C2 lista1 integracao

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Lista 1 - Te´cnicas de Integrac¸a˜o
1 Te´cnicas de Integrac¸a˜o
1. Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o.
(a)
∫
3cosx√
1 + 3senx
dx
(b)
∫
sec2x
tgx
dx
(c)
∫
sen4xcos5xdx
(d)
∫
sen2(pix)cos2(pix)dx
(e)
∫
cotg3xcossc2xdx
(f)
∫
dx√
x(
√
x+ 1)
(g)
∫
1
θ2
cossec2
1
θ
dθ
(h)
∫
dx
xcos(lnx)
(i)
∫
4dx
1 + (2x+ 1)2
(j)
∫
dx√
1 + 3sec2x
, pi/2 ≤ x ≤ pi/2.
(k)
∫
x− 1
5 + x2
dx
(l)
∫
2
5 + (x+ 2)2
dx
(m)
∫
dt√
4− t2
(n)
∫
dz
ez + e−z
(o)
∫
xdx
16 + x2
2. Resolva as integrais
(a)
∫
dθ
secθ + tgθ
(b)
∫
dt
1 + sent
3. Seja a 6= 0 uma constante. Verifique que
(a)
∫
dx
a2 + x2
=
1
a
arctg
x
a
+ C
(b)
∫
dx
a2 − x2 =
1
2a
ln|x− a
x+ a
|+ C
4. Integrac¸a˜o por Partes. Obs. Em algumas integrais pode ser necessa´rio realizar
uma substituic¸a˜o de varia´vel antes de utilizar o me´todo de integrac¸a˜o por partes.
(a)
∫
x3ln(x2)dx
(b)
∫
x3exdx
(c)
∫
eθsenθdθ
(d)
∫
arcsenydy
1
(e)
∫
p4e−pdp
(f)
∫
e2xcos(3x)dx
(g)
∫
eαxsen(βx)dx, sendo α e β con-
stantes na˜o nulas.
(h)
∫
sen(lnx)dx
(i)
∫
x3ex
2
dx
5. Resolva a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
= x2lnx.
6. Usando integrac¸a˜o por partes mostre que∫
f(x)dx = xf(x)−
∫
xf ′(x)dx.
7. Use integrac¸a˜o por partes para mostrar as seguintes fo´rmulas de recorreˆncia para
n inteiro positivo e maior que 2.
(a)
∫
sennxdx = − 1
n
senn−1xcosx+
n− 1
n
∫
senn−2xdx
(b)
∫
cosnxdx =
1
n
cosn−1xsenx+
n− 1
n
∫
cosn−2xdx
(c)
∫
secnxdx =
1
n− 1sec
n−2xtgx+
n− 2
n− 1
∫
secn−2xdx
(d)
∫
tgnxdx =
1
n− 1sec
n−1xtgx−
∫
tgn−2xdx
8. Use o me´todo de integrac¸a˜o por partes para mostrar que
(a)
∫ a
0
x2f ′′′(x)dx = a2f ′′(a)− 2af ′(a) + 2f(a)− 2f(0)
(b)
∫ x
0
e−yy2dy = 2e−x
[
e−x − 1− x− x
2
2
]
9. Substituic¸a˜o trigonome´trica
(a)
∫
dx
x2
√
16− x2
(b)
∫ √
7− 4t2
t4
dt
(c)
∫
dx
x2
√
4− x2dx
(d)
∫
x3√
16− x2dx
(e)
∫
x3√
1 + x2
dx
(f)
∫
7x3√
(4x2 + 9)
3
2
dx
(g)
∫
dx√
2x− x2
(h)
∫
x√
1− x+ 3x2dx
2
10. Frac¸o˜es parciais
(a)
∫
dx
(x− 3)(x+ 2)
(b)
∫
x+ 2
x2 + x
dx
(c)
∫
x+ 1
(x2 + 9)2
dx
(d)
∫
x
(x+ 1)(x+ 2)2
dx
(e)
∫
(x2 − 2x− 2)
x3 − 1 dx
(f)
∫
dx
x4 − 1dx
(g)
∫
1
(x2 + 1)2
dx
(h)
∫
x3 + 1
x3 − x2 − 2xdx
(i)
∫
x4 + 2x2 − 8x+ 4
x3 − 8 dx
11. A substituic¸a˜o z=tg(x/2)
(a)
∫
dx
1 + senx+ cosx
(b)
∫
dx
senx− cosx
12. Outras integrais trigonome´tricas
(a)
∫
sen4xcos2xdx
(b)
∫ a
0
sen5(x/2)dx
(c)
∫ a
0
√
1− cos2xdx
(d)
∫ pi/2
0
sec4xdx
(e)
∫
sen7xcos2xdx
(f)
∫
cos2xcosxdx
(g)
∫
sen3xsen5xdx
(h)
∫
tg5xsec2xdx
(i)
∫
tg3(2x)sec(2x)dx
2 A Integral Definida: Propriedades e Aplicac¸o˜es. Problemas di-
versos.
13. Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas y = cosx e y = 2 − cosx, no intervalo de
0 a 2pi. Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre o gra´ficos das duas curvas no
intervalo dado.
14. Se w′(t) representa a taxa de crescimento de uma crianc¸a em quilogramas por ano,
o que
∫ 10
0
w′(t)dt significa?
3
15. A corrente I(t) em um fio ele´trico e´ definida como a derivada da carga Q(t), isto
e´, I(t) = Q′(t). O que
∫ b
a
I(t)dt representa?
16. A func¸a˜o erro definida por E(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt e´ muito usada em probabilidade,
estat´ıstica e engenharia.
(a) Mostre que
∫ b
a
e−t
2
dt =
√
pi
2
[E(b)− E(a)] .
(b) Mostre que a func¸a˜o y = ex
2
E(x) satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′ = 2xy+
√
pi
2
.
3 Integrais de Func¸o˜es Sime´tricas
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o par se f(−x) = f(x) para todo x em
seu domı´nio. Analogamente, dizemos que uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o ı´mpar se
f(−x) = −f(x) para todo x em seu domı´nio. Por exemplo, as func¸o˜es f(x) = x2
e g(x) = cosx sa˜o exemplos de func¸o˜es pares, enquanto h(x) = x3 e p(x) = senx
sa˜o exemplos de func¸o˜es ı´mpares. De fato,
(a) f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) para todo x real;
(b) g(−x) = cos(−x) = cos(x) = g(x) para todo x real;
(c) h(−x) = (−x)3 = −x3 = −h(x) para todo x real;
(d) p(−x) = sen(−x) = −sen(x) = p(x) para todo x real.
O ca´lculo de integrais definidas envolvendo func¸o˜es pares e func¸o˜es ı´mpares pode
ser simplificado se utilizamos o seguinte resultado:
Se uma func¸a˜o f cont´ınua no intervalo [−a, a] e´ tal que:
(a) f e´ par, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
(b) f e´ ı´mpar, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
17. Justifique porque
∫ 1
−1
tgx
1 + x2 + x4
dx = 0.
18. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [−pi, pi]. Os coeficientes de Fourier de
f sa˜o definidos por: c0 =
1
2pi
∫ pi
−pi
f(x)dx, an =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)cos(nx)dx e bn =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)sen(nx)dx para n ≥ 1 e inteiro. Tais coeficientes sa˜o u´teis para a
decomposic¸a˜o de func¸o˜es quaisquer em termos de func¸o˜es trigonome´tricas simples.
4
Essa ideia e´ utilizada, por exemplo, nos estudos da ana´lise de sinais e sistemas
digitais. Calcular os coeficientes de Fourier das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x
(b) f(x) = x2
(c) f(x) = cosx
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