APOSTILA EAD - ANHANGUERA ESTATÍSTICA APLICADA

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Estatística Aplicada
Autor: Ivonete Melo de Carvalho
Tema 03
Assimetria e Curtose
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ões
Tema 03
Assimetria e Curtose
Como citar este material:
CARVALHO, Ivonete Melo de. Estatística 
Aplicada: Assimetria e Curtose. Caderno de 
Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 
2014.
SeçõesSeções
Tema 03
Assimetria e Curtose
5
Conteúdo
Nessa aula você estudará: 
•	 O conceito de simetria e sua importância para a estatística.
•	 Gráfico em forma de sino (curva normal).
•	 Afastamentos do centro de simetria (grau de simetria).
•	 Grau de assimetria.
CONTEÚDOSEHABILIDADES
Introdução ao Estudo da Disciplina 
Caro(a) aluno(a).
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Estatística e Métodos Quantitativos, 
dos autores Ron Larson e Betsy Farber, Editora Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136.
Roteiro de Estudo:
Ivonete Melo de CarvalhoEstatística Aplicada
6
CONTEÚDOSEHABILIDADES
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
•	 O que é e para que serve o conceito de simetria?
•	 Construção do gráfico – curva normal?
•	 O que é e para que serve a assimetria?
•	 O que é e para que serve a medida denominada curtose?
CONTEÚDOSEHABILIDADES
Assimetria e Curtose
Para um conjunto de dados que esteja sendo analisado, além dos gráficos que você 
já estudou (histograma, polígono de frequência e ogiva), outro tipo de curva que pode ser 
elaborado recebe o nome de curva de frequência ou curva polida.
Os estudiosos em estatística costumam dizer que o polígono de frequência determina ou 
mostra ao leitor (pesquisador) a imagem real do fenômeno estudado, ao passo que a curva 
de frequência demonstra a tendência do estudo em elaboração.
Crespo (2009) é muito feliz quando afirma que depois do traçado de um polígono de 
frequência, é desejável, muitas vezes, que se lhe faça um polimento, a fim de mostrar o que 
seria tal polígono com um número maior de dados. Ao resultado deste “polimento” chama-
se curva polida, isto é, a curva polida é a resultante de um grande número de dados, sem 
os vértices da linha poligonal.
Para que o “polimento” ocorra, é preciso que a partir das frequências reais seja elaborada 
uma tabela de frequências calculadas. A fórmula que você deve utilizar para esse fim é:
LEITURAOBRIGATÓRIA
7
LEITURAOBRIGATÓRIALEITURAOBRIGATÓRIA
4
2
c f 11i
+− ++= iii
fff em que:
fci é a frequência considerada da classe calculada.
fi é a frequência simples da classe considerada.
fi-1 é a frequência simples da classe anterior à classe considerada.
fi+1 é a frequência simples da classe posterior à classe considerada.
Para que você compreenda bem, retornemos a um exemplo estudado na aula número 1 
deste caderno. Trata-se das idades dos alunos de Ivonete. A tabela obtida naquela ocasião 
dizia:
I Idade fi fci
1 18 ι— 22 02 4,0
2 22 ι— 26 12 7,5
3 26 ι— 30 04 7,3
4 30 ι— 34 09 7,3
5 34 ι— 38 07 6,3
6 38 ι— 42 02 3,8
7 42 ι— 46 04 2,5
Total 40
Como obter a frequência calculada:
4
4
6 1
4
2 12*20
4
2c f 11i ==
++
=
++
= +− iii
fff
Calcule os demais elementos da tabela para ter certeza a respeito dos valores apresentados 
a você.
8
Os gráficos seriam:
Pontos médios em destaque Curva polida
A linha azul representa o polígono de frequências.
A linha vermelha mostra a curva polida que aproxima os dados apresentados no polígono 
de frequência. 
Observe que não se trata de uma curva “centralizada” no plano cartesiano. Ela é deslocada 
para o lado esquerdo de quem lê a figura. Por esse motivo dizemos que ela é uma figura 
assimétrica. 
Para relembrar o que é simetria, pense numa parábola. Uma parábola é simétrica pelo 
vértice, isto é, suas “metades” (consideradas em torno do vértice) são iguais. Veja a figura 
seguinte:
Figura 3.1: Parábola
Fonte: Elaboração da autora.
LEITURAOBRIGATÓRIA
9
Simetria é uma propriedade geométrica dos elementos, contudo para a Estatística, 
assimetria nada mais é do que o grau de desvio (afastamento da simetria) de uma 
distribuição de dados.
Para distribuições assimétricas, a média tende a situar-se do mesmo lado da moda (na 
cauda mais longa). Observe com muita atenção as seguintes figuras:
Figura 3.2: Distribuição Assimétrica à Direita (ou Assimetria Positiva)
Fonte: Elaboração da autora.
Figura 3.3: Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou Assimetria Negativa)
Fonte: Elaboração da autora.
Figura 3.4: Distribuição Simétrica
Fonte: Elaboração da autora.
LEITURAOBRIGATÓRIA
10
Uma medida de assimetria é proporcionada pela diferença entre a média e a moda. Ela 
pode ser tomada sem dimensão por meio de uma divisão por uma medida de dispersão, 
como o desvio padrão. 
Veja:
s
)amodx(*3assimetria −= (coeficiente de assimetria de Pearson)
No exemplo das idades dos alunos de Ivonete, a assimetria seria dada por:
Cálculo da média:
9,0 3
0 4
236.1
0 4
4*4 42*0 47*6 39*2 34*8 22 1*4 22*0 2
==
++++++
=
x
x
9,0 3
0 4
236.1
0 4
4*4 42*0 47*6 39*2 34*8 22 1*4 22*0 2
==
++++++
=
x
x
Cálculo da variância e do desvio padrão:
I Idade fi xi fi * xi fi * xi2
1 18 ι— 22 02 20 40 800
2 22 ι— 26 12 24 288 6.912
3 26 ι— 30 04 28 112 3.136
4 30 ι— 34 09 32 288 9.216
5 34 ι— 38 07 36 252 9.072
6 38 ι— 42 02 40 80 3.200
7 42 ι— 46 04 44 176 7.744
Total: 40 1.236 40.080
7 8,6
0 4
236.1
0 4
080.0 4 2
=




−=σ
Portanto, 1 0,3
7 8,6
)4 29,0 3(*3
≅
−
=assimetria
LEITURAOBRIGATÓRIA
11
Em capítulo anterior, você verificou que o valor da mediana (que ocupa a posição central 
numa distribuição de frequência) deve estar em algum ponto entre o valor da média e o 
valor da moda, porém, pode ser igual à moda e/ou à média. 
Você já sabe que com essas três medidas de posição, você pode determinar a assimetria da 
curva de distribuição de frequência. Também sabe que três casos podem ocorrer (ilustrados 
nas figuras anteriores):
•	 Média = Mediana = Moda: distribuição simétrica.
•	 Média < Mediana < Moda: distribuição assimétrica negativa.
•	 Média > Mediana > Moda: distribuição assimétrica positiva.
No exemplo de Ivonete: moda = 24; mediana = 30,89 e média = 30,9 de onde se pode 
concluir que a distribuição de frequência é assimétrica positiva.
Curtose
Ao desenhar um gráfico, a curva pode ser mais ampla ou mais compacta assim como pode 
ser mais alongada ou mais achatada. Interessa à estatística estudar o quanto uma curva 
poder ser alongada.
Curtose é, então, o grau de achatamento de uma distribuição, e é considerado muitas 
vezes em relação a uma distribuição normal. 
Em tema anterior, quando o texto referiu-se ao estudo dos quartis, você aprendeu que conhecendo 
os valores dos quartis e dos percentis, pode-se determinar o coeficiente de curtose, que dá o 
grau de achatamento da curva de uma distribuição, por meio da seguinte fórmula:
)(*2 0 10 9
13
PP
QQk
−
−
=
Em que: k = coeficiente de curtose; Q3 e Q1 terceiro e primeiro quartis, respectivamente; P90 
e P10 nonagésimo e décimo percentis, respectivamente.
Se K = 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é mesocúrtica (achatamento 
normal).
Se K > 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é platicúrtica (mais achatada).
Se K < 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é leptocúrtica (mais alongada).
LEITURAOBRIGATÓRIA
12
Graficamente:
Para desenhar a curva normal (curva em formato de sino), a equação utilizada é:














σ
µ−
−
πσ
=
2x*5,0
e
2*
1y em que:
y representa a ordenada (altura da curva para um determinado valor da variável x);
e = 2,71828 (base do logaritmo neperiano).
π = 3,1416.µ = representa a média da população.
σ = representa o desvio padrão.
O gráfico (curva normal) dos valores recolhidos por Ivonete ficaria assim
LEITURAOBRIGATÓRIA
13
Para calcular a curtose dos dados referentes às idades de seus alunos, Ivonete deveria 
seguir os passos descritos a seguir:
(1) Calcular os valores do primeiro e do terceiro quartis, que, no caso de dados agrupados, 
ficariam assim:
3,2 3
7
4*)7 20 3(4 3
0 3
4
120
4
*3
4,4 2
9
4*)8 10 1(8 2
0 1
4
0 4
4
3
1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
Q
f
Q
f
i
i
3,2 3
7
4*)7 20 3(4 3
0 3
4
120
4
*3
4,4 2
9
4*)8 10 1(8 2
0 1
4
0 4
4
3
1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
Q
f
Q
f
i
i
3,2 3
7
4*)7 20 3(4 3
0 3
4
120
4
*3
4,4 2
9
4*)8 10 1(8 2
0 1
4
0 4
4
3
1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
Q
f
Q
f
i
i
3,2 3
7
4*)7 20 3(4 3
0 3
4
120
4
*3
4,4 2
9
4*)8 10 1(8 2
0 1
4
0 4
4
3
1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
Q
f
Q
f
i
i
(2) Calcular os valores do décimo e do nonagésimo percentis que, no caso de dados 
agrupados, ficariam assim:
1,9 3
7
4*)7 26 3(4 3
6 3
100
0 4*0 9
100
*0 9
8,1 2
9
4*)8 14(8 2
4
0 1
0 4
100
*0 1
0 9
0 1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
P
f
P
f
i
i
1,9 3
7
4*)7 26 3(4 3
6 3
100
0 4*0 9
100
*0 9
8,1 2
9
4*)8 14(8 2
4
0 1
0 4
100
*0 1
0 9
0 1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
P
f
P
f
i
i
1,9 3
7
4*)7 26 3(4 3
6 3
100
0 4*0 9
100
*0 9
8,1 2
9
4*)8 14(8 2
4
0 1
0 4
100
*0 1
0 9
0 1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
P
f
P
f
i
i
1,9 3
7
4*)7 26 3(4 3
6 3
100
0 4*0 9
100
*0 9
8,1 2
9
4*)8 14(8 2
4
0 1
0 4
100
*0 1
0 9
0 1
=
−
+=
==
=
−
+=
==
∑
∑
P
f
P
f
i
i
(3) Por último, calcular o coeficiente de curtose:
228,0
)8,1 21,9 3(*2
4,4 23,2 3
)(*2 0 10 9
13 =
−
−
=
−
−
=
PP
QQk
Observe que, como 0,228 < 0,263, a curva obtida por Ivonete é leptocúrtica. 
Busque, no Livro-Texto, mais exemplos como este discutido no caderno e, em seguida, 
resolva os exercícios propostos a você.
LEITURAOBRIGATÓRIA
14
LINKSIMPORTANTES
Quer saber mais sobre o assunto? 
Então:
Sites
Teste os seus conhecimentos: faça exercícios sobre estatística e veja a resolução comentada.
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada.
Acesse o site “Portal Action”. 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais vestibulares 
ainda existentes no País e consultar a resolução comentada. 
Acesse o site “Exercícios – Professor Cardy”. 
Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=ESTAT%CDSTICA>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios apresentados pelo Enem 
e Enade em diversas edições destes exames e consultar a resolução comentada.
15
LINKSIMPORTANTES
Acesse o site “Matematiquês”. 
Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=436>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada.
Vídeos
Assista aos vídeos com exercícios comentados e disponíveis no endereço a seguir a respeito 
de confecção de gráficos. Eles, certamente, esclarecerão muitas de suas dúvidas, inclusive 
a respeito de como confeccioná-los. 
Disponíveis em: <http://video-aulas.com/listing/Matem%C3%A1tica/Ensino_M%C3%A9dio/
Estat%C3%ADstica/estatistica--exercicios-resolvidos--media-moda-mediana-variancia-
desvio-padrao--pre-enem-abril-educacao-2013--video-aula-1217>. Acesso em: 3 mar. 2014. 
Os exercícios são bastante variados, com linguagem bem acessível, uma vez que se trata 
de produção da Editora Abril Cultural voltada para o público que prestará o Enem.
16
Instruções: 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão 
você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente 
os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto 
e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema.
Questão 1:
Em seguida serão apresentadas a média e 
a moda de três diferentes distribuições de 
frequência. Determine o tipo de assimetria 
de cada uma delas e explique o significado 
de assimetria.
Distribuição Média Moda
A 52 52
B 45 50
C 48 46
Texto para as questões de 2 a 4:
Observe os dados apresentados na distri-
buição de frequência em seguida:
Pontos de um 
teste
Pessoas que acertaram
4 ι— 8 10
8 ι— 12 25
12 ι— 16 35
16 ι— 20 40
20 ι— 24 25
24 ι— 28 10
28 ι— 32 5
Questão 2:
Nesse caso, o valor 16,5 (pontos no teste) é:
a) A mediana.
b) A média aritmética.
AGORAÉASUAVEZ
17
c) A moda.
d) A variância.
e) O desvio padrão.
Questão 3:
Qual o percentual de valores que se locali-
za entre o último quartil e o P81? 
a) 6
b) 19
c) 56
d) 77
e) 81
Questão 4:
O sexagésimo percentil divide a área de 
uma distribuição em quantas partes?
a) 2
b) 6
c) 40
d) 60
e) 100
Questão 5:
Se numa distribuição há 500 valores, então 
entre o segundo quartil e o quinquagésimo 
percentil quantos valores haverá?
a) 7
b) 13
c) 42
d) 48
e) Não haverá valores.
Texto para as questões 6 e 7:
Em uma distribuição de frequências foram 
encontradas as seguintes medidas:
•	 Média = 343,18.
•	 Moda = 27,50.
•	 Mediana = 31,67.
•	 Desvio padrão = 12,45.
Nessas condições, calcule o que pedem os 
exercícios 6 e 7.
Questão 6:
Classifique o tipo de assimetria.
Questão 7:
Calcule o coeficiente de assimetria.
AGORAÉASUAVEZ
18
AGORAÉASUAVEZ
Questão 8:
Considere a distribuição de frequências re-
lativa às massas corporais (aos pesos) de 
cem operários de uma fábrica:
Massa (kg) No de operários
50 58 10
58 66 15
66 74 25
74 82 24
82 90 16
90 98 10
Determine o grau de assimetria.
Texto para as questões 9 e 10:
Considere as seguintes medidas, relativas 
a três distribuições de frequências:
Distribuições Q1 Q2 P10 P90
A 814 935 772 1.012
B 63,7 80,3 55,0 86,6
C 28,8 45,6 20,5 49,8
Questão 9:
Calcule os respectivos graus de curtose.
Questão 10:
Classifique cada uma das distribuições em 
relação à curva normal.
19
Neste tema, você conheceu as definições de assimetria e curtose e sua utilidade. 
Aprendeu, principalmente, que estes elementos ampliam sua percepção acerca de uma 
série de dados estatísticos. 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar 
sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.
CUNHA, M.V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. PPGA, UFRGS, 16, Porto 
Alegre, 1997. 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996.
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 2.08 for 
Windows®. Porto Alegre, 1998.KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, Planejamento, Implementação e con-
trole. São Paulo: Atlas, 1996. 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: 
Grifos, 1998. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística e Métodos Quantitativos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136.
FINALIZANDO
REFERÊNCIAS
20
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-arte pro-
posição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 21., Anais... 1997, 
Rio das Pedras, RJ. p. 124. 
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997.
REFERÊNCIAS
GLOSSÁRIO
Amostra: subconjunto da população.
Assimetria: condição da figura que não é simétrica.
Coeficiente: número que multiplica uma variável ou incógnita.
Curtose: grau de achatamento de uma curva.
Grau: medida, referência.
Simetria: condição da figura cujas partes são espelhos umas das outras.
21
GABARITO
Questão 1
Resposta: Observando os detalhes da tabela, você deverá obter a seguinte a análise: 
simétrica; assimétrica negativa e assimétrica positiva.
Questão 2
Resposta: Alternativa A.
Questão 3
Resposta: Alternativa A.
Questão 4
Resposta: Alternativa A.
Questão 5
Resposta: Alternativa A.
Questão 6
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: assimetria positiva. 
Questão 7
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: 0,364.
Questão 8
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: 0,021.
Questão 9
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: (A) 0,2532, (B) 0,263 e 
(C) 0,287.
Questão 10
Resposta: Analisando o posicionamento das curvas, você deverá obter: (A) leptocúrtica, 
(B) mesocúrtica e (C) platicúrtica.