Formulário Eletromagnetismo 1

Prévia do material em texto

TABELA – Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas 
 
 Derivadas: Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante. 
 
1. 
ny u 
1' 'ny nu u  . 
2. y u v ' ' 'y u v v u   . 
3. 
uy
v
 2
' '' u v v uy
v
  . 
4. uy a  ' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a    . 
5. uy e ' 'uy e u  . 
6. logay u 
'' loga
uy e
u
  . 
7. lny u 1' 'y u
u
  . 
8. vy u 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v   . 
9. seny u ' ' cosy u u  . 
10. cosy u ' ' seny u u   . 
11. tgy u 2' ' secy u u  . 
12. cotgy u 2' ' cosecy u u   . 
13. secy u ' ' sec tgy u u u  . 
14. cosecy u ' ' cosec cotgy u u u   . 
15. seny arc u 
2
''
1
uy
u
 

. 
16. cosy arc u 
2
''
1
uy
u
 

. 
17. tgy arc u 2
''
1
uy
u
 

. 
18. coty arc g u 2
'
1
u
u


. 
19. sec , 1y arc u u 
2
'' , 1
1
uy u
u u
  

. 
20. cosec , 1y arc u u 
2
'' , 1
1
uy u
u u
  

. 
 
 Identidades Trigonométricas 
 
1. 
2 2sen cos 1x x  . 
2. 
2 21 tg secx x  . 
3. 
2 21 cotg cosecx x  . 
4. 
2 1 cos 2sen
2
xx 
. 
5. 
2 1 cos 2cos
2
xx 
. 
6. sen 2 2 sen cosx x x . 
7.    2 sen cos senx y x y sen x y    . 
8.    2 sen sen cos cosx y x y x y    . 
9.    2 cos cos cos cosx y x y x y    . 
10. 
1 sen 1 cos
2
x x       . 
 
 Integrais 
 
1. du u c  . 2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n

   
 . 
3. lndu u c
u
  . 4. , 0, 1ln
u
u aa du c a a
a
    . 
5. u ue du e c  . 6. sen cosu du u c   . 
7. cos senu du u c  . 8. tg ln secu du u c  . 
9. cotg ln senu du u c  . 10, sec ln sec tgu du u u c   . 
11. cosec ln cosec cotgu du u u c   . 12. sec tg secu u du u c  . 
13. cosec cotg cosecu u du u c   . 14. 2sec tgu du u c  . 
15. 2cosec cotgu du u c   . 16. 2 2 1 tgdu uarc cu a a a  . 
17. 2 22 2
1 ln ,
2
du u a c u a
u a a u a
  
  . 18. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
19. 
2 2
1 secdu uarc c
a au u a
 
 . 20. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
21. 2 2
2 2
sen ,du uarc c u a
aa u
  
 . 22. ∫
ௗ௨
(௔మା௨మ)
య
మ
= ଵ
௔మ
௨
ඥ௔మା௨మ
 
 
 Integral por partes 
 
1 ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢. 
Regra para escolha de 𝒖: LIPTE (1º Logaritmo, 2º Inversa Trigonométrica, 3º Polinomial, 
4º Trigonométrica, 5º Exponencial. 
 
 Elementos diferenciais de volume 
 
Coord. Cartesianas 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Coord. Cilíndricas 
𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑧 = 𝑧 
𝑟 = ඥ𝑥ଶ + 𝑦ଶ 𝜙 = 𝑡𝑔ିଵ 𝑦 𝑥⁄ 
𝑑𝑣 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 
Coord. Esféricas 
𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑧 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑟 = ඥ𝑥ଶ + 𝑦ଶ + 𝑧ଶ 𝜃 = cosିଵ ቀ𝑧 ඥ𝑥ଶ + 𝑦ଶ + 𝑧ଶ⁄ ቁ 𝜙 = 𝑡𝑔ିଵ 𝑦 𝑥⁄ 
𝑑𝑣 = 𝑟ଶ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 
 
 Campo elétrico e força elétrica 
 
1. 𝐸ሬ⃗ ଵ൫𝑟௉,ଵ൯ =
ଵ
ସగఌబ
∙ ௤భ
௥ು,భ
మ ∙ �̂�௉,ଵ , Módulo: 𝐸௉,ଵ = ฮ𝐸ሬ⃗ ଵฮ Campo Elétrico de uma carga pontual (
ே
஼
𝑜𝑢 𝑉/𝑚) 
2. 𝐸ሬ⃗ = ఘ೗
ଶగఌబ௥
𝑎௥ Campo de uma linha de carga infinita, vetor radial a linha 
3. 𝐸ሬ⃗ = ఘೞ
ଶఌబ
𝑎௡ Campo de um plano infinito, vetor normal ao plano 
4. 𝐸ሬ⃗ (𝑃) = ∫ 𝑑𝐸ሬ⃗ =௅,ௌ,௏ ∫
ଵ
ସగఌబ
∙ ௗ௤
௥మ
∙ �̂�௅,ௌ,௏ , Campo de um volume qualquer 
𝑑𝑞 = 𝜌௟ 𝑑𝑙 Densidade linear de carga 𝐶/𝑚 
𝑑𝑞 = 𝜌௦ 𝑑𝑠 Densidade superficial de carga 𝐶/𝑚ଶ 
𝑑𝑞 = 𝜌௩ 𝑑𝑣 Densidade volumétrica de carga 𝐶/𝑚ଷ 
5. �⃗�ଵ,ଶ =
ଵ
ସగఌబ
∙ ௤భ ௤మ
௥భ,మమ
∙ �̂�ଵ,ଶ , Módulo: 𝐹ଵ,ଶ = ฮ�⃗�ଵ,ଶฮ Força Elétrica (𝑁) 
6. �⃗�ଵ,ா = 𝑞ଵ ∙ 𝐸ሬ⃗ ଵ , Módulo: 𝐹ଵ,ா = ฮ�⃗�ଵ,ாฮ = 𝑞ଵ ∙ ห𝐸ሬ⃗ ଵห 
 
 Linha de força 
 
1. ௗ௬
ௗ௫
= ா೤
ாೣ
 , isolar 𝑦 
 
 Lei de Gauss e fluxo elétrico 
 
1. ∮ 𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 𝑄௜௡௧௘௥௜௢௥, Lei de Gauss (𝐶) 
2. Ψ = ∮ 𝐷 ∙ 𝑑𝑆, Fluxo total de uma superfície fechada 
3. 𝐷 = 𝜖଴𝐸, Densidade de fluxo elétrico (𝐶/𝑚ଶ) 
4. 𝐷 = ஏ౪౥౪౗ౢ
ௌ೟೚೟ೌ
, Densidade de fluxo elétrico 
 
 Divergente 
 
1. 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = డ஺ೣ
డ௫
+ డ஺೤
డ௬
+ డ஺೥
డ௭
, sistema cartesiano 
2. 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = ଵ
௥
డ(௥ ஺ೝ)
డ௥
+ ଵ
௥
డ஺ഝ
డథ
+ డ஺೥
డ௭
, sistema cilíndrico 
3. 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = ଵ
௥మ
డ൫௥మ ஺ೣ൯
డ௥
+ ଵ
௥ ௦௜௡ఏ
డ(஺ഇ ௦௜௡ఏ )
డఏ
+ ଵ
௥ ௦௜௡ఏ
డ஺ഝ
డథ
, sistema esférico 
4. ∇ ∙ 𝐴 = 𝑑𝑖𝑣 𝐴, Operador Nabla 
5. 𝑑𝑖𝑣 𝐷 = 𝜌 
6. 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = ఘ
ఢబ
 
7. ∫ 𝐴 ∙ 𝑑𝑆ௌ = ∫ (∇ ∙ 𝐴)𝑑𝑣௩ = 𝑄௜௡௧, teorema da divergência 
 
 Trabalho, potencial elétrico e energia 
 
1. 𝑑𝑊 = −𝑄𝐸 ∙ 𝑑𝑙, trabalho para mover a carga 𝑄 no campo 𝐸 pelo caminho 𝑑𝑙 (J) 
2. 𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑎௫ + 𝑑𝑦 𝑎௬ + 𝑑𝑧 𝑎௭, sistema cartesiano 
3. 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟 𝑎௥ + 𝑟 𝑑𝜙 𝑎థ + 𝑑𝑧 𝑎௭, sistema cilíndrico 
4. 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟 𝑎௥ + 𝑟 𝑑𝜃 𝑎ఏ + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙 𝑎థ, sistema esférico 
5. 𝑉 = ௐ
ொ
, potencial elétrico de uma carga pontual J/C, 
6. 𝑉஺஻ = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙
஺
஻ , Potencial elétrico de um campo elétrico 
Obs: V aumenta no sentido contrário do campo elétrico 
7. 𝑉஺஻ = 𝑉஺஼ − 𝑉஻஼, Diferença de potencial entre dois pontos 
8. 𝑉 = ொ
ସగఢబ௥
 Potencial elétrico de uma carga pontual 
9. 𝑉 = ∫ ఘ ௗ௥ସగఢబோ௩ Potencial elétrico de uma distribuição volumétrica 
10. 𝐸 = −∇𝑉 
11. 𝑑𝑉 = ∇𝑉 ∙ 𝑑𝑟 
12. ∇𝑉 = డ௏
డ௫
𝑎௫ +
డ௏
డ௬
𝑎௬ +
డ௏
డ௭
𝑎௭, sistema cartesiano 
13. ∇𝑉 = డ௏
డ௥
𝑎௥ +
ଵ
௥
డ௏
డథ
𝑎థ +
డ௏
డ௭
𝑎௭, sistema cilíndrico 
14. ∇𝑉 = డ௏
డ௥
𝑎௥ +
ଵ
௥
డ௏
డఏ
𝑎ఏ +
ଵ
௥ ௦௜௡ఏ
డ௏
డథ
𝑎_𝜙, sistema esférico 
15. 𝑊ா =
ଵ
ଶ
∑ 𝑄௠𝑉௠௡௠ଵ Energia potencial acumulada de uma distribuição de cargas pontuais (J) 
16. 𝑊ா =
ଵ
ଶ
𝐶 𝑉ଶ = ଵ
ଶ
𝑄 𝑉 onde 𝐶 = 𝜖଴
஺
ௗ
, Energia potencial acumulada em um capacitor 
17. 𝑊ா =
ଵ
ଶ ∫ 𝜌 𝑉 𝑑𝑣 
18. 𝑊ா =
ଵ
ଶ ∫ 𝐷 ∙ 𝐸 𝑑𝑣 
19. 𝑊ா =
ଵ
ଶ ∫ 𝜖 𝐸
ଶ 𝑑𝑣 
20. 𝑊ா =
ଵ
ଶ ∫
஽మ
ఢ
 𝑑𝑣 
 Corrente, Densidade de Corrente e Condutores 
1. 𝑣ௗ = 𝜇 𝐸, velocidade de deriva, onde 𝜇 é a mobilidade das partículas, dada em 𝑚ଶ/𝑉 𝑠 
2. 𝑣ௗ = 𝐽 𝜇 / 𝜎 
3. 𝜌 = 𝜎/𝜇 
4. 𝐽 = 𝜌 𝜇 𝐸 = 𝜎 𝐸, densidade de corrente de condução 
5. 𝜎 = 𝑁௘𝑒 𝜇, condutividade do material (𝑆/𝑚), onde 𝑁௘é a densidade dos elétrons de condução 
6. 𝑅 = 𝑉/𝑖 = 𝜌 𝐿/𝐴 = 𝐿/𝜎 𝐴, resistência do material (Ω), onde 𝐿 é o comprimento e 𝐴 a área. 
7. 𝐽 = 𝑖/𝐴, densidade de corrente (𝐴/𝑚ଶ) 
8. i = ∮ J ∙ dS = − ୢ୕ୢ୲ୗ 
 Coordenadas Cartesianas: 
1. 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
2. 𝑑𝑆௫ = 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎௫ 
3. 𝑑𝑆௬ = 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑎௬ 
4. 𝑑𝑆௭ = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎௭ 
 Coordenadas Cilíndricas: 
1. 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 
2. 𝑑𝑆௥ = 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 𝑎௥ 
3. 𝑑𝑆థ = 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑎థ 
4. 𝑑𝑆௭ = 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑟 𝑎௭ 
 Coordenadas Esféricas: 
1. 𝑑𝑉 = 𝑟ଶ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 
2. 𝑑𝑆௥ = 𝑟ଶ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑎௥ 
3. 𝑑𝑆థ = 𝑟 𝑑𝜃𝑑𝑟 𝑎థ 
4. 𝑑𝑆ఏ = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑎ఏ 
 
9. |𝐷௡| = 𝜌௦ = 𝑄/𝐴, para condutores 
10. 𝐸 = |𝐸| 𝑎௡ 
11. 𝐷 = 𝜖଴𝜖௥𝐸 
12. 𝐷 = 
ொ
஺
 
 
 Materiais Dielétricos e Capacitância 
1. 𝐷 = 𝜖଴𝐸 + 𝑃, sendo 𝑃 vetor polarização, (𝐶/𝑚ଶ) 
2. 𝑃 = 𝑥௘𝜖଴𝐸, sendo 𝑥௘ a suscetibilidade elétrica 
3. 𝜖௥ = 𝜖/𝜖଴, permissividade relativa 
4. 𝜖௥ = 1 + 𝑥௘ 
5. 𝐷௡ଵ = 𝐷௡ଶ 
6. 𝐸௧ଵ = 𝐸௧ଶ 
7. 𝐷ଵ = 𝐷௡ଵ + 𝐷௧ଵ 
8. 𝐷௡ଵ − 𝐷௡ଶ = −𝜌௦ 
9. 𝐷ଶ ∙ 𝑎௭ = |𝐷ଶ| cos(90° − 𝜃ଶ), para mudança do dielétrico em z 
10. 𝐷௡ = 𝐷 ∙ 𝑎௡ 
11. 𝐶 = 
ொ
௏
= ఢబఢೝ஺
ௗ
 , Capacitância placas planas paralelas (𝐹), 𝐴 é a área e 𝑑 a distância entre as placas 
12. 𝐶 = 
ଶగఢబఢೝ௅
୪୬್ೌ
 , Capacitância capacitor cilindros coaxiais, 𝐿 comprimento, 𝑎 raio menor, 𝑏 raio maior 
13. 𝑊ா =
ଵ
ଶ
𝐶𝑉ଶ, energia acumulada em um capacitor (J)
 Associaçãode capacitores em série: 
1. ଵ
஼೐೜
= ଵ
஼భ
+ ଵ
஼మ
+ ⋯ + ଵ
஼೙
 
2. 𝑄௧௢௧௔௟ = 𝑄ଵ = 𝑄ଶ = ⋯ = 𝑄௡ 
3. 𝑉௧௢௧௔௟ = 𝑉ଵ + 𝑉ଶ + ⋯ + 𝑉௡ 
 Associação de capacitores em paralelo: 
1. 𝐶௘௤ = 𝐶ଵ + 𝐶ଶ + ⋯ + 𝐶௡ 
2. 𝑄௧௢௧௔௟ = 𝑄ଵ + 𝑄ଶ + ⋯ + 𝑄௡ 
3. 𝑉௧௢௧௔௟ = 𝑉ଵ = 𝑉ଶ = ⋯ = 𝑉௡ 
 
14. 
େ
୐
= ଶ஠∈బ
୪୬మ౞౨
, capacitância por un. de comp. entre um cilindro de raio 𝑟 e um plano, distantes ℎ 
15. 
େ
୐
= ஠∈బ
୪୬೏౨
, capacitância por un. de comp. entre dois cilindros paralelos de raio 𝑟, distantes 𝑑 
 
 
 
 
 
 Equações de Poisson e de Laplace 
1. ∇ ∙ 𝐷 = 𝜌, Equação de Maxwell. 
2. ∇ ∙ ϵ (−∇ V) = 𝜌 
3. ∇ ∙ ∇ 𝑉 = − ఘ
ఢ
 
4. ∇ଶ 𝑉 = − ఘ
ఢ
 , Equação de Poisson, aplicável quando há distribuição de cargas na região. 
5. ∇ଶ 𝑉 = 0, Equação de Laplace, quando não há distribuição de cargas na região. 
 Coordenadas Cartesianas: 
1. ∇𝑉 = డ௏
డ௫
𝑎௫ +
డ௏
డ௬
𝑎௬ +
డ௏
డ௭
𝑎௭ 
2. ∇ ∙ 𝐴 = డ஺ೣ
డ௫
+ డ஺೤
డ௬
+ డ஺೥
డ௭
, campo vetorial genérico A. 
3. ∇ଶ𝑉 = డ
మ௏
డ௫మ
+ డ
మ௏
డ௬మ
+ డ
మ௏
డ௭మ
= 0, Laplace para coordenadas cartesianas. 
4. 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵, Equação básica padrão para campo em 𝑥 sem distribuição de cargas na região. 
 Coordenadas Cilíndricas: 
1. ∇𝑉 = డ௏
డ௥
𝑎௥ +
ଵ
௥
డ௏
డథ
𝑎థ +
డ௏
డ௭
𝑎௭ 
2. ∇ ∙ 𝐴 = ଵ
௥
డ
డ௥
(𝑟𝐴௥) +
ଵ
௥
డ஺ഝ
డథ
+ డ஺೥
డ௭
, campo vetorial genérico A. 
3. ∇ଶ𝑉 = ଵ
௥
డ
డ௥
ቀ𝑟 డ௏
డ௥
ቁ + ଵ
௥మ
డమ௏
డథమ
+ డ
మ௏
డ௭మ
= 0, Laplace para coordenadas cilíndricas. 
4. 𝑉 = 𝐴 ln(𝑟) + 𝐵, Equação básica padrão para campo em 𝑟 sem distribuição de cargas na região. 
5. 𝑉 = 𝐴𝜙 + 𝐵, Equação básica padrão para campo em 𝜙 sem distribuição de cargas na região. (rad)