................................................................................................. 116 
Capítulo 12 – Inequações algébricas ............................................................................... 118 
12.1. Conceitos iniciais: intervalos como soluções ...................................................... 118 
12.1.1. Equação suporte equivalente ....................................................................... 118 
12.2. Inequações do primeiro grau ............................................................................... 119 
12.3. Inequações do segundo grau .............................................................................. 122 
12.3.1. Análise de sinais da função quadrática ........................................................ 122 
12.3.2. Solução de inequações do segundo grau ..................................................... 124 
12.4. Inequações do produto-quociente ....................................................................... 126 
12.4.1. Inequações produto ...................................................................................... 126 
12.4.2. Inequação quociente .................................................................................... 127 
Capítulo 13. Conclusão.................................................................................................... 129 
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Matemática I – Versão 1 
Capítulo 15 – Bibliografia ................................................................................................. 130 
15.1. Bibliografia básica ............................................................................................... 130 
15.2. Bibliografia complementar ................................................................................... 130 
 
 
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Matemática I – Versão 1 
Índice de tabelas 
Tabela 1. Prioridade dos operadores lógicos ..................................................................... 17 
Tabela 2. Fatorial de alguns números naturais. ................................................................. 41 
Tabela 3. Frações geradoras de dízimas periódicas simples ............................................ 54 
Tabela 4. Frações geradoras de dízimas periódicas compostas ....................................... 55 
Tabela 5. Casos de racionalização .................................................................................... 62 
Tabela 6. Resumo – concavidade, máximo, mínimo e imagem ....................................... 109 
Tabela 7. Resumo da regra de decisão para solução de inequação do primeiro grau. ... 122 
Tabela 8. Análise de sinais da função quadrática ............................................................ 124 
 
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Matemática I – Versão 1 
Capítulo 1 – Lógica 
A matemática está intimamente ligada à ideia de lógica e, esta, à noção de raciocínio. 
Não por acaso, quando pensamos em racionalidade, pensamos em lógica. De forma 
geral, a lógica examina como argumentos são construídos e usados para descrever o 
mundo e suas circunstâncias. 
Especificamente, podemos falar de lógica matemática. Costuma-se atribuir a Aristóteles o 
primeiro estudo formal acerca do raciocínio. Diversos outros filósofos se debruçaram 
sobre este tema, e a lógica passou a ser aceita como a base para o desenvolvimento 
científico. 
Neste capítulo, veremos os principais conceitos de lógica matemática, iniciando com o 
conceito fundamental de proposição e passando pelos operadores lógicos e pelo cálculo 
proposicional. 
1.1. Proposições e valor lógico 
O conceito fundamental da lógica é o de proposição. Uma proposição é uma sentença 
declarativa, composta por sujeito e predicado bem definidos, que pode assumir apenas 
um entre dois valores: verdadeiro ou falso. Por exemplo: 
• “O Brasil é um país da América do Sul” pode ser uma proposição, pois é 
declarativa, tem sujeito e predicado bem definidos e só pode assumir os valores 
verdadeiro ou falso. 
• “Os alunos de matemática” não pode ser uma proposição, pois não tem predicado. 
Analisando detalhadamente a definição anterior, podemos observar alguns pontos. 
Primeiramente, nem todas as sentenças podem ser proposições, apenas as declarativas. 
As sentenças exclamativas, interrogativas e imperativas não podem ser proposições. Por 
exemplo: 
• “Parabéns pelo seu aniversário!” não é uma proposição, pois é exclamativa. 
• “Que horas são?” não é uma proposição, pois é interrogativa. 
• “Faça os exercícios de Matemática” não é uma proposição, pois é imperativa. 
Em segundo lugar, nem todas as sentenças declarativas podem ser proposições, apenas 
as que podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas, sem que haja dúvidas nesta 
avaliação. Sendo assim, opiniões e sentenças abertas não podem ser proposições, pois 
suscitam dúvidas na sua avaliação. Por exemplo: 
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Matemática I – Versão 1 
• “Este é um país da América do Sul” é uma sentença aberta, logo não pode ser uma 
proposição, pois não sabemos ao certo a que país ela se refere. 
• “O Brasil é o melhor lugar do mundo para se viver” é uma opinião, portanto não 
pode ser uma proposição. 
Além disso, uma proposição não pode assumir outro valor que não seja verdadeiro ou 
falso, não existe um terceiro valor possível. Não é “meio verdadeiro” ou “meio falso”. Este 
é o princípio do terceiro excluído. Por fim, uma proposição não pode ser verdadeira e 
falsa ao mesmo tempo. Este é o princípio da não contradição. Por exemplo: 
• “Esta sentença é falsa” admite apenas dois valores possíveis, verdadeiro ou falso. 
Porém, ela é autorreferente, constituindo o que se chama de paradoxo de Liar, e 
fere o princípio da não contradição. Se considerarmos que ela é verdadeira, 
concluímos que ela é falsa, pois é isto que ela afirma; por outro lado, se 
considerarmos que ela é falsa, chegamos à conclusão de que ela é verdadeira. 
• “O Brasil tem mais de 100 milhões de habitantes” é uma sentença que admite 
apenas dois valores possíveis: verdadeiro, caso realmente haja, no Brasil, mais de 
100 milhões de habitantes; ou falso, caso contrário. E não é possível que, ao mesmo 
tempo, o Brasil tenha mais de 100 milhões de habitantes e menos de 100 milhões de 
habitantes, ou seja, não é possível que esta sentença seja, ao mesmo tempo, 
verdadeira e falsa. 
Concluímos, então, que as sentenças “O Brasil é um país da América do Sul” e “O Brasil 
tem mais de 100 milhões de habitantes” são proposições, pois atendem às características 
e princípios enumerados anteriormente. 
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas. Por exemplo: 
• p: O Brasil é um país da América do Sul 
• q: O Brasil tem mais de 100 milhões de habitantes 
O valor resultante da avaliação da proposição é chamado de valor lógico (VL), 
normalmente obtido pelo fato de a proposição ser uma sentença aceita como válida, ou 
por um processo dedutivo, a partir de informações válidas anteriores. 
Uma proposição pode ser apresentada por meio de uma sentença “positiva” ou “negativa”, 
e qualquer proposição pode ser negada. Negar uma proposição significa criar outra que 
terá valor lógico oposto ao valor lógico da proposição original. Usamos os operadores ~ e 
¬ para indicar que uma proposição é a negação de outra. Assim: 
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Matemática I – Versão 1 
• p: O Brasil é um país da América do Sul 
• ~p: O Brasil não é um país da América do Sul, ou 
• ¬ p: O Brasil não é um país da América do Sul 
Se 𝑝 é verdadeira, então ~p é falsa, e se p é falsa, então ~p é verdadeira. Esses 
resultados costumam ser representados em uma tabela, chamada tabelaverdade: 
p ~p 
V F 
F V 
 
Uma proposição pode ser classificada como simples ou composta. Proposições simples 
vêm sozinhas, sem outras proposições. Por exemplo: 
• p: O Brasil é um país da América do Sul 
Quando duas ou mais proposições estão conectadas entre si, formando uma única 
sentença, temos uma proposição composta. Por exemplo: 
• q: O Brasil é um país da América do Sul e tem mais de 100 milhões de habitantes 
Em uma proposição composta, as proposições simples são combinadas por conectivos. 
Além disso, podemos analisar o valor lógico de sentenças compostas complexas, que 
envolvam diversos tipos de operadores. 
1.2. Operadores lógicos e proposições compostas 
Vamos analisar cinco operadores lógicos: conectivo de conjunção, conectivo de 
disjunção, conectivo de disjunção exclusiva, condicional simples e bicondicional. 
1.2.1. Conectivo de conjunção: ˄ (e) 
A conjunção entre sentenças é muito comum na linguagem coloquial e também na 
matemática. Por exemplo: 
 
 
 
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Matemática I – Versão 1 
A conjunção p ˄ q é verdadeira apenas quando p e q são ambas verdadeiras. Se ao 
menos uma delas for falsa, p ˄ q é falsa. A tabela verdade da conjunção mostra todos os 
resultados possíveis de p ˄ q, para todas as combinações de valores lógicos possíveis de 
p e q: 
 
p q p ˄ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
É conveniente interpretar as proposições como se fossem promessas. Por exemplo, a 
proposição Eu vou me formar este ano e eu vou viajar ao exterior só estará cumprida se 
as duas promessas forem cumpridas! 
1.2.2. Conectivo de disjunção: ∨ (ou) 
A disjunção entre sentenças também é muito comum na linguagem coloquial e na 
matemática. Por exemplo: 
 
 
A disjunção p ˅ q é verdadeira quando ao menos uma das proposições é verdadeira. 
Somente quando ambas forem falsas é que p ˅ q será falsa. A tabela verdade da 
disjunção é apresentada a seguir: 
 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
13 
Matemática I – Versão 1 
Vale notar que a disjunção é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras. 
Isso às vezes soa estranho para o linguajar coloquial. Neste, costumamos considerar que 
p ou q será verdadeira quando ou p for verdadeira ou q for verdadeira. Na realidade, este 
tipo de disjunção existe, é chamado de disjunção exclusiva e será abordado a seguir. 
Se as proposições fossem promessas, Eu vou me formar este ano ou eu vou viajar ao 
exterior estará cumprida se uma das duas promessas for cumprida. Se ambas forem 
cumpridas, melhor ainda! 
1.2.3. Conectivo de disjunção exclusiva: ⩡ (ou... ou...) 
A disjunção exclusiva de duas sentenças também é conhecida como Ou Exclusivo. É 
formada pelo uso duplo da disjunção “ou” uma vez antes de cada disjunção. Em 
ambientes de computação, faz-se referência ao operador XOR, que é uma adaptação do 
inglês eXclusive OR. Por exemplo: 
 
 
A disjunção exclusiva p q é verdadeira quando uma, e somente uma das proposições p 
ou q, é verdadeira. O ou duplo evidencia que as proposições simples são mutuamente 
excludentes. Quando ambas forem verdadeiras e quando ambas forem falsas, p q será 
falsa. A tabela verdade da disjunção exclusiva é apresentada a seguir: 
 
p q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Se as proposições fossem promessas, Ou eu vou me formar este ano ou eu vou viajar ao 
exterior evidencia que apenas uma das promessas será cumprida, portanto deverá haver 
uma escolha. 
14 
Matemática I – Versão 1 
1.2.4. Condicional simples: → (se... então...) 
A condicional entre duas sentenças é formada pelo uso de se e de então antes de cada 
uma delas. Por exemplo: 
 
 
A condicional simples p → q é falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Em todas 
as outras combinações, p → q é verdadeira. A tabela verdade da condicional simples é 
apresentada a seguir: 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Convém interpretar uma proposição condicional simples como uma proposição descritiva. 
Considerando, por exemplo, a proposição “se eu nasci em Salvador, então eu sou 
baiano”, podemos interpretar que todos que nascem em Salvador são baianos, mas quem 
não nasce em Salvador pode ser baiano ou não. 
1.2.4.1. Condição necessária e condição suficiente 
No condicional simples p → q, dizemos que p é uma condição suficiente para q, e que q 
é uma condição necessária para p. 
Voltando ao exemplo da proposição “se eu nasci em Salvador, então eu sou baiano”, 
nascer em Salvador é uma condição suficiente para alguém ser baiano, pois basta (é 
suficiente) nascer em Salvador para ser baiano. E, certamente, são baianas todas as 
pessoas que nascem em Salvador. Logo, ser baiano é uma condição necessária para 
nascer em Salvador. Não é possível nascer em Salvador e não ser baiano. Por isso, a 
combinação V → F tem valor lógico falso na tabela verdade da condicional simples. 
Vamos considerar agora outra situação. Você está passeando em uma trilha e resolve se 
refrescar em uma cachoeira. Lá, percebe uma enorme pedra brilhante. Será um 
15 
Matemática I – Versão 1 
diamante? Daí, raciocina: “Todo diamante é uma pedra transparente, mas nem toda pedra 
transparente é um diamante.” 
Nem todas as pedras transparentes são diamantes. Ser transparente é uma condição 
necessária para ser um diamante, mas não é suficiente. Por outro lado, todos os 
diamantes são transparentes. Logo, ser um diamante é uma condição suficiente para ser 
transparente. 
Traduzindo para o linguajar que estamos desenvolvendo, colocando a situação na forma 
de uma proposição, temos que “Se é um diamante, então é uma pedra transparente”. 
1.2.4.2. Antecedente, consequente e causalidade lógica 
Em uma condicional simples p → q, chamamos a proposição p de antecedente e a 
proposição q de consequente. No entanto, por mais que a nomenclatura nos leve a 
outros entendimentos, a análise do condicional simples não requer causalidade lógica 
entre as proposições. Considere a seguinte proposição: 
• Se está chovendo hoje, então o Brasil ganhou a Copa do Mundo de 2014. 
Como sabemos, a proposição q, o Brasil ganhou a Copa do Mundo de 2014 tem valor 
lógico falso. Já a proposição p, Está chovendo hoje, tem valor lógico que depende de 
como está o tempo no dia em que você está lendo este texto. Olhe para fora: se o dia 
estiver chuvoso, a proposição tem valor lógico verdadeiro, e nossa proposição p → q tem 
uma combinação V → F. 
Consultando a tabela verdade, a análise da proposição nos aponta para p → q = F. Caso 
contrário, ou seja, caso o tempo não esteja chuvoso, nossa proposição p → q tem uma 
combinação F → F. Nesse caso, a análise da proposição nos aponta para p → q = V. Em 
resumo, quando o consequente é falso, a proposição pode ser verdadeira ou falsa. 
 
1.2.5. Bicondicional: ↔ (... se e somente se...) 
A bicondicional entre duas sentenças é formada pelo uso de se e somente se entre as 
duas proposições. Por exemplo: 
 
 
16 
Matemática I – Versão 1 
 
 
A bicondicional funciona como um condicional duplo. Por exemplo, se 1 < 2, então 2 > 1, 
e se 2 > 1, então1 < 2. Portanto, falamos 1 < 2 se e somente se 2 > 1. 
A bicondicional p ↔ q é verdadeira apenas quando p e q têm o mesmo valor lógico, ou 
seja, quando p e q ou são ambos verdadeiros ou são ambos falsos. Se elas tiverem 
valores lógicos diferentes, a proposição bicondicional p ↔ q é falsa. A tabela verdade da 
bicondicional é apresentada a seguir: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
As proposições simples envolvidas numa proposição bicondicional são, ambas, 
necessárias e suficientes. Vamos considerar, por exemplo, a proposição “Paulo está feliz 
se e somente se Camila está feliz”. A felicidade de Camila basta para Paulo estar feliz, e 
Paulo certamente estará feliz se Camila estiver. A felicidade de Paulo basta para Camila 
estar feliz, e Camila certamente estará feliz se Paulo estiver. 
1.3. Cálculo proposicional: precedência de operadores 
Quando temos proposições compostascomplexas, devemos obedecer a regras de 
precedência entre operadores, simplificando as proposições na seguinte ordem: 
a) Resolver parênteses, colchetes etc. 
b) Aplicar as negações () 
c) Resolver as conjunções e disjunções na ordem em que aparecerem 
d) Resolver as condicionais simples 
e) Resolver as bicondicionais 
A Tabela 1 resume a ordem de precedência entre os operadores lógicos: 
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Matemática I – Versão 1 
 
Tabela 1. Prioridade dos operadores lógicos 
Operador Descrição Precedência/ 
prioridade 
( ), [ ],{ } Parênteses, colchetes e chaves 
 
~, ¬ Negação 
˄, ˅ Conjunção e disjunção 
→ Condicional simples 
↔ Bicondicional 
 
Exemplo resolvido 1 
Calcular a tabela verdade da proposição p ˄ (q ˅ r). 
Solução 
Como temos três proposições simples, temos oito linhas na tabela verdade, 
correspondentes a todas as combinações possíveis dos valores lógicos de cada uma 
delas. Para começar, completamos uma coluna correspondente à disjunção (q ˅ r), que 
está entre parênteses. O passo seguinte é completar a coluna correspondente à 
conjunção entre p e (q ˅ r). 
 
p q r (q ˅ r) p ˄ (q ˅ r) 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F F F 
F V V V F 
F V F V F 
F F V V F 
F F F F F 
 
Exemplo resolvido 2 
Calcular a tabela verdade da proposição (p ˄ q) ˅ (p ˄ r). 
18 
Matemática I – Versão 1 
Solução 
A tabela verdade tem 8 linhas, pois são três proposições simples. Primeiramente, 
avaliamos a proposição (p ˄ q) e, em seguida, a proposição (p ˄ r). Por fim, com essas 
duas colunas preenchidas, podemos avaliar a proposição (p ˄ q) ˅ (p ˄ r). 
p q r (p ˄ q) (p ˄ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) 
V V V V V V 
V V F V F V 
V F V F V V 
V F F F F F 
F V V F F F 
F V F F F F 
F F V F F F 
F F F F F F 
 
Comparando as tabelas verdade dos dois últimos exemplos, temos: 
 
p q r P ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F F F 
F V V F F 
F V F F F 
F F V F F 
F F F F F 
 
Percebemos que todos os valores lógicos na coluna correspondente à primeira 
proposição são exatamente iguais aos valores na coluna correspondente à segunda. Com 
isso, concluímos que as proposições p ˄ (q ˅ r) e (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) são iguais, ou seja: 
p ˄ (q ˅ r) = (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) 
 
19 
Matemática I – Versão 1 
1.4. Tipos de proposições compostas 
As proposições compostas podem ser classificadas, em função da análise de seus 
valores lógicos, em três tipos: contradições, tautologias e contingências. Vamos a cada 
tipo. 
1.4.1. Contradições 
Proposições cuja avaliação sempre resulta em um valor lógico falso são chamadas de 
contradições ou identicamente falsas. Por exemplo: 
• p: Brasil tem mais de 100 milhões de habitantes 
• q: Brasil não tem mais de 100 milhões de habitantes 
Podemos observar que a proposição q é a negação de p, ou seja, q = ~p. Assim, a 
conjunção (p ˄ q) equivale a (p ˄ ~p). Podemos construir a tabela verdade desta 
conjunção. Como, na prática, temos apenas uma proposição simples, já que a segunda é 
a negação da primeira, a tabela verdade tem apenas duas linhas, correspondentes aos 
dois valores lógicos possíveis para a proposição. Assim, analisando a tabela verdade para 
a conjunção p ˄ ~p, temos: 
p ~p p ˄ ~p 
V F F 
F V F 
 
Para qualquer proposição 𝑝, a conjunção p ˄ ~p é falsa. Por esse motivo, dizemos que a 
conjunção p ˄ ~p é uma contradição. 
1.4.2. Tautologias 
Por outro lado, proposições cuja avaliação sempre resulta em um valor lógico verdadeiro 
são chamadas de tautologias ou identicamente verdadeiras. Por exemplo, vamos 
construir a tabela verdade da proposição (p ˄ q) ˅ ~p → ˅~p. 
Como temos duas proposições simples (p e q), a tabela verdade tem quatro linhas. 
Fazemos primeiramente a negação ~p. Em seguida, analisamos a conjunção p ˄ q, a 
disjunção (p ˄ q) ˅ ~p e a disjunção p ˅ ~p. Por fim, analisamos a proposição condicional 
simples (p ˄ q) ˅ ~p → p ˅~p. 
 
 
20 
Matemática I – Versão 1 
p q ~p P ˄ q (p ˄ q) ˅ ~p p ˅~p (p ˄ q) ˅ ~p → p ˅~p 
V V F V V V V 
V F F F F V V 
F V V F V V V 
F F V F V V V 
 
Quaisquer que sejam as proposições p e q, a proposição (p ˄ q) ˅ ~p → p ˅~p será 
sempre verdadeira. Sendo assim, a proposição (p ˄ q) ˅ ~p → p ˅~p é uma tautologia. 
1.4.3. Contingências 
Quando uma proposição composta não é uma contradição e não é uma tautologia, ela é 
chamada de contingência. O valor lógico de uma contingência depende do valor lógico 
de cada proposição simples que a compõe. A proposição p ˅ q → p ˄ q é uma 
contingência, pois sua tabela verdade apresenta os valores a seguir: 
p q p ˅ q p ˄ q p ˅ q → p ˄ q 
V V V V V 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F V 
1.5. Implicações e equivalências 
Existem duas situações importantes em que ocorrem tautologias, para as quais temos 
denominações específicas. A primeira delas é a implicação lógica, e a outra é a relação 
de equivalência. 
1.5.1. Implicações lógicas 
Quando a proposição condicional p → q é uma tautologia, dizemos que a proposição p 
implica a proposição q, e representamos essa relação com uma seta dupla: p ⇒ q. Por 
exemplo, a tabela verdade da proposição p ˄ q → p ↔ q. 
 
p q p ˄ q p ↔ q p ˄ q → p ↔ q 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F V V 
21 
Matemática I – Versão 1 
 
Ou seja, para quaisquer valores de p e q, a proposição p ˄ q → p ↔ q será sempre 
verdade. Logo, podemos dizer que p ˄ q implica p ↔ q p ↔ q p ↔ q e representar da 
seguinte forma: 
p ˄ q ⇒ p ↔ q 
Na prática, temos diversos exemplos de implicações lógicas: 
• O cachorro late ⇒ o cachorro está vivo. 
• X é par ⇒ X é divisível por 2. 
• X é ímpar ⇒ X não é divisível por 2. 
• X é primo ⇒ X é 2 ou X é ímpar; entre outros. 
Nesses exemplos, nunca o antecedente será verdadeiro e o consequente falso. 
1.5.2. Relação de equivalência 
Quando a proposição bicondicional p ↔ q é uma tautologia, dizemos que a proposição p 
equivale à proposição q e representamos a relação com uma seta dupla para os dois 
lados: p ⇔ q. Por exemplo, considerando a proposição p → q ↔ ~q → ~p, cuja tabela 
verdade é apresentada a seguir: 
 
p q ~p ~q p → q ~q → ~p p → q ↔ ~q → ~p 
V V F F V V V 
V F F V F F V 
F V V F V V V 
F F V V V V V 
 
Percebe-se que, para quaisquer valores de p e q, a proposição p → q ↔ ~q → ~p será 
sempre verdade. Logo, p → q equivale a ~q → ~p, o que pode ser representado da 
seguinte forma: 
p → q ⇔ ~q → ~p 
 
A proposição ~q → ~p é chamada de contrapositiva de p → q. 
Uma equivalência equivale a uma implicação para os dois lados. Sempre que , 
temos que p ⇒ q e também que q ⇒ p. Por exemplo, X é par equivale a X é divisível por 
22 
Matemática I – Versão 1 
2, pois X é par implica X é divisível por 2, e X é divisível por 2 implica X é par. Porém, o 
cachorro late não equivale a o cachorro está vivo, pois, apesar de o cachorro late implicar 
o cachorro está vivo, o cachorro está vivo não implica o cachorro late. 
1.6. Negação de proposições compostas 
Para fazermos a negação de proposições compostas, devemos atentar para as regras a 
seguir. 
1.6.1. Negação da conjunção p ˄ q 
A negação de p ˄ q é ~p ˅ ~q. 
Exemplo: Peixes vivem no mar e macacos gostam de árvore (V) / Peixes não vivem no 
mar ou macacos não gostam de árvore (F) 
1.6.2. Negação da disjunção p ˅ q 
A negação de p ˅ q é ~p ˄ ~q. 
Exemplo: Dentro do avião há homens ou há mulheres1 (V) / Dentro do avião não há 
homens e não há mulheres (F) 
1.6.3. Negação da disjunção exclusiva p ⩡ q 
A negação de p q é ~p ↔ ~q. 
Exemplo: ou 2 > 1 ou 5 X 2 = 7 (V) / 2 ≤ 1 se e somente se 5 X 2 ≠ 7 (F) 
1.6.4. Negação da condicional simples p → q 
A negação de p → q é p ˄ ~q. 
Exemplo: Se Paulo nasceu na Bahia então Paulo é baiano2 (V). / Paulo nasceu na Bahia 
e Paulo não é baiano (F). 
1.6.5. Negação da bicondicional p ↔ q 
A negação de p ↔ q é ~p ~q. 
Exemplo: O telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V). / ou o telefone não 
toca ou ninguém liga para ele (F). 
Exemplo: 2 > 1se e somente se 5 X 2 = 7 (F) / 2 ≤ 1 5 X 2 ≠ 7 (V) 
 
1 A sentença composta correta em termos proposicionais seria “Dentro do avião há homens” ou “dentro do avião há 
mulheres”, evidenciando que a proposição composta é formada por duas proposições simples autônomas, 
independentes. Porém, na nossa linguagem corrente, “isolamos” a parte comum, “Dentro do avião”, e não a 
repetimos na segunda proposição. 
2 Estamos considerando, neste caso, que Paulo é um ilustre baiano, nascido em Feira de Santana. 
23 
Matemática I – Versão 1 
Exemplo: (x + 2 = 5) ↔ (y < 2) / (x + 2 ≠ 5) (y ≥ 2) 
Vamos escolher os valores x = 3 e y = 5 para testar o valor lógico da proposição: 
(3 + 2 = 5): V; (5 < 2): F; o que resulta em V ↔ F: F. 
Por sua vez,(3 + 2 ≠ 5): F; (5 ≥ 2): V, o que resulta em F V:V. 
Quaisquer que sejam os valores escolhidos, o resultado da primeira forma é sempre 
oposto ao da segunda. 
1.7. Sentenças abertas e quantificadores 
Vimos anteriormente que sentenças abertas não podem ser proposições, pois não é 
possível avaliar seu valor lógico. Por exemplo, X é par e X é ímpar são sentenças abertas, 
pois não sabemos a qual valor de X elas se referem, logo não temos como avaliar o valor 
lógico das sentenças. Porém, a sentença composta X é par ou X é ímpar pode ser 
avaliada (neste caso, seu valor lógico é verdadeiro) e é, então, uma proposição. 
Sentenças abertas somente podem ser avaliadas logicamente se for possível atribuir 
valores às variáveis envolvidas ou se usarmos quantificadores. Por exemplo, x2 = 4 é 
uma sentença aberta. Porém, sabemos que: 
• Se x = 2, a sentença é verdadeira; 
• Se x = - 2, a sentença é verdadeira; e 
• Para qualquer outro valor de x, a sentença é falsa. 
Podemos usar, neste exemplo, os quantificadores Ǝ (quantificador existencial) e ∀ 
(quantificador universal): 
• (Ǝx) (x2 = 4); lê-se: existe algum x, tal que x elevado ao quadrado é igual a quatro; 
• (∀x) (x2 = 4); lê-se: para todo x, x ao quadrado é igual a quatro. 
No primeiro caso, a proposição é verdadeira, enquanto, no segundo, a proposição é falsa. 
O uso correto de quantificadores pode tornar uma sentença aberta verdadeira ou falsa. 
Por exemplo: 
Sentença aberta Proposição quantificada V Proposição quantificada F 
O animal voa Existem animais que voam Todos os animais voam 
X > 5 (Ǝx) (x > 5) (∀x) (x > 5) 
x2 + 1 > 0 (∀x) (x2 + 1 > 0) (Ǝx) (x2 + 1 ≤ 0) 
 
24 
Matemática I – Versão 1 
Além dos quantificadores Ǝ (quantificador existencial) e ∀ (quantificador universal), 
existem ainda o quantificador existencial exclusivo (Ǝ! ou Ǝ│) e o quantificador não 
existencial (∄). Por exemplo: 
• (Ǝ! x) (x + 5 = 6); lê-se: existe um único x, tal que x mais cinco é igual a seis (V); 
• (∄x) (x2 = -1); lê-se: não existe x tal que x elevado ao quadrado seja igual a menos 
um (V). 
1.8. Negação de proposições quantificadas 
As equivalências a seguir representam maneiras de se fazer a negação de proposições 
quantificadas. 
• ~( Ǝx) (p(x)) (∀x) (~p(x)) 
• ~(∀x) (p(x)) (Ǝx) (~p(x)) 
Ou seja, para negar um quantificador, usamos o outro e negamos a sentença aberta. Por 
exemplo: 
(Ǝx) (x2 = 25) (V) (∀x)(x2 ≠ 25) (F) 
(Ǝx) (x2 = -1) (F) (∀x)(x2 ≠ 1) (V) 
 
Resolva as tarefas do capítulo 1 da lista de exercícios. 
 
25 
Matemática I – Versão 1 
Capítulo 2 – Teoria dos conjuntos 
A noção de conjuntos é bastante intuitiva e está presente em vários contextos no nosso 
dia a dia. Os jogadores de um time de futebol, os funcionários de uma empresa, os 
membros de uma família, os eleitores de um candidato a prefeito e tantos outros grupos 
são exemplos de conjuntos formados por pessoas. Os produtos fabricados numa linha de 
produção em determinado turno de trabalho, as bolas dentro de uma urna, os números 
pares, os números primos, as vogais, as consoantes etc. são outros exemplos de 
conjuntos compostos por itens de naturezas bem diversas, mas que guardam, entre si, 
algumas características que os tornam coleções específicas. 
2.1. Conceitos básicos 
“Conjunto” é um conceito primitivo na matemática, ou seja, não tem uma definição. 
Geralmente, representamos conjuntos por letras maiúsculas. Um conjunto está bem 
definido quando podemos identificar claramente seus componentes. 
Chamamos de elementos os itens que compõem um conjunto. Há conjuntos finitos e 
infinitos, e podemos descrever os elementos de três maneiras. A maneira como se vai 
descrever o conjunto às vezes é uma opção escolhida por conveniência. A primeira é por 
meio de uma lista, na qual elencamos cada um dos componentes. Não importa a ordem 
em que são listados, e cada elemento aparece apenas uma vez na lista. Por exemplo, 
podemos listar o conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u}. Ou, então, o conjunto dos valores 
das faces de um dado: X = {1,2,3, 4, 5, 6}. Porém, quando o conjunto é infinito ou muito 
grande, a descrição por lista é inviável. 
A segunda maneira de descrever um conjunto é pelo enunciado de uma regra, que 
caracteriza seus elementos. O conjunto das vogais poderia ser descrito como A = {x│x é 
vogal}, mas pouca ou nenhuma vantagem há em relação à forma anterior, A = {a, e, i, o, 
u}. Porém, descrever o conjunto dos números primos com uma lista poderia ser vago, e 
nesse caso teríamos que fazer uso de reticências. Com uma regra, a descrição é bem 
precisa: P = {x│x é primo}. 
Por fim, podemos descrever um conjunto com uma representação num esquema gráfico 
ou visual que facilite sua interpretação. Por exemplo, o esquema usado na Figura 1 para 
representar as vogais é chamado de Diagrama de Venn, muito utilizado nas operações 
com conjuntos. 
26 
Matemática I – Versão 1 
Figura 1. Representação gráfica do conjunto das vogais 
 
Para representar um intervalo numérico, no entanto, esse esquema não é muito útil. Para 
representar, por exemplo, os números reais entre 1 e 2, incluindo o 1 mas não o 2, 
poderíamos usar uma regra, como A = {X  A = {x  1 ≤ x < 2}. Alternativamente, 
poderíamos usar uma representação gráfica da reta de números reais, como na Figura 2: 
 
Figura 2. Representação gráfica de um intervalo numérico 
 
Outra maneira muito útil de representar conjuntos matemáticos são os gráficos de 
funções, que representam um subconjunto do plano real que são os pontos que 
pertencem à função. Por exemplo, a Figura 3 apresenta o gráfico da função y = x2, para 
valores de x entre - 2 e + 2. 
27 
Matemática I – Versão 1 
Figura 3. Gráfico da função y = x2 para valores de x entre - 2 e + 2 
 
 
A relação fundamental entre um conjunto e seus elementos é a pertinência. Quando um 
objeto x é um dos elementos de um conjunto A, dizemos que x pertence a A, e 
representamos por x  A. Por outro lado, quando x não é um dos elementos de A, 
dizemos que x não pertence a A e representamos por x  A. 
Outra noção fundamental é a ideia de conjunto vazio, que é o conjunto que não possui 
elemento algum. Representamos um conjunto vazio pelos símbolos  e { }. Vale notar 
que o conjunto {} não é um conjunto vazio. Ele é um conjunto cujo único elemento é o 
conjunto vazio. 
2.1.1. Subconjuntos 
Dizemos que um conjunto B é um subconjunto do conjunto A quando todos os 
elementos de B são também elementos de A. Representamos a relação de inclusão das 
seguintes formas equivalentes: 
• A  B, e lemos A contém B, ou 
• A  B, e lemos B está contido em A. 
Quando algum dos elementos do conjunto C não é também elemento do conjunto A, 
dizemos que C não é subconjunto de A e representamos a relação de não inclusão das 
seguintes formas equivalentes: 
• A ⊅ C, e lemos A não contém C, ou 
• C  A, e lemos C não está contido em A. 
A Figura 4 ilustra as relações de inclusão e não inclusão. Nela, vemos que B é um 
subconjunto de A, pois todos os elementos de B também são elementos de A, enquanto C 
28 
Matemática I – Versão 1 
e D não são subconjuntos de A, pois alguns elementos de C e todosos elementos de D 
não são elementos de A. 
Figura 4. Relações de inclusão e não inclusão 
 
 
Resumindo, temos, para os conjuntos representados na Figura 4, as seguintes relações 
válidas: 
• A  B: A contém B; 
• B  A: B está contido em A ou é subconjunto de A; 
• A ⊅ C: A não contém C; 
• C  A: C não está contido em A; 
• A ⊅ D: A não contém D; 
• D  A: D não está contido em A. 
A inclusão é logicamente definida da seguinte maneira: 
 
A  B  (∀x) (x  B  x  A) 
 
Ou seja, dizer que o conjunto A contém o conjunto B (ou, em outras palavras, que o 
conjunto B é subconjunto do conjunto A) equivale a dizer que todo elemento que pertence 
a B também pertence a A. 
Exemplos: 
• {a, b, c, d}  {a, b}, ou {a, b}  {a, b, c, d} 
• {a, e, i, o, u}  {a, e}, ou {a, e}  {a, e, i, o, u} 
• {a, e, i}  {a, b, c, d} 
29 
Matemática I – Versão 1 
• {x, y}  {a, b, c, d} 
A inclusão também pode ser definida com base nas regras, ou propriedades, que 
descrevem o conjunto. Seja o conjunto B definido pelos elementos onde a propriedade p 
(x) é verdadeira, e o conjunto A definido pelos elementos onde q(x) é verdadeira. Então, 
 
A  B  (∀x)(p(x)  q (x)). 
 
Por exemplo, sejam os conjuntos B = {xx é múltiplo de 4} e A = {xx é par}. A 
propriedade que define B é p(x) = {xx é múltiplo de 4}, enquanto a propriedade que 
define A é q(x) = {xx é par}. Vale lembrar que, na condicional, a única situação em que 
temos valor lógico falso é quando ocorre V  F. Como não existe x que seja múltiplo de 4 
e ímpar, esta situação jamais ocorre. Então, temos uma tautologia na condicional simples, 
e a implicação {xx é múltiplo de 4}  {xx é par} é válida. Portanto, {xx é múltiplo de 4} 
 {xx é par}  A  B. 
Um raciocínio análogo nos faz concluir que se B = {xx é múltiplo de 3} e A = {xx é par}, 
A ⊅ B. Vale notar que qualquer conjunto é subconjunto dele mesmo, e o conjunto vazio é 
subconjunto de qualquer conjunto. 
• (∀A) (A  A, A  A); 
• (∀A) (A  Ø, Ø  A). 
2.1.2. Igualdade entre conjuntos 
Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos: A = B  (B 
 A) e (A  B). Essa definição é consequência de (∀x)(x ϵ B ⇒ x ϵ A) ˄ (∀x)( x ϵ A ⇒ x ϵ 
B). Quando dois conjuntos são iguais, todos os elementos de um deles também são 
elementos do outro. 
2.1.3. Conjunto universo (U) 
Em um contexto de análise específico, chamamos de universo (normalmente 
representado por U) o conjunto mais geral de todos, aquele que contém todos os 
possíveis subconjuntos, ao qual pertencem todos os elementos. Não se trata de uma 
definição absoluta, pois depende da situação considerada. Em um estudo que analise 
cantores brasileiros, teríamos como possíveis conjuntos, por exemplo, A = {Caetano, Gil, 
João Gilberto}, B = {Tom Jobim, Vinícius, Toquinho}, etc., e o conjunto universo poderia 
ser descrito como U = {cantores brasileiros}. No entanto, nada impediria que, num 
30 
Matemática I – Versão 1 
contexto mais amplo, tendo-se os mesmos conjuntos citados anteriormente, o conjunto 
universo fosse descrito como U = {cantores} ou ainda U = {artistas} 
2.1.4. Conjunto complementar 
Dado um conjunto A, subconjunto do universo U, chamamos de conjunto complementar 
de A o conjunto Ᾱ formado pelos elementos de U que não estão em A. Sendo assim, se x 
ϵ A, então x  Ᾱ e vice-versa. Por exemplo, se U = {letras do alfabeto} e A = {vogais}, Ᾱ = 
{consoantes}. 
2.2. Operações com conjuntos 
São definidas algumas operações com conjuntos. Vamos apresentar a união, a interseção 
e a diferença. Começamos com a união entre conjuntos. 
2.2.1. União entre conjuntos 
A união entre o conjunto A e o conjunto B é um terceiro conjunto C, de tal forma que 
todos os elementos de A e todos os elementos de B pertencem a C. Ou seja, todos os 
elementos que pertencem a C pertencem a A ou a B. Representamos a união com o 
símbolo υ: 
C = A υ B = {x│x ϵ A ou x ϵ B} 
 
A união é definida com base na disjunção (inclusiva) lógica, pois é formada pelos 
elementos de A ou B. A Figura 5 apresenta os Diagramas de Venn para alguns casos 
ilustrativos da união entre conjuntos. 
Figura 5. União entre conjuntos 
 
No primeiro caso, A e B não têm elementos em comum. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f} 
Teremos: 
C = A υ B = {a, e, i, o, u} υ {b, c, d, f} = {a, b, c, d, e, f, i, o, u}. 
 
31 
Matemática I – Versão 1 
Podemos pensar ainda, por exemplo, no jogo final de um torneio de futebol, em que há 
dois conjuntos, formados pelos jogadores de cada time. A união é o conjunto composto 
por todos os jogadores dos dois times, e não há elementos comuns. 
No segundo caso, vemos que os conjuntos A e B possuem alguns elementos em comum. 
Se listados, estes aparecerão no conjunto união apenas uma vez. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e} 
Teremos: 
C = A υ B = {a, e, i, o, u} υ {a, b, c, d, e} = {a, b, c, d, e, i, o, u}. 
 
Podemos pensar no conjunto das pessoas que gostam de futebol e no das que gostam de 
voleibol. A união entre estes dois conjuntos muito provavelmente inclui pessoas que 
gostam de ambos os esportes. 
No terceiro caso, B é um subconjunto de A. A união, portanto, vai ser igual ao próprio 
conjunto A. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e} 
Teremos: 
C = A υ B = {a, e, i, o, u} υ {a, e} = {a, e, i, o, u}. 
 
Podemos pensar no conjunto das pessoas que gostam de esportes e no das pessoas que 
gostam de futebol. A união entre eles é formada pelo próprio conjunto das pessoas que 
gostam de esportes, pois este engloba o conjunto das pessoas que gostam de futebol. 
2.2.1.1. Propriedades da união 
São quatro as propriedades da união entre conjuntos: 
• Idempotente: A υ A = A. Ou seja, a união de um conjunto com ele mesmo é o 
próprio conjunto. 
• Existência do elemento neutro: A υ Ø = A. Ou seja, a união de um conjunto com o 
conjunto vazio é o próprio conjunto. 
• Comutativa: A υ B = B υ A. 
• Associativa: (A υ B) υ C = A υ (B υ C). 
2.2.2. Interseção entre conjuntos 
A interseção entre o conjunto A e o conjunto B é um terceiro conjunto C, de tal forma que 
todos os elementos de C pertençam a A e também a B. Ou seja, a interseção entre dois 
32 
Matemática I – Versão 1 
conjuntos é formada apenas pelos elementos comuns a eles. Representamos a 
interseção com o símbolo ∩: 
C = A ∩ B = {x│x ϵ A e x ϵ B} 
 
A interseção é definida com base na conjunção lógica, pois é formada pelos elementos de 
A e B. Os casos possíveis para a interseção entre dois conjuntos estão representados 
pelos Diagramas de Venn na Figura 6: 
Figura 6. Interseção entre conjuntos 
 
No primeiro caso, A e B não têm elementos em comum, portanto a interseção entre eles é 
um conjunto vazio. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f} 
Teremos: 
C = A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {b, c, d, f} = { } = Ø. 
 
Pensando novamente nos dois conjuntos formados pelos jogadores de cada time no jogo 
final de um torneio de futebol, em que há dois conjuntos, vemos que a interseção é um 
conjunto vazio, pois não há jogador de um time que seja também jogador do outro. Não 
há elementos comuns entre os dois conjuntos. 
No segundo caso, vemos que os conjuntos A e B têm alguns elementos em comum. 
Estes são os elementos da interseção. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e} 
Teremos: 
C = A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c, d, e} = {a, e}. 
 
Voltando ao exemplo das pessoas que gostam de futebol e no das que gostam de 
voleibol, concluímos que a interseção entre os conjuntos são as pessoas que gostam de 
ambos os esportes. 
33 
Matemática I – Versão 1 
No terceiro caso, B é um subconjunto de A. A interseção, portanto, vai ser igual ao próprio 
conjunto B, subconjunto de A. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e} 
Teremos: 
C = A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, e} = {a, e}. 
 
Pensando no conjunto das pessoas que gostam de esportes e no das pessoasque 
gostam de futebol, vemos que a interseção entre eles é formada pelo próprio conjunto das 
pessoas que gostam de futebol, pois estas, como gostam de futebol, gostam de pelo 
menos um tipo de esporte. 
2.2.2.1. Propriedades da interseção 
Também são quatro as propriedades da interseção entre conjuntos: 
• Idempotente: A ∩ A = A. Ou seja, a interseção de um conjunto com ele mesmo é o 
próprio conjunto. 
• Existência do elemento neutro: A ∩ Ø = A. Ou seja, a união de um conjunto com o 
conjunto vazio é o próprio conjunto. 
• Comutativa: A ∩ B = B ∩ A. 
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 
2.2.2.2. Conjuntos disjuntos 
Dizemos que dois conjuntos são disjuntos quando não há elementos comuns a eles – em 
outras palavras, quando a interseção entre eles é o conjunto vazio. 
A e B são disjuntos ⇔ A ∩ B = { } 
 
Por exemplo, são disjuntos os conjuntos dos números pares e dos números ímpares. 
Numa eleição, o conjunto dos eleitores do candidato A e o conjunto dos eleitores do 
candidato B são disjuntos. 
2.2.2.3. Propriedades comuns da união e da interseção entre conjuntos 
Dados três conjuntos quaisquer, as seguintes relações são válidas: 
• A U (A ∩ B) = A 
• A ∩ (A U B) = A 
• A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 
• A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C) 
 
34 
Matemática I – Versão 1 
2.2.3. Diferença entre conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é um terceiro conjunto C, cujos elementos são 
aqueles que pertencem a A, mas não pertencem a B. Da mesma forma, a diferença entre 
B e A é composta pelos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A. 
C = A – B = {x│x ϵ A e x B} 
 
D = B – A = {x│x ϵ B e x A} 
 
As situações possíveis para a diferença entre dois conjuntos estão representadas nos 
Diagramas de Venn da Figura 7: 
Figura 7. Diferença entre conjuntos 
 
 
No primeiro caso, quando não há interseção entre os conjuntos, a diferença entre eles é 
igual ao primeiro. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f} 
 
Teremos: 
C = A – B = {a, e, i, o, u} – {b, c, d} = {a, e, i, o, u}. 
 
D = B – A = {b, c, d, f} – {a, e, i, o, u} = {b, c, d, f}. 
 
No segundo, há elementos comuns entre A e B. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e} 
Teremos: 
C = A – B = {a, e, i, o, u} – {a, b, c, d, e} = {i, o, u}. 
 
D = B - A = {a, b, c, d, e} – {a, e, i, o, u} = {b, c, d}. 
35 
Matemática I – Versão 1 
 
Por fim, quando um dos conjuntos é subconjunto do outro, a diferença entre o conjunto 
maior e o menor é composta pelos elementos que não pertencem ao subconjunto, e a 
diferença entre o subconjunto e o conjunto maior é o conjunto vazio, já que não existem 
elementos que pertençam ao subconjunto e não pertençam ao conjunto maior, por 
definição. Por exemplo, sejam: 
A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e} 
Teremos: 
C = A – B = {a, e, i, o, u} – {a, e} = {i, o, u}. 
 
D = B – A = {a, e} – {a, e, i, o, u} = { }. 
 
2.2.3.1. Propriedade comum entre união, interseção e diferença entre conjuntos 
Considerando as três operações apresentadas, é possível demonstrar que, para 
quaisquer conjuntos A e B, vale a seguinte relação: A U B = (A – B) U (A ∩ B) U (B – A), 
como ilustrado na Figura 8. 
Figura 8. Propriedade comum entre união, interseção e diferença entre conjuntos 
 
2.2.4. Cardinalidade de um conjunto 
Em muitas situações, precisamos conhecer a quantidade de elementos de um conjunto, 
ou, pelo menos, se ele tem uma quantidade finita ou infinita de elementos. 
Sendo A um conjunto, representamos por n(A) a quantidade elementos que ele possui. 
Quando tratamos de conjuntos finitos, a relação a seguir é bastante importante: 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
Ou seja, a quantidade de elementos na união de dois conjuntos é igual à soma da 
quantidade de elementos em cada conjunto menos a quantidade de elementos na 
interseção deles. Essa relação pode ser facilmente compreendida atentando para o fato 
de que a interseção entre A e B está contida tanto em A quanto em B. Logo, quando 
somamos a quantidade de elementos de A com a quantidade de elementos de B, 
36 
Matemática I – Versão 1 
incluímos a contagem dos elementos da interseção em duplicidade e, por isso, temos que 
retirar essa quantidade uma vez. 
Vale observar ainda que, se os conjuntos são disjuntos, n(A ∩ B) = 0 e n(A U B) = n(A) + 
n(B). Considerando que A = (A – B) U (A – B) U (A ∩ B) e B = (B – A) U ( A ∩ B), uma outra 
relação entre os cardinais dos conjuntos também é válida: 
n(A U B) = n(A – B) + n(B – A)+ n (A ∩ B) 
 
Essa relação pode ser lida como: a quantidade de elementos na união de dois conjuntos é 
igual à soma da quantidade de elementos que pertencem apenas ao primeiro com a 
quantidade de elementos que pertencem apenas ao segundo e à quantidade de 
elementos que pertencem a ambos. 
2.3. Tabelas de contingência 
Em determinadas situações, os conjuntos analisados são definidos por mais de um 
atributo. Um caso especial é quando temos apenas dois atributos e os conjuntos não 
apresentam interseção em relação aos atributos individualmente. Nesse caso, podemos 
nos valer da representação dos conjuntos por meio de uma tabela de contingência, na 
qual usamos as linhas para um dos atributos e as colunas para o outro. 
Por exemplo, considere uma empresa em que os funcionários podem ser descritos por 
dois atributos: estado civil (solteiro, casado ou divorciado) e nacionalidade (brasileira ou 
outra). A tabela de contingência poderia ser montada da seguinte maneira: 
 
 
Nacionalidade 
Brasileira Outra Total 
E
s
ta
d
o
 c
iv
il
 Solteiro 25 6 31 
Casado 40 8 48 
Divorciado 30 4 34 
Total 95 18 113 
 
Em cada linha, temos a quantidade de funcionários que correspondem ao estado civil 
(solteiro, casado ou divorciado) separada pelas possíveis nacionalidades (brasileira ou 
outra). Em cada coluna, por sua vez, temos a quantidade de funcionários que 
37 
Matemática I – Versão 1 
correspondem à nacionalidade indicada (brasileira ou outra) separada pelos possíveis 
estados civis (solteiro, casado ou divorciado). 
Cada célula, portanto, é a quantidade de funcionários que satisfazem aos dois atributos 
conjuntamente (solteiros brasileiros, solteiros de outras nacionalidades, casados 
brasileiros etc.). A última linha traz o total de cada nacionalidade, e a última coluna, o total 
de cada estado civil. A célula no canto inferior direito é o total geral, ou seja, a quantidade 
total de funcionários da empresa. 
 
Resolva a tarefas do capítulo 2 da lista de exercícios. 
 
38 
Matemática I – Versão 1 
Capítulo 3 – Análise combinatória 
Em diversas situações, precisamos realizar cálculos baseados em contagens de 
elementos de conjuntos organizados e/ou selecionados a partir de determinados critérios. 
Para conjuntos pequenos, isso não representa um grande desafio. Porém, em inúmeras 
situações, a tentativa de contagem é inviável. Precisamos conhecer técnicas que nos 
permitam realizar essa tarefa. 
Vamos imaginar que Victor, Gabriel e Matheus sejam três excelentes atletas do nado de 
costas de uma equipe de natação, e seu técnico precisa escolher dois deles para formar 
uma dupla em um torneio. Quantas são as duplas que o técnico pode formar? 
As opções do técnico são: 
• Victor e Gabriel 
• Victor e Matheus 
• Gabriel e Matheus 
Ou seja, vemos, facilmente, apenas enumerando as possibilidades de combinações dos 
três atletas, que o técnico tem três opções. Porém, e se houvesse 30 atletas? E se o 
técnico tivesse que escolher dez destes trinta? Enumerar as alternativas, neste caso, é 
proibitivo. Neste capítulo, conheceremos as técnicas de contagem e exploraremos 
conceitos de análise combinatória conhecidos como arranjos, permutações e 
combinações. 
3.1 Princípio fundamental da contagem 
Voltando ao exemplo anterior, quando o técnico da equipe tinha a sua disposição três 
atletas para formar uma dupla, vimos que a situação poderia ser resolvida facilmente pelaenumeração das opções. Porém, quando a quantidade de atletas aumenta para 30, para 
formar grupos de 10, fica bem mais complicado resolver o problema com essa 
abordagem. 
Antes de partirmos para este caso mais complexo, vamos pensar que há um quarto atleta 
na equipe, Enzo, e não apenas 3, e raciocinar em termos de opções para cada posição do 
grupo selecionado. Além disso, vamos considerar que a ordem de escolha influencia a 
composição da dupla. Ou seja, a dupla Victor-Gabriel é diferente da dupla Gabriel-Victor. 
Para escolher o primeiro componente da dupla, o técnico tem 4 opções, pois pode 
escolher qualquer um dos atletas da equipe. Uma vez escolhido o atleta da primeira 
posição da dupla, a quantidade de atletas disponíveis para a segunda posição passa a 
39 
Matemática I – Versão 1 
ser de 3. Sendo assim, o técnico pode formar 4 X 3 = 12 duplas diferentes com os quatro 
atletas: 
• Victor e Gabriel 
• Victor e Matheus 
• Victor e Enzo 
• Gabriel e Victor 
• Gabriel e Matheus 
• Gabriel e Enzo 
• Matheus e Victor 
• Matheus e Gabriel 
• Matheus e Enzo 
• Enzo e Victor 
• Enzo e Gabriel 
• Enzo e Matheus 
 
No entanto, se a ordem de escolha não influenciar na composição da dupla, percebemos 
que cada opção é contada duas vezes. Portanto, o total de alternativas deve ser dividido 
por 2. Ou seja, temos ao todo 6 diferentes duplas, se não considerarmos a ordem de 
escolha. 
Usando um raciocínio análogo para o problema mais complexo, vemos que o técnico tem 
30 alternativas para a primeira vaga do grupo, 29 para a segunda, 28 para a terceira, e 
assim por diante, até a décima posição, para a qual terá 21 atletas que ainda não foram 
escolhidos para as posições anteriores. 
Se a ordem de escolha importar, a quantidade de maneiras que o técnico pode escolher 
grupos de dez atletas será: 
30 x 29 x 28 X 27 x 26 x 25 x 24 X 23 x 22 x 21 = 109.027.350.432.000 
 
Já se a ordem não importar, devemos dividir pela quantidade de vezes que cada conjunto 
de 10 atletas aparece neste total. Mais à frente nesta unidade, vamos aprender a fazer 
esse cálculo, mas já adiantamos que não é apenas duas vezes: cada grupo aparece 
3.628.800 vezes neste total. Sendo assim, o técnico tem = 
30.045.015 opções para formar grupos de 10 atletas, sem considerar a ordem em que são 
escolhidos. 
40 
Matemática I – Versão 1 
3.1.1. Contando pares ordenados 
Considere dois conjuntos: 
A = {a1, a2, a3,... am}, com m elementos; e 
 
B = {b1, b2, b3,... bn}, com n elementos. 
 
Para formarmos pares ordenados do tipo (ai, bj), onde ai ∊ A e bj ∊ B e, teremos: 
• Fixando o primeiro elemento a1, n pares: (a1, b1), (a1, b2)... (a1, bn). 
• Fixando o segundo elemento a2, outros n pares: (a2, b1), (a2, b2)... (a2, bn). 
• (...). 
• Fixando o m-ésimo elemento am, mais outros n pares: (am, b1), (am, b2)... (am, bn). 
Como há m elementos para fixar na primeira posição, teremos: 
pares ordenados. 
3.1.2. Contando sequências maiores 
A partir de r conjuntos 
 com n1 elementos 
 com n2 elementos 
(...) 
 com nr elementos 
As r-uplas (conjuntos com r elementos) ordenadas são sequências com r elementos, do 
tipo (C1i, C2j,..., Crp), nas quais C1i ∊ C1, C2j ∊ C2,..., Crp ∊ Cr. Sendo assim, a quantidade de 
r-uplas é igual a n1 x n2 x... nr. 
3.1.3. Fatorial 
Uma definição muito importante, que nos ajudará nas fórmulas e nos cálculos que 
veremos posteriormente, é a do fatorial de um número. Definimos fatorial de um número 
natural 𝑛, e representamos por n!, o produto de todos os números naturais positivos iguais 
ou inferiores a ele. Ou seja: 
n! = n x (n – 1) x... x 3 x 2 x 1 
 
Devemos ressaltar que 1! = 1 e 0! = 1, e que o fatorial está definido apenas para números 
naturais. Além disso, podemos notar que: 
41 
Matemática I – Versão 1 
 
Ou seja, o fatorial pode ser definido de maneira recursiva. Por exemplo, o fatorial de 5 é: 
 
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
5 x 24 = 120 ⇒ 5! = 5 x 4! 
 
Pela própria definição, o fatorial tende a ter valores muito elevados quando 𝑛 é grande. A 
Tabela 2 apresenta valores do fatorial de alguns números naturais. 
Tabela 2. Fatorial de alguns números naturais.3 
n n! n n! 
1 1 8 40.320 
2 2 9 362.880 
3 6 10 3.628.800 
4 24 15 1,31x1012 
5 120 20 2,43x1018 
6 720 50 3,04x1064 
7 5.040 100 9,33x10157 
 
Usando a notação recursiva do fatorial, fica fácil realizar alguns cálculos que, de outra 
maneira, poderiam ser inviáveis. Vamos calcular o valor da expressão usando a 
notação recursiva do fatorial. Ajustando convenientemente os fatoriais indicados no 
numerador, teremos: 
 
 
3 Quando temos números muito grandes, costumamos usar uma maneira conveniente para representá-los, chamada 
notação científica. Na Erro! Fonte de referência não encontrada. o fatorial de 15 (e os seguintes) é um número e
norme, que não caberia na célula da tabela, se fôssemos escrevê-lo da maneira tradicional. Da forma como foi escrito, 
aproximamos seu valor para o resultado da multiplicação de 1,31 pela potência de 1012, ou seja, 1.000.000.000.000. O 
resultado aproximado é, então, 1.310.000.000.000. 
42 
Matemática I – Versão 1 
Apesar de ser um valor grande, conseguimos fazer as contas sem problemas. Em 
diversas das situações apresentadas a seguir, usaremos o conceito de fatorial e a sua 
notação recursiva. 
3.2. Arranjos com repetição 
Vamos imaginar uma fábrica que oferece apenas três cores para seu produto: amarelo 
(AM), verde (VD) e vermelho (VM). De quantas maneiras os dois primeiros clientes do 
turno da tarde podem escolher a cor dos produtos que vão comprar? 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos que montar pares ordenados (pi, pj), 
sendo pi ∊ C e pj ∊ C, onde C = {AM, VD, VM} é o conjunto de cores disponíveis, e n = 3 
elementos. 
Vemos que pi e pj podem ser distintos ou não, já que cada cliente tem liberdade para 
escolher a cor de seu produto de maneira independente do outro. Além disso, a ordem do 
par ordenado importa, pois a cor que um cliente escolheu é uma característica do seu 
processo de escolha, e não pode ser confundida com a do outro cliente. Sendo assim, os 
dois primeiros clientes podem escolher de 3 x 3 = 9 diferentes maneiras as cores de seus 
produtos. 
Esta é uma situação típica de um problema de arranjo com repetição, que pode ser 
generalizado e formalizado da seguinte maneira: considere que queremos formar uma r-
upla a partir dos elementos de um conjunto M, que possui m elementos. Se os elementos 
podem ser repetidos, esta r-upla é chamada de arranjo com repetição. A quantidade de 
diferentes arranjos com repetição de r elementos que podem ser formados a partir de um 
conjunto M com m elementos é: 
ARm,r = mr 
 
Lê-se: o total de arranjos com repetição de m elementos tomados r a r é igual a mr. 
Aplicando-se ao exemplo anterior, temos m = 3 (pois o conjunto de cores tem 3 
elementos) e r = 2 (pois queremos formar duplas), logo AR3,2 = 32 = 9. 
Veja que, se a quantidade de cores passar para 8, teremos AR8,2 = 82 = 64. E, se 
quisermos contar as alternativas de escolha dos 10 primeiros clientes, teremos: AR8,10 = 
810 = 1.073.741.824. Ou seja, mais de um bilhão de possibilidades! 
43 
Matemática I – Versão 1 
3.3. Arranjos (sem repetição) 
Voltando ao exemplo da fábrica com três cores para seu produto, amarelo (AM), verde 
(VD) e vermelho (VM), se considerarmos agora que há apenas uma unidade de cada cor 
em estoque, de quantas maneiras os dois primeiros clientes do turno da tarde podem 
escolher a cor do produto que vão comprar? 
Nessa situação, a escolha do primeiro cliente influencia a escolha do segundo, pois o 
produto que o primeiro escolhe não estará disponível para o segundo. Sendo assim, o 
conjunto de elementos para escolha do segundo cliente tem uma unidade a menos. 
Temos que montar pares ordenados (pi, pj), sendo pi ∊ C e pj ∊ C – {pi}, onde o conjunto de 
coresdisponíveis é C = {AM, VD, VM}, com n = 3 elementos, e o conjunto de cores 
disponíveis sem a cor escolhida pelo primeiro cliente é C – {pi}, com n = 2 elementos. 
Assim, temos 3 x 2 = 6 maneiras pelas quais os dois primeiros clientes podem escolher as 
cores de seus produtos. Situações como esta são chamadas de arranjos sem repetição, 
ou somente arranjo. De maneira geral, considere que queremos formar uma r-upla a 
partir dos elementos de um conjunto M, que possui m elementos. Se os elementos não 
podem ser repetidos, esta r-upla é chamada de arranjo. A quantidade de diferentes 
arranjos de r elementos que podem ser formados a partir de um conjunto M com m 
elementos é: 
 
 
Lê-se: o total de arranjos de m elementos tomados r a r é igual a Am,r. Obviamente, como 
vamos formar conjuntos com r elementos, a partir dos m elementos de M, sem que eles 
se repitam, é necessário que m ≥ r. Aplicando-se ao exemplo anterior, temos m = 3 (pois 
o conjunto de cores tem 3 elementos) e r = 2 (pois queremos formar duplas), logo A3,2 = 3 
x (3 – 1) = 6. 
Se a fábrica tiver oito cores, teremos A8,2 = 8 x 7 = 56 arranjos. Se quisermos calcular as 
possibilidades de escolhas dos 10 primeiros clientes, não conseguiremos, pois 8 < 10. 
Isso fica claro se pensarmos que, como temos apenas uma unidade de cada cor em 
estoque, quando o oitavo cliente tiver escolhido (ou melhor, ficado com a única opção 
restante), não haverá mais produtos disponíveis para os próximos clientes. 
44 
Matemática I – Versão 1 
3.3.1. Fórmula do arranjo usando a notação recursiva de fatorial 
Podemos usar a notação recursiva de fatorial para reescrever a fórmula do total de 
arranjos. Para isso, devemos notar que 
 
 
ou seja 
m! = [m x (m -1) x... (m – (r – 1))] x (m – r)! 
Se dividirmos ambos os lados por (m – r)!, teremos: 
 
Que é a fórmula que havíamos encontrado para Am,r. Assim, concluímos que: 
 
3.4. Permutação 
Nas situações anteriores, queríamos formar sequências a partir de elementos de um 
conjunto, mas não necessariamente com todos os elementos do conjunto. Quando todos 
os elementos do conjunto são usados e não há repetição, temos o que chamamos de 
permutação. De maneira mais formal, considere um conjunto M com m elementos, com 
os quais queremos formar m-uplas, sem repetição. Cada m-upla formada é uma 
permutação dos elementos de M, e a quantidade de permutações possíveis é: 
 
Por exemplo, se quisermos calcular quantas são as permutações possíveis dos 
elementos do conjunto das vogais V = {a, e, i, o, u}, teremos m = 5, e P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 
= 120. 
Raciocinando com o princípio fundamental da contagem, para escolhermos a primeira 
letra de sequência, temos cinco opções. Ao defini-la, passamos a ter quatro opções para 
45 
Matemática I – Versão 1 
a segunda, e assim sucessivamente, até a última letra, para a qual temos apenas uma 
opção. 
3.4.1. Fórmula da permutação usando a notação recursiva de fatorial 
A fórmula do total de permutações também pode ser reescrita com a notação recursiva de 
fatorial. Lembrando que , vemos que isso equivale exatamente à 
definição de fatorial que apresentamos anteriormente. Ou seja: 
Pm = m! 
 
Além disso, vale lembrar que Pm = Am,m. Assim, podemos usar a fórmula do total de 
arranjos com a notação de fatorial: 
 
Voltando ao cálculo das permutações das vogais, temos P5 = 5! = 120. Além do caso 
geral de permutações, há dois casos especiais: permutação com elementos repetidos e 
permutação circular. 
3.4.2. Permutação com elementos repetidos 
Vamos abordar este caso especial a partir de um exemplo. Queremos calcular quantos 
anagramas4 podem ser escritos com as letras da palavra ARARA. 
A palavra ARARA tem cinco letras e, pelo que vimos anteriormente, a quantidade de 
anagramas é o total de permutações de 5 elementos, que é dado por P5 = 5! = 120. 
Entretanto, apesar de ter cinco letras, a palavra ARARA tem apenas duas letras 
diferentes, A e R, que se repetem três e duas vezes, respectivamente. A permutação de 
letras iguais não altera o anagrama. Por exemplo, permutando-se a primeira e a última 
letras da palavra, temos o mesmo anagrama, conforme vemos na Figura 9. 
 
4 Um anagrama é uma permutação das letras de uma palavra, sem a necessidade de fazer algum sentido – ou seja, 
não é necessário que a permutação obtida seja uma palavra existente. 
46 
Matemática I – Versão 1 
Figura 9. Anagramas iguais da palavra ARARA 
 
Existem, portanto, apenas 10 anagramas distintos da palavra ARARA, bem menos que os 
120 que existiriam se não houvesse repetição de letras. Eles estão apresentados na 
Figura 10. 
Figura 10. Anagramas da palavra ARARA. 
 
De maneira geral, se o conjunto M = {x1, x2,... xn} tem n elementos, porém apenas r 
destes são distintos, de tal forma que: 
• n1 elementos de M são iguais a a1; 
• n2 elementos de M são iguais a a2; 
• (...) 
• nr elementos de M são iguais a ar; 
sendo n1 + n2 +... + nr = n, 
então, o total de permutações de M é dado por: 
 
47 
Matemática I – Versão 1 
Conferindo com o que havíamos encontrado no exemplo das permutações das letras da 
palavra ARARA, temos n = 5, n1 = 3 e n2 = 2. Logo, temos 
anagramas distintos, mesmo resultado que havíamos encontrado anteriormente. 
3.4.3. Permutação circular 
Assim como no caso anterior, vamos abordar este caso especial a partir de um exemplo. 
Vamos imaginar que precisamos acomodar quatro pessoas ao redor de uma mesa 
redonda. De quantas maneiras elas podem ser acomodadas? Como a mesa é redonda, a 
posição entre elas é relativa. A Figura 11 apresenta quatro maneiras equivalentes de 
dispor as quatro pessoas. 
Figura 11. Dispondo quatro pessoas ao redor de uma mesa redonda 
 
Observe que o que muda é a posição na mesa, mas a sequência das pessoas é sempre a 
mesma nas quatro configurações. Começando pela pessoa “a”, ao seu lado esquerdo 
(sentido horário) está sempre a pessoa “b”, que tem ao seu lado esquerdo a pessoa “c”, 
que, por sua vez, tem a pessoa “d” ao seu lado esquerdo. Na prática, as quatro 
configurações são a mesma coisa e representam a sequência {a, b, c, d}. Há, portanto, 
seis permutações diferentes: {a, b, c, d}; {a, b, d, c}; {a, c, b, d}; {a, c, d, b}; {a, d, b, c}; e {a, d, c, 
b}. O total de diferentes permutações circulares é dado por: 
PCn = (n – 1)! 
3.5. Combinação 
Seja o conjunto A = {a1, a2,... an} com n elementos. Chamamos de combinação dos n 
elementos de A, tomados m a m, um subconjunto de A formado por m elementos distintos. 
Por exemplo, se A = {a, b, c, d}, as seis combinações dos elementos de A tomados 2 a 2 
são {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} e {c, d}. Deve se notar que combinação é distinto de 
48 
Matemática I – Versão 1 
arranjo. A combinação {a, b} é igual à combinação {b, a}, pois representam o mesmo 
subconjunto. Já os arranjos (a, b) e (b, a) são diferentes, pois a ordem importa em um 
arranjo. Alterar a ordem dos elementos altera o arranjo, mas não altera a combinação. 
Sendo assim, podemos concluir que há mais arranjos que combinações. 
Usamos três símbolos equivalentes para representar a combinação de n elementos 
tomados m a m: Cn,m, ou ou ainda , cujo total pode ser calculado pela seguinte 
fórmula: 
 
Por exemplo, podemos calcular quantas são as combinações de 4 elementos tomados 2 a 
2 (como no caso do exemplo do conjunto A = {a, b, c, d}): 
 
3.6. Combinação completa ou combinação com repetição 
Quando é permitido que qualquer elemento seja repetido na combinação, temos a 
chamada combinação completa, ou combinação com repetição. A quantidade de 
combinações com repetição de m elementos extraídos de um conjunto com n elementos 
é: 
 
Por exemplo, considerando o conjunto A = {2, 3, 5, 7, 9}, se quisermos seus subconjuntos 
de dois elementos, teremos as seguintes combinações: 
{2,3} {3,7} 
{2,5} {3,9} 
{2,7} {5,7} 
{2,9} {5,9} 
{3,5} {7,9} 
 
Já se permitirmos que