Apostila de Multicritério a Decisão básica

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Universidade Federal Fluminense 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Pesquisa Operacional II 
 
 
Teoria da Decisão 
 
 
Lidia Angulo Meza 
Renato Teixeira da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volta Redonda, 11 de março de 2008
 
I 
Sumário 
 
2. Teoria da Decisão.................................................................................................... 1�
2.1Conceitos Básicos ................................................................................................... 1�
2.1.1 Decisor ............................................................................................................................. 1�
2.1.2 Analista ............................................................................................................................ 1�
2.1.3 Conjunto de Alternativas.................................................................................................. 1�
2.1.4 Atributos........................................................................................................................... 1�
2.2 Apoio Multicritério à Decisão............................................................................... 2�
2.2.1 Tipos de Problemas .......................................................................................................... 2�
2.2.2 Preferência do Decisor ..................................................................................................... 2�
2.2.3 Método ou Escolha Justa.................................................................................................. 3�
2.3 Exemplo ................................................................................................................. 3�
2.4 Métodos Elementares............................................................................................ 3�
2.4.1 Método da Dominância .................................................................................................... 3�
2.4.2 Método Conjuntivo .......................................................................................................... 3�
2.5 Métodos Ordinais.................................................................................................. 4�
2.5.1 Método Lexicográfico ...................................................................................................... 4�
2.5.2 Método de Borda.............................................................................................................. 4�
2.5.3 Método de Condorcet ....................................................................................................... 4�
2.5.4 Método de Coppeland ...................................................................................................... 6�
2.5.5 Método das Ponderações.................................................................................................. 6�
2.6 Decisão com Incerteza........................................................................................... 9�
2.6.1 Exemplo ........................................................................................................................... 9�
2.6.2 Regra Otimista ................................................................................................................. 9�
2.6.3 Regra Pessimista ............................................................................................................ 10�
2.6.4 Regra de Laplace............................................................................................................ 10�
2.6.5 Regra de Savage ............................................................................................................. 11�
2.6.6 Critério de arrependimento (ou de perda de oportunidade)............................................ 12�
 
 II 
2.7 Decisão com risco ................................................................................................ 13�
2.7.1 Exemplo 1 ...................................................................................................................... 13�
2.7.2 Exemplo 2 ...................................................................................................................... 13�
2.7.3 Decisão com experimentação ou a “posteriori”............................................................. 15�
2.7.4 Exemplo 3 ...................................................................................................................... 15�
2.7.5 Valor da Experimentação ............................................................................................... 17�
2.7.5.1 Valor esperado da informação perfeita (EVPI) ....................................................... 17�
2.7.5.2 Valor esperado da experimentação.......................................................................... 17�
2.8 Bibliografia.......................................................................................................... 18�
 
 
 
 
 
Pesquisa Operacional II – Teoria da Decisão 
Profª Lidia 1 
 
 
 
2. Teoria da Decisão 
 
 
 
 
"Faça as coisas o mais simples que você puder, porém não as mais simples." 
Albert Einstein 
 
 
Nos dias atuais, tanto na área pública quanto na privada, somos cercados de vários 
problemas complexos da tomada de decisão. O Homem sempre tentou resolver esses 
problemas através de raciocínios dedutivos, heurísticas e abstrações a fim de guiar suas 
escolhas e também poder validá-las (Gomes et al., 2004). Este capítulo visa apresentar 
alguns métodos para o auxílio na tomada de decisão em cenários complexos. 
2.1Conceitos Básicos 
 
2.1.1 Decisor 
 
Indivíduo ou grupo de indivíduos que, direta ou indiretamente, proporciona o juízo de 
valor final que poderá ser utilizado no momento de avaliar as alternativas disponíveis, 
objetivando identificar a melhor escolha. Sempre se supõe a existência de um decisor, 
seja este ideal ou real. 
 
2.1.2 Analista 
 
É a pessoa, ou equipe de trabalho, incumbida de modelar o problema e fazer as 
recomendações relativas à seleção final. Ela deve examinar as opiniões do decisor, 
tratando-as de forma objetiva para que sejam transferidas posteriormente para o modelo. 
2.1.3 Conjunto de Alternativas 
 
Conjunto sobre o qual o decisor deverá identificar a melhor escolha. Essas alternativas 
podem ser discretas, como apartamentos para alugar, ou contínuas, como a localização 
em um plano. 
2.1.4 Atributos 
 
Atributos ou critérios são o conjunto de características de cada alternativa. Somente a 
partir dos atributos é possível realizar a escolha. Tomemos como exemplo a compra de 
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Profª Lidia 2 
um carro: o conjunto de alternativas são os carros possíveis para compra, como Astra, 
Parati, Gol, etc. e os atributos podem ser o preço, conforto, rendimento, potência, entre 
outros, de cada carro. 
2.2 Apoio Multicritério à Decisão 
 
Segundo Gomes et al. (2004), o Apoio Multicritério à Decisão é a atividade do analista 
que, baseado em modelosclaramente apresentados, ajuda na obtenção de elementos de 
resposta às questões de um decisor no decorrer de um processo. Esses elementos servem 
para esclarecer cada decisão e, normalmente, recomendá-la ou, simplesmente, favorecê-
la. 
A metodologia multicritério se segmenta em dois segmentos: 
• O primeiro é a contínuo, conhecido como Programação Multiobjetivo ou 
Otimização Vetorial, que trabalha com problemas com objetivos múltiplos, onde 
as alternativas podem assumir um número infinito de valores. 
• O segundo é o discreto, conhecido como Decisão Multicritério Discreta (DMD), 
que analisa problemas com o conjunto de alternativas de decisão formado por um 
número finito e geralmente pequeno de variáveis. Somente este segmento será 
abordado nesta apostila. 
 
2.2.1 Tipos de Problemas 
 
Em um dado problema de decisão, uma das quatro problemáticas é abordada pela DMD: 
• P�: seleciona a melhor alternativa ou as melhores alternativas. 
• P�: aceita alternativas que parecem boas e descarta as alternativas que parecem 
ruins, ou seja, realiza classificação das alternativas. 
• P�: gera uma ordenação das alternativas. 
• P�: realizar uma descrição das alternativas. 
 
2.2.2 Preferência do Decisor 
 
Com o intuito de representar as preferências do decisor de forma realista, ao comparar 
duas alternativas podemos nos deparar com quatro situações mutuamente excludentes: 
• Indiferença (I): quando o tomador de decisão é indiferente entre x1 e x2, isto é, 
existem razões claras para justificar a equivalência entre duas alternativas. Essa 
situação é representada por x1 I x2 (lê-se x1 indiferente a x2). 
• Preferência estrita (P): o tomador de decisão prefere estritamente x1 a x2. Essa 
situação é representada por x1 P x2 (lê-se x1 estritamente preferível a x2). 
• Preferência fraca (Q): quando o tomador de decisão não sabe se prefere 
estritamente x1 a x2 ou se é indiferente a essas alternativas. Essa situação é 
representada por x1 Q x2 (lê-se x1 preferível ou indiferente a x2). 
• Incompatibilidade (R): ocorre quando não é possível identificar nenhuma das 
três situações anteriores. Essa situação é representada por x1 R x2 (lê-se x1 
incomparável a x2). 
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OBS.: Serão utilizados nas próximas seções somente os conceitos de Indiferença (I) e 
Preferência (P) nos métodos apresentados. 
 
2.2.3 Método ou Escolha Justa 
 
Consiste em um conjunto de propriedades que garante um método justo. 
• Propriedade 1: Transitividade Caso aPb e bPc, então podemos afirmar que 
aPc. 
• Propriedade 2: Totalidade O método deve conseguir colocar as alternativas em 
ordem. 
• Propriedade 3: Unanimidade Todas as alternativas “concordam” com a 
ordenação. 
• Propriedade 4: Independência A posição de uma alternativa em relação a outra 
depende somente delas e não do conjunto de todas as alternativas. 
• Propriedade 5: Universalidade O método deve satisfazer todas as propriedades 
anteriores. 
2.3 Exemplo 
 
Será utilizado um problema de expansão de um prédio como exemplo de aplicação dos 
métodos de DMD. Este problema possui os seguintes atributos e as seguintes 
alternativas: 
 
Alternativas Custo Funcionalidade Qualidade 
A1 R$11.000,00 7 Deficiente 
A2 R$14.000,00 9 Suficiente 
A3 R$13.000,00 5 Muito Boa 
A4 R$12.000,00 3 Boa 
A5 R$12.000,00 6 Boa 
Tabela 2.1: Problema de expansão de um prédio 
2.4 Métodos Elementares 
 
2.4.1 Método da Dominância 
 
O Método da Dominância visa retirar do conjunto todas as alternativas que são 
dominadas. 
Sejam duas alternativas A1 e A2. Se A1 for melhor ou igual a A2 em todos os critérios, 
então podemos afirmar que A1 domina A2 e A2 pode ser retirada do conjunto. 
Aplicação: Comparando as alternativas A4 e A5 vemos que A5 domina A4. Portanto 
A4 pode ser retirada da análise. 
 
2.4.2 Método Conjuntivo 
 
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O Método Conjuntivo objetiva classificar as alternativas em duas classes: Aceitável ou 
Inaceitável. Para isso pode-se estabelecer valores mínimos ou máximos para cada 
critério. 
Aplicação: Imagine uma restrição orçamentária que limita os gastos em no máximo R$ 
13.500,00. Com isso as alternativas A1, A3, A4 e A5 são aceitáveis e a alternativa A2 é 
inaceitável. 
2.5 Métodos Ordinais 
 
2.5.1 Método Lexicográfico 
 
O Método Lexicográfico busca ordenar as alternativas através de uma ordenação prévia 
dos critérios. Essa ordenação dos critérios se dá por ordem de importância. 
A ordenação das alternativas é feita pelo critério de maior importância. Caso haja algum 
empate, utiliza-se o segundo critério mais importante e assim consecutivamente até que 
todas as alternativas sejam ordenadas. 
Aplicação: A ordenação dos critérios é a seguinte: Custo, Funcionalidade, Qualidade. 
Ordenando as alternativas: A1, A5, A4, A3, A2. 
 
2.5.2 Método de Borda 
 
O Método de Borda ordena as alternativas através de uma pontuação atribuída a cada 
uma delas. Essa pontuação é dada da seguinte forma: as alternativas são ordenadas da 
melhor para a pior segundo cada critério. A cada posição da alternativa é atribuída uma 
pontuação correspondente (1º lugar = 1 ponto; 2º lugar = 2 pontos; e assim 
sucessivamente; em caso de empate é realizada uma média dos pontos e atribuída para 
cada alternativa). 
Aplicação: 
 
 Custo Func. Quali. 
 
 
A1 = 1 + 2 + 5 = 8 
A2 = 5 + 1 + 4 = 10 
A3 = 4 + 4 + 1 = 9 
A4 = 2,5 + 5 + 2,5 = 10 
A5 = 2,5 + 3 + 2,5 = 8 
 
A ordenação obtida foi: A1 e A5, A3, A2 e A4. 
 
2.5.3 Método de Condorcet 
 
No Método de Condorcet as alternativas são comparadas par a par em relação a todos os 
critérios. 
Uma alternativa será preferível a outra caso apresente um número de critérios 
favoráveis. 
Após comparar as alternativas, um grafo é criado. Caso uma alternativa X seja 
preferível a outra Y, é gerado um arco partindo de X e chegando a Y. Caso uma 
alternativa Y seja indiferente a outra Z, dois arcos são gerados: um saindo de Y e 
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chegando em Z e outro saindo de Z e chegando em Y. O grafo acima pode ser visto na 
Figura 2.1. 
 
 
Figura 2.1: Grafo do Método Condorcet 
 
A partir deste grafo é obtida uma matriz de adjacências (Seção 1.2.4), onde o arco do 
grafo receberá o valor de 1, indicando preferência e 0, caso contrário. É essa matriz de 
adjacências que classifica as alternativas através de duas fases: 
 
• Destilação Descendente: Identifica as alternativas da melhor para a pior. A 
melhor alternativa é aquela preferível a todas as outras, isto é, sua linha possui 
apenas valores 1 (menos na coluna que a representa), e a coluna possui apenas 
valores 0. Após identificar a melhor alternativa, ela é excluída da matriz de 
adjacências e o mesmo processo é repetido até que não seja mais possível. 
Assim, no final, teremos uma lista das melhores alternativas. 
 
• Destilação Ascendente: Identifica as alternativas da pior para a melhor. A pior 
alternativa é aquela em que todas as alternativas são preferíveis a ela, isto é, sua 
linha possui apenas valores 0, e a coluna possui apenas valores 1 (menos na 
linha que a representa). Após identificar a pior alternativa, ela é excluída da 
matriz de adjacências e o mesmo processo é repetido até que não seja mais 
possível. Assim, no final, teremosuma lista das piores alternativas. 
 
Com isso este método nem sempre permite ordenar todas as alternativas. Isso acontece 
porque algumas alternativas apresentam ciclos de intransitividade, isto é, são preferíveis 
em relação a apenas algumas alternativas. 
 
Aplicação: 
 
 Custo Func. Quali. 
 
 
A1 e A2: A1PA2 , A2PA1 , A2PA1 � A2PA1 
A1 e A3: A1PA3 , A1PA3 , A3PA1 � A1PA3 
A1 e A4: A1PA4 , A1PA4 , A4PA1 � A1PA4 
A1 e A5: A1PA5 , A1PA5 , A5PA1 � A1PA5 
A2 e A3: A3PA2 , A2PA3 , A3PA2 � A3PA2 
A2 e A4: A4PA2 , A2PA4 , A4PA2 � A4PA2 
A2 e A5: A5PA2 , A2PA5 , A5PA2 � A5PA2 
A3 e A4: A4PA3 , A3PA4 , A3PA4 � A3PA4 
A3 e A5: A5PA3 , A5PA3 , A3PA5 � A5PA3 
A4 e A5: A5IA4 , A5IA4 , A4IA5 � A5IA4 
 
 
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Figura 2.2: Grafo do Problema de Aplicação 
 
 A1 A2 A3 A4 A5 
A1 0 0 1 1 1
A2 1 0 0 0 0
A3 0 1 0 1 0
A4 0 1 0 0 0
A5 0 1 1 1 0
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
 (2.1) 
 
Nesta aplicação não é possível ordenar as alternativas, pois elas apresentam ciclos de 
intransitividade. 
 
2.5.4 Método de Coppeland 
 
É uma mistura dos Métodos de Borda e de Condorcet. A partir da matriz de adjacências 
obtida no Método de Condorcet, consiste em somar o número de vitórias (valores da 
linha da alternativa) das alternativas e subtrair as derrotas (valores da coluna da 
alternativa), gerando uma pontuação para cada uma delas. A ordenação das alternativas 
se dá de forma decrescente. 
Este método é superior ao de Condorcet por não apresentar ciclos de intransitividade, 
conseguindo assim, ordenar todas as alternativas. É importante frisar que a ordenação 
obtida nas fases do método de Condorcet dos melhores e piores indivíduos será a 
mesma do método de Coppeland. 
 
Aplicação: 
 
A partir da Matriz de Adjacência da seção anterior, temos: 
 
A1 = 3 - 1 = 2 
A2 = 1 - 3 = -2 
A3 = 2 - 2 = 0 
A4 = 1 - 3 = -2 
A5 = 3 - 1 = 2 
 
A ordenação obtida foi: A1 e A5, A3, A2 e A4. 
 
2.5.5 Método das Ponderações 
 
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Este método consiste na soma ponderada dos valores dos critérios normalizados. Este 
método é a base dos métodos da Escola Americana como, por exemplo, o AHP e o 
UTA. 
Primeiramente, só é possível trabalhar neste método com critérios quantitativos, pois é 
necessário normalizar os dados de cada critério. Para isto, dependendo do tipo de 
critério, utiliza-se uma determinada fórmula: 
 
• Critério de Maximização: 
{ }
{ } { }
ij ij
ij
ij ij
x Min x
x
Max x Min x
−
=
−
 
 
• Critério de Minimização: 
{ }
{ } { }
ij ij
ij
ij ij
Max x x
x
Max x Min x
−
=
−
 
 
Após este processo, a "pior" alternativa recebe valor 0 e a "melhor" 1 em cada critério. 
Feito isso, cada critério recebe um peso �i, que representa sua importância, e tem como 
condição que � �i = 1. 
O próximo passo é somar para cada alternativa o valor do critério multiplicado pelo seu 
peso. 
Com os resultados encontrados são ordenadas as alternativas. 
 
Aplicação: 
Neste método o critério "Qualidade", por ser qualitativo, foi descartado. Vamos 
considerar que os dois critérios têm pesos iguais, isto é, �1 e �2 iguais a 0,5. 
 
Alternativas Custo (�1 = 0,5) 
Funcionalidade 
(�2 = 0,5) 
Soma 
Ponderada 
A1 14000 11000 1
14000 11000
−
=
−
 
7 3 2
9 3 3
−
=
−
 0,833 
A2 14000 14000 0
14000 11000
−
=
−
 
9 3 1
9 3
−
=
−
 0,500 
A3 14000 13000 1
14000 11000 3
−
=
−
 
5 3 1
9 3 3
−
=
−
 0,333 
A4 14000 12000 2
14000 11000 3
−
=
−
 
3 3 0
9 3
−
=
−
 0,333 
A5 14000 12000 2
14000 11000 3
−
=
−
 
6 3 1
9 3 2
−
=
−
 0,583 
Tabela 2.2: Dados normalizados e soma ponderada 
 
A ordenação obtida foi A1, A5, A2, A3 e A4. 
 
Análise de Sensibilidade 
 
É possível realizar uma análise de sensibilidade dos pesos em problemas com 2 
critérios. 
Sabemos que �1 + �2 = 1, então �2 = 1 − �1. Substituindo essa equação nas somas 
ponderadas de cada alternativa temos: 
 
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Alternativas Soma Ponderada 
A1 1 2 1
2 1 2
3 3 3
 λ + λ � λ + 
A2 2 11 λ � − λ 
A3 1 2
1 1 1
3 3 3
 λ + λ � 
A4 1 1
2 2
3 3
 λ � λ 
A5 1 2 1
2 1 1 1
3 2 6 2
 λ + λ � λ + 
Tabela 2.3: Soma ponderada 
 
 
Figura 2.3: Gráfico da Análise de Sensibilidade 
 
Determinando a interseção entre A1 e A2 temos: 
 
1 2 1
2 11
3 4
 = λ + λ − λ � 
 
Sendo assim, concluímos que: 
• Para 1λ < 
1
4
 a melhor alternativa é A2. 
• Para 1λ = 
1
4
 a melhor alternativa é A2 ou A1. 
• Para 1λ > 
1
4
 a melhor alternativa é A1. 
Para ordenar as outras alternativas, basta traçar a partir da melhor alternativa uma linha 
perpendicular ao eixo das ordenadas. A ordenação se dá conforme essa linha corta as 
linhas das alternativas. Por exemplo, em 1λ = 
1
4
 temos a seguinte ordenação: A1 e A2, 
A5, A3, A4. 
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2.6 Decisão com Incerteza 
 
O ambiente empresarial é muito dinâmico. Dentro dele podemos nos deparar com várias 
situações onde temos que tomar uma decisão imediata sobre um determinado assunto 
sem conhecer como o mercado vai ser comportar. As técnicas que serão apresentadas 
servem para auxiliar a tomada de decisão neste tipo de problema. 
Na decisão com incerteza, os dados dependem de cenários. A distribuição de 
probabilidade associada aos cenários não é conhecida. A matriz abaixo apresenta as 
informações básicas para resolução deste problema: 
 
 1 2 nS S S� 
1 1 1 2 11
2 1 2 2 22
1 2m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
m m m n
v a ,S v a ,S v a ,Sa
v a ,S v a ,S v a ,Sa
v a ,S v a ,S v a ,Sa
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
�
�
� � � ��
�
 (2.2) 
 
 
onde ai representa a alternativa i com i = 1, 2, ...,m; Sj representa o cenário j com j = 1, 
2, ..., e v(ai, Sj) é o resultado ou conseqüência associada a ação ai e ao cenário Sj . 
Nas próximas seções, serão mostradas abordagens para resolver problema de decisão 
com incerteza. 
 
2.6.1 Exemplo 
 
O plano de urbanização de uma área residencial prevê a construção da infra-estrutura de 
saneamento básico que inclui o abastecimento de água e o tratamento de esgotos. O 
projeto depende da população que irá residir na área e da economia do setor. Existem 4 
opções de ação a ser tomada e 4 cenários possíveis: (a) estagnação econômica; (b) 
crescimento moderado; (c) crescimento gradual e; (d) crescimento forte. A partir dos 
custos apresentados qual será a ação tomada? 
 
 a b c d 
A1 150 270 350 470
A2 225 225 375 425
A3 300 300 300 400
A4 450 450 450 450
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.3) 
 
2.6.2 Regra Otimista 
 
Na regra otimista para problemas de minimização determinamos o do menor valor de 
cada alternativa e depois omenor de todos eles. Buscamos o ( ){ },i ja S i jMin min v a S . 
Para problemas de maximização determinamos o maior valor de cada alternativa e 
depois o maior de todos eles. Buscamos o ( ){ },i ja S i jMax max v a S . 
Esta regra considera que o “resto do mundo” conspira a favor do decisor. 
 
Aplicação: 
 
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Profª Lidia 
10 
 min 
A1 150
A2 225
A3 300
A4 450
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.4) 
 
Usando a regra otimista a melhor alternativa é a A1. 
 
2.6.3 Regra Pessimista 
 
Na regra pessimista para problemas de minimização determinamos o maior valor de 
cada alternativa e depois o menor de todos eles. Buscamos o ( ){ },i ja S i jMin max v a S . 
Para problemas de maximização determinamos o menor valor de cada alternativa e 
depois o maior de todos eles. Buscamos o ( ){ },i ja S i jMax min v a S . 
Esta regra baseia-se em uma atitude conservadora, onde a decisão é tomada nas piores 
condições. 
 
Aplicação: 
 
 max 
A1 470
A2 425
A3 400
A4 450
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.5) 
 
Usando a regra pessimista a melhor alternativa é a A3. 
 
2.6.4 Regra de Laplace 
 
A Regra de Laplace está baseada no princípio da razão insuficiente. Neste caso, por não 
serem conhecidas as probabilidades dos cenários, considera-se então que todos possuem 
a mesma probabilidade. 
 
P(S1) = P(S2) = ... = P(Sn) = 1
n
 (2.6) 
 
Deve-se então, para cada alternativa, somar o produto entre o valor da alternativa em 
um cenário e sua probabilidade. 
Para problemas de minimização, escolhemos o menor valor encontrado, ou seja, 
( )
1
1
,
n
i i j
j=
Min a v a S
n
� 	
 �
� 
� e para problemas de maximização o maior valor encontrado, ou 
seja, ( )
1
1
,
n
i i j
j=
Max a v a S
n
� 	
 �
� 
� . 
 
Aplicação: 
Pesquisa Operacional II – Teoria da Decisão 
 
Profª Lidia 
11 
 
( )
( )
( )
( )
1A1 150 270 350 470 310
4
1A2 225 225 375 425 312,5
4
1A3 300 300 300 400 325
4
1A4 450 450 450 450 450
4
� �
+ + + =� �
� �
� �
+ + + =� �
� �
� �
+ + + =� �
� �
� �
� �+ + + =� �
� �
 (2.7) 
 
Usando a Regra de Laplace, a melhor alternativa é a A1. 
 
2.6.5 Regra de Savage 
 
A Regra de Savage introduz uma ponderação entre a regra otimista e a pessimista. A 
partir da definição da postura do decisor é escolhido o índice de otimismo (� � [0, 1]) 
onde: 
• � = 1 � enfoque otimista; 
• � = 0, 5 � enfoque moderado; 
• � = 0 � enfoque pessimista. 
É criada uma fórmula para cada alternativa com base no tipo de problema: 
• Para problemas de minimização: 
( ) ( ) ( ){ }, 1 ,i j ja S i j S i jMin min v a S max v a Sα + − α 
• Para problemas de maximização: 
( ) ( ) ( ){ }, 1 ,i j ja S i j S i jMax max v a S min v a Sα + − α 
 
Aplicação: 
 
Considerando um enfoque moderado do decisor (� = 0, 5) temos: 
 
 min max 
A1 150 470
A2 225 425
A3 300 400
A4 450 450
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.8) 
 
A1 = 150 � + 470(1 − �) � A1 = 310 
A2 = 225 � + 425(1 − �) � A2 = 325 
A3 = 300 � + 400(1 − �) � A3 = 350 
A4 = 450 � + 450(1 − �) � A4 = 450 
 
Usando a Regra de Savage a melhor alternativa é a A1. 
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Análise de Sensibilidade 
 
É possível realizar uma análise de sensibilidade do índice de otimismo. Para isto, a 
partir das expressões para cada alternativa, um gráfico é gerado e pode ser visto na 
Figura 2.4. 
 
 
Figura 2.4: Gráfico da Análise de Sensibilidade 
 
• Para � < 0.25, a melhor alternativa é A3. 
• Para � = 0.25, a melhor alternativa é A3 ou A2. 
• Para 0.25 < � < 0.375, a melhor alternativa é A2. 
• Para � = 0.375, a melhor alternativa é A2 ou A1. 
• Para � > 0.375, a melhor alternativa é A1. 
 
2.6.6 Critério de arrependimento (ou de perda de oportunidade) 
 
Minimiza ao máximo a maior perda de oportunidade, consistindo em um contexto 
conservador ao extremo. 
Calcula-se a matriz de arrependimento (ou perdas) r (ai, Sj), dada por: 
 
r (ai, Sj) = 
{ }
{ }
,v(ai, Sj)-min v(ai, Sj) se v for de perdas
max v(ai, Sj) v(ai, Sj), se v for de ganhos
��
−��
 
No Problema-exemplo 2: 
 
 a b c d 
A1 150 270 350 470
A2 225 225 375 425
A3 300 300 300 400
A4 450 450 450 450
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.9) 
 150 225 300 400 = Máxima Perda de Oportunidade 
 
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Matriz de arrependimento: 
 
 a b c d 
A1 0 45 50 70
A2 75 0 75 25
A3 150 75 0 0
A4 300 225 150 50
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.10) 
 
A alternativa selecionada será aquela que minimiza o máximo arrependimento (no exemplo em 
questão, seria escolhida a alternativa A1). 
 
 max 
A1 70
A2 75
A3 150
A4 300
� �
� �
� �
� �
� �� �
� �
 (2.11) 
2.7 Decisão com risco 
 
Em algumas situações de tomada de decisão com vários cenários são conhecidas as 
probabilidades de cada um deles. Neste caso, utiliza-se a técnica de decisão com risco, 
onde a decisão é tomada a partir do valor esperado de cada alternativa. 
 
2.7.1 Exemplo 1 
 
O Grupo de Investimento Retorno Certo está disposto a adquirir novas cotas para seu 
grupo. As ações disponíveis no mercado são das Companhias A e B. Segundo os 
analistas, especialistas em mercados de ações, há uma chance de 60% de que o mercado 
esteja provável e 40% desprovável. Qual ação deve ser comprada? 
 
 Rendimento do Investimento 
 Mercado Provável Mercado Desprovável 
Ação da Cia. A 5000 -2000 
Ação da Cia. B 1500 500 
Tabela 2.4: Dados do Exemplo 
 
E [A] = 0, 6(5000) + 0, 4(−2000) = 2200 
E [B] = 0, 6(1500) + 0, 4(500) = 1100 
 
Sendo assim, é melhor investir nas ações da companhia A. 
 
2.7.2 Exemplo 2 
 
Uma empresa A é proprietária de uma área de terra que pode conter petróleo. Um 
geólogo consultor relatou à direção que ele acredita que haja 1 chance em 4 de 
encontrar petróleo. Outra companhia petrolífera, B, ofereceu US$ 90.000 para comprar 
o terreno. No entanto, a empresa A está considerando a possibilidade de permanecer no 
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terreno e ela própria perfurá-lo em busca de petróleo. O custo de perfuração é de 
US$100.000. Se for encontrado petróleo, a receita esperada resultante será de US$ 
800.000. A empresaarcará com uma perda de US$100.000 caso o terreno seja seco. Os 
lucros, em milhares de dólares, obtidos de acordo com a decisão tomada estão contidos 
na Tabela 2.5. 
 
 Petróleo Seco 
Perfurar 700 -100 
Vender 90 90 
Tabela 2.5: Dados do Exemplo 2 
 
Escolha qual a melhor alternativa utilizando o critério do valor esperado. 
 
Solução: 
Decisões (alternativas): perfurar (A1) ou Vender (A2). 
Cenários (estados): petróleo (P) ou seco (S). 
 
 Petróleo Seco 
Perfurar (A1) 700 -100 
Vender (A2) 90 90 
Probabilidade 0,25 0,75 
Tabela 2.6: Exemplo 2 
 
Valor esperado de cada alternativa: 
E [A1] = ( ) ( )700 0,25 100 0,75 100× − × = 
E [A2] = ( ) ( )90 0, 25 90 0,75 90× + × = 
Como o lucro esperado em média é superior para a alternativa A1, é escolhida a opção 
de perfurar o terreno. 
 
Análise de sensibilidade 
 
Chamando de p a probabilidade de encontrar petróleo, o valor esperado para cada 
decisão pode ser escrito como: 
E [A1] = ( )700 100 1p p× − × − 
E [A2] = ( )90 0 1 90p+9 p× × − = 
Se p ≥ 0,2375, a melhor opção é perfurar. 
Se p ≤ 0,2375, a melhor opção é vender. 
Testes mais detalhados poderiam ser recomendados para se verificar com mais exatidão 
a existência ou não de petróleo. 
 
 
 
 
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Figura 2.5: Gráfico da Análise de Sensibilidade 
 
 
2.7.3 Decisão com experimentação ou a “posteriori” 
 
Quando se tem informações adicionais através de testes, experimentos, entre outros, que 
serão utilizadas para aperfeiçoar estimativas preliminares das probabilidades dos 
estados da natureza: probabilidades posteriores. 
Definimos: 
• Estados da Natureza: Si (i = 1, ..., n; n estados da natureza) 
• Resultados do teste: tk (k = 1, ..., r; r resultados do teste) 
 
Usa-se o Teorema de Bayes para obtenção das novas probabilidades associadas a cada 
cenário (probabilidades posteriores ou a posteriori): 
 
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
k j jj k
j k
k k
k j j
j k
k k k n n
P t S P SP S t
P S t
P t P t
P t S P S
P S t =
P t S P S +P t S P S + +P t S P S
∩
= =
�
 (2.12) 
 
 
2.7.4 Exemplo 3 
 
Do exemplo 2: Antes de tomar uma decisão a empresa pode realizar um levantamento 
sísmico detalhado do terreno para obter uma estimativa melhor da probabilidade de se 
encontrar petróleo a um custo de US$30.000. Este levantamento obtém sondagens 
sísmicas que indicam se a estrutura geológica é favorável à presença de petróleo. 
Baseado em experiências passadas, se existir petróleo então a probabilidade de 
sondagens sísmicas desfavoráveis é de 0,4. Se não existir petróleo, então a 
probabilidade de sondagens sísmicas desfavoráveis é de 0,8. Qual alternativa seria 
escolhida de acordo com os possíveis resultados do teste? 
 
Solução: 
 
Teste: levantamento sísmico detalhado 
����
����
�
���
���
���
���
���
	��
��
���
� ��� � ���
�
�
�
��
��
�
�
	
��
�
�
��
��
�
��
�
��
�
� 
 �������
������
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Dois possíveis resultados: Sondagens sísmicas desfavoráveis (USS) e Sondagens 
sísmicas favoráveis (FSS). 
 
( )P USS P 0,4= ( )P USS S 0,8= 
( ) ( )P FSS P 1 P USS P 0,6= − = ( ) ( )P FSS S 1 P USS S 0, 2= − = 
 
Teorema da Probabilidade Total: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
P USS P USS S P S P USS P P P
P USS 0,8 0,75 0,4 0, 25 0,7
= +
= × + × =
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
P FSS P FSS P P P P FSS S P S
P FSS 0,6 0, 25 0,2 0,75 0,3
= +
= × + × =
 
Teorema de Bayes: 
( ) ( ) ( )( )
P USS P P P 0,4 0,25P P USS 0,143
P USS 0,7
=
×
= =
 
( ) ( ) ( )( )
P USS S P S 0,8 0,75P S USS 0,857
P USS 0,7
=
×
= = 
( ) ( ) ( )( )
P FSS P P P 0,6 0, 25P P FSS 0,5
P FSS 0,3
=
×
= =
 
( ) ( ) ( )( )
P FSS S P S 0,2 0,75P S FSS 0,5
P FSS 0,3
=
×
= = 
 
- Caso o resultado do teste seja desfavorável, temos: 
E [A1 USS ] = ( ) ( )700 0,143 100 0,857 14,4× − × = 
E [A2 USS ] = ( ) ( )90 0,143 90 0,857 90× + × = 
A melhor alternativa é vender. 
 
- Caso o resultado do teste seja favorável, temos: 
E [A1 FSS] = ( ) ( )700 0,5 100 0,5 300× − × = 
E [A2 FSS] = ( ) ( )90 0,5 90 0,5 90× + × = 
A melhor alternativa é perfurar. 
 
Observação: Não há necessidade de se considerar o custo do levantamento para os 
cálculos de valor esperado de cada alternativa, uma vez que este é o mesmo para 
qualquer situação, não interferindo na escolha da melhor alternativa. 
 
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2.7.5 Valor da Experimentação 
 
Há dois métodos complementares para determinar o valor potencial de uma 
experimentação: Valor esperado da informação perfeita e Valor esperado da 
experimentação. 
 
2.7.5.1 Valor esperado da informação perfeita (EVPI) 
 
Supõe que a experimentação eliminará toda a incerteza, fornecendo um limite superior 
do valor potencial do experimento. Se esse limite superior for menor que o custo do 
experimento, este deve ser descartado. 
Calcula-se o prêmio máximo para cada estado da natureza usando as probabilidades 
prévias (anteriori). 
O valor esperado da informação perfeita é dado por: 
 
EVPI = Prêmio esperado com informação perfeita - Prêmio esperado sem experimentação
 
A Tabela 2.7 mostra o cálculo do Prêmio esperado com informação perfeita para o 
Exemplo 3. 
 
 Estado da natureza 
Alternativa Petróleo Seco 
1. Perfurar em busca de petróleo 700 -100 
2. Vender o terreno 90 90 
Prêmio máximo 700 90 
Probabilidade Prévia 0,25 0,75 
Prêmio esperado com informação perfeita = ( ) ( )0, 25 700 0,75 90 242,5× + = 
Tabela 2.7: Prêmio esperado com informação perfeita 
 
Prêmio esperado sem experimentação = 100 (calculado no Exemplo 2) 
 
Cálculo do valor esperado da informação perfeita: 
 
EVPI = 242,5 – 100 = 142,5 
 
Como U$ 142,50 é muito superior ao custo do levantamento (U$ 30,00), vale a pena 
realizar o teste. 
 
2.7.5.2 Valor esperado da experimentação 
 
Utilizado quando o limite superior for superior ao custo do experimento. Calcula a 
melhoria real no prêmio esperado. 
Calcula-se o prêmio esperado com experimentação, sem considerar o custo do 
experimento e utilizando as probabilidades de cada possível descoberta do teste a ser 
realizado. Logo, prêmio esperado com experimentação é dado por: 
 
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( )
E
j
Prêmio esperado com experimentação = P Descoberta = descoberta j
 Prêmio Descoberta = descoberta j
×
� �× � �
�
 
O valor esperado da informação perfeita é calculado como: 
 
EVE Prêmio esperado com experimentação - Prêmio esperado sem experimentação= 
 
No Exemplo 3, há dois possíveis resultados para o levantamento sísmico: 
 
P (USS) = 0,7 
P (FSS) = 0,3 
 
E (Prêmio Descoberta = USS) = 90 
E (Prêmio Descoberta = FSS) =300 
 
Prêmio esperado com experimentação = ( ) ( )0,7 90 0,3 300 153× + × = 
 
Prêmio esperado sem experimentação = 100 (calculado no Exemplo 2) 
 
Cálculo do valor esperado da experimentação: 
 
EVE = 153 – 100 = 53 
 
Como este valor excede U$ 30,00 (o custo de realizar o levantamento sísmico), o 
experimento deve ser realizado. 
2.8 Bibliografia 
 
1. GOMES, L.F.A.M.; ARAYA, M.C.G.; CARIGNANO,C. Tomada de Decisões em 
Cenários Complexos. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2004. 
2. GOMES, L.F.A.M.; GOMES, C.F.S.; ALMEIDA, A.T.de. Tomada de Decisão 
Gerencial: enfoque multicritério. São Paulo: Atlas, 2002. 
3. HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G.J. Introdução à Pesquisa Operacional. São 
Paulo: MacGraw Hill, 2006. 
4. MEZA,L.A. Pesquisa Operacional II - Teoria da Decisão. 2007. 19 f. Notas de 
Aula.